iv unidad-trigonometría esférica

Universidad Nacional de Cajamarca

Facultad de ingeniería

E. A. P. Ingeniería Hidráulica

ASIGNATURA:

MATEMÁTICA II

TEMA:

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

DOCENTE:

Ing°. Msc. Albertico Bada Aldave

ESTUDIANTE:

Becerra Cabanillas, Bernabé.

CAJAMARCA - PERÚ

Ingeniería Hidráulica

BERNABÉ BECERRA C.

2 0 1 1

Universidad Nacional de Cajamarca Ingeniería Hidráulica

Matemática II Trigonometría Esférica

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

I. INTRODUCCIÓN.

La trigonometría es una rama de la matemática en la que se analiza las medidas de las partes

de los triángulos, tanto los triángulos planos como de los esféricos, así como de las figuras

que se forman con ellos.

Entonces la trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los

polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos; la

resolución de triángulos esféricos rectángulos y acutángulos. La trigonometría esférica tiene

especial relevancia en la astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un

buque en altamar mediante la observación de los astros.

II. CONCEPTOS BÁSICOS.

A. Diedro.- Según la figura el diedro es la región del

espacio limitado por dos semiplanos “a y b” y limitados

por la recta común “AB”.

Donde a los semiplanos “a y b” se les denomina

CARAS y a la recta común “AB” se denomina ARISTA.

Así mismo al trazar las rectas HE y EF perpendiculares

a “AB”, muestra el ángulo del diedro ( ) que forma

los semiplanos (a y b).

B. Triedro.- Con tres semirrectas en el espacio no situadas en

el mismo plano y con origen común en un mismo punto “V”

forman el triedro.

Donde a las semirrectas se les denomina ARISTA y el punto

“V” se denomina triedro, los ángulos que determinan cada

dos aristas consecutivas se llaman lados o caras del triedro

y su medida es siempre menor que 180º y se denota por las

letras a, b y c.

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa



Propiedades:

En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su

módulo de la diferencia.

│a - c│ < b < a + c

│a - b│< c < a + b

│b - c│< a < b + c

En todo triedro, a mayor ángulo diedro se opone mayor cara y viceversa.

A > B ↔ a > b A < B ↔ a < b

B > C ↔ b > c B < C ↔ b < c

A > C ↔ a > c A < C ↔ a < c

La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro ángulos rectos.

La suma de los tres ángulos diedros de un triedro está comprendida entre dos y seis

ángulos rectos.

C. Circunferencia o ciclo.

La geometría de la esfera se basa en los conceptos de circunferencias máximas,

circunferencias menores y arcos de estas figuras.

Se llama circunferencia máxima a la

intersección de la esfera con un plano que

contiene el centro de dicha esfera.

Si el plano que interseca la esfera no

contiene al centro, entonces la intersección

del plano con la esfera es una circunferencia

menor.

Dado los puntos A y B en la esfera constituyen un solo plano, que la intersección

con la esfera definen el ciclo AB.

D. Distancia esférica.

La distancia esférica está dada por la longitud del menor arco de ciclo comprendido

entre los puntos A y B. entonces la medida de la distancia AB es la del ángulo plano

AOB.



Dos ciclos siempre se cortan en dos puntos P y P’ diametralmente opuestos.

E. Ángulo esférico.

Se llama ángulo esférico “ ” entre dos ciclos al ángulo

formado por las dos tangentes a las semicircunferencias en

uno de sus puntos de contacto. Puesto que dichas

tangentes son perpendiculares al diámetro PP’, el ángulo

esférico “ ” es el correspondiente al diedro formado por los

plano de los dos ciclos y su medida es la misma que la del

arco AC.

III. TRIÁNGULO ESFÉRICO.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos

de circunferencias máximas que se cortan dos a dos, la

figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del

triángulo así formado se expresan por conveniencia como

ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su

longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el

radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo

esférico los ángulos cumplen que:

Cuando se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se obtiene un

triedro. Entonces se puede dar otra definición de triángulo esférico, diciendo que es la

intersección de la esfera con las tres caras del triedro.

Los tres puntos A, B y C de intersección de las aristas del triedro con la esfera son los vértices

o ángulos del triángulo esférico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro, OA,

OB y OC. De acuerdo a esto es evidente que los ángulos de las caras y los ángulos diedros

de un triedro no se alteran en magnitud si varía el radio de la esfera. Por lo tanto la relación de

los lados y los ángulos del triángulo esférico son independientes de la longitud del radio de la

esfera.

Los lados de un triángulo esférico, siendo arcos, son expresados normalmente en unidades

angulares, grados o radianes. Si se desea conocer la dimensión lineal de un lado, será

necesario saber el radio de la esfera correspondiente al triángulo esférico. En la práctica la

longitud de un lado (arco) puede hallarse en función de cualquier unidad lineal, por medio de

la siguiente analogía.

http://es.wikipedia.org/wiki/Radianes



Clasificación del triángulo esférico.

Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos esféricos, estos pueden tener más de un lado y un

ángulo recto. Según esto se clasifican en:

Un triangulo esférico se llama isósceles si tiene los dos iguales

Un triangulo esférico se llama equilátero si tiene los tres lados iguales

Un triangulo esférico se llama rectángulo si tiene un ángulo recto

Un triangulo esférico se llama rectilátero si tiene un lado recto

Un triangulo esférico se llama birrectángulo si tiene dos ángulos rectos

Un triangulo esférico se llama birrectilátero si tiene dos lados rectos

Propiedades del triángulo esférico.

1ª. Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que una semicircunferencia.

2ª. Cada lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que

el módulo de su diferencia.

│a - c│ < b < a + c

3ª. La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que cuatro ángulos rectos.

4ª. En un triángulo esférico a mayor lado se opone mayor ángulo, y recíprocamente.

a > b ↔ A > B A > B ↔ a > b

5ª. En un triángulo esférico a lados iguales se oponen ángulos y iguales y recíprocamente

a = b ↔ A = B A = B ↔ a = b

6ª. La suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos ángulos rectos

y menor que seis ángulos rectos.

IV. TRIÁNGULO POLAR O SUPLEMENTARIO.

Dado u triángulo ABC de lados a, b, y c se denomina triángulo

polar a aquellos cuyo lados ap, bp, cp son suplementarios de

los vértices A, B y C del triángulo dado, y los vértices Ap, Bp y

Cp son suplementarios de los lados a, b, c; es decir:

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle_trirectangle.png



Exceso esférico y defecto esférico.

Sea un triangulo esférico ABC, entonces se denomina: Exceso esférico al valor de la suma

de los ángulos del triángulo esférico excede a 180º, denotado por “є”, es decir:

o , dependiendo en que unidades estén

expresados los ángulos.

Y se denomina defecto esférico al valor de la diferencia de 360º y el perímetro del triángulo

esférico es decir: o también , sabiendo que 2p es el

perímetro (

V. ÁREA DEL TRIÁNGULO ESFÉRICO.

Sea ABC un triángulo esférico sobre una esfera de radio “r”,

entonces el área o superficie seria igual el radio al cuadrado por

exceso esférico.

O también,

Entonces para calcular el área o superficie de un polígono esférico, situado sobre una

esfera de radio “r”, de “n” lados y de vértices A1, A2, A3, …, An; se determinaría por:

También

01. ¿Cuál es la superficie del triángulo esférico, que está sobre la esfera cuya superficie es

de 4cm2 y sus ángulos miden 60º, 108º y 125º?

SOLUCIÓN.

Si el área o superficie es 4πr2 y como dato del problema dice que es 4cm2, de donde se

tiene que: 4πr2 = 4cm2 → r2 = 1/π

Luego el área del triangulo esférico se determina así:



= 0.628°cm2

02. Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87º16’; 108º34’; 126º23’;

150°; 156º48’ en una esfera de radio 16 mm.

SOLUCIÓN.

Si se conoce el radio de la esfera que es 16mm, y los ángulos están en grados

sexagesimales, entonces el área se determinará en:

S = 392.9226 mm2

03. Hallar el área de un cuadrilátero esférico, sobre una esfera de 2 cm de radio, sabiendo

que sus ángulos miden 100º.

SOLUCIÓN.

Si se conoce el radio de la esfera que es 2 cm, y los ángulos están en grados

sexagesimales, entonces el área se determinará en:

S = 2.791 cm2



VI. RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO.

La relación que se analizará en este texto son las relaciones entre los lados y los ángulos de

un triángulo esférico, para lo cual tomaremos las leyes o formulas que ha planteado

BESSEL.

A. Ley de senos (1ª).- Los senos de los lados de un triángulo esférico son proporcionales

a los senos de sus ángulos opuestos.

Por lo tanto:

Tracemos el plano perpendicular l radio OA que pasa por C y el plano perpendicular al

radio OB que pasa por C; la intersección de estos dos planos con el ángulo triedro

asociado l triángulo esférico ABC la forman los triángulos planos CED y CDF, tal como

se aprecia en la figura:

El radio de la esfera es R = 1, es claro por

construcción que:

sen b = CE, cos b = OE, sen a = CF y cos a = OF,

por otra parte, CD = senA.CE, CD = senB.CF; de las

cuales se tiene que , de donde:

La otra razón, es decir, es igual, y para ello se

razona análogamente.

B. Ley de cosenos para los lados (2ª).- En un triángulo esférico el coseno de cualquier

lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados y el producto

de los senos de los mismos por le coseno del ángulo opuesto, es decir:

Según la figura anterior, se tiene que el cos a = OF = OD.cos(c - x) = OD.cos c coc x

+OD.sen c.sen x = OE.cos c + DE. sen c = cos b. cos c + CE cos A sen c = cosb.cos c

+senb.sen c cosa. De donde se obtiene:

, en forma similar se tendrá lo siguiente:



C. Ley de cosenos para los ángulos (3ª). Aplicando la ley (2ª) al triángulos polar ABC, se

tendrá:

Por lo tanto:

, multiplicando por (-1) se tiene

,

Así se obtienen las formulas que relacionan tres ángulos y un lado, es decir:

D. Analogías de Gauss - Delambre.- Por trigonometría plana sabemos que:

[*]

de la ley (2ª) de Bessel obtenemos que:

Sustituyendo en la ecuación [*], se tiene.

Llamando “p” al semiperímetro, se tiene,

Y sustituyendo resulta:

Por consiguiente,

Análogamente, si partimos de , se obtiene:



, entonces

Estas fórmulas permiten calcular los ángulos de un triángulo esférico, conocidos los tres lados

o bien el perímetro y dos lados.

Las analogías de Gauss – Delambre, se obtienen sustituyendo en:

Las formulas de los ángulos mitad para los ángulos

Con lo que

De forma análoga se obtienen:



E. Analogías de Neper.- Para determinar las analogías de Neper:

Calculemos ,

por tanto,

de forma análoga se obtienen:

y para el lado c:

Fórmulas que permiten resolver un triángulo esférico conocidos dos lados y el

ángulo comprendido, ó bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos, usando

previamente el teorema del seno y teniendo en cuenta que y que

,



VII. TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS

Habíamos definido el triángulo esférico rectángulo como aquél que tiene uno o más ángulo

recto.

Proposiciones.

Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos rectángulos basta sustituir un ángulo por

90° en las fórmulas generales obtenidas anteriormente. Sea el ángulo recto A, entonces,

senA=1, cosA=0, y los diversos grupos de fórmulas se reducen a las siguientes:

Propiedades.

1ª. En todo triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo opuesto son ambos

agudos o ambos obtusos.

En y , se tiene que y siempre con positivos,

lo que implica que y siempre van han tener el mismo signo que y ,

respectivamente.

2ª. En todo triángulo esférico rectángulo, o los tres lados son menores de 90°, o uno tan

sólo de ellos cumple con esa condición.

Si la hipotenusa “a” es aguda, será cosa>0; y esto según la fórmula cosa=cosb.cosc

se verifica si ó ; por tanto, solo uno de ellos es agudo.

3ª. En todo triángulo esférico rectángulo, la hipotenusa es menor o mayor que 90°,

según que los dos catetos sean de la misma o de distinta especie, respectivamente.

Regla de Neper.

El pentágono de Neper consiste en situar en cada uno de los vértices,

según el orden que se india los elementos siguientes:

Dado tres elementos podrá ocurrir que sean consecutivos o que uno de

ellos esté separado de los otros dos. Por ello, únicamente serán

suficientes para obtener todas las fórmulas anteriores, las reglas siguientes:



1ª. El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de los senos de los elementos

opuestos.

2ª. El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de las cotangentes de los

elementos adyacentes.

Ejemplos

Si A = 90º, entonces, para la primera regla.

Pero también para la segunda regla:

VIII. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS

Son seis los casos de resolución.

Caso I: Conociendo los catetos b y c

Utilizando las fórmulas I, II.3. Otros.4, se tiene que.

Caso II: Conocida la hipotenusa “a” y un cateto b

Utilizando las fórmulas I, II.1. Otros.1, se tiene que.

Para que la solución exista es necesario que , puesto que cosc ha de

estar entre -1 y 1. Cumplida esta condición la solución es única puesto que de los

dos valores suministrado por senB, hay que elegir el valore que verifique la

propiedad “a mayor lado se opone mayor ángulo”; es decir, hay que elegir el B

agudo si b<a o el B obtuso si b>a.



Caso III: Conocido un cateto b y su ángulo opuesto B

Utilizando las fórmulas II.1, III.2 Otros.3, se tiene que.

Este es un caso ambiguo, para que exista solución es

necesario que senb<senB.

Verificada la condición anterior, si existe un triángulo solución, el adyacente a él por

el lado b, también satisface los datos de partida.

Caso IV: Conocido un cateto b y su ángulo adyacente C

Utilizando las fórmulas I, III.2 Otros.4, se tiene que.

La solución es siempre única.

Caso V: Conocida la hipotenusa a y un ángulo B

Utilizando las fórmulas II.1, III.1 Otros.2, se tiene que.

El problema siempre tiene solución y es única.

.

Caso VI: Conocidos los ángulos B y C

Utilizando las fórmulas III.1-2-3, se tiene que.



Ejemplos.

01.- Resolver el triángulo esférico rectángulo siendo a=50º30’30’’ y b=40º10’10’’

, de donde se deduce que

, de donde se deduce los valores

De los dos valores que pueden tomarse par B, uno agudo y otro obtuso, solo es

válido el primero, pues al ser a>b también h de ser A= 90°>B; luego

B=56°42’21’’

, por tanto

02.- Resolver el triángulo esférico rectángulo siendo A=90°, b=38º17’46’’ y

B=52º38’34’’

Si a1=51°13’46’’ c1=37°04’13’’ por ser b y a1 agudos. Por ser c1<a1 es

C1=50°38’15’’.

Si a2=128°46’14’’ c2=142°55’47’’ por ser b agudo y a2 obtuso. Como c2 es

agudo también lo es C2, C2=129°21’45’’.



IX. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULO

iv unidad-trigonometría esférica

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