J. COLERA JIMÉNEZM.J. OLIVEIRA GONZÁLEZ

I. GAZTELU ALBEROR. COLERA CAÑAS

3ESO

Programa

Mary Somerville

MATTQU

EESMÀ

I-

-

» REPTE 1R TRIMESTRE: Al supermercat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Operacions amb fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. Pas de decimal a fracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Fraccions i decimals amb la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . 206. Potenciació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227. Notació científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248. Arrels i radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269. Nombres racionals i irracionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1PROBLEMES ARITMÈTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401. Aproximacions i errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Càlculs amb percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453. Interès compost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494. Problemes clàssics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505. Proporcionalitat composta en problemes aritmètics . . . . . . 53Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2PROGRESSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641. Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662. Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683. Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704. Progressions geomètriques sorprenents . . . . . . . . . . . . . . . . 74Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3EL LLENGUATGE ALGEBRAIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861. Expressions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882. Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904. Identitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925. Divisió de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946. Factorització de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977. Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4» REPTE 2N TRIMESTRE: El dipòsit de reg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

EQUACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121. Equacions . Solució d’una equació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142. Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163. Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184. Equacions polinòmiques de grau més gran que dos . . . . . 1225. Resolució de problemes amb equacions . . . . . . . . . . . . . . . . 124Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5

FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581. Les funcions i les gràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1602. Aspectes rellevants d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623. Expressió analítica d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777

SISTEMES D’EQUACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361. Equacions lineals amb dues incògnites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382. Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393. Sistemes equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404. Tipus de sistemes segons el nombre de solucions . . . . . . . 1415. Mètodes de resolució de sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426. Sistemes d’equacions no lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467. Resolució de problemes mitjançant sistemes . . . . . . . . . . . . 147Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6

FUNCIONS LINEALS I DE PROPORCIONALITAT INVERSA . . . . . . . . . . . . . . 1781. Funció de proporcionalitat y = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802. Funció lineal y = mx + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823. Aplicacions de la funció lineal .

Problemes de moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864. Estudi conjunt de dues funcions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875. Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSÍNdex

*NOTA: Les unitats 11 i 13 són específiques per als ensenyaments acadèmics . Tanmateix, l’alumnat d’ensenyaments aplicats haurà d’haver cursat aquests continguts en finalitzar l’ESO .

PROBLEMES MÈTRICS EN EL PLA . . . . . . . . . . . . . . . . 2021. Relacions angulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042. Semblança de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063. Figures semblants . Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084. Teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . 2106. Àrees dels polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117. Àrees de les figures corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128. Llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139. Les còniques com a llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9COSSOS GEOMÈTRICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281. Poliedres regulars i semiregulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302. Truncant poliedres regulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323. Plans de simetria d’una figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344. Eixos de gir d’una figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355. Superfície dels cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366. Volum dels cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407. Coordenades geogràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES* . . . . . . . . . . 2541. Transformacions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2562. Moviments en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573. Translacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584. Girs . Figures amb centre de gir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605. Simetries axials . Figures amb eixos de simetria . . . . . . . . . . 2626. Composició de moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647. Mosaics, sanefes i rosasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11

ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2801. El procés que se segueix en estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . 2822. Variables estadístiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2833. Població i mostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2844. Confecció d’una taula de freqüències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865. Gràfic adequat al tipus d’informació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886. Dos tipus de paràmetres estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2907. Càlcul de x–  i σ en taules de freqüències . . . . . . . . . . . . . . . . 2928. Interpretació conjunta de x–  i σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949. Obtenció de x–  i σ amb la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29610. Estadística en els mitjans de comunicació . . . . . . . . . . . . . . 297Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

12

» REPTE 3R TRIMESTRE: Daus, geometria i atzar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

» RESOLUCIÓ DE PROBLEMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

ATZAR I PROBABILITAT* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3081. Esdeveniments aleatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102. Probabilitat d’un esdeveniment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3123. Probabilitat en experiències regulars .

Llei de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134. Probabilitat en experiències irregulars .

Llei dels grans nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145. Probabilitat en experiències compostes . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

13

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSÍNdex

3. La piscina i les aixetesLa piscina on han de fer la prova de natació s’omple per mitjà de dues aixetes: A i B. Cada una de les aixetes omple la

piscina per separat; així, l’aixeta A omple la piscina en 10 hores i l’aixeta B, en 12 hores. Una avaria en el desguàs de

la piscina fa que, quan aquesta és plena, es buidi en 20 hores.

a) Si la piscina és buida i obrim les aixetes, quina fracció de piscina s’omple en una hora?

b) Quantes hores tarda a omplir-se la piscina? I si s’hagués arreglat l’avaria en el desguàs i no perdés gens d’aigua, quant

tardaria a omplir-se?c) Les mides de la piscina són 50 m de llargada, 10 m d’amplada i 2,5 m de profunditat. Troba la seva capacitat en metres

cúbics i en litres. Expressa aquesta última mesura en notació científica.

4. La cursa ciclistaLa Júlia, després de la cursa i de la prova de natació, anava primera, però estava molt cansa-da, per la qual cosa la seva velocitat mitjana en la cursa ciclista ha estat una mica baixa: d’uns 20 km/hora. Ha tardat 3 hores a recórrer la dis-tància que separa la seva ciutat de la localitat on hi ha l’arribada.a) Quina distància separa les dues poblacions? b) La Gemma ha començat la prova ciclista

mit ja hora després que la Júlia. L’haurà atra-pada si va a 25 km/h? Quant haurà tardat a fer-ho i a quina distància de la sortida ho haurà aconseguit?c) Cada hora la Júlia perd 5,4·10-3 litres d’aigua

en forma de suor. Quanta aigua perd al llarg de la cursa ciclista? Si la Gemma està més ben preparada i només perd 4,2·10-3 litres per hora, quanta aigua, en litres per hora, perd més la Júlia que la Gemma?

b) Al llarg del recorregut de la cursa s’ofereixen als corredors, per hidratar-se, llaunes

de refresc de forma cilíndrica de 8 cm de radi i 4 10 cm d’altura. Troba el vo-

lum de cada llauna. Expressa el resultat de forma exacta; és a dir, amb les arrels

quadrades indicades i el més simplificat possible.

c) Un dels amics d’en Bernat, en Xavier, ha de prendre una medicació després de córrer. Cada comprimit és de 10 mg. El

medicament es troba en cada comprimit en una concentració del 25 %. Quina quantitat de medicament hi ha en cada

comprimit? Calcula el resultat en grams i en quilograms. (Expressa’l en notació científica.)

8 cm4 10 cm

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

37

» PRESENTACIÓ I ESTRUCTURAEls continguts del programa Mary Somerville per a 3r d’ESO s’estructuren en 13 unitats que es desenvolu-pen a partir d’informació clara i detallada i un gran nombre d’activitats .

» OBSERVA, RAONA I RESOL1. CONSTRUCCIÓ DE GRÀFIQUES

La Carla i en Lluc han pujat en un vagó d’unes muntanyes rus-ses com aquestes:

A

B

C

DE

F

G

H I

Dibuixa la gràfica de la funció que relaciona la velocitat amb la distància recorreguda al llarg de la via.

En A estan aturats. El vagó comença a moure’s i manté una velocitat constant fins a arribar al primer cim, C. Justament en aquest punt comença a baixar, per la qual cosa la velocitat va augmentant fins a arribar a la part més baixa: E. A partir d’aquest punt, el vagó va perdent velocitat fins a arribar al segon cim, G, des d’on cau i ràpidament torna a agafar velocitat. Quan arriba a H s’activen els frens, cosa que fa que la velocitat es redueixi fins que el vagó s’atura del tot, en I.

distànciarecorreguda

A B C D E F G H I

velocitat

motor

fre

Fes-ho tu

Dibuixa, de forma aproximada, la gràfica de la funció distància recor-reguda-velocitat per a les muntanyes russes de la dreta.

A

B

C

D

E

F

G

H

I J

2. INTERPRETACIÓ DE DUES GRÀFIQUES SOBRE LA MATEIXA QUADRÍCULA

Aquestes gràfiques mostren el nombre de contractes de prepa-gament i postpagament al llarg dels anys en un país determinat.

40

2000 2005 2010 2015

30

20

10

nre. de contractes (en milions)

any

postpagament

prepagament

a) En quin any es fan els ma-teixos contractes de prepaga-ment i post pagament?

b) Quina és la tendència de la diferència entre prepagament i postpagament?

c) Analitza les dues gràfiques conjuntament.

a) Coincideixen en l’abscissa del punt de tall de les dues gràfiques; és a dir, a meitat del 2005 hi va haver aproximadament els mateixos contractes de pre-pagament que de postpagament.

b) La diferència entre el postpagament i el prepagament es fa cada vegada més gran en el temps, ja que el prepagament tendeix a desaparèixer mentre que el postpagament va creixent al llarg dels anys.

c) L’any 2000 predominava el prepagament. Al llarg dels tres anys següents, va augmentar la diferència, però, a partir del 2004, va començar a estabilitzar-se mentre el ritme de creixement del postpagament es mantenia constant. Aques-ta tendència es manté fins a l’any 2012, en què el prepagament comença el seu declivi, mentre que el postpagament continua creixent.

Fes-ho tu Les gràfiques següents mostren l’evolució dels mitjans de comunicació.a) En quins anys internet coinci-

deix amb els altres mitjans?b) Indica com ha evolucionat inter-

net respecte als altres mitjans.98 00 02 04 06 08 10 12 14 16

100

80

60

40

20

0

Ús dels mitjans de comunicació (% de població)

Diaris Revistes TV Internet

any

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 7 » FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES

168

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT

En Bernat participa, amb uns amics i amigues, en una prova de triatló que se celebra a la seva ciutat durant el cap de setmana. Aquesta competició consisteix en tres proves esportives: una cursa at-lètica, una prova de natació i una cursa ciclista. S’ha estat preparant durant uns quants mesos i espera fer un bon paper i quedar en una bona posició.Primer de tot, hauran de córrer pels vol-tants de la ciutat, després hauran de ne-dar a la piscina que hi ha al poliesportiu i, finalment, hauran d’anar amb bicicle-ta fins al poble del costat.

1. La cursa atlèticaEn Bernat comença la cursa atlètica a bon ritme: fa 1/10 part del recorregut en un temps molt bo. Després, durant 1/3 de la resta de la prova, plou. Del que li queda per recórrer, 2/3 parts les fa corrent per camins del bosc i la resta del recorregut la fa pels carrers de la ciutat. Aquesta última part té una extensió de 8 km.a) Quina distància recorren en la cursa atlètica?b) Quina distància recorren en passar pel bosc? c) Durant quants quilòmetres plou? d) En Bernat ha assolit un bon temps al principi de la cursa. Quants quilòmetres ha recorregut en aquesta etapa?

2. Refrescar-se després de la cursaAcabada la cursa, els organitzadors ofereixen beguda als atletes perquè puguin rehidratar-se adequadament. Hi ha ampo-lles de begudes isotòniques d’1/3 de litre, de 2/5 de litre, de 1/2 litre i de 3/4 de litre.a) Quan arriba a la meta, en Bernat beu dues ampolles de 2/5 de litre i una d’1/3; la Gemma beu una ampolla de 2/5 i

dues d’1/3; en Xavier beu una ampolla de 3/4 i tres de 2/5, i la Júlia beu quatre ampolles d’1/3 i tres de 1/2 litre. Ordena els atletes segons la quantitat de líquid ingerit, de més a menys.

TRIATLÓ DE CAP DE SETMANA

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

36

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» OBSERVA I REPRESENTAFont vauclusianaDibuixa, en cada cas, la gràfica que relaciona l’altura que assoleix l’aigua en cada recipient amb el temps transcorregut:a) b)

nota: Abans de resoldre l’apartat b), busca què és una font vauclu-siana.

» REFLEXIONA I DECIDEIXEn funció del tempsOmplim diversos recipients, i l’altura (a ) que assoleix el líquid està en funció (depèn) del temps transcorregut (t ).En representar aquesta funció, veiem que cada recipient té una gràfica característica.

a

t

a

t

a

t

I II III

— En els dos primers recipients, el nivell puja uniformement, tot i que en el segon puja més ràpidament que en el primer.

— En el tercer recipient, el nivell puja a poc a poc al principi i ràpidament al final.• Associa cada un d’aquests recipients amb la seva gràfica:

I II III

IV V VI

A

D

B

E

C

F

Surgència d’aigua a Fontaine-de-Vaucluse.

176

UNITAT 7 » FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES

1. Aquesta gràfica mostra l’altura sobre el nivell del mar assolida per l’Anna i en Miquel en fer una ascensió a una muntanya:

1

100200300400500600700800900

1.0001.100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

altura (m)

temps (h) a) Quines variables hi intervenen? Quina escala s’utilit-

za per a cada variable? Quin és el domini de defini-ció d’aquesta funció?

b) Quant ha durat la marxa? Des de quina altura co-mencen a caminar? Quina altura màxima han asso-lit? Quan s’han aturat a menjar?

c) En quin interval de temps pugen més ràpid? En quin baixen més ràpid?

d) Fes una descripció del transcurs de la marxa.

2. Una cisterna conté 5 l d’aigua per polvoritzar-la en una terrassa. Tarda 10 min a buidar-se. Quan es buida, hi ha un mecanisme que l’omple en 2 min.a) Representa la funció temps-quantitat d’aigua.b) Explica si la funció és periòdica.c) Durant la primera mitja hora, en quins moments és

plena? I buida?

3. Una d’aquestes equacions, que es correspon amb la gràfica, expressa la relació entre l’altura, h, assoli-da per una pilota que es llança enlaire, i el temps, t. Quina és?

A h = 8t – t 2 B h = 40t – 5t 2 C h = – 4t 2 + 80t

20

40

60

80

1 2 3 4 5 6 7 8

altura (km)

temps (s)

a) Quina altura assoleix la pilota? Quant tarda a caure?b) Determina l’altura de la pilota al cap de 5 segons:

— De forma aproximada, mirant la gràfica.— Utilitzant l’expressió algebraica.

» POSA’T A PROVA

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES• Dos germans ranxers es reparteixen una herència a

parts iguals. La Núria inverteix la seva part en la com-pra d’un grup de 80 cavalls. En Carles inverteix la seva en un conjunt de 100 vaques. Si un cavall costa 150 € més que una vaca, a quant pujava l’herència?

• Passa per sobre aquests nou punts mitjançant una lí-nia trencada de quatre segments.

a) Ets al costat d’una font i disposes d’una gerra de 5 li-tres i d’una altra de 3 litres. Com t’ho faràs per me-surar exactament un litre d’aigua?

b) Si ara disposes de dos càntirs, un de 7 litres i un al-tre de 5, com t’ho faràs per mesurar 4 litres d’aigua?

c) I com mesuraries 3 litres d’aigua si tinguessis un càntir de 9 litres i un altre de 5 litres?

UNITAT 7 » FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES

177

El supermercat del centre co-mercial pertany a una gran ca-dena amb més de quatre-centes sucursals, que estan repartides per tot el país.En un supermercat a part del personal que trobem quan hi anem a comprar (dependents, caixers, reponedors, etc.), hi ha moltes altres feines d’adminis-tració, gerència...

1. El gerent del supermercat està confeccionant una taula amb la distribució de la facturació del mes passat.

Estudia les dades que ja ha recollit el gerent, calcula, i vés completant una taula com la que et donem de

model:distribució de les vendes

fruites i verdures1/8

carn i peix16 %

alimentació7/20

dietètica 0,04

drogueria i perfumeria15 %

equipament de la llar10 %

altres… …

a) Quin percentatge de les vendes representen les fruites i verdures?

b) Quina fracció de les vendes ocupen els productes de drogueria i perfumeria?

c) Tenint en compte que les vendes de productes dietètics s’expressen amb el decimal 0,04,

• quin nombre decimal correspon a fruites i verdures?

• i a l’apartat «Alimentació»?

d) Expressa amb una fracció, amb un percentatge i amb un nombre decimal, la part de les vendes que cor-

res pon a l’apartat «Altres».

» REPTE: AL SUPERMERCAT

REPTE 1r TRIMESTRE » AL SUPERMERCAT

110

Dimensions. Indicació de les di-mensions, que es tracten en to-tes les unitats .

Resol. S’ofereixen una sèrie d’ac-tivitats motivadores amb la finali-tat d’identificar els coneixements previs de l’alumne .

Cada unitat comença amb una breu in-troducció històrica dels continguts que es treballaran .

Fes-ho tu. Exercicis i problemes per practi-car les estratègies que s’acaben de mostrar .

PracticaInterpretació de gràfiques1. L’Anna surt a les 10.00 h amb la intenció de pujar una muntanya i després tornar pel mateix camí fins a ar-ribar al punt de partida. Aquesta gràfica mostra la distàn-cia recorreguda al llarg de la seva caminada:

distància recorreguda (km)

temps (h) 1 2 3 4

20161284

a) Quant temps dura la caminada? A quina hora acaba de caminar?

b) A quina hora ha arribat al cim? c) Quina distància ha recorregut abans d’aturar-se a des-

cansar? Quant temps descansa?d) Explica per què la gràfica mai no és decreixent.

2. El llum d’un far s’encén i s’apaga diverses vegades en una seqüència de temps única (cada far té la seva prò-pia) que es mostra en aquesta gràfica:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

llum

foscor

temps (s)

a) Cada quant temps es repeteix, és a dir, quin és el pe-río de d’aquesta funció?

b) El llum, al cap de 6 s, està encès o apagat? I al cap de 7 s?c) Com estarà el llum al cap de 15 s? I al cap d’1 minut?

3. En Guillem surt corrents de casa per tal de no arri-bar tard a classe. A mig camí s’atura una estona a descansar i continua caminant tranquil·lament fins que arriba a clas-se. Indica quina gràfica mostra la distància que recorre.

dist

ànci

a

dist

ànci

a

dist

ànci

a

dist

ànci

a

temps temps temps temps

A B C D

4. La temperatura de la Terra va augmentant en fun-ció de la profunditat. Al principi augmenta de manera constant i a poc a poc s’estabilitza. La gràfica mostra una estimació d’aquesta variació:

tem

pera

tura

(°C

)

profunditat (km)

5.000

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

4.0003.0002.0001.000

a) Quina temperatura hi ha a 1.500 km de profunditat, aproximadament? I a 3.000 km?

b) Estima la temperatura al centre de la Terra.c) Suposant que en el primer tram la temperatura creix

de manera constant uns 4 °C/km, a quina profunditat s’assoleixen els 1.000 °C? I els 2.000 °C?

5. Mercuri tarda 88 dies a completar la se-va òrbita al voltant del Sol. La seva distància al Sol os-cil·la entre 70 i 46 milions de quilòmetres. Aquesta gràfica mostra la seva dis-tància al Sol:

50 7525 100

50

100

distància(milions de km)

temps (dies)

a) Copia i completa la gràfica per a 300 dies. b) Estima la seva distància al Sol d’aquí a dos anys terrestres.c) Quan comença la gràfica, Mercuri es troba a 46 mi-

lions de quilòmetres del Sol. Quant temps passa fins que està a 60 milions de quilòmetres?

6. La gràfica següent mostra la distància que recorre un vehicle des que el conductor pitja el fre fins que s’atu-ra, en funció de la velocitat a què circula:

velocitat del cotxe (km/h) 10 20 30 40 50 60 70 80 90

80

60

40

20

distància (m)

a) Aproximadament, quants metres recorre un vehicle abans d’aturar-se si va a 55 km/h?

b) A quina velocitat anava un vehicle que ha necessitat 50 m per aturar-se?

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 7 » FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES

169

2. SEMBLANÇA DE TRIANGLESCom passa amb altres figures, dos triangles són semblants quan tenen la mateixa forma. No obstant això, podem expressar aquesta condició de manera més mate-màtica relacionant els seus costats i els seus angles.

A

B

A'

B'

C'a'

c'

b'

C

a

b

c

Dos triangles semblants tenen:

• Els seus costats proporcionals:

' ''aa

bb

cc= = = raó de semblança

• Els seus angles respectivament iguals:A^ = A^’ B^ = B^’ C^ = C^’

Triangles en posició de TalesEls triangles ABC i AB’C’ que veus a la dreta tenen un angle comú, A^. És a dir, el triangle petit està encaixat en el gran. A més, els costats oposats a A són paral·lels.Diem que aquests dos triangles estan en posició de Tales.

A

B

B'

C'

a'

C

a

Dos triangles en posició de Tales són semblants.

Aquest resultat és molt important, perquè permet reduir les condicions que s’exi-geixen per tenir la seguretat que dos triangles són semblants. I és possible ampliar-lo encara més:

Dos triangles són semblants si es poden posar en posició de Tales.

Per exemple, si dos triangles tenen dos angles respectivament iguals (A^ = A^’, B^ = B^’ ), podem encaixar el petit en el gran fent coincidir un dels angles comuns (A^ = A^’ ).

A

B

A'

B'B'

C'

C' C

Com que l’altre angle també és igual (B^ = B^’ ), els costats oposats a A seran pa-ral·lels. Així doncs, els dos triangles estaran en posició de Tales i, per tant, podem asse-gurar que són semblants.

Recorda el teorema de Tales

Si dues rectes secants són tallades per tres rectes paral·leles, els segments de-terminats en les primeres són propor-cionals.

C

C'

A

a b c

r

sA' B'

B

/ /AB BC A'B' B'C'=

GeoGebra. Presentació del teorema de Tales. Pràctica amb triangles en posició de Tales. Semblança de triangles i la proporció àuria.

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 9 » PROBLEMES MÈTRICS EN EL PLA

206

Criteri de semblança de trianglesDos triangles són semblants si tenen dos angles respectivament iguals, ja que, segons hem vist, es poden posar en posició de Tales.

Si comprovem que dos triangles tenen dos angles respectivament iguals (A^ = A^’ i B^ = B^’ ), sabrem que són semblants; és a dir:

— També són iguals els altres angles: C^ = C^’

— Els seus costats són proporcionals: ' ''a

abb

cc= =

5. Repeteix el raonament de l’exercici resolt, però ara su-posa que el costat del pentàgon fa 12 cm. Quant fa la seva diagonal?

6. Prova que els triangles ABC i EFD del pentàgon de dalt són semblants. A partir d’aquesta semblança, torna a ob-tenir la relació entre d i c.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Criteri de semblança

Si A^ = A

^’ i B

^ = B

^’, llavors:

C^ = C

^’ i

' ' 'aa

bb

cc= =

EXERCICI RESOLT

2. Utilitzar la semblança dels tri-angles ACD i AFE per obtenir la relació entre la diagonal, d, i el costat, c, d’un pentàgon regular.

A

B E

C D

F

• Comprovarem que els triangles taronja i blau són semblants.Provarem que els triangles tenen dos parells d’angles iguals. Per fer-ho, ins-criurem la figura en una circumferència. Com que és un pentàgon regular, els cinc arcs entre els seus vèrtexs són iguals.

1’ = 1 perquè estan inscrits en la circumfe-rència i abasten arcs iguals.

2’ = 2 pel mateix motiu.

F

1 1'2'

2

• Càlcul de la relació entre el costat, c, i la diagonal, d.Com que els dos triangles són semblants, els seus costats són proporcio-nals. Prenem com a unitat de mesura el costat del pentàgon, c = 1. Llavors, CF AF AE 1= = = . I, per tant, FE = d – 1.

dd1 1

1–

= → d 2 – d = 1 → d 2 – d – 1 = 0

d = ±2

12

1 1 4 5±=+

Només té sentit la solució positiva.

d – 1dd

1

1

1

La relació demanada és aquesta: dl

d1=

c = d = 2

1 5+ ≈ 1,618…

Aquest nombre, 21 5+ , que relaciona la diagonal d’un pentàgon amb el seu cos-

tat, s’anomena nombre d’or, o nombre auri, i es designa amb la lletra grega Φ (fi).

GeoGebra. Criteris de semblança.

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 9 » PROBLEMES MÈTRICS EN EL PLA

207

GeoGebra. Activitats amb GeoGebra que complementen els continguts . Les trobareu al webwww.espaibarcanova.cat.

Matemàtiques en context. Acti-vitats competencials i contex-tualitzades en situa cions reals per aplicar els continguts de la unitat .

Taller de matemàtiques. Lectures, curio-sitats, informacions interessants… amb activitats de caire més lúdic .

Entrena’t resolent altres problemes. Problemes més lú-dics per posar en joc diferents habilitats i estratègies .

Posa’t a prova. Avaluació per compro-var si l’aprenentatge és satisfactori .

Repte. Al final de cada trimestre presentem una doble pàgina de pro-blemes per resoldre aplicant les estratègies i els coneixements ma-temàtics apresos fins aquell moment . Per a la resolució dels tres reptes oferim recursos web que trobareu en l’espai personal del web www.barcanova.cat.

Resolució de problemes. Pro-blemes curiosos i divertits que cal resoldre posant en joc la imaginació, una bona planifica-ció, el sentit comú i una mica d’enginy .

Exercita les teves competències. Al final de cada unitat hi ha una bateria d’activitats per aplicar els coneixe-ments adquirits i per desenvolupar les diferents competències . En cada activitat s’indica el nivell de dificultat:

baix    mitjà    alt

Destacats en color. Definicions i procediments principals .

Aquesta icona indica que és una activitat per avaluar per dimensions .

Observa, raona i resol. Estratègies, suggeriments, pistes i maneres de pensar que resultaran útils per afrontar la resolució de problemes semblants .

Notes al marge amb explicacions comple-mentàries, exemples, recordatoris, càlcul mental, calculadora…

Exercicis i problemes resolts per practicar els procediments més importants .

Aplica el que has après. Activitats per posar en pràctica els conei-xements que s’acaben d’adquirir i desenvolupar les diferents com-petències .

Resol: una mica més difícil

28. Els metges recomanen que, en fer esport, no

se superin certes limitacions de freqüència cardíaca. Fa

temps es va establir un algorisme per trobar la màxima

freqüència cardíaca recomanada (MFCR) segons l’edat:

MFCR = 220 – edat

Investigacions mèdiques posteriors suggereixen una lleu

modificació d’aquesta fórmula:

MFCR = 208 – (0,7 . edat)

La comunitat mèdica afirma que la nova fórmula redueix

una mica les pulsacions recomanades als joves i les aug-

menta lleugerament a les persones grans.

a) A partir de quina edat la nova fórmula augmenta la

limitació?

b) Dibuixa les gràfiques corresponents a les dues fórmu-

les, calcula el punt de tall i comprova que coincideix

amb el que s’ha trobat en l’apartat anterior.

c) Comprova, per a cada una de les dues fórmules, qui-

na limitació de freqüència cardíaca correspon a la teva

edat.

29. Un cargol de 8 cm de longitud té una rosca que

permet d’introduir-lo 1,5 cm per cada tres voltes que gi-

ra. Per entrar-lo en una biga de fusta li hem donat, prè-

viament, un cop de martell, amb el qual ha penetrat

0,5 cm.

a) Fes una taula que relacioni el nombre de voltes que

gira el cargol, x, amb la longitud que penetra, y. Cons-

trueix la gràfica d’aquesta relació.

b) Quina és l’expressió ana-

lítica? Quin és el pas de

rosca del cargol (longitud)

que penetra per cada volta?

Quantes voltes l’haurem

de fer girar fins que tot el

cargol quedi enfonsat en la

biga?

c) Suposem que s’ha seguit el

mateix pocediment per tra-

vessar un llistó de 5 cm de

gruix. Al cap de quantes

voltes la tija del cargol co-

mençarà a sortir per l’altre

cantó del llistó?

30. El cost de fabricació per unitat d’un model deter-

minat de sobres disminueix segons el nombre d’unitats

fabricades i ve donat per la funció següent:

y = 0,3x + 1.000

x

a) Quins valors pren la variable independent, x ?

b) Calcula el cost per unitat i el cost total per a 10 sobres.

Fes el mateix per a 100.000 sobres.

c) A quant creus que tendeix el cost per unitat quan el

nombre de sobres és molt gran?

Reflexiona31. Posa un exemple d’una funció de proporcionali-

tat, troba tres punts d’aquesta funció i comprova que el

quocient entre l’ordenada i l’abscissa és constant. Com

s’anomena aquesta constant?

32. En la funció y = mx + n, com ha de ser m perquè

la funció sigui decreixent?

33. Escriu l’equació d’una recta paral·lela a l’eix verti-

cal i que passi pel punt (3, 5).

34. a) Calcula c perquè la recta 3x – 5y = c passi pel

punt (–2, 4).

b) Calcula b perquè la recta 2x + by = –11 passi pel punt

(2, –5).

35. Vertader o fals?

a) a > 0 b) b > 0

c) c > 0 d) a > b

e) c < b f ) c > a

g) –c > a h) b > –c

y = cx

y = bx

y = ax

36. Vertader o fals? Justifica les teves respostes.

a) Es pot obtenir l’equació d’una recta sabent el seu pen-

dent i el punt de tall amb l’eix Y.

b) Amb els punts de tall amb els eixos sempre és possible

obtenir l’equació d’una recta.

c) El pendent d’una recta és el que augmenta x quan y

augmenta 1 unitat.

d) El pendent d’una recta és el que augmenta y quan x

augmenta 1 unitat.

37. En una funció de proporcionalitat inversa, com

varia y quan x es duplica? Posa un exemple d’aquest ti-

pus de funció i troba’n tres punts que confirmin la teva

hipòtesi. 193

UNITAT 8 » FUNCIONS LINEALS I DE PROPORCIONALITAT INVERSAResol: una mica més difícil. Activitats d’una complexitat superior a la resta .

Aquesta icona indica que és una activitat relacionada amb al-gun dels 17 objectius de desen-volupament sostenible aprovats per l’ONU .

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSUNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELSPreseNtacIÓ i estrUctuRA