issn nº 1390 - 3802 matemática - blog de espol
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1001000101001010010101011000111010 ISSN Nº 1390 - 3802 1010011001000101010100010100100010101001010110100101001010010001001001011110010101001001010010010010010110100100011110010101001001010100100010010010010010100100100100100100010010010010010100010100100101001001010100010010010010010010010100100100100100101001001001001001000100100100010010100100100100010010100100100010100100100100100101001010010100101001010100100101101011010100100100101001010101010101001001100101001001010100100101001010100101001001001010010010010100100100101001010101001001001010101100101010010010010010100101100101010110010010101011010101010010011001010011001001010010100100010101001001001010010010101010100110010100110010101010100010010100101010001010010100100101001101001010010010100101001010010101001010010001010001001001000101001001001010101001001001010010110100110101101010010010010100101001001001010010011110100100100101001001001001001011011001010010101001010010100101010101010100101010010011001010010101101010111100100101010010100101010111010010101001110010101010010100101001010010110010100101010100111100101001010100101010010100101001010100110101010101101001010101001010101001001010010111010100101011100101000101010000111101010100101100101111010100100110100001001010111101001110101010101000110101010010111010101101010101100101010110100100100111100110110101011101010010010111111010100100010010010010010010010010000100100100100010101000101001110010111010101010111011011010010111001001111100101001010011001010010010110101000101001101001010010010100101001010010101001010010010001010010100101010110001110101000101001010011001000101010100010100100010101001010110100101001010010001001001011110010101001001010010010010010110100100011110010101001001010100100010010010010010100100100100100100010010010010010100010100100101001001010100010010010010010010010100100010100101001010010101001010010010001010010100101010110010001010010100101010110001110101000101001010011001000101010100010100100010101001010110100101
matemática UNA PUBLICACIÓN DE FCNM - ESPOL
Volumen 14 Número 1 Abril 2016
Escuela Superior Politécnica del Litoral - ESPOL Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas - FCNM
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FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS El Departamento de Matemáticas (DM) es una unidad académica de la ESPOL. Desde el inicio la función del DM ha sido la docencia en Matemáticas, Ciencias Gráficas e Informática, para la formación de profesionales en ingeniería, tecnología y ciencias, habiendo tenido a su cargo en los albores de la ESPOL, el dictado de 10 materias. Con el transcurso del tiempo y acorde con la era de la información, el Departamento de Matemáticas creó en mayo de 1995 la carrera de “Ingeniería en Estadística Informática”, como alternativa en ingeniería en información y servicios. Posteriormente, con el fin de garantizar la eficiencia en el control y gestión empresarial con profesionales capacitados y de excelencia se creó la carrera de “Auditoría y Control de Gestión” en mayo de 2000. También el Departamento ha incursionado en una de las más importantes ramas de la matemática aplicada que tiene grandes aplicaciones en el mundo moderno, esto es la Investigación de Operaciones, la Teoría de Optimización, y particularmente las aplicaciones logísticas, a través del ofrecimiento de programas de pre-grado y post-grado en estas áreas. Así es como desde el año 2005 se viene ofreciendo la maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística y desde el año 2006 la carrera de Ingeniería en Logística y Transporte. El DM también cuenta con el CENTRO DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS, a través del cual, se realizan: estudios de predicción, estudios actuariales, estudios de mercado, diseños de experimentos, planificación y dirección de censos, análisis financieros, bases de datos estadísticos, formulación de proyectos, ingeniería de la calidad, etc. Entre otras actividades que desarrolla el DM anualmente están: las JORNADAS EN ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA que actualmente está en su decimoctava versión, el CONCURSO INTERCOLEGIAL DE MATEMÁTICAS que se viene realizando en forma contínua desde 1988.
Más información: www.icm.espol.edu.ec o escribirnos al e-mail: [email protected], [email protected],
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Guayaquil – Ecuador
matemática
UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL
Volumen 14 Número 1 Abril de 2016
Rector ESPOL: M.Sc. Sergio Flores
Vicerrectora General ESPOL: Ph.D. Cecilia Paredes
Decano FCNM: M.Sc. Oswaldo Valle Sánchez
Subdecano FCNM: M.Sc. Janet Valdiviezo
Director Departamento de
Matemáticas:
Director Departamento de Física:
Directora Departamento de
Química:
Editor de publicaciones:
Ph.D. Francisco Vera
Ph.D. Peter Iza
Ph.D. Paola Almeida
M.Sc. Eduardo Rivadeneira Molina
Comité Editorial: M.Sc. Efrén Jaramillo Carrión
Ph.D. David Matamoros
M.Sc. Luis Rodríguez Ojeda
Ph.D. Francisco Vera
Asesores Editoriales: Ph.D. Fernando Sandoya Sánchez
Ph.D. Joseph Páez Chávez
Ph.D. Sandra García Bustos
Ph.D. Olga González Sánchez
Ph.D. Justo Huayamave Navarrete
Ph.D. (c) Eva María Mera Intriago
Edición:
Ph.D. Francisco Torres Andrade
Ph.D. (c) Antonio Chong Escobar
Ph.D. María Nela Pastuizaca
Luisa Cabeza de Vaca Vélez
matemática es una publicación del Departamento de Matemáticas de la
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, y pretende constituirse en un órgano de difusión científico – tecnológico, con el fin de incentivar y motivar el desarrollo y avance de la matemática y sus aplicaciones.
matemática publica artículos teóricos y de tipo experimental tales como
ensayos, resúmenes de tesis de grado y trabajos de investigación relacionados con la aplicación de la matemática en los diferentes ámbitos de la realidad.
CONTENIDO
EDITORIAL..................................................................................................... 5 REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
Cabezas Xavier, García Sergio, Delgado Erwin…........................... 7 CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE UN AEROPUERTO
Cabezas Xavier, Delgado Erwin, Noboa Dalton…………….......... 21 SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
Caraguay Washington, García Cecilia.……………………...…... 26 ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
Cascante Roberto, Martín Carlos..………............................................ 34 EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
Rodríguez Ojeda Luis….…...……………..…………........................ 49 MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO
Rodríguez Ojeda Luis.……...……………..…………........................ 60 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
Sánchez Hernando………………………..…………........................ 66 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
Sánchez Hernando………………………..…………........................ 76 ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES
Solís Soraya……………………………………………................... 85
EDITORIAL
En estos días un pasajero que se encontraba a bordo de un avión en el aeropuerto de Filadelfia fue obligado a bajar del aparato bajo la sospecha de ser un terrorista, pues la pasajera que estaba sentada cerca de él lo vio muy concentrando en unos misteriosos símbolos y supuso que era algo peligroso. Cuando lo interrogaron las autoridades se dieron cuenta que el supuestamente peligroso hombre era el matemático G. Menzio, profesor de una universidad de la prestigiosa Ivy League de los EEUU, y que los símbolos misteriosos que garabateaba, y que levantaron la sospecha, eran una complicada ecuación diferencial que el matemático estaba intentando resolver. Lo anterior no pasaría de lo anecdótico si no fuera la manifestación de la gran contradicción que existe actualmente entre una dependencia cada vez mayor del desarrollo industrial, científico y tecnológico con las matemáticas frente a una incomprensión mayor y el alejamiento del público común hacia éstas. Y aunque la comunidad matemática y la actividad de la investigación matemática es cada vez mayor en el mundo de hoy, también es preocupante que para muchas personas, una de las cosas más aterradoras son precisamente... las matemáticas. Mucho de este sentimiento adverso radica en que la formación del matemático es rigurosa. Se le enseña a plantear un problema de manera lógica y a resolverlo también de una manera lógica. Y esos conocimientos y forma de abordar las cosas, en general, son poco comunes. Así que no cabe duda que aprender matemáticas nos cambia, y no solo si nos profesionalizamos en esta área del conocimiento, sino incluso cuando las usamos en nuestra vivencia diaria, en la cotidianeidad. Un ejemplo claro de esto es que a medida que los niños aprenden a sumar y restar sin usar los dedos y empiezan a usar la mente, sus conexiones cerebrales se reestructuran y su cerebro se reorganiza, y se deja de resolver problemas haciendo analogías con las cosas concretas para pasar a abordarlos a partir de las representaciones abstractas. Por otro lado, con mucha frecuencia, las matemáticas son vistas como un conjunto de métodos para la manipulación de números, figuras, formas o símbolos, pero éstos solo son productos de las matemáticas y parte de las herramientas utilizadas por la misma; no son la esencia de la materia. Una visión más justa de las matemáticas es verlas como arte y como un proceso creativo de descubrimiento, pues la mayoría de los matemáticos asumen que los teoremas se descubren más que se inventan, y el matemático es guiado por la curiosidad al buscar bellas y elegantes conexiones entre conceptos abstractos. Estos procesos de la matemática implican también un poco de experimentación, pero con las ideas y los símbolos en lugar de las cosas físicas, y hay una emoción intelectual única y tal vez una sensación de placer asociada al trabajo matemático que hace justo catalogar a esta disciplina también como un arte. Pero también son un lenguaje que ha ampliado sus fronteras: ya no es sólo el lenguaje de la física y la ingeniería, las matemáticas se han convertido en una herramienta esencial para la banca, la industria, las ciencias sociales y la medicina, y prácticamente toda área del conocimiento humano. Así, cuando se consideran en este contexto más amplio, vemos que las matemáticas son una parte absolutamente esencial de nuestro futuro debido a su gran alcance y debido a la eficacia de sus procesos. Así que hay un gran reto para acercar al gran público a las matemáticas, pues al contrario de lo que podría pensar más de uno, que nos quita sensibilidad, más bien nos la aumenta, ya que como dijo Charles Darwin, resumiendo la profunda importancia de las matemáticas: “Tal parece que las Matemáticas nos dotan con algo así como un nuevo sentido.” Así pues, los que hacemos Revista Matemática invitamos a los Científicos e
Investigadores de la ESPOL a trabajar para obtener esos descubrimientos asombrosos de los que nos congratulamos.
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA
MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE
SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
Cabezas Xavier1, García Sergio
1, Delgado Erwin3
2
Resumen: El presente trabajo muestra una revisión completa y exhaustiva del que a nuestro punto de vista es el primer y más
influyente enfoque para sincronizar los tiempos de semáforos sobre una arteria en una red de transporte. Hemos organizado la
información de los algoritmos propuestos en la publicación original de forma que su lectura y comprensión sea más fluida, no sin antes repasar los teoremas y lemas que justifican y validan el procedimiento. Mostramos además resultados computacionales
aplicando el método sobre una avenida de la ciudad de Guayaquil-Ecuador.
Palabras Claves: Sincronización, semáforos, optimización.
Abstract: In this paper we show a complete and thorough review of the first method for synchronization of traffic lights on an
artery on a transport network. From our point of view is the first and most influential approach to solve this problem. We have organized the information of algorithms proposed in the original publication in order to make reading and understanding more
fluid. It is also presented a review of all lemmas and theorems that justify and validate the complete procedure. Furthermore we
give computational results using the method on a street in Guayaquil-Ecuador with different setups. Keywords: Synchronization, Traffic lights, optimization.
Recibido: Febrero 2016.
Aceptado: Abril 2016.
1. INTRODUCCION Y
MOTIVACION.
Quienes poseemos un vehículo sabemos que
uno de los enemigos del tiempo son los
semáforos. Tratar de evitar una luz roja es casi
una prioridad cuando se trata de llegar a tiempo,
y seguramente más de una vez nos hemos
preguntado del porqué de nuestra mala suerte
cuando transitamos en las calles y avenidas de
la ciudad. La optimización de los momentos en
que un semáforo debe cambiar de verde a rojo
puede mejorar ese retraso producido por parar
demasiado en una intersección. Sin embargo,
dejando a un lado los problemas personales,
también hay muchas razones por las que una
eficiente temporización semáforos podrida
beneficiar globalmente a la sociedad, entre
ellas:
Minimizar la contaminación, debido al
efecto de la generación gases tóxicos
por los cambios de velocidad de los
vehículos al momento de parar y luego
seguir,
Mejorar el movimiento del flujo
vehicular, lo que reduciría los
estancamientos de trafico debido a
colas generadas en las luces rojas, y
Evitar accidentes de tránsito.
Estos problemas a mejorar son observables en
pequeñas y grandes vehículos. Resolver los
problemas de tránsito aquí se vuelve una
prioridad, más aún cuando ciudades, como en 1School of Mathematics, The University of Edinburgh 2Faculty of Science and Technology, Coimbra University 3Delgado Bravo Joffre Erwin, mail:
Guayaquil-Ecuador que con 2’350.915
habitantes [9] poseen un parque automotor de
más de 600.000 Resolver los problemas de
tránsito aquí se vuelve una prioridad, más aún
cuando se sabe que la transportación consume el
27 % de la energía total y casi el 100 % de la
energía utilizada globalmente proviene de
recursos petroleros y de sus derivados, como la
gasolina, ver [11].
El problema en el que se enfoca este estudio
es conocido como PSS, Problema de
Sincronización de Semáforos, o como STLP por
sus siglas en inglés, Synchronization of Traffic
Lights Problem. Muchos autores han dado
varios enfoques de solución, pero a nuestro
entender el más estudiado es aquel que trata de
maximizar el tiempo que un vehículo o grupo
de vehículos puede cruzar una arteria sobre una
red de transporte sin parar debido a la espera de
una luz verde donde un semáforo este
establecido.
Uno de los primero trabajos en esta área y que
inicia un estudio formal y matemático del
problema fue el realizado por Morgan y Little
[1] en el año 1964. Este trabajo muestra un
método sistemático basado en la geometría de
los tiempos para las luces rojas y verdes a lo
largo de una arteria. El procedimiento se aplica
sobre una arteria de dos vías (ida y venida), ya
que el caso de una vía es bastante simple.
Cuando una calle tiene dos sentidos el proceso
de sincronización es combinatorio y por lo tanto
muy difícil de resolver. Sin embargo el
algoritmo presentado por Morgan y Little lo
maneja bastante bien, dentro de los supuestos
que el enfoque original presentó, por ejemplo,
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
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velocidades fijas de los vehículos al transitar de
una esquina a otra. Esta última restricción
n fue relajada en modelos posteriores.
Aunque antes de este artículo, hubieron otros
enfoques geométricos de solución, éste mejoró
los resultados previos considerablemente.
La solución presentada en [1] supone que cada
semáforo sobre una arteria funciona dentro de
un periodo común (ciclo1), el cual es la suma de
los tiempos de rojo y verde, es decir, Si y
son los tiempos de rojo y verde
respectivamente, entonces
para todo semáforo i y j. El largo del periodo es
medido en segundos y representa la unidad de
tiempo para los cálculos del tiempo (Este
supuesto es utilizado en casi todos los enfoques
hasta el día de hoy). Con la ayuda de la
siguiente definición se trataron en este trabajo:
se establecen los casos que
Definición 1 (Bandwidth [1]). Considere una
arteria sobre una red de transporte con una
sucesión de semáforos ubicados sobre sus
esquinas. El bandwidth (ancho de banda) a lo
largo de la arteria es la porción del periodo
durante el cual un vehículo podría comenzar en
una esquina, y por medio de viajar a una
preasignada velocidad, ir a otra sin parar por
una luz roja.
Los dos casos que se resolvieron en 1964
fueron:
Problema 1. Dado un arbitrario número de
semáforos a lo largo de una calle, un periodo
común, los tiempos de rojo y verde para cada
semáforo, y velocidades fijas en cada dirección
n de una arteria de dos vías entre cada par de
adyacentes semáforos, sincronizarlos para
producir bandwidths que son iguales en cada
dirección y tan grandes como sea posible.
Problema 2. Resincronizar los semáforos a
favor de una dirección (si es factible) y darle a
la otra dirección un bandwidth tan grande como
sea posible.
Ya para el año 1966, John D.C. Little [2]
uno de los autores del artículo del año 64,
propone resolver los problemas 1 y 2 utilizando
programación lineal entera (PLE), que en esa
época ya era popular a pesar de las dificultades
de trabajar con variables discretas en esa época
(y aún lo es) y que el mismo autor menciona en
su trabajo. La formulación es simple y utiliza
mucha de la notación de [1], pero muestra
también un pequeño gran aporte a la
sincronización de semáforos ya no solo sobre
una arteria, sino sobre una red, es decir
múltiples arterias que se conectan unas con
1 Aunque el periodo se llamará ciclo, este
concepto no debe confundirse con la definición de ciclo sobre un grafo. Aquí ciclo hace referencia al
largo del periodo.
otras, formando una típica configuración de una
red de transporte en una ciudad. Estos modelos
fueron resueltos utilizando un algoritmo de
ramificación y corte, especialmente diseñado
para estos modelos. La introducción de este
último caso, trajo consigo un problema
adicional, el considerar ciclos sobre el grafo que
representa la red, lo que lo hace mucho más
difícil de tratar porque implica utilizar variables
enteras adicionales en su formulación.
Gartner et al. [3] introdujeron un nuevo
enfoque para el PSS, ellos no trataron de
maximizar el bandwidth, sino más bien tiene
como objetivo minimizar una función de
desempeño de la red, en particular el atraso que
los vehículos incurren debido a parar por luces
rojas. La función objetivo construida es de
hecho no lineal, pero es convexa, y los autores
proponen linealizarla por partes, esto agrega
nuevas restricciones al modelo.
En 1981 Little, Kelson and Gartner
propusieron un sistema computacional llamado
MAX- BAND [4] el cual resuelve los
problemas uno y dos, así como también el caso
sobre una red, vía PLE. Las primeras versiones
tratan el caso de red de transporte para aquellas
cuyos ciclos son formados por solo tres nodos.
Los casos más generales fueron introducidos en
versiones posteriores. En años posteriores
Gartner propuso además considerar bandwidths
variables en cada arco sobre cada arteria, lo que
mejoró los valores de las funciones objetivos
para casos previamente estudiados.
Trabajos más recientes incluyen enfoques
heurísticos y modelos que agregan nuevos
objetivos de interés global, como por ejemplo el
ahorro de energía producida por la congestión
vehicular. Sugerimos como referencia el
artículo de Gartner y Stamatidis [10] y [11] del
año 2014.
Este trabajo muestra la aplicación del
método propuesto por Morgan y Little [1],
ya que lo consideramos fundamental y básico
para empezar una investigación en el área de
Sincronización de semáforos. Hemos aplicado
el procedimiento completo a un caso real y
aunque sincronizar toda una ciudad implica
aplicación de metodologías que incluyen el uso
de algoritmos de aproximación mucho más
elaborados, queremos poner énfasis de que esta
revisión tiene como objetivo motivar la
aplicación de métodos sistemáticos para
resolver problemas que ciertamente son muy
difíciles de resolver.
Sobre el caso de estudio:
Guayaquil, cantón de la Provincia del Guayas,
está ubicado en la parte noroeste de América del
Sur, en la región costera de la República del
Ecuador. Su ubicación geográfica, clima, entre
otros factores, han contribuido para que en él se
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
9
concentren gran cantidad de fábricas, industrias
y empresas. Es reconocida como un centro de
negocios y es desde hace algún tiempo el cantón
con mayor densidad poblacional, con un
aproximado de 2’350.915 habitantes [9].
Podría deducirse del hecho de ser la ciudad
con mayor número de habitantes, que la
cantidad de personas que circulan por las vías
de esta urbe porteña utilizando sistemas de
transporte público o privado, podrían
experimentar problemas de flujo de tránsito. De
hecho, el Gobierno Municipal del cantón posee
una dependencia encargada de establecer los
sectores y horas sensibles al tráfico vehicular,
rutas alternativas que coadyuven minimizar las
consecuencias de las horas pico, cálculos
aproximados de tiempos de viaje entre
sectores, así como sincronización de los
semáforos y demás señales de tránsito.
Las propuestas que son puestas en práctica
para solucionar los problemas de tráfico
deberían tener una base técnica y científica
que las soporte. Esto no es algo nuevo o no
aplicado, sin embargo, es posible siempre
ajustar los modelos clásicos de transporte a
situaciones particulares que respeten las
características particulares de la zona en
estudio como situación geográfica, horarios,
tipo de vías, medios de transporte utilizados,
etc.
Justamente, este trabajo busca una
justificación en la aplicación de algoritmos
basados en modelos matemáticos que permitan
colaborar de alguna forma al ordenamiento del
tráfico en Guayaquil y en cualquier ciudad.
1. EL PRIMER ALGORITMO
SISTEMÁTICO DE SOLUCIÓN
(1964).
Notación:
El trabajo original de Morgan y Little [1] tiene
como base la notación que puede ser vista en la
figura 1.
n: Número de semáforos sobre una arteria de
dos vías.
Si: Semáforo i con el subíndice
incrementándose en la dirección de ida.
C: Largo del periodo, (segundos).
ri : Tiempo de luz roja del semáforo Si,
(ciclos).
b ( ): Bandwidth en la dirección de ida
(venida), (ciclos, largo del periodo C ).
θij : Tiempo desde el centro de una luz roja en
Si al próximo centro en Sj . Esto es llamado
fase relativa (offset). Por convención deseamos
que los valores de esta variable cumplan
Figura 1:
Diagrama Distancia-Tiempo. Las líneas negras
representan los tiempos de luz roja y la sección vacía los tiempos de verde. (Gráfico original de
Morgan y Little [1])
Con 0 ≤ θij < 1, (ciclos).
xi: Posición de Si sobre la calle (metros).
( ): Velocidad en la dirección de ida
(venida) entre los semáforos y y
es considerada constante y conocida para todo
k ∈ {1,. . ., n − 1}, (metros/segundos).
: Tiempo de viaje desde a en la
dirección de venida (inbound). Esto ocasiona
que los valores de tij sean negativos ya que se
tendrían que calcular, para el caso donde j = i
+ 1 como:
and
Las letras f y r en la figura 1 representan el
borde frontal (front) y posterior (rear) del
bandwidth respectivamente.
Se definirá ahora el concepto de
sincronización de semáforos:
Definición 2. (Sincronización [1]). Es el
conjunto { θij | j = 1, . . . , n } para i ∈ {
1, . . . , n }.
1.1. BASE MATEMÁTICA DEL
ALGORITMO.
El método es basado sobre una consistente
sucesión de lemas, teoremas y corolarios, que se
detallan a continuación. Aquí cada semáforo Si
será llamado simplemente señal.
Definición 3 (Señal crítica [1]). Una señal Si
se dice crítica si un borde de las luces rojas
toca el bandwidth en una dirección y el otro
lado lo toca en la otra.
Lema 1 ([1]). Si una sincronización maximiza
sujeto a > 0 y > 0, entonces:
1. Existe al menos una señal crítica.
2. El tiempo de luz roja de cualquier señal
crítica tocará el borde frontal de un
bandwidth y el borde posterior del otro.
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
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3. Todas las señales críticas pueden ser
divididas en dos grupos:
Grupo 1: Formado por la señales
cuyas luces rojas tocan el borde
frontal del bandwidth en la dirección
de ida y el borde posterior del
bandwidth en la dirección de venida
(ver figura 2), y
Grupo 2: Formado por las señales
cuyos tiempos de luces rojas tocan el
borde frontal del bandwidth en la
dirección de venida y el borde
posterior del bandwidth en la dirección
de ida (ver Figura 3).
En relación a la figura 1, las señales Si y S1
pertenecen a los grupos 1 y 2 respectivamente.
Figura 2:
Geometría para dos señales en el grupo 1 (ver [1]).
Figura 3:
Geometría para dos señales en diferentes grupos (ver [1]).
Respecto a la figura 2 se puede notar que
( ) y que
( ) donde int =
integer representa un entero que es sumado
para mantener θ dentro del rango [0, 1). Hay
que notar que dependiendo de la velocidad, int
se incrementará tanto como ciclos hayan
pasado. Ahora, al sumar ambas expresiones
se obtiene:
( )
( ) (1)
Si se considera la figura 3 se obtiene la misma
expresión. Además, es claro que dependiendo
de si int es par o impar podrá tomar dos
valores.
Una ecuación mucho más explícita puede ser
deducida utilizando la función mantisa (man):
man(#) = # − floor(#), donde # ∈ R.
Por lo tanto, desde la ecuación 1 se puede
definir:
Definición 4 (Sincronizaciones de Medio
Entero [1]). Una Sincronización de Medio
Entero
[
( ] (2)
Donde ∈ {
} ∈ {0, 1}
El mismo resultado puede ser obtenido desde
las señales críticas del grupo 2. Lo que se ha
probado en estos últimos párrafos es lo
siguiente:
Lema 2 ([1]). Bajo las condiciones del
lema 1, cada grupo de señales tiene
sincronización de medio entero.
También, una importante propiedad de
θ es:
[ ]
[ [
( ) ]
[
( ) ]]
[
( )
( )
( )
( )]
[
( )
( )]
[ [
( ) ]]
[
( ) ]
Teorema 1 ([1]). Existe una sincronización de
medio entero que maximiza bandwidths de igual
ancho.
El esquema de la prueba es más bien
geométrico, constructivo y fácil de seguir, ya
que trata de construir paso a paso una
sincronización de medio entero a partir del
supuesto que se tiene una que produce el
máximo de la suma de los bandwidths en ambas
direcciones ( ), ver [1].
También en la prueba se demuestran dos hechos
importantes, el primero es:
Corolario 1.- ([1]). Si se tiene que el máximo
de es mayor que cero, ( )
sujeto a b > 0 and > 0 es siempre igual a
( )
Y el segundo hecho es que si se obtiene
en el proceso de ( ) sujeto a b > 0 and
b > 0 y , están en diferentes grupos,
entonces y también tiene sincronización
de medio entero. Esto es fácilmente verificable
de la siguiente forma, en la figura 3 (a)
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
11
( ) y desde la
figura 3 (b)
( ), y restando la segunda ecuación desde la
primera se obtiene:
( )
( )
Teorema 2 ([1]). Bajo cualquier sincronización
de medio entero, b .
Demostración. Debido a que las señales críticas
definen cotas para los bandwidths, Es suficiente
considerar señales críticas para el análisis.
Nuevamente en relación a las figuras 3(a) y (b),
[
( )]
[
( )]
( )
( )
y porque
( )
( )
2. SINCRONIZACIÓN PARA
BANDWIDTHS DE IGUAL TAMAÑO.
2.1. PROCEDIMIENTO SEB.
Para construir el método SEB (por sus siglas en
inglés: Synchronization for Equal Band-width)
para el problema 1, Morgan y Little solo
enfocaron su búsqueda en sincronizaciones de
medio entero y analizaron el bandwidth en una
sola dirección (ida), esto gracias a los teoremas
1 2 respectivamente.
Teorema 3 ([1]). La máxima suma de
bandwidths iguales es alcanzada con max {0,
B} donde,
Sea i = c un maximizador i y los
correspondientes maximizadores . Entonces,
una sincronización para la máxima suma de
bandwidths iguales se logra
sustituyendo el en [
(
) ]
Demostración. En relación a la figura 4, se
tiene [
], pero
para hacer justo cuando esta expresión es
cero, puede ser escrita como
[
] y reemplazando
θ desde la ecuación 2, se tiene,
( ) [
( )
( ) ]
Figura 4:
Geometría para el procedimiento SEB (ver [1]).
Ya que ∈ {
} y de acuerdo a la figura 4, el
mejor valor para puede ser obtenido por,
∈{ }[ ( ) ]
Sea,
: El más grande bandwidth en la dirección de
ida bajo la sincronización de medio entero si el
tiempo de luz roja Si toca el borde frontal de la
misma.
B: El valor de una de las máximas sumas de
bandwidths iguales en ambas direcciones.
Entonces:
∈{ }[ ( ) ] ya que
las trayectorias no deberían cruzar las líneas
rojas. Por lo tanto el mejor i es Tal que,
∈{ }{ ( ) }
Si el mejor i es igual a c, y los
maximizadores , la sincronización logrará
sustituyendo los en la ecuación 3 para
obtener el conjunto { }
El procedimiento SEB se resume en la figura 5.
𝒖𝒊𝒋 𝒓𝒋 𝒖𝒊𝒋
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
12
Figura 5:
Procedimiento SEB.
3.2. PROCEDIMIENTO SUB.
Luego de resolver la maximización para la
suma de bandwidths iguales en ambas
direcciones, los esfuerzos se centraron en el
problema 2, al desarrollar el procedimiento
SUB (por sus siglas en inglés: Synchronization
for Unequal Bandwidth). Claramente un
pelotón (grupo de vehículos) necesita algún
tiempo para cruzar un semáforo, y el largo del
pelotón (que es medido en segundos) podría
llegar a ser diferente en ambas direcciones.
El tiempo que a un pelotón le toma pasar de
una señal a otra consecutiva sobre una arteria
claramente afecta la sincronización, por lo
tanto el primer paso es evaluar que tanto una
luz roja puede ser movida (procedimiento de
movimiento) con el fin de evitar que los
vehículos se detengan en cada señal. Es claro
también que debe existir un límite para este
movimiento.
Teorema 4 (El Procedimiento Movimiento
[1]). El bandwidth en la dirección de ida b, se le
puede asignar cualquier valor en { }
, haciendo el siguiente movimiento de la
fase relativa:
{ }
.
Entonces { } y es tan
grande como pueda sea possible para un b dado.
De la misma forma, el bandwidth en la
dirección de venida , se le puede asignar un
valor en { } , haciendo el
siguiente movimiento de la fase relativa:
{ }
Entonces { } y b es tan
grande como pueda sea posible para un dado.
Demostración. Sea,
: La sincronización que produce el
máximo valor de la suma de los bandwidths
iguales obtenida con el procedimiento SEB y
con la señal crìtica cuya luz roja toca el
borde frontal del bandwidth en la dirección de
ida (ver figura 6). Los correspondientes
y B también se suponen
conocidos.
: Un movimiento de la fase relativa para ,
(ciclos).
[ ] : Fase relativa ajustada
para , (ciclos).
{ }: El más pequeño tiempo de
luz verde entre las señales, (ciclos).
Respecto a la figura 6 (a), suponga que se desea
mover a la izquierda porque se quiere
incrementar el bandwidth en la dirección de ida
desde B a b. se reducirá tanto como b es
incrementado. Esto es gracias al corolario 1.
Además, debido a que las señales limitan el
movimiento, éste puede ser a lo mucho . Por
lo tanto, { } y { } Un argumento similar se puede utilizar para
incrementar b, entonces { }y
{ }, ver figura 6(b).
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
13
Figura 6: Geometría para el Procedimiento de Movimiento (ver [1]).
Al ubicarse sobre el lado derecho del tiempo
de luz roja en la figura 6 (a), Se puede notar
que el movimiento para es a la izquierda
dado por { }
Además, es cierto gracias a la figura 6 (b), que
la distancia desde el borde frontal del
bandwidth en la dirección de venida al siguiente
tiempo de luz roja sobre la izquierda es la
misma que la distancia desde la parte posterior
del bandwidth en la dirección de venida al
siguiente tiempo de luz roja sobre la
derecha, Esto es debido al teorema 2 para
mantener constante . También se puede
observar en la figura 6 (b) que para
incrementar es necesario mover
{ } a
Luego de revisar las reglas para el movimiento
de señales se define el Procedimiento SUB
como sigue:
Sea,
( ): Largo del pelotón en la dirección de ida
(venida), (cycles).
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
14
Figura 7:
Procedimiento SUB
Si , la sincronización dada por el
procedimiento SEB es aceptada. Caso
contrario, si entonces es posible
hacer un movimiento para que ambos pelotones
puedan cruzar de una sen˜al a otra consecutiva
sin parar y los bandwidths son divididos
proporcionalmente al largo de los pelotones si
es posible. Por lo tanto si
{
} [ ]
Por otro lado si y si es posible,
el pelotón cuyo tiempo es el más largo es
acomodado para cruzar sin parar, y el tiempo
que sobre se lo asigna al más pequeño, por su
puesto si existe este sobrante, es decir si ,
{ } { }
Además, si entonces b será cero y b
será . Argumento similares se aplican si .
El procedimiento SUB se resume en la figura
7.
Los procedimientos SEB y SUB se han
programado en el lenguaje Matlab® R2013a y
el ejemplo presentado en [1] (synchronization
of the signals on a stretch of Euclid Avenue in
Cleveland under off-rush hour conditions) se ha
reproducido, ver apéndice 5. Además es este
algoritmo completo el que se ha utilizado para
ejemplos simulados sobre una arteria particular
de la ciudad de Guayaquil.
Para concluir se responde a la siguiente
pregunta, ¿Qué sucede con el caso
unidireccional? Gracias a los resultados
mostrados hasta ahora esta pregunta se
resuelve con facilidad asignando al pelotón en
la dirección de ida el largo 2B y en ese caso el
bandwidth tomará el valor del mínimo verde
en esa dirección, como debe esperarse ya que no
se necesitaba del algoritmo para saberlo.
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
15
4. UNA APLICACIÓN SOBRE UNA
ARTERIA DE GUAYAQUIL.
Figura 8:
Un Sector de la Avenida Juan Tanca Marengo.
Guayaquil-Ecuador.
Se ha utilizado un tramo de la AV. Juan Tanca
Marengo de Guayaquil, ver figura 8. Esta
elección se ha hecho debido a que esta es una
arteria de dos vías muy importante, ya que une
el sector norte con el sector noroeste, pasando
por la ciudadela Marta de Roldos, El Colegio
Americano de Guayaquil y por otros puntos
importantes de la zona. La avenida llega hasta la
intersección de la Vía a Daule, lo que implica
un fuerte ingreso vehicular hacia la arteria.
Se han ubicado 6 semáforos dispuestos a
una distancia que se encuentra en azul en la
figura 8 y en la tabla 1. El resto de datos de
entrada han sido establecidos en base a datos
tanto reales como simulados, como se verá en lo
que sigue de esta sección.
Figura 9:
Límites de Velocidad en Guayaquil. Tomado de
[12].
Los ejemplos a continuación han sido resueltos
utilizando los procedimientos SEB y SUB, los
cuales han sido programados utilizando
MATLAB® R2013a.
Tabla 1:
Datos de entrada. Av. Juan Tanca Marengo.
Semáforo (i)-
Semáforo (j)
Distancia
(metros)
velocidad
(ida y regreso) (m/seg)
1-2 825 16,7
2-3 556 16,7
3-4 836 16,7
4-5 985 16,7
5-6 336 16,7
Total 3538 16,7
En un primer ejemplo, las velocidades tanto
en la dirección de ida como en la de venida, han
sido fijadas en 60 km/hora lo que equivale a
16,7 metros/segundos aproximadamente, esto en
base a los límites de velocidad que regulan el
tránsito en la Av. Juan Tanca Marengo, ver
figura 9. El largo de periodo es 90 segundos y
los tiempos de luces rojas para cada señal, en
unidades de ciclo, están dadas por el vector [0,
40, 0,42, 0,43, 0,42, 0,42, 0,44].
Los valores de los s obtenidos, luego de
aplicar el procedimiento SEB son s = [0,5, 0,
0,5,0, 0,5, 0], siendo la señal crítica de base la
número 6(maximizador del bandwidth), es decir
que esta señal se considera el origen para
ubicar el resto de señales a las distancias s.
Estos valores se utilizan para graficar el
diagrama espacio-tiempo de la figura 10. El
valor de bandwidth, que es el mismo en este
caso para ambas direcciones es
ciclos ó 29,1150 segundos.
Figura 10:
Sincronización. Caso Arterial.
Ejemplo 1. P = .
Las líneas horizontales en el diagrama espacio
tiempo de la figura 10, representan los tiempos
de luces rojas que no se deberían cruzar con el
intervalo de tiempo del bandwidth, que
se aprecia con líneas paralelas. Aquellas con
pendiente positiva son en dirección de ida, y
con pendiente negativa de venida. Por
simplicidad se han graficado solo un bandwidth
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
16
de cada tipo, pero la sincronización hace que
después de cada tiempo rojo una banda verde
puede ser ubicada en ambas direcciones.
Con un pequeño cambio en el tamaño del
periodo de T = 90 segundos a T = 60 segundos
la sincronización cambia como se nota en la
figura 11. El bandwidth total en este caso
disminuyó a b = 0,2068 y los valores de θ,
cambiaron a θ′s = [0, 0,5, 0, 0, 0, 0,5], aunque
esta vez la señal de base es la número 1. Esto
implica que una reducción del tiempo en el
periodo T, lo que equivale a disminuir el
tiempo de luces rojas, produce una ancho de
banda verde menor.
Figura 11:
Sincronización. Caso Arterial.
Ejemplo 2. P = .
Si se establece que la dirección de ida es la que
va desde la señal 1 a la 6 y cambiando las reglas
del juego al considerar que los pelotones en
ambas direcciones no son iguales, por ejemplo
P = 0,3 ciclos y P = 0,1 ciclos, y manteniendo
el largo del periodo en 90 segundos, se obtiene
diferentes valores del bandwidth en las
direcciones contrarias. En este ejemplo se
logra b = 0,4852 y b = 0,1617, es decir b + b
= 0,6469, que como se esperaba, es igual a 2b =
2(0,32345) del primer caso presentado. Aquí
además se tiene
θ′s = [0, 4744, 0, 0,3782, 0,9394, 0,5, 0,8383],
ver figura 12.
Aunque el ancho de las líneas paralelas en la
dirección de ida es más amplio que en las de
venida, en ambos casos los pelotones han sido
acomodados para que crucen la avenida sin
detenerse, favoreciendo a aquel grupo de
vehículos con una largo mayor.
Figura 12:
Sincronización. Caso Arterial.
Ejemplo 3. .
El cambiar las velocidades sobre la arteria, lo
cual tiene sentido en diferentes sectores del
tramo, a diferentes horas del día, el resultado,
con los mismos datos anteriores puede ser visto
en la figura 13. Aquí las velocidades fueron
establecidas como [18,0, 14,0, 16,8, 11,3, 12,1]
y [17,8, 0,8968, 0,3331, 0,8314, 0,8682, 0,0435]
entre las señales en la dirección de ida y venida
respectivamente. Los bandwidths encontrados
fueron b = 0,3954 y b = 0,1318, por lo tanto b +
b = 0,5272. Además θ′s = [0,3976, 0,8968,
0,3331, 0,8314, 0,8682, 0,0435] en referencia a
la señal 5.
Figura 13:
Sincronización. Caso Arterial.
Ejemplo 4. .
5. CONCLUSIONES.
El procedimiento de Morgan y Little es
computacionalmente rápido, pero sus
limitaciones en restricciones lo podrían hacer
ver como un método poco aplicable a casos de
la vidareal, pero esto no es del todo cierto. La
mayoría de las ciudades tienen una
programación de semáforos y velocidades de
vehículos ya establecidas, y el problema sigue
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
17
siendo como mover los tiempos de las señales
para mejorar el flujo vehicular. Por lo tanto,
concluimos que el caso arterial aún sigue siendo
importante, sin embargo hay que recalcar que
un modelo lineal para este problema, es en la
actualidad, mucho más práctico gracias en parte
al gran avance de motores de optimización que
se tienen en la actualidad, incluso aquellos que
vienen incluidos en programas que manejan
lenguajes de programación de alto nivel.
Esto último es la principal justificación de
estudiar este primer método sistemático, ya
que el modelo lineal para este caso es en casi su
totalidad basado en este inicial enfoque, de
hecho, fue propuesto por el mismo autor, ver
Little [2]
Ciertamente el problema global debe implicar
una red completa y los movimientos que los
vehículos deben hacer sobre esta. Wünsch [5]
demostró que este problema es NP-hard. Pero
como se ha mencionado antes, el propósito que
busca este estudio es el de socializar este
primer procedimiento sistemático, y como se
puede leer en la introducción, este es solo el
comienzo de una larga trayectoria de modelos,
en particular de programación matemática que
han sido bastamente utilizados en la academia y
en la práctica. Sin embargo casos de estudios
reales son mayormente abordados utilizando
software comercial, y el que probablemente
sea el de mayor éxito es TRANSYT [8] que,
de hecho, utiliza algunos procedimientos
heurísticos y de simulación para alcanzar una
solución aproximada. Transyt, no trata de
maximizar el bandwidth, sino más bien busca
minimizar una muy completa función
objetivo que considera entre otras cosas el
tráfico y una medida del atraso que sufren los
vehículos cuando circulan sobre una red de
transporte. Este claro es otro enfoque.
Finalmente, la experiencia en programación de
este procedimiento nos llevó a la conclusión que
su implementación no es muy compleja, pero
entender cada uno de sus pasos, incluidos sus
fundamentos matemáticos, es de vital
importancia para una correcta interpretación
de los resultados.
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
18
REFERENCIAS
[1]. John T. Morgan and John D. C. Little.
Synchronizing traffic signals for
maximal bandwidth. Operations
Research, Vol. 12, No. 6, Special
Transportation Science Issue (1964),
pp. 896-912.
[2]. John D. C. Little. The synchronization
of traffic signals by mixed-integer
linear programming. Operations
Research, Vol. 14, No. 4 (1966), pp.
568-594.
[3]. N. H. Gartner, D. C. Little, H. Gabbay.
Optimizaction of traffic signal settings
by mixed-integer linear Programming;
part I: The network coordination
problem; part II: The network
synchronization problem.
Transportation Science 9, (1975), pp.
321-363.
[4]. D. C. Little, M. D. Kelson, N.H.
Gartner, MaxBand: A versatile
program for set- ting signal on arteries
and triangular networks.
Transportation Research Record
(1980), 795, 40.
[5]. G. Wu¨nsch. Coordination of traffic
signals in networks. Technische
UniversitA Berlin. PhD thesis (2008).
[6]. T. Kavitha, C. Liebchen, K.
Mehlhorn, D. Michail, R. Rizzi, T.
Ueckerdt, K. Zweig. Cycle bases in
graphs: Characterization, algorithms,
complexity and appli- cations.
Computer Science Review, Vol. 3,
Issue 4 (2009), pp. 199-243.
[7]. Christian Liebchen and Romeo Rizzi.
Classes of cycle bases. Discrete
Applied Mathematics. Elsevier. (2006).
[8]. Cohen S.L. Concurrent use of
MAXBAND and TRANSYT signal
timing programs for Arterial Signal
Optimization. Transportation Research
Record, Vol. 906, pp. 81-84, (1983).
[9]. INEC. Instituto Nacional de
Estadísticas y Censos.
http://www.ecuadorencifras.gob.ec/cen
so-de-poblacion-y-vivienda/. Censo
de Población 2010. Ultimo acceso:
Abril 2015.
[10]. Gartner, N. H. and Stamatiadis, C.
Progression optmización feauturing
arterial and route-based priority signal
networks Intelligent Transportation
System, Copy- right Taylor and
Francis Inc. (2004).
[11]. Essam H. Almasri. Signal coordination
for saving energy and reducing
congestion using TRANSYT-7F
Model and Its Application in Gaza City
Natural Resources, (2014).
[12]. Noticias de Ecuador. Límites de
velocidad en Guayaquil.
http://ecuadorecuatoriano.blogspot.co.u
k/2012/08/limites-de-velocidad-en-
guayaquil.html. Ultimo acceso: Abril
2015.
X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO
19
7. APENDICE.
Ejemplos el caso aterial
REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
20
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE
PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE
UN AEROPUERTO Cabezas Xavier
1, Delgado Erwin
2, Noboa Dalton
3
Resumen: Uno de los problemas que enfrentan los operadores aéreos es establecer la secuencia de configuración de las pistas del
aeropuerto en un horizonte de planificación. La secuencia de configuración de las pistas en el horizonte de planificación incide
directamente en la capacidad de los aeropuertos para atender tanto llegadas como salidas de aviones. Otro aspecto a considerar es
que algunas configuraciones no están disponibles en determinados periodos en la mayoría de los casos por cuestiones
meteorológicas. En el presente trabajo se presenta un método para el cálculo de una cota superior para el problema de
planificación de configuraciones de un aeropuerto en un horizonte de planificación.
Palabras claves: heurística, planificación, aeropuertos
Abstract: One of the operational problems faced by aircraft operators is to establish the sequence of setting the airport runways in
a planning horizon. The configuration of the runways in the planning horizon directly affects the capacity of airports to meet both
arrivals and departures of aircraft. Another aspect to consider is that some configurations are not available in certain periods in
most cases due to weather issues. In the present work, a method for calculating an upper bound for the planning problem
configurations of an airport in a planning horizon is presented.
Keywords: heuristic, planning, runway.
Recibido: Marzo 2016.
Aceptado: Abril 2016.
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas que enfrentan los
operadores aéreos es establecer la secuencia de
configuración de las pistas del aeropuerto en un
horizonte de planificación. La secuencia de
configuración de las pistas en el horizonte de
planificación incide directamente en la
capacidad de los aeropuertos para atender tanto
llegadas como salidas de aviones. Otro aspecto
a considerar es que algunas configuraciones no
están disponibles en determinados periodos de
tiempo en la mayoría de los casos por
cuestiones meteorológicas.
Así, visto de una manera integral, este
problema incorpora establecer no sólo la
secuencia de configuración de las pistas sino
administrar las mismas, es decir determinar el
número de llegadas y partidas en un periodo
específico de tiempo con el objeto de minimizar
los costos de operación del aeropuerto debido a
vuelos postergados sujeto a las restricciones de
capacidad de los aeropuertos.
Generalmente, la capacidad de los aeropuertos
que operan en una configuración dada se
representa a través de la “runway configuration
capacity envelope” (RCCE) (Gilgo 1993, 1997). 1Xavier Cabezas, Departamento de Matemáticas, ESPOL.
(e-mail: [email protected]) 2Delgado Erwin, Departamento de Matemáticas, ESPOL.
(e-mail: [email protected]) 3Noboa Dalton, Departamento de Matemáticas, ESPOL. (e-
mail: [email protected])
Una RCCE es una región convexa que permite
establecer los niveles de operación, tanto en
arribos como en salidas de un aeropuerto, bajo
ciertas configuraciones y otras condiciones
operativas, en específicos periodos. Por
ejemplo, en la figura 1, se muestran dos RCCE
para diversas condiciones operativas. Así, la
VMC (“visual metereorological conditions”)
muestra la capacidad del aeropuerto bajo
condiciones visuales de operación, mientras que
la IMC (“instrument meteorological
conditions”) muestra la capacidad del
aeropuerto bajo condiciones instrumentales de
operación.
Por otra parte, el punto 4 muestra que sólo se
puede operar en VMC y no en IMC. En cambio,
el punto 1 no es operativo bajo ninguna
configuración.
Figura 1:
RCCE bajo condiciones VMC y IMC. Fuente: 3
CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS
PISTAS DE UN AEROPUERTO
22
2. REVISIÓN DE LITERATURA
Esta problemática fue abordada parcialmente
por Gilbo [1], donde propone un MIP (“mixed
integer problem”) para determinar el balance
entre arribos y salidas con el objetivo de
minimizar los costos totales por atrasos de
vuelos, sujeto a una secuencia de
configuraciones del aeropuerto conocido a
priori. Sin embargo, es conocido que optimizar
procesos locales no conllevan necesariamente a
una optimización global del problema.
En este contexto, Dimitris Bertsimas et al [3],
propone un MIP que aborda esta problemática
de una manera integral incorporando una serie
de variantes al modelo básico. Así, inicialmente
considera que los tiempos de cambios entre
configuraciones es de un periodo de tiempo,
luego de lo cual incorpora la posibilidad de
cambiar la duración de los cambios de
configuración bajo un enfoque de discretización
de los periodos. Asimismo, establece que si el
tiempo de intercambios entre configuraciones es
igual a un periodo, existen un máximo de
( ) restricciones, ( )
variables enteras y variables continuas
siendo el número de periodos, el número de
partes lineales de las curvas y el
número de configuraciones.
Por último, aborda el hecho de que la
planificación de la demanda en un aeropuerto no
solo afecta al mismo, sino a los aeropuertos
cercanos ya que, dependiendo de las
condiciones de operación de los aeropuertos, la
demanda en ciertos periodos puede ser derivada
a otros aeropuertos.Por lo antes expuesto, en el
presente trabajo se pretende determinar una cota
superior para el problema descrito inicialmente,
con el objeto de que en futuras investigaciones
sea utilizado en la definición de criterio de
parada de algún otro método de solución.
3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Dimitris Bertsimas et al [3], presenta un
enfoque basado en un modelo de programación
entero mixta que permite encontrar la solución
óptima del problema definido anteriormente.
Para el efecto, se han definido las siguientes
componentes:
3.1. Conjuntos y parámetros
Conjunto de periodos.
Conjunto de configuraciones disponibles en
el periodo .
Conjunto de secciones lineales de la más
alejada RCCE disponible para la configuración
en el periodo .
Número de arribos planificados en el
periodo
Número de salidas planificadas en el periodo
.
Costo por unidad por avión con retraso en el
arribo en el periodo .
Costo por unidad por avión con retraso en el
despegue en el periodo
3.2. Variables
Con el objeto de formular un modelo de
programación entero mixta, se procede a definir
las siguientes variables.
{
Número de arribos atendidos si el
aeropuerto opera en la configuración en el
tiempo .
Número de salidas atendidos si el
aeropuerto opera en la configuración en el
tiempo .
Número de arribos no atendidos en el tiempo
.
Número de salidas no atendidas en el tiempo
.
3.3. Formulación matemática
∑( )
(1)
s.a
∑
(2)
∑
(3)
(4)
∑
(5)
∑
(6)
X. CABEZAS, E. DELGADO, D. NOBOA
23
(7)
(8)
(9)
(10)
La restricción (1) representa la función
objetivo, el cual es minimizar los costos totales
por retrasos tanto en arribos como en salidas. La
restricción (2) relaciona los niveles de arribos
atendidos, los no atendidos y su respectiva
demanda en cada periodo de tiempo. De manera
similar, la restricción (3) relaciona los niveles
de salidas atendidos, los no atendidos y su
respectiva demanda en cada periodo de tiempo y
para cada configuración disponible en ese
periodo de tiempo. La restricción (4) garantiza
que los niveles de demanda tanto de arribos y
salidas satisfagan las condiciones de operación
del aeropuerto. La restricción (5) garantiza que
en cada periodo de tiempo a lo mucho una
configuración esté operativa. La restricción (6)
garantiza que en dos periodos consecutivos de
tiempo no existan configuraciones distintas. Las
restricciones (7), (8), (9), (10) se refieren a la
naturaleza de las variables.
4. CÁLCULO DE COTA SUPERIOR
Con el objeto de obtener una cota superior al
problema de planificación de las
configuraciones de las pistas en un aeropuerto,
se propone un algoritmo el cual se encuentra
dividido en dos etapas.
4.1. Construcción de la secuencia de
configuraciones.
Para la etapa 1, se procede a construir una
secuencia de configuraciones en el horizonte de
planificación, es decir, en esta primera etapa se
planificará una configuración en cada periodo
del horizonte de planificación.
Para el efecto, se procede a implementar un
algoritmo glotón, el cual privilegia las
configuraciones que se encuentran activas de
manera continua en un mayor número de
periodos. A breves rasgos el pseudocódigo de
esta etapa está dado por los siguientes pasos:
Paso 1: Ordenar las configuraciones de
mayor a menor número de periodos
consecutivos en que las mismas son
admisibles. Sea el mayor número de
periodos consecutivos en que la
configuración es admisible
Paso 2: Asignar la configuración a los
primeros periodos.
Paso 3: Incorporar la configuración nula al
periodo (es decir, en este periodo no
se encuentra operativo el aeropuerto) debido
a cambio de configuración. Si no todos los
periodos tienen asignado alguna
configuración, regresar al paso 1, caso
contrario finalizar.
4.2. Asignación de requerimientos de arribos
y salidas
En esta etapa, con base en la secuencia de
configuraciones del horizonte de planificación,
se procede a establecer los niveles de arribos y
salidas en cada periodo, satisfaciendo que el
punto de operación (arribos y salidas) satisfaga
los niveles de operación del aeropuerto en una
configuración dada.
Para el efecto, y dado que el costo de un arribo
atrasado cuesta más que el de una salida
atrasada, se realiza iterativamente un incremento
en una unidad tanto los arribos como las salidas
empezando por los arribos, tal como se muestra
en la figura 2.
Figura 2:
Asignación de arribos y salidas en cada periodo
A breves rasgos el pseudocódigo de esta etapa
está dado por los siguientes pasos:
Sean el número de partidas en el tiempo , y
el número de arribos en el tiempo ,
Paso 1 Sean
CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS
PISTAS DE UN AEROPUERTO
24
Paso 2: Si y ( ) , hacer:
Paso 3: Si y ( )
Paso 4: . Mientras que no todos los
periodos tengan asignado los arribos y partidas
entonces regresar al paso caso contrario
finalizar.
5. RESULTADOS COMPUTACIONALES
El algoritmo propuesto ha sido ejecutado en
un computador con características de procesador
Intel Core 2 Duo 2.80 Ghz con 4GB de RAM.
En la tabla 1, se muestran los resultados, tanto
de forma exacta así como las cotas superiores
obtenidos a partir del algoritmo, al implementar
diversas instancias en GAMS (para el modelo
exacto) y en Mathematica 9.0 (para el
algoritmo)
3
2
1
Insta
ncia
15
556
10
134
44
98
Va
lor ó
ptim
o
18
822
.76
12
060
56
18
Co
ta
Su
perio
r
34
2.1
32
2.1
12
3.2
Desv
iació
n
están
da
r
0.0
512
4
0.0
444
6
0.0
062
8
Tiem
po
Co
mp
uta
cion
al (s)
6. CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
Con base en los resultados obtenidos, se puede
evidenciar que el algoritmo propuesto, produce
en promedio cotas superiores en alrededor del
20% del valor óptimo. Una posible mejora a
esta propuesta es incorporando estructuras de
memoria en el proceso de búsqueda local.
X. CABEZAS, E. DELGADO, D. NOBOA
25
REFERENCIAS
[1] Eugene P. Gilbo. Optimizing Airport
Capacity Utilization in Air Traffic Flow
Management Subject to Constraints at Arrival
and Departure Fixes. IEEE Transactions On
Control Systems Technology, Vol. 5, No. 5,
September 1997
[2] Michael Joseph Frankovich. Air Traffic
Flow Management at Airports: A
Unified Optimization Approach. Ph. D. thesis.
(2012)
[3] Dimitris Bertsimas, Michael Frankovich,
Amedeo Odoni, (2011) Optimal Selection of
Airport Runway Configurations. Operations
Research 59(6):1407-1419.
[4] Richard E. Rosenthal. GAMS: A User´s
Guide. GAMS Development Corporation,
Washington, DC, USA. 2012
[5] Paul R.Wellin, Richard J. Gaylord, Samuel
N. Kamin. An Introduction to Programming
with Mathematica. Third Edition. Cambridge
University Press. 2005
Matemática: Una publicación de FCNM – ESPOL
2015, Vol. 14, No.1
SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL
ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO
TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES Caraguay Washington
1 García Cecilia
2
Resumen. Este artículo presenta la generación de trayectorias mediante trazadores cúbicos y trapezoidales simulados entre un punto inicial
y final sobre el modelo cinemático de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad. El propósito de este trabajo radica en la
consecución de una función suave de interpolación para su movimiento analizando el comportamiento de la trayectoria del trazador en posición, velocidad y aceleración. Para la simulación del movimiento se desarrolla una interfaz gráfica en LabView, donde se visualiza el
movimiento de la plataforma serial y la trayectoria generada por los trazadores entre los puntos.
Palabras claves: Trazador cúbico, trazador trapezoidal, trayectoria, modelo cinemático, grados de libertad.
Abstract. This article presents the trajectory generation using cubic and trapezoidal tracers simulated between start and end point on the kinematic model of a robot serial platform of two degrees of freedom. The aim of this work lies in achieving a smooth interpolation function
for the motion by analyzing the behavior of the tracer in position, velocity and acceleration. To simulate the trajectories has been developed a
graphic interface in LabView, where the motion of the serial platform and the trajectory generated by the tracer between points is displayed.
Keywords: Cubic tracer, trapezoidal tracer, trajectory, kinematic model, degrees of freedom.
Recibido: Noviembre 2015.
Aceptado: Marzo 2016.
1. INTRODUCCIÓN
Para la ejecución de una tarea determinada un
robot serial debe moverse desde un punto inicial a
un punto final, el mismo que puede ser realizado de
múltiples formas. Sin embargo, el problema radica
en cómo se especifica la trayectoria o ruta del
movimiento a través del espacio. El control
cinemático selecciona trayectorias que idealmente
deberá seguir la plataforma, teniendo en cuenta sus
limitaciones, para ajustarse lo mejor posible a las
especificaciones del movimiento dadas por el
usuario.
En el presente artículo se analiza los perfiles de
trayectorias más frecuentemente utilizados en los
movimientos de posición punto a punto de robots
manipuladores entre ellos los trazadores cúbicos y
trapezoidales, a la vez que se expone una interfaz
gráfica de usuario desarrollado en LabView para
fines de simulación de trayectorias punto a punto
visualizando además del movimiento, de la
plataforma, su posición, velocidad y aceleración.
En referencia a la plataforma serial robotizado de
dos grados de libertad que se toma como
mecanismo a simular, Figura 1, pertenece al
laboratorio del Departamento de Ingeniería de
Sistemas y Automática de la Escuela Técnica
Superior de Ingenieros Industriales de la
Universidad Politécnica de Madrid, la misma que es
___________________ 1
Caraguay, Washington, M.Sc., Profesor, Universidad Espíritu
Santo-Ecuador. (e_mail: [email protected]). 2García, Cecilia, PhD., Profesor, Universidad Politécnica de
Madrid- España. (e_mail: [email protected]).
de arquitectura abierta y en ella se pueden probar de
manera experimental diferentes esquemas de
control, previamente simulados.
FIGURA 1 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Plataforma serial robotizada de dos grados de
libertad, [1].
2. BASES CONCEPTUALES
Generación de Trayectorias El problema más simple es mover el extremo de la
plataforma desde una posición inicial hasta cierta
posición final deseada, lo que implica un cambio
tanto en la orientación como en la posición, en
nuestro caso solo involucra cambios en la posición.
Sin embargo, algunas veces es necesario especificar
el movimiento con mucho más detalle para lograr el
objetivo. Una manera de lograr aquello es incluir
puntos intermedios entre las posiciones inicial y
W. CARAGUAY, C. GARCÍA
27
final. Por lo tanto al completar el movimiento, el
extremo del eslabón final debe pasar a través de un
conjunto de posiciones intermedias, descritos por
puntos intermedios.
Es conveniente que el movimiento descrito, sea lo
más uniforme posible, debido a que los
movimientos bruscos tienden a producir vibraciones
causando un mayor desgaste entre los mecanismos
que conforman la estructura. Por tanto, se trata de
determinar una función suave de interpolación para
cada articulación. La literatura ofrece algunos
métodos para generación de trayectorias, tanto para
el espacio de las articulaciones como para el espacio
cartesiano, [2], [3], [4], [5].
Trazador Cúbico
Se trata de obtener un polinomio para cada
articulación de forma que su valor para un tiempo
inicial , sea el valor de su posición angular inicial
, y su valor para el tiempo final , sea el valor de
su posición angular final . Además, se requiere
que la función sea continua en velocidad, su primera
derivada, lo que significa que la velocidad inicial y
final deben ser cero. Para crear este movimiento
uniforme son evidentes al menos cuatro
restricciones sobre , ecuación (1):
(1)
( )
( )
Estas cuatro restricciones se pueden satisfacer por
un polinomio de cúbico o de grado tres, dado que
tiene en su ecuación cuatro coeficientes, como
muestra la ecuación (2), donde su primera derivada
y segunda derivada hacen referencia a la velocidad
y aceleración respectivamente.
(2)
Al combinar el conjunto de ecuaciones (1) y (2)
surge el siguiente sistema de ecuaciones (3):
(3)
Resolviendo estas ecuaciones para obtener las ,
se tiene (4):
(4)
( )
( )
De esta manera con el conjunto de ecuaciones (4)
es posible calcular el polinomio cúbico que enlaza
cualquier posición de ángulo inicial con cualquier
posición final deseada. Esta solución es para el caso
en el que el movimiento de la articulación inicia y
termina con velocidad cero.
Trazador Trapezoidal
Consiste en descomponer en tres tramos
consecutivos la trayectoria que une la posición
inicial , con la posición final . En el tramo
central se utiliza un interpolador lineal, y por tanto,
la velocidad se mantiene constante. En los tramos 1
y 3, se utiliza un polinomio de segundo grado, de tal
manera que en el tramo 1 la velocidad varía
linealmente desde la velocidad de la trayectoria
presente hasta la de la siguiente. Se tiene entonces
que en los tramos 1 y 3 la aceleración toma valores
distintos de cero, mientras que en el tramo 2 la
aceleración es nula. Para una trayectoria punto a
punto, la ecuación correspondiente en los tres
tramos está determinada por (5):
{
( )
( )
( )
( ) (
)
{
( )
( )
( )( )
{
( )
( )
Dónde:
( ) (
)
Siendo:
La característica de este trazador es que su gráfica
de velocidad toma la forma de un trapecio y su
característica de respuesta es la de tiempo mínimo,
con las restricciones de velocidad y aceleración
máximas permitidas.
SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
28
3. SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS Y
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Con el software LabView se desarrolló una
interfaz gráfica de usuario para simular trayectorias
punto a punto con base en trazadores cúbicos y
trapezoidales. Esta interfaz contiene una animación
en entorno 3D que simula el movimiento de la
plataforma robotizada. Para el desarrollo de sus
algoritmos, se utilizaron funciones en LabView de
la librería Robotics y funciones de programación
básicas, se aplicaron las ecuaciones de trayectorias
detalladas en la sección anterior y se hizo uso del
modelo cinemático directo, donde las coordenadas
de posición del extremo final del segundo
eslabón vienen definidas por:
Dónde:
Y la orientación en ángulos de Euler está dada por:
La Figura 2 muestra una representación
esquemática de la plataforma para una mejor
interpretación de los parámetros expuestos:
FIGURA 2 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Representación esquemática de la plataforma serial
robotizada, [1].
En la Figura 3 se muestra la interfaz cuando se
encuentra en su posición de inicio, lista para
desplazar angularmente sus eslabones hasta una
posición final determinada. Con esta interfaz se
evita prácticas inadecuadas de manera directa con la
plataforma robotizada real, debido a que el tiempo
de muestreo que exige la interpolación requiere de
varias pruebas a realizar, además ahorro de energía.
FIGURA 3 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Interfaz Gráfica de Usuario para simulación de trayectorias. Estado inicial , [1].
W. CARAGUAY, C. GARCÍA
29
Entonces, utilizando las ecuaciones para
determinar las expuestas en (4) se describe el
proceso matemático para la generación de
trayectorias.
Primeramente, haciendo uso de trazadores cúbicos
se moverá el primer eslabón desde la posición
inicial hasta grados y el segundo
eslabón desde grados.
Ambos movimientos se lo realizará en un tiempo
. De esta manera los coeficientes para el
primer eslabón quedan identificados.
Así los polinomios buscados que representan la
posición Figura 4, velocidad Figura 5 y aceleración
Figura 6, quedan determinados:
Aunque LabView es un excelente software de
simulación industrial, no ofrece buenas
características de resolución en sus gráficas, para
este caso los resultados obtenidos de la evaluación
de los polinomios fueron trasladados a Matlab con
la finalidad de ofrecer una mejor visualización de
las gráficas de trazabilidad.
FIGURA 4 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de posición primer eslabón, [1].
FIGURA 5 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de velocidad primer eslabón, [1].
FIGURA 6 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de aceleración primer eslabón, [1].
Del mismo modo se obtienen los para el
segundo eslabón:
Y los polinomios que representan su posición
Figura 7, velocidad Figura 8 y aceleración Figura 9,
quedan determinados:
SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
30
FIGURA 7 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de posición segundo eslabón, [1].
FIGURA 8 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de velocidad segundo eslabón, [1].
FIGURA 9 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos
grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Gráfica de aceleración segundo eslabón, [1].
En las gráficas se observa que la posición
corresponde a una trayectoria cúbica con un tiempo
definido, que tienen como perfil de velocidad una
parábola y su aceleración es lineal.
Este procedimiento es utilizado cuando la
plataforma realiza movimientos desde un punto
inicial a un punto final. Sin embargo si lo que
deseamos es pasar a través de puntos intermedios
sin detenernos, es decir generar trayectorias
continuas, se requiere de un ajuste de las ecuaciones
cúbicas a las restricciones de las trayectorias ya que
involucrarían velocidades no nulas, lo que conlleva
a conocer las velocidades deseadas de las
articulaciones en los puntos intermedios.
Por tanto las restricciones de las ecuaciones (6) se
vuelven:
(6)
( )
( )
Y la solución de los coeficientes ahora vienen
dados por la expresión (7):
(7)
( )
Existen diferentes métodos para dar con el
conocimiento de las velocidades en los puntos
intermedios [2], [3], [4], una de ellas consiste en
que el sistema seleccione de manera automática las
velocidades en los puntos intermedios de tal forma
que la aceleración en esos puntos sea suave y
continua.
Para la generación de trayectorias mediante el uso
de trazadores trapezoidales los valores de velocidad
y aceleración se han fijado en y
respectivamente. Los movimientos desde la
posición inicial hasta la posición final son los
mismos que para las pruebas realizadas en los
trazadores cúbicos.
Primer eslabón:
{
{
{
Segundo eslabón:
W. CARAGUAY, C. GARCÍA
31
{
{
{
Se observa que los tiempos de movimiento y
es una relación entre los valores de velocidad y
aceleración definidos y es precisamente el tiempo
de cambio de curva y de duración total del
movimiento de posición respectivamente.
En la Figura 10 se muestra la interfaz gráfica de
simulación con las respuestas en posición, velocidad
y aceleración para ambos eslabones generados por
el trazador trapezoidal. Además, se observa un
entorno 3D del posicionamiento final de sus
eslabones. La interfaz dispone de recuadros para
fijar la velocidad posición de inicio y final, la
velocidad y aceleración así como también un botón
de Stop FINISH, para la finalización de la
simulación.
Aunque la interpolación con trazadores
trapezoidales ofrece continuidad en velocidad, sin
embargo es discontinua en aceleración, a diferencia
de la interpolación con trazadores cúbicos, que es
continua tanto en velocidad como en aceleración,
siendo este un modelo representativo para el caso de
generación de trayectorias aplicados a robots
manipuladores en tareas de pick and place.
FIGURA 10 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales
Simulación de trayectorias con base en un trazador trapezoidal.
Estado final: primer eslabón grados, segundo eslabón grados, [1].
SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
32
4. CONCLUSIONES
Haciendo uso de softwares de simulación como
MATLAB y LabView y utilizando métodos de
interpolación como los trazadores cúbicos y
trapezoidales se ha podido determinar los tiempos
del movimiento angular de los eslabones desde una
posición inicial hasta una posición final. Es evidente
el movimiento ralentizado con que se han generado
las trayectorias, esto en la práctica se evidencia en
el giro de los motores de corriente directa que a su
vez desplazan angularmente los eslabones desde la
posición inicial hasta la posición final. Para obtener
mejores tiempos de respuestas para los
desplazamientos es muy práctico utilizar
aceleraciones mayores en un orden superior a 10
veces su velocidad.
Las simulaciones realizadas con base en la interfaz
gráfica de usuario predice el comportamiento de
trayectorias de sistemas robotizados seriales
contribuyendo a la investigación de modelos
matemáticos que se ajusten lo mejor posible a las
especificaciones del movimiento dadas por el
usuario. En el presente trabajo se ha utilizado la
interpolación con base en trazadores cúbicos y
trapezoidales, pudiéndose extender a otros métodos
de interpolación con la finalidad de optimizar la
planificación de la trayectoria.
SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
34
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] CARAGUAY, W., & GARCÍA, C. (2013).
Modelado, identificación y control con base en
el modelo dinámico de un robot de dos grados
de libertad de accionamiento directo.
SENESCYT. Repositorio Digital. Obtenido de
http://repositorio.educacionsuperior.gob.ec/hand
le/28000/1572
[2] BARRIENTOS, A., PEÑÍN, L., BALAGUER,
C., & ARACIL, R. (2007). Fundamentos de
Robótica. Madrid: Mc Graw Hill.
[3] OLLERO, A. (2007). Robótica. Manipuladores
y Robots Móviles. Barcelona: Alfaomega /
Marcombo.
[4] CRAIGH, J. (2006). Robótica. México:
Pearson/Prentice Hall.
[5] SPONG, M., & VIDYASAGAR, M. (1989).
Robot Dynamics and Control. New York: John
Willey & Sons.
Matemática: Una publicación de FCNM – ESPOL
2015, Vol. 14, No.1
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
1Cascante Roberto,
2Martín B. Carlos M.
Resumen: La presente investigación muestra el detalle de los cálculos obtenidos para una parte de la deducción de una de las
ecuaciones más importantes de la actualidad en las Matemáticas, la ecuación de los científicos holandeses Diederick Johannes
Korteweg y Gustav De Vries (KdV), llamada así en honor a estos destacados matemáticos. Esta deducción fué publicada en el año 1895 por la revista “Philosophical Magazine and Journal of Science” en Londres; la misma que con este trabajo venían a
formalizar un hecho que se había puesto de manifiesto algunos años antes con un modelo matemático de ondas de agua sobre
superficies poco profundas, conocidas como Solitones. Los Solitones tienen como principales características de que son ondas de gran amplitud cuya velocidad de propagación depende de su amplitud en contraposición a las ondas lineales, son dispersivas pero
a su vez preservan su forma, son ondas de tipo onda solitaria, interactúan entre sí o con obstáculos finitos de tal manera que luego
de la interacción recuperan totalmente sus propiedades previas a la interacción salvo cambios de fase. En la parte inicial de la investigación realizada, se presenta una introducción histórica sobre el origen de este fenómeno físico
ocurrido en un canal de Escocia por Scott Russell; luego se deduce la variación del nivel del agua con respecto al tiempo, lo cual
origina una ecuación diferencial parcial que permitirá encontrar la solución de la misma, para demostrar esta fórmula se empieza
con la suposición de que las velocidades horizontal y vertical u y v del fluido pueden ser expresadas por series rápidamente
convergentes. Finalmente, se determina la solución de la ecuación en la recta para ondas estacionarias, para esto se realiza el
análisis de diferentes escenarios que podrían considerarse en la ecuación KdV, además para esta ecuación se emplean funciones elípticas que pueden ser vistas como una generalización de las funciones trigonométricas conocidas.
PALABRAS CLAVES: Ondas Dispersivas, Solitón, Series Rápidamente Convergentes, Funciones elípticas
Abstract: The present investigation it shows the detail of the calculations obtained for a part of the deduction of one of the most important equations of the current importance in the Mathematics, the equation of the Dutch scientists Diederick Johannes
Korteweg and Gustav De Vries (KdV), call like that in honor to these out-standing mathematicians. This deduction was published in
the year 1895 by the magazine " Philosophical Magazine and Journal of Science " in London; the same one that with this work they were coming to formalize a fact that had been revealed some years before by a mathematical model of water waves on slightly deep
surfaces known as Solitons. The Solitons have as principal characteristics of which they are waves of great extent which speed of
spread depends on his extent in contraposition to the linear waves, are dispersives but in turn they preserve his form, are waves of type solitary wave, interact between them or with finite obstacles in such a way that after the interaction they recover totally his
properties before the interaction except phase changes. In the initial part of the realized investigation, one presents a historical
introduction on the origin of this physical phenomenon happened in a channel of Scotland for Scott Russell; then there deduces the variation of the level of the water with regard to the time, which originates a differential partial equation that will allow to find the
solution of the same one, to demonstrate this formula it is begun by the supposition of which the speeds horizontal and vertical and
of the fluid they can be expressed by rapidly convergent series. Finally, the solution of the equation decides in the straight line for stationary waves, for this there is realized the analysis of different scenes that might be considered in the equation KdV, in addition
for this equation there are used elliptical functions that can be seen as a generalization of the trigonometrical known functions.
KEY WORDS: Dispersive Waves, Soliton, Rapidly convergent Series, elliptical Functions
Recibido: Noviembre 2015.
Aceptado: Mayo 2016.
1. INTRODUCCIÓN
La formalización de la ecuación KdV se debe
precisamente a los científicos holandeses
Diederick Johannes Korteweg y Gustav De
Vries quienes en 1895 derivaron la ecuación que
describía la propagación de ondas en la
superficie de un canal de aguas poco profundas
(Korteweg y De Vries, 1895). Con este trabajo
venían a formalizar un hecho que se había
puesto de manifiesto algunos años antes en un
canal de Escocia por John Scott Russell
(Russell, 1844); este último solo había logrado
inferir la expresión de forma de la onda (solitón)
sin llegar a la ecuación matemática que
modelaba el fenómeno.
1Cascante Roberto., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]). 2Martín Barreiro Carlos, Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]).
Los solitones tienen como principales
características que los definen: son ondas de
gran amplitud cuya velocidad de propagación
depende de su amplitud en contraposición a las
ondas lineales, son dispersivas pero a su vez
preservan su forma, son ondas de tipo onda
solitaria, interactúan entre sí o con obstáculos
finitos de tal manera que luego de la interacción
recuperan totalmente sus propiedades previas a
la interacción salvo cambios de fase.
La presencia de soluciones tipo solitón en la
ecuación de KdV se puede interpretar como el
balance entre la contribución del término no
lineal de la misma y el correspondiente al efecto
dispersivo, de tal manera que entre ellos se
establece un balance que da a lugar a estructuras
de marcada persistencia que son precisamente
dicho tipo de soluciones.
R. CASCANTE, C. MARTÍN
35
Korteweg y de Vries han investigado la
deformación de un sistema de ondas de forma
arbitraria pero que se mueven en una sola
dirección. Si l ( muy pequeño)
representa la elevación de la superficie por
encima del fondo a una distancia x desde el
origen de coordenadas, entonces se deduce la
ecuación:
x
x
l
g
t
2
22
3
1
3
2
2
1
2
3
Donde:
: Constante Arbitraria
g
Tll
3
3
1, donde:
:l Profundidad del líquido
:T Tensión superficial del líquido
: Densidad del líquido
:g Gravedad
Suponiendo que 0
t
(condición para
ondas estacionarias) se tiene que:
4sec 2 h
xhh
Esto último representa la ecuación de la onda
solitaria, que es un caso particular de solución.
Luego, otro tipo de solución se puede detectar
para ondas estacionarias, ahora la forma de la
onda de la superficie está determinada por la
ecuación:
kh
hM
khxhcn .mod
4
2
A continuación se muestran los cálculos
realizados para obtener los diferentes resultados.
2. LA FÓRMULA PARA dt
d.
Para demostrar esta fórmula se empieza con la
suposición de que las velocidades horizontal y
vertical u y v del fluido pueden ser expresadas
por series rápidamente convergentes de la
forma:
)2...(
)1...(
2
2
1
2
2
1
yyv
fyyffu
Donde y representa la altura de la partícula
sobre el fondo del canal, y
,...,,...,, 2121 fff son funciones de x y t .
Esto implica que v|y=0=0; es decir, la velocidad
normal en el fondo es cero.
Desde una de estas condiciones, la
incompresibilidad del líquido, la cual puede ser
expresada por 0
y
v
x
u (3), se puede
deducir que x
f
n
nn
11
de la siguiente
manera:
A partir de las expresiones:
...
...
2
2
1
2
2
1
yyv
fyyffu
Derivando u con respecto a x y v con
respecto a y , tenemos:
...32
...
3
2
21
221
yyy
v
x
fy
x
fy
x
f
x
u
Esto último lo remplazamos en (3) y tenemos:
0...32... 3
2
21221
yy
x
fy
x
fy
x
f
y
v
x
u
Agrupando términos semejantes y factorizando:
0...32 322
21
1
x
fy
x
fy
x
f
De ahí que:
x
f
nn
x
f
ndoGeneraliza
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
nn
n
11
233
2
122
1
11
10
:
.
.
.
3
103
2
102
0
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
36
De la misma manera, debido a la ausencia de
rotación del fluido (irrotacional), lo cual es
expresado por 0
x
v
y
u (4), se puede
deducir que 01 f ;
2
2
2
1
1
11
x
f
nnxnf nn
n
de la
siguiente manera:
A partir de las expresiones:
...
...
2
2
1
2
2
1
yyv
fyyffu
Derivando u con respecto a y y v con
respecto a x , tenemos:
...
...32
33221
3
2
21
xy
xy
xy
x
v
fyyffy
u
Esto último lo remplazamos en (4) y tenemos:
2
1 2 3
2 3 31 2
2 3 ...
... ... 0
u vf yf y f
y x
y y yx x x
Agrupando términos semejantes y factorizando:
0...432 3
4
323
2121
xfy
xfy
xfyf
De ahí que:
xnf
xnf
ndoGeneraliza
xf
xf
xf
xf
xf
xf
f
n
n
n
n
11
3
4
3
4
23
23
12
12
1
10
:
.
.
.
4
104
3
103
2
102
0
Además, ya que x
f
n
nn
11
, entonces
2
2
2
1
1
1
x
f
nx
nn
. Y por lo tanto:
2
2
2
1
1
11
x
f
nnxnf nn
n
A partir de la relación
2
2
2
1
1
x
f
nnf n
n
, tenemos que:
paresnx
f
n
imparesn
f
ndoGeneraliza
x
f
x
ff
x
ff
x
f
x
ff
x
ff
x
ff
f
n
nnn __;
!
11
__;0
.
.
.
65432
1
65
1
054
1
432
1
43
1
032
1
2
1
0
2
6
6
2
4
2
6
2
3
2
5
4
4
2
2
2
4
2
1
2
3
2
2
2
1
Asimismo, a partir de la relación
x
f
n
nn
11
, tenemos que:
R. CASCANTE, C. MARTÍN
37
ndoGeneraliza
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
.
.
.
06
1
5432
1
5
1
04
1
32
1
3
1
02
1
5
6
5
5
45
3
4
3
3
23
12
1
imparesnx
f
n
paresn
n
nnn __;
!
11
__;0
2
1
Reemplazando estos resultados en las
expresiones iniciales de u y de v , tenemos:
2 4 62 4 6
2 4 6
22
20
3 53 5
3 5
1 2 12 1
2 10
1 1 1...
2 24 720
1(5)
2 !
1 1...
6 120
1(6)
2 1 !
n nn
nn
n nn
nn
f f fu f y y y
x x x
fy
n x
f f fv y y y
x x x
fy
n x
Y además, si representa la velocidad
potencial y la función de la corriente, se
tiene:
3 52 4 6
3 5
2 43 5
2 4
1 1 1...(7)
2 24 720
1 1...(8)
6 120
udx
f f ff x y y y
x x x
vdx
f fyf y y
x x
Tales ecuaciones satisfacen todas las
condiciones del problema para el interior del
fluido y al mismo tiempo es fácil ver que para
ondas largas estas series son rápidamente
convergentes. En realidad, para tales ondas el
estado de movimiento cambia lentamente con
x , y por lo tanto los sucesivos cocientes
diferenciales con respecto a esta variable y todas
las funciones referentes, tanto como f lo hace,
el estado de movimiento debe decrecer
rápidamente.
Pasando a las condiciones de frontera, sean
1p una constante que representa la presión
atmosférica, '
1p la presión en un punto debajo
de la superficie donde la fuerza de la capilaridad
deja de actuar, y T la tensión superficial. De
ahora en adelante se usará el subíndice 1 para
hacer referencia a cantidades en la superficie.
Por diferencia de presiones tenemos:
2
1
2
1
'
1x
yTpp
Además, por la conocida ecuación de la
Hidrodinámica:
1
2
1
2
11
'
1
2
1)( gyvu
tt
p
Tenemos:
)9(2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
111
x
yTgyvu
tt
p
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
38
Ahora, reemplazando las expresiones (5), (6) y (7) en (9), tenemos:
De esta forma, suponiendo cierta regularidad, tenemos que:
2
1
2
1
2
5
55
13
33
11
2
6
66
14
44
12
22
1
5
66
13
44
1
22
11
...120
1
6
1...
720
1
24
1
2
1
2
1
...720
1
24
1
2
1)(
x
yTgy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fyf
xt
fy
xt
fy
xt
fyx
t
ft
p
Desarrollando los cuadrados en la expresión, tenemos:
2
6
66
14
44
12
22
16
66
14
44
12
22
1
2
5
66
13
44
1
22
1
1
...720
1
24
1
2
1...
720
1
24
1
2
12
2
1
...720
1
24
1
2
1)(
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fyff
xt
fy
xt
fy
xt
fyx
t
ft
p
2
1
2
1
2
5
55
13
33
15
55
13
33
11
2
2
1 ...120
1
6
1...
120
1
6
12
x
yTgy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
2
22
1
2
2
24
16
66
14
44
12
22
1
2
5
66
13
44
1
22
1
1
2
12
4
1...
360
1
12
1
2
1
...720
1
24
1
2
1)(
x
fy
x
fy
x
ffy
x
ffy
x
ffyf
xt
fy
xt
fy
xt
fyx
t
ft
p
2
6
66
14
44
16
66
14
44
1 ...720
1
24
1...
720
1
24
1
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
2 1
2
1
2
5
5 5
3
3 3
2
6
6 6
4
4 4
2
2 2
5
5 6
3
3 4 2 1
... 120
1
6
1 ...
720
1
24
1
2
1
2
1
... 720
1
24
1
2
1 ) (
x
y T gy
x
f y1
x
f y1
x
f y1
x
f y1
x
f y1
x
f y1
f
x
f y1
x
f y1
x
f y1
x f t
t p
R. CASCANTE, C. MARTÍN
39
2
1
2
1
2
5
55
1
5
55
13
33
1
2
3
36
15
56
13
34
1
2
2
1
...120
1
...120
1
6
12
36
1...
60
1
3
1
x
yTgy
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
f
x
fy
x
f
x
fy
x
fy
2
1
22
5
55
15
5
3
38
1
2
3
36
15
56
1
3
34
1
2
2
1
2
6
66
14
44
16
6
2
28
1
4
4
2
26
1
2
2
24
16
66
14
44
12
22
1
2
5
66
13
44
1
22
111
...120
1
2
1...
720
1
72
1...
120
1
6
1
2
1...
720
1
24
1
2
1...
1440
1
48
1
8
1...
720
1
24
1
2
1
2
1
...720
1
24
1
2
1)(
x
yT
x
fy
x
f
x
fy
x
fy
x
f
x
fy
x
f
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
f
x
fy
x
f
x
fy
x
fy
x
ffy
x
ffy
x
ffyf
xt
fy
xt
fy
xt
fyx
t
fgyt
p
Ordenando la expresión tenemos:
2
1
2
5
5
3
38
1
2
5
55
1
2
6
66
14
44
16
6
2
28
15
56
1
5
66
1
2
3
36
14
4
2
26
16
66
13
44
13
34
1
2
2
24
14
44
1
2
2
1
22
12
22
11
21
...720
1
...120
1
2
1...
720
1
24
1
2
1...
1440
1
120
1
720
1
72
1
48
1
720
1
24
1
6
1
8
1
24
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
x
yT
x
f
x
fy
x
fy
x
fy
x
fy
x
f
x
fy
x
f
x
fy
xt
fy
x
fy
x
f
x
fy
x
ffy
xt
fy
x
f
x
fy
x
fy
x
ffy
x
fy
xt
fy
x
ffygyfx
t
ft
p
2
1
2
6
15
5
5
62
3
3
4
4
2
2
6
64
13
4
3
3
2
2
2
4
42
1
22
2
2
1
21
...
120
1
720
1
72
1
48
1
720
1
24
1
6
1
8
1
24
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
x
yT
yx
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ffy
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ffy
x
f
xt
f
x
ffgyfx
t
ft
p
Esta última expresión tiene la forma:
)10(...2
1
26
1
4
1
2
111
x
yTPyNyMygyL
p
Donde:
2
2
1)( fx
t
ftL
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
40
22
2
2
2
1
2
1
2
1
x
f
xt
f
x
ffM
3
4
3
32
2
2
4
4
24
1
6
1
8
1
24
1
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ffN
5
5
5
62
3
3
4
4
2
2
6
6
120
1
720
1
72
1
48
1
720
1
x
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ffP
Por diferenciación con respecto a x de la ecuación (10) se obtiene:
)11.....(0...642...3
1
3
15
113
11
116
1
4
1
2
1
x
yT
x
yPy
x
yNy
x
yMy
x
yg
x
Py
x
Ny
x
My
x
L
Además, una segunda ecuación de la Hidrodinámica es la de continuidad y se aplicaría bien a la
superficie:
Para satisfacer las ecuaciones (11) y (12) por el
método de aproximaciones sucesivas, se
establece que ly1 , , donde
l y se suponen constantes y y son
funciones muy pequeñas que dependen de x y
t . Tratando entonces con el hecho de que para
ondas largas, cuya longitud de onda es grande
en comparación con la profundidad del canal,
todas las nuevas diferenciaciones con respecto a
x dan lugar a cantidades continuamente más
pequeñas. Estas aproximaciones son de primer
orden.
De la ecuación (11) tenemos:
0...120
1
720
1
72
1
48
1
720
16
24
1
6
1
8
1
24
14
2
1
2
1
2
12
...120
1
720
1
72
1
48
1
720
1
24
1
6
1
8
1
24
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
2
1
2
15
15
5
5
62
3
3
4
4
2
2
6
6
13
13
4
3
32
2
2
4
4
1
1
22
2
2
1
5
5
5
62
3
3
4
4
2
2
6
66
1
3
4
3
32
2
2
4
44
1
22
2
22
1
2
x
yT
x
yy
x
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
yy
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
yy
x
f
xt
f
x
ff
x
yg
x
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
xy
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
xy
x
f
xt
f
x
ff
xyfx
t
ft
x
0qf
0q
)12.....(011
11
t
yv
x
yu
R. CASCANTE, C. MARTÍN
41
0...120
1
720
1
72
1
48
1
720
16
24
1
6
1
8
1
24
14
2
1
2
1
2
12...
120
1
120
1
720
1
36
1
48
1
48
1
720
1
720
1
24
1
6
1
6
1
4
1
24
1
24
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
15
15
5
5
62
3
3
4
4
2
2
6
6
13
13
4
3
3
2
2
2
4
4
1
1
22
2
2
1
6
6
5
5
2
2
6
7
4
4
3
3
5
5
3
3
4
4
3
3
7
7
6
66
1
4
5
4
4
3
3
2
2
3
3
2
2
5
5
4
44
1
2
2
2
3
3
3
2
22
1
x
yT
x
yy
x
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
yy
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
yy
x
f
xt
f
x
ff
x
yg
x
f
x
f
x
f
x
f
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
f
x
fy
xt
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
ff
x
f
x
fy
x
f
x
f
xt
f
x
ff
x
f
x
fy
x
ff
t
f
De esto último tenemos que:
00 0001
l
xgq
xqq
tx
yg
x
ff
t
f
00 00
xg
xq
txg
xq
t
00
xg
txq
Por otro lado reemplazando (5) y (6) en (12), tenemos:
0...120
1
6
1...
720
1
24
1
2
1 1
5
55
13
33
11
1
6
66
14
44
12
22
1
t
y
x
fy
x
fy
x
fy
x
y
x
fy
x
fy
x
fyf
0
0
0
0
0
00
xl
txq
txl
xq
lt
qx
lx
q
De ahí que se forma el siguiente sistema de ecuaciones:
0
0
0
0
xl
txq
xg
txq
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
42
El mismo que matricialmente y suponiendo que 0
tt
sería:
0
0
0
0
x
xql
gq
Evitando la solución trivial, se tiene que:
glqglqql
gq 0
2
0
0
000
l
q
gl
gq
q
gq
q
g
gl
ggglkgglggl
gglx
gx
glx
gx
glx
gx
q
0
0
2
0
0
0
0 0
Donde es una constante arbitraria muy pequeña.
Es evidente que esta solución coincide con la
usualmente dada para el caso de ondas largas de
forma arbitraria hecha estacionaria ya que se
atribuye al fluido una velocidad igual y opuesta
a la dada por la onda, en base a la suposición de
que la velocidad en una dirección vertical podría
ser dejada y que la velocidad horizontal podría
ser considerada uniforme a lo largo de cada
sección del canal.
Para proceder con una segunda aproximación,
debemos considerar la expresión:
)13.(..........00
l
qqf
Donde es muy pequeño comparado con y .
Derivando la ecuación (13) con respecto a x se tiene:
xxl
q
x
f 0
Sustituyendo (13) y su derivada en (11) y (12), tenemos:
R. CASCANTE, C. MARTÍN
43
0...
...
2
1
2
1
2
1
2
22
022
0
2
2
2
200
02
2
2
20
02
2
3
2
302
3
3
3
300
0
2
2
2
2
200200
0
0
x
T
xxl
q
xl
xtxtl
q
xl
xxl
q
l
xl
xg
xxl
q
xx
l
ql
xtxtl
ql
xxl
q
l
qql
xxl
q
xxl
ql
xxl
q
l
ttl
q
Escogiendo términos y eliminando los considerados despreciables como 2
2
xx
y
3
x
que son
rechazados en comparación a x
las cuales se mantiene en las ecuaciones,
t
y
tx
2
3 contra
t
, tenemos:
)14.(..........02
13
320
x
Tgl
xl
g
xg
tl
q
De la misma manera:
0...120
1
6
1
...24
1
2
1
2
1
5
5
5
505
3
3
3
3030
4
4
4
404
2
2
2
2020
0
txxxl
ql
xxl
ql
xxl
ql
xxxl
ql
xxl
ql
l
Esta última expresión la multiplicamos por
l
q0 y nuevamente escogiendo términos y
eliminando los despreciables, tenemos:
3
20
3
12
6
0.........(15)
q gg l g
l t x l x x
Sumando las ecuaciones (14) y (15) tenemos:
03
1232
3
320
x
Tgl
xl
g
tl
q
Multiplicando esta última expresión por g
l
tenemos:
03
1232
3
330
xg
Tll
xtg
q
Haciendo que: g
Tll
3
3
1, tenemos:
02323
3
0
xxtg
q
Despejando t
:
3
3
0 3
1
3
2
2
3
xxxq
g
t
Y ya que glq 0, finalmente tenemos:
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
44
2
20
2
3 1 2 116
2 2 3 3
q
t l x x
La ecuación (16) indica la deformación de un
sistema de ondas arbitrarias pero que se mueven
en una dirección única. Antes de utilizarlas se
debería puntualizar la relación entre la constante
, la cual podría ser elegida arbitrariamente y
la velocidad uniforme dada por el fluido.
Además, la variación de la constante , es
decir corresponde a la relación
l
0 en su velocidad, y tomando la
variación con respecto a en (16), tenemos
que:
xxl
q
dt
dq
0
3. ONDAS ESTACIONARIAS.
Para ondas estacionarias 0
t
, de ahí que:
03
1
3
2
2
1
2
32
220
xxl
q
t
Por lo tanto:
03
1
3
2
2
12
22
xx
Integrando:
03
1
3
2
2
1
3
1
3
2
2
1
2
22
1
12
22
xc
cx
Multiplicando por 6 :
024362
22
1
xc
Integrando:
026
2
23
12
xcc
Si se considera que el fluido está quieto en el
infinito, tenemos que 021 cc ya que
0,0,02
2
xx
. Por lo tanto:
22
2
2
02
223
232
23
2
2
23
x
x
x
x
i) Para 0 , se debe cumplir que
0,02
Siendo 2h , tenemos:
)17.......(1
2
hx
h
x
Esto último es una ecuación separable:
xh
d
1
Resolviendo la integral del lado izquierdo de la
ecuación tenemos:
Cambio de variable:
dh
dt
ht
2
1
22
th
dt
h
d
Aplicando descomposición en fracciones
parciales:
hAhAhtSi
hBhBhtSi
thBthA
th
B
th
A
ththth
2
121:
2
121:
1
112
Por lo tanto:
R. CASCANTE, C. MARTÍN
45
22
1 1
2 22
1 1 1
1 1 1
1ln ln
1ln
d
h
dt
h t
h hdt
h t h t
dth h t h t
dth t h t h
t h t hh
t h
h t h
Esto quiere decir que:
1 1ln
1 1ln
ln
d t hdx
h h t h
t hx
h t h
t h hx
t h
1 1
h hx x
h hx x
h hx x
h hx x
t he t h t h e
t h
t h e t he
t e t h he
e t e h
2
2
2
2
11
11
1
1
1
1
11 1 tanh
41
hx
hx
hhxx
hx
hx
hx
hx
hx
hx
ee
t h h h
ee
eh h
e
eh h
e
e hh h x
e
2sec4
hh h x
ii) Considerando 0 , se tiene por
la misma razón dada anteriormente
que 02 por lo que
sustituyendo adecuadamente en la
expresión (17) ' por :
''' 1
h
x
Obteniéndose:
x
hhh
4sec 2'
La ecuación anterior produce la onda solitaria
negativa siempre que 0 , es decir:
g
Tl
g
Tl
g
Tll
g
Tll
3
3
03
1
3
1
2
3
3
Por ejemplo, en agua a 20ºc la profundidad
límite es 0.47 cm ( 72T , 981g ,
...998.0 UAB ).
Consideremos ahora que en el infinito se tiene
que 0,0
x
y por lo tanto la ecuación
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
46
026
2
23
12
xcc
produce que 02 c , quedando:
026
2
23
1
xc
En el supuesto que 0 , entonces 01 c
para garantizar que x
tenga valores reales
para valores pequeños de .
23
1
2
26
c
x
Ahora:
026
026
2
2
1
2
23
1
xc
xc
Como 01 c entonces:
062 1
2 c
Tiene 2 soluciones; una positiva h y una
negativa k .
Por lo que:
khx
khx
xkh
xc
1
1
0
062
2
2
2
1
2
Haciendo cambio de variable:
xsenh
xh
cos2cos 2
Tenemos:
dx
hk
d
hkx
hksenhx
senh
hkhsenhx
senh
hkhhhx
senh
4
1
cos
cos4
1
cos1
coscos2
coscos1
cos2
coscoscos1
cos2
2
2
2
222
222
Integrando tenemos:
x
hk
d
dxhk
d
4
1
cos
4
1
cos
2
2
Del lado izquierdo tenemos una integral elíptica
de primera especie. Lo cual da como resultado:
kh
hkhxhcn ,
4
2
Lo cual es un conjunto de funciones cnoidales.
4. ONDAS ESTACIONARIAS
PERIÓDICAS (CNOIDAL WAVES)
A partir de las ecuaciones (14) y (15)
calculemos el valor de :
02
13
320
x
Tgl
xl
g
xg
tl
q
06
12
3
320
xgl
xl
g
xg
tl
q
Restando las ecuaciones:
03
22
06
1
2
122
3
32
3
322
x
Tgl
xl
g
xg
xgl
Tgl
xl
g
xg
Dividiendo para g2 :
3
32
3
32
23
1
2
023
1
2
xg
Tl
xlx
xg
Tl
xlx
Integrando:
R. CASCANTE, C. MARTÍN
47
cxg
Tl
l
2
22
2
23
1
4
Debido a que el valor de la constante arbitraria
cambiaría por c en ecuación (13), se
considera 0c , entonces:
2
22
2
23
1
4 xg
Tl
l
De la ecuación
03
1
3
2
2
12
22
1
xc
,
despejando 2
2
x
se tiene:
22 1
2
2
1
2
1
1 2
2 31
3
6 3 4
61
3
13 4 6
2
c
x
c
c
Como se consideró que:
hkchk
hkhkc
khc
1
2
1
2
1
2
6,2
62
62
Entonces:
22
2
2
13 2
2
13 2
2
k h hkx
h k hk
Por lo que:
hkkhg
Tl
l
23
2
1
23
1
4
222
Por lo tanto:
00
2
00
2 2
4
1 13 2
3 2 2
qf q
l
lqf q
Tll h k hk
g
Obteniendo que:
2
2
2
2
1
2 4
1 3 1
2 2 2
1 3 1...
2 2 2
k hlgl
u gl yTl
h k hkl g
glh k hk
l
...
l
khgyv
Es importante indicar que si 0k implica que
01 c por lo cual, las ecuaciones determinan
el movimiento de un fluido para un solitón.
5. CONCLUSIONES
La ecuación KdV tiene un sentido físico
universal y puede ser aplicada en todas las
situaciones donde aparecen simultáneamente
por un lado efectos no lineales, que tienden a
volcar la onda, y por otro lado la dispersión
débil, que tiende a separar las componentes de
la onda de acuerdo con su frecuencia y de esta
manera tiende a suavizar la onda. Entonces, un
Soliton aparece como una situación de
equilibrio entre la no linealidad y la dispersión,
que se compensan. El descubrimiento del
Soliton sirvió como un impulso a una teoría
matemática reciente que se aplica para resolver
las ecuaciones diferenciales no lineales. Por otro
lado, la popularidad de los Solitones condujo a
su detección en áreas distintas a la
hidrodinámica. Por ejemplo, recientemente se
dieron a conocer los trabajos de los laboratorios
Bell para mejorar el rendimiento de las
transmisiones en las redes ópticas de
telecomunicaciones a distancias muy grandes
con el uso de Solitones ópticos. En la
transferencia de señales comunes a través de
fibras ópticas, por cada 100 km, es necesario
amplificar la señal, y después de cada 500 km
poner un reproductor, el cual transforma las
señales ópticas en eléctricas y luego otra vez a
ópticas para así poder transferirlas más adelante.
Sin estas medidas la señal se deforma
irreconociblemente. Los Solitones ópticos
encontraron una aplicación práctica con el
primer equipo de telecomunicaciones, que los
utilizaba para transporte de tráfico real de
señales sobre una red comercial en distancias de
más de 14,000 km.
ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
48
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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the Change of Form of Long Waves
Advancing in a Rectangular Canal, and
on a New Type of Long Stationary
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Analytical and Numerical Methods of
Non-Integrable Solitary and Cnoidal
Waves." Physica D 21, 227-246, 1986.
[3]. Gardner, C. S. "The Korteweg-de Vries
Equation and Generalizations, IV. The
Korteweg-de Vries Equation as a
Hamiltonian System." J. Math. Phys.
12, 1548-1551, 1971.
[4]. Lax, P. "Integrals of Nonlinear
Evolution Equations and Solitary
Waves." Comm. Pure Appl. Math. 21,
467-490, 1968.
[5]. Miles, J. W. "The Korteweg-de Vries
Equation, A Historical Essay." J. Fluid
Mech. 106, 131-147, 1981.
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Equation and Generalizations. I. A
Remarkable Explicit Nonlinear
Transformation." J. Math. Phys. 9,
1202-1204, 1968.
[7]. Russell, J. S. "Report on Waves."
Report of the 14th Meeting of the
British Association for the
Advancement of Science. London:
John Murray, pp. 311-390, 1844.
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL
CÁLCULO DE ÁREAS Rodríguez Ojeda Luis
1
Resumen. En este artículo se propone una forma especial del trazador cúbico en forma paramétrica para describir figuras planas
cerradas. Los polinomios por segmentos resultantes permiten calcular el área de la figura usando el teorema de Green. Como
soporte para esta investigación se instrumentó una aplicación computacional para obtención de resultados. Estos resultados se comparan con figuras conocidas y se define un criterio de convergencia y precisión.
Palabras clave: Interpolación paramétrica. Trazador cúbico. Teorema de Green.
Abstract. In this article a special form of the cubic spline in parametric form is proposed to describe closed plane figures. The
resulting polynomials by segments allow to calculate the area of the figure using the Green's theorem. As support for this research a
computational application was implemented for obtaining results. These results are compared with known figures and a convergence criterion and precision is defined.
Keywords: Parametric interpolation. Cubic spline. Green’s theorem.
Recibido: Marzo 2016.
Aceptado: Abril 2016.
1. CURVAS PARAMÉTRICAS
Las curvas paramétricas se usan para expresar
y graficar una relación entre dos variables que
puede no ser de tipo funcional. Utilizando otra
variable denominada parámetro, esta definición
permite conocer información adicional acerca
de la relación entre las variables y trazar
gráficos más generales que los gráficos de
funciones, proporcionando además su
orientación.
2. INTERPOLACIÓN PARAMÉTRICA
Los métodos de interpolación permiten
aproximar una función, de la cual se conocen
algunos puntos (xi, yi), mediante otra función,
típicamente un polinomio. Estos métodos no son
aplicables si los datos no tienen una relación de
tipo funcional y(x). Por lo tanto estos métodos
no se pueden usar si los puntos pertenecen a una
curva que tiene una forma general.
Sin embargo, si las coordenadas xi, yi se
expresan como funciones de otra variable t
denominada parámetro, entonces los puntos
x(ti), y(ti) si tienen una relación funcional y con
ellos se pueden construir polinomios de
interpolación paramétricos: Tx(t), Ty(t). Estos
polinomios separados no son de interés, pero en
cambio el gráfico de puntos de estos polinomios
paramétricos permite describir de manera
adecuada a la curva.
Hay alguna libertad en la asignación de
valores al parámetro t. Es suficiente que
pertenezcan a un subconjunto ordenado de los
reales R, con la misma cardinalidad que el
conjunto de datos, y que sean asociados en
forma consecutiva para cada punto x(ti), y(ti).
1Rodriguez Ojeda Luis., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]).
Después de construir los polinomios de
interpolación paramétricos Tx(t) y Ty(t) y para
que el gráfico se muestre como una curva
contínua, se evalúan paralelamente los
polinomios con valores de t muy cercanos, en el
mismo dominio de t. Estos puntos se conectan
para trazar la curva.
2.1 El trazador cúbico cerrado
El procedimiento de interpolación paramétrica
se puede instrumentar con el trazador cúbico
para obtener una aproximación cercana a la
curva propuesta. En esta sección se propone una
forma especial del trazador cúbico que permitirá
construir el trazador cúbico paramétrico para
modelar curvas cerradas.
Sean (ti, ui), i=0,1,2,3,...,n-1 puntos de una
función real u: RR, contínua y diferenciable
en el dominio de los puntos dados.
Si se supone que u(t) es una función simple, se
la puede representar aproximadamente mediante
otra función T(t) definida en segmentos
delimitados por los puntos dados:
0 0 1
1 1 2
n 2 n 2 n 1
T (t), t t t
T (t), t t tT(t)
. . .
T (t), t t t
Por las propiedades de continuidad es
conveniente que las funciones Ti sean
polinomios segmentados de tercer grado. Para la
formulación, se les asignan la forma general: 3 2
i i i i i i i iT (t) a (t t ) b (t t ) c (t t ) d
; t∈[ti, ti+1]; i=0,1,2,...,n-2
En los puntos interiores deben coincidir la
pendiente y la curvatura de los polinomios de
intervalos adyacentes:
(k) (k)i ii 1 iT (t ) T (t ) ; i=1,2,...,n-2; k=1,2
Adicionalmente, para instrumentar la forma
cerrada del trazador cúbico, es necesario que la
pendiente y curvatura en el punto final del
polinomio en el último intervalo, coincidan con
L. RODIRGUEZ
50
la pendiente y curvatura en el primer punto del
polinomio en el primer intervalo.
(k) (k)n 1 0n 2 0T (t ) T (t ) ; k=1,2
Esta condición especial es parte de nuestra
contribución en este artículo. Debido a esta
condición, hemos designado a este conjunto de
polinomios con el nombre de trazador cúbico
cerrado.
2.2 Formulación del trazador cúbico cerrado
Dados los puntos (ti, ui), i=0,1,2,...,n-1. Sea
hi = ti+1-ti el espaciamiento entre puntos
adyacentes
Los polinomios segmentados del trazador
cúbico y sus dos primeras derivadas: 3 2
i i i i i i i i iT (t) T a (t t ) b (t t ) c (t t ) d ;
t∈[ti, ti+1]; i==0,1,2,...,n-2
' 2i i i i i i iT (t) D 3a (t t ) 2b (t t ) c
''i i i i iT (t) S 6a (t - t ) 2b
Los polinomios del trazador cúbico y sus
derivadas deben incluir a los puntos en cada
intervalo:
3 2i i i i i i i i i i i i i i
i i i
T (t ) u(t ) u a (t t ) b (t t ) c (t t ) d
d d u
(1)
i i 1 i 1 i 1
3 2i i 1 i i i 1 i i i 1 i i
3 2i i i i i i i
3 2i 1 i i i i i i i
T (t ) u(t ) u
a (t t ) b (t t ) c (t t ) d
a h b h c h d
u a h b h c h d
(2)
'' ii i i i i i i i i
ST (t ) S 6a (t t ) 2b 2b b
2
(3)
''i i 1 i 1 i i 1 i i i i i
i 1 ii
i
T (t ) S 6a (t t ) 2b 6a h 2b
S Sa
6h
(4)
Sustituir (1), (3), y (4) en (2)
3 2i 1 i ii 1 i i i i i
i
i 1 i i i i i 1i
i
S S Su h h c h u
6h 2
u u 2h S h Sc
h 6
(5)
Las fórmulas (1), (3), (4) y (5) definen a los
coeficientes ai, bi, ci, di, i=0,1,..., n-2 de cada
polinomio segmentado mediante valores de las
coordenadas de los datos y de valores de Si. En
la siguiente sección se desarrolla un dispositivo
para encontrar los valores de Si con los cuales
se determinarán los coeficientes.
Primera derivada en el intervalo [ti, ti+1]: ' 2i i i i i i i i i iT (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c c
Primera derivada en el intervalo [ti-1, ti]: ' 2i 1 i i 1 i i 1 i 1 i i 1 i 1
2i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c
3a h 2b h c
Continuidad en la primera derivada entre
polinomios adyacentes, en el punto común ti:
' ' 2i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 iT (t ) T (t ) 3a h 2b h c c
(6)
Sustituyendo (1), (3), (4) y (5) en (6) y
simplificando:
i 1 i i i 1i 1 i 1 i 1 i i i i 1
i i 1
u u u uh S 2(h h )S h S 6( )
h h
; i=1,2,3,...,n-3 (7)
Esta fórmula genera un sistema de n-3
ecuaciones con las variables S0, S1, ..., Sn-2
Dos ecuaciones adicionales se obtienen de las
condiciones especiales del trazador cúbico
cerrado:
Condición de continuidad de la primera
derivada entre los segmentos inicial y final:
' 'n 2 n 1 0 0T (t ) T (t )
Primera derivada del primer segmento evaluada
en el punto inicial:
' 20 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 10
0
T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c
u u 2h S h Sc
h 6
Primera derivada del último segmento evaluada
en el punto final:
' 2n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 2
2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
2n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 2 n 2 n 2 n 1n 2 n 2
n 2 n 2
T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c
3a h 2b h c
S S S u u 2h S h S3( )h 2( )h
6h 2 h 6
Igualando derivadas y simplificando, con Sn-1
= S0:
0 n 2 0 0 1 n 2 n 2
1 0 n 1 n 2
0 n 2
1 1 1(h h )S h S h S
3 6 6
u u u u
h h
(8)
Condición de continuidad de la segunda
derivada entre los segmentos inicial y final: '' ''n 2 n 1 0 0T (t ) T (t )
La ecuación (7) correspondiente al intervalo
final n-2, con Sn-1 = S0
n 3 n 3 n 3 n 2 n 2 n 2 0
n 2 n 3n 1 n 2
n 2 n 3
h S 2(h h )S h S
u uu u6( )
h h
(9)
Las ecuaciones (7), (8), (9) conforman un
sistema completo de n-1 ecuaciones. Estas
ecuaciones se pueden desarrollar y expresar en
forma matricial mediante el sistema: AS=B en
donde S es el vector de las variables: S0, S1,
..., Sn-2, mientras que la matriz A y el vector
B se definen de la siguiente manera:
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
51
- - -
0 n 2 0 n 2
0 0 1 1
1 0 1 2
n 5 n 5 n 4 n 4
n 4 n 4 n 3 n 3
n 2 n 3 n 3 n 2
1 1 1(h h ) h 0 0 . . 0 0 0 h
3 6 6
h 2(h h ) h 0 . . 0 0 0 0
0 h 2(h h ) h . . 0 0 0 0
. . . . . . . . . .A
. . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . h 2(h h ) h 0
0 0 0 0 . . 0 h 2(h h ) h
h 0 0 0 . . 0 0 h 2(h h )
0
1
2
n 4
n 3
n 2
S
S
S
.S ,
.
S
S
S
-
-
-
-
-
-
1 0 n 1 n 2
0 n 2
1 02 1
1 0
3 2 2 1
2 1
n 3 n 4 n 4 n 5
n 4 n 5
n 2 n 3 n 3 n 4
n 3 n 4
n 2 n 3n 1 n 2
n 2 n 3
u u u u
h h
u uu u6( )
h h
u u u u6( )
h h
.B
.
u u u u6( )
h h
u u u u6( )
h h
u uu u6( )
h h
La solución de este sistema entrega los valores
de S0, S1, ..., Sn-2, que al sustituir en las
definiciones (1), (3), (4), y (5) proporcionan los
coeficientes de cada polinomio segmentado del
trazador cúbico cerrado: 3 2
i i i i i i i iT (t) a (t t ) b (t t ) c (t t ) d ;
t ∈[ti, ti+1]; i=0,1,2,...,n-2
En algunos coeficientes se hace referencia al
valor de Sn-1, el cual con la definición
establecida, debe sustituirse con el valor de S0
2.3 El trazador cúbico paramétrico
cerrado
Esta es una aplicación importante del trazador
cúbico cerrado como dispositivo para modelar
figuras cerradas en el plano y para calcular el
valor del área de la región que encierra, la cual
será tratada en una siguiente sección.
Sean P0, P1, P2, ..., Pn-1 puntos tomados en
sentido antihorario de una figura cerrada C en
el plano, con Pn-1=P0, con coordenadas (xi, yi),
i=0, 1, 2,..., n-1,
Estos puntos ya no pueden expresarse mediante
una relación funcional y(x), por lo que se debe
usar un enfoque paramétrico.
Si se supone que C es una figura simple y
regular por segmentos, se la puede representar
aproximadamente en forma paramétrica
mediante funciones x(t), y(t) definidas en
segmentos delimitados por los puntos
expresados con el parámetro t
i ii
i i
(t ,x )P
(t ,y )
; i=0, 1,2,..., n-1
En donde los valores de t: ti, i=0, 1, 2, ...,n-1 pertenecen a algún subconjunto ordenado de R. Para aproximar la curva C en forma
paramétrica una opción es elegir como
funciones x(t), y(t), los polinomios del trazador
cúbico cerrado. Siendo estos polinomios de
tercer grado, la continuidad entre los segmentos
puede llegar hasta la segunda derivada y el
gráfico final será simple y suave:
x
y
T (t)C
T (t)
Tx(t) se lo construye con los puntos base (ti, xi),
i=0, 1, 2, ...,n-1
x,0 0 1
x,1 1 2x
x,n 2 n 2 n 1
T (t), t t t
T (t), t t tT (t)
. . .
T (t), t t t
Ty(t) se lo construye con los puntos base (ti, yi),
i=0, 1, 2, ...,n-1
y,0 0 1
y,1 1 2
y
y,n 2 n 2 n 1
T (t), t t t
T (t), t t tT (t)
. . .
T (t), t t t
L. RODIRGUEZ
52
El gráfico de puntos de Tx(t) y Tx(t), t∈[t0, tn-
1], será una aproximación para la curva C.
El uso manual de estas funciones matemáticas
involucra muchos cálculos y sería muy
laborioso y susceptible a errores numéricos
especialmente si la cantidad de puntos es
grande, por esto se requiere un tratamiento
computacional. Para este artículo se usó como
soporte el lenguaje computacional Python
disponible como software libre y por ofrecer
facilidades para este tipo de aplicaciones.
2.4 Instrumentación computacional del
trazador cúbico paramétrico cerrado
La función trazador_cerrado desarrollada
en lenguaje Python se muestra al final de este
documento. Esta función recibe separadamente
los vectores x, y conteniendo las coordenadas
de los puntos de la curva C que se desea
modelar y los valores del parámetro t, y entrega
cada uno de los polinomios segmentados del
trazador cúbico paramétrico cerrado Tx(t) y
Tx(t).
Si se incluye un vector adicional con puntos
del parámetro, el resultado que entrega es un
vector con puntos evaluados con los polinomios
paramétricos segmentados. Si estos puntos son
muy cercanos, se pueden usar para la
graficación. Los polinomios que entrega Tx(t) y
Tx(t) también pueden ser usados para calcular el
área de la región que encierra, como se verá en
otra sección de este artículo.
Para probar este método de aproximación se
usará la figura de una circunferencia. Se
realizarán varios intentos con diferentes
cantidades de puntos para aproximar la forma de
la circunferencia con polinomios segmentados.
Posteriormente se comparará el área del círculo
con el área de la región delimitada por los
polinomios.
Ejemplo. Dados 4 puntos equidistantes de la
circunferencia de un círculo de radio unitario
centrado en el origen, encontrar los polinomios
segmentados del trazado cúbico parametrizado y
obtener un vector con puntos evaluados en los
polinomios segmentados para dibujar y
aproximar el gráfico del círculo.
Puntos de la circunferencia: (0, -1), (1, 0), (0,
1), (-1, 0). Para cerrar la figura se agregará al
final el primer punto.
Interacción en la ventana de Python con la
función trazador_cerrado. Se muestran las
instrucciones y los resultados obtenidos. A la
derecha se escriben comentarios acerca de las
instrucciones y resultados.
>>> from trazador_cerrado import* Carga del módulo con el trazador cúbico:
>>> x=[0,1,0,-1,0] Coordenadas x
>>> y=[-1,0,1,0,-1] Coordenadas y
>>> t=[1,2,3,4,5] Puntos del parámetro
>>> Tx=trazador_cerrado(t,x) Obtención de los polinomios Tx(t)
>>> Ty=trazador_cerrado(t,y) Obtención de los polinomios Ty(t)
>>> Tx[0]
-0.5*t**3 + 1.5*t**2 - 1.0 Polinomio Tx,0(t)
>>> Ty[0]
-0.5*t**3 + 3.0*t**2 - 4.5*t + 1.0 Polinomio Ty,0(t)
>>> Tx[1]
0.5*t**3 - 4.5*t**2 + 12.0*t - 9.0 Polinomio Tx,1(t)
>>> Ty[1]
-0.5*t**3 + 3.0*t**2 - 4.5*t + 1.0 Polinomio Ty,1(t)
>>> Tx[2]
0.5*t^3 - 4.5*t^2 + 12.0*t - 9.0 Polinomio Tx,2(t)
>>> Ty[2]
0.5*t**3 - 6.0*t**2 + 22.5*t - 26.0 Polinomio Ty,2(t)
>>> Tx[3]
-0.5*t**3 + 7.5*t**2 - 36.0*t + 55.0 Polinomio Tx,3(t)
>>> Ty[3]
0.5*t**3 - 6.0*t**2 + 22.5*t - 26.0 Polinomio Ty,3(t)
>>> from pylab import* Librería gráfica
>>> s=arange(1,5,0.01) Puntos para evaluar al trazador cúbico
>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s) Abscisas del trazador cúbico
>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s) Ordenadas del trazador cúbico
>>> plot(Txs,Tys,'-') Gráfico de los puntos del trazador
>>> plot(x,y,'o') Gráfico de los 4 puntos base del círculo
>>> grid(True) Motrar cuadrículas
>>> show() Mostrar gráfico
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
53
Ejemplo. Dados 16 puntos equidistantes de la
circunferencia de un círculo de radio unitario
centrado en el origen, usar el trazador cúbico
parametrizado para obtener un vector con
puntos evaluados en los polinomios
segmentados y dibujarlo para aproximar el
gráfico del círculo. Como en el ejemplo anterior
se agrega al final el primer punto para cerrar la
figura.
>>> from trazador_cerrado import*
>>> from pylab import*
>>> a1=cos(3*pi/8); a2=cos(pi/4);
a3=cos(pi/8)
>>> b1=sin(pi/8); b2=sin(pi/4);
b3=sin(3*pi/8)
>>>
x=[0,a1,a2,a3,1,a3,a2,a1,0,-a1,-a2,-a3,-1,-a3,-
a2,-a1,0]
>>>
y=[-1,-b3,-b2,-b1,0,b1,b2,b3,1,b3,b2,b1,0,-
b1,-b2,-b3,-1]
>>>
t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]
>>> s=arange(1,17,0.01)
>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s)
>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s)
>>> plot(Txs,Tys,'-')
>>> plot(x,y,'o')
>>> grid(True)
>>> show())
2.5 Aplicación del trazador cúbico
paramétrico cerrado al modelado de curvas
cerradas planas
El trazador cúbico paramétrico cerrado puede
usarse para describir curvas de las cuales
solamente se conocen algunos puntos de
referencia. Estos puntos pueden ser resultados
de observaciones o datos de diseño.
Para este artículo se usó un dispositivo
computacional de captura de datos para registrar
los 9 puntos del gráfico de la figura de la
Sección 2.3 de este artículo. Se muestran los
resultados obtenidos
Gráfico de la circunferencia y del trazador cúbico paramétrico cerrado con 4 puntos de la circunferencia.
Existen diferencias significativas entre los gráficos. Gráfico del trazador cúbico
paramétrico cerrado con 16 puntos de
la circunferencia. El gráfico del
trazador cúbico es muy cercano al
gráfico de la circunferencia
L. RODIRGUEZ
54
En el primer gráfico se han unido los puntos con
segmentos de recta como una primera
aproximación
En el segundo gráfico se ha colocado el trazador
paramétrico cerrado con los 9 puntos
disponibles.
En el tercer gráfico se ha colocado el trazador
paramétrico cerrado usando los 9 puntos
disponibles y tomado 9 puntos intermedios
adicionales de la curva. La aproximación es
aceptable.
3. CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES
PLANAS
El trazador cúbico paramétrico cerrado es un
dispositivo para modelar figuras cerradas en el
plano y puede ser usado para calcular en forma
aproximada el valor del área de la región que
encierra.
3.1 Cálculo del área de una región poligonal
en el plano cartesiano
Sea P un polígono de n lados cuyos vértices
numerados en sentido antihorario son:
P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2), . . ., Pn-1(xn-1, yn-1)
Entonces el área de la región poligonal S
correspondiente, está dada por la siguiente
expresión atribuida al matemático Gauss :
0 1 n 1 01 2
0 1 n 1 01 2
n 2 n 2
i i 1 n 1 0 i 1 i 0 n 1i 0 i 0
x x x xx x1S ...
y y y yy y2
1x y x y x y x y
2
En donde
S es el área de la región poligonal
n es la cantidad de lados del polígono
(xi, yi), i = 0, 1, 2,..., n-1 son los n vértices
del polígono.
Ejemplo. Calcular el área de la región
poligonal cuyos vértices son:
P0(8,7), P1(1,3), P2(-2,6), P3(-5, -4), P4(9,0): Con la fórmula de Gauss:
1S | (8)(3) (1)(6) ( 2)( 4) ( 5)(0) (9)(7)
2
(1)(7) ( 2)(3) ( 5)(6) (9)( 4) (8)(0) |
83.0
3.2 Cálculo computacional del área de una
región poligonal
La función agauss desarrollada al final de este
documento recibe los vectores x, y
conteniendo las coordenadas de los vértices de
un polígono en el plano y entrega el área de la
región poligonal calculada con la fórmula de
Gauss.
Ejemplo. Calcular con la función agauss el
área de la región poligonal definida con los
vértices:
P0(8,7), P1(1,3), P2(-2,6), P3(-5, -4), P4(9,0):
>>> from agauss import*
>>> x=[8,1,-2,-5,9]
>>> y=[7,3,6,-4,0]
>>> s=agauss(x,y)
>>> s
83.0
3.3 Cálculo de áreas de regiones planas con el
teorema de Green
El teorema de Green puede utilizarse para
calcular un integral de línea mediante un
integral doble o para realizar el cálculo del área
de una región mediante el integral de línea.
Esta última aplicación es de interés en este
artículo.
Sea C una curva parametrizada en el plano,
cerrada y simple. Sea S la región del plano
determinada por C y su interior. Si M, N :
R2R son funciones reales continuas y que
tienen derivadas parciales continuas en toda la
región S, entonces el siguiente enunciado es el
teorema de Green:
C S
N(x,y) M(x,y)M(x,y)dx N(x,y)dy ( )dA
x y
Para aplicar este teorema en el cálculo del área
de una región cerrada se toman las funciones
simples: M(x,y) y, N(x,y) x en el
enunciado del teorema. Entonces se obtienen:
M(x,y) N(x,y)
1, 1y x
Reemplazando en el teorema de Green se
obtiene una fórmula para calcular el área de una
región en el plano mediante el integral de línea
de la curva parametrizada que la encierra:
C
1A xdy ydx
2
3.4 Cálculo del área de una región delimitada
con el trazador cúbico paramétrico cerrado
usando el teorema de Green.
Si C está definida con los polinomios del
trazador cúbico paramétrico cerrado:
x
y
T (t)C
T (t)
Entonces se puede calcular el área de la región
C delimitada por el trazador cúbico
paramétrico cerrado con la fórmula de Green:
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
55
y x
x yC
dT (t) dT (t)1A T (t) T (t)
2 dt dt
En donde Tx(t) y Ty(t) son los polinomios
segmentados del trazador cúbico paramétrico
cerrado de la Sección 2.3
3.5 Cálculo computacional del área de una
región cerrada con el teorema de Green
La función green desarrollada al final de este
documento recibe los polinomios segmentados
Tx(t) y Ty(t) del trazador cúbico paramétrico
cerrado y los puntos del parámetro t que definen
los extremos del intervalo de cada polinomio
segmentado y entrega el área de la región
cerrada calculada con la fórmula de Green. En
el siguiente ejemplo se compara el resultado del
método propuesto, con el valor exacto de una
figura conocida. Ejemplo. Calcular aproximadamente con la
función green el área de un círculo unitario
centrado en el origen tomando 16 puntos
equidistantes de la circunferencia en sentido
antihorario. Para cerrar la figura se agrega al
final el primer punto.
>>> from trazador_cerrado import*
>>> a1=cos(3*pi/8); a2=cos(pi/4);
a3=cos(pi/8)
>>> b1=sin(pi/8); b2=sin(pi/4);
b3=sin(3*pi/8)
>>> x=[0,a1,a2,a3,1,a3,a2,a1,0,-a1,-a2,-a3,-1,-
a3,-a2,-a1,0]
>>> y=[-1,-b3,-b2,-b1,0,b1,b2,b3,1,b3,b2,b1,
0,-b1,-b2,-b3,-1]
>>>
t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]
>>> Tx=trazador_cerrado(t,x)
>>> Ty=trazador_cerrado(t,y)
>>> from green import*
>>> A=green(Tx,Ty,t)
>>> A
3.14137
Este resultado difiere del valor exacto π, en
aproximadamente 0.0002
Si los puntos provienen de una curva cerrada
arbitraria, entonces el resultado de la aplicación
de la fórmula de Green dependerá de la buena
aproximación a la curva que proporciona el
trazador cúbico paramétrico cerrado.
En la práctica, el área de una curva cerrada
puede hacerse mediante un dispositivo
denominado planímetro, pero este método no se
puede aplicar si solamente se conocen puntos de
la curva. En este caso primero debe construirse
la curva para lo cual el trazador cúbico
paramétrico cerrado es una opción adecuada.
Ejemplo. Colocar el trazador cúbico
paramétrico cerrado sobre los siguientes diez
puntos y calcular con el teorema de Green el
valor del área de la región encerrada:
P0(4,0), P1(5,2), P2(4,4), P3(2,5), P4(-1,4),
P5 (-2,2), P6(-4,1), P7(-2,-3), P8(1,-4), P9(3,-2)
El punto inicial se debe repetir al final para
cerrar la figura
>>> from trazador_cerrado import*
>>> x=[4,5,4,2,-1,-2,-4,-2,1,3,4]
>>> y=[0,2,4,5,4,2,0,-3,-4,-2,0]
>>> t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
>>> from pylab import*
>>> s=arange(1,11,0.01)
>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s)
>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s)
>>> plot(x,y,'o')
>>> plot(Txs,Tys,'-')
>>> show()
>>> from green import*
>>> Tx=trazador_cerrado(t,x)
>>> Ty=trazador_cerrado(t,y)
>>> A=green(Tx,Ty,t)
>>> A
54.0402 Valor del área de la región encerrada
4. CONVERGENCIA Y PRECISIÓN
Una figura poligonal cerrada puede usarse
como una aproximación para una figura plana
cerrada. En el límite, con la cantidad suficiente
de vértices, ambas figuras tienden a coincidir.
Por lo tanto la fórmula geométrica del área de
Gauss pudiera usarse como una aproximación
para calcular el área de la figura cerrada plana.
El trazador cúbico paramétrico cerrado es una
aproximación mucho mejor debido a que usa
segmentos curvos para aproximar los segmentos
curvos de la curva de la cual provienen los datos
manteniendo una conexión suave entre
segmentos. Por lo tanto se requerirá una
cantidad menor de puntos para llegar a una
precisión aceptable.
Los puntos o el gráfico que se van a estudiar
deben digitalizarse para facilitar el uso de algún
dispositivo computacional para captura de
datos. La precisión de la representación de la
curva, y consecuentemente del cálculo del área
encerrada dependerá de la precisión y la
cantidad de puntos disponibles.
L. RODIRGUEZ
56
Para calcular el área, las coordenadas de los
puntos deben estar en la escala real. Si se desea
calcular el área de una figura de la cual se toman
puntos, para llevar a la escala real, se puede usar
como referencia algún cuadro del dibujo que
tenga la escala real. Con la fórmula del área de
una región poligonal se puede calcular el área
de este cuadro. Posteriormente, con la fórmula
de Green se calcula el valor del área de la región
de interés y con una relación directa se lo puede
llevar al valor del área en la escala real.
5. CONCLUSIONES
En este artículo se ha tratado un problema
clásico en el que se han vinculado enunciados y
fórmulas matemáticas con instrumentos
computacionales de libre acceso. Esta
combinación tiene mucha importancia pues
permite utilizar el desarrollo matemático en la
investigación y en la resolución práctica de
problemas de aplicación.
Los resultados que se obtuvieron en las
pruebas son satisfactorios y permiten establecer
criterios para la precisión.
La instrumentación computacional usa como
soporte el lenguaje Python, el cual por ser
software de uso libre no requiere licencia. Este
lenguaje tiene características adecuadas para
manejo matemático numérico, simbólico y
gráfico siendo además muy simple de usar.
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
57
6. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
[1]. Análisis Numérico Básico Rodríguez
Ojeda, Luis Libro digital disponible en
la FCNM, ESPOL, 2014
http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicai
ones
[2]. Python Programación Rodríguez
Ojeda, Luis Libro digital disponible en
la FCNM, ESPOL, 2014
http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicac
iones
[3]. Teorema de Green
https://es.khanacademy.org/math/multi
variable-calculus/line-integrals-
topic/greens_theorem/
[4]. Parametric Spline Curves
http://folk.uio.no/in329/nchap6.pdf
[5]. Parametric curves and surfaces
http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teach
ing/CompGeom/lec4.pdf
Bibliografía especializada de la red
internet
[6]. An approach to Data Parametrization
in Parametric Cubic Spline
Interpolation Problems,
Samuel P. Marin
Journal of Aproximation Theory, 64-86
(1984)
[7]. On the deviation of parametric cubic
spline interpolant from its data polygon
Michael S. Floater
Computer Aided Geometric Design 25
148-156 (2008)
[8]. Choosing nodes in parametric curve
interpolation
E.T.Y. Lee
Computer Aided Design, 363-370
(1989)
[9]. Mathematics Behind Planimeters
Osman Yardimci, 2013
https://etd.auburn.edu/bitstream/handle
/10415/3667/Mathematics%20Behind
%20Planimeters.pdf?sequence=2
L. RODIRGUEZ
58
7. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL
7.1 Instrumentación computacional en Python del trazador cúbico cerrado
import numpy as np
from sympy import*
def trazador_cerrado(z,u,s=[]):
# Trazador cúbico cerrado para modelar una función u(z)
# Para uso paramétrico deben ingresar separadamente las funciones x(t), y(t)
# El punto inicial debe coincidir con el punto final para cerrar la figura
# Entrega los polinomios segmentados en una lista de celdas T(t)
# Si hay un tercer parámetro conteniendo un vector de valores
# entrega un vector con los resultados evaluados con el trazador
n=len(z)
h=np.zeros([n-1])
A=np.zeros([n-1,n-1]);B=np.zeros([n-1]);S=np.zeros([n])
a=np.zeros([n-1]);b=np.zeros([n-1]);c=np.zeros([n-1]);d=np.zeros([n-1])
if n<3:
T=[]
return
for i in range(n-1):
h[i]=z[i+1]-z[i]
A[0][0]=-1/3*(h[0]+h[n-2]) #Construir el sistema de ecuaciones
A[0][1]=-1/6*h[0]
A[0][n-2]=-1/6*h[n-2]
B[0]=-(u[1]-u[0])/h[0]+(u[n-1]-u[n-2])/h[n-2]
for i in range(1,n-2):
A[i][i-1]=h[i-1]
A[i][i]=2*(h[i-1]+h[i])
A[i][i+1]=h[i]
B[i]=6*((u[i+1]-u[i])/h[i]-(u[i]-u[i-1])/h[i-1])
A[n-2][0]=h[n-2]
A[n-2][n-3]=h[n-3]
A[n-2][n-2]=2*(h[n-3]+h[n-2])
B[n-2]=6*((u[n-1]-u[n-2])/h[n-2]-(u[n-2]-u[n-3])/h[n-3])
r=np.linalg.solve(A,B) #Resolver el sistema
for i in range(n-1):
S[i]=r[i]
S[n-1]=r[0]
for i in range(n-1): #Coeficientes de los polinomios
a[i]=(S[i+1]-S[i])/(6*h[i])
b[i]=S[i]/2
c[i]=(u[i+1]-u[i])/h[i]-(2*h[i]*S[i]+h[i]*S[i+1])/6
d[i]=u[i]
try:
if len(s)==0: #Detecta si es un vector
pass
except TypeError:
s=[s]
if len(s)==0: #Construir el trazador
t=Symbol('t')
T=[]
for i in range(n-1):
p=expand(a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i])
T=T+[p]
return T #Retorna los polinomios
else: #Evaluar el trazador
m=len(s)
q=np.zeros([m])
EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
59
for k in range(m):
t=s[k]
for i in range(n-1):
if t>=z[i] and t<=z[i+1]:
q[k]=a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i]
if m>2:
k=m-1
i=n-2
q[k]=a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i]
if len(q)==1:
return q[0] #Retorna un valor
else:
return q #Retorna un vector
7.2 Instrumentación computacional en Python de la fórmula de Gauss para calcular el área
de una región poligonal cerrada
def agauss(x,y):
# Cálculo del área de una región poligonal
# con la fórmula de Gauss
n=len(x)
s=0
for i in range(n-1):
s=s+x[i]*y[i+1]
s=s+x[n-1]*y[0]
for i in range(n-1):
s=s-x[i+1]*y[i]
s=s-x[0]*y[n-1]
return abs(0.5*s)
7.3 Instrumentación computacional en Python del teorema de Green para calcular el área de
una figura plana cerrada
from sympy import*
def green(Tx,Ty,s):
# Cálculo del área de una región cerrada
# con el teorema de Green
t=Symbol('t')
n=len(Tx)
r=0
for i in range(n):
x=Tx[i]
dx=diff(x,t)
y=Ty[i]
dy=diff(y,t)
r=r+integrate(x*dy-y*dx,(t,s[i],s[i+1]))
return 0.5*r
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO Rodríguez Luis
1
Resumen. En esta contribución académica se expone el conocido método del gradiente de máximo descenso para encontrar un
mínimo local de una función multivariada no lineal sin restricciones. Se destaca la importancia de conectar los conceptos
matemáticos con la descripción algorítmica y su instrumentación computacional para la solución práctica de problemas. La instrumentación se la realizó en el lenguaje Python el cual provee soporte adecuado para manejo matemático simbólico, gráfico y
numérico y está disponible como software libre.
Palabras clave: Gradiente de máximo descenso. Mínimo de una función multivariada no lineal. Optimización numérica.
Abstract. This academic contribution exposes the well known steepest descent gradient method used to find a local minimum of a nonlinear multivariate unconstrained function. It is emphasized the importance of connect mathematical concepts with the
algorithmic description and its computational instrumentation for solving practical problems. The instrumentation was made in the
Python language which provides adecuate support for symbolic, graphical and numerical mathematics and is available as free software.
Keywords: Steepest descent gradient. Minimum of a non linear multivariate function. Numerical optimization.
Recibido: Abril 2016.
Aceptado: Abril 2016.
1. INTRODUCCIÓN
El método del gradiente de máximo descenso
es un algoritmo iterativo para encontrar un
mínimo local de una función multivariada no
lineal sin restricciones, mediante
aproximaciones sucesivas. La búsqueda de la
solución sigue la dirección del gradiente
descendente más pronunciado hasta llegar a su
menor valor. El método funciona con la
suposición que la función tiene forma convexa
alrededor del mínimo y que la distancia de
avance en cada paso es elegida apropiadamente.
Se revisan las definiciones básicas y se
describe el algoritmo para su aplicación. La
contribución relevante es la vinculación de la
formulación con la instrumentación
computacional, en este caso con el lenguaje
Python por su simplicidad y facilidad para el
manejo matemático simbólico. En este aspecto
cabe resaltar la importancia de usar estos
lenguajes computacionales modernos como una
opción para que los investigadores puedan
aplicar los métodos matemáticos de manera
práctica y eficiente.
2. DEFINICIONES
Vector de n variables reales
1
2
n
x
xv
...
x
Función de n variables reales
f: RnR
1Rodriguez Ojeda Luis., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]).
Gradiente de f. Es el vector de las derivadas
parciales de la función que se desea minimizar
i
ff
x
, i=1,2,..., n
Gradiente de f en un punto v. Es la dirección
de mayor incremento de f en el punto v
c f(v)
Magnitud del vector gradiente de f en un
punto v. Es la mayor tasa de cambio del
gradiente en el punto v
T|| c || c c
Vector gradiente de f normalizado, en un
punto v
cc
|| c ||
Vector de la dirección de búsqueda
descendente para obtener el mínimo de f en el
punto v. Esta dirección debe ser la opuesta al
gradiente de f en el punto v:
d c
Longitud del paso de avance s para modificar
el vector v en la dirección d:
Debe ser un valor escalar que garantice que
f(v + sd) < f(v).
La búsqueda del mínimo de la función f
consiste en modificar el vector v agregando el
vector sd repetidamente. En cada iteración se
debe elegir el valor de s que optimice la
búsqueda.
El método converge si se llega a un punto en el
cual el gradiente ya no cambia
significativamente. Este punto corresponde
aproximadamente al mínimo de la función f.
L. RODRÍGUEZ
61
3. ALGORITMO DEL GRADIENTE
DE MÁXIMO DESCENSO
Objetivo: Encontrar un mínimo local de una
función multivariada f
1) Iniciar un conteo de iteraciones: k=0
Estimar un vector inicial para la solución:
v(k)
Estimar un máximo de iteraciones m y un
criterio de precisión
2) Calcular el vector gradiente de f evaluado
en el punto v(k)
(k) (k)c f(v )
3) Calcular la máxima tasa de cambio del
gradiente de f en el punto v(k)
:
T(k) (k) (k)|| c || c c
Si (k)|| c || entonces
v(k)
es un punto mínimo de f con
precisión
Finalizar (el método converge)
4) Calcular el vector normalizado de la
dirección de búsqueda en el punto v(k)
(k)
(k)
(k)
cd
|| c ||
5) Determinar el tamaño del paso de avance s(k)
en la iteración k
6) Actualizar el vector de búsqueda
(k 1) (k) (k) (k)v v s d
7) Actualizar el conteo de iteraciones
k = k + 1
Si k < m entonces
Regresar al paso 2)
Sinó
Finalizar (el método no converge)
3.1 Procedimiento para determinar el
tamaño óptimo del paso de avance
Es necesario elegir el tamaño del paso para
avanzar en la búsqueda de la solución. Un
tamaño muy grande puede hacer que no se
pueda localizar la solución. Un tamaño muy
pequeño puede hacer que la búsqueda sea
ineficiente. Es preferible que el tamaño del paso
se pueda modificar en cada iteración.
Un método para optimizar el tamaño del paso
de búsqueda s(k)
consiste en elegir el valor de s
tal que (k 1)f(v ) sea mínimo. Este valor de s
puede encontrarse resolviendo en cada iteración
k la ecuación:
(k 1) (k) (k)df(v ) df(v sd )
0ds ds
4. INSTRUMENTACIÓN
COMPUTACIONAL DEL ALGORITMO
DEL GRADIENTE DE MÁXIMO
DESCENSO
Es conveniente instrumentar
computacionalmente la formulación del
algoritmo de máximo descenso para
experimentar y faciltar su uso en la resolución
de problemas. Se utilizó el lenguaje Python por
las facilidades que ofrece para manejo
matemático simbólico, numérico y gráfico.
4.1 Descripción y uso de las funciones de
la instrumentación computacional
La instrumentación está encapsulada en un
módulo denominado gradiente el cual contiene
funciones de utilidad que se pueden llamar
separadamente y también son los componentes
de soporte para una función principal con el
nombre metodo_gradiente la cual
corresponde al lineamiento del algoritmo
propuesto.
El código Python de las funciones del módulo
gradiente está al final de esta contribución
académica.
obtener_gradiente(f,v)
Entra
f: Función multivariada
v: Vector de variables definidas en
forma simbólica
Sale
g: Vector gradiente con las derivadas
parciales de f
evaluar_gradiente(g,v,u)
Entra g: Vector gradiente con las derivadas
parciales de f
v: Vector de variables definidas en
forma simbólica
u: Vector con valores escalares para las
variables en v
Sale
c: Vector gradiente con los
componentes evaluados en el punto u
magnitud_del_gradiente(c)
Entra
c: Vector gradiente evaluado en el
punto u
Sale
norma: Máxima tasa de cambio del
gradiente en el punto u
gradiente_normalizado(c)
Entra
c: Vector gradiente evaluado en el
punto u
Sale
cn: Vector gradiente normalizado
evaluado en el punto u
calcular_paso(f,g,v,u)
Entra
f: Función multivariada
MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO
62
g: Vector gradiente con las derivadas
parciales de f
v: Vector de variables definidas en
forma simbólica
u: Vector con valores escalares para las
variables en v
Sale
s: Valor estimado para el tamaño del
paso de avance
evaluar_solucion(f,v,u)
Entra
f: Función multivariada
v: Vector de variables definidas en
forma simbólica
u: Vector con valores escalares para las
variables en v
Sale
fm: Valor actual de la solución en el
punto u
metodo_gradiente(f,v,u,e,m,imp=0)
Entra
f: Función multivariada
v: Vector de variables definidas en
forma simbólica
u: Vector con valores escalares
iniciales para las variables en v
e: Criterio de convergencia y precisión
para el gradiente
m: Cantidad máxima permitida para las
iteraciones
imp: Parámetro opcional. Si se lo
omite no se mostrarán los resultados
intermedios, pero si se le asigna algún
valor mayor a cero, se mostrarán los
valores calculados en cada iteración.
Sale
Si el método converge
uk: Vector solución calculado
en la última iteración
fm: Valor de la función
evaluada en la solución
Si el método no converge entrega un vector nulo
5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Ejemplo 5.1 Calcular el mínimo de f(x,y)=2x2-
xy+y2-7y. Graficar y mostrar las iteraciones y
resultados
>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> f=2*x**2-x*y+y**2-7*y >>> plot3d(f,(x,-10,10),(y,-10,10))
>>> v=[x,y] >>> u=[0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20,1) k=1 s=3.5 vector= [0.0, 3.5] k=2 s=0.875 vector= [0.875, 3.5] k=3 s=0.4375 vector= [0.875, 3.9375] k=4 s=0.109375 vector= [0.984375, 3.9375] k=5 s=0.0546875 vector= [0.984375, 3.9921875] k=6 s=0.013671875 vector= [0.998046875, 3.9921875] k=7 s= 0.0068359375 vector= [0.998046875, 3.9990234375 >>> uk [0.998046875, 3.9990234375] >>> fm -13.9999933242798
Ejemplo 5.2 Calcular el mínimo de f(x,y)=2x2-
xy+y2-7y. Elegir otro vector inicial. Mostrar
resultados.
>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> v=[x,y] >>> u=[5,5] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [1.001147654264687, 4.000286913566172] >>> fm -13.9999976127376
Ejemplo 5.3 Calcular el mínimo de
f(x,y)=x2+2y
2+cos(x+y+1)+xy. Graficar y
mostrar resultados
>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> f=x**2+2*y**2+cos(x+y+1)+x*y >>> plot3d(f,(x,-4,4),(y,-4,4))
L. RODRÍGUEZ
63
>>> v=[x,y] >>> u=[1,1] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.001,20) >>> uk [0.42864627450129655, 0.14293529459696494] >>> fm 0.285082064827950
Ejemplo 5.4 Calcular el mínimo de
f(x,y,z)=5(x-1)2+3(y+2)
2+4(z+3)
2+xyz+1.
Mostrar resultados
>>> from gradiente import* >>> x,y,z=symbols('x,y,z') >>> f=5*(x-1)**2+3*(y+2)**2+4*(z+3)**2+x*y*z+1 >>> v=[x,y,z] >>> u=[0,0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [0.4909226771078404, -1.7628499677299507, -2.8919840590397894] >>> fm 5.01397838490301
Ejemplo 5.5 Calcular el mínimo de
f(x1,x2,x3,x4)=5(x1-1)2+3(x2-2)
2+4(x3+3)
2+(x4-
1)4-x1x2x3x4 +5.
Mostrar resultados
>>> from gradiente import* >>> x1,x2,x3,x4=symbols('x1,x2,x3,x4') >>> f=5*(x1-1)**2+3*(x2-2)**2+4*(x3+3)**2+(x4-1)**4-x1*x2*x3*x4+5 >>> v=[x1,x2,x3,x4] >>> u=[0,0,0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [1.1570991258533814, 2.141077839354268, 3.0738289454327443, -0.23935943405879354] >>> fm 5.74146881516544
6. CONCLUSIONES
En esta contribución se ha tratado un conocido
método matemático de optimización y se ha
resaltado la vinculación entre los enunciados y
las fórmulas matemáticas con su
instrumentación computacional. Esta relación
tiene mucha importancia pues permite utilizar el
desarrollo matemático en la investigación y en
la resolución práctica de problemas de
aplicación.
El método también se puede usar para
encontrar máximos locales de una función
multivariada f aplicándolo a la función -f.
Igualmente puede usarse para el caso básico del
cálculo de mínimos o máximos locales de
funciones univariadas.
La instrumentación computacional usa como
soporte el lenguaje Python, el cual por ser
software de uso libre no requiere licencia. Este
lenguaje tiene características adecuadas para
manejo matemático numérico, simbólico y
gráfico siendo además muy simple de usar.
MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO
64
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
[1]. Using Gradient Descent for
Optimization and Learning Nicolas Le
Roux, 2009
http://www.gatsby.ucl.ac.uk/teaching/c
ourses/ml2-2008/graddescent.pdf
[2]. Gradient Descent Kris Hauser, 2012
http://homes.soic.indiana.edu/classes/s
pring2012/csci/b553-
hauserk/gradient_descent.pdf
[3]. Introducción a la optimización
numérica
http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045
/16373/8/Microsoft%20Word%20-
%208.%20INTRODUCCION%20A%
20LA%20OPTIMIZACION%20NUM
ERICA-1.pdf
[4]. Análisis Numérico Básico Rodríguez
Ojeda, Luis Libro digital disponible en
la FCNM, ESPOL, 2014
http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicac
iones
[5]. Python Programación Rodríguez
Ojeda, Luis Libro digital disponible en
la FCNM, ESPOL, 2014
http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicac
iones
L. RODRÍGUEZ
65
7. CÓDIGO DEL MÓDULO GRADIENTE EN LENGUAJE PYTHON
#Método del gradiente de máximo descenso
from sympy import*
from sympy.plotting import*
import numpy as np
def obtener_gradiente(f,v):
n=len(v)
g=[]
for i in range(n):
d=diff(f,v[i])
g=g+[d]
return g
def evaluar_gradiente(g,v,u):
n=len(v)
c=[]
for i in range(n):
t=g[i]
for j in range(n):
t=t.subs(v[j],u[j])
c=c+[float(t)]
return c
def magnitud_del_gradiente(c):
norma=sqrt(np.dot(c,c))
return norma
def gradiente_normalizado(c):
norma=magnitud_del_gradiente(c)
t=list(np.array(c)/norma)
cn=[]
for i in range(len(c)):
cn=cn+[float(t[i])]
return cn
def calcular_paso(f,g,v,u):
c=evaluar_gradiente(g,v,u)
cn=gradiente_normalizado(c)
t=Symbol('t')
xt=[]
for i in range(len(v)):
xt=xt+[float(u[i])-t*float(cn[i])]
fs=f.subs(v[0],xt[0])
for i in range(1,len(v)):
fs=fs.subs(v[i],xt[i])
df=diff(fs,t)
ddf=diff(df,t)
s=1
for i in range(5):
s=s-float(df.subs(t,s))/float(ddf.subs(t,s))
return s
def evaluar_solucion(f,v,u):
fm=f.subs(v[0],u[0])
for i in range(1,len(v)):
fm=fm.subs(v[i],u[i])
return fm
def metodo_gradiente(f,v,u,e,m,imp=0):
u0=u.copy()
g=obtener_gradiente(f,v)
for k in range(m):
c=evaluar_gradiente(g,v,u0)
norma=magnitud_del_gradiente(c)
if norma<e:
fm=evaluar_solucion(f,v,u0)
return u0,fm
s=calcular_paso(f,g,v,u0)
cn=gradiente_normalizado(c)
uk=[]
for i in range(len(c)):
uk=uk+[float(u0[i])-s*float(cn[i])]
u0=uk.copy()
if imp>0:
print('k=',k+1,' s=',s,' vector=',u0)
return [],None
Matemática: Una publicación de FCNM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
Sánchez Hernando1
Resumen: En este artículo se presenta una propuesta didáctica y lo suficiente rigurosa para comprender los conceptos de la Mecánica
Clásica. Se pretende abarcar en esta primera parte los conceptos de la Cinemática de una partícula y los diferentes lenguajes que se pueden usar para describirla. Se hace énfasis en temas que permiten entender mejor la lógica usada por Newton cuando se desea analizar el
movimiento de objetos materiales. Además es necesario hacer notar que usando lenguaje cotidiano se presentan algunos temas de
matemáticas más avanzadas. Palabras Claves: Mecánica, Movimiento, Partícula, Cinemática, Inercial
Abstract: This article presents a didactic proposition and rigorous enough to understand the concepts of classical mechanics. It is intended to include in this first part the concepts of the kinematics of a particle and the different languages that you can use to describe it. Emphasis on
topics that allow you to better understand the logic used by Newton when you want to analyze the motion of material objects. In addition, it is
necessary to note that using everyday language some more advanced math topics are presented. Keywords: Mechanics, kinematics, motion, particle, inertial
Recibido: Enero 2016. Aceptado: Marzo 2016.
1. INTRODUCCIÓN
Los avances que ha tenido la humanidad se deben
al dominio que ha hecho el hombre de las leyes de la
naturaleza. Los pueblos más desarrollados son los
que han logrado primero el manejo del conocimiento.
La Física como ciencia de la naturaleza tiene como
misión la de extraer cada vez más esos detalles que
contiene la naturaleza y que podemos usar en
provecho para el desarrollo de los pueblos.
A través de este texto no pretendemos presentar
ningún descubrimiento, pero si contribuir a que las
juventudes se motiven en el estudio de esta ciencia
tan importante para los pueblos y que su dominio
puede redundar en mejoras en el nivel de vida de los
pueblos.
Queremos presentar al estudiante y al profesor de
Física un enfoque, resultado de los años dedicados a
enseñar Física a los estudiantes de la ESPOL. Estos
años nos han mostrado que para enseñar Física hay
que tener un buen conocimiento de ella, que la
enseñanza no se quede en un reconocimiento de lo
brillante que es la naturaleza, sino en entender el
porque es así la naturaleza. Si la entendemos vamos a
poder usar sus leyes en nuestro beneficio.
El material que queremos presentar tiene que ver
con conceptos desarrollados en el siglo XVII y que
actualmente tienen plena vigencia tanto para
ingenieros o técnicos como para personas de áreas
que necesiten un conocimiento formal del
movimiento de cuerpos materiales. Por ejemplo
podría ser de utilidad a un médico que estudie el
movimiento de articulaciones, fluidos en el cuerpo
humano o para un agrónomo que estudie el
movimiento de fertilizantes en el suelo.
Además quisiéramos que el profesor de universidad
o de colegio tenga una herramienta que con la
suficiente rigidez matemática explique y respalde los
conocimientos que imparta en el aula de clase.
Trataremos de la matemática necesaria para 1Sanchez Caicedo Hernando Profesor del Departamento de Física,
FCNM, ESPOL (e-mail: [email protected]) Guayaquil.
la explicación sea desarrollada paralelamente en la
medida de la necesidad.
2. CONCEPCIÓN DE LA NATURALEZA Y
SU EVOLUCION
El estudio de la naturaleza es el objetivo central que
se plantea la Física como ciencia. Es así que venimos
haciendo Física desde cuando nos planteamos
entender al mundo que nos rodea con la finalidad de
sacar provecho de nuestro estudio en facilitar las
actividades y desarrollar bienestar para el hombre.
Podemos citar como uno de los primeros
descubrimientos del hombre y que le ha facilitado en
mucho su desarrollo la existencia de los cuerpos
redondos y de su ventaja mecánica. Estamos
hablando de unos cuatro mil años antes de nuestra
era, cuando se construye la rueda y algunos
instrumentos basados en ella [1].
Hasta finales del Paleolítico, unos 12.000 años
antes de nuestra era, los hombres aprendieron a
trabajar ciertos materiales con la finalidad de
construir herramientas para la caza y captura de
presas para su sobrevivencia [2]. En la época del
Neolítico el hombre aprende que la tierra se la puede
hacer producir los alimentos que él desea y es así
como nace la agricultura y comienza el pastoreo.
Hacia fines del tercer milenio y principios del
segundo antes de nuestra era se aprende a manejar
metales lo que se conoce como la metalurgia de la
Edad del Bronce, y ya se pueden palpar ciertas
concepciones de la naturaleza en las culturas egipcia
y babilónica. Los egipcios hablan de “el agua fría
creadora de todos los seres y de la que proceden todas
las cosas, así como el aire que llena el espacio y se
halla en todas partes”. Los babilonios ya hablaban de
un mundo centrado en el Sol. En el primer milenio
antes de nuestra era ciertas culturas de la India
sostenían que el mundo estaba hecho de cuatro
elementos: la tierra, el agua, el fuego y el aire. Con
estos elementos se formaban los seres vivos y los
cuerpos materiales. También se postula entre los
hindúes la existencia del movimiento, el espacio y el
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
67
tiempo como propiedades inseparables de la materia.
Posterior a esto ya se fueron reemplazando los
elementos principales, tierra, aire agua y fuego por
elementos mucho más pequeños que se hallaban en el
éter, en el espacio y en el tiempo, comenzando así las
teorías atomistas del mundo.
Paralelamente en este milenio, en las culturas
Chinas se desarrollan muchas corrientes filosóficas
[2], entre las que sobresalen los legalistas, los
lógicos, la de los mohistas y especialmente la de los
taoístas y confucianos. Se observan estudios
realizados por los mohistas de óptica y mecánica.
Estudiaron la reflexión de la luz en espejos planos,
cóncavos y convexos. Para los taoístas el mundo y tos
los objetos se produjeron por un proceso análogo al
sexual, es decir por la interacción de los opuestos. De
esta interacción nacen los cinco elementos principales
de la naturaleza, agua, fuego, madera metal y tierra.
Los griegos en este milenio desarrollan la
concepción matemática del universo. Platón suponía
que al comienzo solo existieron dos triángulos
rectángulos, el medio cuadrado y el medio equilátero.
De ellos se derivaban las partículas que conformaban
los cuatro elementos fundamentales: las partículas de
fuego eran tetraedros, las de aire eran octaedros, las
de agua eran icosaedros y las de tierra cubos [2]. El
quinto elemento fundamental estaba hecho de
pentágonos regulares, el dodecaedro y estos eran las
partículas que conformaban el cielo.
Ya en el primer milenio de nuestra era comenzaron
a desarrollarse ciencias como la Química, que tuvo
gran preponderancia hacia el segundo milenio de
nuestra era. Se descubren las propiedades de los
elementos de la naturaleza, se descubren nuevos
elementos y se desarrollan nuevas teorías sobre la
constitución de los elementos. Comienza a
desarrollarse la teoría atómica que considera a los
elementos formados por partículas indivisibles. Y
cada una de estas partículas combinándose para que
aparezcan nuevas sustancias.
Un papel importante en el desarrollo de la Química
lo dio el descubrimiento de Volta en el 1800. Volta
descubrió la pila eléctrica, con la que los químicos tuvieron una fuente continua de electricidad que les
permitió descubrir muchos nuevos elementos.
También se descubrió que algunas sustancias, como
la sal, al disolverse en agua, podían transmitir la
electricidad, mientras que otras, como el azúcar, no lo
hacían.
Ya en la primera mitad del siglo XIX, a finales del
segundo milenio de nuestra era, ya se suponía la
existencia de partículas más pequeñas que los átomos
y se hacían experimentos para tratar de detectarlas.
Los experimentos del inglés William Crookes[3]
permitieron apreciar ciertas partículas que se
desprendían de placas metálicas al vacío sometidas a
una gran diferencia de potencial. Más tarde estas
partículas fueron llamadas por Thomson electrones.
Esas mismas partículas aparecían si se iluminaba un
metal con luz ultravioleta. Por esto quedo claro que
ellas procedían de los átomos del metal, así que el
átomo no era indivisible, estaba formado por
partículas más pequeñas.
El modelo de átomo que propuso Thomson
consistía de una esfera positiva que tenía insertado en
su interior un montón de partículas negativas,
electrones, sumergidas como pasas en un pastel. Este
modelo no duró mucho. Un discípulo de Thomson,
Rutherford, encontró que el átomo casi en su
totalidad estaba vacío, a excepción de una pequeña
parte localizada en su centro que contenía casi toda la
masa del átomo y tenía carga positiva. De esta
manera aparece el núcleo atómico. Posteriores
investigaciones determinaron que el núcleo atómico
estaba formado por dos tipos de partículas, los
protones, de carga positiva, y los neutrones, sin carga
eléctrica.
A inicios del siglo XX vemos que se desarrolla la
concepción cuántica de la materia que explica la
naturaleza de los espectros y la formación de
moléculas y agregados moleculares.
En los actuales momentos estamos pensando en la
existencia de espacios con muchas más dimensiones
y de materias que hasta ahora no han sido detectadas
por nuestros sentidos y que pueden estar en mayor
cantidad en el universo que la materia que
alcanzamos a percibir [4].
3. CUERPOS MATERIALES Y
MODELOS
En este trabajo nos proponemos analizar el
movimiento de objetos usando las leyes de la
mecánica clásica. Intentaremos describir el objeto de
nuestro estudio como una realidad que se encuentra
ante nosotros y es captada por la reacción de nuestros
sentidos ante su presencia. Será una porción limitada
de materia que posee unas propiedades las mismas
que corresponden a las diversas formas o
apreciaciones que hacen nuestros sentidos de esa
realidad. Esta realidad la llamaremos cuerpo material
y constituirá el objeto de estudio.
Objeto de estudio.- Cuerpo material que se somete al
análisis para la descripción y prospección de su
movimiento.
El cuerpo material al interactuar con nuestros órganos
sensoriales produce sensaciones diversas que se
pueden estudiar, por ejemplo un cuerpo presenta un
cierto color ante nuestra vista, manifiesta una cierta
masa que podemos constatar en una balanza y así una
infinidad de sensaciones o propiedades del cuerpo
material.
Estas propiedades que presentan los cuerpos pueden
ser estandarizadas para que sean sujetos de medición
para su correspondiente comparación. Estas
propiedades que pueden ser medidas llamaremos
cantidades físicas.
Cantidad Física.- Valor que asignaremos a una
propiedad de los cuerpos materiales sujeta a un
estándar de comparación.
H. SANCHEZ
68
Cuando miramos los objetos que nos rodean
observamos que sus propiedades están en constante
evolución. Una medición de una cantidad física
referente a un cuerpo en este instante será diferente a
la medición de la misma cantidad física al día
siguiente. Por lo que diremos las cantidades físicas
varían con el tiempo, por lo que usaremos funciones
para representar las cantidades físicas. Las cantidades
físicas con las que apreciamos un cuerpo material y
que usaremos para su descripción son muchas, unas
más importantes que otras, dependiendo de la
situación en la que esté involucrado el cuerpo. En el
gráfico se muestra el objeto silla, el mismo que lo
podemos describir con su color, masa, carga eléctrica,
dureza, sabor, etc. Cada una de estas propiedades en
el momento que las medimos, con la finalidad de
compararlas, estamos hablando de cantidades físicas,
las mismas que están evolucionando: su color ira
cambiando con el tiempo, su masa, su dureza, todas
sus propiedades corresponderán a funciones del
tiempo.
Entonces para describir la silla necesitaremos una
gran cantidad de funciones, que muchas veces son
innecesarias por la poca o ninguna relevancia en la
situación en que el objeto silla está involucrado. Si
me interesa saber el número de sillas que puedo
transportar en un camión, las cantidades físicas
relevantes serán la masa y el volumen. No me
importa que color tengan o que dureza posean.
Entonces decido representar a la silla con un cubo
que posee un cierto volumen y cierta masa. Esta
representación de mi objeto la llamaremos modelo.
Modelo.- Es una representación del objeto de estudio
que guarde solo las propiedades determinantes del
objeto (cantidades físicas) en la situación que está
siendo tratada.
Puede haber otra situación donde lo que me interese
de la silla no sea ni la forma ni su tamaño, y lo que
me interese sea su carga y su masa, entonces
construiremos un modelo de silla que posea solo
masa y carga eléctrica.
4. POSICION Y MOVIMIENTO
4.1 Posición.- En la mecánica primero necesitaremos
definir el lugar donde suceden los procesos y donde
se ubican los objetos, el espacio; y luego
necesitaremos de una cantidad que ordene
cronológicamente los sucesos, el tiempo. Al hablar
del espacio nos sujetaremos de un principio no
empírico que se refiere a la homogeneidad e isotropía
del espacio.
Diremos que el espacio es homogéneo en base al
hecho de que la realización de un determinado evento
no depende del lugar en el espacio donde se realice.
Al hablar del movimiento de un objeto bajo ciertas
condiciones no depende del lugar del espacio donde
se realice, dependerá de las condiciones y no del
lugar. Las leyes físicas se comportan iguales
independientes de donde se las aplique. Lo único que
hay que tener en cuenta es que las condiciones sean
las mismas.
El espacio es isótropo, si tomamos en cuenta que en
el lugar donde suceden todos los fenómenos y donde
existen los cuerpos materiales no hay direcciones
especiales. Es decir al estar en el espacio exterior,
lejos de los planetas no tiene sentido hablar de arriba
o abajo, no hay direcciones especiales para el
desarrollo de los procesos. Si alguna dirección se
torna especial en el espacio será por la presencia de
los objetos y no por el espacio en sí.
Con respecto al tiempo y usando la concepción
clásica diremos que es homogéneo. Es decir que la
realización de un determinado evento es indiferente
al instante de tiempo en que se realiza. Si hoy a las
10:00 h cayó una piedra, hace el mismo efecto si
cayera a las 14:00 h de hoy o después de dos días o
después de 1000 años. Es decir las leyes físicas tienen
igual valor ahora como la tuvieron hace mil años.
Esto lo usan los constructores de edificios o de autos.
Ellos no están pensando que el edifico se caerá dentro
de 100 años porque las leyes físicas cambiarán, ni
tampoco los autos se desbaratarán.
Para establecer el orden cronológico, conforme
Einstein lo afirma, no existe un tiempo absoluto que
nos permita ordenar todos los sucesos. Esto solo lo
podemos hacer solo con un reloj que se encuentre en
el mismo lugar donde suceden porque no existe
manera para que la información de un suceso sea
transmitida instantáneamente que sucede de un lugar
a otro. Si es la luz la forma más rápida de transmitir
Graf. 2.1 Objetos y modelos
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
69
información, ella no es infinita. No existe un tiempo
absoluto, el tiempo es relativo.
Bajo estos principios, al no existir época en el tiempo
especial, ni tampoco posiciones o direcciones
especiales en el espacio, el determinar la ubicación de
un cuerpo material en el espacio y en el tiempo
requiere de un cuerpo especial que escojamos, de una
manera de medir el tiempo especial en el lugar donde
suceden los procesos y de ciertas direcciones
referenciales que escojamos en el espacio, las mismas
que me permitirán definir la ubicación de un cuerpo.
Estos elementos constituyen lo que se denomina
Sistema Referencial.
Sistema Referencial.- Conjunto de elementos que nos
permitirán ubicar los objetos. Está constituido por un
cuerpo de referencia, un tiempo referencial y tres
direcciones referenciales con respecto a quienes
determinaremos la ubicación del objeto de estudio.
Ya en el lenguaje habitual usamos estos conceptos,
por ejemplo decimos, el bus de transporte se
encontraba a las 10:00 h del día lunes a 3 km de
distancia del peaje y se dirigía a Salinas.
Nosotros usaremos un lenguaje más formal que nos
permita precisar mejor la ubicación de los objetos.
Para esto usaremos primero un modelo de objeto de
estudio que no toma en cuenta ni forma ni tamaño y
que puede ser representado usando el concepto
geométrico de punto. A este modelo llamaremos
modelo de partícula. La ubicación de un objeto en el
espacio-tiempo estará dada por tres números y un
tiempo referidos al objeto referencial, las direcciones
de referencia y según el tiempo de referencia
escogido.
Posición.- Es una cantidad física, por lo tanto
propiedad de los cuerpos materiales, que permite
ubicarlos según una referencia espacial y una
referencia temporal. En nuestro espacio
tridimensional usaremos tres números que están
asociados a un tiempo determinado
( ) ( ) ( ) ( )
Los valores van a depender del sistema de
coordenadas que se escoja y por lo tanto sus
significados serán diferentes.
Estos entes matemáticos formados por conjunto de
números independientes entre sí y donde cada uno
tiene un significado diferente se denominan vectores.
De ahí que algunas veces se hable del vector
posición.
Para determinar la posición debemos escoger primero
un cuerpo de referencia (un punto del espacio) donde
ubicar la posición referencial a la que generalmente
se le asigna los números (0,0,0), y un instante de
tiempo que también podamos asignarle el valor t=0
y también que nos sirva como referencia. Por lo
tanto, cualquier valor que le asignamos a la posición
de un objeto estará referida a estas referencias.
4.1.1 Coordenadas rectangulares.- En esta caso
escogemos un punto de referencia en el espacio al
que le asignamos el (0,0,0) y tres direcciones fijas
con O (no se mueven para O), que se mantienen
perpendiculares entre sí ( ). En este caso la
posición de un objeto en un determinado instante de
tiempo tendrá los siguientes números (x,y,z) que
corresponderán a las proyecciones de la ubicación del
objeto en las direcciones referenciales ( ) (ver
gráfico). Diremos entonces que la posición de A en
este sistema referencial es: ( ) ( ) en el
tiempo
Cada uno de estos números puede variar con el
tiempo como una función mientras A presenta
movimiento para el observador O y esto se refleja en
la notación ( ( ) ( ) ( )). 4.1.2 Coordenadas Cilíndricas.- A veces es mejor
usar sistemas referenciales con direcciones de
referencia que no estén fijas con objeto de referencia.
Un caso es el sistema de coordenadas cilíndricas.
Para esto necesitamos establecer 1) un plano
referencial que contenga mi objeto de referencia O,
2) una dirección referencial en este plano, X y 3) una
dirección referencial perpendicular al plano de
referencia Z. Si en un tiempo t el objeto se encuentra
en la posición A, proyectamos perpendicularmente el
punto A sobre el plano de referencia determinando el
punto P. La primera dirección referencial de nuestro
sistema de coordenadas será la que se obtiene en
línea recta de O a P, la que denominaremos radial,
Perpendicular a esta la dirección , que
denominaremos azimutal. Y perpendicular a estas dos
direcciones la dirección que sigue la dirección
perpendicular al plano de referencia. Las cantidades
que definirán la posición del objeto en un instante de
tiempo t serán ( ) ( ( ) ( ) ( )), donde es
la distancia de P a O, es el ángulo que forma el
segmento OP con la recta referencial X en el plano y
Z es la distancia de A al plano en P. Es de anotar que
si A presenta movimiento para O las direcciones
referenciales radial y azimutal también
cambiaran de ahí que son funciones del tiempo
( ) ( ) Mientras que la dirección no cambia
con el tiempo.
Graf. 3.1 Coordenadas rectangulares
H. SANCHEZ
70
Una posición del objeto en coordenadas cilíndricas
sería: ( ) que corresponde
a un objeto cuya proyección sobre el plano de
referencia P dista 5m del objeto de referencia O, la
proyección OP forma un ángulo de 0.5 radianes con
la dirección referencial X y está a 6 metros por
encima del plano referencial. Diremos entonces que
el instante de tiempo t
4.1.3 Coordenadas esféricas: Este sistema de
coordenadas también presenta direcciones
referenciales que no están fijas con el objeto de
referencia. En este caso necesitamos establecer 1) un
plano referencial que contenga mi objeto de
referencia O, 2) una dirección referencial en este
plano, X y 3) una dirección referencial perpendicular
al plano de referencia Z. Si en un tiempo t el objeto
se encuentra en la posición A, proyectamos
perpendicularmente el punto A sobre el plano de
referencia determinando el punto P. La primera
dirección referencial de nuestro sistema de
coordenadas será la que se obtiene en línea recta de O
a A, la que denominaremos radial, Perpendicular a
esta la dirección , (perpendicular a OP) que
denominaremos azimutal. Y perpendicular a estas dos
direcciones la dirección (perpendicular a r). Las
cantidades que definirán la posición del objeto en un
instante de tiempo t serán ( ) ( ( ) ( ) ( )), donde es la distancia de O a A, es el ángulo que
forma el segmento OP con la recta referencial X en el
plano, y es el ángulo que forma la distancia r con la
dirección perpendicular al plano, Z. Es de anotar que
si A presenta movimiento para O las direcciones
referenciales serán funciones del tiempo.
Cambian con la posición de A.
Una posición del objeto en coordenadas esféricas
podría ser:
( ) que corresponde a un objeto que dista de 5m del
objeto de referencia O, la proyección OP forma un
ángulo de 0.5 radianes con la dirección referencial X
y el ángulo de r con el eje Z es 1.5 radianes. Diremos
entonces que el instante de tiempo t, En algunos casos la determinación de la posición de
un objeto no requiere de sistemas tridimensionales,
debido a que su movimiento presenta restricciones.
Por ejemplo si un objeto se mueve sobre un plano, su
posición se la puede determinar con un sistema de
coordenadas bidimensional. Revisaremos algunos
sistemas bidimensionales.
4.1.4 Coordenadas rectangulares 2d: En el plano
donde se ubica el objeto identificamos un objeto de
referencia. A partir de este objeto definimos dos
direcciones referenciales , perpendiculares entre
sí. La posición de un objeto en un determinado
instante de tiempo estará determinada por los
números X y Y que corresponden a las proyecciones
de la ubicación del objeto en las direcciones
referenciales ( ) (ver gráfico). Diremos entonces
que la posición de A en este sistema referencial es:
( ) ( ) en el tiempo
Graf. 3.2 Coordenadas cilíndricas
Graf. 3.3 Coordenadas esféricas
Graf. 3.4 Coordenadas
rectangulares 2d
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
71
Cada uno de estos números puede variar con el
tiempo como una función mientras A presenta
movimiento para el observador O y esto se refleja en
la notación ( ).
4.1.5 Coordenadas polares: Para este sistema de
coordenadas necesitamos establecer un punto del
plano como referencia que lo denominaremos el polo
(objeto de referencia) y una recta referencial que sale
del polo. Las dos direcciones referenciales están
asociadas al objeto de estudio. La primera será la
dirección radial hacia afuera del polo y la segunda
perpendicular a esta, la dirección azimutal . Para
ubicar al objeto en el plano se necesitan dos números,
la distancia del objeto al polo y el ángulo que la
recta OA con la recta referencial . Por ejemplo la
posición de un objeto en un instante de tiempo es
( ) ( ) es decir este objeto está
a 5 m del polo y su dirección forma un ángulo de 0.5
radianes con la recta de referencia. Aquí también las
direcciones de referencia serán función del tiempo,
porque están asociadas con la ubicación del objeto en
estudio ( ) ( ).
4.1.6 Coordenadas Naturales.- En algunos casos
prácticos se acostumbra representar la posición de un
objeto usando un sistema de coordenadas
bidimensional a pesar de que el movimiento pueda
ser tridimensional. Por ejemplo cuando hablamos
sobre la posición de un auto en una determinada
carretera acostumbramos a decir se encuentra a 20
km del peaje. O decimos se encuentra 5 km antes de
la población A. Para estos casos se requiere que la
persona conozca la trayectoria y pueda entender esta
información. Entonces pongamos como requisito en
este sistema de coordenadas conocer en forma
bidimensional la trayectoria y establezcamos en la
trayectoria un punto de referencia, O y una dirección
de referencia ( ). En esta trayectoria, la posición de
un objeto se determinara por una función s(t) que
representa la distancia en esta trayectoria medida
desde el objeto de referencia, por ejemplo para t=5 s,
s(5)=345 m esto indica que cuando el cronómetro
marcó t=5 s el móvil se encontraba en esta trayectoria
a 345 m de la referencia. Las direcciones
referenciales serán la dirección tangencial a la
trayectoria y la dirección normal a la trayectoria:
( ) que también cambiarán en función del tiempo ( ( ) ( )). Cualquier vector en este sistema de
coordenadas tendrá componente tangencial y
componente normal a la trayectoria.
4.1.7 Movimiento.- Es una propiedad de los cuerpos
materiales, su capacidad de cambiar de posición
según una referencia que se escoja. Vemos desde el
suelo a los aviones volar, cambiar su posición,
(referencia el suelo en un tiempo dado). Si la
referencia no fuese el suelo, sino una persona, un
pasajero del avión, éste no notará cambio de posición
del avión, para él no se moverá. Las gotas de lluvia
dejan líneas al resbalar por el vidrio lateral de un
carro (referencia el vidrio). Si el carro esta
estacionado las líneas aparecerán verticales, aunque
las mismas gotas de lluvia en el vidrio de un carro en
movimiento aparecerán inclinadas (otra referencia).
Diremos entonces que el movimiento es una
propiedad de los cuerpos que mide su
comportamiento para un observador y para un tiempo
determinado. El movimiento es relativo.
Diremos entonces que un cuerpo se encuentra en
movimiento si su posición para un determinado
observador y para un cronometro dado cambia en
función del cambio de tiempo registrado.
Entonces quedara registrado el movimiento en las
funciones que indiquen los vectores posición de los
cuerpos. La primera tarea de la Mecánica es
encontrar estas funciones.
Desde la Cinemática a cada posición del cuerpo le
corresponde un punto en el espacio en un tiempo
determinado. Si pudiésemos tomar todas las
posiciones para los tiempos correspondientes en
cierto intervalo obtendríamos un conjunto de puntos
arreglados uno a continuación de otro formando lo
que en geometría llamamos una línea. A esta línea la
llamaremos trayectoria.
Trayectoria, en el modelo de partícula, de un cuerpo
está constituida por todos los puntos del espacio por
donde pasa el cuerpo en su movimiento.
Graf. 3.5 Coordenadas polares
Graf. 3.6 Coordenadas naturales
H. SANCHEZ
72
Estaríamos tentados en asociar el movimiento con la
variación de posición, aunque esto, que puede ser
necesario para el movimiento, no es suficiente para
decir que hubo movimiento. Si existe cambio de
posición es porque hay movimiento del cuerpo, pero
lo contrario no siempre es verdad, si hay movimiento
es porque ha habido cambio de posición. Pudo haber
movimiento, pero no se registró cambio de posición
porque regreso en ese tiempo al punto de partida. El
cambio de posición se registra con el vector
desplazamiento.
Vector desplazamiento.- Medida del cambio de
posición de un objeto, y se obtiene de la diferencia
entre los vectores posición de dos tiempos diferentes.
Por convención siempre escogeremos el tiempo
posterior menos el tiempo anterior:
| | ( )
√( ) ( )
( ) ( )
En esta expresión el vector es el vector posición
del objeto en un tiempo anterior mientras es el
vector posición del cuerpo en un tiempo posterior por
convención .
Este vector me indica cuan distante se encuentra la
posición B de la posición A, correspondientes a
tiempos diferentes . Pero que sucedió en medio
de estos tiempos no sabemos; y como apreciamos del
grafico no se asemeja el vector desplazamiento con la
trayectoria. Si quisiéramos tener información
intermedia deberíamos medir posiciones para tiempos
intermedios, por ejemplo .
Esta aproximación es más cercana pero aún no se
parece a la trayectoria. Sería necesario tener, no un
punto intermedio, sino varios con intervalos de
tiempo muy pequeños.
Si hiciéramos la diferencia entre los tiempos tan
pequeña, de tal manera que los puntos intermedios no
me den incertidumbre acerca del movimiento y de
esta manera el desplazamiento se pegue a la
trayectoria tendríamos una mejor medida para el
cambio de posición. Hagamos entonces una cantidad
muy grande de puntos intermedios, de manera que el
intervalo de tiempo entro entre dos puntos
intermedios sea muy pequeño, cercano a cero, pero
no cero, Este tipo
de cantidades se usan en matemática y se las
denomina diferenciales:
( )
Naturalmente que junto al dt también aparecerá un que corresponde al desplazamiento que tuvo el
cuerpo en el intervalo de tiempo dt.
( ) ( ) Este vector desplazamiento diferencial tiene algunas
virtudes: 1) sigue a la trayectoria y por lo tanto
diremos que es tangente a la trayectoria, serviría para
indicarnos la dirección del movimiento, 2) debido a
que corresponde a un intervalo de tiempo muy
cercano a cero, esto garantizaría que con él podamos
medir si el cuerpo se encuentra en movimiento o no.
Si el desplazamiento diferencial es diferente de cero
el cuerpo está en movimiento y lo contrario también
es cierto, si el cuerpo está moviéndose su
desplazamiento diferencial es diferente de cero.
El único problema que existe es que el diferencial no
tiene un valor real medible y por lo tanto no sería de
mucha utilidad su uso. Construiremos un nuevo
vector con diferenciales que conserve las
características del desplazamiento diferencial, que mida movimiento y que pueda ser cuantificable. Para
esto hagamos el cociente:
Este cociente conserva la dirección del movimiento y
además podemos asociarlo con rapidez con la que se
realiza el cambio de posición. Debido a su
importancia para la mecánica lo denominaremos
velocidad.
Graf. 3.7 Trayectoria
Graf. 3.8 Desplazamiento
Graf. 3.9 Desplazamientos
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
73
Velocidad.- Si existe, es el cociente entre el
diferencial de desplazamiento y el diferencial de
tiempo en un instante determinado. Esta cantidad
física nos determina si el cuerpo se mueve según un
observador y un tiempo específico y además tiene la
información de cuán rápido se está realizando el
movimiento y en qué dirección se está realizando el
movimiento. La magnitud de esta cantidad la
denominamos rapidez y es la medida de la agilidad
con la que se realiza el movimiento. Este cociente
desde el punto de vista matemático se denomina
derivada, de manera que diremos que la velocidad es
la derivada de la posición con respecto al tiempo.
El valor que se le asigna a este cociente lo
obtendremos del comportamiento del cociente
cuando el se acerca a cero, sin que llegue a ser
cero:
( )
Esta es una cantidad vectorial, lo que significa que
contiene un conjunto de tres números:
(
) ( )
La orientación de la velocidad es la orientación del
movimiento y la rapidez será la magnitud de la
velocidad:
√(
)
(
)
(
)
( )
Como ejemplo tomemos un movimiento
unidimensional dado por ( ) , que
significa que el cuerpo ocupó las posiciones dadas en
la tabla adjunta:
Para t=1 su posición es x=4.
Para su posición será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
De manera que el cociente
cuando el
se acerca a cero
, lo que registraremos como la
velocidad del cuerpo en t=1.
De igual manera podemos proceder en cualquier
tiempo. En t=2, x= 16.
Para su posición será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
El cociente
, que cuando el se
acerca a cero
. Esto indica que la velocidad
del cuerpo en t=2 s fue de 17 m/s.
Con estos valores podemos construir la siguiente
tabla y con ellos construir una nueva función:
( ) ( ) . Para las componentes y(t) y z(t) podemos hacer lo
mismo y construir el vector
velocidad como el conjunto de tres
funciones del tiempo:
( ) (
) ( ( ) ( ) ( ))
Esta operación ya se encuentra sistematizada en los
cursos de cálculo matemático y se llama
derivación[ ]. Obedece a reglas sencillas que se
desarrollan en estos cursos y se transcriben a
continuación en la siguiente tabla:
N f(t)
1 A=const 0
2 At A
3 para n R
4 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 6 7 ( ) 8 ∑ ( ) ∑
( )
9 ( ) ( )
10 ( ( ))
Ejemplo:
( ) { ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) {
( )
( ) ( )
( ) ( )
t v
0 -3
1 7
2 1
7
3 2
7
t X
0 2
1 4
2 16
3 38
H. SANCHEZ
74
5. CONLUSIONES
En esta primera parte hemos destacado la
importancia que tienen los modelos para
describir una realidad bastante compleja. Si
quisiéramos interpretar la realidad en toda su
dimensión no sería una tarea fácil o tal vez
imposible de resolver por la infinidad de
variables que involucran a un objeto real.
Hemos presentado un modelo sencillo para la
descripción del movimiento, procurando si
enmarcarlo en una matemática con la suficiente
lógica que caracterizan a conocimientos
científicas.
Además, hemos tratado de mostrar la necesidad
de una matemática nueva para el 1700 acorde a
la necesidad de explicar los problemas que
Newton intentó descifrar.
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
75
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS
[1]. Historia Universal. Gómez, González,
Pastoriza, Editorial Pearson Educación,
México 2008
[2]. Historia de las Ciencias 1, Stephen
Mason, Alianza Editorial, Madrid
2012, ISBN 978-84-206-1197-6
[3]. William Crookes, Biografías y Vidas.
http://www.biografiasyvidas.com/biogra
fia/c/crookes.htm
[4]. NASA (ed.). «La NASA Encuentra
Pruebas Directas de Materia Oscura» en
el Observatorio de rayos X Chandra
[5]. Leithold Louis. El Cálculo. Oxford
University Press. Séptima edición. 1998
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
SANCHEZ HERNANDO1
Resumen: En este escrito continuamos la presentación iniciada en artículo anterior con el mismo nombre. Se pretende ahora presentar las características que tiene el movimiento de cuerpos no tan pequeños como los electrones ni tan veloces en
comparación con la velocidad de la luz. Se analiza en esta Segunda Parte las relaciones con las que podemos describir el
movimiento de los cuerpos. Se hace uso de los sistemas de coordenadas mayormente empleados para describir movimientos y que permiten al estudiante de Física plantearse problemas relativamente interesantes y prácticos.
Palabras Claves.- Mecánica, Movimiento, Partícula, Cinemática, Aceleración.
Abstract: In this paper we continue presentation initiated in previous article with the same name. Intends to now introduce the
features that the movement of bodies not as small as electrons or so fast compared to the speed of light. In this second part discusses relations with which we can describe the movement of bodies. It makes use of the coordinate systems mostly used to describe
movements and allow the student of physics arise relatively interesting and practical problems..
Keywords.- Mechanics , Motion, Particle, Kinematics, acceleration.
Recibido: Enero 2016
Aceptado: Marzo 2016
1. INTRODUCCIÓN
Los avances que ha tenido la humanidad se
deben al dominio que ha hecho el hombre de las
leyes de la naturaleza. Los pueblos más
desarrollados son los que han logrado primero el
manejo del conocimiento. La Física como
ciencia de la naturaleza tiene como misión la de
extraer cada vez más esos detalles que contiene
la naturaleza y que podemos usar en provecho
para el desarrollo de los pueblos.
A través de este texto no pretendemos presentar
ningún descubrimiento, pero si contribuir a que
las juventudes se motiven en el estudio de esta
ciencia tan importante para los pueblos y que su
dominio puede redundar en mejoras en el nivel
de vida de los pueblos.
Queremos presentar al estudiante y al profesor
de Física un enfoque, resultado de los años
dedicados a enseñar Física a los estudiantes de
la ESPOL. Estos años nos han mostrado que
para enseñar Física hay que tener un buen
conocimiento de ella, que la enseñanza no se
quede en un reconocimiento de lo brillante que
es la naturaleza, sino en entender el porque es
así la naturaleza. Si la entendemos vamos a
poder usar sus leyes en nuestro beneficio.
El material que queremos presentar tiene que
ver con conceptos desarrollados en el siglo
XVII y que actualmente tienen plena vigencia
tanto para ingenieros o técnicos como para
personas de áreas que necesiten un
conocimiento formal del movimiento de cuerpos
materiales. Por ejemplo podría ser de utilidad a
un médico que estudie el movimiento de
1Sanchez Caicedo Hernando Profesor del Departamento de
Física, FCNM, ESPOL (e-mail: [email protected])
Guayaquil.
articulaciones, fluidos en el cuerpo humano o
para un agrónomo que estudie el movimiento de
fertilizantes en el suelo. Además quisiéramos
que el profesor de universidad o de colegio
tenga una herramienta que con la suficiente
rigidez matemática explique y respalde los
conocimientos que imparta en el aula de clase.
Trataremos de la matemática necesaria para la
explicación sea desarrollada paralelamente en la
medida de la necesidad.
1.2.3 Velocidad en coordenadas polares.- En
coordenadas polares la posición está dada por
un vector que se dirige en la dirección radial por
lo que no tendrá componente azimutal:
( ) ( ) ( ) ( )
Matemáticamente es el producto de dos
funciones del tiempo, la distancia al polo y la
dirección radial.
Para hallar la velocidad en este caso usaremos la
regla 9:
( )
La derivada del vector unitario radial existe
cuando el cuerpo sufre una variación angular de
porque si este ángulo no cambia el vector
radial seguiría igual. De ahí que ese vector
depende del tiempo solo si ( ) es función del
H. SANCHEZ
77
tiempo: ( ( )). Por lo tanto para derivar el
vector radial debemos usar la regla 10:
( )
La derivada de con respecto al ángulo , del
grafico 3.11 podemos apreciar que es un vector
unitario en la dirección azimutal, tomando en
cuenta que | | :
( )
De ahí que las componentes de la velocidad
sean:
( )
Componentes: radial y azimutal de la velocidad.
( )
Por ejemplo: Un móvil mientras se desplaza su
posición está dada en coordenadas:
{
( )
Entonces las componentes de la velocidad
serán:
( ) ( )
De manera que la velocidad toma la forma:
( ) ( )
1.2.4 Velocidad en coordenadas naturales.-
En coordenadas naturales es fácil escribir la
velocidad porque sabemos la velocidad es
siempre tangente a la trayectoria, es decir la
velocidad tendrá una sola componente:
( )
Aquí hemos usado el hecho que se desprende de
la definición de la velocidad; la rapidez es la
magnitud de la velocidad.
Como ejemplo veamos un móvil desplazándose
en una determinada trayectoria de manera que la
distancia al punto de referencia varía con el
tiempo:
( ) ( ) Su rapidez la obtendríamos derivando s(t):
( ) Y su velocidad será:
( ) ( ) 1.2.5 Velocidad en coordenadas cilíndricas.-
Partimos otra vez de la definición de velocidad:
es la derivada de la posición con respecto al
tiempo. La posición en coordenadas cilíndricas
se la expresa como la suma de dos
componentes:
( )
En esta expresión ( ) ( ) ( ) son
funciones del tiempo, aunque la dependencia de
( ) es a través de ( ) Usando las reglas de
derivación:
( )
Y usando las relaciones (3.13) y (3.14) que
obtuvimos en coordenadas polares para la
dirección radial:
( )
De manera que la velocidad tendrá tres
componentes perpendiculares entre sí:
{
( )
Por ejemplo: El movimiento de un cuerpo
descrito en coordenadas cilíndricas se expresa:
{
( )
Corresponde a un móvil que se desplaza por una
espiral ascendente dentro de un cilindro de 10 m
de radio.
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
78
Su velocidad tendrá las siguientes componentes:
{
( )
( )
1.2.6 Velocidad en coordenadas esféricas.-
De la definición de velocidad:
y
tomando en cuenta que la posición en
coordenadas esféricas tendría solo componente
radial:
( ) ( ) ( ) ( )
Entonces usando la regla 9 de derivación se
obtiene:
( )
En coordenadas esféricas la dependencia con el
tiempo de la dirección radial se manifiesta al
variar tanto el ángulo como el ángulo :
( ( ) ( )).
( )
Si hacemos variar solo el ángulo , del gráfico
3.15 se nota que:
( ) ( )
De igual manera el cambio en por la
variación del ángulo lo calcularemos haciendo
variar manteniendo fijo a .
Del grafico 3.16 podemos apreciar que:
( )
De manera que la velocidad en coordenadas
esféricas tendrá las siguientes componentes:
(
)
( )
Graf. 3.14 Ejemplo de Coord. Cilíndricas Graf. 3.15 Variación del ángulo 𝜑.
Graf. 3.16 Variación del ángulo 𝜑.
Graf. 3.17 Ejemplo de Coord. Esféricas
H. SANCHEZ
79
{
( )
Por ejemplo: La posición de una partícula en
coordenadas esféricas está dada por
{
( )
Representa una partícula moviéndose sobre una
esfera, rotando y desplazándose hacia abajo. Las
componentes de la velocidad en cualquier punto
serán:
{
(
)
( )
{
( )
No existe velocidad radial ya que la distancia al
centro se mantiene constante. Rota en forma
uniforme alrededor del eje vertical ya que la
componente es constante.
2. ACELERACION Y CAMBIOS DE
MOVIMIENTO
2.1 Aceleración.- El movimiento de un cuerpo
puede sufrir cambios en la trayectoria. Esto
puede manifestarse ya sea porque cambia la
rapidez del movimiento o porque suceda
cambios en su orientación. De ahí que si
queremos medir los cambios de velocidad o
cambios en el movimiento debemos introducir
una cantidad vectorial que aprecie estos
cambios. Esta cantidad la denominaremos
aceleración.
Aceleración.- Cantidad física vectorial que mide
los cambios en la velocidad. Por definición
aceleración es la derivada matemática de la
velocidad:
( )
( )
Así como la velocidad tiene sus componentes
según el sistema de coordenadas que usemos la
aceleración tendrá sus componentes. El
significado de sus componentes dependerá del
sistema que estemos usando, aunque todas se
refieran a cambios en características de la
velocidad.
2.1.1 Aceleración en coordenadas
rectangulares.- En coordenadas rectangulares
la velocidad mide los cambios que sufren las
proyecciones de la posición sobre los ejes
rectangulares. De igual manera la aceleración
tendrá sus respectivas componentes:
( )
La componente refleja los cambios que sufre
la componente de la velocidad y así cada
componente de la aceleración. En el ejemplo
que habíamos propuesto:
( ) {
( )
( )
( )
( ) {
⁄
( )
( )
( )
2.1.2 Aceleración en coordenadas naturales.-
En coordenadas naturales hay que tener en
cuenta que las direcciones dependen del tiempo.
Para la aceleración es necesario conocer la
derivada del vector tangencial, tomando en
cuenta que este vector cambia porque la
dirección cambia:
Graf. 4.1 Direcciones en C. Naturales
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
80
( ( ))
( )
Nótese del grafico 4.1 que el cambio de sigue
la dirección del vector .
De esta manera la aceleración en este sistema de
coordenadas tendrá dos componentes:
( )
Es decir la aceleración tiene una componente
tangencial y una componente normal:
( )
Si la trayectoria fuese una circunferencia de
radio R entonces podríamos establecer una
relación de la derivada
con la rapidez:
( )
Esta relación permite expresar la aceleración
normal como:
(
)
( )
Esta relación válida para el movimiento circular
se la puede usar para cualquier trayectoria. Para
eso en cada punto de la trayectoria trazaremos
una circunferencia tangente a la trayectoria y
que esté de acuerdo con su curvatura como
muestra el grafico 4.3.
Este radio tendría un valor variable y que
llamaremos radio de curvatura :
( )
2.1.3 Aceleración en coordenadas polares.-
En coordenadas polares hay que tomar en
cuenta los cambios que sufren las orientaciones:
( )
La orientación radial obedece a la relación (25).
Para obtener la variación que sufre la dirección
azimutal observemos el gráfico 4.4:
El cambio de la dirección azimutal sigue la
dirección contraria de la dirección radial:
( )
Y usando las reglas de derivación:
( )
Al incluir las derivadas de las direcciones
obtendremos:
(
(
)
)
(
) ( )
Graf. 4.2 Movimiento circular
Graf. 4.3 Radio de curvatura
Graf. 4.4 Direcciones en C. Polares
H. SANCHEZ
81
Es de anotar que a la distancia la hemos tenido
que derivar dos veces lo que se ha anotado con
la representación:
( )
Tendremos entonces una componente de la
aceleración en la dirección radial y otra para la
dirección azimutal.
De estos términos algunos tienen importancia
especial, por ejemplo el término (
)
es
importante en el movimiento circular, es decir si
( ), este término se lo
denomina aceleración centrípeta. El termino
que sigue la dirección azimutal, se
presenta cuando ( ) ( ) . Es
conocido como aceleración de Coriolis.
En el ejemplo propuesto para la velocidad en
coordenadas polares:
( ) ( )
Su derivada nos daría la aceleración:
( )
( )
( )
Esta expresión cambia al reemplazar las
derivadas de las direcciones:
( ) (
)
( ) ( ) ( )
Aquí usamos el valor de dado en el
ejemplo.
2.1.4 Aceleración en coordenadas cilíndricas.-
Usaremos en este sistema de coordenadas
derivadas de las direcciones similares a las
obtenidas para coordenadas polares:
( )
Por lo que partiendo de la velocidad:
( )
La aceleración tendrá las siguientes
componentes:
( )
Al reemplazar en esta expresión las derivadas de
las direcciones nos da:
(
(
)
)
(
)
( )
Las tres componentes de la aceleración. Igual
que en coordenadas polares se observa la
aceleración centrípeta, (
)
y la
aceleración de Coriolis,
.
En el ejemplo propuesto para la velocidad en
coordenadas cilíndricas teníamos (3.28):
{
Su aceleración tendrá la siguiente expresión:
( )( )
Este móvil solo experimenta una aceleración
radial constante de ⁄ dirigida hacia
adentro de la espiral.
2.1.5 Aceleración en coordenadas esféricas.-
De igual manera para encontrar la aceleración
en coordenadas esféricas hay que tomar en
cuenta las derivadas de las direcciones (3.32):
( )
( ( ))
( )
( ( ) ( ))
( )
Para el vector hemos tomado en cuenta que
él puede variar solo si varía el ángulo . En
cambio el vector puede cambiar si cambia
o si cambia .
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
82
Haciendo variar solo el ángulo en el gráfico
4.5 observamos que el cambio que sufre la
dirección se la tiene que descomponer en dos
componentes, una en la dirección y otra en
la dirección .
( )
( )
Para el vector primero observaremos su
cambio en el grafico 4.6 cuando cambia el
ángulo .
En el grafico apreciamos que la dirección del
cambio de es contraria a la dirección radial:
( )
Ahora observemos el cambio de en función
del cambio del ángulo , manteniendo fijo el
ángulo . En el grafico 4.7 podemos apreciar:
| |
| | | |
( )
( )
Por esto la derivada de la dirección con
respecto al tiempo será:
( )
Estamos listos ahora para escribir la aceleración
a partir de su definición:
(
)
Agrupando los términos semejantes y
observando las reglas de derivación tendremos
que:
(
(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
) ( )
Graf. 4.5 Cambios de dirección en
Coordenadas Esféricas
Graf. 4.6 Cambios de dirección 𝜃 si
el ángulo 𝜃 cambia.
Graf. 4.7 Cambios de dirección 𝜃 si
el ángulo 𝜑 cambia
H. SANCHEZ
83
Donde aparecen las tres componentes de la
aceleración. Aquí también podemos distinguir la
aceleración de Coriolis para el caso cuando
( ) ( ) En este caso
el término
corresponde a la
aceleración de Coriolis.
Como ejemplo analicemos el movimiento de
una partícula por la superficie de una esfera
por una trayectoria circular con un
ángulo ⁄ .
{
⁄ ( )
La posición y la velocidad las obtendremos por
las reglas de derivación y observando las
derivadas de las direcciones (4.25), (4.29):
(
) ( )
De igual manera derivando la velocidad se
obtiene la aceleración:
( )
(
)
√
( )
Entonces la partícula tendrá una aceleración
constante con dos componentes perpendiculares.
Como se aprecia en el grafico la aceleración
estará dirigida al centro de la trayectoria
(aceleración centrípeta).
3. CONCLUSIONES.
En esta contribución hemos presentado la forma
de describir el movimiento de los cuerpos bajo
el modelo de partícula. Para esto hemos visto
que podemos describir el movimiento de un
cuerpo en varios lenguajes, los que veremos
apropiados más adelante conforme las
necesidades de los problemas a tratar lo
ameriten. Hemos descrito el movimiento usando
los sistemas de coordenadas más usados y a la
vez destacado su importancia en ejemplos
apropiados para cada uno de ellos.
Usando la matemática ya desarrollada se ha
podido también describir la medida para los
cambios de movimiento y que en la Mecánica
Clásica se denomina aceleración. Se describe la
aceleración en diferentes sistemas de
coordenadas y sus correspondientes ejemplos.
Graf. 4.8 Ejemplo de C. Esféricas
PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
84
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Leithold Louis. El Cálculo. Oxford
University Press. Séptima edición. 1998
[2] Física Universitaria V. 1, Sears Zemansky,
Editorial Pearson Educación, México 2013
Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2016, Vol. 14, No. 1
ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES
SOLIS SORAYA1
Resumen: Se describe la construcción de una topología sobre un espacio de funciones complejas, la cual es límite inductivo
estricta, barrelada, bornológica y Mackey. El dual de dicho espacio, provisto de tal topología, es el espacio de las distribuciones o funciones generalizadas.
Palabras Claves: Distribución, límite inductivo estricto, barrelado, bornológico, Mackey.
Abstract: The construction of a topology on a space of complex functions is described, which is strict inductive limit, barreled,
bornological and Mackey. This space’s dual, provided with such topology, is the space of the distributions or also called
generalized functions. Keywords: Distribution, Strict inductive limit, barreled, bornological, Mackey.
Recibido: Febrero 2016
Aceptado: Marzo 2016.
1. INTRODUCCIÓN
En el cálculo diferencial con funciones de
variable real, se presentan situaciones en las que
la derivada de una función continua no
necesariamente lo es.
El espacio de distribuciones constituye una
clase de funciones que no presenta este
inconveniente, entre algunas de sus bondades
tenemos que toda distribución es continua y las
derivadas parciales de cualquier orden son
distribuciones, consecuentemente también son
continuas.
En el presente artículo se describe cómo se
origina el espacio de distribuciones a partir del
espacio de funciones “test”, dotado de una
topología especial.
2. DEFINICIONES Y RESULTADOS
PRELIMINARES
Def. I.- Espacio vectorial topológico.
Un espacio vectorial sobre un campo K dotado
de una topología que hace continuas las
operaciones de suma y multiplicación por
escalar, se denomina espacio vectorial
topológico (t.v.s.).
Proposición I.- En un t.v.s. E son equivalentes:
([3] pag. 6)
i. E es Hausdorff.
ii. Los singleton son cerrados.
iii. Si entonces existe una vecindad de 0
U tal que .
Proposición II.- En un t.v.s se cumple: ([1] pag.
8, 10)
i. Toda vecindad U de 0 contiene una vecindad
simétrica V (V = -V) tal que V+V U.
ii. Toda vecindad de 0 contiene una vecindad
balanceada de 0.
iii. Toda vecindad convexa de 0 contiene una
vecindad absolutamente convexa (convexa y
balanceada) de 0.
1Solis Soraya, Magister en Matemática., Profesora,
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, ESPOL. (e_mail:
Def. II.- Espacio Localmente Convexo
Un espacio vectorial topológico E sobre un
campo K se dice localmente convexo (l.c.s.), si
es Hausdorff y posee una base de 0-vecindades
convexas.
Una topología en E que hace continuas las
operaciones de suma y multiplicación por
escalar y que además posee una base de 0-
vecindades convexas se dice localmente
convexa.
En algunos resultados se considerarán
topologías localmente convexas mientras que en
otros se requerirá adicionalmente la condición
Hausdorff.
Lema I.- Sea E localmente convexo y H un
subespacio vectorial de E. Sea U una vecindad
absolutamente convexa en H respecto a la
topología inducida por E: ([2] pag. 58)
i. Existe una vecindad absolutamente
convexa V en E tal que .
ii. Si , entonces V puede ser escogida
tal que .
Def. III.- Topología Inductiva y Topología
Límite Inductiva.
Sean E y espacios vectoriales sobre
un campo K. Sean aplicaciones lineales de
en E. Si es una toplogía sobre el espacio
, se define la topología inductiva sobre E,
respecto a la familia { }, como
la topología localmente convexa más fina que
hace continuas las aplicaciones
)
Si { }, se denomina la
Topología Límite Inductiva sobre E y
denotamos )= .
Una base de vecindades de 0 de esta topología
está dada por la familia U de subconjuntos de E,
convexos y balanceados tales que es
una vecindad de 0 en , para cada .
Notemos que la topología trivial (la que sólo
contiene E y ) es una topología localmente
convexa que hace continuas todas las
aplicaciones , por lo que la colección de tales
ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES
86
topologías es no vacía y así es el supremo de
esta colección.
Def. IV.- Suma Directa Localmente Convexa
Sea { } una familia de espacios
vectoriales sobre un campo K. Sea
la suma algebraica directa, esto es, el subespacio
vectorial de formado por los vectores que
tienen sus entradas nulas excepto en un número
finito de ellas.
Sean l.c.s. y las aplicaciones lineales
la incrustación canónica;
.
Al espacio E, dotado de la topología inductiva
respecto a la familia { } se lo
denomina Suma Directa Localmente Convexa
de la familia { } y lo denotamos
por ) = o simplemente
.
Puesto que es más fina que la inducida por
sobre E, en este caso es Hausdorff y por
tanto ) es l.c.s.
Def. V.- Límite Inductivo
Sea { } una familia de l.c.s. sobre un
campo K, donde A es un conjunto de índices
dirigido bajo una relación " ". Siempre que
sea una aplicación lineal de en
. Sea y sean las aplicaciones
lineales la incrustación
canónica; . Sea H el subespacio generado
por las imágenes de las aplicaciones lineales
para todo .
Sabemos que si E es t.v.s., E/H, provisto de la
topología cociente, es Hausdorff si y sólo si H
es cerrado ([1] pag. 20). En este caso definimos
el espacio cociente como el límite inductivo de
la familia { } con respecto a las
apliaciones y lo denotamos por
.
2.1 LÍMITE INDUCTIVO DE UNA
FAMILIA DE SUBESPACIOS
Def. VI.- En la definición anterior consideremos { } una familia de subespacios
de un espacio vectorial E tal que
si , A es dirigido por inclusión
ssi , si entonces
es la inclusión canónica de en E
y la inclusión de en , si . Sea E
provisto de la topología inductiva .
En este caso notemos que o es
nula, para todo , por lo cual H es el
subespacio trivial {0}.
Luego,
es homeomorfo a E.
Suponiendo que E/H es Hausdorff, este espacio
es el límite inductivo de la familia de
subespacios { } y es denotado por
E().
Si adicionalmente induce siempre que
, diremos que el límite inductivo de la
familia de subespacios es estricto.
El límite inductivo estricto de una sucesión
creciente de (B)-espacios se denomina
(LB)-espacio y el de (F)-espacios (LF)-espacio
(B de Banach y F de Fréchet).
Teorema I.- Sea { } una sucesión
creciente de l.c.s tal que induce para
todo n, E un espacio vectorial dado por
. Entonces la topología inductiva sobre E
respecto a las inclusiones canónicas
es Hausdorff e induce sobre para todo n.
Demostración:
Primero mostramos que es menos fina
que la topología inducida por E() en .
Fijemos . Sea una vecindad
absolutamente convexa en . De la hipótesis induce para todo
y por el Lema I es posible construir
una sucesión de vecindades absolutamente
convexas en , tal
que . Definamos
. Notemos que V está en E y
como estas vecindades están encajadas, V
resulta ser absolutamente convexa. Además
para todo
y . Por tanto V es una vecindad
en E() que induce la vecindad .
Ahora mostramos que la topología inducida
por E() en es menos fina que .
Sabemos que la inclusión canónica
E() es continua para todo n.
Sea U una vecindad de 0 en E(). Entonces
Finalmente mostramos que E() es
Hausdorff.
Por la proposición I es suficiente mostrar
que dado existe una vecindad de 0 U
en tal que . Como
existe
algún N tal que . Como este
subespacio es Hausdorff y su topología
coincide con la inducida por , existe una
vecindad de 0 U en tal que y
por tanto . □
Dada la utilidad de este tipo de construcciones,
denotaremos E()
al límite
inductivo estricto de una sucesión de
subespacios.
Teorema II.- Sea E()
y sea
cerrado en para todo . Un
S. SOLÍS
87
conjunto es -acotado si y sólo si existe
algún tal que B es acotado.
Demostración:
Sea B acotado. Sea U una vecindad de 0
en E(). Por el teorema anterior sabemos que
coincide con la topología inducida por E(),
por tanto existe t > 0 tal que
. Luego B es -acotado.
Supongamos que B es -acotado pero no es
acotado para todo .
Entonces existe una sucesión { } en B tal que
pero
.
Luego Sea
vecindad
absolutamente convexa de . De la hipótesis
es cerrado en
y por el Lema I existe
una vecindad de 0 absolutamente convexa
en tal que
y
; para todo . (*)
Definamos
y similar a lo realizado
anteriormente se tiene que V es una vecindad de
0 en E(). Como B es acotado en E() y
tenemos que
en E() por lo cual existe
algún m tal que
para todo .
Pero esto es una contradicción con (*). □
Teorema III.- El límite inductivo estricto de una
sucesión de espacios localmente convexos
completos es completo.
Sea { } una red de Cauchy en el límite
inductivo estricto. Luego esta red es acotada en
este espacio y por el Teorema anterior existe
algún subespacio de la sucesión que la contiene.
Como éste es completo la red converge en tal
subespacio y por tanto converge en el espacio
límite inductivo estricto.
2.2 ESPACIOS BARRELADOS
Def. VII.- Espacio Barrelado
Sea E un espacio vectorial topológico. Un barril
(tonel) es un subconjunto de E que es
absolutamente convexo y cerrado. E se dice
espacio barrelado (tonelado) si todo barril es
una vecindad de 0.
Teorema IV.- Todo espacio E localmente
convexo de Baire es barrelado.
Demostración: Sea D una barril del espacio E.
Puesto que D es absorbente tenemos que
y dado que E es de Baire existe
algún tal que mD tiene interior no vacío.
Luego existe algún x tal que x int(mD) =
m int(D), por tanto existe y int(D) y como D
es balanceado su interior también lo es, así -y
int (D).
Por la convexidad de int(D) se tiene que 0
(
) . □
Corolario I.- Los espacios de Banach y los
espacios de Fréchet son barrelados.
Teorema V.- Si es la topología inductiva sobre
E respecto a una familia de espacios barrelados,
con sus correspondientes aplicaciones lineales,
entonces todo barril es una vecindad de 0 en .
Demostración:
Sea la topología inductiva sobre E respecto a
la familia { }.
Sea D un barril en E(). Entonces es un
barril en . Como este espacio es
barrelado se tiene que es una vecindad
de 0 en ; para todo . Luego D es
vecindad de 0 en E(). □
Corolario II.- El espacio cociente Hausdorff de
un espacio barrelado también es barrelado, la
suma directa localmente convexa y el límite
inductivo de una familia de espacios barrelados
es barrelado.
2.3 ESPACIOS BORNOLÓGICOS
Def. VIII.- Un espacio localmente convexo E es
bornológico si todo conjunto absolutamente
convexo que absorbe a todo conjunto acotado
de E, es una vecindad de 0.
Teorema VI.- Todo l.c.s metrizable es
bornológico.
Demostración:
Sea E un l.c.s metrizable. Entonces E posee una
base local numerable ([2] pag. 28). Sin pérdida
de generalidad supongamos que esta base está
formada por bolas centradas en 0 y radios
decrecientes { }. Sea A un
conjunto absolutamente convexo que absorbe a
todo conjunto acotado de E.
Mostraremos que para algún .
Supongamos que para todo n. Existe
una sucesión { } tal que y .
Como { } converge a 0 es acotada y por tanto
es absorbida por A lo cual es una contradicción
pues para todo . Luego A es una
vecindad de 0. □
Teorema VII.- Si es la topología inductiva
sobre E respecto a una familia de espacios
bornológicos, con sus correspondientes
aplicaciones lineales, entonces todo conjunto de
E absolutamente convexo que absorbe todo
conjunto acotado en E(), es una vecindad de 0
en .
Demostración:
Sea la topología inductiva sobre E respecto a
la familia { }. Sea S un conjunto absolutamente convexo que
absorbe todos los conjuntos acotados en E().
Entonces es un conjunto absolutamente
convexo que absorbe todos los conjuntos
ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES
88
acotados en . Como este espacio es
bornológico se tiene que es una
vecindad de 0 en ; para todo .
Luego S es vecindad de 0 en E(). □
Corolario III.- El espacio cociente Hausdorff de
un espacio bornológico es bornológico, la suma
directa localmente convexa y el límite inductivo
de una familia de espacios bornológicos es
bornológico.
Teorema VIII.- Sea E() un espacio
bornológico, sea F l.c.s. y sea u una aplicación
lineal de E en F. Son equivalentes:
(a) u es continua.
(b) Si { } es una sucesión de E que converge
a 0, { } converge a 0.
(c) Si B es acotado en E, u(B) es acotado en F.
Demostración:
(a)→ (b): es inmediato.
(b)→(c): Sea { } una sucesión en u(B).
Entonces { } es una sucesión en B. Como B es
acotado, converge a 0 en E para cualquier
sucesión de escalares { } que converge a 0. De
(b) se tiene que converge a 0 y por
tanto es acotado.
(c)→(a): Sea V una vecindad absolutamente
convexa en F. Entonces es
absolutamente convexo en E. Mostraremos que
absorbe todo conjunto acotado de E().
Sea B un conjunto acotado en E. De la hipótesis
es acotado en F y por tanto existe t > 0 tal
que . Luego y así
absorbe todo conjunto acotado de E().
Como este espacio es bornológico se concluye
que es vecindad de 0 en E().
2.4 ESPACIOS MACKEY
Def. IX.- Sea y una dualidad y sea la
familia de los subconjuntos - compactos
de . La topología polar sobre X, inducida
por los funcionales de Minkowski de ,
se denomina la topología Mackey sobre X
denotada por . Un espacio cuya
topología es Mackey se denomina espacio
Mackey.
La Topología Mackey verifica que y consecuentemente es Hausdorff.
Adicionalmente, el Teorema de Mackey-Arens
establece que si es una topología Hausdorff
localmente convexa sobre , es compatible
con la dualidad entre y si y sólo si
([3] pag. 239). Por
tanto se deduce que la topología Mackey es la
más fina de todas las topologías Hausdorff
localmente convexas que es compatible con la
dualidad entre y .
Teorema IX.- Si E es l.c.s. barrelado o
bornológico, entonces E es espacio Mackey.
([2] pag. 132)
Corolario IV.- El límite inductivo de una
familia de espacios Mackey es Mackey. ([2]
pag. 138)
3. EL ESPACIO D( )
Sean un subconjunto abierto de ℝn y K un
subconjunto compacto de .
Sean { } y cuando K recorre todos los compactos
de .
Sea ⋃ un cubrimiento de compactos de ,
tales que y todo compacto de
está contenido en algún .
En este caso es subespacio vectorial de
para todo y además
, es un espacio vectorial.
Definamos sobre la familia de
seminormas { } dada por:
{| | | | }, donde
| |
Estas seminormas inducen una topología
localmente convexa en que además es
metrizable por poseer una base local numerable.
Por la forma de la métrica d definida en
como ∑
, tenemos que
es espacio de Fréchet y cada es
subespacio cerrado de , para todo
compacto K de , por tanto cada también es
Fréchet. ([1] pag. 31).
Denotemos por la topología heredada de
en cada . Por la forma del
cubrimiento y de la definición de , se
verifica que induce
.
Por otra parte, definamos sobre una base
local formada por la colección de todos los
conjuntos convexos y equilibrados W tales que
, para todo compacto K de . Esta
colección dota de una topología a que lo
convierte en un espacio vectorial topológico
Hausdorff localmente convexo ([1] pag. 142).
A continuación mostramos que posee las siguientes propiedades
topológicas.
(a) es una Topología Límite Inductiva sobre
.
(b) es Hausdorff e induce las topologías .
(c) , dotado de la topología , es espacio
límite inductivo estricto de la sucesión de
subespacios { (
) }.
(d) Para todo conjunto B acotado existe
algún que lo contiene.
(e) dotado de la topología es
completo.
S. SOLÍS
89
(f) dotado de la topología es
barrelado.
(g) dotado de la topología es
bornológico.
(h) dotado de la topología es Mackey.
(a) es una Topología Límite Inductiva
sobre .
En esta parte empleamos la Definición III.
Por la construcción de y de , satisface
la definición de Topología Límite Inductiva
respecto a la familia {
}
considerando las inclusiones
canónicas.
Tenemos que { ( )}
y todo satisface
.
Esto prueba que es una base de vecindades de
0 para la Topología Límite Inductivo .
(b) es Hausdorff e induce las topologías .
Para esta parte empleamos el Teorema I.
Lo expuesto en (a) sumado al hecho que
induce ; , satisfacen las hipótesis de este
Teorema y por tanto posee las propiedades
mencionadas.
(c) , dotado de la topología , es espacio
límite inductivo estricto de la sucesión de
subespacios { (
) }.
En esta parte aplicamos la Definición VI.
En nuestro caso particular,
induce y los están ordenados por
inclusión. Además, de la parte (b) es
Hausdorff y por tanto los singleton son
cerrados.
Luego, cocientado por {0} es Hausdorff y
así satisface la definición de espacio
Límite Inductivo Estricto.
(d) Para todo conjunto B -acotado existe
algún que lo contiene.
En esta parte empleamos el Teorema II.
Por lo mostrado en c), es límite
inductivo estricto y dado que todos los son
cerrados en y
, se tiene que
es cerrado relativo en
.
Por tanto verifica las hipótesis del
Teorema lo cual nos garantiza la propiedad
mencionada. Una consecuencia inmediata de
esta propiedad es que este espacio tiene la
propiedad de Heine-Borel.
(e) , dotado de la topología , es
completo.
En esta parte empleamos el Teorema III.
Como cada es completo, verifica
las hipótesis del teorema lo cual nos garantiza la
propiedad mencionada.
(f) , dotado de la topología , es
barrelado.
En esta parte empleamos los Corolarios I y II.
Puesto que cada es espacio de Fréchet, del
Corolario I se concluye que son barrelados y por
Corolario II su límite inductivo lo es.
(g) , dotado de la topología , es
bornológico.
Esta propiedad se verifica por el Teorema VI y
el Corolario III.
Por el Teorema VI cada es bornológico y
del corolario III el límite inductivo también es
bornológico.
Dado este resultado y del Teorema VIII, una
propiedad importante que vale la pena destacar,
es que el estudio de la continuidad en el espacio
de distribuciones se puede hacer a través de
sucesiones o conjuntos acotados.
(h) , dotado de la topología , es
Mackey.
Por lo mostrado en f) o en g), del Teorema IX se
concluye que cada es Mackey y del
corolario IV el límite inductivo es
Mackey.
4. EL ESPACIO DE LAS
DISTRIBUCIONES
Al espacio dual de , provisto de la
topología , se lo conoce como el espacio de
distribuciones y es denotado por .
5. CONCLUSIONES
1. Por la construcción particular de ,
resulta que la topología límite inductiva
definida sobre este espacio es Hausdorff,
completa, barrelada, bornológica y Mackey.
2. Se define el espacio de las distribuciones o
de las "funciones generalizadas", como el
dual topológico de , el cual con las
características antes mencionadas, se aplica
en el Análisis, la Física y otras ramas de la
ingeniería.
3. Toda la teoría del Análisis que sustenta la
construcción del espacio de las
distribuciones, puede ser utilizada para el
estudio de este espacio, así como para la
construcción de otros espacios con
determinadas características.
ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES
90
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]. W. Rudin; Análisis Funcional;
Editorial Reverté S.A.; España 2002.
[2]. H. H. Schaefer; Espacios Vectoriales
Topológicos; Springer-Verlag; New
York 1980.
[3]. C. Swartz; Functional Analysis
Introduction; Marcel Dekker, Inc; USA
1992.
1. ACERCA DEL FORMATO DE LOS
ARTÍCULOS
Quienes presenten trabajos para publicación
en la revista deberán regirse por las
siguientes disposiciones:
El trabajo será escrito en castellano
Contendrá un RESUMEN y
ABSTRACT que se presentará al
comienzo del mismo, con no más de 100
palabras. Este resumen será conciso,
impersonal e incluirá de manera sucinta
los resultados y conclusiones de la
investigación, luego de lo cual se
presentará una lista de no más de cinco
PALABRAS CLAVES utilizadas en el
artículo, facilitando de esta manera la
indexación.
A continuación, irá la primera sección del
trabajo denominada INTRODUCCIÓN,
las restantes secciones las titulará el autor
de acuerdo a las características del
trabajo.
La sección final se denominará
CONCLUSIONES y en la misma se
discutirán los resultados a los que haya
llegado el autor.
La sección REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS será numerada y
contendrá a más del nombre del autor(es)
del artículo o texto, la fecha y lugar de
publicación. Se exhorta incluir como
referencias las publicaciones esenciales,
esto es, las que realmente sirven de
sustento al investigador en su trabajo.
2. GENERALIDADES
Los manuscritos para publicación en la
revista serán enviados al editor de la revista
en un CD o vía electrónica, escritos en el
procesador de palabras WORD O LATEX.
Se entregarán además cuatro copias en
papel A4; la longitud del artículo no
excederá las diez páginas, será escrito a
espacio simple, en doble columna, letra
Times New Roman, tamaño 10 para el texto
principal y tamaño 8 para el resumen, las
palabras claves y las referencias
bibliográficas. Los gráficos, tablas y fotos
serán numerados de manera consecutiva en
su parte superior, utilizando números
arábigos y respectivamente rotulados. Los
márgenes superiores, inferiores, derecho e
izquierdo serán de 2.5 cm, 2.5 cm, 2 y 3.5
cm respectivamente.
Las secciones y subsecciones serán
debidamente numeradas en forma
consecutiva. Las secciones se rotularán
centradas en mayúsculas, mientras que las
subsecciones estarán alineadas a la
derecha.
No habrá espacios entre párrafos, cada uno
iniciará con una sangría de 2 espacios.
Las copias enviadas al editor no serán
devueltas pero sí tres separatas luego de
publicado el artículo. Si el trabajo es
publicado en la revista, el mismo no podrá
ser reproducido total o parcialmente sin el
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Matemáticas de la Facultad de Ciencias
Naturales y Matemáticas.
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Información:
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Teléfonos: 042 269525 – 042 269542
Mat. Eduardo Rivadeneira Molina,
Director de Publicaciones del FCNM.
(e-mail: [email protected] )
Correo de la Revista Matemática
matemática UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL
Abril 2016 Volumen 14 Número 1
UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL
CONTENIDO EDITORIAL........................................................................................................ 5 REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS
Cabezas Xavier, García Sergio, Delgado Erwin….............................. 7 CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE UN AEROPUERTO
Cabezas Xavier, Delgado Erwin, Noboa Dalton……………............. 21 SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES
Caraguay Washington, García Cecilia.……………………...…….. 26 ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)
Cascante Roberto, Martín Carlos...……….............................................. 34 EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
Rodríguez Ojeda Luis….…...……………..…………........................... 49 MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO
Rodríguez Ojeda Luis.……...……………..…………........................... 60 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE
Sánchez Hernando………………………..…………........................... 66 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE
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Solís Soraya……………………………………………..................... 85