UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESTRUCTURAS DE CONCRETO 1

JORGE IGNACIO SEGURA FRANCO Profesor Asociado

Universidad Nacional de colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL

DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA

Estructuras de Concreto 1 ---------------------------------

7a. Edicin. Bogot, 2011-03-30 Jorge Ignacio Segura Franco Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniera A yala A vila & Cia Ltda.

ISBN 978-958-99888-0-0 Grficas: Ing. Camilo Contreras Rojas. Diagramacin y Artes Finales : A yala A vila & Cia.

Derechos Editoriales Reservados

11

Presentacin

En el marco de la celebracin de los ciento cincuenta aos, es un inmenso honor para el Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional de Colombia, presentar la sptima edicin del libro Estructuras de Concreto I del profesor Emrito Jorge Ignacio Segura Franco. El autor pretende con este libro trasmitir y dejar un legado de conocimiento a generaciones futuras, quienes tendrn que desempearse en el maravilloso campo de las estructuras de concreto. La experiencia docente, investigativa y profesional del ingeniero Segura es la mejor carta de presentacin de esta nueva edicin del libro. El autor se ha destacado como docente de la Universidad Nacional de Colombia desde el ao 1967 y ha sido ganador de la Mencin de Honor del premio Didoro Snchez. As mismo, ha sido coautor de las Normas de Diseo y Construccin Sismo Resistente en Colombia. El lector encontrar que en el contenido del libro se analizan con detalle los conceptos relacionados con el diseo estructural para los materiales en concreto y refuerzo con acero. El texto ha sido actualizado con las disposiciones establecidas en el Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente NSR-10 e incorpora el uso de nuevas tecnologas y mtodos modernos de anlisis. Esta obra es fruto de aos de trabajo, perseverancia y representa una herramienta valiosa de trabajo a la comunidad acadmica y a los especialistas que trabajan en el rea. En nombre del Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola quiero expresar un merecido reconocimiento y agradecimiento al profesor Segura por su permanente iniciativa, constancia y dedicacin con miras a impulsar y desarrollar la infraestructura en un pas como el nuestro, que demanda de sus profesionales un alto nivel tcnico.

Carol Andrea Murillo Feo Director de Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola Av. NQS (Carrera 30) No 45-03 Edificio 453 Oficina 201 Tel57 (1) 3165000 Ext. 14020

111

Estructuras de Concreto 1 -------------------

IV V

A mi esposa, Maruja Franco y a mis hijas Ana Mara y Mara Lucia.

Estructuras de Concreto 1 ------------------

VI

CONTENIDO

INTRODUCCIONoo o o o oooo o ooooo o o o oooooooooooooooooooooooooo o oo o ooooooooooooooooooooooooooooo oXIII

CAPITULO 1 Materiales

Concreto, Refuerzo y Concreto Reforzado 00 o 000 o O o o o o 0 0 o 0 00 o 0 0 o 00 o o o o o o o 3 Caractersticas de los materiales o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 4 Dimensiones nominales de las barras de refuerzo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 011

CAPITULO 2 Flexin

Mtodo de los Esfuerzos Admisibles o Mtodo Elstico

Generalidades o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 15 Vigas rectangulares con armadura a la traccin oooooooooooooooooo o oooo o 18 Mtodo de la Seccin Transformada u Homognea para vigas rectangulares con armadura a la traccin 00 o 000 o 000 o o o o o 00 o o o o o 00 35 vigas 'T' con armadura a la traccin (revisin mediante Seccin Transformada) ooooo o oooooooooooooooooooooooooo ooo ooooooooooooooooooooooooooo40 Vigas rectangulares con armadura a la traccin y a la compresin o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 48 Aplicacin del Mtodo de la Seccin Transformada para vigas con armadura a la traccin y a la compresin 000000000 0 00000 0 00 52 Conclusiones Mtodo Elstico ooo oo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oo 57

VIl

Estructuras de Concreto 1 ------------------------------------

Mtodo de la Resistencia Ultima

Generalidades . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 58 Estados lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Vigas rectangulares con armadura a la traccin .. . . .. . . . . ... . . . . .. . . . . 60 Factores de seguridad .... ... ..... ...... ...... .............. ...... ...... ... .. .. ...... 72 Coeficiente de carga y combinaciones de carga . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . . . 72 Coeficiente de reduccin de resistencia ................................... 75 Refuerzo mnimo de elementos en flexin . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 77 Vigas rectangulares con armadura a la traccin y a la compresin . .. . . . . . . .. .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . ... . .. . . 85 Reduccin de deflexiones a largo plazo .. . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . 96 Vigas con seccin 'T' -Caractersticas y diseo con armadura a la traccin .............................................................. 102 Deflexiones y control de deflexiones ....................................... 116

CAPITUL03 Cortante y Torsin

Esfuerzo Cortante

Generalidades ........................................................................... 133 Resistencia a la fuerza cortante proporcionada por el concreto ................................................................................ 135 Resistencia a la fuerza cortante proporcionada por el refuerzo ................................................................... 135 Lmites de espaciamiento para el refuerzo a cortante .............. 137 Refuerzo mnimo de cortante ................................................... 138 Estribos perpendiculares ........................................................... 139 Refuerzo longitudinal doblado ...................................... ... ........ 141

Torsin

Generalidades ...................................... ..................................... 158 Problema resuelto ......................... ............................................ 161

VIII

CAPITUL04 Longitud de Desarrollo y Empalmes de Refuerzo

Generalidades ................. ... ....................................................... 173 Desarrollo del refuerzo a flexin .............................................. 173 Desarrollo del refuerzo para momento positivo ....................... 17 4 Desarrollo del refuerzo para momento negativo ...................... 17 5 Empalmes de refuerzo .............................................................. 176 Gancho estndar ....................................................................... 178 Desarrollo de barras corrugadas y alambre corrugado a traccin .................................................................................. 185 Desarrollo de barras corrugadas y alambre corrugado a traccin (Caso general) .......................................................... 190 Desarrollo de barras corrugadas a compresin ..... .. ...... ... ......... 203 Ganchos estndar a traccin ........... ....................................... .. . 205 Desarrollo de las barras corrugadas con cabeza y ancladas mecnicamente en traccin . ............ ..... .. ........................ 211 Desarrollo de malla electrosoldada de alambre corrugado . . . . . . 215 Problema resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

CAPITULO 5 Sistemas de Losas Armadas en Una Direccin

Generalidades ........................................................................... 225 Losas macizas ........................................................................... 225 Escaleras ................. ....... ... ........................................................ 233 Losas nervadas ......................................................................... 237

CAPITUL06 Columnas

Generalidades ......................................................................... .. 267

IX

Estructuras de Concreto 1 ------------------

Dimensionamiento .. ... .. ...................................... ....................... 268 Refuerzo longitudinal ..................................... .. ........................ 269 Refuerzo transversal .................................................................. 272 Columnas con carga axial ........ ... .............................................. 281 Columnas con carga axial y momento ..................................... 286 Problemas resueltos ........................................... .................... ... 292 Efectos de esbeltez en elementos a compresion ................. ... ... 309 Diseo de columnas. Problema resuelto ................................... 314

CAPITULO 7 Sistemas de Losas en Dos Direcciones

Generalidades ........................................................................ ... 333

Sistemas de losas en dos direcciones apoyadas o soportadas sobre muros o vigas rgidas ................ .. .............. .... 336

Mtodos de los coeficientes (NSR-10) ............... .... ... ............... 336 Ejemplo. Diseo de una losa maciza ....... .. ....... .. .. .. .... .. ...... ... . 338 Ejemplo. Diseo de una losa aligerada ......... ... ...................... 350

Mtodos plsticos de anlisis y diseo ................ ..................... 357 Mtodo de las lneas de fluencia .. ... ... ......... ...... ........ ....... .. ... . 357 Ejemplo. Diseo de una losa maciza ...................................... 359 Ejemplo. Diseo de una losa aligerada ........................... ....... 363

Sistemas de losas en dos direcciones apoyadas o soportadas en columnas .. ....................... .. ................................. 368

Mtodo Directo de diseo ......................................................... 370 Ejemplo. Losa maciza ................. .... ... ............. ............ ........ ... 370 Ejemplo. Losa aligerada ......................................................... 377

Mtodo del Prtico Equivalente ........................ .. ......... ............ 382

X

Ejemplo. Diseo de una losa maciza ... .. ..... .. ....................... ... 384 Ejemplo. Diseo de una losa aligerada .................................. 403

CAPITULO S Cimentaciones

Generalidades ....................................................... ... ................. 425

Cimentaciones superficiales o directas .................................. .. .425

Cimentacin para muros ............ ... .... .. ................................... .. .428

Cimentacin aislada para columnas ......................................... 433 Zapatas aisladas cuadradas para columnas cuadradas ....... .. ..... 433 Zapatas aisladas rectangulares para columnas cuadradas .. ...... .443 Zapatas aisladas rectangulares para columnas rectangulares .... 449

Zapatas con carga axial y momento de flexin .... .. .................. 455 Cimentacin combinada para dos columnas ............................ 461 Cimiento combinado para dos columnas con seccin en forma de "T" invertida ........................................................ .4 70 Cimentacin con viga de contrapeso .................... .................... 482

Cimentaciones de profundidad .............. ................................... 495 Cimentacin sobre pilotes ......... .. ..... ... ................... ...... .. ..... ... .. 495 Cimentacin sobre cajones ............................... .... .. ..... ... .......... 507

CAPITUL09 Muros de Contencin

Generalidades ....................................... .. ..... ... ................. .. ....... 517

XI

Estructuras de Concreto 1 ------------------

Muros en voladizo ................................ ... ............ ..................... 518 Ejemplo. Diseo de un muro en voladizo .............................. 522

CAPITULO 10 Edificios en estructura de concreto reforzado

Generalidades ...................... ............ .... .. ....... .......................... .. 53.9

Procedimiento de diseo .......................................................... 539

APENDICES

Tablas para diseo a la flexin de vigas rectangulares con armadura a la traccin por el mtodo elstico .......................... 555

Tablas para diseo a la flexin de vigas rectangulares con armadura a la traccin por el mtodo de la resistencia ltima .. 571

Indice Alfabtico ...................................................................... 581

REFERENCIAS ... ....................... .... ............ ... ... .................................... 589

XII

'

INTRODUCCIN En la presente edicin, como en las anteriores, se ha mantenido el propsito de la Directivas de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional de Colombia y del autor, de presentar un texto que facilite el trabajo de los estudiantes y profesores en la formacin de profesionales de la Ingeniera Civil con un manejo apropiado de los fundamentos del diseo de elementos estructurales de concreto reforzado. Esta sptima edicin est de acuerdo con el Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente NSR -1 O basado en la Ley 400 de 1997 (Modificada Ley 1229 de 2008) y los Decretos 926 del 19 de marzo de 2010 y el Decreto 092 del 17 de Enero de 2011 y en ella se ha tenido en cuenta nuevas metodologas de utilizacin en el diseo del concreto estructural y su refuerzo en barras de acero.

Algunos de los principales cambios y actualizaciones presentes en los desarrollos tericos y los modelos de aplicacin del presente texto se refieren desde el detallado del refuerzo y la proteccin que le suministra el concreto hasta la utilizacin del modelo puntal-tensor en un diseo de una cimentacin sobre pilotes, pasando por las consideraciones de anlisis y diseo del los elementos estructurales de concreto reforzado, los requisitos para la integridad estructural, la utilizacin de las cargas prescritas en los Ttulos A y B del Reglamento, el mdulo de elasticidad, los requisitos de resistencia y funcionamiento de reciente actualizacin, las suposiciones de diseo y su adecuacin a las especificaciones de secciones controladas por traccin desplazando la limitacin de cuanta de Reglamentos anteriores, la actualizacin de las tablas de diseo a la flexin por los mtodos elstico y de la resistencia, la distribucin del refuerzo en flexin en vigas y losas en una direccin, las dimensiones de diseo, los lmites del refuerzo y los efectos de esbeltez en elementos sometidos a flexin y carga axial, el tratamiento de la resistencia al cortante y el diseo de los refuerzos correspondientes, las longitudes de desarrollo y empalmes de refuerzo con tabulaciones actualizadas incluyendo las que corresponden a las denominadas barras de refuerzo con cabeza, las metodologas de diseo de acuerdo al uso en el pas para el diseo de losas en una y dos direcciones, la actualizacin en el diseo de las fundaciones sobre zapatas, pilotes y cajones

XIII

Estructuras de Concreto 1 -------------------

de cimentacin, lo relacionado con los muros de contencin y los requisitos actuales para el diseo de estructuras sismo resistentes, entre otros.

Al trmino de los trabajos relacionados con esta edicin, expreso mis agradecimientos a las Directivas de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional de Colombia, a su Decano el Ingeniero Diego Fernando Hernndez Losada por su permanente apoyo y estmulo, al Consejo Directivo y a la Ingeniera Caro! Andrea Murillo Feo, Directora del Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola, quien a su vez tuvo a bien hacer la presentacin del texto con generosas palabras que honran al autor. Igualmente expreso mi agradecimiento al Ingeniero Carlos Enrique Velez Ayala, quien dirigi el equipo de edicin en la transcripcin del manuscrito al texto final y su correccin y al Ingeniero Camilo Contreras Rojas por su colaboracin en la revisin y actualizacin de las tablas que acompaan el texto, ambos ex alumnos de mis cursos y de excelente desempeo acadmico y profesional y un especial agradecimiento al seor Gabriel A yala Blanco por su paciente y muy metdica labor en la parte editorial. Tambin, como en las ediciones anteriores, hago un pblico reconocimiento a los colegas, alumnos y ex-alumnos y a la comunidad de ingenieros procedentes de todos los rincones del pas, cuyas sugerencias recibidas sobre la ediciones anteriores y las anunciadas en las presentaciones efectuadas con motivo de la actualizacin del Ttulo C - Concreto Estructural - del Reglamento colombiano, fueron especialmente tiles para llevar a feliz trmino el presente trabajo.

Jorge Ignacio Segura Franco

XIV

-------------------------

Captulo 1 Materiales

Captulo 1

MATERIALES

Estructuras de Concreto 1 --------------------------

2

-------------------- Captulo 1 Materiales

CONCRETO, REFUERZO Y CONCRETO REFORZADO

DEFINICIONES

Concreto

Material estructural que se forma por medio de la mezcla homognea de los agregados inertes finos o arena, agregados gruesos o grava, un ligante que es el cemento hidrulico y agua, con o sin aditivos.

Concreto liviano

Concreto con agregado fino y grueso de peso liviano y que cumple con lo especificado en NTC 4045 (ASTM C330).

Acero de refuerzo para el concreto

Acero en barras corrugadas que cumplen con la norma NTC 2289 (ASTM A 706M), barras de acero inoxidable fabricadas bajo la norma ASTM A955M siempre y cuando que cumplan con la norma NTC 2289 (ASTM A 706M), refuerzo en barras lisas de acuerdo a la norma NTC 161 (ASTM A615M) permitido slo para estribos, refuerzo de retraccin y temperatura o refuerzo en espiral y cuando conforma mallas electrosoldadas, alambre de refuerzo electrosoldado liso que debe cumplir la norma NTC 1925 (ASTM A 185M), alambre de refuerzo electrosoldado corrugado de acuerdo a la norma NTC 2310 (ASTM A497M). El acero de refuerzo se coloca en el concreto para absorber esfuerzos de traccin, de compresin de cortante y de torsin. Para cortante tambin se pueden utilizar los pernos con cabeza y deben cumplir la norma ASTM A1044M y las fibras de acero deformadas dispersas y deben cumplir NTC 5214 (ASTM A820M).

Concreto reforzado

Concreto al cual se le ha adicionado un refuerzo de acero en barras, mallas electrosoldadas, pernos con cabeza y fibras de acero deformadas dispersas para absorber los esfuerzos que el concreto por su propia condicin no lo

3

Estructuras de Concreto 1 -------------------------------------

puede hacer, pero entendindose que el trabajo de los dos materiales es de conjunto, es decir, a partir de la compatibilidad de deformaciones de los dos materiales.

CARACTERISTICAS DE LOS MATERIALES

Enunciamos las principales caractersticas de uso inmediato en el diseo de elementos estructurales de concreto reforzado:

CONCRETO:

-Resistencia especificada del concreto a la compresin:(f' e): Define la calidad del material y corresponde a la resistencia a la compresin en MPa que se utiliza en el diseo de los elementos estructurales y se determina como el promedio de las resistencias de al menos dos probetas de 150 por 300 mm o de al menos tres probetas de 100 por 200 mm, preparadas de la misma muestra de concreto y ensayadas a 28 das o a la edad de ensayo establecida.

Segn el Reglamento Colombiano NSR-10, para el concreto estructural f e no debe ser inferior a 1 7 MP A.

En la figura 1.1, presentamos curvas tpicas esfuerzo-deformacin unitaria a la compresin para co~cretos de f~ = 35.2 MPa (352 kgf/cm2 o 5000 psi), 28.1 MPa (281 kgf/cm o 4000 psi) y 21.1 MPa (211 kgf/cm2 o 3000 psi); se llama la atencin del lector sobre la parte inicial de las mismas aproximadas a unas rectas en las que se puede concluir la proporcionalidad entre las deformaciones y los esfuerzos que las producen. Por esta razn, esta primera parte tambin se denomina porcin elstica de la curva.

4

---------------------------------------- Captulo 1 Materiales

o

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Concreto simple: Concreto reforzado:

-Retraccin de fraguado: disminucin de volumen del concreto por la accin del proceso de fraguado y la prdida de agua o secado. A medida que el concreto se seca, se retrae en volumen. Igualmente si el concreto seco se sumerge en el agua, se expande y estos procesos pueden causar agrietamientos que es necesario controlar. Por lo tanto, este proceso depende en alguna forma del grado de absorbencia de los agregados y su correspondiente control.

-Fiuencia lenta: Deformacin adicional a la elstica adquirida por el concreto sometido a carga permanente y de la cual no se recupera.

-Modulo de elasticidad o Flujo Plstico (Creep): Corresponde a la relacin entre el esfuerzo y la deformacin unitaria que este produce Y es la pendiente del tramo recto inicial de la curva esfuerzo-deformacin unitaria y aumenta con la resistencia del concreto. Segn el Reglamento NSR-10 (Artculo C.8.5.1), el mdulo de elasticidad "Q para el concreto

1 5 ; 'L.Jc' puede tomarse como w e * O. 04 3.y ( (en MPa) para valores de w e comprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3 Para concretos de densidad normal, Ec puede tomarse como 4700.jf!

Por considerarlo de importancia para el lector, transcribimos el artculo CR8.5.1 del Reglamento NSR-10. "Los estudios que condujeron a la expresin que tradicionalmente ha contenido para el modulo de elasticidad del concreto el Reglamento ACI 318 en C.8.5.1. se resumen en la Referencia C.8.7 en donde Ec se define como la pendiente de la secante trazada desde un esfuerzo nulo hasta un esfuerzo de compresin de 0.45 f~. El modulo de elasticidad del concreto es sensible al modulo de elasticidad del agregado y puede diferir del valor especificado. Los valores medidos varan tpicamente de 120 a 80 por ciento del valor especificado. La Norma NTC 4025 (ASTM C469c.s.s) se describen mtodos para la determinacin del modulo de elasticidad del concreto. All se indica, adems como medir el Mdulo de Poisson. En caso de que no se disponga de un valor experimental el mdulo de Poisson puede tomarse como 0.20.

6

---------------------Captulo 1 Materiales

A modo de gua, a continuacin se presentan los resultados de un~ seri~ de investigaciones experimentales nacionales realizadas en la Umver~tdad Javeriana de Bogot por medio de las cuales se lograron correlac10nes estadsticas del modulo de elasticidad del concreto Ec. En estas investigaciones se aplico el sesgo necesario para tener en cuenta que en las ecuaciones para obtener el mdulo se introduce el valor nominal de f e de acuerdo con las resistencia de diseo y el concreto en la estructura en realidad tendr una resistencia mayor. El sesgo se obtuvo de la misma poblacin usada para calcular el modulo de el~sticid.ad del. concreto utilizando la estadstica de la diferencia entre la reststencta nommal y real del concreto ensayado. El trabajo investigativo de aplicacin del sesgo lo realiz una estudiante de postgrado de la Universidad de los Andes de Bogot.

En caso de que no se disponga de este valor experimental, para concretos cuya masa unitaria vari entre 1440 y 2460 kg/m3, puede tomarse como:

Para agregado grueso de origen gneo: E = 1.5 *O 047 Ir' en MPa e W e V 1 c

Para agregado grueso de origen metamrfico: E = 1.s *O 041 Ir' en MPa e wc V1 c

Para agregado grueso de origen sedimentario: E = w 1'5 *O 031 Ir' en MPa e e "V 1 c

El valor medio para toda la informacin experimental nacional, sm distinguir por tipo de agregado, es :

Ec=Wci.S*0.034.Jf: enMPa

Cuando no se disponga del valor de la masa unitaria del concreto, puede utilizarse:

7

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Para agregado grueso de origen gneo: E. = 5500 .ji; en MPa

Para agregado grueso de origen metamrfico: E. = 4700 .Ji: en MPa

Para agregado grueso de origen sedimentario: E e = 3600 .ji; en MPa

El valor medio para toda la informacin experimental nacional, sin distinguir por tipo de agregado, es:

E. = 3900.jf; en MPa"

ACERO DE REFUERZO PARA EL CONCRETO:

-Resistencia nominal a la fluencia (punto de fluencia) del acero de refuerzo (fy): Define la calidad del material y corresponde a la resistencia a los esfuerzos de traccin y compresin en MPa en el lmite o punto de fluencia [y y que se utiliza en el diseo de los elementos estructurales. En la figura 1.2 se presentan curvas tpicas traccin-deformacin para aceros de [y = 240 MPa (2400 kgf/cm2 o 34000 psi), 350 MPa (3500 kgf!cm2 o 50000 psi) y 420 MPa ( 4200 kgf/cm2 o 60000 psi) que corresponden a una clasificacin muy general de aceros de baja, mediana y alta resistencia, respectivamente.

Se destaca que estos esfuerzos de traccin y de compresin en el lmite expresado son generalmente iguales.

-Mdulo de elasticidad: Corresponde a la relacin entre el esfuerzo de traccin o de compresin y la deformacin unitaria que este produce. Segn el Reglamento NSR-10, el mdulo de elasticidad, Es, para el acero de refuerzo no preesforzado puede tomarse como:

Es = 200000 MPa

8

l

---------------------Captulo 1 Materiales

1050~-~--r-~-~

875 1 ' ool . . .

700 fy=420 525 .... : .... --..-- : ....

35o ~.: ... rr.=:3.5.0.. 1 . . fy-=240 175 ... ; . .... : ..... ; .... . . .

o ~0-~5~-~10~~1~5~~20 Deformacin %

Figura 1.2

-Resistencia a la Fatiga: Para elementos estructurales de concreto reforzado sometidos a una importante repeticin de ciclos de esfuerzos se presenta el fenmeno de la fatiga. La fatiga de metales se manifiesta en fisuras microscpicas, usualmente en los puntos de concentracin de esfuerzos o en zonas de discontinuidades y puede producir falla sbita o frgil.

CONCRETO REFORZADO:

A continuacin se enuncian aquellas caractersticas de los materiales que convierten la combinacin concreto y acero de refuerzo en un eficiente material estructural:

La notable resistencia a la compresin del concreto y a la traccin del acero hacen posible combinarlos dentro de la seccin estructural en forma tal que los dos materiales se utilizan de una manera ptima.

La relativa similitud de los coeficientes de dilatacin trmica de ambos materiales permite su combinacin para ser sometida a deformaciones por cambios de temperatura normales para estructuras.

El concreto acta como protector del acero cuya resistencia a la corrosin es muy baja.

9

Estructuras de Concreto 1 -------------------

La baja conductividad trmica del concreto resulta til protegiendo al acero en el caso de estructuras expuestas transitoria o permanentemente al fuego.

Como complemento de lo anteriormente expuesto, a continuacin se presentan algunos ejemplos de calidades de concreto con sus caractersticas y un listado resumen de las dimensiones nominales y los pesos de las barras de acero de refuerzo, tal como figuran en el Reglamento NSR-10.

Tabla 1.1 Calidades del concreto segn su resistencia especificada a la compresin, esfuerzo mximo admisible de compresin por flexin mdulo de elasticidad segn el Reglamento NSR-10 y la relacin de los :Odulos de elasticidad acero/concreto:

Esfuerzo Mdulo de mximo elasticidad

Resistencia especificada a la admisible de Ec =470oJi MPa n=}{ compresin f~ compresin por

flexin: Valor medio segn

fe= 0.45 f~ experimentacin nacional

MPa p.s.i. Mpa MPa

14.1 2000 6.3 17600 11.4 17.6 2500 7.9 19700 10.2 2I.I 3000 9.5 21600 9.3 24.6 3500 1I.I 23300 8.6 28.1 4000 12.6 24900 8.0 31.6 4500 14.2 26400 7.6 35.2 5000 15.8 27800 7.2

10

---------------------Captulo 1 Materiales

Tabla 1.2 Dimensiones nominales de las barras de refuerzo, con dimetros basados en milimetros.

Designacin DIMENSIONES NOMINALES de la barra Dimetro Area seccin Permetro Masa

No mm mm2 mm kg/m 6M 6.0 28.3 18.85 0.222 8M 8.0 50.3 25.14 0.394 10M 10.0 78.5 31.42 0.616 12M 12.0 113.1 37.70 0.887 16M 16.0 201.1 50.27 1.577 18M 18.0 254.5 56.55 1.996 20M 20.0 314.2 62.83 2.465 22M 22.0 380.1 69.12 2.982 25M 25.0 490.9 78.54 3.851 32M 32.0 804.2 100.53 6.309 45M 45.0 1590.4 141.37 12.477 55 M 55.0 2375.8 172.79 18.638

Tabla 1.3 Dimensiones nominales de las barras de refuerzo, con dimetros basados en octavos de pulgada.

Designacin Dimetro de DIMENSIONES NOMINALES de la barra referencia en Dimetro Area seccin Permetro Masa

No pulgadas mm mm2 mm kg/m 2 1/4 6.4 32 20.0 0.250 3 3/8 9.5 71 30.0 0.560 4 l/2 12.7 129 40.0 0.994 5 5/8 15.9 199 50.0 1.552 6 3/4 19.1 284 60.0 2.235 7 7/8 22.2 387 70.0 3.042 8 1 25.4 510 80.0 3.973 9 1-l/8 28.7 645 90.0 5.060 10 1-1/4 32.3 819 101.3 6.404 11 1-3/8 35.8 1006 112.5 7.907 14 1-3/4 43.0 1452 135.1 11.380 18 2-1/4 57.3 2581 180.1 20.240

11

Estructuras de Concreto 1 ------------------------------------------

Captulo 2 Flexin

Tabla 1.4 Alambre de refuerzo estndar de la ASTM.

Dimetro Masa As - nun2 por metro Tamao MW y MD nominal nominal Espaciamiento centro a centro, mm

Liso Corrugado mm k g/ m 50 75 100 150 200 250 300 MW290 MD290 19.22 2.27 5800 3900 2900 1900 1450 1160 970 MW200 MD200 15.95 1.5700 4000 2700 2000 1300 1000 800 670 MW 130 MD 130 12.90 1.0204 2600 1700 1300 870 650 520 430 MW 120 MD 120 12.40 0.9419 2400 1600 1200 800 600 480 400 MW 100 MD 100 11.30 0.7849 2000 1300 1000 670 500 400 330 MW90 MD90 10.70 0.7064 1800 1200 900 600 450 360 300 MW80 MD80 10. 10 0.6279 1600 1100 800 530 400 320 270 MW70 MD70 9.40 0.5494 1400 930 700 470 350 280 230 MW65 MD65 9.10 0.5102 1300 870 650 430 325 260 220 MW60 MD60 8.70 0.4709 1200 800 600 400 300 240 200 MW55 MD55 8.40 0.43 17 1100 730 550 370 275 220 180 MW50 MD50 8.00 0.3925 1000 670 500 330 250 200 170 MW45 MD45 7.60 0.3532 900 600 450 300 225 180 150 MW40 MD40 7.10 0.3140 800 530 400 270 200 160 130 MW35 MD35 6.70 0.2747 700 470 350 230 175 140 120 MW30 MD30 6.20 0.2355 600 400 300 200 150 120 100

Captulo 2 MW25 MD25 5.60 0.1962 500 330 250 170 125 100 83 MW20 5.00 0.1570 400 270 200 130 100 80 67 MWI5 4.40 0.1177 300 200 150 100 75 60 50 MWIO 3.60 0.0785 200 130 100 70 50 40 33 MW5 2.50 0.0392 100 67 50 33 25 20 17

FLEXION

12

Estructuras de Concreto 1 --------------------------

14

----------------------Captulo 2 Flexin

FLEXION

Este captulo estudia la flexin para las vigas de concreto reforzado mediante dos procedimientos que trataremos en su orden. Inicialmente el procedimiento de diseo a la flexin por el mtodo de los esfuerzos admisibles, esfuerzos de trabajo o mtodo elstico, y posteriormente el denominado mtodo de resistencia o de la resistencia ltima.

METODO DE LOS ESFUERZOS ADMISIBLES O METODO ELASTICO

Se presenta el Mtodo de los Esfuerzos Admisibles o Mtodo Elstico por las siguientes razones, principalmente:

l. Los Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (AGI 318S-08), que es el documento base para la elaboracin del Titulo C -Concreto Estructural - del Reglamento Colombiano de Diseo y Construccin Sismo Resistentes (NSR-10), incluye, en el comentario Rl.l, la posibilidad de usar este mtodo en lugar de las secciones que correspondan en ese Reglamento.

2. El Reglamento NSR-10 en el comentario CRI.l tambin acepta su utilizacin como un Mtodo Alternativo de Diseo para elementos de concreto no pre-esforzados empleando cargas de servicio y esfuerzos admisibles de servicio y sus requisitos se encuentran en el Titulo C, Apndice C-G.

3. Un nmero importante de estructuras se han diseado y seguirn diseando con este mtodo, por lo que se considera indispensable su conocimiento por parte del profesional en ejercicio.

4. Su estudio es de especial importancia en la formacin acadmica de los estudiantes de esta rea.

Existen dos hiptesis fundamentales en la teora elstica y por consiguiente en su aplicacin a la viga de concreto:

- La seccin de una viga sometida a flexin es plana antes y despus de cargada o deformada. Se concluye entonces que las deformaciones de las fibras son proporcionales a su distancia al eje neutro.

15

Estructuras de Concreto 1 --------------------------

- Las deformaciones de las fibras son proporcionales a los esfuerzos que las deforman con una constante de proporcionalidad que es el mdulo de elasticidad (Ley de Hooke).

La apl~cacin ~e . estas hip~~es~s .par~ una seccin rectangular (b x h) homogenea y elastica en eqmhbno Implicara diagramas de deformaciones y esfuerzos segn esquemas adjuntos:

Figura 2.1

El momento interior resistente, igual al exterior actuante, ser:

M=C*~h=T*~h 3 3

en donde C = T = _!_ * tb * _!: = _!_ tbh 2 2 4

M = _!_ tbh * ~ h = _!_ tbh 2 4 3 6 , expresin esta similar a la obtenida en la aplicacin de la frmula de la flexin:

16

---------------------Captulo 2 Flexin

f= Me 1

f* bh3 M= 12 = _!_fbh2

h 6 2

que permite disear (obtener b x h) en una seccin homognea y elstica a partir del momento actuante M, si se conoce el esfuerzo admisible o de trabajo f.

Al aplicar la teora anterior a una viga de slo concreto cargndola gradualmente, muy pronto se encuentra con el agrietamiento del concreto a traccin, lo cual obliga a reemplazarlo en el diagrama de esfuerzos por un refuerzo metlico en una proporcin tal que su trabajo corresponda a esfuerzos y deformaciones admisibles. Por otra parte, aunque las deformaciones del concreto a la compresin no son proporcionales a las cargas que las producen, para un rango de esfuerzos pequeos la curva esfuerzos-deformaciones se acerca a la recta y puede aceptarse la ley de variacin lineal de los esfuerzos. De esta manera se tiene entonces el denominado mtodo de diseo elstico, mtodo de los esfuerzos de trabajo o de los esfuerzos admisibles.

Al variar la proporcin del acero en la seccin se generan las siguientes clases de diseo dentro del citado mtodo elstico:

Diseo balanceado

Los materiales se han proporcionado de tal forma que los esfuerzos obtenidos para ambos, concreto y refuerzo, son los de trabajo.

Diseo sobre reforzado

La proporcin del refuerzo es excesiva en la seccin, de tal manera que si se llevara a la falla, esta se iniciara en el concreto (falla sbita).

17

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Diseo sub-reforzado

La proporcin del refuerzo es escasa en la seccin, de tal manera que si se llevara a la falla, esta se iniciara en el acero (falla lenta).

Diseo ptimo

Es un diseo sub-reforzado en donde la proporcin fmal en los materiales obedece a un estudio de costos.

VIGAS RECTANGULARES CON ARMADURA A TRACCION

Se deducirn las principales expresiones utilizables para el diseo de vigas rectangulares con armadura a traccin, segn el mtodo elstico, y su forma de tabulacin.

A partir del funcionamiento de la seccin con sus diagramas de esfuerzos y deformaciones segn la figura:

Figura 2.2

en donde se denomina:

d = altura efectiva: distancia de la fibra ms comprimida al centro de gravedad de las reas de refuerzo de traccin en secciones sometidas a flexin;

18

---------------------Captulo 2 Flexin

k = constante menor que la unidad que .multiplicada por la altura efectiva equivale a la profundidad (kd) del eJe neutro;

= constante menor que la unidad que multiplicada por la altura ~fectiva equivale al brazo (jd) del par interior resistente; f =esfuerzo mximo admisible o de trabajo del concreto a compresin; e

fs = esfuerzo mximo admisible o de trabajo del acero a traccin.

se obtiene:

a) Del diagrama de deformaciones:

d-kd kd

1-k f = nf *--. s e k

fs en donde: S 8 = E ;

S

y f 5 * k f =--e n 1-k

fe S= -

e E e

y

(1)

1 los esfuerzos en los materiales con la expresiones que re ac10nan profundidad del eje neutro.

Llamando r = :s se obtiene: e

1-k r = n--

k y n k= -

n+r (2)

0 sea, la profundidad del eje neutro para el caso ~n que se conocen los esfuerzos a los cuales estn trabajando los matenales, como en el caso del diseo balanceado.

19

Estructuras de Concreto 1 -----------------------------

b) Del corte longitudinal de la viga: .d d 1 . k J = - - kd : . J = 1--

3 3 (3)

e) A partir de la igualdad C = T:

1 C = 2 fckdb = T = A 5f8 = pbdf5 en donde:

p = cuanta del refuerzo = As = Area del refuerzo bd Area til

k : . p= -

2r (4)

e~presin que relaciona la cuanta del refuerzo con la profundidad del eJ: neutro~ los esfuerzos a los cuales estarn trabajando los materiales as1 proporciOnados en la seccin.

d) De (1) y (4) se obtiene:

e)

kf k 2 p= - c = ---2f8 2n(1- k) k

2 + 2npk- 2np = O

Expresando la profundidad del eje neutro en funcin de la cantidad de refuerzo en la seccin se tiene:

k= -np+~(np)2 + 2np (5) F~almente, a partir de Momento exterior actuante = Momento interior resistente, se plantea:

M =Tjd = Cjd

Para el primer caso:

20

---------------------Capitulo 2 Flexin

M A s = fsjd (6)

Para el segundo caso: M = (1 1 2) * fckjbd; en donde si se reemplaza fe y j en funcin de k y k en funcin de p, se obtiene un programa de diseo con p en funcin del momento M.

Por otra parte, llamando K= (1 1 2) * fckj , resulta una expresin tabulable en K de utilidad para el diseo por esta modalidad:

M=Kbd2 (7)

De aqu se puede obtener: d = .} N en donde si k2 = .} entonces: r:-:;-

d = k2~~ (8) En el proceso de tabulacin antes mencionado se procede a partir de p calculando

Una muestra de las tablas as obtenidas se encuentra anexa en el Apndice 1.A del presente texto.

A continuacin se aplicarn las frmulas antes deducidas en problemas de diseo y revisin de secciones rectangulares de concreto reforzado con armadura a traccin, empezando por los de revisin en atencin a consideraciones didcticas.

Problema 2.1

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga simplemente apoyada sometida a carga

21

Estructuras de Concreto 1 -------------------

uniforme, determinando el momento resistente, la carga w en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que estarn trabajando los materiales, de acuerdo a la seccin y datos adjuntos:

Figura 2.3

Concreto : f~ = 21.1 MPa Refuerzo : fy = 120 MPa

n = 9.3

Nota: Para la distribucin del refuerzo en la seccin, se deben tener en cuenta las siguientes recomendaciones del Reglamento NSR-10 sobre recubrimiento de las armaduras y separacin libre entre barras:

1) Armadura principal, estribos y espirales 40mm

2) La separacin libre entre las barras paralelas colocadas en una fila o capa no debe ser menor que el dimetro db de la barra, ni menor de 25 mm, ni menor de 1.33 veces el tamao del agregado grueso. (vanse secciones C.7.6 y C.7.7 y su complemento en C.3.3.2 del Reglamento NSR-10).

Solucin Se trata de obtener los momentos resistentes por acero y por concreto de la seccin, determinar el admisible y a partir de este, la carga w en kN/m y los esfuerzos en los materiales, as:

1) Momentos resistentes por acero y concreto, M8 y Me , y momento resistente de la seccin.

22

---------------------Captulo 2 Flexin

Para calcular estos momentos se debe conocer antes k y j a partir de p:

_As= 4*0.000387 =0.011727 p - bd 0.30 * 0.44

k= -9.3*0.011727 +~(9.3*0.011727)2 + 2 *9.3*0.011727 k =0.370538

kd (profundidad del eje neutro) = 0.163 m

. k - 0.370538 -o 876487 J=1---1 - . 3 3

jd (brazo del par interior resistente)= 0.386 m

Ahora:

Momento resistente admisible, en unidades de kNm, segn el acero de refuerzo a la traccin, Ms:

M8

= T * jd = A 8f8 * jd =4*0.000387* 120000*0.876487*0.44 = 71.64 kNm

Momento resistente admisible, tambin en unidades de kNm, segn el concreto a la compresin, Me:

M =e* J.d = .!.r kJ'bd2 =.!. * 9500 * 0.370538 *0.876487 * o.30* 0.442 e 2 e 2

Me = 89.60kN.m

23

Estructuras de Concreto 1 ---------------------------------

El momento resistente de la seccin ser el menor de los dos calculados esto es, el momento resistente admisible segn el acero de refuerzo a 1~ traccin: Ms =71.64 kNm (diseo sub-reforzado).

La conclusin sobre el diseo como sub-reforzado se hubiera podido tener con anterioridad evitndonos el clculo de Me al comparar la p actual con la p balanceada:

k Pbalaneeada = - en donde,

2r

0.4241

k n 9.3 =-= =0.4241 n+r 93 + 120

9.5

Pbalanceada = 120 = 0.016789 > Paetual = 0.011727 2* -9.5

2) Carga a soportar en condiciones de seguridad:

Maetuante = Mresistente

wf 2 w*82 -

8- = ---

8- = 71.64 kNm :. w = 8.96 kN/m

w exterior actuante = w total - peso propio de la viga: w exterior actuante= 8.96- 0.30*0.50* 1.00*24 = 5.36 kN/m

La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 5.36 kN/m.

3) Esfuerzos de trabajo de los materiales:

fs : para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo trabajando a su esfuerzo admisible a la traccin, el valor de fs ser de 120 MPa.

24

---------------------Captulo 2 Flexin

fe : se puede calcular a partir del momento resistente adoptado, el cual se iguala a Me :

fe= 9.5 * 71.64 = 7.60 MPa 89.60

A manera de comprobacin, tambin se puede usar la expresin:

fe= fs *__!__ = 120 * 0.370538 = 7.60 MPa n 1-k 9.3 1-0.370538

fe resulta inferior a fe admisible ratificando que el diseo es sub-reforzado.

4) Solucin por tablas:

A partir de p = 0.011727, se obtienen de las tablas respectivas por interpolacin lineal los valores de K y fe

K= 1233.1 y fe = 7.59 MPa

M . =Kbd2 =1233.1*0.30*0.442 =71.62 kNm reststente

El valor de fs ser igual al admisible o 120 MPa, puesto que el diseo es sub-reforzado.

La carga a soportar en condiciones de seguridad se calcula en la misma forma del punto 2.

Problema 2.2

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme determinando el momento resistente, la carga w en kN/m que puede soportar

25

- ------------ - ---- -- --------.... ---------------- - --------------

Estructuras de Concreto 1 -----------------------

en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que estarn trabajando los materiales, de acuerdo a la seccin y datos adjuntos:

Figura 2.4

Concreto: f~ = 21.1 MPa Refuerzo: f8 = 120 MPa

n =9.3

Nota: Para la distribucin del refuerzo en la seccin en ms de una fila ' se debe tener en cuenta la siguiente recomendacin del Reglamento NSR-

10, Seccin C.7.6.2:

"Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o ms capas, las barras de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre capas no menor de 25 mm."

Solucin Se trata, como en el problema anterior, de obtener el momento resistente admisible de la seccin, la carga w en kN/m y los esfuerzos en los materiales.

1) Momento resistente de la seccin: Se calcula inicialmente p : A

P = bd ; se obtiene d = h - y en donde y es la distancia del centroide de las reas de las barras al horde inferior de la viga.

0 .05 "'--------l--'1

Estructuras de Concreto 1 -------------------------------------

Nota: Se debe advertir que no obstante que la armadura existente es aproximadamente el doble de la correspondiente al problema anterior, la carga no es proporcional a este aumento.

3) Esfuerzos de trabajo de los materiales:

fc : Para el momento resistente adoptado, que es el del concreto trabajando a su esfuerzo admisible de compresin, el valor de fe ser de 9.5 MPa.

fs : A partir de la expresin: fs = nfc * 1

- k se obtiene: k

fs=9.3*9.5* 1-0.489863 =92.01 0.489863

MPa < fs admisible por ser un diseo sobre reforzado.

Problema 2.3

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme determinando el momento resistente, la carga w en kN/m que puede resisti; en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que estarn trabajando los materiales, de acuerdo a la seccin y datos adjuntos.

0.30 l. ~ 1 r--, 1 1 1 1 1 1 0.45 0.50 1 1 1 1 ~ -mo~

~4" Figura 2.6

Concreto: f~ =21.1 MPa Refuerzo: t = 170 MPa

n=9.3

28

'1

i

1

1

1

: 1

-

---------------------------------Capitulo 2 Flexin

Solucin Se trata, como en los casos anteriores, de obtener el momento resistente admisible de la seccin, cotejndolo con el correspondiente al problema 2.1 y determinar tambin la carga w en kN por metro y los esfuerzos en los materiales.

1) Momento resistente de la seccin:

Se tiene: p = As = 4 * 284 = 0.008415 bd 300*450

Como ejemplo de utilizacin de las tablas, por interpolacin lineal se obtiene:

K = 1275.2 fe = 8.80 MPa

Por tanto:

M= Kbd2 = 1275.2*0.30*0.452 = 77.47 kNm

De la comparacin de los momentos resistentes de los problemas 2.1 y 2.3, ambos obtenidos para el acero de refuerzo a la traccin, dentro del perodo del sub refuerzo, se puede concluir que se ha compensado la disminucin en la armadura con un aumento en el esfuerzo de la misma para lograr una traccin semejante, que con brazos del par interior resistente parecidos permita obtener resultados equiparables; esta aplicacin ser til en el caso de dificultades en la acomodacin del refuerzo en una seccin inmodificable.

Por otra parte, es evidente que para este diseo sub-reforzado el valor de fs ser el admisible o sea 170 MPa y el fe obtenido de las tablas, de 8.79 MPa, resulta inferior al fe admisible.

2) Carga a soportar en condiciones de seguridad:

29

Estructuras de Concreto 1 ---------------------------------

o2 * 82 w; w 8

77.47 kNm . . w = 9.68 kN/m w exterior actuante = w total - peso propio de la viga w exterior actuante= 9.68- 0.30*0.50*1.00*24 = 6.08 kN/m

os siguientes son problemas de diseo de secciones rectangulares concreto reforzado con annadura a la traccin.

Problema 2.4

~isear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m, Simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada con concreto de

f~ = 21.1 MPa y acero para f5 = 120 MPa, n = 9.3 y las siguientes condiciones de carga:

a) Carga uniforme total (incluyendo el peso propio): w = 10 kN/m

wR2 10*82 Momento actuante=---= 80 kNm 8 8

A partir de este momento actuante, se puede utilizar la frmula-programa de diseo (vase comienzo del captulo) y directamente obtener la cuanta p o utilizar las tablas as:

Momento actuante = M = Kbd2 M 80 :. K 1377.4 bd 2 0.30*0.442

Para este valor de K se interpola el valor de p = O. O 1318 8

Armadura: As= pbd= 0.013188*300*440 = 1741 mm2

Refuerzo: 2 $ 1" + 2 $ 7 /8" (As= 1794 mm2 - siempre por exceso)

b) Carga uniforme total w = 3.6 kN/m adicionada a una carga concentrada P = 25.6 kN aplicada en el centro de la luz.

30

---------------------Captulo 2 Flexin

we PR 3.6*82 25.6*8 Momento actuante = ---+- 80 kNm 8 4 8 4

Para momentos actuantes y resistentes iguales, la armadura ser tambin, como en "a": 2 $ 1" + 2 $ 7 /8".

Problema 2.5

Con base en el problema anterior, obtener el diseo balanceado, suponiendo w en kN/m constante y las siguientes condiciones adicionales: a) Ancho de la viga "b" invariable e igual a 0.30 m b) Altura til "d" invariable e igual a 0.44 m

Solucin a) Si se mantiene el momento actuante no obstante el posible cambio de la

seccin, se determina la altura efectiva "d" correspondiente a un diseo balanceado utilizando el valor de k2 respectivo que se puede calcular u obtener de la tabla correspondiente. Se procede as:

k2= } en donde K= ){*fe kj Cfc en kN/m2). Para diseo balanceado

se reemplaza:

k=~ 93 0.4241 n+r 93 + 120

y j=l-~=1- 0.4241 =0.8586 3 3

9.5

.. K= )'i*9500*0.4241*0.8586=1729.6

.. k2 1 0.0240 .J1729.6

Tambin de las tablas se obtiene k2 = 0.0240 y conocido el momento

31

-------~-----------------------------------

Estructuras de Concreto 1 -------------------

actuante= 80kNm se calcula d=k2 =0.0240* -- = 0.392 m J&o 0.30 El valor para "d" tambin se puede obtener a partir de la formula de diseo:

Por lo tanto:

Refuerzo: Concreto:

:. As = 0.016789*300*392 = 1974 mm2

2~1 Ys "+1~1y.;" (As =2109mm2) b = 0.30 m; h = 0.452 m

d=0.392m

Esta solucin implica diversas alturas segn los momentos actuantes y resulta impracticable con la variedad de momentos existentes en una viga y con mayor razn en el caso en que esta haga parte del sistema de vigas de una estructura.

b) Altura til "d" invariable e igual a 0.44 m.

En forma semejante al caso anterior: d=k2 /M b= k22 *M 0.02402 *80 = 0.238 m Vb d2 o.442 . . As = 0.016789*238*440 = 1758 mm2

Refuerzo: Concreto:

21 }8' "+ 11" (As = 1800 mm 2 ) b = 0.238 m; h = 0.50 m

Lo mismo que en el caso anterior, esta solucin con diferentes anchos segn los momentos actuantes resulta tambin impracticable.

Nota: En las anteriores soluciones tericas del problema se debe destacar la influencia de la altura en la determinacin de la cantidad de armadura as la , ,

32

---------------------Captulo 2 Flexin

solucin "b" es comparable a la original del problema 2.4 con una mejor utilizacin del concreto en contraposicin con una mayor dificultad en la construccin de la viga, omitiendo otras consideraciones.

Problema 2.6

Disear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50 m, simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de f: = 21 .1 MPa y acero para f 5 = 170 MPa, n = 9.3 y una carga uniforme total (incluyendo el peso propio) de w = 1 O kN/m. Complementar este diseo obteniendo el balanceado para la condicin de w constante.

Solucin a) Diseo para la seccin propuesta:

M actuante = 80 kNm

M resistente = M = Kbd2 K 80

= 1377.4 0.30*0.442

Para este valor de K se interpola el valor de p = 0.009127

Armadura: As = 0.009127*300*440 = 1205 mm2

Refuerzo: 1 ~ 7/8" + 3 ~ 3/4" (As= 1239 mm2) Concreto: b = 0.30 m; h = 0.50 m

Nota: Obsrvese la disminucin en el rea de refuerzo necesaria con respecto al problema 2.4 cuando se aumenta el esfuerzo admisible a la traccin en el acero al cambiar la calidad del material.

b) Diseo balanceado:

Con la suposicin de w constante y el mismo momento actuante, se obtienen d y h para b = 0.30 m:

33

Estructuras de Concreto 1 -------------------

As= 0.009555*300*431 = 1235 mm2

Refuerzo:

Concreto:

1 ~ 7/8" + 3 ~ 3/4" (As = 1239 mm2) que es igual al refuerzo en "a" donde se coloc con un mayor exceso. b = 0.30 m; h = 0.491 m

Ahora se mantiene la altura til "d" usada en "a" y se calcula b, con el mismo momento actuante M:

b= k22 *M_ 0.02642 *80 = 0_288 m d2 0.442

As : 0.009555*288*440 = 1211 mm2

Refuerzo: 1 ~ 7/8" + 3 ~ 3/4" (As = 1239 mm2) que tambin se coloca en exceso en procura de simetra.

Concreto: b = 0.30 m; h = 0.50 m

En el problema 2.5 la solucin balanceada implica diversas alturas o anchos segn los momentos actuantes y esta circunstancia restringe su utilizacin al plano puramente terico.

~ontinuando con el estudio sobre las secciones de concreto reforzado con armadura a la traccin segn el mtodo elstico, exponemos ahora el denominado Mtodo de la Seccin Transformada u Homognea, el cual complementa las expresiones deducidas al comienzo, est muy de acuerdo ~on la formacin acadmica preliminar sobre el tratamiento de las secciones homogneas y elsticas y tiene adems algunas aplicaciones de utilidad en

~l estudio de las secciones "T" y similares. 1:

34

---------------------Captulo 2 Flexin

METODO DE LA SECCION TRANSFORMADA U HOMOGENEA

A continuacin se deducirn las relaciones correspondientes al mtodo de la seccin transformada u homognea para la solucin de los problemas de vigas rectangulares con armadura a traccin.

Se parte de una seccin rectangular con armadura a traccin y se requiere obtener una seccin o rea de concreto terico que reemplace el refuerzo resistiendo sus esfuerzos, para lograr una seccin homognea o transformada a la cual se le pueda aplicar la frmula de la flexin:

f= Me, en donde: I

Figura 2.7

f = esfuerzo en la fibra considerada

e = distancia de la fibra considerada al eje neutro

I = momento de mercta de la homognea y estticamente respecto al eje neutro

seccin til con

Lo anterior es posible si en el diagrama de deformaciones se hace que la deformacin en el acero reemplazado sea igual a la del concreto terico que lo reemplaza.

35

Estructuras de Concreto 1 --------------------

s 5 (deformacin en el acero) =st (deformacin en el concreto terico)

~ ~ ) (segn la ley de Hooke Es Ee

de donde: f 5 = nft (1)

Tambin se debe lograr que la tensin en el acero reemplazado sea igual a la tensin en el concreto terico que lo reemplaza:

T5 (tensin en el acero) = Tt (tensin en el concreto terico)

de donde: (2)

Cumplidas las condiciones anteriores, es decir, que el esfuerzo de traccin en el concreto terico que reemplaza al acero sea igual a fsfn y que el rea de este concreto sea n veces el rea del acero reemplazado, se puede aplicar a la seccin homognea la frmula de la flexin, definindole con anterioridad la posicin del eje neutro y su momento de inercia, as:

Tomando momentos de las reas estticamente tiles con respecto a la posible situacin del eje neutro, resulta:

bx ~=nA s ( d- x) bx 2 -nAs ( d- x) =O, ecuacin de 2 2 segundo grado en x, que una vez resuelta permite obtener la profundidad del eje neutro; conocida sta, se puede calcular el momento de inercia respecto al eje neutro:

bx 3 I =-+1 +nA (d-x)2 x-x 3 A1 s

36

--------------------------

Captulo 2 Flexin

en donde k , momento de inercia de At respecto a su centroide, resulta de pequea magnitud y por ello no se va a tomar en cuenta.

Aplicando la frmula de la flexin:

f = Mx , de donde: e lx - x

Me= fe 1x-x , en la cual: X

fe = esfuerzo de compresin mximo admisible en la fibra ms comprimida.

M = momento resistente por concreto a la compresin = Me

De la misma forma:

M(d- x) , de donde: fs lx-x

M = fs 1x-x , en la cual: s n(d-x)

nM(d-x) --->------'- ; por tanto:

Ix-x

f = esfuerzo de traccin admisible en el acero S M = momento resistente por acero a la traccin = Ms

Finalmente, a partir del diagrama de esfuerzos en la seccin homognea:

X

37

d-x f5 =nfe *--

x

f 5 * X f =- --e n d-x

expresiones similares a las obtenidas anteriormente.

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Problema 2.7

Resolver el problema 2.1 utilizando el mtodo de la seccin transformada u homognea.

Concreto: f~ =21.1MPa Refuerzo: fs = 120 MPa

n = 9.3

Figura 2.9

Solucin Se obtendr inicialmente la seccin homognea a la cual se le aplicar la frmula de la flexin calculando los momentos resistentes por compresin, traccin y el admisible de la seccin como requisito para determinar la carga que debe soportar en condiciones de seguridad y, finalmente, a partir del . diagrama de esfuerzos se calcularn los esfuerzos en los materiales.

1) Obtencin de la seccin homognea:

At =nAs = 9.3*4*387 =37.2 (barras de 7 / 8")*387 = 14396 mm2

Figura 2.10

x Tomando momentos de las reas estticamente tiles con respecto a la posible situacin del eje

d-x neutro, resulta:

300x *~-14396*( 440-x )=0 2

x2

+95.97x-42228.26=0

38

x= 163 mm d-x =277 mm

---------------------Captulo 2 Flexin

Momento de inercia (por facilidad en el manejo de las cifras, se calcula 4 inicialmente en cm ):

I = 30*16.33 +37.2 n*2.224 +143.96*27.72 x-x 3 64

4 4 I =43307+44+110459=153810cm -0.001538m x-x

Cabe destacar el orden de magnitud del momento de inercia del rea transformada con respecto a su propio centro de gravedad, que, como se anot, hace posible no tomarlo en cuenta.

2) Momentos resistentes por compresin y traccin y admisible de la seccin:

Momento resistente admisible por concreto a la compresin:

M =fe *Ix-x = 9500*0.001538 = 89.64 kNm e X 0.163

Momento resistente por acero a la traccin:

f = nM(d-x) : . Ms fs *Ix-x s Ix-x n(d-x)

120000*0.001538 = 71.64 kNm 9.3*0.277

Momento resistente admisible de la seccin: 71.64 kNm

3) Carga a soportar en condiciones de seguridad

M actuante =M resistente

n2 *82 ~=~=71.64kNm w = 8.96kN/m 8 8

w exterior actuante = w total - peso propio de la viga

39

Estructuras de Concreto 1 -------------------

w exterior actuante= 8.96- 0.30*0.50*1.0*24 = 5.36 kN/m

La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 5.36 kN/m.

4) Esfuerzos de trabajo de los materiales

f8 : Para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo trabajando a su esfuerzo admisible a la traccin, el valor de f8 ser de 120 MPa.

fe: A partir del diagrama de esfuerzos:

A f = 0.163* 1290 = 7.59 MPa x=O. l63 e 0.277

~

fe= 7.59 MPa puesto que fe < fe mximo admisible se confirma el diseo sub-reforzado.

ft=f s/n = 12.90 MPa

Figura 2.11

La secuencia de resultados parciales y el resultado ftnal permiten concluir que son igualmente utilizables e intercambiables en forma total o parcial los dos mtodos propuestos en los problemas 2.1 y 2. 7 para la revisin de una seccin diseada a la flexin.

Una aplicacin especialmente til del mtodo de la seccin transformada u homognea es la revisin de diseos a la flexin de vigas con seccin en forma de "T" o similares. A continuacin se incluyen algunos ejemplos de esta a licacin.

Problema 2.8

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de una viga "T" simplemente apoyada sometida a carga uniforme, determinando el momento resistente, la carga w en kN/m que puede soportar

40

---------------------Captulo 2 Flexin

en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que estarn trabajando los materiales, de acuerdo a la seccin y datos adjuntos.

Figura 2.12

Solucin

.50 Concreto: f~ = 21.1 MPa Refuerzo: f 8 = 120 MPa

n=9.3

Primero se debe revisar que la seccin cumpla los requisitos geomtricos del Reglamento NSR -1 O para su consideracin como v~ga "T" y luego se obtienen la seccin homognea, los momentos resistentes, la carga a soportar y los esfuerzos en los materiales.

1) Revisin de la seccin "T" segn el Reglamento NSR-10 "En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un rea adicional de compresin, el ala debe tener un espesor no menor de 112 del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma." (vase artculo C.8.12.4).

En este caso: b (ancho efectivo de ala)::; 4b' t (espesor de ala) b'/2

2) Obtencin de la seccin homognea:

b < 4x300 = 1200 mm t=30072= 150mm

At =nAs= 9.3*(4*510 + 3*387) = 29769 mm2

d = 421.9 mm (vase problema 2.2).

41

Estructuras de Concreto 1 -----------------------

Obtencin de x:

150 x-150 ( )

( )2

700*150 x-2 +300 2

=29769*(421.9-x)

X2 +598.46x-113730=0 x = 151.2 mm; d- x = 270.7 mm

Momento de inercia en cm4, por la misma razn del problema anterior:

I = 70*15.123 x-x

3

40*0.123

3 + 297.69*27.072 = 298798 cm4

Ix-x = 298798 cm4 - 0.002988 m4

3) Momentos resistentes:

Momento resistente admisible por concreto a compresin:

f =Mx e I

M =fe I x-x = 9500*0.002988 187.7 kNm e X 0.1512 x-x

Momento resistente admisible por acero a traccin:

f = nM(d-x) S I

x-x

M = fs I x-x 120000*0.002988 s n(d-x) 9.3*0.2707

Ms = 142.4kNm

Momento resistente admisible de la seccin: 142.4 kNm. (Diseo sub_ reforzado).

4) Carga a soportar en condiciones de seguridad:

Mactuante = Mresistente

42

_____________________ Captulo 2 Flexin

wf. 2 w*82 - =- - = 142.4 kNm :. w = 17.80 kN/m

8 8

w exterior actuante = w total - peso propio de la viga w exterior actuante= 17.80-0.21 *1.00*24 = 12.76 kN/m

La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 12.76 kN/m.

5) Esfuerzos de trabajo de los materiales:

fs: Para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo trabajando a su esfuerzo admisible a la traccin, el valor de (~ ser de 120 MPa.

fe: A partir del diagrama de esfuerzos:

fe ~ -1'

d -x=270.7

! --,!< ft=fs/n = 12.90 MPa

Figura 2.13

f =151.2 * 1290 = 7.20 MPa e 270.7

fe= 7.20 MPa

puesto que fe < fe mximo admisible se confirma el diseo sub-reforzado.

Nota: A manera de conclusin, se destaca el aumento considerable de la compresin proporcionado por la aleta de la viga "T" que convierte al diseo sobre-reforzado del problema 2.2 en un diseo sub-reforzado y que adems hace efectiva, en cuanto a momento resistente de la seccin la adicin de armadura con respecto al problema 2.1 '

43

Estructuras de Concreto 1 -------------------

Problema 2.9

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 12 metros de una viga doble "T" simplemente apoyada sometida a carga uniforme, determinando el momento resistente, la carga w en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que estarn trabajando los materiales, de acuerdo a la seccin y datos adjuntos:

Concreto: f~ = Refuerzo : fs =

n =

21.1 MPa 120 MPa 9.3

l 0 .15 ,.----....J ~

X->---- , -- - - - - _j:.,f-- -- - X 0 .94 b.7 5 1.00

d-x

~"""" "'""""""" ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~- 0 .10 1 o ::17 r o ::17

Estructuras de Concreto 1 ---------------------------------------

M = ( I,_, = 9500 * 0.04433 7 1786.3 kNm e X 0.2358

Momento resistente admisible por acero a traccin:

~ =-nM--'('--d-_x--'-) .. ~ fs I,._x 12()()()()*0.044337 812.4 kNm Ix-x n(d-x) 9.3*0.7042

Momento resistente admisible de la seccin: 812.4 kNm (Diseo sub-reforzado).

4) Carga a soportar en condiciones de seguridad:

Maetuante = Mresistente

w/.2 w * 122 ----=----- = 812.4 kNm w = 45.13 kN/m

8 8

w exterior actuante = w total - peso propio de la viga w exterior actuante = 45.13- 0.875*1.00*24 = 24.13 kN/m

La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 24.13 kN/m.

5) Esfuerzos de trabajo de los materiales:

fs: Para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo trabajando a su esfuerzo admisible a la traccin, el valor de fs ser de 120 MPa.

fe: A partir del diagrama de esfuerzos:

46

-

-------------------------------------- Captulo 2 Flexin

fe TI V- x=235.8

1 d-xs704.2 L_j

ft=fs/n = 12.90 MPa

Figura 2.15

f=235 .8* 1290 =4.32 MPa e 704.2

fe = 4.32 MPa puesto que fe < fe mximo admisible se confirma el diseo sub-reforzado.

Se finaliza esta breve incursin sobre el mtodo elstico en su tratamiento1 de la flexin, con las denominadas vigas con armadura a compresin cuya razn de ser radica en la imposibilidad que existe en algunas ocasiones de aumentar las dimensiones de secciones sometidas a momentos flectores mayores que los resistidos por condiciones de trabajo mximo admisible. Este caso se soluciona con una armadura adicional a traccin y una armadura en la zona de compresiones que le da su nombre al sistema.

47

Estructuras de Concreto ! ___________________ _

VIGAS RECTANGULARES CON ARMADURA A TRACCION Y A COMPRESION

A continuacin se deducirn las principales expresiones utilizables para el diseo de vigas rectangulares con armadura a traccin y a compresin, segn el mtodo elstico.

A partir del funcionamiento de la seccin con sus diagramas de esfuerzos y deformaciones segn la figura:

Figura 2.16

A la nomenclatura conocida se adiciona:

d' distancia de la fibra ms comprimida al centro de gravedad de las reas de refuerzo a la compresin;

f s = esfuerzo de compresin en el acero; Ce resultante de compresiones en el concreto; Cs resultante de compresiones en el acero; A5 , = armadura adicional de traccin para el momento flector por encima

del correspondiente a la viga con slo armadura a traccin; A' s = armadura a compresin.

La viga con armadura simple o slo a traccin resiste un momento M=Kbd2 y est provista de una cantidad de refuerzo As1= pbd.

48

---------------------- Captulo 2 Flexin

La diferencia entre el momento actuante y el que toma como simplemente armada es ~=M-M y debe ser resuelta con armadura adicional a traccin y armadura a compresin, as:

Armadura adicional a traccin: As2 = fs (~d') , por lo que:

Armadura total a traccin: As1 +A 52 =pbd+ (~M ')-f d-d S Por otra parte:

~M Armadura a compresin: A's= (. ) , en donde el valor de f 8' puede f' d-d' S calcularse a partir del diagrama de deformaciones basado en las hiptesis de que la seccin es plana antes y despus de deformada y que las deformaciones de las fibras son proporcionales a sus distancias al eje neutro y a los esfuerzos que las producen:

_h_ f; fs Ec - E:- Es de donde: kd kd-d' d-kd'

f'= nf kd-d' s e kd

o f'=f kd-d' S S d-kd las cuales son expresiones de f~ elsticamente obtenidas.

Sin embargo, teniendo en cuenta que la condicin de elasticidad del concreto disminuye a medida que se aumentan los esfuerzos y sus deformaciones, que las deformaciones en el acero a compresin y el concreto que lo rodea deben ser simultneamente iguales y que la fluencia lenta en el concreto a compresin en contacto con las barras significa deformaciones adicionales en el acero aumentando su esfuerzo de compresin, se especifica para el diseo que el esfuerzo de compresin en el

49

--

Estructuras de Concreto '------------------

acero se tome como dos veces el calculado elsticamente, pero no mayor que el valor admisible en traccin.

Por tanto, se tomar:

2f' = 2 f kd- d' < f S n e kd - S

y la armadura a compresin ser: A'= L1M S 2f:(d-d')

expresiones estas que se aplicarn a continuacin.

Problema 2.10

Disear la armadura necesaria a flexin en una viga de 0.30 x 0.50m simplemente apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de

f~ = 21.1 MPa y acero para fs=120 MPa, n=9.3 y una carga exterior de 10.72 leN/m. (Ntese que la carga sobre la viga es ahora el doble de la que soportaba en condiciones de seguridad en el problema 2.1 ).

Solucin Se debe obtener el momento actuante segn la carga propuesta y hacer el diseo correspondiente segn las relaciones deducidas.

1) Obtencin de M actuante y comparacin con M1:

Cargas: peso propio viga: 0.30*0.50* 1.00*24 = 3.60kN/m 10.72 kN/m carga sobre la viga =

wf2 14.32*82 M actuante = -- = 8 8

M1 = Kbal bd2 = 1729.6*0.30*0.422

50

w = 14.32 kN/m

= 114.56 kNm

= 91.53 kNm

-------------------- Captulo 2 Flexin -

L1M =Momento adicional sobre M 1 = 23.03 kNm

2) Armaduras: ~M

Armadura a traccin: As= Asl + As2 = P ba1 bd + fs (d _ d')

23.03 As = 0.016789*0.30*0.42 + 120000*(0.42 -0.05)

As= 0.002115 + 0.000519 = 0.002634 m2 (2634 mm2)

Se colocan 4 1" en la fila inferior y 2 7 /8" en la segunda fila.

Armadura a compresin: A: = 2f; ~ d') , si 2 f~ ~ fs kd-d' Se calcula f =nf --,en donde k= 0.4241,

s e kd kd = 178.1 mm y d' = 50 mm

f' = 9.3 *9.5 * 178.1-50 = 63.61 MPa . . 2 f~ = 121.2 MPa > fs s 178.1 admisible

Por tanto: A'= 2303 = 0.000519m2(519 mrn2) S 120000*(0.42-0.05)

Se coloca 3 5/8"

3) Localizacin de la armadura transversal y longitudinalmente: En la seccin transversal resulta:

l 0 .30 t 305/8" 1 '"'""\~ 1 ~" 401 " ~

Figura 2.17

chequeo de d':40 + 15.9/2 = 47.95 - 50 mm chequeo de d:

= 4*510*60+2*387*110 = 73 .8 _80mm z 4*510+2*387 . . d = h - z = 500 - 80 = 420 mm

51

Estructuras de Concreto '--------------------

En la seccin longitudinal resulta:

Figura 2.18

_x_

2

- = (7-iY, reemplazando: M1 M

x2 =

42 *

23

3 =3.25 x = 1.80 m

114.56

Aplicacin de la seccin transformada para vigas con armadura a compresin

A partir de las relaciones correspondientes a la seccin transformada y la especificacin que permite el uso de dos veces el rea de la armadura a compresin al computar el rea de la seccin transformada u homognea, se obtienen las expresiones necesarias para la revisin de una seccin rectangular doblemente armada o con armadura a compresin.

Se parte de una seccin rectangular con armadura a traccin y a compresin y se requiere reemplazar el refuerzo por un concreto terico que resista lo que el refuerzo para lograr una seccin transformada u homognea a la cual se le pueda aplicar la frmula de la flexin.

Figura 2.19

52

--------------------- Captulo 2 Flexin

Obtencin de la seccin transformada:

De la seccin correspondiente: At = nAs

Para computar el rea terica de concreto a compresin, se toma dos ve~~s 1 , de la armadura a compresin siempre que el esfuerzo de compres10n ~s:l~nte en el acero no sea mayor que el a~isible a tracci~n: Con esto se retende no slo obtener una seccin homogenea, smo ta~ 1e~: recuperar ~us caractersticas de elasticidad necesarias para la aphcac10n de este

mtodo.

A , = 2nA' -A'= (2n - l)A' l S S S

Para obtener x se toman momentos de las reas estticamente tiles con respecto a la posible situacin del eje neutro:

b;2

+ ( 2n -1) A: ( x _ d') =nAs ( d- x) , ecuacin que resolvemos para x.

A partir de x se calcula el momento de inercia:

I = bx3 +lA' (a su C.G.)+A; ( x -d')2 + IAt (a su C.G.)+Al ( d-x)2 x-x 3 t

en donde se puede no tener en cuenta los momentos de inercia de las reas transformadas con respecto a sus propios centros de gravedad.

Definida la seccin homognea, se aplica la frmula de la flexin:

Mx fe= esfuerzo de compresin en el concreto= -1-

x-x

ft = esfuerzo de traccin en el concreto terico

f =_M~( d_-_x-'-) l IX-X

f = _nM_('--d _-x-"-) S IX-X

53

Estructuras de Concreto '-------------------

f = esfuerzo de compresin en el concreto terico

f' =M( X -d') :. f' = 2nM( X -d') 1 1 S 1

x-x x-x

Siendo M en las expresiones anteriores el Momento actuante = Momento resistente

De igual manera:

Me = M resistente por compresin

Ms = M resistente por traccin

_ fclx-x X

_ fs lx-x -n(d-x)

y

Finalmente, a partir del diagrama de esfuerzos de la seccin homognea, se puede concluir:

Figura 2.20

Problema 2.11

f = fs _x_ e n d-x

x-d' f'=2nf -- < f S C - S

X

x-d' f '=2f --< f S S - S d-x

Expresiones estas coincidentes con todas las anteriormente expuestas.

Revisar el diseo a flexin para momento mximo en el centro de la luz de 8 metros de la viga simplemente apoyada sometida a la carga uniforme utilizada en el problema 2.1 O.

54

-------------------- Captulo 2 Flexin

Solucin . . , . La seccin resultado del diseo a flex10n del problema 2.1 O y los matenales respectivos son los siguientes:

J 0.30 l 1 1

2

Figura 2.21

0.37 0.42 0.50

Concreto: f~ = 21.1 MPa Refuerzo: f 8 = 120 MPa

n= 9.3

En primer trmino se debe obtener la seccin homognea a 1~ cual se le aplicar la frmula de la flexi~ ~alculando los ~omentos res1s~e~tes por compresin, traccin y el admisible de la secc1~n. como reqmslt? para determinar la carga que puede soportar en condiciones de segundad Y finalmente a partir del diagrama de esfuerzos se calcularn los esfuerzos en los materiales.

1) Obtencin de la seccin homognea:

At =nAs= 9.3*(4*510 + 2*387) = 26170 mm2

A~ = (2n - 1)A~ = 17.6*3*199 = 10268 mm2 / d ' -x-d'

d-x

At

Figura 2.22

55

Estructuras de Concreto ! __________________ _

Obtencin de x: x2

3002 + 10268*(x-50) = 26170*(420-x)

X2

+ 242.9x -76699=0

Momento de inercia en cm4 :

x= 181 mm d-x=239 mm x - d'=131mm

30*18.13 n*I 994 *2 4 Jx-x = +17.6*3* +102.68*13.12 +9.3*4*1t 54 3 64 64

n*2 224 +9 .3*2 * . + 261 70*23 92 64 . .

Ix-x = 59297+40.62 + 17621 + 75.96 + 22.17 + 149486 Ix -x = 226543 cm4

2) Momentos resistentes:

Momento resistente admisible por compresin:

M =fe Ix-x 9500 * 0.002265 e = O = 118.88 kNm

X .181

Momento resistente por acero a la traccin: M = fs Ix-x = 120000 * 0.002265 _

s n(d-x) 9.3*0.239 -122.28 kNm

Momento resistente admisible de la seccin: 122.28 kNm.

La diferencia entre los dos momentos resistentes se debe a la aproximacin en la adopcin del refuerzo en el problema 2.1 o.

3) Carga a soportar en condiciones de seguridad:

56

--------------------- Captulo 2 Flexin

Mactuante = Mresistente

n2 *82 ::!!::_='!!.___ = 118.88 kNm w = 14.86 kN/m

8 8

w exterior actuante = w total - peso propio de la viga w exterior actuante = 14.86 - 0.30*0.50* 1.00*24 = 11.26 kN/m

La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 11.26 kN/m, la cual es un poco mayor a la carga de diseo del problema 2.1 O porque en la colocacin del refuerzo de dicho problema se procedi por exceso.

Conclusiones

La breve muestra del tratamiento de la flexin por el mtodo elstico permite sacar algunas conclusiones:

1) El mtodo elstico, como su nombre lo indica, se basa en consideraciones de elasticidad, que slo son completamente vlidas para el acero; en el concreto el diagrama deformaciones-esfuerzos no es una recta y la proporcionalidad de las deformaciones con respecto a los esfuerzos que las producen slo es aceptable para pequeas deformaciones y esfuerzos, pero a medida que stos crecen la proporcionalidad va dejando de ser correcta.

2) El mdulo de elasticidad del concreto Ec slo es vlido para un esfuerzo y una deformacin admisibles; si el esfuerzo vara, tambin cambiar Ec y por tanto el valor de n = Es /Ee, que se ha considerado constante en todos los casos.

3) En el mtodo elstico el factor de seguridad de un diseo no se determina exactamente en funcin de consideraciones tales como importancia o probabilidad de presentacin de las cargas, de la

57

Estructuras de Concreto ! __________________ _

indeterminacin de un diseo o del funcionamiento de la estructura as diseada, del control de calidad de los materiales y de la construccin. Slo se supone admisible y as se puede verificar, por medio del mtodo de la resistencia ltima que se estudiar a continuacin.

Las consideraciones anteriores, entre otras, son las que han relegado el mtodo elstico a una simple alternativa de diseo en el Apndice C-G del Reglamento NSR-10. Sin embargo, de la anterior exposicin terica del mtodo y su elemental aplicacin presentada para algunos casos de normal ocurrencia se ratifica el concepto expresado sobre la necesidad que tienen los estudiantes del rea de su conocimiento como parte esencial en su formacin acadmica y con mayor razn si en alguna parte de su ejercicio profesional lo pudieran encontrar.

ME TODO DE LA RESISTENCIA ULTIMA

Por el mtodo elstico o de los esfuerzos de trabajo, el diseador obtiene los esfuerzos y deformaciones que se presentan en una estructura sometida a las cargas para las cuales se disea, suponiendo parmetros elsticos de los materiales.

Por el mtodo de la resistencia ltima, tambin llamado solamente mtodo de la resistencia, el diseador podr estudiar el comportamiento de la estructura en el instante de falla; por tanto, si este instante se hace lo suficientemente mayor que el de su trabajo para las cargas que soporta normalmente, se podr tener un diseo con factores de seguridad apropiados.

Este trabajo de la estructura en su ltima resistencia no es posible conocerlo a partir del mtodo elstico, en vista de que el comportamiento de los materiales inelsticos en el instante de falla es diferente al supuesto dentro del perodo elstico de su funcionamiento, es decir, para su trabajo con cargas, esfuerzos y deformaciones admisibles.

Como una introduccin al estudio del comportamiento de la estructura en el

58

--------------------- Captulo 2 Flexin

instante de falla, se anota que los elementos de concreto reforzado sujetos y diseados a flexin por cualquier mtodo apropiado, deben fallar cuando el acero a traccin alcanza su lmite elstico. En otras palabras, si gradualmente se aumenta la carga hasta que fs = [y, el elemento resistir carga adicional en la medida en que se aumenta el brazo del par interior resistente y hasta que la falla defmitiva se presente por aplastamiento del concreto a compresin, aunque inicialmente la falla se debi a la fluencia del acero.

Antes de acometer el estudio de las relaciones que rigen el Mtodo de la Resistencia ltima nos referiremos a los Estados Lmites en el diseo de concreto reforzado para establecer su relacin con esta metodologa.

Estados Lmites:

Se denomina estado lmite de una estructura o elemento estructural cuando llega al lmite de su uso programado. Para las estructuras de concreto podemos considerar los siguientes estados lmites:

l. Estado lmite de falla: Corresponde al colapso parcial o total de una estructura con caractersticas como la prdida de equilibrio total o parcial, la rotura del elemento o de los elementos principales o bsicos que conduzcan al colapso, la falla progresiva por diferentes motivos, la formacin de mecanismos plsticos y la fatiga del material.

2. Estado lmite de servicio: Corresponde a la interrupcin del uso de la estructura, sin que conlleve al colapso, por factores como deflexiones excesivas, fisuras o grietas importantes o vibraciones excesivas.

3. Estados lmites especiales: Corresponden a daos o fallas debidos a condiciones especiales como movimientos ssmicos anormales, intervencin del fuego, explosiones, colisiones de diverso tipo, corrosin, deterioro por factores no contemplados en el diseo.

Para el diseo por estados lmites se procede teniendo en cuenta los posibles modos de falla, determinando los factores de seguridad apropiados para

59

Estructuras de Concreto ! ___________________ _

cada estado lmite y diseando de acuerdo al estado limite escogido. En consecuencia, se puede identificar el diseo por el denominado Mtodo Elstico o de los Esfuerzos Admisibles, as como el Mtodo de la Resistencia dentro de algunos de los estados lmites mencionados.

A continuacin estableceremos las relaciones existentes en la seccin en el instante de la falla para vigas rectangulares con armadura a la traccin.

42r----------~ -u ..... 35 ::

O J - ll. ~ :E 28 o. o e -v 21 8 t; .., ::

"C 8 14 2-v ~ :: 7 .2 .., C/J r.l 0.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin unitaria

. .....

. J - ll. tl :E ~e .., ..,

"C ~ 0-~ .., .., :: .2 ..,

C/J r.l

Figura 2.23

1050

875

700

525

350 !-175 /! o

o

Vigas rectangulares con armadura a traccin

fy=420

fy=350 fy=240

5 10 15 20 Deformacin %

Se trata, entonces, de obtener una expresin de momento resistente ltimo para vigas rectangulares sometidas a flexin con armadura a traccin, segn la teora de la resistencia ltima y una expresin de cuanta mxima de refuerzo en el diseo balanceado y su posible limitacin para diseos apropiados.

d-kud

E y

Figura 2.24

60

--------------------- Captulo 2 Flexin

t Obtencin se utiliza un procedimiento abreviado con propsitos En es a . . 1 1 1 didcticos, partiendo de la seccin longttudmal y _de a transvers~ ~ ana despus de la deformacin por flextn, con la stgutente antes Y

nomenclatura:

b, d: ku:

dimensiones tiles de la seccin; factor menor que la unidad, que multiplicado por "d" da la profundidad del eje neutro; . , factor que hace promedios los esfuerzos de compres10n en el concreto; factor menor que la unidad que multiplicado por kud da la profundidad del punto de aplicacin de la resultante de compresiones.

Se puede decir que en el instante de la falla, la compresin Cu es igual a la traccin Tu, las cuales se evalan:

Cu= 0 . 85f~*kl *kud *b '

T =A f =pbdfy U S y o 85f' *k *k =pf

e 1 u y

Por tanto:

pfy ku = , *k 0.85fc 1

en donde la expresin 0.85f~ corresponde al mximo valor de la compresin como resultado de la flexin y su magnitud obedece a obtencin experimental.

Igualando Cu = Tu resulta:

expres10n que hace posible conocer la profundidad del eje neutro en funcin de p y la calidad de los materiales.

Tambin en el instante de la falla, se pueden expresar los momentos resistentes ltimos como:

Mn = Cu (d-k2 *kud) =Tu (d-k2 *kud)

61

Estructuras de Concreto ! __________________ _

Aceptando que los elementos de concreto reforzado diseados a flexin deben fallar cuando el acero de traccin alcanza su lmite elstico, se toma el momento correspondiente a la traccin como el inicial y resistente ltimo de la seccin:

( pfy J Mn = pbd * fY d - k2 d , que se reagrupa: o.85r: *k1

k en donde m = 2 constituye una propiedad intrnseca del concreto en

0.85k sus diferentes calidades y cuya evaluacin experimental a travs de numerosos ensayos dio como resultado:

m= 0.59, que se reemplaza en la frmula de Mn, obteniendo:

Seccin Balanceada:

expresin sta conocida como la frmula general de la resistencia ltima.

Ahora bien, en la deduccin anterior se parte de la falla inicial por el acero de refuerzo, lo cual implica secciones sub-reforzadas; para poder garantizar esta situacin se debe obtener antes la cuanta necesaria para una falla simultnea de acero y concreto, es decir, la cuanta balanceada y a partir de ella garantizar el sub-refuerzo apropiado. De acuerdo con el diagrama de deformaciones de la figura 2.25, y suponiendo que el acero falle por traccin simultneamente con el concreto a compresin, se puede al mismo tiempo tener Euc y E y :

62

--------------------- Captulo 2 Flexin

~ :;y kud d-kud

Figura 2.25

Euc=0.003 en donde Euc variable entre 0.003 y 0.004 se toma como 0.003 y EY = fyfEs ZJ~ Por otra parte, de arriba, con Cu =Tu se toma:

f' f' Euc p=0.85_:*klku=0.85_:*kl*---fy [y Euc +Ey

La anterior constituye una expresin de cuanta en funcin de las deformaciones, en donde k1 se toma como un promedio de 0.85 para resistencias a la compresin del concreto fe hasta de 28 MPa, cargas bajas Y gradualmente aplicadas. Si en esta expresin, co~o se dijo a~te~, se hace simultneamente Euc =0.003 y Ey =fy/Es, se constgue la p maxtma en la condicin balanceada.

A manera de ejemplo, se calcula a continuacin p balanceada para las condiciones de materiales f e = 21.1 MPa y fy = 240 MPa:

=085 21.1*0.85* 0003 =0.045371 P balanceado 240 240

0003

+ 200000

De igual forma se calcula para las condiciones de materiales fe = 21.1 MPa y [, = 420 MPa. En este caso debe tenerse en cuenta que el Reglamento en c.{o.3.3 permite fijar el lmite de deformaciones unitaria controlada por compresin en 0.002.

63

Estructuras de Concreto '--------------------

=0.85 21.1*0.85* 0003 =0.021778 P balanceado 420 0.003 + 0.002

Secciones controladas por compresin:

Segn el Reglamento colombiano "las secciones se denominan controladas por la compresin si la deformacin unitaria neta de traccin en el acero externo en traccin, Et , es igual o menor que el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin supuesto de 0.003 . El lmite de deformacin controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin del refuerzo en condiciones de deformacin unitaria balaceada. Para refuerzo Grado 420 y para todos los refuerzos pre-esforzados, se permite fijar el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin en 0.002".

Secciones controladas por la traccin y regin de transicin:

Segn el Reglamento colombiano "las secciones son controladas por traccin si la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero extremo en traccin, Et , es igual o mayor a 0.005, justo cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin unitaria asumido de 0.003. Las secciones conEt entre el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin y 0.005 constituyen una regin de transicin entre secciones controladas por compresin y secciones controladas por traccin".

Para deformaciones unitarias netas de traccin en el acero de refuerzo extremo en traccin iguales o mayores a 0.005, la seccin se define controlada por traccin. Igualmente, cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero externo en traccin es pequea, la seccin puede presentar control por compresin.

64

------------------ ---- Captulo 2 Flexin

. , Equivalente del Esfuerzo de Compresin. Mtodo de DistnbuciOn Wbitney

b del esfuerzo de compresin en el instante de la falla puede La distri ucion 1 . d. -O un rectngulo un trapecio una parbola o cua qmer tseno suponerse com ' ' 1

pla con los resultados requeridos. El Reglamento ACI Y e que 1 cumnto colombiano adoptaron una distribucin rectangular equivalente Reg ame 1 d de los esfuerzos de compresin inicialmente propuesta por e mvestiga or Charles S. Whitney.

S tr ta de obtener una expresin de momento resistente ltimo para vigas e a d t guiares sometidas a flexin con armadura a tracc10n, supomen o una rec an , d'

d' tribucin rectangular de los esfuerzos de compres10n como tagrama e~~ivalente con un esfuerzo unitario de 0.85f~, comp~~mentando con las expresiones usadas actualmente en el diseo y su tabulac10n.

A partir de las secciones longitudinal y transversal adjunt~s en las cuales se reemplaza el bloque real de compresiones por uno eqmvalente de forma rectangular, siendo todos los esfuerzos de compresin iguales a 0. 85f~ resulta:

kud

d-kud

Figura 2.26

Para la compresin Cu = Tu en el instante de falla:

65

Estructuras de Concreto ! __________________ _

pfy 0.85 f~ab = Asfy = pbdfy a= d expresin que permite 0.85f~ ' conocer la profundidad del bloque rectangular de compresiones en funcin de p y los materiales.

Tambin en el instante de la falla, el momento resistente ltimo que, como antes se dijo, est determinado por el acero de traccin al llegar a su lmite elstico, se expresa como:

Mn =Tu(d-a /