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(C) Instrumentación y Señales – Jorge Marquez – CCADET UNAM

IV. Características Dinámicas de un Sistema, Instrumento o Dispositivo

por Jorge Márquez Flores

Tabla de contenido temático

Formulación de las Características Dinámicas

ODE (Ordinary Differential Equations)

Función de Transferencia Operacional

Principio (o Teorema) de Superposición

Solución de Ecuaciones Diferenciales

Función de Transferencia en Frecuencia

Instrumento (o Sistema) de Orden Cero

Instrumento (o Sistema) de Primer Orden

Respuesta de un sistema pasa-bajas de 1er. orden

Instrumento (o Sistema) de Segundo Orden

Elementos de retardo

Retroalimentación (feedback) Negativa

Anexos:

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) con Fasores

Algoritmo para Resolver Numéricamente ODEs de 1er Orden

Ecuaciones de Lagrange

2


Si desconoce los fasores, se recomienda estudiar primero el Anexo 1.

Formulación de las Características Dinámicas.

Simplificación (o sea, modelo): se ignora toda variación estadística, no-linealidades

menores y dependencia de características estáticas (instrumento ideal contra uno real).

Sistema: Un sistema S puede ser un proceso, evento, mecanismo, conjunto

de partes que interaccionan (incluyendo dispositivos, instrumentos y

organismos), etc., que mapea algo, en particular información dada

(señal, imagen) en otro algo (ídem). Notar que esto incluye materia y

energía, aunque nos concentraremos en información y más en particular

en señales temporales. Un modelo matemático es el de una regla que

asigna a cualquier elemento x de un conjunto de señales X (t), un

elemento y del mismo u otro conjunto de señales Y(t). La primera señal

x(t) es referida como la entrada (o estímulo), y la segunda, y(t) como la

salida (o respuesta): y = S(x). En este modelo, el sistema S se puede

interpretar como un operador. En sistemas dinámicos, se puede

formular los espacios de funciones en dominio de frecuencia (compleja)

u otros dominios. En estas notas veremos en particular los operadores

diferenciales y sus características (dinámicas), aquellas que dependen

del contenido de frecuencias en la señal de entrada.

Planta: En Teoría de Control, el sistema puede ser un dispositivo o además suele

consistir de un proceso y la entrada está determinada por un actuador; es posible

que a la entrada se reste o sume una señal de retroalimentación a través de un

sensor. Tal sistema se denomina planta, y un objetivo común es conseguir que la

salida tenga un comportamiento determinado por la(s) entrada(s) (o sea, por el o

Para describir la calidad de una medición (o efecto) teniendo entradas

variables (con frecuencias del orden del tiempo de respuesta), o

modelar y analizar un instrumento o sistema S con entradas y/o

salidas variables, se formula S con ecuaciones diferenciales, integrales

o integro-diferenciales. Las características y propiedades de tales

ecuaciones, así como las de sus soluciones, conforman las

características dinámicas de S.

3


los actuadores), y en lazo cerrado el mecanismo de control procura reducir el error

mediante la retroalimentación. Adicionalmente, la entrada del actuador la puede

determinar un controlador, cuya entrada es llamada referencia.

ODE (Ordinary Differential Equations) de orden max(n, m), con

coeficientes constantes (por omisión consideraremos ODE lineales):

1 0 1 0( ) ( )n m

n mn m

d y d y d x d xa a a y t b b b x t

d t d t d t d t

(1)

Notación: D representa el operador derivada: ( )

( ) ( )'d f t

D f t f td t

, (2)

mientras que para la integral, escribimos el operador D –1

= 1/ D :

10

0

( )( ) ( )

tf tD f t f d F

D (3)

donde F0 es una constante (valor inicial, o la integral de – a 0).

Con el operador

k

k

k d

dtD , tenemos:

0 0

( ) ( )n m

k l

k lk l

a D y t b D x t

(4)

donde la derivada "cero" de una función es la misma función.

La mayoría de las características estáticas de un sistema de orden K =

max(n, m) se pueden conocer a partir de la condición Dk y(t) = 0, para k

=1,..., n, y entradas x(t) constantes (en circuitos eléctricos son corrientes

“DC, en vez de “AC”) o de baja frecuencia (en relación a la constante de

tiempo por definir adelante). Estrictamente se tiene: D l x(t) = 0, para

valores l =1,..., m.

Nota: De la definición de sistema, las características estáticas y dinámicas pueden ser

las de: un sistema (físico, biológico o abstracto), un instrumento, un transductor,

dispositivo o “bloque” (término ingenieril para una etapa) o un proceso o algoritmo

(no hay dispositivo físico, sino software de modelado y simulación numérica), un

4


modelo y por tanto hasta de ciertas teorías. “Sistema” se refiere directamente tanto a

algo “X” en el mundo físico como al modelo matemático que describe a un X.

Nota: La notación x(t), y(t) para entradas y salidas, respectivamente a veces conviene

cambiarla (por ejemplo) a xin(t), xout(t), donde se hace explícito cual es cual. Cuando se

tiene un dominio espacial, en entradas y salidas (por ejemplo un video o imagen que

va cambiando con el tiempo), se tiene un sistema vectorial y el operador D puede

referirse a derivadas totales o parciales y se usa mejor el operador gradiente .

Fin§ Indice

5


Función de Transferencia Operacional (orden K = max(n, m))

1 0 1 0( ) ( )

n m

n mn m

d y d y d x d xa a a y t b b b x t

d t d td t d t

(5)

1 0

1 0

( )

( )

m

m

n

n

b D b D by D

x D a D a D a

(6)

Nota: La entrada x(t) en (5) a veces recibe el nombre de “entrada forzada” o esfuerzo

aplicado al sistema. Puede involucrar o ser en general una variable de esfuerzo o una

variable de flujo (o combinaciones de ambas, sobretodo en el caso vectorial).

Principio o Teorema de Superposición (en sistemas lineales)

La descomposición de una señal no sinusoidal x(t) en suma de señales

sinusoidales permite estudiar características de un instrumento o

sistema en términos de su respuesta a una señal sinusoidal de

frecuencia angular [radianes/segundo].

La respuesta y(t) a la señal no sinusoidal x(t) es la suma de las

respuestas a cada componente sinusoidal de frecuencia . La

descomposición y suma se realizan con series de Fourier; o más en

general con la Transformada de Laplace, formulando las señales

complejas como fasores (ver Anexo), y permitiendo transformar las

ecuaciones diferenciales en polinomios de s = (j).

Nota: En muchos textos la notación se maneja como X(s), G(s), etc., pero la parte

real de s suele ser 0 y la transformada de Laplace coincide con la de Fourier.

En sistemas lineales el Principio (o Teorema) de

Superposición indica que, para conocer la respuesta a una

entrada x(t), con espectro X(j), basta conocer la respuesta

en frecuencia G(j) para cualquier frecuencia . La salida

(respuesta en frecuencia) es Y(j)= G(j) X(j).

6


Nota: El lado derecho de la ecuación (6) contiene las impedancias del sistema, pero

no son necesariamente la o las impedancias de salida o de entrada que más adelante

veremos. De hecho corresponde a la relación: impedancia = esfuerzo/flujo.

Figura 1. Superposición de funciones armónicas. La señal en línea gruesa x(t) = “a”

puede representarse (aproximadamente) sumando N armónicos (ondas sinusoidales) de

frecuencias w n = 1, 2,..., N rads/seg. Si N, el error de aproximación tiende

a 0. La señal “b” ejemplifica la aproximación obtenida con sólo N=6 componentes. El

conjunto de amplitudes {A(n)} y fases {n} que componen a x(t) forman el espectro

X(j). Equivalentemente, se usa una base de funciones ejnt

.

Notar que el Principio de Superposición es el equivalente en dominio de frecuencia

a la propiedad de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) o a corrimiento (LSI)

de caracterizar la respuesta y() a una entrada x() mediante la respuesta a impulso: y()

= x() * PSF(). La respuesta en frecuencia a impulso del sistema es la transformada de

Laplace de la PSF que llamaremos G(j). Claramente, la respuesta en frecuencia a la

entrada x es entonces el producto de Y(j) = G(j) X(j).

Fin§ Indice

7


Solución de Ecuaciones Diferenciales que describen circuitos eléctricos, instrumentos y sistemas en general.

Método de la Transformada de Laplace F(s) =L{f(t)}, s

para resolver ODE lineales, de coeficientes constantes:

Dominio t Dominio s

Donde definimos: 0

( ) ( ) ( )st

Y s y t e y t dt

, (7)

con s j (1), la frecuencia compleja. Aplicando la igualdad de

Euler, tenemos e–st

= e–

(

t + j t)

= –e–

t (cos t +

jsin t), que justifica

denominar a como constante de decaimiento exponencial [radianes

por segundo] y , como frecuencia sinusoidal angular [ídem].

Las propiedades de la Transformada de Laplace (unilateral) permiten

convertir una ecuación diferencial en en un polinomio de funciones

racionales, pues la transformada L de la derivada de una función se

convierte en un producto en el dominio s. Las raíces (o ceros) y polos de un

polinomio Y(s) permiten una descomposición o expansión en fracciones

1 En ingeniería, sistemas y señales se usa la notación: j 1.

L Ecuación subsidiaria

22( 1) (0) '(0) /s Y y s y s

Problema planteado 2

2( ) ( )

(0) 1

'(0) 1

d dy t y t t

d t d t

y

y

L 1

Solución al problema

( ) e sinh( )ty t t t

Solución de ecuación subsidiaria

Descomposición de Heaviside

2 2

1 1 1( )

1 1Y s

s s s

8


parciales (usualmente mediante el método de Heaviside). La transformada

de L inversa de cada término da lugar a las soluciones cuya superposición,

incluyendo las condiciones iniciales, es la solución buscada. Un circuito en

dominio temporal tiene un equivalente en el dominio s, donde los elementos

son impedancias complejas (como aquellas con fasores). En general, los

sistemas dinámicos se analizan más fácilmente mediante la transformada L.

Para una tabla de propiedades de la Transformada de Laplace consultar la liga:

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Properties_and_theorems

Para una tabla de pares de Transformadas de Laplace consultar la liga:

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Table_of_selected_Laplace_transforms

Ejercicio: ¿Cómo relaciona la transformada de Laplace y la transformada de Fourier?

¿Qué interpretación puede dar a la transformada L, inspirándose en la interpretación

que se dio de la transformada F ?

¿Qué convención de definición de la FT es más adecuada para las preguntas

anteriores y por qué?

Fin§ Indice

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform%23Properties_and_theorems

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform%23Table_of_selected_Laplace_transforms

9


Función de Transferencia en Frecuencia (Fourier o Laplace):

1 0

1 0

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

m

m

n

n

b j b j bY jG j

X j a j a j a

(8)

Tenemos y(t)=g(t)* x(t) (convolución), mientras que Y(j) es la respuesta

en frecuencia a la entrada X(j), con las transformadas de Laplace: Y(s) =

L{y(t)}, X(s) = L{x(t)} y G(s) = L{g(t)}, respectivamente, con variable

compleja s = j (sólo la parte imaginaria es distinta a cero); es decir, la

transformada de Fourier, como caso especial de la de Laplace bilateral.

La ganancia en frecuencia es:

*

*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

Y j Y j Y j

X j X j X jG j

, (9)

donde “*” denota el complejo conjugado. En algunos textos se utiliza la

letra H para denotar la función de transferencia (compleja) y G para la pura

ganancia (magnitud escalar). En estas notas reservaremos la H para la

función de retroalimentación.

Ejemplo típico: x(t)=A sin(t). En estado estacionario, la salida correspondiente es

y(t)=B() sin(t + ()), con corrimiento de fase ()0 en sistemas causales. Es

común tener BA (atenuación) en filtros pasivos y sistemas sencillos, para ciertas

frecuencias; pero en filtros activos y en amplificadores suele tenerse BA. El retardo

de fase es la constante de tiempo () = () /, siempre que > 0.

Ejercicio: (A) ¿Cómo debe ser la función de transferencia g(t) para que

y(t)=g(t)*x(t) equivalga a y(t)=h(t) x(t), es decir que h(t) equivalga a una ganancia

"y(t) / x(t)"? (B) ¿Cómo es la función de transferencia en frecuencia G(j)

correspondiente a tal g(t)?

Nota: En la lógica de la variable s de la Transformada de Laplace, con parte real cero,

escribimos X(j), Y(j), G(j), etc., o bien X(s), Y((s)), G(s). En la lógica de la

Transformada de Fourier, el argumento es : Es común en la literatura hallar que,

independientemente de la interpretación anterior (Laplace o Fourier), las mismas

ecuaciones de sistemas dinámicos, variables y funciones en dominio de frecuencia se

escriban X(), Y(), G(), etc., o en Hz: X(f ), Y(f ), G(f ), etc. O sea que j es ya sea

parte de la transformada (Fourier) o del argumento (Laplace).

10


Características estáticas de instrumentos de orden max (n, m).

Cuando las derivadas en entradas y salidas son cero, tenemos:

( ) ( )0, 1,..., , y: 0, 1,...,

k l

k l

d y t d x t

dt dtk n l m

(10)

Nota: Las derivadas en x(t) son cero si x(t) es estrictamente constante. En algunos sistemas

se puede tener salida variable aunque la entrada sea constante (instrumentos musicales de

viento, generador de funciones) y viceversa: en sistemas auto-regulados esto es común; un

ejemplo en seres vivos es la homeostasis, aunque la “salida” en este caso es un conjunto de

parámetros internos, tales como la temperatura corporal, mantenida prácticamente constante,

a pesar de variaciones en la temperatura medio-ambiental (entrada). La condición (10) suele

relajarse para poder estudiar de forma aproximada características estáticas si la entrada varía

poco (bajas frecuencias), respecto al los tiempos de respuesta. Esta relativización simplifica

el análisis y permite una apreciación cualitativa inicial. Es semejante a despreciar términos

mayores a dos en un polinomio o una expansión de Taylor.

Entradas, salidas y parámetros vectoriales y matriciales.

Cuando las entradas y salidas son vectoriales (varios canales o dimensiones) o

inclusive matriciales (arreglos, imágenes dinámicas), la función de transferencia

operacional (ecuación (5)) adquiere la forma (notar uso de xout(t) en vez de y(t)):

0 0

( ) ( )n m

k l

k out l ink l

D t D t

A x B x (11)

Aplicando transformada de Laplace, obtenemos la función de transferencia en

frecuencia G; comprende todas las impedancias y admitancias del sistema:

0

0

( )

( ) ( ) ( )

( )

ml

ll

nout in ink

kk

impedancias yadmitancias

j

j j j

j

B

A

X X XG

(12)

Ejercicio: No necesariamente entrada y/o salida son esfuerzo y flujo; explique.

Fin§ Indice

11


Instrumento (o Sistema) de Orden Cero.

)()( 00 txbtya (13)

0

0

( )

( )

by DK

x D a

Sensibilidad (“estática”) (14)

Salida proporcional a la entrada x(t) para todas las frecuencias

presentes en dicha señal. En este caso la sensibilidad es la ganancia

(como característica estática también la habíamos llamado G).

No hay distorsión de amplitud o fase ( = arctan(0) = 0).

Notar que en este caso (Orden Cero), la sensibilidad puede ser

llamada “dinámica”, puesto que no hay razón para que x(t) ó y(t) sean

constantes. Aunque las derivadas no son cero, los coeficientes

correspondientes sí son cero (o despreciables, en una aproximación).

El término estático (como característica estática, cuando la entrada

es DC, casi constante) se refiere a la relación instantánea (valores

fijos de x(t) y y(t) en situaciones diferentes, v.g.,un termómetro

midiendo sujetos con diferentes temperaturas, varios termómetros o

diversas reacciones a diferentes medicamentos).

Si el modelo incluye un valor constante en la salida distinto a cero, es decir,

si y(t)=Kx(t)+y0, entonces la formulación (representación matemática) del

sistema no es lineal (aunque la relación implica la ecuación de una línea recta),

pero como se vio anteriormente, se puede encontrar otra formulación de la

función de transferencia que resulte lineal (coordenadas homogéneas

consistentes en vectores columna [x 1]T y [y 1]

T , en vez de coordenadas

escalares x, y). Notar que, equivalentemente, se puede tener un sistema con una

formulación de la forma y(t) = K( x(t) + x0 ), o sea que y0 = Kx0.

Cuando las entradas y/o salidas son vectores x(t), y(t), se usan matrices para

representar sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. En tal caso, las

coordenadas homogéneas son de la forma: [x(t) 1]T = [x1(t) x2(t) x3(t) … 1]

T. Derivadas de orden superior a uno se representan por nuevas variables como

componentes vectoriales; por ejemplo: x2(t) = D2(x1(t)), x3(t) = D

3(x1(t)), etc.

Ver apartado de Entradas, salidas y parámetros vectoriales y matriciales.

12


Ejemplo: Potenciómetro lineal (resistencia uniforme). La entrada es la posición x del

conector al potenciómetro y la salida, el voltaje Ex/L.

Figura 5 del Webster. (a) Potenciómetro lineal, ejemplo de sistema o instrumento de

orden cero, (b) característica lineal estática, (c) respuesta (voltaje y) proporcional a

entrada escalón (posición x), llamada “respuesta a escalón”, (d) la respuesta en

frecuencia sinusoidal es constante, con corrimiento en fase igual a cero.

Fin§ Indice

13


Instrumento (o Sistema) de Primer Orden (Un solo elemento a1 que almacena energía):

1 0 0

( )( ) ( )

d y ta a y t b x t

d t

(15)

Re-escribimos:

01

0 0

1 ( ) ( )ba

D y t x ta a

(16)

0

0

bK

a Sensibilidad estática (17)

1

0

a

a Constante de tiempo (en segundos) (18)

o sea: 1 ( ) ( )D y t K x t (19)

Nota: En general, la impedancia compleja asociada a a1 es:

11

1

( )a j a

Z

(20)

Si no hay decaimiento exponencial, y con una entrada sinusoidal de frecuencia

angular , dicha impedancia es 1/(j a1) = j/( a1) = j/(2f a1).

Función de Transferencia Operacional (orden 1):

( )

( ) 1

y D K

x D D

(21)

Función de Transferencia en Frecuencia (o “sinusoidal”):2

2 2

( )arctan( /1)

( ) 1 1

Y j K K

X j j

(22)

Ejercicio. Escriba las partes real e imaginaria de G( j) = Y( j) / X( j).

2 Nota: Equivalentemente a obtener la transformada L, se usó la notación fasor con la sustitución: D j .

14


Propiedades:

Distorsión de amplitud y fase en función de la frecuencia .

Si x(t)=A sin( t), la amplitud de salida y(t) se atenúa al aumentar :

el circuito es un filtro pasa-bajas.

Respuesta a escalón (t): x(t)=0 si t 0, y x(t)=1, si t > 0.

Resolviendo la ecuación diferencial (ejercicio) con entrada (t) y

definiendo la condición inicial y(0) = 0: /( ) ( 1 )ty t K e (23)

Con una constante de tiempo más pequeña, la salida aproxima a la

entrada más rápido.

Si c = 1/, la magnitud es 1 2 = 0.7071… veces menor, y la fase es

= arctan(0.7071) = 45o. Esta c es la frecuencia (angular) de corte

(cutoff, corner, or break frequency).

Magnitud de la salida en t = : y() = K( 1 e1

) = 0.6321K.

c en radianes/segundo. En Hertz [Hz] es: c = c /2.

Polos y Ceros (zero: raíz). Ambas funciones de transferencia tienen

un polo en sp = jp = 1/ y ningún cero (raíz).

Ejemplo: Circuito RC en serie (Figura 6), la entrada x(t) es un voltaje Vin(t) y

una posible salida es el voltaje VC(t) a través de una capacitancia C, que es el

elemento a1 que almacena energía; en tal caso, =RC y la ODE del circuito es:

1 1( ) ( ) ( )C C in

dC V t V t V t

dt R R

(24)

Ejercicio: escribir la ODE y la función de transferencia en frecuencia cuando la

salida es el voltaje VR(t) a través de R.

La impedancia [] por el capacitor es: 1/( ) /( )C j C j C Z

Nota: La magnitud de la respuesta en frecuencia se grafica en escala

logarítmica, base 10 (decibeles dB; recordar que Potencia = Amplitud 2):

20 log10 |Y( j ) / X( j ) | (25)

15


Ejercicio: Deducir la solución dada por la ecuación (23) a la ODE (15), cuando la

entrada es un escalón x(t) = (t).

La Figura 6 es un ejemplo de instrumento de primer orden.

Figura 6. (del Webster, cap. 1). (a) Un filtro RC pasa-bajas (low-pass), es un ejemplo

de instrumento de primer orden. La salida en este ejemplo es el voltaje a través de

C. (b) Sensibilidad estática para entradas constantes. (c) Respuesta a escalón (step

response) para constantes de tiempo grandes (L) y para constantes de tiempo

pequeñas (S). (d) Respuesta en frecuencia sinusoidal para constantes de tiempo

grandes y pequeñas; las frecuencias de corte son L = 1/L, S = 1/S.

16


Hay otros dos tipos de sistemas (o instrumentos) de primer orden:

0 0 1

( )( ) ( )

d x ta y t b x t b

d t (26)

1 0 0 1

( )( ) ( )

d y d x ta a y t b x t b

d t d t

(27)

El primero se comporta como un filtro pasa altas.

El segundo combina (concatena) ambos filtros, dando lugar, con

ciertos valores a0, a1, b0, b1, a un filtro pasa banda. Cuando la

banda no es nula, se caracteriza por dos frecuencias críticas 1 < 2

que definen la banda de frecuencias donde la respuesta

normalizada es mayor a 1 2 ). En caso de que se tenga 2 > 1, no

existe banda ni respuesta alguna. Para 1 = 2, solamente hay

respuesta a esta frecuencia única, pero en la práctica no existen

bandas de ancho 0, tipo “delta de Dirac” (efecto de apertura finita).

Por su perfil (Figura 6-c) la respuesta a escalón de un filtro RC

pasa bajas recibe el nombre de respuesta exponencial.

Ejercicios: (A) Hallar las funciones de transferencia en frecuencia de los otros dos

sistemas de 1er orden, ecuaciones (26) y (27), y sus características estáticas,

constantes de tiempo y respuestas a escalón: resolver las ecuaciones diferenciales

correspondientes con dicha entrada, como en el ejercicio para deducir (23). (B)

Intercambiar R y C en el circuito pasa bajas (Figura 6), formular su ODE y

resolverla. (C) ¿Es la misma impedancia en el circuito pasa bajas (ecuación (24))?

(D) Confirme las aseveraciones de que (26) describe un filtro pasa altas y (27) a un

filtro pasa banda y (E) establezca las relaciones entre los coeficientes para que esto

se cumpla. (F) Diseñe circuitos RL y RC cuyas formulaciones sean las ecuaciones

(26) y (27). (G) reescriba la respuesta a la pregunta (E) para estos circuitos. Hint: es

posible que en un caso de (F) deba conectar dos circuitos en cascada.

Ejercicio: Analice el análogo mecánico del filtro RC, con desplazamiento x en vez de

corriente, un resorte KHook en vez de C, etc. y rehaga la figura 6-a para este sistema.

Fin§ Indice

17


Respuesta de un sistema pasa-bajas de 1er

orden a una señal sinusoidal (frecuencia , iniciando en t 0):

La ecuación homogénea corresponde a una entrada x(t) 0:

1 0

( )( ) 0

d y ta a y t

d t

(28)

y la ecuación inhomogénea es: 1 0 0

( )( ) sin( )

d y ta a y t b t

d t

(29)

La función de transferencia en frecuencia es:

arctan( )

2 2

( )( )

( ) 1 1

j

MagnitudFase

Y j K KG j e

X j j

(30)

De donde sabemos que la solución para t0, en estado estacionario, será

la entrada b0 sin( t), con un corrimiento de fase tan–1

(–),

y

multiplicada por la ganancia (compleja) G; la fase de la salida se verá

modificada por el término en la exponencial. Utilizando

alternativamente el método de la transformada de Laplace, tenemos, en

el dominio de frecuencia:

( )

( ) 1

Y s K

X s s

(31)

Se obtiene (consulte tablas de transformadas L y compruebe los pasos

intermedios, límites de integración, y sume la solución de la ecuación

inhomogénea para obtener la solución general):

1

2 2 2 2

/

tan ( )( ) sin( ),1 1

respuestarespuesta en estado estacionario

transiente

tK e K

y t t

(32)

18


Como se esperaba, la respuesta se atenúa al aumentar la frecuencia. El

cambio de fase va de 0 a 90° (0 a /2 radianes), pero nunca es menor

a 90°. El signo menos implica que el corrimiento de fase es un retardo.

Ejemplo: Un instrumento pasa-bajas de primer orden tiene una constante de tiempo de

20ms. Hallar la frecuencia de entrada sinusoidal máxima que mantenga el error de la

entrada, debido a la respuesta en frecuencia por abajo del 5%. Hallar el ángulo de fase

a esta frecuencia.

De la función de transferencia en frecuencia obtenemos, para (1005)%:

(33)

Y para la fase:

Si se intercambian R y C en el diagrama (a) de la Figura 6, el sistema sigue siendo de

1er orden, pero el filtro es ahora un pasa altas; la característica estática es 0 para todos

los valores de entrada constante (o bajas frecuencias). La respuesta a escalón es

inmediata, pero decae a 0 exponencialmente (descarga del capacitor); es decir y(t) =

Ket /

. La función de transferencia en frecuencia es:

( )( )

( ) 1

Y j jG j

X j j

(34)

Hay un polo en s = 1/ y un cero en s =0.

19


Ejemplo: De una fuente de 2kV en serie con una resistencia de 20k, calcular el

tiempo requerido para cargar el capacitor de 100F de un defibrilador a 1.9 kV. Ver el

diagrama (a) de la Figura 6.

Para este sistema, la respuesta a escalón (encendido de la fuente) nos da el

voltaje a través del capacitor (salida; ver ecuación (23)):

/( )t RC

C fuente fuenteV V V e

(35)

Substituyendo valores, despejamos t:

Ejercicio: encontrar los polos y ceros de la siguiente función de transferencia en

frecuencia Q(j). Investigue cómo es el comportamiento del sistema o dispositivo

cuando las frecuencias de entrada se aproximan o coinciden con uno o más polos y/o

con ceros del sistema; la constante de tiempo es o contiene posiblemente un

producto RC. 2

2

1 ( ) 4( )

1 ( 2( ) )

jQ j

j

(36)

Fin§ Indice

20


Instrumento (o Sistema) de Segundo Orden:

2

2 1 0 02

( ) ( )( ) ( )

d y t d y ta a a y t b x t

d t d t (37)

Rescribiendo como:

2

2

21 ( ) ( )

n n

D Dy t K x t

(38)

0

0

bK

a Sensibilidad estática (39)

0

2

n

a

a Frecuencia natural (no amortiguada) [rads/seg] (40)

1

0 22

a

a a Tasa de amortiguamiento (sin dimensiones) (41)

Nota: Otras formas de la ODE a 2º orden, con coeficientes b1 ó b2 0, es decir con

términos b1Dx(t), b2D2x(t), tienen soluciones y funciones de transferencia distintas.

Función de Transferencia Operacional (orden 2):

2

2

( )

( ) 21

nn

y D K

x D D D

(42)

Función de transferencia en frecuencia ("D j" ):

2

( )

( ) ( / ) (2 / ) 1n n

Y j K

X j j j

(43)

2 2 2 2 2

2arctan

/ /(1 ( / ) ) 4 / n nn n

K

(44)

21


Figura 7. (a) Dinamómetro (escala de medición de fuerza mediante resorte -force-

measuring spring scale), ejemplo de un instrumento de segundo orden. (b)

Sensibilidad estática, (c) Respuesta a escalón para el caso sobre-amortiguado

(overdamped) z = 2, el caso críticamente amortiguado z = 1, y caso sub-amortiguado z

= 0.5. (d) Respuesta en frecuencia sinusoidal en estado estacionario (steady-state), z =

2, z = 1, z = 0.5. [Figura modificada de Measurement Systems: Application and

Design, by E. O. Doebelin. Copyright Ó 1990 by McGraw-Hill, Inc.].

22


Ejemplo (ver Figura 7): Dinamómetro vertical, con fricción viscosa, tomando en cuenta la masa del resorte, incluida en la M total, siempre que

la frecuencia natural sea mayor que las frecuencias en x(t)), y la gravedad

sea compensada con y(0) en x(0). La entrada es la fuerza x(t)=F(t). De la 2ª

Ley de Newton (Fi = ma): 2

2

( ) ( )( ) ( )

s

d y t d y tF t B K y t M

d t d t

(45)

donde KHook es la constante de Hook del resorte (spring).

Identificamos, de la ODE de 2o. orden, ecuación (37):

1

Hook

KK

Sensibilidad estática (46)

n HookK M Frecuencia natural (no amortiguada)

(47)

2Hook

B

K M

Tasa de amortiguamiento (damping) (48)

Respuesta estática: x(t) = 1/K Hook y(t) (49)

Respuesta a escalón (t)=1 para t 0 (en función de ):

Caso sobreamortiguado > 1:

2 2

2 2

2 21 11 1

2 1 2 1

( ) ( )( ) n nt ty t Ke Ke K

(50)

Caso críticamente amortiguado = 1:

( ) (1 ) nn

ty t t Ke K (51)

23


Caso subamortiguado < 1:

2

21

1( ) sin

n

n

ζ t

te

y t K K

(52)

donde 2

1 )arcsin (φ (53)

Frecuencia natural amortiguada: 2

1d n (54)

Compromiso entre subida rápida y sobretiro mínimo: 0.7

En instrumentación, el dinamómetro se usa en básculas, medición de esfuerzos

mecánicos o dispositivos cuyo comportamiento depende de una fuerza aplicada.

NOTA: La frecuencia natural n no depende de las frecuencias en la señal de entrada

(que en el caso anterior es =0 siempre, al ser una entrada escalón), sino solamente de

las constantes de los elementos del sistema.

Problema: Para instrumentos (o sistemas) sub-amortiguados de segundo orden,

hallar la taza de amortiguamiento de la respuesta a escalón.

Para obtener valores máximos para la respuesta sub-amortiguada resolvemos

Dy(t) = 0. Para <0.3 aproximamos máximos (valores extremos positivos) en tn

para argumentos de sin( ) = 3/2, 7/2, etc.

2 21y1 1

3π 2 7π 2 n n

n n

t t

(55)

Cociente entre 1er

y 2do

sobretiros positivos yn y yn+1 :

21 1

definimos:2π

exp ,n

n

y

y

21 1

2πln n

n

y

y

(56)

es el llamado decremento logarítmico. Resolviendo para :

24


2 24π

(57)

Figura 8. (a) Circuito RLC en serie, la entrada x(t)=e(t) es una señal en volts. (b)

Gráficos de respuesta a transiente (escalón). Se muestra la corriente i(t) (salida “y(t)”)

para varios valores del factor de amortiguamiento (damping factor): respuestas

25


subamortiguadas, sobreamortiguadas arriba y debajo de la críticamente amortiguada,

en rojo. Los valores de L y C se normalizaron a 1.0 así como n=1.0.

Observaciones importantes (sistemas de 2o. orden):

Para respuestas sinusoidales y(t) en estado estacionario, la función

de transferencia en frecuencia Y( j ) / X( j ) indica un efecto de

filtrado pasa-bajas.

Si 1, habrá resonancia: la salida aumentará sin límite (dado el

modelo usado) hasta que alguna componente se modifique (se

deteriore o destruya), ocurra saturación (no tomada en cuenta en el

modelo) o algún cambio tal que ya no es válido el modelo y la salida

quedará acotada.

La tasa de decaimiento en amplitud de la respuesta en frecuencia,

resulta ser el doble que para instrumentos de primer orden.

El retraso (lag) en la fase de salida alcanza hasta radianes (180),

mientras que en instrumentos de primer orden el máximo

desfasamiento es de /2 rads. (90). Notar inversión (“”).

En consecuencia, si y(t) se usa en retroalimentación “negativa”

(efecto de robustez + estabilidad) puede volverse retroalimenta-

ción positiva ( resonancia e inestabilidad); por ejemplo: A sin(

t+ n ) = A sin( t), para n (2+1).

Ejercicio: Considerando algún valor crítico de amortiguamiento, ¿Es posible que un

sistema de orden 2 presente una respuesta oscilatoria (sinusoidal) a una entrada

escalón? (demuestre esto o lo contrario). Este sería ejemplo de un dispositivo cuya

salida es una señal ondulatoria aunque la entrada sea constante. Establezca las

relaciones necesarias entre los coeficientes para que lo anterior ocurra o no ocurra.

Fin§ Indice

26


Elementos de retardo (time delay element, transport lags, dead times)

Para orden cero, un retardo presente en la entrada produce la salida:

y(t) = K x( t d ), t >d (58)

No confundir d con “constante de tiempo” en expresiones et /

.

La fase (negativa) en instrumentos de orden 1 y 2 implica “retardos”,

pero la fase depende de la frecuencia. Si la respuesta en frecuencia a

una entrada X( j) sin retardo es Y(j)= K X( j), entonces, con un

retardo d, de las propiedades de la Transformada de Laplace

(verificar), obtenemos que la función de transferencia en frecuencia

(entrada sinusoidal) cambia a la forma siguiente:

( )

( )d

d

d

j

factor por faseretardo adicional

Y jK

X jK e

(59)

Hay retardos en líneas de transmisión (eléctricas, acústicas, mecánicas,

hidráulicas, neumáticas, vasos sanguíneos, nervios, conductos

respiratorios, etc.) y esquemas de procesamiento digital de señales.

Evitar en lo posible retardos en sistemas o dispositivos con feedback o

retroalimentación, pues se pueden presentar oscilaciones e

inestabilidad (a veces es mejor introducir un retardo adecuado).

Cuando no es posible eliminar el retardo, conviene introducir uno

adicional que compense el corrimiento de fase (v. g.: " + = 2").

Evitar retardos cuando el feedback es parte de dispositivos de control.

Los retardos son aceptables en elementos o dispositivos usados

estrictamente para medición y algunos actuadores (en lazo abierto).

Un retardo es un corrimiento temporal e introduce un término constante que

puede volver no-lineal a una función en dominio temporal que era lineal sin

dicho corrimiento. En muchos casos, la solución es una formulación matricial en

coordenadas homogéneas para tener un nuevo sistema que sea lineal.

Fin§ Indice

27


Retroalimentación (feedback) Negativa

En ciertos casos, la función de transferencia Gd de un sistema o instrumento

es afectada por la entrada (v. g., cuando la impedancia de salida del

mesurando es alta o la de entrada del sistema o instrumento es baja). Para

reducir tal dependencia, se usa la estrategia de la retroalimentación.

(60)

Figura 9. Retroalimentación o feedback. Ganancia a lazo abierto y a lazo cerrado

(funciones de transferencia en frecuencia).

La entrada x al sistema o instrumento, a “lazo abierto” (es decir, sin

retroalimentación) es substituida por una entrada efectiva (x Hf y) en el

sistema o instrumento a “lazo cerrado” (con retroalimentación).

En general, Gd incluye amplificación, de modo que Hf Gd 1; tenemos

entonces y (1/ Hf) x. de modo que prácticamente solamente el elemento de

retroalimentación determina la salida para una entrada dada. Esto sólo

funciona si Hf no es a su vez afectada por su entrada (y). Un problema

común con la retroalimentación es si Gd contiene retardos temporales, pues

en tal caso habrá una inversión de fase que, si es de 180°, convierte la

28


retroalimentación en positiva. En general, los retardos pueden provocar

inestabilidad dando lugar a oscilaciones. Puede así ocurrir el fenómeno de

resonancia, para frecuencias muy específicas de la entrada (o inclusive para

valores constantes específicos de la entrada, que provocan oscilaciones en

partes del sistema que son las que contienen tales frecuencias críticas), al

grado de no solamente saturar la respuesta, sino hasta dañar o destruir al

instrumento o sistema (recordar aquel ejemplo de Física de Ondas y

Vibraciones, del Tacoma Narrows Bridge: Se colapsó al oscilar con una

frecuencia resonante; la “entrada” del sistema mecánico era un viento, a

cierta velocidad y un poco de turbulencia). Examinar el video:

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Con un buen diseño, que tome en cuenta las frecuencias naturales del

sistema o instrumento, así como efectos de retardo, la retroalimentación

puede estabilizar un sistema inestable y reducir errores en la salida respecto

a valores deseados. Por ello el concepto de retroalimentación es central en

las teorías y aplicaciones de control y de sistemas dinámicos.

Figura 10. Los sistemas de control a lazo cerrado (closed-loop) tienen elementos de

feedback (usualmente negativa, para disminuir el error respecto a la señal de

referencia). Cada elemento (bloque) tiene su propia función de transferencia. En

modelos elaborados se incluyen perturbaciones, retardos, etc. A veces la señal de

feedback se resta X (a veces es la referencia). El elemento de feedback puede incluir

sensores de la salida, cuando no es posible conectar una señal explícita.

x y elemento

Forward

+

dinámica

del sistema

- salida

señal

actuadora

selector de

referencia

o controlador

mando de

entrada

entrada de

referencia

señal de

feedback

elemento de

Feedback

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

29


Ejemplo. La Figura 11 muestra un circuito electrónico que emplea

retroalimentación negativa con un amplificador operacional. Las impedancias

complejas de entrada inversora Z1 y de feedback ZF pueden contener términos

resistivos (parte real) y reactivos de diversos tipos. Se puede demostrar, como en la

Figura 9 (o de ecuación "(60) bis" del ejercicio sobre la Figura 9), que la función de

transferencia en frecuencia a lazo cerrado (con feedback) es:

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

out F

in

V j j j

V j j

Z Z

Z (61)

Este tipo de circuitos, con diversas combinaciones de impedancias, ha dado

lugar a muchas aplicaciones: amplificadores casi ideales, comparadores,

sumadores, sustractores, derivadores, integradores, filtros activos de todo

tipo, convertidores voltaje/corriente, circuitos osciladores, "buffers", etc.

Figura 11. Amplificador no-inversor generalizado, ejemplo de un circuito eléctrico

con retroalimentación negativa. El triángulo representa un amplificador operacional.

Las características entrada-salida dependerán, en el caso no-ideal, de las frecuencias y

fase presentes en vin(t) requiriendo por tanto usar la respuesta en frecuencia Vout(j).

Ejercicio. La definición de feedback suele aparecer como en la Figura 9 en muchos

textos de ingeniería/sistemas pero la interpretación de "x", "y", y "Gd " es ambigua.

(A) Explique por qué. Hint: note que en principio la Gd es una sensibilidad estática, no

la función de transferencia en frecuencia de la ecuación (8) y lo mismo para Hf .

PERO, si en la Figura 9 se sustituyen x(t) por X(j), etc., resultaría ser válida aunque

30


más general (y la notación usa dos G's diferentes). (B) Haga todo el desarrollo y

rehaga la figura completa ("Figura 9bis" y una ecuación "(60) bis") con variables y

funciones en dominio de frecuencia (Laplace), haciendo las modificaciones necesarias

y trate de reinterpretar los comentarios. (C) Encuentre el equivalente generalizado en

dominio temporal, cambiando Gd por g(t); obtendrá una "Figura 9tris" y una ecuación

"(60) tris"). Hint: La Figura 9 resulta un caso particular aunque debe ser ya clara la

ambigüedad de la notación; recuerde el ejercicio sobre convolución "y(t)=g(t)*x(t)

equivalente a y(t)=h(t) x(t)". Note que esa "h" no es la "hf " del bloque de feedback;

arregle la ambigüedad. (D) Finalmente, rehaga "como debe ser" la Figura 9, con

notación consistente, y compare con la 9bis y 9tris del inciso (B) (arriba).

Ejercicio. Considere el sistema de la Figura 12. (A) Determine la función de

transferencia en frecuencia a lazo abierto (sin feedback) y (B) a lazo cerrado (con

feedback, caracterizado por el bloque inferior). (C) Discuta las características de la

ganancia respecto a su sensibilidad respecto a las constantes ak, k=0,1,2, ¿de qué

orden es la etapa a lazo abierto? (D) Encuentre la fase a lazo cerrado; indique qué

condición deben cumplir las constantes para que para un retardo t0, se tenga

retroalimentación positiva (¿cómo debe ser tal retardo?).

Figura 12. Cada bloque tiene una función de transferencia operacional.

Ejercicio. Describa la función de transferencia en frecuencia, la sensibilidad estática,

y la frecuencia de corte en Hertz de un instrumento cuya entrada y salida se relacionan

por la ecuación integro-diferencial siguiente:

0

( , )( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2

tg t

b g t ch t a d g h d et

(62)

31


En este sistema, a=3, b=4, c=8, d=0.5, e=1.0 son constantes (ignore unidades), h(t,)

es la entrada y g(t,) la salida. (B) Encuentre, si existen, la taza de amortiguamiento,

la frecuencia natural no-amortiguada y si es el caso, diga si el instrumento tiene una

respuesta a escalón sobre-amortiguada, sub-amortiguada o críticamente amortiguada.

Ejercicio. El voltaje de salida de un filtro pasivo pasa-altas se expresa en dominio de

frecuencia como: Vout(j) = K j (1+ j) 1Vin(j). Si la entrada vin(t) es sinusoidal,

con frecuencia y fase = 0, es claro que Vout es 0, ó muy pequeño para pequeña y

Vout K Vin cuando es grande. ¿Cómo escribiría Vout (y en función de qué), si la

entrada vin(t) tiene un perfil arbitrario, e inclusive sin periodicidad alguna? ¿Es válida

la noción de “función de transferencia sinusoidal”, si la entrada no es sinusoidal?

¿Para qué señales vin(t) es válida su respuesta (qué condiciones debe cumplir)?

Ejercicio. Se tienen dos sistemas o dispositivos A y B, de orden arbitrario con

funciones de transferencia en frecuencias GA(j) y GB(j). Ambos sistemas se

conectan en cascada; es decir, la salida de A es la entrada de B. ¿Cuál es la función de

transferencia en frecuencia conjunta o total, es decir aquella que relaciona la entrada a

A con la salida de B? Demuestre su propuesta y en qué condiciones es posible escribir

tal función neta (sistema A-B en cascada), por ejemplo, si hay restricciones en el

orden, la forma de GA o de GB. Si se limita a escribir solamente "Linealidad y Gtotal(j)

= GB(j)GA(j)", tiene "0". Deduzca esas u otras condiciones y la forma de Gtotal.

Ejercicio. ¿Puede expresar (traducir) la formulación del problema anterior a

dominio temporal? Considere funciones de transferencia g(t), entradas y salidas x(t),

y(t), donde =A ó B y en general =1,..., K para K elementos en cascada. Examine y

discuta las relaciones con el ejercicio sobre convolución "y(t)=g(t)*x(t) equivalente a

y(t)=h(t) x(t)", y escriba esta formulación para K sistemas o dispositivos en cascada.

¿Hay diferencias con el Anexo correspondiente en Características Estáticas?

Ejercicio. Sin estudiar el tema de amplificadores operacionales, a partir de la función

de transferencia (61) para el amplificador no-inversor de la Figura 11 implemente (A)

un filtro pasa-bajas y (B) uno pasa-altas, ambos con frecuencias de corte fc = 30 Hz,

definiendo las impedancias Z1 y Zf respectivas, usando lo que aprendió en los

ejemplos de instrumento de 1er orden. Dibuje los diagramas de circuitos resultantes

como casos particulares de la Figura 11. (C) Implemente ahora un filtro rechaza-

banda con frecuencias de corte inferior y superior fc inf = 60 Hz y fc sup = 90 Hz.

Compara (C) con una implementación por concatenación de un pasa-bajas y un pasa-

altas (como en ejercicios (A) y (B)).

32


Ejercicio. Considere un circuito de retroalimentación cruzada (Figura 13); donde se

especifica la ganancia de cada bloque; encuentre la salida (y1, y2) en función de la

entrada (x1, x2) y de cada ganancia. Aplicaciones: circuitos con memoria, modelos de

interacciones entre sistemas de diverso tipo donde se identifica una retroalimentación

cruzada; tres ejemplos en los estudios de comportamiento son la cooperación, la

competición y la co-dependencia.

Figura 13. Retroalimentación cruzada con dos canales de entrada/salida.

Ejercicio. Haga un análisis cualitativo del sistema completo (Figura 13), para cada

una de las cuatro combinaciones de signos en la retroalimentación; en la figura

aparece la combinación (+,+), y las otras tres son: (,+), (+,) y (,).

Ejercicio. Se usó en Figura 13 la misma notación ambigua de la Figura 9. Revise el

ejercicio respecto a este problema y haga una versión consistente y general de la

Figura 13 como lo hizo (versión final) para la Figura 9.

Nota: Un caso importante de sistemas retroalimentados, o a lazo abierto, son aquellos

correspondientes a procesos; en estos se realiza control de las salidas mediante

actuadores. Tales sistemas bajo control se denominan planta.

Fin§ Indice

33


Anexos

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) con Fasores3

Sea f(t) una señal sinusoidal de amplitud A, fase y frecuencia angular

(la frecuencia en Hz es / (2 ) ). En principio f(t) es una función real. La

llamada notación angular, o notación con fasores consiste en la

representación compleja de f(t) como un fasor (interpretación completa):

( )

( ) ( )j j t j t

Ae ef t t Ae

z (63)

Tanto la derivada como la integral respecto a t de z(t) resulta ser otro fasor.

Considerando su parte real, tenemos:

/2

( /2)

Re ( · ) Re{ · }

Re{ · }

Re{ · }

·cos( /2)

j j t j j t

j j j t

j j t

dAe e Ae i e

dt

Ae e e

Ae e

A t

(64)

O sea que la derivada temporal de una función sinusoidal corresponde a una

multiplicación de otra función sinusoidal por la constante /2( · ).

jj e

Del mismo modo, integrar una función sinusoidal representada como fasor

equivale a multiplicarlo por

/21

.j

e

j

Nota: Recordemos que ( )j t j tde j e

dt

significa que la exponencial compleja es

una eigenfunción del operador derivada D = d/dt, lo cual es una justificación

matemática de introducir la representación con fasores al trabajar con ecuaciones

diferenciales e integro diferenciales. Resulta más fundamental el haber elegido una

base de funciones armónicas para representar señales y el hecho de que tratamos con

sistemas lineales, lo cual permite aplicar el teorema de superposición y que baste

estudiar en un sistema la respuesta en frecuencia como una función de .

3 Esta sección fue extendida y adaptada al curso a partir del artículo: http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor

http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor

34


Ejercicios: (A) Exprese en notación fasor y de sus partes real e imaginaria, el

producto consistente del fasor definido por (63) multiplicado por un complejo

constante .j

Be (B) Demostrar que la suma de dos fasores da otro fasor; expréselo

como parte real e imaginaria. (C) ¿Cuál es la parte imaginaria de la derivada de z(t)?

Como al derivar z(t) el factor dependiente del tiempo j te

no es afectado, se

puede resolver una ecuación diferencial ordinaria y lineal mediante

aritmética con fasores: se factoriza j te

de cada término de la ecuación,

reapareciendo en la solución. Consideremos por ejemplo la siguiente

ecuación para el voltaje a través del capacitor de un circuito RC:

( ) 1 1

( ) ( )CC S

d v tv t v t

dt RC RC (65)

Cuando el voltaje de la fuente vS(t) es sinusoidal, o sea:

( ) ·cos( ),S Pv t V t (66)

Al reformular los voltajes como la parte real de los fasores Vs y Vc:

( ) Re{ · },

( ) Re{ · },

j t

S sj t

C c

v t V e

v t V e

(67)

donde tenemos el fasor Vs = Vp e j

, y el fasor Vc es la incógnita por conocer.

Con la propiedad arriba mencionada, la ODE en notación de fasores se

reduce a la ecuación algebraica:

1 1c c sj V V V

RC RC (68)

Ejercicio: (A) Demuestre lo anterior, a partir de la parte real de cada término en (65);

luego como debe valer para toda t debe valer en particular para (t /(2)), se obtiene

la parte imaginaria de (65) y se juntan ambas para restituir en notación fasor la misma

ecuación, que equivale a (68). (B) Verifique que emdiante la transformada de Laplace

se obtiene la misma ecuación (68) a partir de (65). Comente.

Al despejar para el voltaje fasor a través del capacitor obtenemos:

35


2

1 1· ·( )

1 1 ( )

j

c s P

j RCV V V e

j RC RC

(69)

Como se había visto, el factor que multiplica a Vs representa las diferencias

de la amplitud y fase de vc(t) relativas a Vp y .

En coordenadas polares (magnitud y fase) se tiene:

( )

2donde ( ) arctan( ).

1· ,

1 ( )

jRCe

RC

(70)

Finalmente obtenemos (de vuelta al voltaje como la parte real del fasor):

2

1( ) cos( ( ))

1 ( )C Pv t V t

RC

·

(71)

Ejercicios: Dados valores fijos de RC analice cómo cambia el voltaje en el capacitor

en función de la frecuencia . Dada una frecuencia fija analice qué le ocurre al

mismo voltaje al variar R o al cambiar C. Mismas preguntas para la fase (ver (70)). De

acuerdo a su análisis explique por qué se llama constante de tiempo al factor RC.

La Ley de Ohm se extiende a circuitos AC con resistencias, inductancias y

capacitancias (componentes): V=IZ el voltaje (complejo) V de caída o de

subida (respecto a tierra) debido a una componente (R, L o C) es igual al

producto de la corriente (compleja) I por la impedancia (compleja) Z de la

componente (R, L o C) a través de la cuál fluye I. La parte imaginaria de Z

es la reactancia y depende de las frecuencias en la señal.

Potencia. En un circuito AC se tiene por un lado una potencia real P que

representa la potencia promedio entregada al circuito; por otra parte se tiene una

potencia reactiva Q que representa potencia fluyendo de ida y de vuelta y ambas

dependen de la impedancia. Se puede definir una potencia compleja S=P+jQ donde la

potencia aparente es la magnitud de S. En términos de fasores, en un circuito AC la

potencia compleja está dada por S = VI*, con I* el complejo conjugado de I.

Fin§ Indice

36


Algoritmo para Resolver Numéricamente ODEs de Orden 1

Considerar un sistema o instrumento modelado por la ecuación diferencial

ordinaria (ODE) de primer orden siguiente:

( )( ) ( )

in

d V tRC V t V t

d t

, (72)

donde la condición inicial en t=0 es V0=V(0) y la “entrada forzada” (la x(t)

en la ecuación (15)) es Vin(t). Si se desea conocer la salida V(t) en un

intervalo [0, tfin] mediante un método numérico y no analítico, se procede

con los pasos siguientes:

Paso 1. Inicializar variables:

0

(por ejemplo)

(por ejemplo)

05

/10fin

anterior

RCtt

tV V

Paso 2. (Loop) Definir V = V(t)Vanter. Discretizando (72), se tiene

dV/dt =V/t ; para cada valor t se realizan los siguientes cálculos:

Resolver para el nuevo valor de V en el tiempo t:

0

1( ) ( )

anterior inRCV t V V t V t

( )anterior

V V t

t t t

Si t>tfin terminar loop, si no, continuar paso 2. Graficar V(t).

Ejercicio: Implemente en Matlab el algoritmo anterior, y grafique V(t) en [0, tfin], para

diferentes valores RC y algunas funciones arbitrarias Vin(t).

Fin§ Indice

37


Ecuaciones de Lagrange de Sistemas e Instrumentos

La formulación Lagrangiana constituye un enfoque unificado y

sistemático para modelar una amplia gama de sistemas físicos, y

particularmente útil en sistemas mixtos (por ejemplo, redes eléctricas

acopladas a sistemas mecánicos, hidráulicos con térmicos y

fotoacústicos, etc.). En instrumentación incluye la dinámica de sensores,

actuadores y dispositivos de control. Consideremos la siguiente ecuación

diferencial parcial que relaciona energías y fuerzas generalizadas:

,...3,2,1

nQ

q

V

qq

T

qdt

dn

nnnn

D (73)

donde:

T energía cinética total del sistema

D función de disipación del sistema

V energía potencial total del sistema

Qn fuerza generalizada en la coordenada n

qn coordenada generalizada

dtdqq nn .

“velocidad” generalizada.

Siendo n=1, 2, 3,…, N, con N el total de coordenadas independientes o

grados de libertad que existen en el sistema (dimensión del espacio de

estados).

V denota energía potencial almacenada (en resortes, capacitores, en

magnetización, en la altura relativa de una masa sujeta a acción

gravitacional, en depósitos de agua, de calor, baterías o reactivos

químicos, etc.).

T denota energía cinética (flujo activo).

D representa la mitad de la taza a la cual se disipa energía en forma

de calor (disipación por fricción, resistencias eléctricas, vibraciones,

inducción y emisión EM, amortiguamiento, etc.).

38


Qn estas entradas son las funciones de esfuerzo (o de flujo, en una

formulación dual) aplicadas al sistema. Son fuerzas externas, torcas,

fuentes de voltaje (o de corriente en la formulación dual), diferencias

de potencial, etc.

Ejemplo. Sistema electromecánico con acoplamiento capacitivo. El

movimiento mecánico es convertido en energía eléctrica (como en un

transductor consistente en un micrófono capacitivo donde las ondas

sonoras son convertidas en potencial eléctrico de salida a través de R).

0

,A

Cx x

y 0

0

AC

x

(74)

1 12 2

T L q M x

(75)

xBqRr21

21D (76)

12 20 12

12 20 0 12

1

2

1

2

( ) ( )

( )( ) ( )

C

A

V q q K x x

x x q q K x x

(77)

Notar el acoplamiento electromecánico en energía potencial

Aplicando ecuaciones de Lagrange:

20 1

0 0

1

1

2( ) ( ) ( )

( )( )

A

A

M x B x q q K x x f t

L q R q x x q q E

(78)

Aproximación lineal: como x, q son cantidades pequeñas, los términos

x2, q

2 y xq son despreciables:

qqqqq 0

2

0

2

0 2)( (79)

qxxqqxqqxx 000000 ))(( (80)

39


Ecuaciones linearizadas del sistema:

20 0 1

0 0 0 0

1 1

2

1(

( ) ( )

)

A A

A

M x Bx q q q K x x f t

L q R q x q q x x q E

(81)

Poniendo f(t) = 0 en la primera ecuación y bajo condiciones de estado

estacionario (“steady state”), obtenemos:

02

012

1 qKx

A (82)

Notar que se iguala la fuerza del resorte con aquella debida a las cargas

en la condición de equilibrio. Similarmente, en la 2ª. Ecuación, en

equilibrio:

EC

qqx

A

0

000

(83)

Las ecuaciones del sistema pueden escribirse en forma linearizada como:

0

0

0

( )A

C A

qM x B x Kx q f t

qqL q R q x E

(84)

Estas ecuaciones muestran que q0/(A) es el factor de acoplamiento entre

las partes eléctrica y mecánica del sistema.

Existe otra forma de acoplamiento electromecánico cuando la corriente en

una bobina produce una fuerza ejercida sobre un sistema mecánico y,

simultáneamente, el movimiento de una masa induce una fuerza

electromotriz en un circuito eléctrico (un dínamo, por ejemplo). La energía

cinética puede incluir un término de la forma:

UxixiNl cT (85)

Fin§§ Indice

iv. características dinámicas€¦ · función de transferencia operacional principio (o teorema)...

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