ITERACIÓN MATRICIAL

Determinar las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura.

Dónde: m1=mm2=2mm3=3m

k 1=3k k2=2k k 3=k

Entonces tenemos para el primer caso:

F1=K1 x1 Donde se considera F1=1 ∴1=K1 x1→x1=1k1⟹α 11

Entonces α 11=α12=α 13=13k

Por teorema de Maxuel α ij=α ji

Dónde: α 11=α21=α 31=13k

Segundo caso:

F2=K2 x2 Donde se considera F2=1 ∴1=K2 x2→x2=1kequi

⟹α 22

En serie. 1kequi

= 113k

+12k

→k equi=56 k

∴α22=α 23=α 32=56 k

Tercer caso:

F3=K3 x3 Donde se considera F3=1 ∴1=K3 x3→x3=1kequi

⟹α 33

En serie. 1kequi

= 113k

+12k

+1k

→kequi=116k

∴α 33=116k

De la teoría de coeficiente de influencia las ecuaciones de movimiento pueden expresarse como:

−x1=α 11m1 x1+α12m2 ¨x2+¿α13m3 x3¿−x2=α 21m1 x1+α 22m2 ¨x2+¿α 23m3 x3 ¿−x3=α 31m1 x1+α 32m2 ¨x2+¿α 33m3 x3 ¿

Entonces. −x1=α 11m x1+α 122m x2+α13 3m x3

−x2=α 21m x1+α 222m x2+α 233m x3

−x3=α 31m x1+α322m x2+α 333m x3

Reemplazando x i=−w2 x i , y además multiplicar con (-1) y las ecuaciones toman la forma:

x1=α 11mx1w2+α 122mx2w

2+α 133mx3w2

x2=α 21m x1w2+α222m x2w

2+α23 3mx3w2

x3=α 31m x1w2+α322m x2w

2+α333mx3w2

En notación matricial estas ecuaciones se convierten en:

{x1x2x3}=mw2{α 11 2α12 3α 13α 21 2α22 3α 23α 31 2α32 3α 33

}{x1x2x3}Reemplazar los valores de coeficiente de influencia:

{x1x2x3}=mw2{13 k

23k

1k

13 k

53k

52k

13 k

53k

112k

}{x1x2x3}=w2m6k {2 4 62 10 152 10 33}{x1x2x3}

Donde los valores de: x1=3 , x2=2 , x3=1

Primera Iteración:

{321}=w2m6 k {2 4 6

2 10 152 10 33}{

321}=w

2m6k {204159}→=w

2m6 k { 12.052.95 }<20

Segunda Iteración:

{ 12.052.95}=w2m6 k {2 4 6

2 10 152 10 33}{

12.052.95}=w

2m6k { 27.966.75

119.85}→=w2m6 k { 12.394.30}<27.9

Tercera iteración:

{ 12.394.30}=w2m6k {2 4 6

2 10 152 10 33}{

12.394.30}=w

2m6k { 37.3490.36

167.68}→=w2m6k { 12.424.49}<37.34

Como la razón obtenida aquí está muy aproximada al valor de la Segunda Iteración, entonces:

{ 12.394.30}=w2m (37.34 )6k { 12.424.49}⟹1=

mw2 (37,344086 )6k

→w2= 6k37,344086∗m

→w1=√ 6k37,344086∗m

⟹w1=0,40√ km ( radseg

)

Para obtener el segundo modo principal se utiliza el principio de ortogonalidad:

m1 A1 A2+m2B1B2+m3C1C2=0Donde los valores de A, B, C son: A1=1 B1=2,41966599C1=4,49021019

m∗1∗A2+2m∗(2,41966599 ) B2+3m∗(4,49021019 )C2=0⟹m A2+4,839mB2+13,47C2=0A2=−4,839B2−13,47C2Donde :B2=B2C2=C2

En forma matricial:

{A2B2C2}={0 −4.83 −13.470 1 00 0 1 }{A2B2C2}

Cuando esto se combina con la ecuación matricial del primer modo, convergerá el segundo modo.

{x1x2x3}=w2m6k {2 4 6

2 10 152 10 33}{

0 −4.83 −13.470 1 00 0 1 }{x1x2x3}

⟹w2m6 k {0 −5.678 −20.94

0 0.322 −11.940 0.322 6.06 }{x1x2x3}

Donde los valores de: x1=1 , x2=0 , x3=−13.47

Primera Iteración.

{ 10

−13.47}=w2m6k {0 −5.678 −20.94

0 0.322 −11.940 0.322 6.06 }{ 1

0−13.47}=w

2m6k {282.06160.83

−81.63}→=w

2m6k { 1.751−0.51}<160.83

Segunda Iteración.

{ 1.751−0.51}=w2m6 k {0 −5.678 −20.94

0 0.322 −11.940 0.322 6.06 }{ 1.751−0.51}=w

2m6k { 4.956.38

−2.75}→=w

2m6k { 1

1.29−0.56}<4.95

Tercera Iteración.

{ 11.29

−0.56}=w2m6k {0 −5.678 −20.94

0 0.322 −11.940 0.322 6.06 }{ 1

1.29−0.56 }=w

2m6k { 4.337.06

−2.96 }→=w

2m6k { 1

1.63−0.68}<4.33

Como la razón obtenida aquí está muy aproximada al valor de la Segunda Iteración, entonces:

{ 11.29

−0.56}=w2m (4.33 )6k { 1

1.63−0.68}⟹1=

(4,32842941 )mw2

6k→w2= 6k

(4,32842941 )m

→w2=√ 6k(4,32842941 )m

⟹w2=1,177√ km ( radseg

)

Para obtener el tercer modo escriba el principio de ortogonalidad como:

m1 A2 A3+m2B2B3+m3C2C3=0m1 A1 A3+m2B1 B3+m3C1C3=0

Dónde: A1=1 , A2=1 , B1=2,41966599 ,B2=1,63051929 C1=4,49021019 ,C2=−0,68295295

En las ecuaciones de ortogonalidad obtenemos:

m A3+3,2610mB3−2,048858mC3=0m A3+4,83933mB3+13,47063mC3=0

⇒1,57833mB3=−15,51948mC3⇒B3=−9,8328C3

Reemplazando tenemos :m A3−¿32,0647mC3−2,048858mC3=0⇒ A3=34,11C3 C3=C3

En forma matricial:

{A3B3C3}={0 0 34.110 0 −9.83280 0 1 }{A3B3C3}

Esto se combina con el segundo modo, producirá el tercer modo:

{x1x2x3}=w2m6k {0 −5.678 −20.94

0 0.322 −11.940 0.322 6.06 }{0 0 34.11

0 0 −9.83280 0 1 }{x1x2x3}

⟹w2m6 k {0 0 34.89

0 0 −15.110 0 2.89 }{x1x2x3}

Donde los valores de: x1=1 , x2=−9.8328 , x3=34.11

Primera Iteración.

{ 1−9.832834.11 }=w2m6k {0 0 34.89

0 0 −15.110 0 2.89 }{ 1

−9.832834.11 }=w2m6k { 1190.12−515.27

98.71 }

→=w2m6k {12.06−5.22

1 }<98.71Segunda Iteración.

{12.06−5.221 }=w2m6 k {0 0 34.89

0 0 −15.110 0 2.89 }{12.06−5.22

1 }=w2m6k { 34.89−15.112.89 }

→=w2m6k {12.06−5.22

1 }<2.89Como la razón obtenida es repetitiva entonces:

{12.06−5.221 }=w2m6 k {12.06−5.22

1 }⟹1=mw2

6 k→w2=6k

m→w3=√ 6km

⟹w3=2,4√ km ( radseg

)