JESÚS VERA

2005-2

• Una superficie de revolución es aquella que se engendra haciendo girar una curva y = f(x), ala cual llamaremos curva generatriz. alrededor de cualquier eje, llamado eje de revolución.

EJEMPLO:

• Descripción:   Superficie obtenida por revolución de una rosa de tres pétalos.

•      = a Cos[n]

•   Gráfica para n=3, a=1.Alrededor del eje “x”

Y tiene como curva generatriz: = a Cos[n]

• Se define como el limite de la suma de las áreas laterales.

Las áreas laterales estan determinadas por:

• Area lateral = 2¶NM(CE)

• CE = [1+f’(x)2]1/2x

• NM = (Y1- E1)

• Sustituyendo: • A l = 2¶ (Y1- E1) [1+f’(x)2]1/2x

Si aplicamos la definición y obtenemos el limite de la suma de las áreas laterales obtenemos :

2¶ (Yi) [1+f’(xi)2]1/2xi

• lo que es igual a :

• 2¶ (Y) [1+f’(x)2]1/2dx

El volumen de un solido de revolución esta determinado por:

• Sea la función “f” continua en el intervalo cerrado [a,b], y supongamos que f(x) >= 0 para toda x en [a,b]. Si S es el solido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la region limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b, si V es el volumen de S en unidades cúbicas, entonces:

• V= lim [f(xi)]2 xi

0

V = [f(x)]2 dx

• Cuando una superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano, y este eje no corta a la superficie, se forma un solido de revolución hueco.

El volumen de un solido de revolucion hueco esta determinado por:

• Sean las funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(x)>=g(x)>=0 para toda x en [a,b]. Entonces si V unidades cubicas es el volumen del solido de revolicion generado al girar, alrededor del eje x, la region limitada por las curvas y=f(x) y y=g(x) y las rectas x=a y x=b,

• V = lim ([f(xi)]2 – [g(xi)]2)xi

0

V = [f(x)]2 - [g(xi)]2 dx