JARRAITUTASUNA

JARRAITUTASUNA

1) Aurkitu honako funtzio hauen eremuak:

a)b)

2) funtzioaren eremua dela jakina da. Kalkulatu, modu arrazoituan, ondorengo

funtzioaren eremua:

3) Aurkitu k-ren balioa honako funtzioa R osoan jarraitua izan dadin .

4) Kalkulatu a-ren balioa funtzioak abzisadun puntuan eten saihesgarria

izan dadin?

5) Aztertu ea ondorengo funtzioak Bolzanoren teorema betetzen duten adierazten diren tarteetan.

a) tartean b) tartean

6) Izan bedi funtzioa, froga itzazu

a) f(x) funtzioak erro erreal bat daukala. (aplikatu Bolzanoren teorema )

b) f(x) funtzioak erro erreal bakarra daukala. (aplikatu el Rolleren teorema)

7) Frogatu ekuazioaren erro erreal bakarra dela.

8) Frogatu eta funtzioek punturen batean elkar ebakitzen dutela

9) Frogatu funtzioak abszisa-ardatza tartean ebakitzen duela. Egiazta

daiteke gauza bera funtzioarekin?

10) Aurkitu honako funtzioen asintotak , y

DERIBATUAK

1) Izan bedi funtzioa.

a) Definitu funtzioa tartera definituriko funtzio gisa eta irudikatu

b) Aztertu funtzioaren deribagarritasuna

2) Kalkulatu puntuan parabolarekiko ukitzaileak diren zuzenen ekuazioak.

Horietatik, zeintzuk puntutik igarotzen dira?

3) Kalkulatu a eta b-ren balioak honako funtzio hau deribagarria izan dadin:

JARRAITUTASUNA

4) Kalkulatu a eta b-ren balioak funtzioa deribagarria izan dadin.

5) f funtzio bati buruz zuzen errealeko puntu guztietan deribagarria dela ezaguna da. Horrez gain

eta dira.

Ondoko bi funtzioak definitzen baditugu: eta .

Datu nahiko al dugu kalkulatzeko? Eta kalkulatzeko? Erantzuna baiezkoa izatekotan,

balioa kalkulatu eta ezezkoa izatekotan, esan zergatik den ezinezkoa.

6) Jakinik , , eta direla, aurkitu, ahal bada, eta

. Posible izan ezean, justifikatu erantzuna.

7) funtzioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: puntu guztietan deribagarria da eta horrez gain

, eta dira.

Izan bedi ondoko moduan definitutako funtzioa .

Kalkulatu, era arrazoituan, eta

8) Kalkulatu kurbarekiko zuzen ukitzailea abzisadun puntuan.

9) Zehaztu kurbaren puntuak, zeinetan ukitzailea zuzenaren

paraleloa den

10) Izan bedi ondoko kurba ekuazioaren bidez emanik . Deribazio inplizitua

erabiliz, -ren eta -ren balioak kurbaren puntuan

11) Kalkula ezazu zirkunferentziarekiko zuzen ukitzaileak abzisadun puntuetan.

12) Aurkitu kurbarekiko zuzen ukitzailea abszisa 3 eta ordenatu positiboa dituen

puntuan

13) Izan bedi funtzioa,

a) Aurkitu horren grafikoarekiko zuzen ukitzailea puntuan

b) Aurreko zuzen ukitzaileen artean, zeinetan jatorrizko ordenatua 5 da?

14) Idatzi kurbarekiko zuzen ukitzaileak abzisadun puntuetan.

15) Aurkitu a-ren eta b-ren balioak funtzioaren grafikoarekiko zuzen ukitzailea

puntuan izan dadin

16) Emanik funtzioa. Aurkitu k parametroa minimoan funtzioaren balio 8 izan

dadin.

JARRAITUTASUNA

17) Aurkitu a-ren eta b-ren balioak funtzioan funtzioaren grafikoa

puntutik igaro dadin eta abszisadun puntuan mutur erlatiboa egon dadin.

18) Aurkitu a-ren, b-ren eta c-ren balioak funtzioan, f funtzioak

puntuan maximoa eta puntuan minimoa izan ditzan.

19) Aurkitu funtzioaren maximo eta minimoak

20) Aurkitu funtzioaren maximo eta minimoak

21) Egiaztatu funtzioak Rolleren Teoremaren baldintzak (hipotesiak)

tartean betetzen dituela.

Aurkitu c balioa non teoremaren tesia betetzen den. Badago balio bat baino gehiago?

22) Kalkulatu m eta n ondoko funtzioa honek

Batezbesteko Teoremaren hipotesiak bete ditzan tartean. Aurkitu x-ren balioa, non tesia

betetzen den

23) Kalkulatu a, b eta c ondoko funtzioa honek

Rolleren Teoremaren hipotesiak bete ditzan tartean. Zein puntutan betetzen da tesia?

24) Kalkulatu a, b eta c ondoko funtzioa honek

Rolleren Teoremaren hipotesiak bete ditzan tartean. Zein puntutan betetzen da tesia?

OPTIMIZAZIO-PROBLEMAK

1) Lursail lau batean laukizuzen itxurako partzela bat 80 m-ko alanbre sarearekin inguratu nahi da,

baina horren alde batean 20 m-ko irekigunea utziz, irudian agertzen den bezala.

Kalkulatu partzela laukizuzenaren neurriak, horren azalera maximoa izan dadin, baita azalera

hori ere.

2) 6 m-ko luzera duen soka bat daukagu, eta muturrak lotuz gero neurri desberdinetako triangelu

isoszeleak era ditzakegu. Kalkulatu, modu arrazoituan, azalera handiena duen triangeluaren

dimentsioak. Zer motatako triangelu ateratzen da?

irekigunea

JARRAITUTASUNA

3) Aurkitu bi zenbaki erreal positiboak jakinik euren batura 10 dela eta euren biderkadura

maximoa dela

4) 24 m2–ko lursail bat hesi laukizuzenaren bidez mugatu nahi dugu, eta, gainera, bi zati

berdinetan zatitu nahi da, aldeetariko batekiko paraleloa den beste hesi baten bidez. Zein neurri

eduki behar ditu hesiaren luzera minimoa izan dadin?

5) Paper-orri batek 18 cm2–ko testu inprimatua eduki behar du. Goiko eta azpiko marjinak 2 cm-

koak dira eta aldekoak 1 cm-kok. Kalkulatu orriaren dimentsioak paper-gastua minimoa izan

dadin.

6) Zilindro-itxurako uraska eraiki nahi da. Aurkitu dimentsioak ur-bolumena maximoa izan dadin,

kontuan hartuz azulejuz estaltzeko 300 m2 dagoela (zorua barne).

7) Objektu bat puntu finko betetik eta bertikalki jaurtitzen da. T segundo igaro ondoren altuera

funtzioak ematen du.

a) Zenbat denbora igaro da altuera maximoa lortu arte? Zein da altuera?

b) Abiadura kontuan hartuz, kalkulatu abiadura 2 segundo pasa ondoren.

8) Metro bateko luzera duen alanbrea bi zati egiten da. Zati batarekin karratu bat osatzen da eta

bestearekin zirkunferentzia bat. Kalkulatu zati bakoitzaren luzera, bi barrutien azaleraren batura

minimoa izan dadin.

9) Hiru orduko atletismoko proba batean gorako jauzilari baten kontzentrazio-gaitasuna honako

funtzio honek ematen du: , t orduak izanik, 0-tik 3-ra.

a) Kalkulatu zein tartetan kontzentrazio-gaitasuna gehitzen den eta zeinetan gutxitzen den .

b) Kontzentrazio-gaitasuna kontuan hartuz, zein da une egokiena atletak horren marka

gainditzeko.

c) Irudikatu kontzentrazio-gaitasuna funtzioa.

10) Errepide zuzen baten ondoan dagoen lursail laukizuzena hesitzeko 288 000 pts daukagu.

Errepide ondoko hesiaren prezioa 800 pts/metro-ko da eta beste aldeetakoak100 pts/metro-ko

badira, zeintzuk dira dimentsioak lursail laukizuzen azalera maximoa izan dadin? Zein da

azalera hori?

11) Hiri handi batetik ateratzeko errepide batean, 2 orduren eta 6 orduren artean, automobilen

abiadura honako funtzio honek ematen du: , non .

a) Zein ordutan automobilen abiadura maximoa da?. Justifikatu erantzuna.

b) Zein ordutan automobilen abiadura minimoa da?. Justifikatu erantzuna.

12) 80 cm3-ko edukiera duen oinarri karratuko kutxa itxi bat eraiki nahi da. Estalkiarentzat eta

alboko azalerarentzat erabilitako materialaren kostua 1 €/cm2-ko da eta oinarriko materialaren

kostua 50% garestiagoa. Aurkitu kutxaren dimentsioak bere kostua minimoa izan dadin,

JARRAITUTASUNA

13) 8 cm-ko perimetrodun laukizuzenetatik, bilatu diagonalik txikiena duena

14) Baserritar batek ibai baten alboko larre laukizuzen bat hesi nahi du. Larrea 180 000 m2–ko

azalera eduki behar du horren abereak elikatzeko bazka nahikoa edukitzeko. Ibai alboko aldeak

hesirik ez badu behar, zein dimentsio eduki beharko du lursail laukizuzenak erabilitako hesi-

kantitatea minimoa izan dadin?

ibaia

Larrea