iv. comportamiento dieléctrico -...

®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

IV. Comportamiento IV. Comportamiento dieldielééctricoctrico

4. Propiedades de los diel4. Propiedades de los dielééctricos. ctricos. Permitividad dielPermitividad dielééctricactrica

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) IV. Comportamiento dieln) IV. Comportamiento dielééctrico de la materiactrico de la materia

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IV. Comportamiento dielIV. Comportamiento dielééctrico de la materiactrico de la materia

1.1. Medios dielMedios dielééctricos. Polarizacictricos. Polarizacióónn2.2. Campos y cargas de polarizaciCampos y cargas de polarizacióónn3.3. Vector desplazamientoVector desplazamiento4.4. Propiedades de los medios dielPropiedades de los medios dielééctricosctricos

Dieléctricos linealesPermitividad dieléctrica

Tipos de dieléctricos linealesMedios homogéneosMedios inhomogéneos

Dieléctricos no lineales5.5. EnergEnergíía electrosta electrostáática en medios dieltica en medios dielééctricosctricos


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Comportamiento dielComportamiento dielééctrico linealctrico linealrelación constitutiva en cada punto del medio:

susceptibilidad dieléctricacaracterística del medio:

en un medio lineal: χe > 0 (nº real adimensional) en el vacío: χe = 0

es un modelo ideal, pero muchas sustancias se aproximan a este comportamiento

Permitividad dielPermitividad dielééctricactricarelación constitutiva para el vector desplazamiento:

ε es la permitividad dieléctrica (absoluta)permitividad dieléctrica relativa: (adimensional)

para todo dieléctrico lineal: ε = ε0εr > ε0 (nº real con dimensiones)

DielDielééctricos lineales (isctricos lineales (isóótropos)tropos)

( )0 ( )1 e P+= ε χ E ( )P= εE

0( ) ( )eP P= ε χP E

0( ) ( ) ( )P P P= εD E + P

eχ ( )e≠ χ E

( ) ( ) y ( ) ( )P P P P⇔ ∝P E P E

1r e0= = +ε ε ε χ

εε00

PP((rr)=)=00

DD((rr))==ε0E(r)

D

DD

P

PP

ε0E ;eχ ε


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2 1 lib ;( )P

Pσ2 1 ∈Σ⎡ ⎤− =⎣ ⎦⋅ ε εn E E

Medios homogMedios homogééneosneos

χe y ε son uniformes en el medio (valor constante)

relaciones constitutivas → campos proporcionales

formulación del problema electrostático:ecuación de Poisson para cargas libres (en general)

condiciones en la “frontera” Σ:

0( ) ( );e= ε χP r E r

Tipos de dielTipos de dielééctricos lineales (I)ctricos lineales (I)

( ) ( )= εD r E r

( ) ( )= −∇φE r r

[ ] lib( ) ( )ρε =E r r∇ ⋅2

lib1( ) ( )⇒ ρφε

= −r r∇

2 1 P∈Σ⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0 ( ) ( )P P+ −=φ φ

lib ( )P P

Pn n

σ+ −

2 1

∂ ∂− = −

∂ ∂φ φε ε

ρρliblib((rr))

ΣΣD2 χee22 ; ε2D1 χee11 ; ε1

σσliblib

D

DD((rr))

PP((rr))ε0E(r)

χe e ; ε

DD22DD11

EE22EE11

EEtt

DD2n2nnnPDD1n1n


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PolarizaciPolarizacióón de esfera dieln de esfera dielééctrica linealctrica linealcampo “externo” uniforme: E0=E0uz

“inicia” la polarización de la esfera

hipótesis: polarización uniforme: P(r < R)=P uzcampo eléctrico de polarización (ejercicio 4.2):

se verifica la hipótesis:

Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)

E0

EE((rr))==

E0

D

εε00

PP((rr)=)=00

R

O

Pr

Z

PP((rr))

EE((rr))++EEpolpol((rr))EE00

ε= ε0(1+χe)2

5

pol

1 3(;

4)

( )1 ;z

r Rr

r

P r R

0

0 0

>πε

⎧ ⋅ −⎪⎪⎨⎪− = − <⎪ 3ε 3ε⎩

=

p pr r

E ru P

==ε0χeEE((rr))PP((rr))

0 pol( ) ( ), cte ( ), cter R r R r R< < ⇒ <+=E E E P

pp


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E0

E0Campos resultantesCampos resultantes

vector polarización:

campo eléctrico (total):

vector desplazamiento:

D

εε00

PP((rr)=)=00

R

O

Pr

Zεε00EEextext((rr))

ε= ε0(1+χe)

0

;( )

;3

e

e

r R

r R0

>⎧⎪

3ε χ⎨ <⎪ + χ⎩

=0

P rE

0 pol ext

0 int

( ) ( );( ) 3 ;

e

r R r R

r R=

> = >⎧⎪⎨ <⎪3+ χ⎩

=rE + E E

E rE E

EEintint

ext

int 0

( ); ( ) 3 ;

r R

r R

0

0

0

ε >⎧⎪

ε ε⎨ = <⎪ 2ε + ε⎩

= ε

rED r

E E

PPDDintint

DDextext((rr))

Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)Ejemplo: ejercicio 4.15 (I)


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Ejemplo: ejercicio 4.8Ejemplo: ejercicio 4.8

Condiciones de salto y continuidad en interfaz dielCondiciones de salto y continuidad en interfaz dielééctricactrica

DD11; ; εε11==¿¿ε?ε?

σσliblib||ΣΣ=0=0ΣΣ

ππ/3/3

EE11((PP))

ππ/6/6

EE22ii

HH22ii

HH11 EE11

XX

YY ||EE22((PP)|= )|= EE22=100 V/m=100 V/m

θθii

EE22((PP))

EE22rr

HH22rr

=E=E22ii((PP))+E+E22

rr((PP))

DD22; ; εε22==εε00 uuyy= =

PP

nn

θθ''==θθii

θθrr


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Ejercicio 4.7 (a)Ejercicio 4.7 (a)

XX

ZZ φφ((z=dz=d))==VV00

φφ((z=z=0)0)=0=0Σ: Σ: x=x=00

DD11==εε11EE11 DD22==εε22EE22

ΣΣss: : z=dz=dnnss==uuz z

ΣΣii: : z=z=00

nn

nnii==−−uuz z

EE11 EE22

dd

SS11 SS22

== ==−−EEuuzz

σσliblib((xx>0>0;z;z==dd))

σσliblib((xx>0>0;z;z=0)=0)

σσliblib((xx<0<0;z;z==dd))

σσliblib((xx<0<0;z;z=0)=0)


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Ejercicio 4.6 Ejercicio 4.6

XX

ZZ φφ((z=dz=d))==VV00

φφ((z=z=0)0)=0=0

Σ: Σ: z=az=a E1=−A1uz

E2=−A2uznn

ΣΣss: : z=dz=d

ΣΣii: : z=z=00

D2=−Duz

D1=−Duz

nnss==uuz z

nnii==−−uuz z

σσliblib||ΣΣii==−−DD

σσliblib||ΣΣss==DD


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Medios inhomogMedios inhomogééneosneosχe y ε, magnitudes variables en el medio D

propiedades del campo electrostático: ecuaciones del campo eléctrico:

condiciones en la “frontera” ∂D:

caso particular: sistema de medios homogé-neos en contacto

soluciones en cada medio homogéneocondiciones de salto en cada frontera Σkl

ext ext int lib( ) ( )P

P Pσ−

∈∂⎡ ⎤− =⎣ ⎦⋅ ε εn E E

D

0 ( )( ) ( );e= ε χ rP r E r

Tipos de dielTipos de dielééctricos lineales (II)ctricos lineales (II)

( )( ) ( )= ε rD r E r

ext int P∈∂⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0

D

( ) ;× =E r 0∇ [ ] lib( )( ) ( ) ( )= ε = ρrr r rD E∇ ⋅ ∇ ⋅

ρρliblib((rr))

σσliblib

DDintintPPintint

χee((rr)); ε((rr))

DD((rr))ε0E(r)

D

ε0Eext DDextext

ε0Eint

nn

DDii

EEii

PPii

DDkk

EEkk PPkk

Di

χeiei; ; εi

Dj χejej ;; εj

Dk χekek ;; εk

EEjjPPjj

DDjj

∂D

PP((rr))


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Ejemplo: ejercicio 4.11Ejemplo: ejercicio 4.11

φφ((z=dz=d))==V0

φφ((z=z=0)0)=0=0

ΣΣss: : z=az=annss==uuz z

ΣΣii: : z=z=00 nnii==−−uuz z

( )1 2

1 1

ε ε( )ε ε

ε azz a z

=+ −

DD==D D uuzz

XX

ZZ

EE((zz)= )= uuzz DD//εε((zz))

DielDielééctrico lineal inhomogctrico lineal inhomogééneoneo


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Comportamientos dielComportamientos dielééctricos realesctricos realespolarización NO proporcional al campo eléctrico:

el comportamiento lineal es una idealización

dieléctricos lineales “a tramos”:la relación constitutiva depende de |E|

“saturacion” de comportamiento linealpolarización y campo eléctrico colinealesla polarización no crece indefinidamente

un campo eléctrico intenso (|E|>Erup) produce la "ruptura" del dieléctrico

DielDielééctricos no linealesctricos no lineales

( )0 e= ε χP E E

[ ]0

2 31 2 3

)

(

( ; con (

y ...α α α

+

= + + +

= E(r) E

E)

P r) P P P E

P E E E

( ) ( );P r E r 0

0

;

;

si

si e

e s

s

s

EE E

ε χ <

ε χ ≥

⎧⎨⎩

=E

E

EP

|P|

ε0|E|

χ1

χ2

χ3

|P|

ε0|E|

χe

ε0Erupε0Es

ε0χeEs

→ conducción

comp. dieléctrico conducción

lineal

saturado

®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

IV. Comportamiento IV. Comportamiento dieldielééctricoctrico

4. (4. (cont.cont.) Ejercicio con diel) Ejercicio con dielééctrico ctrico inhomoginhomogééneoneo


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Ejercicio 4.7 (b)Ejercicio 4.7 (b)

XX

ZZ

EE11

EE22

EE33

EE44

DD11

DD22

DD33

DD44

φφ((zz=d=d))==V0

φφ((zz=d=d))=0=0

ΣΣss: : z=dz=d

ΣΣii: : z=z=00

SoluciSolucióón analn analíítica (sin efectos de borde)tica (sin efectos de borde)se verfican condiciones de salto y continuidad si…

31

2 4

εε=

ε ε

SS11 SS33


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E1=E1uz E3=E1uz

E2=E2uz E4=E2uz

D1=ε1E1uz D3=ε3E1uz

D2=ε2E2uz D4=ε4E2uz

LLííneas equipotenciales. Campos neas equipotenciales. Campos EE y y DD

SoluciSolucióón numn numéérica (I)rica (I)


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E1=E1(x,z) E3=E3(x,z)

E2=E2(x,z) E4=E4(x,z)

D1=ε1E1(x,z) D3=ε3E3(x,z)

D2=ε2E2(x,z) D4=ε3E4(x,z)

LLííneas equipotenciales. Campos neas equipotenciales. Campos EE y y DD

SoluciSolucióón numn numéérica (II)rica (II)


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LLííneas equipotenciales y lneas equipotenciales y lííneas de campo elneas de campo elééctricoctrico


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Sistema equivalenteSistema equivalente

EE11

EE22

EE33

EE44

DDaa

DDaa

DDbb

DDbb

iv. comportamiento dieléctrico -...

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