jenkins - optica

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FRANCIS A. JENKINS Y HARVEY E. WHITE PROFESORES D E FISICA EN LA UNIVERSIDAD D E CALIFORNIA FUNDAMENTOS D E O P T I C A Traducción del inglés por CAYETANO ENRIQUEZ D E SALAMANCA Y ALBINO ¡TOSTA ALMARZA Licenciados en Ciencias Físicai AG UI LAR - M A D R I D

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FRANCIS

A. Y

JENKINS

HARVEY

E.

WHITED E CALIFORNIA

P R O F E S O R E S D E FISICA E N L A U N I V E R S I D A D

FUNDAMENTOSDE

OPTICATraduccin del ingls por C A Y E T A N O ENRIQUEZ DE S A L A M A N C A Y ALBINO TOSTA A L M A R Z ALicenciados en Ciencias Fsicai

AGUILAR

-

MADRID

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La presente obra, incorporada a este fondo editorial con el asesoramiento de D. Luis BRAVO GALA, es la traduccin espaola deFUNDAMENTAIS OF OPTICS 3rd. EDITION

publicada originalmente en lengua inglesa por la Casa McGraw-Hill Book Company, Inc., de Nueva York, Toronto y Londres.

N M . RGTRO.: ; 4601-62. DEPSITO LEGAL. B I . 2.556.1963.

O AGUILAR, S. A . DE 'EDICIONES, 1964. Reservados todos los derechos. Printod ia Spain. Impreso en Espaa por Elxpuru Hermanos, Alameda de Mazarredo, 16, Bbao.

PROLOGO

PROLOGO A LA EDICION ESPAOLA Los objetivos principales que nos han movido a preparar esta nueva edicin pueden sintetizarse en dos palabras: simplificacin y modernizacin. Tanto la experiencia personal de los autores como la de los numerosos profesores que han utilizado el libro como texto durante las dos ltimas dcadas, han puesto de manifiesto que muchos pasajes matemticos resultaban excesivamente laboriosos. Como ejemplo de los esfuerzos realizados para subsanar este defecto, digamos que se ha redactado de nuevo\ en lenguaje ms sencillo el capitulo sobre reflexin, y se ha colocado delante de otros aspectos ms complejos relacionados con la luz polarizada. Adems, al expresar la frecuencia y longitud de onda en unidades circulares, y al introducir en algunos lugares la notacin \compleja, ha sido posible abreviar las deducciones de la teora ondulatoria, lo que ha permitido la inclusin de nuevas materias cuya exposicin consideramos imprescindible. Las diversas ramas de la fsica modifican su contenido al comps de las variaciones experimentadas por el conjunto de esta disciplina. As, en ptica las nociones de paquete de ondas, anchura de raya y longitud de coherencia han adquirido mayor importancia debido a su inters en mecnica cuntica. Por idntica razn, los estudiantes toman antes contacto con las magnitudes complejas, lo que nos ha animado a incluir algunos ejemplos de la eficacia de su uso. Debido a su empleo creciente, hemos completado la ptica geomtrica con la ptica concntrica, as como con los mtodos grficos de trazado de rayos. Debido a la falta de ^espacio no ha sido posible tratar las elegantes relaciones existentes entre ptica geomtrica y mecnica de partculas; tal como sucede en el microscopio electrnico y las lentes cuadripolares; el profesor debe suplir esta y otras deficiencias. Lo mismo cabe decir en cuanto al estudio excesivamente conciso de ciertos temas donde viejos principios han vuelto a adquirir importancia; p. ej., radiacin de Cerenkov, red en escala y pelculas multilaminares. Una dificultad comn a todos los autores de obras de este nivel consiste en evitar que el estudiante adquiera la impresin de que queda agotado el tema tratado. Si el lector se toma la molestia de consultar la bibliografa, se convencer fcilmente de lo contrario. Para estimular estas lecturas hemos incluido en el texto numerosas referencias a trabajos originales, as como a libros. Se ha insertado adems una serie de problemas totalmente nuevos, algo ms difciles que los que figuraban en ediciones anteriores.:

XI

XII

PROLOGO A LA EDICION ESPAOLA

No es posible mencionar aqu a: todos los que han contribuido con sus amables sugerencias a estas mejoras. Nos han indicado errores y omisiones L. W. Alvarez, W'. A. Bowers, J. E. Mack, W. C. Price, R. S. Shankland y J. M. Stone, a la vez que H. S. Coleman, J. W. Ellis, F. S. Harris (Jr.), R. Kingslake, C. F. J. Overhage y R. E. Worley han aportado valiosas ideas. Deseamos expresar nuestra gratitud a todos ellos, as como a T. L. Jenkins, que sugiri algunas simplificaciones en ciertos desarrollos y comprob las soluciones de muchos problemas. Nos resulta especialmente grato que nuestra obra se traduzca al hermoso idioma espaol. De acuerdo con nuestros datos, existen en este idioma muy pocos textos que cubran la ptica a un nivel equivalente. Creemos, por ello, que este libro ha de resultar de verdadera utilidad para los estudiantes del mundo de habla espaola. De las diversas ramas de la fsica, la ptica^ es una en la que se trabaja activamente en Espaa y donde sus investigadores han efectuado algunas de sus contribuciones ms importantes. Nos permitimos expresar la esperanza de que esta obra contribuya a su continuado xito en este interesante y fundamental campo de la fsica.FRANCIS A . JENKINS. H A R V E Y E . WHITE.

INDICE G E N E R A L

INDICE GENERALPRLOGO A L A EDICIN ESPAOLA Pg.

PARTE I OPTICA C A P . 1 . B A T O S LUMINOSOS. 1- 1, Concepto de rayo luminoso, pg. 3.1-2. Leyes de la reflexin y la refraccin, 4.1-3. Construccin grfica del rayo refractado, 5.1-4. Principio de reversibilidad, 6.1-5. Camino ptico, 7.1-6. Principio de Fennat, 8.1-7. Dispersin del color, 11.Poblemas, 12. C A P . 2 . S U P E R F I C I E S PLANAS. 2- 1. Haz de luz paralela, pg. 14.2-2. Angulo limite y reflexin total, 15. 2- 3. Reflexin do rayos divergentes, 18.2-4. Refraccin de rayos divergentes, 19.2-5. Imgenes formadas por rayos paraxiales, 19.2-6. Lmina plano-paralela, 20.2-7. Refraccin en un prisma, 21.2-8. Desviacin mnima, 22.2-9. Prismas delgados, 24.2-10. Combinaciones do prismas delgados, 25.2-11. Mtodo grfico para el trazado de rayos, 25.2-12. Prismas de visin directa, 26.Problemas, 27. C A P . 3 . S U P E R F I C I E S ESFRICAS 3- 1. Focos y distancias focales, pg. 31.3-2. Formacin de imgenes, 32. 3-3. Imgenes virtuales, 34.3-4. PuntoB y planos conjugados, 34.3-5. Convenios de signo, 35.3-6. Construcciones grficas. Mtodo del rayo paralelo, 30.3-7. Mtodos del rayo oblicuo, 38.3-8. Aumento, 40.3-9. Vergencia reducida, 40.3-10. Deduccin do la frmula de Gauss, 42. 3- 11. Nomografa, 43.Problemas, 44. CAP. 4 . L E N T E S DELGADAS. . 47 30 14 GEOMETRICA

4- 1. Focos y distancias focales, pda. 47.4-2. Formacin de imgenes, 48. 4-3. Puntos y planos conjugados, 49.4-4. Mtodo del rayo paralelo, 49. 4-5. Mtodo dl rayo oblicuo, 50.4-6. Uso de la frmula de las lentes, 51. 4-7. Aumento lateral, 51.4-8. Imgenes virtuales, 52.4-9. Frmula del constructor de lentes, 54.4-10. Combinaciones de lentes delgadas, 54. 4- 11. Espacio objeto y espacio imagen, 56.4-12. Potencia de una lente delgada, 57.4-13. Lentes delgadas en contacto, 58.4-14. Deduccin de la frmula de las lentes, 59.4-15. Obtencin de la frmula del constructor do lentes, 60.Problemas, 63. C A P . 5 . L E N T E S GRUESAS . . . 5- 1. Dos superficies esfricas, pg. 65.5-2. Mtodo del rayo paralelo, 60. 5-3. Focos y puntos principales, 07.5-4. Relaciones conjugadas, 69. 5- 5. Mtodo del Tayo oblicuo, 70.5-6. Frmulas generales de las lentes gruesas, 71.5-7. Lentes gruesasi especiales, 75.5-8. Puntos nodales y centro ptico, 75.5-9. Otros puntos fundamentales, 77.5-10. Combinacin de lentes delgadas considerada como una lente gruesa, 77.5-11. Combinaciones de lentes gruesas, 80.5-12. Platina nodal, 80.Problemas, 82.R

65

C A P . 6 . E S P E J O S ESFRICOS .

.

;

85

'6-1. Focos y distancias focales, pg. 85.6-2. Construcciones grficas, 86. 6- 3. Frmulas de los espejos, 89.^6-4. Potencia de un espejo, 92.6-5. Esjejos gruesos; 92.6-6. Frmulas de los espejos gruesos, 94.6-7. Otros espejos gruesos, 95.6-8. Aberracin de esfericidad, 96.6-9. Astigmatismo, 98.Problemas, 100. XV

XVI

INDICE

GENERAL 102

C A P . 7 . E F E C T O S D E LOS DIAFRAGMAS 7-1. Diafragma de campo y diafragma de,apertura, pda. 102.7-2. Pupilas de entrada y de salida, 103.7-3. Rayo principal, 104.7-4. Diafragma frontal, 104.7-5. Diafragma entre dos lentes, 106.7-6. Dos lentes sin diafragmas, 107.7-7. Determinacin del diafragma de apertura, 108. 7-8. Campo visual, 110.7-9. Campo de un espejo plano, 110.7-10. Campo do un espejo convexo, 111.7-11. Campo de una lente convergente, 112. 7- 12. Brillo fotomtrico e iluminacin, 114.7-13. Brillo de una imagen, 116.7-14. Aumento normal, 118.7-15. Iluminacin de una Imagen, 118.7-10. Imagen de un manantial puntual, 120.7-17. Iluminacin fuera del eje, l'0.7-18. Efecto marginal, 121.Problemas, 122. C A P . 8 . T R A Z A D O D E RAYOS 8- 1. Rayos oblicuos, pdg. 126.8-2. Mtodo grfico para el trazado de rayos, 127.8-3. Frmulas del trazado de rayos, 130.8-4. Ejemplo de clculo para el trazado de rayos, 132.Problemas, 136. C A P . 9 . A B E R R A C I O N E S D E LAS L E N T E S 9- 1. Desarrollo del seno y teora do primor orden, pg. 138.9-2. Teora do tercer orden de las aberraciones, 140.9-3. Aberracin de esfericidad de una sola superficie, 140.9-4. Aberracin de esfericidad de una lente delgada, 142.9-5. Resultados de la teora de tercer orden, 145.9-6. Aberracin de esfericidad de quinto orden, 149.9-7. Coma, 151.9-8. Puntos aplanaticos de una superficie esfrica, 155.9-9. Astigmatismo, 157.9-10. Curvatura de campo, 160.9-11. Distorsin, 161.9 12. Teorema de los senos y condicin de los senos de Abbe, 104.9-13. Aberracin cromtica, 167. 9- 14. Doblete separado, 173.Problemas^ 176.

126

138

C A P . 1 0 . I N S T R U M E N T O S PTICOS 179 10- 1. Objetivos fotografieos, pdg. 179.10-2. Rapidez dlos objetivos, 180. 10-3. Meniscos, 181.10-4. Lentes simtricas, 181.10-5. Tripletes anastigmticos, 183.10-6. Teleobjetivos, 183.10-7. Lupas, 184.-10-8. Tipos de lupas, 187.10-9. Microscopios, 188.10-10. Objetivos de microscopio, 188.10-11. Anteojos astronmicos, 189.-10-12. Oculares, 192.10-13. Ocular de Huygens, 193.10-11. Ocular de lamsden, 193.-10-15. Kellner a ocular de Ramsden acromtico, 194.110-16. Oculares especiales, 194. 10-17. Prismticos, 195.10-18. El sistema ptico de Kellner-Schmidt, 196. 10-19. Sistemas pticos concntricos, 198.1Problemas. 199.

PARTE II O P T I C A F I S I C A 203

C A P . 1 1 . O N D A S LUMINOSAS 11-1. Movimiento ondulatorio, pdg. 203.-f-ll-2. Ondas sinusoidales, 206. 11-3. Fase y diferencia de fase, 208.11-4. Velocidad de faso o de onda, 209.11-5. Amplitud e intensidad, 211.11-6. Frecuencia y longitud de onda, 214.11-7. Paquetes de ondas, 219.11-8. Reflexin y refraccin, 220. Problemas, 223. C A P . 12.SUPERPOSICIN D E ONDAS 12- 1. Composicin do movimientos armnicos simples a lo largo de la misma recta, pdg. 225.12-2. Composicin vectorial de amplitudes, 227.12-3. Superposicin de dos trenos de ondas de la misma frecuencia, 229.-12-4. Superposicin de muchas ondas con fases cualesquiera, 232.12-5. Ondas complejas, 233.12-6. Anlisis de Fourier, 236.12-7. Velocidad de grupo, 238.12-8. Relacin grfica entre velocidad de onda y de grupo, 241.12-9. Composicin de movimientos armnicos simples perpendiculares, 242. Problemas, 245.1

225

C A P . 1 3 . I N T E R F E R E N C I A D E DOS HACES LUMINOSOS 13- 1. Principio de Huygens, pdg. 248.13^2. Experimento de Young, 250. 13-3. Franjas de interferencia producidas por un foco doble, 252.13-4. Distribucin de la intensidad en el sistema de franjas, 254.13-5. Biprisma de Fresnel, 256.13-6. Otros dispositivos para dividir el frente de onda, 258. 13-7. Manantiales coherentes, 260.13-8; Divisin de la amplitud. Infcerfermetro de Michelson, 261.13-9. Franjas ciroulares, 263.13-10. Franjas

248

INDICE G E N E R A L localizadas, 265.13-11. Franjas con luz blanca, 207.13-12. Visibilidad - de las franjas, 268.13-13. Medidas interforomtricas do longitudes, 270. 13- 14. Interfermetro de Twyman y Groen, 273.13-15. Medida del ndico de refraccin por mtodos interferenciales, 274.Problemas, 277.

XVII

C A P . 1 4 . I N T E R F E R E N C I A S POR R E F L E X I O N E S MLTIPLES 280 14- 1. Reflexin en una pelcula plano-paralela, pda. 280.11-2. Franjas de igual inclinacin, 283.14-3. Interferencias con la luz transmitida, 284. 14-4. Franjas de igual espesor, 283.14-5. Anillos de Newton, 286.14-0. Pelculas antirreflectantes, 288.14-7. Nitidez do las franjas, 21)0.14-8. Mtodo de las amplitudes complejas, 292.14-9. Clculo du la funcin intensidad, 293.14-10. Interfermetro de Fabry-Perot, 295.14-11. Franjas de Brcwster, 296.14-12. Poder do resolucin cromtico, 297. 14-13. Comparacin de longitudes de onda con el interfermetro, 299.14-14. Estudio de la estructura hiperfina y de la forma de las vayas, 302. 14- 15. Otros espectroscopios interferenciales, 305.5 4-16. Espectros acanalados. Filtro interferencial, 306.Problemas, 307. C A P . 15.DIFRACCIN D E F R A U N H O F E R POR U N A SOLA A B E R T U R A . 15- 1. Difraccin de Fraunhofer y de Fresnel. pan. 310.15-2. Difraccin por una rendija, 310.15-3. Ampliacin del estudio de la figura de difraccin producida por una rendija, 314.15-4. Estudio grfico de amplitudes. Curva de vibracin, 317.15-5. Abertura rectangular, 319.15-0. Poder separador de una abertura rectangular, 322.15-7. Poder separador cromtico de un prisma, 324.15-8. Abertura circular, 325.15-9. Poder separador de un anteojo, 327.15-10. Brillo e iluminacin do las imgenes de estrellas, 329.15-11. Podor separador de un microscopio, 330.15-12. Contraste de fase, 332.Problemas, 333. CAP. 1 6 . L A DOBLE RENDIJA 16- 1. Aspectos cualitativos de la figura de difraccin, pg. 336.16-2. Deduccin de la ecuacin de la intensidad, 336.-16-3. Comparacin de las figuras producidas por la doble rendija y por la rendija sencilla, 339.16- 4. Distincin entre interferencia y difraccin, 339.16-5. Posiciones de los mximos y mnimos. Ordenes desaparecidos, 340.16-6. Curva do vibracin, 344.16-7. Efecto de la anchura finita de la rendija manantial, 346.16-8. Interfermetro estelar de Michclson, 348.16-9. Interferencias con grandes ngulos, 351.Problemas, 352. C A P . 1 7 . L A R E D D E DIFRACCIN 17- 1. Efecto o aumentar el nmero de rendijas, pg. 354.) 7-2. Distribucin do la intensidad en una red ideal, 356.17-3. Mximos principales, 356. 17- 4. Mnimos y mximos secundarios, 357.17-5. Formacin de espectros mediante una red, 359.17-6. Dispersin, 361.17-7. Superposicin do rdenes, 362.17-8. Anchura de los mximos principales, 363.17-9. Poder separador, 365.17-10. Curva de vibracin, 366.17-11. Produccin de redes rayadas, 369.17-12. Animas, 371.17-13. Control de la distribucin do intensidad eitrc rdenes, 372.17-14. Medida de la longitud de onda con la red, 375.17-15. Red cncava, 375.17-16. Espectrgrafos de red, 375. Problemas, 378. C A P . 18.DIFRACCIN D E FRESNEL 381 18- 1. Sombras, pg. 381.18-2. Zonas semiperidicas de Fresnel, 383.18-3. Difraccin por una abertura circular, 386.18-4. Difraccin por un obstculo circular, 388.18-5. Placa zonal, 389.18-0. Curva de vibracin pura divisin circular del frente de onda, 390.18-7. Aberturas y obstculos de bordes rectos, 392.18-8. Divisin en bandas del frente de onda, 392.18-9. Curva de vibracin correspondiente a la divisin en bandas. Espiral de Cornu, 393.18-10. Integrales de Fresnel, 395.18-11. Borde rectilneo, 398. 18-12. Propagacin rectilnea de la luz, 401.18-13. Rendija sencilla, 402. 18- 14. Aplicacin de las integrales de Fresnel a la resolucin de problemas de difraccin, 405.18-15. Difraccin por una varilla opaca, 405.18-16. Pantallas difractantes de otras formas. Principio de Babinet, 407.18-17. Tratamientos ms generales de la difraccin, 408.Problemas, 410. CAP. 19.VELOCIDAD D E L A L U Z 19- 1. Mtodo de Romer, pg. 413.19-2. Mtodo de Bradley. Aberracin de la luz, 415.19-3. Mtodo terrestre de Fizeau, 417.19-4. Mtodo del espejo giratorio, 419.19-5. .ltimos experimentos de Michclson, 420.19-0. Medidas en el vaco, 421.19-7. Mtodo de la clula de Kerr, 422.19-8. Velocidad de las ondas de radio, 424.19-9. Razn de las unidades elec413 354 310

336

XVTII

INDICE GENERAL tricas, 42/j.iy-10. Velocidad de la luz en la materia en reposo, 42,5. 10-11. Velocidad do la luz en la materia en movimiento, 428.19-12. Coeficiente de arrastre de Fresnal, 42!).19-13. Experimento de Airy, 429. 19- 14. Efecto del movimiento del observador. 430.19-15. E l experimento do Miclielson-Morlcy, 431.19-16. Principio de la relatividad, 434.19-1?. Los tres efectos de primer orden de la relatividad, 436.Problemas, 439.

CAP. 2 0 . T E O R A ELECTROMAGNTICA D E L A L U Z , 20- 1. Naturaleza transversal de las vibraciones lummosas, pg. 441.20-2, Ecuaciones de Maxwell en el vaco, 442.20-3. Corriente de desplazamiento, 443.20-4. Ecuaciones de las ondas electromagnticas planas, 445.20-5. Representacin trafica de una onda electromagntica, 447.20-6. Vector luminoso de una onda electromagntica, 447.20-7. Energa e intensidad do una onda electromagntica, 448.20-8. Radiacin emitida por una carga acelerada, 448.20-9. Radiacin emitida por una carga en movimiento peridico, 451.20-10. Comprobacin por Hcrtz de la existencia do las ondas electromagnticas, 452.20-11. Velocidad de las ondas electromagnticas en el vaco, 453.20-12. Radiacin do Cerenkov, 454.Problemas, 456. C A P . 2 1 . M A N A N T I A L E S LUMINOSOS T SUS ESPECTROS 21- 1. Clasificacin de los manantiales luminosos, pg. 458.21-2. Slidos a alta temperatura, 458.21-3. Arcos metlicos, 460.21-4. Mechero Bunsen, 462.21-5. Chispa, 463 21-0. Tubo de vaco, 464.21-7. Clasificacin de los espectros, 460.21-8. Emitancia y absortancia, 460.21-9. Espectros continuos, 468.21-10. Espectros de rayas, 473.21-11. Teora dla relacin entre rmisin y absorcin, 476.21-12. Series de rayas espectrales, 477. 21- 13. Espectros de bandas, 478.21-14. Teora de los espectros de rayas, de bandas v continuos, 479.21-15. Anchura de las rayas espectrales, 481. Problemas, 483. C A P . 2 2 . A B S O R C I N Y DIFUSIN 22- 1. Absorcin general y selectiva, pg. 484.22-2. Distincin entre absorcin y difusin, 485.22-3. Absorcin por slidos y lquidos, 486.22-4. Absorcin por gases, 48S.22-5. Resonancia y fluorescencia de gases, 489. 22-6. Fluorescencia de slidos y lquidos, 491.22-7. Reflexin selectiva. Rayos residuales, 491.22-8. Teora de la relacin entre absorcin y reflexin, 493.22-9. Difusin debida a pequeas partculas, 494.22-10. Difusin molecular. Color azul del celo, 497.22-11. Efecto Raman, 498. 22- 12. Teora do la difusin, 499.22-13. Difusin e ndice de refraccin, 500.Problemas, 502.

441

458

484

CAP. 23.DISPERSIN 504 23- 1. Dispersin en un prisma, pilg. 504.23-2. Dispersin normal, 505. 23- 3. Ecuaciu do Cauchy, 508.23-4. Dispersin anmala, 510.-23-5. Ecuacin de Sclluieicr, 513.23-0. Efecto do la absorcin sobre la dispersin, 516.23-7. Velocidades de onda y de grupo en el medio, 519.23-8. Curva, de dispersin completa do una sustancia, 519.23-9. Ecuaciones electromagnticas pava los medios transparentes, 522.2.3-10. Teora de la dispersin, 524.23-11. Naturaleza de las partculas vibrantes y de las fuerzas de rozamiento, 527.Problemas, 528. C A P . 24.POLARIZACIN D E L A L U Z 24- 1. Polarizacin por reflexin, pdg. 531.24-2. Representacin de las vibraciones luminosas, 532.24-3. Angulo de polarizacin y ley de Browster, 534.24-1. Polarizacin por una pila de lminas, 535.24-5. Ley de Malua, 537.24-6. Polarizacin por cristales dicroicos, 539.24-7. Doble refraccin, 540.24-8. Eje ptico, 542.24-9. Secciones y planos principales, 542.24-10. Polarizacin por doble refraccin, 543.24-11. Prisma de Nicol, 545.24-12. Nicoles paralelos y cruzados, 547.24-13. Refraccin por prismas de calcita, 547.24-14. Prismas de Rochon y Wollaston, 548.24-15. Polarizacin por difusin, 549.Problemas, 552. CAP. 25.-REFLEXIN 25- 1. Reflexin en los dielctricos, pdg. 554.25-2. Intensidades de la luz transmitida, 557.25-3. Reflexin inf.erna, 558.25-4. Cambios de fase en la reflexin, 559.25-5. Reflexin de la luz polarizada linealmente en un dielctrico, 560.25-6. Luz polarizada elpticamente por reflexin interna, 562.25-7. Penetracin en el medio menos denso, 564.25-8. Reflexin metlica, 566.-25-9. Constantes pticas de los metales, 569.25-10. Descripcin de la lux reflejada en un metal, 570.25-11. Medida del ngulo 554 531

INDICE GENERAL principal de incidencia y del acimut principal, 573.25-12. Experimentos de Wiener, 573.25-13. Teora electromagntica de la reflexin y retraccin en los dielctricos, 576.25-14. Teora do la reflexin metlica, 579. Problemas, 581. CAP. 2 6 . D O B L E REFRACCIN 26-1. Superficies de onda en los cristales uniaxicos, pda. 583.26-2. Propagacin de ondas planas en cristales unixioos, 585.26-3. Ondas planas en incidencia oblicua, 588.26-4. Direccin de las vibraciones, 589.-26-5. Indices de refraccin de los cristales unixicos, 590.26-6. Superficies de onda en los cristales bixicos, 592.26-7. Retraccin cnica interna, 595. 26- 8. Refraccin cnica externa, 597.26-9. Teora de la doble refraccin, 598.Problemas, 602. CAP. 27.INTERFERENCIAS CON L U Z POLARIZADA

27- 1. Luz polarizada elptica y circularmente, pdg. 604.27-2. Lminas de cuartoy de media onda, 607.27-3. Lminas cristalinas entre dos nicoles cruzados, 607.27-4. Compensador de Babinet, 60!).27-5. Anlisis de la luz polarizada, 611.27-6. Interferencias con luz blanca, 612.27-7. Piltro monocromtico polarizante, 616.27-8. Aplicaciones de las interferencias en luz paralela, 617.27-9. Interferencias en luz muy convergente, 618. Problemas, 621. CAP. 28.ACTIVIDAD PTICA

28- 1. Rotacin del plano de polarizacin, pda. 624.28-2. Dispersin rotatoria, 625.28-3. Interpretacin de la rotacin dada por Fresncl, 628. 28- 4. Doble refraccin en los cristales pticamente actiros, 629.28-5. Forma de la superficie de onda en el cuarzo, 632.28-6. Prisma mltiple de Frcsnl, 633.28-7. Prisma de Cornu, 634.28-8. Formas de vibracin e intensidades en los cristales activos, 635.28-9. Teora de la actividad ptica, 637.28-10. Rotacin en los lquidos, 639.Problemas, 640. CAP. 2 9 . M A G N E T O P T I C A T ELECTROPTICA 29- 1. Efecto Zeeman, vdg. 642.^29-2. Efecto Zeeman inverso, 649.29-3._ Efecto Faraday, 650.29-4. Efecto Voigt, o doble refraccin magntica," 653.29-5. Efecto Cotton-Mouton, 656.29-6. Efecto magnetoptico Kcrr, 656.-29-7. Efecto Stark, 657.-29-8. Efecto Stark inverso, 658.-29-9. Doble refraccin elctrica, 659.29-10. Efecto electroptico Kerr, 659. Problemas, 661.

PARTE III

OPTICACAP. 30.FOTONES

CUANTICA

30-1. Fallos de la teora ondulatoria, pda. 665.30-2. Demostracin de la existencia de cuantos de luz, 667.30-3. Energa, euntidad de movimiento y velocidad de los fotoneB, 670.30-4. Desarrollo de la mecnica cuntica, 671.30-5. Principio de indeterminacin, 672.30-6. Difraccin por una rendija, 673.30-7. Complementareidad, 674.30-8. Doble rendija, 675. 30-9. Detenninacin do la posicin con un microscopio, 677.30-10. Utilizacin de un obturador, 678.30-11. Interpretacin del carcter dual, 679. 30-12. Dominios de aplicacin de las ondas y de los fotones, 680.Problemas, 681. ! INDICE A L F A B T I C O D E AUTORES T MATERIAS

PARTE

PRIMERA

OPTICA GEOMETRICA

CAPITULO I

RAYOS LUMINOSOS L a ptica, o ciencia de la luz, puede dividirse en tres partes, cada una de las cuales requiere un tratamiento terico esencialmente diferente. Estas son: a) ptica geomtrica, que se estudia por el mtodo de los rayos luminosos; b) ptica fsica, que trata de la naturaleza de la luz desde el punto de vista de la teora de ondas; c) ptica cuntica, relacionada con las interacciones entre la luz y las partculas atmicas, y cuyo estudio preciso requiere el empleo de los mtodos de la mecnica cuntica. E n este libro nos limitaremos casi exclusivamente a los aspectos a) y b), aunque esbozaremos en el ltimo captulo los rasgos ms salientes del c). Estos aspectos de la ptica los podramos denominar con ms propiedad macroscpico, microscpico y atmico, para indicar de manera ms explcita su respectivo campo de aplicacin. Cuando s trata del estudio de la luz a grandes escalas, resulta suficiente casi siempre la representacin por medio de rayos. 1-1. Concepto de rayo luminoso.La distincin entre ptica geomtrica y ptica fsica aparece inmediatamente cuando se intenta aislar, por medio de diafragmas, un nico rayo de luz.

F I G . 1-1.Intento de aislar un rayo de luz.

E n la figura 1-1, 5 representa un manantial luminoso de dimensiones lo ms pequeas posible, y que suele denominarse manantial puntual. E n la prctica se consigue haciendo pasar a travs de un pequeo orificio, practicado en una pantalla metlica, la luz procedente del polo positivo de un arco de carbn al rojo blanco . Intercalando otra pantalla opaca H, provista de un orificio muchoJ

La lmpara de arco concentrado proporciona tambin una buena aproximacin de manantial puntual (Sec. 21-2).1

3

4

R A Y O S LUMINOSOS

[CAP.

1

mayor, entre S y la pantalla blanca de observacin M [Fig. 1-1 ()], solo la porcin de esta ltima comprendida entre las rectas trazadas desde S estar apreciablemente iluminada. E n este hecho nos apoyamos para decir que la luz se propaga segn lneas rectas, llamadas rayos, pues podemos explicarlo suponiendo que solo los rayos no interceptados por H alcanzan la pantalla M. Si hacemos menor el orificio de H, parte (b) de la figura, la regin iluminada se estrechar tambin, po lo que cabra esperar la posibilidad de aislar un rayo si se hace suficientemente pequeo el agujero. Sin embargo, la experiencia indica que a partir de un cierto lmite en el dimetro de este (del orden de unas dcimas de milmetro), la mancha luminosa aumenta en vez de disminuir. Cuando el agujero es excesivamente pequeo, la regin iluminada, aunque tenuemente, resulta ms extensa [Fig. 1-1 (c)]. E l fracaso de este intento de aislar un rayo luminoso se debe al fenmeno llamado difraccin, que explica tambin la falta de nitidez del borde de la sombra cuando el orificio es grande. L a difraccin se debe a la naturaleza ondulatoria de la luz y se estudiar con todo detalle en la seccin de ptica fsica. Solo adquiere importancia cuando se estudian fenmenos a pequea escala, como al utilizar un agujero muy pequeo o al examinar el borde de una sombra con una lupa. Sin embargo, en la mayora de los instrumentos pticos utilizaremos haces luminosos lo suficientemente extensos para poder despreciar los efectos de la difraccin. E n este caso, el concepto de rayo luminoso es de gran utilidad, pues los rayos indican la direccin del flujo de energa en el haz luminoso. 1-2. Leyes de la reflexin y la refraccin.Estas dos leyes se descubrieron experimentalmente mucho antes de que se comprendiera toda su importancia, y, en conjunto, constituyen la base de toda la ptica geomtrica. Pueden deducirse a partir de ciertos principios generales, que trataremos ms adelante, pero de momento las i enunciaremos como hechos experimentales. E n general, cuando un rayo incide ^re la superficie de separacin de dos medios transparentes, en los que la velocidad de la luz es sensiblemente diferente, se divide en un ray reflejado y otro refractado. E n la figura 1-2, IA representa el rayo incidente, que forma un ngulo con la normal NA en A\ a la superficie; se denomina ngulo de FIG. 1-2.Reflexin y refraccin de incidencia, y el plano definido por un rayo en una superficie lmite. IA y NA, plano de incidencia.

SEC. 1-3]

CONSTRUCCION GRAFICA D E L RAYO REFRACTADO

5

Podemos ahora enunciar l a ley de la reflexin

como sigue:

El rayo reflejado est en el -plano de incidencia, y el ngulo de reflexin es igual al de incidencia. Esto es, IA, NA y AR estn todos en el mismo plano, y V2

=

t

[i-i]

L a ley de la refraccin, conocida corrientemente como ley de Snell , en honor de su descubridor, dice que: El rayo refractado est en el plano de incidencia, siendo constante la razn del seno del ngulo de incidencia al seno del ngulo de refraccin: sen = const. [1-2] sen ' Si a la izquierda de la superficie de separacin en la figura 1-2 hay vaco (o en la prctica, aire), el valor de dicha constante se llama ndice de refraccin,n', del medio de la derecha. Efectuando medidas experimentales de los ngulos y se pueden deter/' minar los valores de n' para diversas sustancias transparentes. As, la ley de Snell para la refraccin en l a superficie de separacin de dos medios de ndices de refraccin n y n' se puede tambin escribir en la forma simtrica n sen cf> =n' sen ' [1-3] Siempre que sea posible utilizaremos smbolos sin acentuar para el primer medio, y acentuados, para el segundo. L a razn n'jn se denomina a veces ndice relativo del segundo medio respecto al primero. L a razn constante de los senos en la ecuacin [1-2] es, pues, el ndice relativo. Cuando el ngulo de incidencia es suficientemente pequeo, la ecuacin [1-3] nos dice que el ngulo de refraccin ser tambin pequeo. E n estas condiciones se obtiene una buena aproximacin sustituyendo los senos por los ngulos correspondientes, con lo que resulta n 1-3. Construccin grfica- del rayo refractado.La figura 1-3 muestra un mtodo relativamente sencillo para trazar un rayo2

- =

'

para ngulos pequeos

[1~4]

Willebrord Snell (1591-1626), de la Universidad de Leyden (Holanda).' Anunci lo fundamental de esta ley en 1621 en un trabajo indito. Su construccin geomtrica requiere que la razn de las cosecantes de ' y j> sea constante. El primero en usar la razn de los senos fue Descartes, y en Francia se conoce esta ley como ley de Descartes.

6

RAYOS LUMINOSOS

[CAP.

1

luminoso que atraviesa la superficie de separacin de dos medios pticamente transparentes. Debido a que los principios utilizados en su construccin se generalizan fcilmente a sistemas pticos complicados, el mtodo se utiliza mucho en el diseo preliminar de mltiples instrumentos.

FIG. 1-3.Construccin grfica de la refraccin en una superficie plana.

Despus de trazar la lnea GH, que representa la superficie de separacin de los dos medios de ndices n y n', y una vez elegido el ngulo de incidencia del rayo JA, la construccin se prosigue del modo siguiente: a un lado del dibujo, y tan cerca de l como sea posible, se traza una recta OR paralela a JA; a continuacin se trazan dos arcos circulares de centro O y radios proporcionales a n y n', respectivamente. Por el punto de interseccin R se traza una paralela a NN', que corta al arco r en P; seguidamente se traza OP, y paralela a ella el rayo refractado AB. E l ngulo 3 formado por los rayos incidente y refractado se llama ngulo de desviacin, y viene dado por P= i' [1-5] Para probar que esta construccin est de acuerdo con la ley de la refraccin, apliquemos la ley de los senos al tringulo ORP: ORsen $'

_

OPsen (ir $)

Puesto que sen {n ) = sen 9S, OR ny OP = n', sustituyendo tenemos:sen < ' / > sen

que es la ley de Snell (Ec. [1-3]). 1-4. Principio de reversibilidad.La simetra de las ecuaciones [1-1] y [1-3] respecto a los smbolos acentuados y sin acentuar

SEC.

1-5]

CAMINO OPTICO

7

sugiere que si se invierte el sentido del rayo reflejado (o del refractado), este volver a seguir su trayectoria original. Para un par de medios dado, de ndices n y n', a cada valor de le corresponde un valor nico de '. Esto contina siendo cierto cuando, al invertir el rayo, pasa a ser el ngulo de incidencia en el medio de ndice-'; /' el ngulo de refraccin ser entonces . Puesto que este principio se aplica a toda superficie reflectora o refringente, se verificar incluso para los caminos pticos ms complicados. Este tilsimo principio tiene fundamentos lio solo geomtricos, y veremos despus que se deduce de la aplicacin, al movimiento ondulatorio, de un principio anlogo de mecnica. 1-5. Camino ptico.Con el fin de establecer un principio ms general que incluya tanto a la ley de la reflexin como a la de la refraccin, es conveniente definir una magnitud llamada camino ptico. Cuando la luz recorre una distancia d en u n medio de ndice n, el camino ptico es el producto nd. L a interpretacin fsica de n, que daremos despus, demuestra que el camino ptico representa la distancia que recorrera la luz en el vaco en igual tiempo que el empleado para recorrer la distancia d en el medio considerado. Cuando la trayectoria luminosa se compone- de varios segmentos d d ,..., recorridos en medios de ndices de refraccin n n ,..., el camino ptico ser:lt 2 v 2

camino ptico = [d] =

: + refraccin relativo. Calclese el ngulo de incidencia < para un vidrio de ndice n' = 1,600, correspondiente a un ngulo de refraccin = 30, de acuerdo con: a) la frmula de Kepler; b) \& ley de Snell. 1-6. Sobre la superficie pulimentada de un trozo de vidrio incide luz blanca bajo un ngulo de 80. Si los ndices de refraccin para la raya C (roja) y F (azul) son 1,5885 y 1,5982, respectivamente, cul es la dispersin angular entre estos dos colores? Sol.: 16,4'. 1-7. Sobre una lmina pulimentada de vidrio crown incide luz blanca bajo un ngulo de 89. Si los ndices de refraccin para las rayas C (roja) y G' (violeta) son 1,5088 y 1,5214, respectivamente, cul ser el ngulo de dispersin entre estos dos colores? 1-8. Una esfera maciza de vidrio de ndice 1,50 tiene un radio de 4 cm. Trcese desde un punto Q de la esfera una recta diametral que pase por un punto Q" al otro lado de la esfera y a 6 cm de esta. Hllese mediante una construccin grfica si este trayecto es mximo o mnimo. Sol.: Mnimo. 1-9. Calclense los valores de v para los siguientes vidrios: a) crown,D

= 1,7300

1-10. Dos espejos planos forman un ngulo n'

FIG. 2-1.Reflexin y refraccin de un haz paralelo: (a) Reflexin externa; (b) Reflexin interna bajo un ngulo menor que el lmite; (c) Reflexin total en el ngulo lmite.

2-1. Haz de luz paralela.En un haz de luz paralela cada rayo se desplaza en la misma direccin que todos los dems. Por ello puede tomarse uno cualquiera de ellos como representante del haz completo. Como fcilmente se ve en la figura 2-1, el carcter de haz paralelo no se altera por la reflexin o refraccin. L a refraccin, no obstante, origina una variacin de la anchura14-

SEC.

2-2]

ANGULO LIMITE Y REFLEXION TOTAL

15

del haz dada por la relacin eos '/cos , cosa que no ocurre en la reflexin. A su tiempo se ver la importancia de este hecho, cuando se consideren las intensidades (Sec. 25-2). Se produce asimismo dispersin cromtica en el haz refractado, pero no en el reflejado. i Cuando la reflexin se produce en una superficie con un ndice n ms alto se denomina reflexin externa [Fig. 2-1 (a)]. A veces se designa tambin como reflexin de menos denso a ms denso, pues, grosso-modo, los ndices relativos n corresponden a la relacin de las densidades. E l > caso de reflexin interna o de ms denso a menos denso est representado grficamente en la figura 2-1 (b). E n este caso particular el haz refractado es muy estrecho por ser ' muy prximo a 90. 2-2. Angulo lmite y reflexin total.Se ha visto y a que cuando la luz pasa de un medio como el aire a otro como el vidrio o el agua, el ngulo de refraccin es siempre menor que el de incidencia. Debido a esto, no existe luz refractada por encima N

FIG. 2-2.Refraccin y reflexin total: (a) E l ngulo lmite es el mayor ngulo de refraccin, (b) Reflexin total para ngulos mayores que el lmite.

de un cierto ngulo de refraccin. E n la figura 2-2 se hace patente lo anterior para una serie de ngulos de incidencia entre 0 y 90, a los que corresponde otra serie de ngulos de refraccin entre 0 y , respectivamente^ Cuando, el ngulo incidente se aproxima a 90, el de refraccin tiende a un ngulo fijo < > ms all del cual no hay luz refractada. /, Este valor de ^ correspondiente a = 90 se designa con el nombre de ngulo lmite. Para calcularlo no hay ms que sustituir en la ley de Snell por 90 o sen = 1o c c c

16

SUPERFICIES PLANAS

[CAP.

2

con lo que

n x 1 =,'sen sen ' " sen eos' < /' / >

Pero de acuerdo con la ley de la refraccin: sen (f> = const. ,/== sen j n Con lo que tenemosr eos \. E n consecuencia, a = 2 f 8 = 2(3xW

/Despejando los valores de y < > obtenemos: /1

= i * i = ( + ) Dado que por la ley de Snella 8

= n sen a Las medidas ms precisas del ndice de refraccin se realizan colocando una muestra de la sustancia problema, tallada en forma de prisma, sobre a platina de un espectrmetro y detrniinando los ngulos x y 8 ; este ltimo, para cada uno de los colores deseados. Cuando se emplean prismas en los espectroscopios y espectrgrafos, se utilizan siempre en la posicin de desviacin mnima, pues de otra forma cualquier pequea divergencia o convergencia de la luz incidente originara astigmatismo en la imagen. U n haz divergente que incide bajo! un ngulo arbitrario en un prisma origina dos lneas focales T y\S, anlogas a las de la figura 2-8 (c). Unicamente para la desviacin mnima ambas lineas se confunden en una verdadera imagen puntual.

n'/n = sen (f>Jsen ) Prisma de Risley de potencia variable, (c) Suma vectorial de las desviaciones del prisma.

Por tanto, podemos simplificar la ecuacin [2-12] para prismas cuyo ngulo de refraccin es de unos pocos grados, poniendo i , sen * (8 + a) S, + a =

sen $ a !

=

a

;i

y

8 = (n' 1) a

prisma delgado en el aire

[2-13]

Se ha eliminado el subndice de 8 dado que tales prismas se usan siempre para desviacin mnima, y no ponemos n por suponer que el medio circundante es aire, para el cual n = 1. Es costumbre medir la potencia de un prisma por la desviacin del rayo, medida en centmetros, a una distancia de 1 metro, en cuyo caso l a unidad de potencia se llama dioptra de prisma. U n prisma de una dioptra desplaza 1 cm el rayo de luz en una pantalla situada a 1 m de distancia. E n la figura 2-12 (a) la desviacin en la pantalla es x centmetros, numricamente igual a la potencia del prisma. Para pequeos valores de 8 veremos que la potencia expresada en dioptras^ de prisma es esencialmente igual al ngulo de desviacin 8 medido en unidades de 0,01 rad,o sea, 0,573. i

Para el vidrio flint de bario de la tabla 23-1, n' 1,59144, y de la ecuacin [2-13] se deduce que el ngulo refringente de un prisma de una dioptra debe serDa = =

_ ^ = 0,97 0,59144

SEC. 2-11]

METODO GRAFICO PARA E L TRAZADO D E RAYOS

25

2-10. Combinaciones de prismas delgados.Para medir la acomodacin binocular los oculistas suelen utilizar una combinacin de dos prismas delgados de igual potencia que pueden girar en sentidos opuestos en su propio plano [Fig. 2-12 (b)]. Se conoce tal dispositivo como prisma de Risley o Herschel, y equivale a un solo prisma de potencia variable. Cuando estn paralelos la potencia es doble que la de cada uno de ellos por separado, mientras que cuando estn opuestos la potencia es nula. Para hallar cmo varan la potencia y el sentido de la desviacin con el ngulo que forman los dos prismas componentes, utilizaremos el hecho de que las desviaciones se suman vectorialmente. E n la figura 2-12 (c) se ve que la desviacin resultante ser, en general, por la ley de los cosenos, 8 = V V + S;, + 2o* 8 eos p2 1 8

[2-14]

siendo f el ngulo formado por ambos prismas. Para hallar el ngulo y entre la desviacin resultante y la debida al prisma 1 solo, se tiene la relacin 8 sen 3 [2-15] S + 8 eos ( 32 x 2

Puesto que casi siempre 8 = S , podemos designar por la desviacin debida a cada componente, simplificndose as las ecuaciones:X 2

8 = v 2 & ( l +cos(3) =/

j/V

2

28,'eos |g

[2-16]

tgy

=

sen 3 _ 1 + eos [ ~ 3

J3 2[2-17]

con lo que

2-11. Mtodo grfico para el trazado de rayos.Con frecuencia se desea, al disear instrumentos pticos, conocer rpidamente la

FIG. 2-13Mtodo grfico para el trazado de rayos a travs de un ps^i.^

26

SUPERFICIES PLANAS

[CAP. 2

trayectoria de los rayos que atraviesan el sistema. E n los instrumentos que utilizan prismas las normas que se dan a continuacin son de gran utilidad. Comencemos considerando un prisma de 60 e ndice r = 1,50 rodeado de aire de ndice n = 1,00. Despus de dibujar el prisma a escala como en la figura 2-13 y haber elegido un ngulo de incidencia , la construccin se inicia como en la figura 1-3. Se traza OR paralela a JA, y con origen en O dos arcos de radios proporcionales a n y r. Se dibuja RP paralela a NN' y OP da la direccin del rayo refractado AB. Desde P se traza una paralela a MN' que corta al arco n en Q. L a recta OQ da entonces la direccin correcta del rayo refractado final BT. E n el diagrama de la izquierda el ngulo RPQ es igual al ngulo a del prisma, y el ngulo ROQ es igual al ngulo de desviacin total S. 2-12. Prismas de visin directa.Como ilustracin del trazado de rayos a travs de varios prismas consideraremos el diseo de un importante dispositivo ptico conocido como prisma de visin directa. L a principal misin de, tal instrumento es producir un espectro visible cuyo color central emerge del prisma en la misma direccin de la luz incidente. E l tipo ms sencillo consiste en un prisma de vidrio crown de ndice r y s 0 ngulo a opuesto a otro prisma c^ de vidrio lint de ndice r' y ngulo a", como'se ve en la figura 2-14. Los ndices r y r se refieren al color central del esFIG. 2-14.Trazado grfico de rayos aplipectro, es decir, a la lnea amacado al diseo de un prisma de visin rilla D del sodio. Supongamos directa. que el ngulo a" del prisma de flint es dado y que la luz emerge normal a la ltima superficie, tratndose de encontrar el ngulo a! del prisma de crown. Comenzaremos dibujando el prisma de flint con su segunda cara vertical. A continuacin se traza OP horizontal y con centro en O tres arcos de radios proporcionales a n, r, n". Por P se traza una recta perpendicular a AC que corta a r en Q. Se traza continuacin RQ y normal a ella la cara AB del prisma de crown. Con ello hemos obtenido todas las direcciones y ngulos que nos interesan.x

PROBLEMAS

27

OR da la direccin del rayo incidente, OQ la del refractado en el prisma de crown, OP la del refractado en el prisma de flint, y finalmente OR la del rayo emergente. E l ngulo < ' del prisma x de crown es el suplementario del RQP. Si se requiere una determinacin ms precisa de los ngulos, el diagrama de construccin ser til como gua para el clculo trigonomtrico. Cuando se desea producir la dispersin de la luz blanca mediante una combinacin de prismas, pueden buscarse los ndices r y " correspondientes a la luz violeta y roja, y construirse nuevos diagramas procediendo ahora de izquierda a derecha en la figura 2-14 (b). Sin embargo, en este caso los rayos o emergern perpendiculares a la ltima cara del prisma. Los principios que acabamos de esbozar pueden generalizarse con facilidad a combinaciones de ms de dos prismas como las de la figura 2-15 . Puede observarse que el prisma de visin directa3

FIG. 2-15.Prismas de visin directa utilizados para producir un espectro con su color central alineado^ con la luz blanca incidente.

representado en la parte superior de la figura 2-15 est constituido en principio por dos prismas adyacentes del mismo tipo que el de la figura 2-14.PROBLEMAS

2-1. Un recipiente contiene ua capa de 6 cm de un aceite mineral denso y transparente ( = 1,573) y sobre ella otra de 8 cm de alcohol w (n = 1,450). Cul ser la posicin aparente de una moneda de plata colocada en el fondo de la vasija? b) Cul es el ngulo limite para la superficie de separacin, de los dos lquidos, y por cul de sus dos caras deber incidir la luz? !3

Vase E. J. IRONS: Am. J. Phys., 21, 1, 1953.

28

SUPERFICIES PLANAS

[CAP.

2

;2-2. Aplicando la ley de Snell, dedzcase la ecuacin [2-5] para el desplazamiento lateral de un rayo que incide en una lmina plano-paralela bajo un ngulo . 2-3. Calclense los desplazamientos laterales de un rayo luminoso que incide sobre una lmina plano-paralela bajo los siguientes ngulos: a) 10, b) 20, c) 30, d) 40 y e) 50. E l grosor de la lmina es 2 cm y su ndice 1,50. Represntese la grfica de en funcin de d y trcesele la tangente en el origen. : 2-4. Construyase una grfica de la variacin de la distancia imagen s' con el ngulo de incidencia ( en la Fig. 2-6), tomando s' en ordenadas y t> en abscisas. Supngase que el objeto est en el aire a 3 cm de una superficie plana de vidrio de ndice 1,573. Sol.: s' = 4,72 cm para = 0 y 5,96 cm i para 45. 2-5. Con un refractmetro de Pulfrich cuyo prisma tiene un ndice de 1,625 y un ngulo refringente de 80 (Fig. 2-4), se mide el ndice de refraccin de un lquido. L a separacin entre los campos oscuro y luminoso forma un ngulo de 27 20' con la normal a la segunda cara. Hllese el ndice del lquido. 2-6. U n prisma de 60 de vidrio crown tiene un ndice de 1,62. Si se utiliza con un ngulo de incidencia U"J

[4-18]

NOTA: E n el ltimo factor aparece un signo menos al sacar factor comn r n en el segundo miembro de la ecuacin [4-15]. Finalmente, si el medio circundante es aire (n = 1), se obtiene la frmula del constructor de lentes: [4-19]

PROBLEMAS

63

Con la notacin de potencias de la ecuacin [4-9], la frmula [4-15] toma la forma: V + V" =P donde v i l - V - * s s" P1 1 = a 1

+ P

2

[4-20] P = ^2 2

-2l=J rx

r

2

L

F4-21]J

L a ecuacin [4-20] puedej escribirse: F + i/'=P, [ :22]4

donde P es la potencia de la lente igual a la suma de las potencias de las dos superficies P = P + Pl 2

[4-23]

PROBLEMAS 4-1. L a imagen de un objet situado 16 cm delante de una lente delgada se forma 48 cm detrs de ella. Calclense: a) la distancia focal, y b) la potencia. 4-2. A 10 cm. de una lente delgada de 4 cm de distancia focal se encuentra un objeto de 2 cm de altura. Hllense: a) la distancia imagen; b) el aumento, y c) la naturaleza de la imagen. Resulvase grfica y analticamente. Sol.: a) + 6,66 cm; b) 0,66 cm; c) real e invertida. 4-3. Los radios de ambas caras de una lente delgada miden: r = 4- 12 y r = 30 cm, respectivamente. Su ndice de refraccin es 1,6. Calclense: a) su distancia focal, y b) su potencia.x t

4-4. U n objeto de 4 cm de altura se encuentra 20 cm por delante de una lente de / = 5 cm. Hllense: a) la potencia; b) la distancia imagen, y c) el aumento lateral. Resulvase grficamente utilizando los mtodos del rayo paralelo y del rayo oblicuo. Sol.: a) 20 D ; b) 4 cm; c) 4- 0,20. 4-5. Una leerte equicncava tiene un ndice n = 1,65. Calclense sus radios de curvatura para que la potencia sea 2,5 D . 4-6. Una lente planoconvexa tiene un ndice n = 1,71. Calclese el radio de curvatura para que su potencia sea + 5 D . Sol.: 14,2 cm. 4-7. Dos lentes de distancias focales /, = + 12 cm y f = 4- 24 cm, respectivamente, distan 6 cm. Si un objeto de 2 cm est, situado 20 cm por delante de la primera lente, hllense: a) la posicin, y b) el tamao de la, imagen final.s

4-8. Se utiliza una lente convergente para formar la imagen de la llama de una buja sobre una pantalla distante. E n el haz convergente, y a 40 cm de la-pantalla, se coloca una segunda lente de radios r = -f 12 cm y r = 24 cm, con ndice n = 1,60. Calclense: a) la potencia de la segunda lente, y b) la posicin de la imagen final. Sol.: a) + 7,5 D ; b) + 10,0 cm.x t

4-9. Una lente biconvexa ha de tener un ndice de 1,52. Se desea que uno de los radios sea doble que el otro y que la distancia focal mida 5 cm. Hllense dichos radios.

64

LENTES DELGADAS1 2

[CAP.

4

4-10. Dos lentes de distancias focales = + 8 cm y / = 12 cm distan 6 cm. Si 24 cm delante de la primera lente se encuentra un objeto de 3 cm de alto, hllense: a) la posicin, y b) el tamao de la imagen final. Sol.: a) + 12,0 cm; b) 3,0 cm. 4-11. Una diapositiva de 2 pulg de altura est situada a 10,5 pies de una pantalla de proyeccin. Cul es la distancia focal de la lente necesaria para proyectar una imagen de 40 pulg de altura? 4-12. U n objeto est a 1,4 m de una pantalla blanca. Qu distancia focal habr de tener una lente para formar una imagen real e invertida en dicha pantalla con un aumento igual a 6? Sol.: + 17,1 cm. 4-13. Tres lentes delgadas tienen las potencias siguientes: + 1 D , 2 D, y + 4 D . Qu potencias pueden obtenerse utilizando una, dos o tres de ellas en contacto? 4-14. Se colocan en contacto dos lentes delgadas cuyos radios de curvatura e ndices son los siguientes: para la primera lente, v = + 16 cm, r = 24 cm y n = 1,60, y para la segunda lente, r = 32 cm, r + 4 8 cm y n = 1,48. Hllense: a) la distancia focal del conjunto, y b) su potencia. Sol.: a) + 26,6 cm; b) + 3,75 D .x 2 x 2

4-15. U n objeto de 2 cm de alto se encuentra 12 cm delante de una lente de + 4 cm de distancia focal, y a 2 cm de esta se encuentra otra de 8 cm de distancia focal. Calclense: ) la posicin, y b) el tamao de la imagen final. | 4-16. U n objeto de 2 cm de altura se halla situado 6 cm delante de una lente de 2 cm de distancia focal. Se coloca 4 cm detrs de la primera lente otra segunda de + 4 cm de distancia focal. Hllense: a) la posicin, y b) el tamao de la imagen final. Sol.: a) + 14,7 cm; b) 13,3 cm. 4-17. Tres lentes de distancias focales + 12 cm, 12 cm y + 12 cm, respectivamente, se encuentran situadas una tras otra distanciadas 2 cm. Si sobre la primera lente incide un haz de rayos paralelos, a qu distancia de la tercera lente se cortarn? j 4-18. U n objeto de 4 cm de altura est situado 10 cm delante de una lente de + 2 cm de distancia focal. Detrs de esta lente hay otra de 3 cm de distancia focal alejada 12,5 cm de la primera. Hllense: a) la posicin, y b) el tamao de la imagen final. Sol.: a) 2,31 cm de la segunda lente; b) 0,23 cm.

CAPITULO V L E N T E S GRUESAS Cuando el espesor de una lente no es despreciable frente a su distancia focal, algunas de las frmulas del captulo anterior dejan de ser aplicables. L a lente deber entonces tratarse como una lente gruesa. Este trmino no solo se refiere a una lente nica homognea limitada por dos superficies esfricas separadas por una distancia apreciable, sino tambin a cualquier sistema de superficies coaxiales considerado como una unidad. Por tanto, el espesor de la lente puede incluir el de varias lentes componentes puestas o no en contacto. Y a hemos considerado un caso incluido en esta categora: el de un par de lentes delgadas separadas por una cierta distancia (Fig 4-8).

FIG. 5-1.Refraccin de un rayo en las dos superficies de una lente.

5-1. Dos superficies esfricas.Un caso sencillo de lente gruesa es el de dos superficies esfricas, tales como las de la f i gura 5-1. A partir de los principios desarrollados en los captulos III y I V puede estudiarse la capacidad de formacin de imgenes de tai sistema. Cada una de las dos superficies contribuye a la formacin de la imagen final. Sean n, r y n" los ndices de refraccin de los tres medios separados por dos superficies esfricas de radios r y r

/~ h E n funcin de las potencias de las superficies y de la lente,?

A H" =

P = * - * '

P

P = Z.- n, tiene una potencia pequea pero positiva. Sus planos principales estn a la derecha de la lente y su separacin HH" es igual al espesor, d, de la lente. Si el medio circundante tiene un ndice mayor, r < n, como en el caso de una lmina de aire entre las superficies de dos lentes de igual ndice, la potencia es tambin positiva, pero los planos principales estn a la izquierda de la lente separados una distancia d. El segundo tipo especial es el de una lente concntrica cuyas dos superficies tienen el mismo centro de curvatura. Cuando una lente de este tipo est rodeada de un medio de ndice inferior, r > n, el sistema tiene una potencia negativa con una gran distancia focal, y sus puntos principales coinciden con el centro comn de curvatura. En otras palabras, acta como una lente delgada situada en C C . 5-8. Puntos nodales y centro pticoDe todos los rayos que atraviesan una lente procedentes de un punto objeto situado uera del eje habr siempre uno cuya direccin en el espacio imagen sea la misma que en el espacio objeto, es decir, las porciones de rayo anterior y posterior a la lente son paralelas. Los puntos en que estas porciones prolongadas cortan al eje se llaman puntos nodales, y los planos transversales que por ellos paFIG. 5-10.Puntos y planos nodales san, planos nodales. En la figude una lente gruesa. ra 5-10 se ve este tercer par de puntos y sus planos asociados junto con el centro ptico de la lente, C. Se" demuestra*fcilmente que si el medio circundante es el mismo a ambos lados, los puntos nodales N y N" coinciden con los principales H y H", pero que no ocurre as si los dos medios tienen ndices diferentes. Como el rayo incidente y el emergente forman ngulos iguales con el eje, los puntos nodales se llaman puntos conjugados de aumento angular unidad y positivo. Si el rayo ha de salir paralelo a su direccin inicial, los dos elementos de superficie, en que incide y abandona la lente, deben ser paralelos, de tal modo que el efecto es anlogo al de una lmina planoparalla. Una recta que pase por estos dos puntos corta "al eje en un punto C, que es el centro ptico. Por tanto, en todos z ! X 2

76

LENTES

GEESAS

[CAP.

5

los casos el rayo no desviado pasar por el centro ptico. Este punto tiene la interesante propiedad de que por no depender su posicin ms que de los radios de curvatura y del espesor de l a dente, no variar con el color de la luz. Los seis puntos fundamentales (Sec. 5-9) tendrn en general una posicin ligeramente diferente para cada color.n'

FIG. 5-11.Mtodo del rayo paralelo para localizar grficamente los puntos y planos nodales de una lente gruesa.

L a figura 5-11 ayudar a aclarar el distinto significado de los puntos nodales y principales. Se ha dibujado para el caso n"' 5n, por lo que las dos series de puntos estn separadas. E l rayo 11, que pasa por el punto nodal imagen, es paralelo al 10, que pasa por el punto nodal objeto, N. Por otra parte, ambas porciones del rayo cortan a los planos principales a la misma distancia por encima de los puntos H y H". |En el pequeo parallogramo del centro del diagrama se observa que la distancia entre los planos nodales es exactamente la misma que entre los planos principales. E n general, por tanto, : NN" = HH"!

[5-15]

Adems, en este caso, en que difieren los valores inicial y final del ndice de refraccin, las distancias focales, medidas a partir de los puntos principales, no son ya iguales. L a distancia focal objeto FH es igual a la distancia N"F", mientras que la distancia focal imagen H"F" es igual a FN: \ f = FH N"F" y f" H"F" = FN [5-16] Pueden determinarse grficamente do la distancia ZQ HH" = Z'Q" por QZ' y ZQ". Por consideraciones grama se ve que el aumento lateral I los puntos nodales midieny trazando sendas rectas geomtricas sobre el diay'/y viene dado por

SEC. 5-10]

COMBINACION D E LENTES

DELGADAS

77 [5-17] [5-18]

y" m =~ = y donde

s" HN s + HN

HN f -^

Cuando las distancias objeto e imagen s y s" se miden, como de ordinario, a partir de los correspondientes puntos principales H y H", la ecuacin [5-3] es vlida para rayos paraxiales. L a distancia entre el primer vrtice y el punto nodal objeto viene dada por[ 5

+

"

1

9

]

EJEMPLO 3.Hllense los puntos nodales de la lente gruesa del ejemplo 2. Solucin. Para localizar el punto nodal objeto N usaremos la ecuacin [5-18], en la que se sustituyen los datos: n 1,00, n" = 1,30 y el valor ya calculado /" = + 4,333 cm,

HN~ 4,333 (

1

- 7 -3 l o 1

Q

) , + 1,00 cm

Es decir, los puntos nodales N y N" se encuentran 1,00 cm a la derecha de sus respectivos puntos principales H y H".

5-9. Otros puntos fundamentales.En los problemas de lentes gruesas es de gran utilidad el conocimiento de estos seis puntos: focos, puntos nodales y puntos principales. Hay otros puntos de menor importancia, pero de cierto inters a veces, que son (1) los -puntos principales negativos y (2) los puntos nodales negativos. Los puntos principales negativos son puntos conjugados para los que el aumento lateral es unitario y negativo. Los puntos nodales negativos estn a la misma distancia de los focos que los puntos nodales ordinarios, pero en lados opuestos. Su posicin es tal, que para ellos el aumento angular es unitario y negativo. Aunque el conocimiento de estos nuevos puntos no es en general imprescindible, no obstante su empleo introduce notables simplificaciones en ciertos casos. 5-10. Combinacin de lentes delgadas considerada como una lente gruesa.Una combinacin de dos o ms lentes delgadas puede considerarse tambin como una lente gruesa. Esto se debe al hecho de que las propiedades pticas de un conjunto de lentes coaxiales pueden estudiarse cmodamente en funcin de solo dos focos y dos puntos principales. Si los espacios objeto e imagen tienen el mismo ndice de refraccin (lo que ocurre casi siempre), los puntos y planos nodales coinciden con los puntos y planos principales.

78

LENTES GRUESAS

[CAP.

5

E n la figura 5-12 se ha representado una combinacin de dos lentes delgadas de distancias focales 8 cm y 9 cm, respectivamente. Los focos, F y F", y los puntos principales, H y H", se han determinado grficamente por el mtodo del rayo oblicuo. Para ello se ha considerado la refraccin en cada una de las lentes de modo anlogo a la refraccin en cada una de las superficies de la lente gruesa de la figura 5-7. Entre ambos diagramas existe n

1 ^1 8

t

r* \

n"

F

I

1x

^

1 1

~^^>\

H"

eje

{

L

r

r

x

if L

6

*~

FIG. 5-12.Focos y puntos principales de un sistema de dos lentes delgadas.

una gran semejanza; es decir, en una lente delgada se supone que la refraccin ocurre en un plano, lo mismo que en una sola superficie. Esta hiptesis solo est justificada cuando la separacin de los planos principales de la lente sea despreciable. L a definicin de lente delgada es precisamente el enunciado de este hecho: una lente delgada es aquella en la que los planos principales y el centro ptico coinciden en el centro de la lente. Las posiciones de los centros de las dos lentes de este ejemplo se han designado en la figura 5-12 por A y A .x 2

SEC. 5-10]

COMBINACION D E LENTES DELGADAS

79

F

La'figura 5-13 muestra una combinacin de una lente delgada positiva y otra negativa. No se han trazado las lneas auxiliares de la construccin por ser esta igual a la empleada en la figura 5-12. Obsrvese que los puntos principales finales H y H" caen fuer del espacio comprendido entre las dos lentes, pero que las distancias focales / y /", medidas desde estos puntos, son iguales como d ordinario. E l rayo inferior, aunque se representa propagndose de izquierda a derecha, se ha trazado de derecha a izquierda. L a posicin de los puntos fundamentales de una combinacin de dos lentes delgadas en el aire se calcula a partir de las frmulas de las lentes gruesas (Sec. 5-6). Como se utilizan para lentes delgadas en vez de para superficies individuales, Aj^ y A representarn los centros de las lentes, mientras que f / y P P sern sus distancias focales y sus potencias, respectivamente. Estas ltimas vienen dadas por n, n r n, t = [5-20] i ~ ~i Z' 7~; z v 2 v 2 =

donde r y r\ son -los radios de la primera lente, de ndice de refraccin n y r, r\ los radios de la segunda lente, de ndice . E l medio circundante tiene los ndices n, r y n" (vase Fig. 5-12). Las otras frmulas [5-7], [5-8], [5-9], [5-10] y [5-11] permanecen inalteradas. Para aclarar el uso de estas frmulas consideraremos una combinacin de dos lentes, anloga a la de la figura 5-13:1 v 2

ti

7

EJEMPLO 4.Una lente equiconvexa de radios iguales a 4 cm e ndice nj = 1,50 se halla situada 2 cm delante de otra equicncava cuyos radios miden 6 cm, y = 1,60. Las lentes se consideran delgadas. Los medios circundantes tienen los siguientes ndices: n 1,00, n' = 1,33 y n" 1,00. Hllense: a) la potencia; 6) las distancias focales; c) los focos, y d) los puntos principales del sistema. Solucin. Utilizaremos las frmulas de la potencia. Por las ecuaciones [5-20], las potencias de ambas lentes en sus medios respectivos son: 1,50 1,00 , 1,33 1,50 1 = 12,50 + 4,17 = 4-16,67 D 0,04 0,04 1,60 1,33 1,00 1,60 < 4,45 10,0 = 14,45 D = 0,06 00 ~6

+

+

De^a ecuacin [5-7] se obtiene: P = 16,67 14,45 + 0,015 X 16,67 x 14,45 o P = + 5,84 D Sol. a) De la [5-12] resulta: '=

F

1,00 5 84 ** 1,00 n = 0,171 m = 17,1 cm ~P 5,84= 0 , 1 7 1m 1 7 , 1 c m

n

Sol. b)

80

LENTES

GKUESAS

[CAP.

5

0,208 m 0,037 ra + 0,128 m 0,043 ra

20,8 cm 3,7 cm + 12,8 cm 4,3 cm

Sol. c) Sol. d)

Como comprobacin de estos resultados se obtiene que la diferencia entre los dos primeros intervalos A F y A-H da la distancia focal objeto FH 17,1 cm. Anlogamente, la suma de los dos segundos intervalos A F" y A H" da la distancia focal imagen, H"F" = 17,1 cm.t 2 2

5-11. Combinaciones de lentes gruesas.El problema de calcular la posicin de los puntos fundamentales de una lente gruesa formada por la combinacin de varias lentes de espeson apreciable es de considerable dificultad, pero puede resolverse con ayuda de los principios y a establecidos. Si en una combinacin de dos lentes, tal como la de la figura 5-12, estas no pueden considerarse como delgadas, cada una vendr representada por un par de planos principales. Por tanto, hay dos pares de puntos principales, H y H[ para la primera lente y H' H" para la segunda, y el problema est en hallar, a partir de estos, un par nico H y H" para el conjunto, as como determinar los focos. Mediante una construccin anloga a la de la figura 5-7, aplicada a cada lente separadamente, es factible localizar los focos y puntos principales de cada una. Entonces puede ya aplicarse la construccin de l a figura 5-12 teniendo en cuenta que entre los planos principales el aumento es unitario. Cabe resolver tambin el problema analticamente, pero debido a su complejidad no se darn aqu las frmulas . E n su lugar se describir un mtodo experimental para determinar los puntos fundamentales de una lente gruesa. j 5-12. Platina nodal.Los puntos nodales de una lente nica o de una combinacin de lentes se localizan experimentalmente montando el sistema sobre una platina nodal. Esta consiste simplemente en un soporte horizontal que permite girar la lente alrededor de un punto cualquiera de su eje. Como muestra la figura 5-14, l a luz procedente de un manantial S se hace pasar por una rendija Q, ajustada de tal manera que est situada en el foco imagen de la lente. L a luz emerge de la lente paralelamente y se refleja en un espejo plano M, pasando de nuevo por1 v 2 1

Vase, p. ej., G. S. MONK: Light, Principies and Experments, 1. ed., McGrawHill Book Co., Inc., Nueva York, 1937.1

SEC.

5-12]

PLATINA NODAL

81

M

FIG. 5-14.Utilizacin de la platina nodal para situar los puntos nodales.

la lente y convergiendo hacia un punto Q". Esta imagen de la rendija se forma muy cerca de ella, sobre la superficie blanqueada de uno de sus bordes. Entonces se hace girar la platina en uno y otro sentido al mismo tiempo que se desplaza ligeramente la lente hasta el momento en que la rotacin no produce desplazamiento alguno de la imagen Q". E n estas condiciones, el eje de rotacin nos localiza uno de los puntos nodales N". Girando ahora la platina 180, y repitiendo el jproceso anterior, se halla el otro punto nodal N. Si esta experiencia se verifica en el aire determinaremos adems los puntos principales, siendo la distancia N"Q" una medida precisa de la distancia focal.

FIG. 5-15.Girando una lente alrededor de su punto nodal imagen se desplazan los rayos refractados, pero no la imagen.

E l principio en que se basa este mtodo de rotacin alrededor de un punto nodal se ilustra en la figura 5-15. E n el primer diagrama el rayo 4, que coincide con el eje, pasa por los puntos N y N" hacia el foco Q". E n el segundo diagrama se ha girado la lente alrededor de N", con lo que el mismo haz de rayos sigue pasando por Q". E l rayo 3 est ahora dirigido hacia y el 4 hacia N". Cuando se prolonganJ ENKINS-WHITE.6

82

LENTES GRUESAS pefa/a \fotognfca

[CAP.

5

desde el plano N al N", los rayos siguen pasando por Q" aun cuando F" se ha desplazado hacia un lado. Ntese que el rayo 3 incide en N en la misma direccin en que abandona N' , segn Ja definicin de puntos nodales. Si una lente fotogrfica se gira alrededor de su punto nodal imagen y se dispone de una larga pelcula fotogrfica curvada de radio se podr obtener una imagen continua que abarque un amplio campo. Tal instrumento, represenF I G . 5-16.En la cmara panormica tado esquemticamente en la la lente gira alrededor de un punto figura 5-16, se Conoce Como cmara fotogrfica panormica. E l obturador consiste de ordinario en una rendija vertical situada justamente frente a la pelcula que se mueve al girar la lente, de tal modo que queda siempre centrada sobre el eje de la misma.r n o d a l

PROBLEMAS 5-1. Los radios de una lente equiconvexa de ndice 1,80 miden 4 cm, y su espesor, 3,6 cm. Calclense: a) la distancia focal; b) la potencia, y c) las distancias de los vrtices a los correspondientes focos y puntos principales. 5-2. Resulvase grficamente el problema anterior situando los focos y puntos principales. Sol.: A F = 1,87 cm. A H = 4- 1,25 cm. A F" = 4- 1,87 cm. A H" = 1,25 cm. 5-3. Una lente planoconvexa de 3,2 cm de espesor tiene un ndice de 1,60. Si el radio de la segunda superficie mide 3,2 cm, hllense: a) la distancia focal de la lente; b) su potencia, ye) las distancias de los vrtices a los correspondientes focos y puntos principales. 5-4. Resulvase grficamente el problema anterior localizando los focos y puntos principales. Sol.: A F = 3,33 cm. A H = 4- 2,00 cm. A F" = 4- 5,33 cm.X X 2 2 X X 2

A H"2

=

0.

5-5. E l espesor de una lente de vidrio de radios r = 4- 3,0 cm y r = 4- 5,0 cm e ndice 1,50 es 3,0 cm. Calclense: a) la distancia focal; b) la potencia, ye) las distancias desde los vrtices a los correspondientes focos y puntos principales. 5-6. Resulvase grficamente el problema anterior determinando los focos y puntos principales. Sol.: A F = 12,0 cm. A H = 2,0 cm. A F" = 4- 6,66 cm. A H" = 3,33 cm.x 2

X

X

2

2

PROBLEMAS

83

5-7. Los radios de una lente de vidrio de ndice 1,50 y espesor 3,0 cm miden r = +5,0 cm y r = +2,5 cm. Calclense: a) la distancia focal;; b) la potencia, y c) las distancias desde los vrtices a los correspondientes; focos y puntos principales.

: s . FIG. 6-3.Imagen real dada por un espejo cncavo.

principios que para las lentes, incluso el hecho de que los rayos paraxiales han de representarse como si se reflejasen en el plano tangente a la superficie en vez de en ella "misma. Se puede realizar un experimento interesante utilizando un gran espejo cncavo, tal como el de la figura 6-4, situado en la posicin en que su aumento es unitario. Para ello se suspende invertido un ramo de flores dentro de una caja, iluminndolo mediante una lmpara apantallada S. Se sita entonces el gran espejo cncavo con su centro de curvatura C en la superficie superior del soporte, y sobre este se coloca un florero vaco. E l ojo del observador, en E, ve entonces una rplica perfecta del ramo no como una simple imagen, sino en una fiel reproduccin tridimensional, lo que crea una fuerte ilusin de realidad. Como se observa en el diagrama, los rayos divergen desde los puntos de la imagen como si procedieran de un objeto real colocado en esa posicin.

FIG. 6-4.Ilusin ptica producida por una imagen real de aumento unidad.

88

ESPEJOS ESFERICOS

[CAP.

6

FIG. 6-5.-Mtodo del rayo paralelo para situar la imagen dada por un espejo cncavo.

E n la figura 6-5 se ilustra la construccin por el mtodo del rayo paralelo en el caso de un espejo cncavo. Tres rayos procedentes del punto objeto Q, despus de reflejarse, coinciden en el punto conjugado Q'. L a imagen es real, invertida y menor que el objeto. E l rayo 4, paralelo al eje, se refleja hacia F, por definicin de foco. E l rayo 6 que pasa por F se refleja paralelamente al eje, y el 8, dirigido hacia el centro de curvatura, incide normalmente a la superficie y se refleja sobre s mismo. E l punto en que se cortan dos cualesquiera de los rayos mencionados basta para determinar la posicin de la imagen. ; U n procedimiento similar se aplica al espejo convexo de la figura 6-6. Los rayos procedentes del punto objeto Q divergern despus de reflejarse desde el punto Q , conjugado del anterior. E l rayo 4, paralelo al eje, se refleja como si procediera de F. E l 6,1

FIG. 6-6.Mtodo del rayo paralelo aplicado a un espejo convexo.

SEC.

6-3]

FORMULAS D E LOS

ESPEJOS

89

por pasar por el centro de curvatura, se refleja sobre s mismo, mientras que el 7, dirigido hacia F, sale paralelo al eje. Puesto que los rayos no pasan en ningn caso por Q', la imagen Q'M' es virtual. A los espejos puede aplicrseles tambin el mtodo del rayo oblicuo, tal como muestra la figura 6-7 para un espejo cncavo. Despus de dibujar el eje 1 y el espejo 2, se sitan los puntos

FIG. 6-7.Mtodo del rayo oblicuo aplicado a un espejo cncavo.

C y F y se_ traza el rayo 3, que forma un ngulo arbitrario con el eje. Despus se dibuja por F la recta de trazos 4, paralela a la 3. Por el punto 5, en que 4 corta al espejo, se traza una paralela 6 al eje, cuya interseccin con el plano focal da P. Por T y P se traza la 7, que corta al eje en M'. Pof esta construccin M y M' son conjugados, y 3 y 7 son las partes del rayo que corresponden a los espacios objeto e imagen, respectivamente. E l principio en que se basa esta construccin es obvio por el hecho de que si 3 y 4 fuesen rayos paralelos incidentes pasaran por el punto P situado en el plano focal. Si en lugar de 4 se hubiese trazado otro rayo por C paralelo al 3, cortara tambin al plano focal en P. Cualquier rayo que pase por el centro de la curvatura se reflejar sobre s mismo. 6-3. Frmulas de los espejos.Con objeto de poder aplicar las frmulas de las lentes de los captulos anteriores a los espejos esfricos con el menor nmero de cambios posible, hemos de adoptar los siguientes convenios de signos: 1. Las distancias medidas de izquierda a derecha son positivas, y las medidas de derecha a izquierda, negativas. 2. Los rayos incidentes se desplazan de izquierda a derecha, y los reflejados, de derecha a izquierda.

90 3. 4. 5.

ESPEJOS ESFERICOS

[CAP.

6

La distancia focal se mide desde el foco al vrtice. Esto hace a / positiva en los espejos cncavos y negativa en los convexos. El radio se mide desde el vrtice al centro de curvatura. Esto hace a r negativo en los espejos cncavos y positivo en los convexos. Las distancias objeto e imagen, s y s', se miden desde el objeto e imagen, respectivamente, al vrtice. Esto hace que s y s sean ambas positivas y el objeto e imagen reales cuando se encuentran a la izquierda del vrtice, mientras que son negativas y virtuales cuando estn a la derecha.1

E l ltimo de estos convenios de signos implica que, en los espejos, los espacios objeto e imagen coinciden totalmente, estando los rayos luminosos reales siempre a la izquierda del espejo. Dado que el ndice de refraccin del espacio imagen es el mismo que el del espacio objeto, la r de las anteriores ecuaciones es numricamente igual a n. A continuacin damos una deduccin sencilla de la frmula que expresa las relaciones conjugadas en un espejo. E n la figura 6-7 se observa que por la ley de la reflexin el radio CT es bisectriz del ngulo MTM'. Utilizando una propiedad geomtrica bien conocida, podemos escribir: MC _ CM' MT ~ Wf Ahora bien: para rayos paraxiales, MT ^ MA = s y M'T === ^M'A = s , donde el smbolo == significa aproximadamente igual. Del diagrama se deduce tambin que.1

y

MC = MA CA = s + r CM' = CA M'A = r s' = (s' + r)

Sustituyendo en la proporcin anterior,s+f

s' + r

que puede ponerse fcilmente en la forma 1 1 2 f r m u l a s s r del espejo [6-2]

Se define el foco objeto como el punto objeto situado en el eje cuya imagen se forma en el infinito, por lo que, sustituyendo 5 = / y s' = oo en la ecuacin [6-2], tenemos

SEC.

6-3]

FORMULAS D E LOS ESPEJOS

91

-

/ !

+ 00

=

r

-

de donde

-7 ~ ~ f r

o bien

y /= -

[6-3]

Se define el foco imagen como la imagen de un punto objeto i n finitamente alejado. Esto es, s' = /' y s = 00, de tal modo que00 /'

r

r

r l o sea /' = - . [6-4] I Por tanto, los focos objeto e! imagen coinciden y la distancia focal es la mitad del radio. Reemplazando -r/2 por 1//, la ecuacin [6-2] se transforma en de dondeT

1 2 , =

justamente lo mismo que para las lentes. E l aumento lateral de la imagen formada por un espejo se puede calcular a partir de la figura 6-3. Por la proporcionalidad de los lados de los tringulos semejantes Q'AM' y QAM, hallamos que y'/y = s'/s,y' s' :

EJEMPLO.Un objeto de 2 cm de altura est a 10 cm de un espejo cncavo de 16 cm de radio: Hllense: a) la distancia focal del espejo; b) la posicin de la imgen, y c) el aumento lateral. Solucin, a) Por la ecuacin [6-3] / = 16 - = 8 cm

m = - = yy

[6-6] s

b) De la ecuacin

[6-5] 10

+

s' ~ 8

lo que da c) Por la ecuacin [6-6]

s' s' = 40 cmS 6 a

8

10 ~ 40

40 La imagen est 40 cm a la izquierda del espejo, es cuatro veces mayor que el objeto, real e invertida.

92

ESPEJOS ESFERICOS

[CAP.

6

6-4. Potencia de un espejo.La notacin de potencias utilizada para las lentes se extiende inmediatamente a los espejos esfricos. Por definicin, pondremos S V + V == 2K v + V' = P P = 2K _V y V' m = K =- r . [6-7]

Las ecuaciones [6-2], [6-5], [6-3] y [6-6] toman entonces la forma [6-8] [6-9] [6-10] [6-11]

EJEMPLO.Un objeto est situado 20 cm por delante de un espejo convexo de 50 cm de radio. Calclense: ) Ja potencia del espejo; b) la posicin de Ja imagen, y c) su aumento. Solucin. Expresando todas las distancias en metros, tenemos:

K : ojoPor la ecuacin [6-10], De la ecuacin [6-9], 5+ de donde, .L - _

1

+2D K= 2 -4D o :

1 O20

4-5 D

Sol.

a)

VI

-4

V" = 9

D Sol. 6)

- v -

g

0,111 m = 11,1 cm

Por la ecuacin [6-11],

m = = 4- 0,555

Sol. c)

La potencia es P = 4 D, y la imagen es virtual y derecha. Est 11,1 cm. a la derecha del espejo, y su aumento es de 0,555 X.

6-5. Espejos gruesos.Se aplica este trmino a un sistema de lentes, una de cuyas superficies esfricas es reflectante. E n estas condiciones, la luz que incide en el sistema despus de atra(a)

(b)

FIG. 6-8.- -Diversos tipos de espejos gruesos y posicin de sus focos.

SEC.

6-5]

ESPEJOS GRUESOS

93

vesar las lentes se refleja, retrocediendo por el mismo camino y emergiendo finalmente en el espacio del que parti. E n la figura 6-8 se han representado tres de los tipos ms comunes de sistemas pticos que pueden clasificarse como espejos gruesos. E n todos ellos la superficie situada ms a la derecha se ha dibujado con una lnea ms gruesa, y representa la superficie reflectante. Se ha trazado tambin en todos ellos un rayo paralelo al eje que despus de atravesar el sistema pasa por el foco. Aparte de un foco y un plano focal, todo espejo grueso tiene un punto principal y un plano principal. Las figuras 6-9 y 6-10i 2

FIG. 6-9.Mtodo del rayo oblicuo para situar el punto principal y el foco de un espejo grueso.

\. 6-10.Mtodo del diagrama auxiliar para situar el punto principal y el foco de un espejo grueso.

94

ESPEJOS ESFERICOS

[CAP.

6

muestran dos mtodos grficos para hallarlos. E l mtodo del rayo oblicuo se aplica a la combinacin de lente delgada y espejo de la figura 6-9, y el mtodo del diagrama auxiliar, a una combinacin de lente gruesa y espejo (Fig. 6-10). E n el primer caso la lente se considera delgada, por lo que podemos suponer que sus puntos principales coinciden en su centro H U n rayo incidente, paralelo al eje, despus de refractarse en la lente, se refleja en el espejo y vuelve a pasar de nuevo por la lente, al salir de la cual corta al eje en F. E l punto T, interseccin de las prolongaciones de los rayos incidente y final, sita el plano principal, siendo H el punto principal. Atenindonos al convenio de signos de los espejos (Sec. 6-3), la distancia focal, /, de esta combinacin es positiva y viene dada por la longitud FH. E n el diagrama de la figura 6-10 el rayo incidente, refractado en la primera superficie, se refleja en la segunda y experimenta una ltima refraccin en la primera cara, al salir de la cual pasa por el punto F. E l punto T de interseccin de los rayos incidente y final localiza el plano principal y el punto principal H. L a construccin, en este caso, se inicia trazando XZ paralela al eje (diagrama auxiliar de la F i g . 6-10). Con origen en O se trazan segmentos proporcionales a n y r en ambas direcciones a lo largo de XZ, y despus de las verticales que representan n y r, el resto de las lneas siguiendo el orden de los nmeros 1, 2, 3, .... Cada lnea de nmero par es paralela a la impar precedente. L a prueba de que esta construccin es vlida para rayos paraxiales es similar a la dada para la figura 3-9. 6-6. Frmulas de los espejos gruesos.Estas frmulas se refieren al caso de la figura 6-8. Llamando r r y r a los radios respectivos de las tres superficies, numeradas sucesivamente de izquierda a derecha, puede demostrarse que la potencia de la combinacin viene dada porv lt 2 3 1

P = (1 - cPJ (2P + P - cP^)1 2

[6-12] [6-13] [6-14]

donde, solo para el caso del diagrama (a) y r' = n, P = 2nK2 3

y

^ = 4

# =42

*3=4

(vanse Ees. [4-16] y [6-4]), siendo r el ndice de la lente y n el del medio circundante. L a distancia desde la lente al punto principal de la combinacin esVase una deduccin de estas ecuaciones en J. P. C. SOUTHAIX: Mirrors, Prisms, and Lenses, 3. ed., pg. 379, The Macmillan Co., Nueva York, 1936.1

SEC.

6-7]

OTROS E S P E J O S

GRUESOS

95 [6-15]

M donde

=^

" es igual al de incidencia . Este, a su vez, es igual al TCA. A l tener dos ngulos iguales, el tringulo CTX es issceles y, por tanto, CX = = XT. Puesto que la recta es la trayectoria ms corta entre dos puntos, CT < CX + XTFIG. 6-12.Los rayos marginales paralelos al eje de un espejo esfrico cortan a dicho eje dentro de la distancia focal.

Ahora bien: CT es el radio del espejo, igual a CA; as, y, por tanto, CA < 2CX \CA < CX

E n la figura se ve que si movemos T hacia A, X se aproximar a F, y en el lmite CX = XA = FA = \CA. . E n los ltimos aos se han ideado muchos mtodos para corregir la aberracin de esfericidad. Si fen vez de ser esfrico, el

espejo pargb/ico (a)

espejo de Mengin (6)

FIG. 6-13.Espejos'cncavos corregidos de^abcrracin de esfericidad.

98

ESPEJOS ESFERICOS

[CAP. 6

espejo tiene la forma de un paraboloide de revolucin, los rayos paralelos al eje pasarn por un foco nico, como en la figura. 6-13 (a). L a figura 10-17 muestra otro mtodo que consiste en disponer una lmina correctora frente al espejo esfrico, con lo que se desvan los rayos en proporcin adecuada antes de la reflexin. Situando la lmina en el centro de curvatura del espejo se obtiene un dispositivo ptico llamado sistema de Schmidt. An hay un tercer sistema, denominado espejo de Mangin, que se ilustra en la figura 6-13 (b). E n l se emplea un menisco con ambas superficies esfricas. Plateando la superficie posterior se forma un espejo cncavo, que enfoca, de una manera muy aceptable, todos los rayos paralelos. 6-9. Astigmatismo.Se produce este defecto cuando un punto objeto se encuentra a bastante distancia del eje. Los rayos incidentes, paralelos o no, forman un ngulo apreciable, 0, con el eje del espejo. E l resultado es que, en lugar de formarse un punto imagen, se originan dos imgenes rectilneas mutuamente perpendiculares. Este defecto se conoce como astigmatismo y se ilustra en el diagrama en perspectiva de la figura 6-14. Los rayos incidentes son paralelos, mientras que los reflejados convergen hacia los dos segmentos rectilneos S y T. Los rayos reflejados que se encuentran en el plano vertical o tangencial RASE se cruzan en T, mientras que los del plano horizontal o sagital JAKE lo hacen en S. Si situamos una pantalla en E y la movemos hacia

R

}K

EFIG. 6-14.Imgenes astigmticas de un objeto puntual infinitamente alejado y fuera del eje. Las rectas T y S son perpendiculares.

SEC.

6-9]

ASTIGMATISMO

99

el espejo, al llegar a 5 la imagen ser un segmento vertical, en L un disco circular y en T un segmento horizontal. E l lugar de las posiciones de T y S, al variar los ngulos de incidencia, para puntos alejados de] eje, es un paraboloide y una superficie plana, respectivamente, como muestra la figura 6-15. A l disminuir la oblicuidad de los rayos y aproximarse al eje, las imgenes rectilneas no solo reducen su tamao, sino que se aproximan al plano focal paraxial. L a magnitud del astigmatismo para un pincel cualquiera de rayos viene dada por la distancia entre T y S, medida a lo largo del rayo principal. Las siguientes ecuaciones F I G . 6-15- -Superficies astigmticas de un dan las posiciones de ambas espejo cncavo. imgenes astigmticas : j2

i

i + 4 = s ss

r 2

eos eos

r

Tanto s como s' se miden a lo largo del rayo principal; es el ngulo de oblicuidad de dicho rayo, yj, el radi de curvatura del espejo. E l sistema ptico de Schmidt, que se estudiar despus, y el. espejo de Mangin [Fig. 6-13, (&)] reducen a un mnimo el astigmatismo propi1

1 '

FIG. 7-1.Diagrama que muestra la diferencia entre un diafragma de campo y un diafragma de apertura.

el campo visual como el brillo de la imagen es de fundamental importancia conocer dnde y cmo tiene lugar la limitacin del haz luminoso que atraviesa el sistema. Por tanto, investigaremos en primer lugar el efecto de los obstculos o diafragmas, que siempre existen, aunque no sean ms que los bordes de las lentes y espejos. 7-1. Diafragma de campo y diafragma de apertura.La figura 7-1 muestra una lente con dos diafragmas formando la imagen de un objeto alejado. Tres haces de rayos paralelos, procedentes de tres puntos diferentes del objeto, convergen en sendos102

SEC. 7-2]

PUPILAS DE ENTRADA Y DE SALIDA

103

puntos del plano focal. Se observa que el diafragma ms prximo a la lente limita el tamao de estos haces, mientras que el situado justamente delante del plano focal limita el ngulo de incidencia de los haces que pueden atravesar este plano. A l primero se le llama diafragma de apertura. Determina, evidentemente, la cantidad de luz que incide sobre un punto cualquiera y, por tanto, el brillo de la! imagen. E l segundo, o diafragma de campo, determina la extensin del objeto, o sea, el campo que quedara representado en la imagen. 7-2. Pupilas de entrada y de salida.Sea un diafragma P'E'L' situado detrs de la lente, en el espacio imagen, y que limita,; pupila de pupila demtr

i

d3

I

eje J K rayoprincipal

_____^ ^ ' '

Q' F'

m

L' -TfL

diafragma i FIG. 7-2.El diafragma de apertura y su imagen pueden imagen de entrada ser pupilasy de salida, respectivamente, de un sistema.

Nf

U'

por tanto, los rayos imagen (Fig. 7-2). Empleando las frmulas de la lente, o mediante una construccin grfica, se halla que su imagen como objeto real, formada por la lente, est en PEL. Puesto que P'E'L' est dentro de la distancia focal, su imagen PEL estar en el espacio objeto y ser virtual y derecha. Se le denomina pupila de entrada, mientras que a la apertura real P'E'L' se le llama, como sabemos, diafragma de apertura. Cuando est en el espacio imagen, como ocurre en este caso, se convierte en la pupila de salida. (En la seccin 4-11 puede verse un estudio de los espacios objeto e imagen.) Debe destacarse el hecho de que P y P', E y E', y L y IJ son pares de puntos conjugados. Cualquier rayo del espacio objeto

104

EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS

[CAP.

7

dirigido hacia uno de estos puntos pasar, despus de la refraccin, por su conjugado en e espacio imagen. E l rayo IT dirigido hacia P se refracta hacia P', el KR dirigido hacia E se refracta hacia E' y el NU dirigido hacia L se refracta hacia L'. E l punto imagen Q' se determina grficamente mediante la lnea de trazos JQ', paralela a las otras, que pasa sin desviarse por el centro ptico A. E l diafragma de apertura P'E'L' en la posicin indicada funciona tambin hasta cierto punto como diafragma de campo, pero los bordes del campo no estn bien dehmitados. E l diafragma que acta como diafragma de campo se hace coincidir normalmente con una imagen real o virtual, de modo que los bordes aparecern ntidos. ( 7-3. Rayo principal.Cualquier rayo del espacio objeto que pasa por el centro de la pnpila de entrada se llama rayo principal. Despus de refractarse, este rayo pasa tambin por el centro de la pupila de salida. E n cualquier instrumento ptico real, el rayo principal no suele pasar por el centro de ninguna lente. Los puntos E y E' en que el rayo principal corta al eje se denominan, respectivamente, centro de perspectiva del campo objeto y centro de perspectiva del campo imagen. E l primero, como veremos, es especialmente importante para la determinacin del campo visual, 7-4. Diafragma frontal.En ciertos tipos de objetivos fotogrficos se coloca un diafragma prximo a la lente, bien delante de ella (diafragma frontal) o bien detrs (diafragma posterior).pupila de

imagen

FIG. 7-3.Un diafragma frontal y su imagen pueden convertirse en pupilas de entrada y de salida de un sistema.

SEC.

7-4]

DIAFRAGMA FRONTAL

105

Una de sus funciones, como veremos en el captulo I X , es la de mejorar la calidad de la imagen que ha de formarse en la placa fotogrfica. U n diafragma frontal, como el de la figura 7-3, dado su pequeo tamao y su posicin, acta como pupila de entrada. Su imagen P'E'L' formada por la lente est en el espacio imagen y constituye la pupila de salida. Se han trazado los rayos paralelos IT, JW y NU, que pasan por los bordes de la pupila de entrada y por su centro. L a lente hace converger estos rayos hacia la pantalla como si procediesen directamente de los puntos conjugados P', E' y L' de la pupila de salida. Su interseccin, que da la imagen Q', est en el punto en que el rayo no desviado KA corta al plano focal imagen. Obsrvese que el rayo principal est dirigido hacia el centro de la pupila de entrada en el espacio objeto y emerge de la lente como si procediese del centro de la pupila de salida en el espacio imagen. Aunque cierto diafragma de un sistema ptico puede limitar los rayos que lo atraviesan procedentes de un punto objeto, no actuar en general como diafragma de apertura para otros puntos objeto a diferentes distancias a lo largo del eje. L a figura 7-4, p. ej., representa una lente con un diafragma frontal y un punto objeto M. Para este punto, el diafragma de apertura est constituido por la periferia de la lente y, puesto que limita los rayos objeto, es la pupila de entrada. Su imagen, que es de nuevo la periferia de la lente, acta tambin como pupila de salida. Por tanto, el borde de la lente es a la vez diafragma de apertura, pupila de entrada y pupila de salida para el punto M. Si este punto objeto estuviera a la izquierda de Z, la pupila de entrada sera PEL, y su imagen, P'E'L', la pupila de salida. E n el diseo previo de un instrumento ptico puede no conocerse el elemento del mismo que constituir el diafragma de aper-

imagen

FIG. 7-4.Las pupilas de entrada y de salida no son las mismas para todos los puntos objeto e imagen.

106

EFECTOS DE LOS DIAFRAGMAS

[CAP.

7

tura. Como consecuencia, debern estudiarse uno tras otro cada uno de los elementos del sistema hasta averiguar cul de ellos impone condiciones ms restrictivas a los rayos. Independientemente del nmero de tales elementos, no hay por lo regular ms que un diafragma de apertura. Una vez localizado este diafragma, la pupila de entrada del sistema completo es la imagen del diafragma de apertura formada por todas las lentes que le preceden, y la pupila de salida es la imagen formada por todas las lentes que le siguen. Las figuras 7-2 y 7-3, en las que no hay ms que una lente, con un diafragma delante o detrs, deben estudiarse^ en relacin con el enunciado que se acaba de dar. 7-5. Diafragma entre dos lentes.-En las cmaras fotogrficas es corriente encontrar un diafragma variable, o iris, situado entre dos lentes. E n la figura 7-5 se ha representado uno de

diafragma

FIG. 7-5.Diafragma entre dos lentes. La pupila de entrada de un sistema e