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ISSN: 0716-7334

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEINSTITUTO DE ECONOMIA

Oficina de PublicacionesCasilla 76, Correo 17, Santiago

VALORIZACION DE DERIVADOS

Viviana Fernández M*

Trabajo Docente Nº 64

Abril, 1999

* Profesor Instituto de Economía, Pontificia Universidad Católica de Chile. E-mail:[email protected]. Agradezco el financiamiento de este proyecto por parte de laVicerrectoría Académica de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Los valiosos comentariosde Julio Galvez y demás participantes del seminario realizado en “Termas del Corazón” en enerode 1999 han permitido mejorar una versión anterior de este documento docente. Cualquier error uomisión es de mi exclusiva responsabilidad.

INDICE

Capítulo 1: Conceptos Básicos sobre Opciones, Forwards y Futuros 1

1. Introducción 12. Tipos de Derivados 13. Futuros y Forwards 84. Restricciones Básicas de No Arbitraje

para el Precio de Opciones 165. Ejercicio Optimo de Opciones Americanas 27Referencias 31Ejercicios Propuestos 31

Capítulo 2: El Modelo Binomial de Valoración de Opciones 35

1. Introducción 352. Portafolio Réplica de una Opción 353. Fórmula Binomial General 374. Réplica Dinámica 435. Ejemplos del Uso del Arbol Binomial 456. ¿Es el Modelo Binomial Razonable? 467. La Fórmula de Black-Scholes 498. Extensiones de la Fórmula de Black-Scholes 55Apéndice: Conceptos Básicos sobre Procesos Wienery el Lema de Ito 59Referencias 70Ejercicios Propuestos 71

Capítulo 3: Cobertura de Riesgo de Opciones 75

1. Introducción 752. Posiciones Cubiertas y Descubiertas 753. La Estrategia de Comprar y Vender 764. Técnicas de Cobertura de Riesgo Más Elaboradas 785. Derivadas Parciales de Otros Derivados:

Futuros y Forwards 866. Cobertura de Riesgo 87Referencias 93Ejercicios Propuestos 95

Capítulo 4: Valorización de Instrumentos FinancierosCorporativos con Teoría de Opciones 97

1. Introducción 972. Bonos Simples y Patrimonio 973. Warrants 1024. Bonos Rescatables 109

5. Bonos Convertibles No Rescatables con Opciónde Conversión Europea 110

6. Bonos Convertibles No Rescatables con Opciónde Conversión Americana 112

7. Bonos Rescatables Convertibles 113Referencias 115Ejercicios Propuestos 116

Capítulo 5: Swaps, Derivados en Instrumentos de Renta Fijay Estructura de Tasas de Interés 119

1.- Introducción 1192. Swaps en Tasas de Interés: Swap Vainilla Simple 1193. Valorización y Hedging de Swaps en Tasas de Interés 1214. Swaps en Moneda Extranjera 1245. Swaptions 1296. Opciones en Tasas de Interés 1297. Introducción a los Derivados en Instrumentosde Renta Fija y Estructura de Tasas de Interés 130Referencias 140Ejercicios Propuestos 141

Capítulo 6: Opciones Reales 145

1. Introducción 1452. Limitaciones de la Regla del Valor Presente Neto 1453. Analogía entre una Opción de Inversión y

una Opción Financiera 1484. Uso del Instrumental de la Teoría de Opciones

para Evaluar un Proyecto de Inversión 1485. Uso de Cálculo Estocástico para Modelar

Opciones Reales 156Referencias 166Ejercicios Propuestos 166

TRABAJO DOCENTE Nº 64 1

CAPITULO 1

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE OPCIONES, FORWARDS Y FUTUROS

1. INTRODUCCION

Un derivado es un instrumento financiero cuyo valor está enteramente basadoen el precio de uno o más activos subyacentes. En muchos casos, el activo subyacente estambién un instrumento financiero (por ejemplo, una acción o un bono). En los últimosaños, el estudio de los derivados se ha convertido en un tema de gran interés en el campode las finanzas. Un gran número de estudios, tanto teóricos como empíricos, se publicacada año en revistas líderes como “The Journal of Finance”, “The Journal of Financialand Quantitativa Analysis” y “The Journal of Derivatives”, entre otras . Tal interésacadémico se ha visto motivado tanto por los grandes volúmenes de contratos futuros yopciones transados en los principales mercados financieros mundiales, como por todasaquellas transacciones en contratos forward , swaps y opciones exóticas que tienen lugarfuera de las bolsas (mercados over-the-counter).

Dado que los flujos futuros del derivado son determinados por el precio futurodel activo subyacente, es posible obtener una relación entre los precios corrientes delderivado y del activo subyacente en base a argumentos de arbitraje. Dicha relación es amenudo independiente de factores tales como la aversión al riesgo de los agentes queparticipan en el mercado, y de ciertas características del activo subyacente.

El objetivo de este documento docente es dar una visión general de lavaloración de instrumentos derivados. Las secciones están estructuradas de manera tal dedar un buen marco teórico sin perder de vista la utilidad práctica del material presentado.A manera de complementar los ejemplos presentados en cada capítulo, se proporcionaun conjunto de ejercicios propuestos. Al final de cada capítulo, se presenta una lista dereferencias para aquellos lectores que deseen profundizar algunos de los temas aquípresentados.

2. TIPOS DE DERIVADOS

Contratos Forward

Un forward es un acuerdo entre dos partes para comprar (vender) un bien a unprecio preespecificado en una fecha determinada. Aquella parte que acuerda comprar elbien en el futuro tiene una posición “larga”. En tanto que aquella parte que acuerdavender el bien en el futuro tiene una posición “corta”.

Un contrato forward tiene las siguientes especificaciones:

-Cantidad y calidad del bien a ser entregado-Precio de entrega (K)

VALORIZACION DE DERIVADOS2

-Fecha de entrega (T)-Lugar de entrega

Un contrato forward , además, se caracteriza por el hecho de que el número netode contratos pendientes es siempre cero. Esto es, el número de posiciones largas igualael número de posiciones cortas. Los forward son además un juego de suma-cero: lasganancias del ganador son iguales a las pérdidas del perdedor.

Ejemplo: Uso de un contrato forward para cobertura de riesgo (hedging)

Un fabricante americano espera realizar ventas por un millón de marcosalemanes en Alemania en seis meses más. Su compañía desea protegerse del riesgoasociado con fluctuaciones en el tipo de cambio US$/DM. Los precios corrientes decontratos forward para marcos alemanes (DM) son los siguientes:

Fecha Spot 30 días 90 días 180 días

Precio foward (US$) 0,659 0,661 0,664 0,668

Para protegerse del riesgo cambiario, este fabricante entra en un contratoforward para vender 1 millón de DM a un precio de US$0,668 en 180 días más. Es decir,éste se compromete a convertir sus ganancias en DM a US$ al tipo de cambiopreestablecido.

Si S(T) representa el spot en el momento del vencimiento del contrato, laganancia o pérdida por unidad que experimenta el productor está dada por K-S(T). Estoes, la diferencia entre el tipo de cambio preestablecido y aquél vigente en el mercado enel momento del vencimiento del contrato. Gráficamente,

Figura 1: Ganancia/Pérdida Asociada a un Contrato Forward

S(T), spot en T

Ganancia/Pérdida

K

Posición larga

Posición corta


b) Futuros

Al igual que los forward , los futuros son acuerdos entre dos partes para comprar(vender) un bien a un precio preespecificado. Sin embargo, mientras que los forward songeneralmente acuerdos privados entre dos instituciones o una institución y un banco, losfuturos son acuerdos regulados y transados en la bolsa (por ejemplo, requerimientos deun margen para cubrir la posición tomada), estandarizados y modificados porfluctuaciones en el precio de mercado (marked-to-market). Los requerimientos demárgenes y el proceso de marked-to-market apuntan a minimizar el riesgo para la bolsa.Ejemplos de centros financieros donde se transa un gran volumen de futuros son el“Chicago Board Exchange” (CBOT), “Chicago Mercantile Exchange” (CME), “NewYork Merchantile Exchange” (NYMEX) de Estados Unidos y “London InternationalFinancial Futures Exchange” (LIFFE) del Reino Unido.

Los contratos estandarizados especifican:

-Cantidad y calidad del bien a ser entregado-Fecha de entrega1

-Lugar de entrega-Precio de entrega-Límites en el movimiento del precio

Tanto la posición compradora como la vendedora operan a través deintermediarios financieros, tales como agentes de la bolsa.

Ejemplo: Uso de los futuros para protegerse del riesgo de fluctuaciones cambiarias

Volvamos a nuestro ejemplo del productor americano. Supongamos que ésteentra en una posición corta en futuros en marcos alemanes para junio, los cuales setransan en el “International Money Market” (IMM)subsidiario del CME. Cadacontrato es un acuerdo para comprar 125.000 DMs. Por lo tanto, el productor necesitatomar una posición corta en 8 de ellos (esto es, se compromete a vender 1 millón deDMs).

Supongamos que los precios de los futuros en DMs están dados por:

Fecha Spot 30 días 90 días 180 días

Precio futuro (US$) 0,6597 0,6631 0,6676 0,6721

Márgenes y Liquidación Diaria (marking-to-market)

A fin de entrar en el contrato de futuros, la firma tiene que poner un margeninicial de aproximadamente:

1 La posición corta (esto es, el que vende) tiene usualmente un lapso de un mes en el cual puedehacer entrega del bien.


8 contratos x US$1.000/contrato=US$8.000 (monto fijado por el corredor de labolsa).

El margen de mantención es usualmente 75% del margen inicial, el cualasciende a US$6.000 en este caso.

El día cero, la firma vende el contrato en DMs para junio al precio deUS$0,668/DM. El día 1, el futuro en DM para junio fluctúa a US$0,669/DM. En dichocaso, al final del día la cuenta de la firma disminuiría en:

(0,669-0,6676)(US$/DM) x 1.000.000=US$1.400.

La firma tiene ahora una posición corta en ocho contratos de futuros al preciode US$0,669 DM, idénticos a otros contratos en DM para junio. Ello implica que elprecio original del futuro no es más un factor relevante en el valor de los contratos.

El margen de la firma es ahora US$6.600, el cual es más alto que el margen demantención. En caso contrario, la firma recibiría lo que se denomina un “aviso demargen (call margin): cuando el margen de la firma cae por debajo del de mantención, lafirma debe depositar en su cuenta la diferencia entre el margen de mantención(US$8.000 en este caso) y el margen prevaleciente en su cuenta.

Un escenario para los próximos días es el siguiente:

Fecha Precios futuro enDM, Junio

Gananciade la posición

Poner/sacarcuenta de margen

Saldo al finaldel día

Día 0 0,6676 US$/DM --- $8.000 $8.000Día 1 0,6690 US$/DM -US$1.400 --- $6.600Día 2 0,6700 US$/DM -US$1.000 $2.400 $8.000Día 3 0,6685 US$/DM US$1.500 --- $9.500

Este proceso de liquidación diaria continúa hasta que la firma cierra su posicióncorta al comprar ocho contratos en marcos (esto es, posición larga), o bien al entregar 1millón de marcos en la fecha de maduración del contrato al precio prevaleciente delfuturo (el cual coincidirá con el spot en dicho caso). Esto nos muestra que un futuro esfiniquitado y reescrito a un precio nuevo cada día.

El pago (ganancia/pérdida) de un futuro es “cercano” al de un forward . La únicadiferencia es que la ganancia o pérdida se materializa gradualmente, y no de una vezcomo en un contrato forward .

Opciones

Existen opciones tanto de compra como de venta. Una opción de compra o“call” da el derecho (pero no la obligación) a comprar un activo a un preciopreespecificado (precio de ejercicio o “strike”) en la fecha de expiración o antes. Unaopción de venta o “put” da el derecho (pero no la obligación) a vender un activo a unprecio preespecificado (precio de ejercicio o “strike”).


Es importante señalar que, a diferencia de los contratos forward y futuros, eldueño de la opción no está obligado a comprar o vender el activoes su opción. Estoimplica que la opción será ejercida sólo si proporciona un flujo de caja neto positivo a suposeedor.

Existen dos grandes grupos de opciones: las americanas y las europeas. Unaopción europea puede ser ejercida sólo en su fecha de vencimiento. Por contraste, unaopción americana puede ser ejercida en cualquier momento antes de su expiración.Todas las opciones sobre acciones que se transan en los principales mercados financierosmundiales son americanas. Por su parte, todas las opciones en índices accionarios soneuropeas, a excepción del S&P 100. Ejemplos de centros financieros donde se transanopciones son el CBOE, “Philadelphia Exchange” (PHLX), “American Stock Exchange”(AMEX), “Pacific Stock Exchange” (PSE) y el “New York Stock Exchange” (NYSE) deEstados Unidos.

Sea S el precio del activo subyacente sobre el cual la opción fue escrita y K elprecio de ejercicio de ella. Se dice que una call está “in-the-money”valdría algo encaso de ser ejercidasi S>K. Por contraste, se dice que una put está “in-the-money” siK>S. La siguiente tabla resume todos los casos posibles de S con respecto a K:

S<K S=K S>KCall Out-of-the-money At-the-money In-the.moneyPut In-the-money At-the-money Out-of-the-money

Cuando una opción está “out-of-money”, su dueño no la ejercerá puesto queperdería dinero. Cuando S=K, el poseedor de la opción está indiferente entre ejercerla ono.

Si una call es mantenida hasta su fecha de maduración (T), su valor está dado por:

C(T)=max(0, S(T)-K).

Si una put es mantenida hasta su fecha de maduración (T), su valor está dado por:

P(T)=max(0, K-S(T)),

Los diagramas de ganancias o pagos muestran el valor de la opción en la fechade maduración como función del precio del activo subyacente (esto es, una acción):


Figura 2Funciones de Pago de una Call y Put al Vencimiento (Posición Larga)

$

K

S(T)

$

S(T)

Pago de una call en T Pago de una put en T(posición larga) (posición larga)

También podemos obtener las funciones de pago al vencimiento de opcionesescritas (posiciones cortas). Como se puede ver, el pago de una opción escrita essimplemente el negativo del pago de una opción comprada (posición larga). Notemosque éste es siempre negativo en el momento del vencimiento.

Figura 3Funciones de Pago de una Call y Put al Vencimiento (Posición Corta)

S(T) S(T)

$ $

K

-K

K

Pago de una call escrita en T Pago de una put escrita en T


Para ver las ganancias totales debemos restar (sumar) el valor pagado (cobrado)por la opción en t, con t<T. Los gráficos de ganancias totales en T, momento deexpiración de la opción, se muestran en la figura 4 (por simplicidad, se ignora el valordel dinero en el tiempo).

Figura 4Ganancia de una Call y Put al Vencimiento (Posición Larga)

K

-c(t)

S(T)

K

K

-p(t)

S(T)

$ $

Ganancia de una call Ganancia de una put

Para un buen tratamiento de aspectos institucionales que rigen a lastransacciones en opciones, el lector puede referirse al libro de Hull (1997). Aquí sólo noslimitaremos a mencionar que las opciones sobre acciones no están protegidas contra laentrega de dividendos en dinero, pero sí son ajustadas por divisiones de acciones ydividendos en acciones. Esto quiere decir que, si se hace entrega de un dividendo endinero, el precio de ejercicio de la opción no es reducido en el monto del dividendo poracción. Sin embargo, cuando se produce una división en acciones de n por m –porejemplo, 3 acciones nuevas son emitidas para reemplazar cada acción existente—elprecio de ejercicio es reducido a m/n del precio anterior, y el número de accionesincluidas en el contrato aumenta en un factor de n/m.

No sólo existen opciones sobre acciones. Existen también opciones sobreíndices accionariosesto es, S&P 100, S&P 500, opciones sobre monedaextranjera por ejemplo, libra inglesa, yenes, opciones sobre contratos futuros –futuros en bonos del Tesoro Americano, futuros en commodities, tasas de interés.También se pueden encontrar opciones “over-the-counter”, las cuales no se transan enlos mercados financieros sino que son acuerdos entre instituciones financieras y/ocorporaciones. Estas son especialmente diseñadas para satisfacer las necesidades delcliente. El precio de ejercicio y vencimiento de dichas opciones no tienen quecorresponder con aquéllos del mercado. Ejemplos de este tipo de opciones son:“bermudiana”la opción es sólo ejercible en fechas preespecificadas durante su vidaútil, “asiática”el pago de la opción es definido en términos del valor promedio delactivo subyacente observado hasta la fecha de vencimiento, y “as-you-like-


it”después de un período preespecificado, el dueño de la opción puede escoger que laopción sea una call o una put.

Otros ejemplos de derivados son: LEAPS (longer-dated stock options)—opciones sobre acciones que expiran hasta dos años en el futuro, swaps –acuerdo entredos partes para intercambiar flujos de caja en el futuro bajo una fórmula preestablecida,swaptionsopciones sobre swaps, techos (caps) y pisos (floors) en tasa de interéslímites superior e inferior puesto a la tasa de interés en un préstamo , y collares(collars)una combinación de un techo y un piso en tasa de interés.

En las próximas dos secciones nos abocaremos a mirar en más detalle lavalorización de futuros y forward , y a estudiar ciertas restricciones que deben satisfacerlos precios de opciones.

3. FUTUROS Y FORWARDS

Definamos primero un concepto que utilizaremos a lo largo de estos apuntes.

3.1. Principio de No-Arbitraje

Arbitraje es una estrategia que no requiere dinero como input, pero que tieneuna probabilidad positiva de producir ganancias, sin riesgo de pérdida de dinero. Porejemplo, un portafolio con un precio de cero y con un ingreso estrictamente positivoconstituye un arbitraje.

El princip io de no-arbitraje establece que no hay oportunidades de arbitraje enlos mercados financieros. O, si existen, ellas no pueden persistir por mucho tiempo enmercados financieros eficientes. El principio de no-arbitraje implica que:

-Dos activos que generan el mismo flujo de ingresos deben tener el mismo precio.

-Si las reglas de arbitraje son violadas, entonces es posible tener ganancias libres deriesgo ilimitadamente.

3.2. Precios de Futuros y Forwards

Supongamos que estamos interesados en comprar una acción de la empresaABC, la cual se transa en $100 actualmente. Podemos comprar la acción en el mercadospot o comprometernos a comprarla en el futuro, por ejemplo en seis meses más.Supongamos que la tasa libre de riesgo anualizada (compuesta continuamente) es 4%.¿A cuánto debería transarse el precio del forward/futuro2 en dicha acción hoy día?

2 Como veremos más adelante, cuando las tasas de interés son determinísticasno necesariamenteconstantes—el precio de un futuro es igual al precio de un forward escrito sobre el mismo activosubyacente.


En equilibrio (ausencia de dividendos), el precio a ser pagado en el futuro debeser igual al valor futuro del precio corriente. Esto es,

(1) F(t, T) = S(t)e (T-t),

dondeS(t): precio de la acción,T: fecha de expiración del contrato,r: tasa de interés anualizada compuesta continuamente.

Claramente, cuando t=T, F(T)=S(T), es decir, el precio forward/futuro coincidecon el precio spot al momento del vencimiento del contrato.

Para el ejemplo que consideramos, F(t, T)=100 x e0,04x0,5=$102,02. ¿Por qué?Supongamos que el precio forward fuera $103 por acción. Esto querría decir que elcontrato forward está sobrevalorado. Por lo tanto, vendemos dicho contrato y obtenemosuna ganancia segura de $0,96 vía arbitraje:

Transacción Flujos de $ hoy día Flujos de $ en TVender un contrato forward 0 103-S(T)Comprar una acción -100 S(T)Pedir prestado VP(103) a la tasa libre de riesgo 100,96 -103Total 0,96 0

Claramente, el precio forward de $103 no es sostenible en el largo plazo porquese podrían obtener ganancias ilimitadas a través de las transacciones anteriores.

Análogamente, podemos demostrar que un precio inferior a $102,02 tampoco essostenible. Por lo tanto, debe ser el caso que F(t, T)=$102,02.

Si el activo subyacente paga un dividendo de un monto de $D en una fecha t1,donde t1<T, la fórmula anterior se transforma en:

(2) F(t, T) = [S(t)-VP(D(t1))] er(T-t),

donde VP(D(t1))≡D.exp-r(t1-t) representa el valor presente del dividendo a ser pagadoen t1. La relación (2) puede demostrarse también a través de argumentos de arbitraje.Supongamos que F(t, T)>[S(t)-VP(D(t1))]er(T-t). En este caso el contrato futuro estásobrevalorado, por lo tanto, debemos venderlo. Nos podemos asegurar una gananciamediante las siguientes transacciones:

Transacción Flujo de $ hoy Flujo de $ en t1 Flujo de $ en TVender 1 futuro 0 0 F-S(T)Comprar una acción -S(t) D S(T)Pedir prestado VP de D(t1) D e-r(t1-t) -D 0Pedir prestado VP de F(t, T) Fe-r(T-t) 0 -FTotal F.e-r(T-t)-S(t)-D.-r(t1-t)>0 0 0

Es importante resaltar que hemos asumido que no hay costos de transacción ycostos asociados con posiciones cortas, y que no existen restricciones crediticias. Es


suficiente que estas condiciones se cumplan para un sólo individuo para que se cumplanlas relaciones derivadas anteriormente.

En algunos casos, el dividendo es proporcional al precio del activo subyacente yes pagado continuamente (por ejemplo, futuros en índices accionarios). En dicho caso lafórmula (2) se transforma en:

(3) F(t, T) = [e-q(T-t)S(t)]er(T-t).

= S(t)e(r-q)(T-t).

Notemos que esta fórmula nos dice que estamos restando el dividendo entérminos continuos.

3.2.1. Algunos Casos Especiales de Futuros

a) Futuros en Moneda Extranjera

Valorar un futuro en moneda extranjera es similar a valorar un futuro que pagaun dividendo proporcional y continuo. Una unidad de moneda extranjera puedeconsiderarse como una acción cuya tasa de dividendo continuo es igual a la tasa deinterés extranjera. Por ejemplo, supongamos que el tipo de cambio dólar/marco esUS$0,67 por marco (DM). Las tasas de interés americana y alemana (anualizadas,compuestas continuamente) son rUS=4% y rDM=6%. ¿Cuál es el precio de un futuro enmarcos alemanes para un contrato a seis meses?

(4) F(t, T) = [S(t)e-rDM (T-t)] erUS(T-t)

=S(t)e (rUS-rDM) (T-t)

=0,67 x e-0,02x0,5

=US$0,663/DM.

El activo subyacente de un futuro dólar-marco a seis meses no es 1 marco sinoe-rDM (T-t) hoy día. La tasa de interés en marcos es tratada como una tasa de dividendocontinuo. Si esta relación no se da, existe una oportunidad de arbitraje. Dejamos lademostración como ejercicio.

b) Futuros en la Presencia de Costos y Beneficios de Mantención del ActivoSubyacente.

Consideremos el caso de futuros en commodities. Un costo de mantención(“cost of carry”) mayor aumenta el precio del futuro en relación al spot. Si conocemos elvalor presente del costo total de mantención del activo subyacente desde hoy hasta elvencimiento del contrato, podemos tratarlo como un dividendo negativo conocido, U. Esdecir,


(5) F(t, T)=[S(t)+U]e r(T-t).

El costo de mantención es a veces proporcional al precio del activo y es pagadocontinuamente. En ese caso, el costo de almacenaje puede tratarse como una tasa dedividendo negativo, u:

(6) F(t, T)=[S(t) eu (T-t)]e r(T-t)=S(t) e(r+u) (T-t).

La fórmula (6) nos dice que el precio del futuro debe aumentar con la madurezdel contrato a la tasa libre de riesgo más el costo de almacenaje.

En algunos casos existe un beneficio de mantener el activo subyacenteporejemplo, fines productivos. En dicho caso, el precio del futuro viene dado por:

(7) F(t, T)=S(t)e (r+u-y)(T-t) ,

donde y: tasa de conveniencia (“convenience yield”).

En el caso del cobre, por ejemplo, el precio del futuro aumenta con lamaduración del contrato (cifras al 2 de julio de 1998 para julio 1998-junio 1999). Esdecir, para dicho período, r+u>y. Para el oro, y=0.

c) Futuros en Bonos

Un futuro en un bono se puede considerar como un contrato futuro en unaacción que no paga dividendos. Por ejemplo, supongamos un contrato futuro a 4 meses(diciembre) escrito sobre un bono del gobierno que vence tres meses después delvencimiento del contrato futuro (marzo). El bono, sin cupones, paga $100 en elmomento del vencimiento. La tasa de interés libre de riesgo anualizada, compuestacontinuamente a 4 meses (agosto-diciembre) es de 4% y la tasa libre de riesgoanualizada, compuesta continuamente a 7 meses (agosto-marzo) es 5%. ¿Cuál es elprecio del futuro hoy día?

F(t, T) = S(t) e rt,T (T-t) = [100 x e-0,05x7/12]e0,04x4/12 = $98,42.

Futuros en Indices Accionarios

El caso de un futuro en un índice accionario es análogo a aquel de un futuro enun activo que paga continuamente un dividendo proporcional a su precio. Considere, porejemplo, un contrato futuro a 6 meses en el S&P (Standard and Poor) 500. Suponiendoque la tasa de dividendo, q, es 3 por ciento por año (anualizada, compuestacontinuamente), el índice está actualmente en 600 y la tasa libre de riesgo es de 4 porciento (anualizada, compuesta continuamente), ¿cuál es el precio corriente de uncontrato futuro?

En general, el activo subyacente es e-q (T-t) índices. ¿Por qué? Si compramos e-q

(T-t) índices hoy día, t, tendremos e-q (T-t) x e q (T-t) =1 índice en el momento de expiracióndel contrato, T. El costo de e-q (T-t) índices hoy día es $ S(t) e-q (T-t).


Para nuestro ejemplo en concreto, el precio del futuro en el índice hoy día es:

F(t, T) = [S(t) e-q (T-t)] e r (T-t)

= S(t) e (r-q)(T-t)

= $603.

3.3. Resumen de Precios Futuros/Forward .

Las fórmulas vistas anteriormente pueden resumirse como sigue:

a) Activos Financieros

(8) F(t, T) = v t e rt,T(T-t),

dondeF(t, T): precio del futuro/forward,rt,T : tasa de interés libre de riesgo efectiva entre t y T (compuesta continuamente),vt: cantidad de dinero necesaria en t para una estrategia que genera 1 unidad del

activo subyacente en T.

Activo subyacente vt

Acción (sin dividendos) StAcción (dividendo conocido) St-VP(D)Acción (tasa de dividendo conocida, q) e-q(T-t) StMoneda extranjera e-rex(T-t) StBono cero-cupón gobierno que paga $1 en T* e-rT,T*(T*-t)

b) Commodities

(9) F(t, T)=(S(t)+U)e(r+u-y)(T-t),

donde:

U: valor presente del costo de mantención entre t y T,r: tasa libre de riesgo entre t y T (anualizada, compuesta continuamente),u: costo de acarreo proporcional entre t y T,y: tasa de beneficio entre t y T.

Notemos que, en general, utilizamos U o u.


3.4. Relación entre los Precios de Futuros y Forwards.

Proposición. Si las tasas de interés son determinísticas, los precios de un contrato futuroy de un contrato forward escritos bajo las mismas condiciones son iguales.

Demostración

Consideremos el caso en que las tasas de interés son determinísticas y

constantes. Sea 0F y Fo los precios de un forward y de un futuro, respectivamente.

1. La ganancia (pérdida) en T de un forward que madura en T, como función del

activo subyacente, en el momento de maduración, TS~ , es TS~ - 0F (posición

larga3).

2. Construyamos un portafolio que tiene costo de cero en t=0 y que proporcioneuna ganancia (pérdida) en T de TS~ -F0 en T. Dado que un contrato forward

tiene un valor de cero en t=0 (iniciación), debe cumplirse que 0F = F0. De otra

forma uno podría arbitrar, como veremos más adelante.

3. Nuestra estrategia consiste en entrar en un cierto número de contratos futuroscada día y depositar la ganancia obtenida (o, pedir prestado si obtenemospérdidas) a la tasa libre de riesgo hasta la fecha de expiración del futuro, T.Escogemos el número de contratos de modo tal que la cantidad que tenemos enel banco en T depende sólo del precio del futuro en dicho día, y no delmomento en el cual la transacción tuvo lugar. Los flujos generados por estaestrategia son:

Día Nºcontratos

Precio Gananciadiaria

Factor devalor futuro

Ganancia(pérdida) en T

0 F0

1 e-r(T-1)

1F~

e-r(T-1)( 1F~

-F0)er(T-1)

1F~

-F0

2 e-r(T-2)

2F~

e-r(T-2)( 2F~

- 1F~

)er(T-2)

2F~

- 1F~

3 e-r(T-3)

3F~

e-r(T-3)( 3F~

- 2F~

)er(T-3)

3F~

- 2F~

.... .... .... .... .... ....T-1 e-r

1TF~

− e-r( 1TF~

− - 2TF~

− )er

1TF~

− - 2TF~

−T 1

TF~

TF~

- 1TF~

−1

TF~

- 1TF~

−Total

0T FF~

−

3 La demostración para una posición corta es análoga.


El número de contratos es aquel que debiera ser comprado al final del díaanterior (esto es, el día 1 indica el final del día cero). Dado que el tiempo es medido endías, la tasa de interés, r, deber ser diaria, compuesta continuamente.

La estrategia anterior rinde 0T0T FS~

FF~

−=− en T, dado que el precio futuro

coincide con el spot al momento de la expiración del contrato. Dado que el precio

forward es 0F - 0F~

, debe el caso que 0F~

=F0. De otra forma:

-si 0F >F0, llevamos a cabo la estrategia descrita en la tabla anterior y tomamos

una posición corta en un contrato forward para entrega en T. Esto nos proporciona una

ganancia libre de riesgo en T de ( TS~

-F0)-( TS~

- 0F )= 0F - F0 > 0. Análogamente,

-si 0F <F0, tomamos una posición larga en un forward para T combinada con

una posición corta en la estrategia descrita más arriba. En T obtenemos una ganancia

libre de riesgo de F0- 0F >0.

Por lo tanto, a fin de que exista un equilibrio, debe cumplirse que F0= 0F .

Observaciones a la Demostración

1.- Si la tasa de interés es determinística pero varía a través del tiempo, estademostración sigue siendo válida. Lo que cambia en dicho caso es el número decontratos y el factor de valor futuro.

2.- La existencia de costos de mantención o dividendos no afecta nuestrademostración puesto que el precio spot no es una variable relevante en lademostración.

3.5. Semejanzas y Diferencias entre los Contrato Forward y Futuros

En la sección anterior demostramos que, cuando las tasas de interés sondeterminísticas, el precio de un forward es igual al de un futuro (para el mismovencimiento y activo subyacente). Esto es, un contrato forward y un futuro tienen unvalor de cero para el mismo precio de entrega en el momento de la iniciación delcontrato.

La diferencia entre los dos tipos de contratos aparece después de la iniciación.El valor de mercado de ambos contratos fluctúa con el precio spot del activo subyacente.Un contrato forward es, sin embargo, menos sensible con respecto a fluctuaciones delprecio spot que un contrato futuro con el mismo vencimiento.


El valor de un contrato forward después de la iniciación puede ser calculadocomparando los siguientes portafolios:

-Tomar una posición larga en un forward con precio de ejercicio igual a K,

-Comprar una acción a St y pedir prestado Ke-r(T-t) hoy día, t.

Dado que ambos portafolios producen una ganancia (pérdida) de ST-K en T,deben tener el mismo costo en t. Esto significa que el valor de un forward en t es:

(10) tf =St- Ke-r(T-t) .

De la ecuación anterior, vemos que la sensibilidad de un contrato forward conrespecto al precio spot, St, está dado por:

(11)t

t

t

tSfˆ

Sfˆ

∂∂

≈∆∆

= 1

Es decir, por cada aumento (caída) de $1 en el precio spot del activosubyacente, el valor del forward aumenta (cae) en $1.

Con respecto al valor de un futuro después de la iniciación, debemos recordarque un contrato futuro es ajustado con las fluctuaciones de precios de mercado (marked-to-market) en una base diaria. Cada día el precio de entrega del contrato es el precio decierre del futuro al final del día anterior, Fd-1. Por lo tanto, si dentro de un día el preciodel futuro fluctúa a Ft, el valor corriente del contrato, ft, es igual a Ft-Fd-1 (posiciónlarga). Ello es así porque uno siempre puede liquidar el contrato vendiéndolo a Ft,recibiendo al final del día una ganancia (pérdida) neta de:

ft = (Fd-Fd-1)-(Fd-Ft)

=Ft-Fd-1

(12) =Ste r(T-t)-Fd-1,

donde (Fd-Fd-1) es la ganancia (pérdida) por el “marcado con el mercado” (marking-to-market) y (Fd-Ft) es la ganancia (pérdida) por concepto de cierre de la posición futura.Notemos que el valor del futuro en t, ft, no incluye ganancias (pérdidas) pasadas que hanocurrido al final del día anterior, d-1.

De la fórmula anterior, vemos que una variación ∆St en el precio spot hace queel valor del contrato futuro varíe en ∆Ft:

(13) 1)tT(eS

)eS(SF

SF

Sf r

t

)tT(rt

t

t

t

t

t

t >−=∂

∂=

∂∂

≈∆∆

=∆∆ −


En consecuencia, vemos que después de la iniciación del contrato, un futuro esmás volátil que un forward con el mismo vencimiento y escrito sobre el mismo activosubyacente.

Ejemplo

La acción de la empresa “XYZ” se transa en $100. (Se sabe que no se repartirándividendos en los próximos seis meses). La tasa de interés libre de riesgo anualizada,compuesta continuamente, es 4%. El precio corriente del futuro/forward a seis meses es$102,02. Si después de la iniciación del contrato, el precio de la acción aumenta en $1.¿Cuál es el valor de los contratos forward y futuro a seis meses?

Resp. De la fórmula (10), sabemos que el valor del contrato forward aumenta en $1, estoes, en ∆St. En el caso del futuro, en tanto, el valor del contrato aumenta en F(101; 0,5)-F(100; 0,5)=(101-102) e0,04x0,5=$1,02>$1.

4. RESTRICCIONES BÁSICAS DE NO ARBITRAJE PARA EL PRECIO DEOPCIONES

Obtener fórmulas exactas para el precio de una opción es más complejo quepara el caso de los contratos forward y futuros. En efecto, a fin de derivar una fórmulapara valorar una opción, necesitamos hacer supuestos sobre el comportamiento dinámicodel precio del activo subyacente. No obstante, es posible obtener algunas restriccionesque deben satisfacer los precios de opciones sin especificar un modelo para elmovimiento del precio del activo subyacente. En lo que sigue, supondremos que estamosfrente a una opción escrita sobre una acción.

4.1. Relación entre el Precio de una Opción y sus Fundamentos

Antes de derivar las restricciones de no arbitraje, es útil ver la relación queexiste entre los precios de opciones europeas y americanas y variables tales como elprecio de ejercicio de la opción, el precio del activo subyacente y su volatilidad, y lafecha de expiración de la opción.

Variable Call europea Put europea Call americana Put americanaPrecio de la acción ↑ ↓ ↑ ↓Precio de ejercicio ↓ ↑ ↓ ↑Fecha expiración ? ? ↑ ↑Volatilidad ↑ ↑ ↑ ↑Tasa libre de riesgo ↑ ↓ ↑ ↓Dividendos ↓ ↑ ↓ ↑

La tabla anterior resume la relación entre los precios de opciones europeas yamericanas y el precio de la acción, el precio de ejercicio de la opción, la fecha deexpiración, la volatilidad del precio de la acción, la tasa libre de riesgo y el reparto dedividendos. La flecha “↑” (“↓”) indica que existe una relación positiva (negativa) entre


ambas variables, manteniendo todo lo demás constante. El signo “?” indica que larelación es ambigua. Veamos en más detalle el por qué de cada signo.

(a) Precio de la acción y precio de ejercicio : Las opciones de compra son másvaliosas si el precio de la acción aumenta. Lo opuesto ocurre cuando el precio deejercicio aumenta. Las opciones de venta se comportan de manera inversa. Notemos queestas conclusiones son válidas tanto para opciones europeas como americanas.

(b) Fecha de expiración: Las calls y puts americanas son más valiosas a medida quela fecha de expiración aumenta. La razón es que el poseedor de una opción de vida máslarga tiene todas las oportunidades de ejercicio abiertas a un poseedor de una opción devida más corta y más. Las opciones europeas, en tanto, no necesariamente son másvaliosas si aumenta la fecha de maduración. La razón es que una opción europea sólopuede ser ejercida al momento de su vencimiento.

(c) Volatilidad: Esta es una medida de cuánta incertidumbre existe acerca de losmovimientos del precio futuro de la acción. A medida que la volatilidad aumenta, laprobabilidad de que el precio de la acción aumente o caiga crece. El dueño de una call sebeneficia de un aumento en precios, pero tiene un riesgo limitado en el evento que elprecio de la acción caiga mucho. La razón es que tiene siempre tiene la opción de noejercer. Análogamente, el dueño de una put se beneficia de disminuciones del precio dela acción y tiene también un riesgo limitado en caso que el precio de la acción aumentemucho. Por lo tanto, los dueños de calls y puts –americanas y europeas se venbeneficiados con aumentos en la volatilidad del activo subyacente.

(d) Tasa libre de riesgo: Al aumentar la tasa de interés, el valor presente decualquier flujo de dinero cae. Por otra parte, aumentos en la tasa de interés hacen quesuba la tasa de crecimiento del precio de la acción (mundo neutral al riesgo). Esto últimofavorece al dueño de una call, pero perjudica al dueño de una put. El efecto total de unincremento de la tasa de interés es claro para una put: su precio cae. En el caso de unacall, existen dos fuerzas contrapuestas. Se puede demostrar, sin embargo, que el efectosobre el precio de ejercicio es superado por al efecto crecimiento. Por lo tanto, el preciode una call aumenta frente a incrementos en la tasa de interés.

(e) Dividendos: Estos disminuyen el precio de la acción en la fecha de entrega dedividendos. Por lo tanto, el precio de una call está negativamente correlacionada con eltamaño de cualquier dividendo anticipado. Lo opuesto se da para una put.

4.2. Restricciones Básicas de Arbitraje

Sea:

-Fecha corriente : t-Fecha vencimiento opción : T-Precio corriente activo subyacente : S(t)-Precio corriente de un bono con : B(t, T)=e-r(T-t)

valor cara de $1 que vence en T-Precio de ejercicio opción : K


-Precio de una call europea : c(S, K, t, T)-Precio de una call americana : C(S, K, t, T)-Precio de una put europea : p(S, K, t, T)-Precio de una put americana : P(S, K, t, T)

Las siguientes restricciones deben satisfacerse, independientemente de que laacción pague dividendos o no:

Una call nunca puede valer más que la acción y una put nunca puede valer más que elprecio de ejercicio. Esto es,

(14) C(S, K, t, T)≤S(t) c(S, K, t, T)≤S(t),

(15) P(S, K, t, T) ≤K p(S, K, t, T) ≤K.

Intuitivamente, si C(.)>S(t), podemos escribir la call y comprar la acciónrealizando una ganancia libre de riesgo. Por otra parte, si P(S, K, t, T)>K, vendemos laput y prestamos $K realizando una ganancia libre de riesgo.

El precio de una put europea no puede exceder el valor presente del precio de ejercicio:

(16) p(S, K, t, T) ≤Ke-r(T-t)<K

Intuitivamente, esta condición debe cumplirse porque en T el precio de una puteuropea no puede exceder K.

Las opciones no pueden tener un valor negativo:

(17) C(S, K, t, T)≥0 c(S, K, t, T)≥0

(18) P(S, K, t, T) )≥0 p(S, K, t, T)≥0,

de lo contrario, uno podría realizar una ganancia libre de riesgo.

Las opciones americanas son tan valiosas como las opciones europeas:

(19) C(S, K, t, T)≥c(S, K, t, T),

(20) P(S, K, t, T)≥p(S, K, t, T).

La razón es que existen mayores oportunidades de ejercicio para las opcionesamericanas.

Las opciones americanas, con una fecha de expiración mayor que otras, son almenos tan valiosas. Para T2>T1,

(21) C(S, K, t, T2)≥C(S, K, t, T1),


(22) P(S, K, t, T2)≥P(S, K, t, T1).

El precio de una opción americana es mayor o igual a su valor de ejercicio (estoes, lo que obtendríamos si ejerciéramos hoy la opción).

(23) C(S, K, t, T)≥max(S(t)-K, 0),

(24) P(S, K, t, T)≥max(K-S(t), 0).

Si, por ejemplo, C<S(t)-K, compraríamos la opción y la ejerceríamosinmediatamente para capturar su valor intrínseco, S(t)-K.

4.3. Restricciones de Arbitraje Adicionales para Opciones en Acciones que noPagan Dividendos

(a) Para una acción que no paga dividendos, se tiene que:

(25) C(S, K, t, T)≥c(S, K, t, T)≥max(S(t)-KB(t, T), 0)

Notemos que esta condición es más fuerte que (f) de arriba. Para demostrar esteresultado, basta con probar que c(S, K, t, T)≥max(S(t)-KB(t, T), 0).

Supongamos que c<S-KB. En tal caso, podemos arbitrar porque la opción estasubvalorada. Si realizamos las siguientes transacciones, podemos obtener una ganancialibre de riesgo:

Transacción Flujo en t Flujo en TComprar 1 call -c max(0, S(T)-K))Adquirir una posición corta en 1 acción S(t) -S(T)Prestar el valor presente de K -KB KTotal S-KB-c>0 Max(S(T)-K, 0)-(S(T)-K) ≥0

Esta no es una situación de equilibrio. Por lo tanto, c(S, K, t, T)≥max(S-KB, 0) .

(b) Para puts en acciones que no pagan dividendos un argumento de arbitrajesimilar al anterior muestra que:

(26) P(S, K, t, T)≥p(S, K, t, T)≥max(KB(t, T)-S(t), 0).

(c) Combinando estas reglas, tenemos que el precio de una call europea escritasobre una acción que no paga dividendos tiene las siguientes cotas:

(27) max(S(t)-KB(t, T), 0) ≤c(S, K, t, T)≤S(t).


(d) Análogamente, el precio de una put europea escrita sobre una acción que nopaga dividendos tiene las siguientes cotas:

(28) max(KB(t, T)-S(t), 0) ≤p(S, K, t, T)≤KB(t, T).

(e) Para opciones europeas en acciones que no pagan dividendos tenemos lallamada paridad put-call:

(29) S(t)=c(S, K, t, T)- p(S, K, t, T)+KB(T, t)

La intuición de este resultado es que un portafolio de bonos y opciones que valelo mismo que la acción en T debe costar lo mismo que ésta en t. En verdad, en Tsabemos que c-p+K=max(S(T)-K, 0)-max(K-S(T), 0)+K=S(T). De lo anterior,deducimos que podemos formar una posición sintética en una acción adquiriendo unaposición larga en una call, una posición corta en una put más un depósito de $KB(T,t).

En el caso de opciones americanas , tenemos la siguiente paridad put-call:

(30) S(t)-K≤ C(S, K, t, T)- P(S, K, t, T ≤S(t)-KB(t, T)

Dado que las opciones americanas pueden ser ejercidas antes de suvencimiento, es interesante probar (30). Al igual que en demostraciones anteriores,podemos proceder por la vía de la contradicción. Supongamos primero que C-P>S-KB.En dicho caso, podemos realizar las siguientes transacciones para asegurarnos unaganancia libre de riesgo hoy día:

Transacción Flujo inicial (t) Flujo final (T)S(T)≤K S(T)>K

Escribir 1 call C 0 -(S(T)-K)Comprar una put -P K-S(T) 0Comprar una acción -S S(T) S(T)Pedir prestado KB KB -K -KTotal C-P-(S-KB)>0 0 0

Por lo tanto, debe ser el caso que C-P<S-KB hoy día. ¿Qué pasa si la call americana queemitimos es ejercida antes de su vencimiento? Sea t´ la fecha en que la call es ejercida,con t<t´<T. Podemos llevar a cabo las siguientes transacciones:

Transacción FlujoCall ejercida -S(t´)+KVender la acción S(t´)Pagar el préstamo -Ke-r(T-t)er(t´-t)=-Ke-r(T-t )

Total K(1-e-r(T-t ))≥0

Potenciales beneficios: -mantener la put.


Supongamos ahora que C-P<S-K. En dicho caso, podemos arbitrar realizandolas siguientes transacciones:

Transacción Flujo inicial (t) Flujo final (T)S(T)≤K S(T)>K

Comprar 1 call -C 0 S(T)-KEscribir una put P -(K-S(T)) 0Vender una acción S -S(T) -S(T)Prestar K -K Ker(T-t) Ker(T-t)

Total S-K-(C-P)>0 K(er(T-t)–1)≥0 K(er(T-t)–1)≥0

Nuevamente, esta no es una situación de equilibrio. En consecuencia, C-P≥S-K.Si la put que escribimos es ejercida antes de su vencimiento, podemos cerrar nuestraposición corta en la acción y recuperar el préstamo a fin de tener una ganancia mayor oigual a cero. Podemos obtener una ganancia adicional por concepto de la posición largaen la call.

4.4. Efecto de la Inclusión de Dividendos

En caso de que la acción pague un dividendo conocido (o una tasa de dividendoconocido), las cotas para opciones descritas arriba se ven modificadas de la siguienteforma:

(31) C(S, K, t, T)≥c(S, K, t, T)≥max(S(t)-VP(D)-KB(t, T), 0)

(32) P(S, K, t, T)≥p(S, K, t, T)≥max(KB(t, T)-S(t)+VP(D), 0),

donde VP(D) denota el valor presente de los dividendos.

Las dos desigualdades anteriores nos dicen que el activo subyacente relevanteahora es la acción, menos el valor presente de los dividendos.

En el caso de la paridad put-call para opciones europeas sobre una acción, éstase transforma en:

(33) S(t)=c(S, K, t, T)- p(S, K, t, T)+KB(T, t)+VP(D).

Si la acción paga una tasa de dividendo conocido, q, la paridad put-call paraopciones europeas es:

(34) S(t)e-q(T-t)= c(S, K, t, T)- p(S, K, t, T)+KB(T, t).

Por último, en el caso de opciones americanas sobre una acción que pagadividendos tenemos la siguiente paridad put-call:

(35) S(t)-VP(D)-K≤ C(S, K, t, T)- P(S, K, t, T) ≤S(t)-KB(t, T)


4.5. Restricciones de Pendiente y Convexidad para Opciones

En esta sección, derivamos restricciones de no-arbitraje para la relación entrelos precios de opciones que tienen distintos precios de ejercicio (todo lo demásconstante). Específicamente, pondremos restricciones a cuán rápido puede cambiar elprecio de la opción con el precio de ejercicio (restricción de pendiente), y cuán rápidopuede cambiar esta pendiente con el precio de ejercicio (restricción de convexidad).

Generalmente, las personas que transan opciones describen sus transacciones entérminos de posiciones compuestas en vez de opciones individuales. Estascombinaciones son apuestas específicas de cómo fluctuarán los precios de mercado.Nosotros usaremos algunas de estas posiciones para derivar las restricciones dependiente y convexidad que deben satisfacer las opciones de compra y venta.

4.5.1. Restricciones de Pendiente

Para analizar las restricciones de pendiente, utilizamos los llamados spreadsverticales. Un spread es una estrategia que combina opciones del mismo tipo pero condiferentes precios de ejercicio (spread vertical), o con distintas fechas de vencimiento(spread horizontal).

(a) Spread Vertical con Puts con Expectativas a la Caída en Precios

Supongamos que tenemos un portafolio compuesto por una posición larga en una puteuropea con precio de ejercicio K2 y una posición corta en una put europea con precio deejercicio igual a K1, con K2>K1.

Miremos los pagos que obtendríamos en T de acuerdo a las fluctuaciones en el precio demercado del activo subyacente:

Precio acción Pago posición corta Pago posición larga TotalS(T)≤K1 -(K1-S(T)) K2-S(T) K2-K1

K1<S(T)<K2 0 K2-S(T) K2-S(T)S(T)≥K2 0 0 0

Dada que el pago es mayor o igual a cero para todos los precios posibles de laacción en T, el valor de esta posición debe ser mayor o igual a cero en todo momento deltiempo. En particular, en t:

p(K1, S(t))-p(K2, S(t))≥0.


Gráficamente,

Pago total en T

S(T)

K2-K1

K2

Esto implica que el precio de una put europea debe aumentar con el precio deejercicio, todo lo demás constante4.Spread Vertical con Puts con Expectativas al Alza en Precios más un Bono con ValorCara K2-K1

Supongamos que tenemos un portafolio compuesto por una posición larga enuna put europea con precio de ejercicio K1 , una posición corta en una put europea conprecio de ejercicio igual a K2, y un bono con valor cara de K2-K1 (con K2>K1). Losflujos proporcionados por este portafolio en T están dados por:

Precio de la acción Pago posición corta Pago posición larga Pago bono TotalS(T)<K1 -(K2-S(T)) K1-S(T) K2-K1 0

K1≤S(T)<K2 -(K2-S(T)) 0 K2-K1 S(T)-K1

S(T)≥K2 0 0 K2-K1 K2-K1

Gráficamente,Pago total en T

S(T)

K2-K1

K2

4 Notemos que sólo se considera los pagos asociados con cada posición sin tomar en cuenta losingresos y costos asociados con las posiciones cortas y largas al momento de la formación delportafolio. Es decir, no consideramos las ganancias netas generadas por el portafolio.


Esta estrategia siempre proporciona un pago mayor o igual a cero en T. Por lotanto, a fin de evitar arbitraje, en t el valor de esta posición también debe ser mayor oigual a cero:

p(K1)-p(K2)+(K2-K1)B≥0,

con B≡e-r(T-t)

Combinando esta condición y la de arriba, tenemos que:

BKK

)K(p)K(p0

12

12 ≤−−

≤

Para cambios pequeños en K, esto se reduce a:

(36) BKP0 ≤

∂∂≤

En el caso de puts americanas, tenemos que tomar en cuenta que nuestrasposiciones cortas pueden ser ejercidas antes del vencimiento. Si esto sucede, tendremosque cerrar nuestra posición y, por lo tanto, no podremos ganar intereses sobre el preciode ejercicio. En consecuencia, para puts americanas la condición (37) se transforma en:

(37) 1KP0 ≤

∂∂≤

(c) Spread Vertical con Calls con Expectativas a la Baja en Precios

Si formamos un portafolio compuesto de una posición larga en una call europeacon precio de ejercicio de K2 y una posición corta en una call europea con precio deejercicio de K1, con K2>K1, concluimos que esta posición siempre genera un pago menoro igual a cero en T:

Precio acción Pago posición corta Pago posición larga TotalS(T)≤K1 0 0 0

K1<S(T)<K2 0 -(S(T)-K1) -(S(T)-K1)S(T)≥K2 S(T)-K2 -(S(T)-K1) -(K2-K1)

Ello implica que para cualquier t,

c(K2)-c(K1)≤0.


(d) Spread Vertical con Calls con Expectativas a la Baja de Precio más un Bonocon Valor Cara de K2-K1

Supongamos que tenemos un portafolio compuesto por una posición larga enuna call europea con precio de ejercicio K2 , una posición corta en una call europea conprecio de ejercicio igual a K1, y un bono con valor cara de K2-K1 (con K2>K1). Losflujos proporcionados por este portafolio en T están dados por:

Precio de la acción Pago posicióncorta

Pago posiciónlarga

Pago bono Total

S(T)<K1 0 0 K2-K1 K2-K1

K1≤S(T)<K2 0 -(S(T)-K1) K2-K1 -(S(T)-K2)S(T)≥K2 S(T)-K2 -(S(T)-K1) K2-K1 0


c(K2)-c(K1)+(K2-K1)B≥0,

Combinando esta condición y la de arriba, tenemos que:

0KK

)K(c)K(cB

12

12 ≤−−

≤−

Para cambios pequeños en K, esto se reduce a:

(38) 0KcB ≤

∂∂≤−

4.5. 2. Restricciones de Convexidad

Aquí desarrollamos una restricción de segunda derivada mirando a un spreadmás complicado que involucra tres opciones. Esta estrategia se denomina spread demariposa (butterfly spread). A diferencia de los spreads analizados anteriormente, unspread de mariposa no es una apuesta a la dirección del movimiento del precio de laacción sino que a su volatilidad.

Consideremos un spread de mariposa con calls que consiste de una posiciónlarga en una call con precio de ejercicio de K1 y una call con precio de ejercicio de K3,más una posición corta en dos calls con precio de ejercicio de K2. Para este caso, y losque siguen, K1<K2<K3 con K2=(K1+K3)/2. En T esta posición generará los siguientespagos:


Precio de la acción Pago call (K1) Pago calls (K2) Pago call (K3) TotalS(T)≤K1 0 0 0 0

K1<S(T)<K2 S(T)-K1 0 0 S(T)-K1

K2<S(T)≤K3 S(T)-K1 -2(S(T)-K2) 0 -S(T)+K3

S(T)>K3 S(T)-K1 -2(S(T)-K2) S(T)-K3 2K2-K1-K3=0

Gráficamente,

K2-K1

K2 K3K2

Pagototalen T

S(T)


c(K1)-2c(K2)+c(K3)≥0.

De lo anterior,

0KK

)K(c)K(cKK

)K(c)K(c

12

12

23

23 ≥−−

−−−

Para cambios pequeños en K,

(39) 0K

c2

2≥

∂

∂

Es decir, el precio de una call europea es convexo en K.

El pago en T de un spread de mariposa con put europeas es idéntico a aquél deun spread de mariposa con calls (lo dejamos como ejercicio):

c(K1)-2c(K2)+c(K3)=p(K1)-2p(K2)+p(K3)≥0.

Esto implica que:


(40) 0K

p

K

c2

2

2

2≥

∂

∂=

∂

∂

Otra forma de llegar a este resultado es a través de la paridad put-call paraopciones europeas.

La relación en (40) es también válida para opciones americanas. Losargumentos de arbitraje son los mismos, excepto que debemos considerar que lasopciones escritas por uno pueden ser ejercidas antes del vencimiento. En dicho caso, unodebe liquidar el resto de su posición para no incurrir en pérdidas.

Por último, es importante señalar que las restricciones de pendiente yconvexidad son válidas independiente de que las opciones estén escritas sobre accionesque pagan dividendos o no. La razón es que los portafolios formadosspreadhorizontales y spread de mariposas—no contienen posiciones largas o cortas en unaacción.

5. EJERCICIO OPTIMO DE OPCIONES AMERICANAS

En esta sección derivamos reglas para encontrar el momento óptimo deejercicio de una opción americana. Veremos que, en la ausencia de dividendos, nunca esóptimo ejercer una call americana antes de su vencimiento. En el caso de una putamericana, en la ausencia de dividendos, puede ser óptimo ejercer la opción si el valorpresente de los intereses ganados sobre el precio de ejercicio supera al valor del derechoa no ejercer la opción (seguro proporcionado por la opción). Este último es pequeñocuando K>>S(t), es decir, cuando es altamente probable que la put sea ejercida.

En la presencia de dividendos, ejerceremos una call americana siempre ycuando el valor presente de los dividendos futuros sea menor que el interés perdidosobre el precio de ejercicio que debemos pagar. En el caso de una put, ésta será ejercidasi el interés ganado sobre el precio de ejercicio que nos deben pagar supera al valorpresente de los dividendos perdidos al hacer entrega de la acción.

Ejemplo

Tenemos una call americana en una acción de “XYZ” con K=$100 y tres mesespara su vencimiento, e “XYZ” se transa hoy día a $105. La tasa de interés anualizada,compuesta continuamente es 5%. ¿Deberíamos ejercer la opción hoy o esperar hasta suexpiración, sabiendo que “XYZ” no repartirá dividendos en los próximos tres meses?

Respuesta

A. Consideramos vender la opción. Sabemos que:

C(S, K, T, t)≥c(S, K, T, t)≥max(0, S-KB(T, t)), con B≡e-r(T-t)


Si ejercemos hoy, obtenemos S(t)-K. Por lo tanto, si la vendemos, obtenemos almenos $K(1-B) extra. En este caso, 100(1-e -3/12x.5)=$1.242 extra. ($6.242 en total)

B. ¿Qué pasa si no podemos venderla?

1. Estrategia A (hoy en t)

-Ejercerla, pagar K=100 y obtener una acción.

-Vender la acción en S(t)=105.

-Invertir S(t)-K=$5 por tres meses a la tasa libre de riesgo para obtener en T:

[S(t)-K]e3/12x.5=$5,06

2. Estrategia B: postergar el ejercicio hasta la maduración.

-Hoy en t:

-Vender la acción y obtener $105.

-Invertir este dinero a la tasa libre de riesgo por tres meses y obtener $106,32.

-Después de tres meses (T):

-Si S(T)>K, ejercer y pagar K-Si S(T)<K, no ejercer y comprar la acción por S(T).-Usar la acción para cubrir la posición corta tomada en t.

El pago total en T está dado por:

106,32-min(K, S(T))=106,32-min(100, S(T)),

cuya cota inferior es $6,32.

Notemos que si vendiéramos la opción a S-KB(T, t) hoy día e invirtiéramos eldinero a la tasa libre de riesgo, obtendríamos $6,32, lo mínimo que podríamos conseguirsi postergáramos el ejercicio de la opción.

Conclusión: Cuando la acción no paga dividendos, lo óptimo es NO ejercer la callamericana sobre dicha acción antes de su expiración.


5.1. Ejercicio Optimo de Calls y Puts Americanas

a) Calls:

1) Si ejercemos la call temprano, pagamos $K por la acción en vez de $K en elfuturo. Es decir, desperdiciamos el interés ganado sobre $K.

2) Al ejercer una call americana hoy día, pagamos $K por una acción que hoy valeS(t)>K, pero que potencialmente podría valer menos en el futuro. El preciocorriente de la acción refleja todas las posibilidades de precios futuros altos ybajos. Es decir, al retrasar el ejercicio de la opción preservamos el derecho a noejercer.

3) Sin embargo, al ejercer la call hoy día (t) en vez de en t´, tenemos la acciónentre t y t´ Si se pagan dividendos en dicho período, los recolectamos.

En resumen, si ejercemos la call americana hoy:

-Ganamos el valor presente (VP) de todos los dividendos pagados entre t y t´.

-Perdemos el derecho a no ejercer y el interés sobre K entre t y t´, K-KB(t, t´).

Puts

1) Al ejercer la put hoy día, vendemos por $K una acción que vale S(t)<K, peroque podría valer más en el futuro. Si esperamos hasta el vencimiento delcontrato, vendemos sólo si S(T)<K. Por lo tanto, al postergar el ejercicio,preservamos el valor del derecho a no ejercer.

2) Sin embargo, al ejercer la put hoy día recibimos $K por la acción en vez de $Ken el futuro. Es decir, ganamos el interés sobre $K. Además, al ejercer la put ent en vez de en t´, perdemos cualquier dividendo entregado en dicho períodoporque ya no poseemos la acción.

En resumen, si ejercemos la put americana hoy:

-Ganamos el interés sobre $K, $K(1-B(t, t´)).

-Perdemos el valor del derecho a no ejercer y el VP de todos los dividendos pagadosentre t y t´.

De lo anterior, deducimos que:

Es óptimo ejercer una call en la fecha de maduración o justo antes de la entrega de undividendo.


Call

Tiempodividendo1 2

No es óptimo ejercer en 1, y siempre es óptimo ejercer en 2 ó en la fecha de maduración.La razón es que de otra forma perdemos el interés sobre K y el derecho a no ejercer yganamos el dividendo muy lejos en el tiempo, en caso de tener la acción.

2) Nunca es óptimo ejercer una put justo antes de la entrega de un dividendo.

Put

Tiempo2 dividendo 3

Si ejercemos la put en 2, perdemos el dividendo y el derecho a no ejercer laopción y ganamos sólo el interés entre 2 y 3 (pequeño). Por lo tanto, es mejor ejercer en3 que en 2.

En conclusión,

1. Usted ejercerá una call sólo si:

VP(dividendos futuros)>VP(interés en K)+valor del derecho a no ejercer.

Dado que el valor del derecho a no ejercer es siempre positivo, usted nunca ejercerá si seda que:

PV(dividendos futuros) < PV(interés sobre K)

Otra forma de llegar a la misma conclusión es mirando la siguiente igualdad:

C(S, t)-S(t)-K= K-KB(t´, t) + DNC(S, t) - VP(D(t´, t))

Pérdida neta si valor de K derecho a valor presenteejercemos en t en el tiempo no ejercer call dividendos

dados entre t y t´.

Por lo tanto, será óptimo ejercer la call en t, en vez de en t´, si el valor presentede los dividendos es suficientemente grande como para compensar la pérdida sufrida porel interés que dejamos de percibir sobre K, más el seguro proporcionado por la call(derecho a no ejercer). En particular, éste último será pequeño cuando S(t)>>K (esto es,


cuando la call esté deep in-the-money. Es decir, cuando es altamente probable que la callse ejerza.

2. Usted ejercerá una put sólo si:

PV(interés en K)> PV(dividendos futuros)+valor del derecho a no ejercer.

Dado que el valor del derecho a no ejercer es siempre positivo, usted nuncaejercerá si se da que:

PV(interés sobre K) < PV(dividendos futuros)

Análogamente, si miramos a la igualdad

P(S, t)-K-S(t)= -K-KB(t´, t) + DNP(S, t) + VP(D(t´, t))

Pérdida neta si valor de K derecho a valor presenteejercemos en t en el tiempo no ejercer la put dividendos

dados entre t y t´,

vemos que ocurra el ejercicio temprano de una put americana es probable cuando, tantoel valor presente de los dividendos como el derecho a no ejercerla sean pequeños enrelación a los intereses que podemos ganar sobre el precio de ejercicio, K.

Referencias

Bodie, Zvi, Alex Kane y Alan J. Marcus (1996), Investments. Tercera edición. IrwinSeries in Finance.

Constantinides, G. M. (1997), Financial Instruments, mimeo, University of Chicago.Notas de clase “Business 337”, Otoño.

Copeland, Thomas E.y J. Fred Weston (1992), Financial Theory and Corporate Policy.Tercera edición. Addison-Wesley Publishing Company

Figlewski, S., W. Silber y M. Subrahmanyam (1990), editores , Financial Options: FromTheory to Practice, McGraw Hill. Capítulo 4, 135-183.

Hull, John (1997), Options, Futures, and Other Derivatives. Tercera edición. Prentice-Hall, Inc.

Ejercicios Propuestos

1. Una compañía entra en un contrato de futuros en el extranjero para vender5.000 kilos de maíz a 200 centavos de dólar por kilo. El margen inicial es deUS$3.000 y el margen de mantención es de US$2.000. ¿Qué cambio en elprecio conduciría a una llamada de margen (margin call)?.


2. Considere un portafolio compuesto por dos opciones escritas sobre la mismaacción:

-Comprar una call europea con un precio de ejercicio igual a K;-Vender una put europea con un precio de ejercicio igual a K,

ambas opciones con la misma fecha de expiración, T.

(a) ¿Cuál es el pago de este portafolio en T (como función del precio de laacción en T)?(b) ¿Qué otro derivado tiene la misma clase de pago?

3.- Después de explicarle a unos de tus compañeros el argumento de arbitrajedetrás de la paridad de la tasa de interés, F(t,T)=S(t)e (rus-rf)(T-t), éste responde queesta relación no puede ser correcta: “Mira, esta relación implica que cuando lastasas de interés en Estados Unidos aumentan, el precio del futuro del yen vaaumentar. Esto, a su vez, quiere decir que el yen se va a apreciar en el futuro.Pero sabemos que un aumento en las tasas de interés de Estados Unidos deberíafortalecer el dólar relativo al yen. Esto no puede ser correcto”.

Brevemente, explica por qué el raciocinio de tu compañero es equivocado.

4.- La acción de “Intel” se está transando en US$100 por acción. La tasa libre deriesgo (anualizada, compuesta continuamente) es 5%. El mercado asume queIntel no pagará ningún dividendo dentro de los próximos tres meses.

(a) ¿Cuál debiera ser el precio forward para comprar una acción de “Intel” entres meses más?

(b) Supongamos que “Intel” repentinamente anuncia un dividendo de US$1 poracción en exactamente dos meses, y que el precio de mercado de la acción deIntel no cambia al darse dicho anuncio. ¿Cuál debe ser el nuevo precio de unforward a tres meses para la acción de “Intel”?

(c) Si después del anuncio del dividendo el precio del forward a tres meses nocambiara, ¿qué operación de arbitraje podría usted hacer?

5.- Usted trabaja para un banco de inversiones y dispone de las siguientes tasas:

Tipo de cambio spot Yen/Dollar 120,44 Y/US$Forward a 3 meses Yen/Dollar 119,09 Y/US$Tasa de interés libre de riesgo a un mes en US$ 5,50%Tasa de interés libre de riesgo a tres meses en US$ 6,00%

Asuma que no hay costos de transacción, y que usted puede comprar o vender adichas precios/tasas. Y además que las tasas de interés dadas arriba sonanualizadas y compuestas continuamente.


(a) ¿Cuál debe ser la tasa de interés en yenes a tres meses (anualizada ycompuesta continuamente) para que no exista arbitraje?

(b) Suponga que la tasa a tres meses en yenes, anualizada, compuestacontinuamente es un 1%. Describa exactamente qué transacciones podría llevara cabo a estos precios/tasas a fin de realizar una ganancia vía arbitraje.

6.- Supongamos que entramos en una posición larga en un contrato forward sobre unaacción que no paga dividendos cuando el precio de la acción es $50 y la tasa librede riesgo es 5% por año, compuesta continuamente.

(a) ¿Cuáles son el precio del forward y el valor inicial de dicho contrato?

b) Seis meses después de firmar el contrato forward, el precio de la acción es $55 yla tasa libre de riesgo sigue siendo 5%. ¿Cuál es el nuevo precio de mercado delforward para el mismo contrato (el cual ahora madurará en seis meses)? ¿Cuál esel nuevo valor del contrato forward firmado hace seis meses atrás?

7.- Supongamos que usted es el gerente y único dueño de una compañía altamenteendeudada. Toda la deuda vence en un año más. Si a esa fecha el valor de lacompañía es mayor que el valor cara de la deuda, usted pagará el total de la deuda.Si el valor de la compañía es menor que el valor cara de la deuda, usted se irá a laquiebra y los acreedores se quedarán con la compañía.

(a) Exprese esta posición como una opción en el valor de la compañía.

(b) Exprese la posición de los acreedores en términos de opciones en el valor de lacompañía.

(c) ¿Qué puede hacer usted para aumentar el valor de su posición?

8.- “ABC” se está transando en $90 por acción, y una call americana en “ABC” conprecio de ejercicio de $80 a 6 meses se está transando en $11. La tasa libre deriesgo es 8% (anualizada, compuesta continuamente). “ABC” va a dar undividendo en exactamente un mes y no va a hacer ningún otro pago en dividendosdentro de los próximos 6 meses. La cantidad en dinero del dividendo a ser pagadoen un mes es desconocida a la fecha, pero podría ubicarse entre $1 ó $5 por acción.(a) ¿Los precios de mercado dados arriba dan origen a una oportunidad dearbitraje?

(b) Si “ABC” anuncia que el dividendo por acción en un mes va a ser de $1 poracción y los precios no varían, ¿habría una oportunidad de arbitraje?

9.- Una put europea a dos meses en una acción que no paga dividendos se estávendiendo actualmente por $2. El precio de la acción es $47, el precio de ejercicioes $50, y la tasa libre de riesgo es 6% (anualizada, compuesta continuamente).

(a) ¿Qué oportunidades existen para un arbitrador?


(b) ¿Podrían los precios anteriores dar origen a arbitraje si la acción pagara undividendo de $2 por acción en un mes?

10.- Consideremos un forward con precio de entrega de K y maduración T en unaacción que paga una tasa de dividendo continuo de q. (Esto significa que en t laacción paga un dividendo q.St por unidad de tiempo).

(a) Use la paridad put-call para opciones sobre una acción que paga una tasa dedividendo continua para derivar la fórmula para el valor del contrato forward .(Hint: piense en el forward como un portafolio compuesto de calls y puts).

(b) Use la fórmula derivada en (a) para calcular el valor de mercado de un contratoforward para comprar 1 millón de marcos alemanes en 6 meses al tipo de cambiode US$0,65/marco. Asuma que las tasas de interés libre de riesgo en EstadosUnidos y Alemania son 5% y 7%, respectivamente (ambas anualizadas ycompuestas continuamente). El tipo de cambio dólar/marco es hoy díaUS$0,66/marco.

11.- Considere una call americana con un precio C, una put americana con precio P,ambas en la misma acción con un precio S, maduración en 2 meses y precio deejercicio de K. La acción paga un dividendo D en un mes más.

(a) Suponga que usted observa que el precio de la put es tal que P>C-S+K+PV(D).Explique cómo puede arbitrar. Preocúpese especialmente del hecho que lasopciones son americanas, y que las opciones que usted escriba pueden ser ejercidasracionalmente o irracionalmente (Hint: si la opción que usted escribió es ejercida,liquide el resto de su portafolio sin experimentar pérdidas).

(b) Después que usted ha formado la posición de arriba, suponga que la firmaanuncia que pospondrá por tres meses la fecha de entrega de dividendos. Asumaque este anuncio no conduce a una variación en el precio de la acción. ¿Estaráusted peor o mejor con este anuncio? Explique.


CAPITULO 2

EL MODELO BINOMIAL DE VALORACION DE OPCIONES

1.- INTRODUCCION

En este capítulo veremos como podemos crear opciones sintéticas por medio deportafolios réplica. Esta metodología no sólo hará posible valorar opciones por medio deargumentos de arbitraje, sino que también nos permitirá ilustrar cómo cubrir posicionesen opciones escritas (hedge).

El concepto de portafolio réplica parte de la premisa de que, si nos es posiblemodelar la dinámica del precio de una acción, podemos crear una opción sintéticausando una estrategia de transado dinámica. Específicamente, el portafolio réplica delvalor de una opción consistirá de una posición (larga o corta) en la acción y de unpréstamo (deuda) que será ajustado en cada estado de la naturaleza. La idea es construirel portafolio de tal forma que su valor replique exactamente aquél de la opción en cadainstante del tiempo.

Como veremos, el portafolio réplica es concebido en un mundo en el cual elprecio del activo subyacente sube o baja en determinadas proporciones, partiendo de undeterminado punto. Aunque este mundo binomial parece muy simple a primera vista, esuna herramienta muy poderosa para valorar opciones cuyos precios no pueden serobtenidos analíticamente. Como mostraremos, la célebre fórmula de Black-Scholes(1973) para valorar opciones europeas—discutida en este capítulotambién puede serderivada con un modelo binomial.

2.- PORTAFOLIO REPLICA DE UNA OPCION

Partamos por un ejemplo. Supongamos que la tasa de interés corriente es 20%por período (interés simple), el precio de la acción es $60 y sabemos que éste últimopuede caer a $30 o subir a $90. Es decir,

Su=90

Sd=30

S = 60

Al final del período, una call con un precio de ejercicio igual a $60 valdrá $30 ó $0:


Cu=max(0, Su-60)=30

Cd=max(0, Sd-60)=0

C

Supongamos que compramos ½ acción y pedimos prestado $12,5.

Su/2-12,5 x 1,2=30

Sd/2-12,5 x 1,2=0

S/2-12,5

Dado que este portafolio replica el precio de la call, debe costar lo mismo queésta hoy día:

C=S/2-12,5=30-12,5=17,5

Por lo tanto, la call debería transarse en $17,5. ¿Qué pasaría si el precio de lacall fuera $16,5? Compraríamos la call porque está subvalorada y tomaríamos unaposición corta en el portafolio (réplica) que contiene ½ acción y $12,5 de préstamo.Ganaríamos $1 hoy día. Sabemos que la call cubrirá el valor del portafolio réplica encada estado de la naturaleza, por construcción.

¿Cómo obtenemos el portafolio réplica?

Utilizamos la condición de que el portafolio réplica vale lo mismo que la opciónen cada estado de la naturaleza. Supongamos un portafolio compuesto por ∆ acciones yun préstamo de $L que replica el valor de la call.

Si el precio de la acción sube a $90,

(1) 90∆-1,2L=30.

Si el precio de la acción cae a $30,

(2) 30∆-1,2L=0.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,encontramos que ∆=0,5 y L=12,5.


uS=Su, con probabilidad q

Notemos que el portafolio réplica debe tener la misma sensibilidad al precio dela acción que la call. Esta medida de sensibilidad se denomina “razón de hedge” o“delta” de la call, y está dado por:

21

3090030

SC =

−−=

∂∂≡∆

Es decir, el portafolio réplica debe contener ∆ acciones.

Importante

El argumento de arbitraje no depende de las probabilidades de ocurrencia decada estado de la naturaleza. ¿Por qué? Dado que los retornos futuros de la acción ya sehan reflejado en su precio actual, no necesitamos considerarlos para derivar la relaciónentre el precio de la call y el precio de la acción. ¿Significa esto que eventos queconduzcan a un aumento en la probabilidad asignada por el mercado al alza en el preciode la acción no afectarán el precio de la call? No. Estos eventos conducirán a unavariación en el precio de la acción hoy día, por lo cual el precio de la call cambiarátambién.

3. FÓRMULA BINOMIAL GENERAL

3.1. El Modelo General de un Período

Sea:

u=1+tasa de retorno si el precio de la acción subed=1+tasa de retorno si el precio de la acción bajar*=1+tasa de interés para prestar y pedir prestado,

tal que d < r* < u.

Por lo tanto, el movimiento del precio de la acción está dado por:

S

y el precio de la opción en la fecha de vencimiento está dado por:

dS=Sd, con probabilidad 1-q


C

Creemos un portafolio que contenga ∆ acciones y un préstamo de $L a la tasalibre de riesgo:

∆S-L

Deseamos replicar el precio de la call, de modo que requerimos que:

∆uS-r*L = Cuy,

∆dS-r*L = Cd.

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos:

(3))du(S

CC du−

−=∆ ,

(4))du(*r

uCdCL du

−−

=

Es importante notar que L es siempre positivo para una call puesto que:

dCu - uCd = max(0, duS-dK) - max(0,udS-uK)≥0.

Esto implica que parte del costo de la acción usada para replicar una call es financiadacon un préstamo. Para una put, en cambio, el portafolio réplica consiste de una posicióncorta en ∆ acciones más un depósito de $L a la tasa libre de riesgo. Es decir, parte deldinero conseguido por la venta de la acción es depositado.

Cd=Max(0, dS-K)

Cu=Max(0, uS-K)

∆dS-r*L

∆uS-r*L


Definición de las Pseudo-Probabilidades o Probabilidades en un Mundo Neutral alRiesgo

1. Sea:

(5) pr du d

pu ru d

≡−

−− ≡

−−

*, ( )

*1 .

Dado que d < r* < u, entonces 0 ≤ p ≤1.

2. Por lo tanto,

C=∆S-L

=C C

u ddC uCr u d

u d u d−−

−−

−*( )

=1 1r

r du d

Cr

u ru d

Cu d*( * )

*( *)−

−+

−−

(6) =pC p C

ru d+ −( )

*1

.

Dado que las probabilidades ya están ajustadas por riesgo, descontamos los flujosfuturos a la tasa libre de riesgo.

Precio de Derivados en un Mundo Neutral al Riesgo

Valoramos las opciones como una función de S(t), u, d y r*. Dado que estarelación es obtenida vía argumentos de arbitraje, la valorización de los derivados esindependiente de las preferencias por riesgo de los inversionistas. Tomando ventaja deesta independencia, valoramos estos instrumentos financieros en un mundo neutral alriesgo ficticio, en el cual todos los inversionistas son neutrales al riesgo. Valorizarderivados en un mundo neutral al riesgo es más simple porque los inversionistas nodemandan un premio por riesgo y, por lo tanto, todos los activos tienen un retorno iguala la tasa libre de riesgo.

3.2. El Modelo de Dos Períodos

A fin de resolver un árbol binomial de varios períodos, necesitamos resolver elmodelo binomial de un período repetidamente.


t=2

t=1

t=0

S

C

Del caso de un período, sabemos que:

(7) Cu=*

)1(r

CppC uduu −+,

(8) Cd=*

)1(r

CppC ddud −+.

Una vez obtenidos Cu y Cd, nos encontramos nuevamente en el caso de un período. Porlo tanto,

uS

dS

u2 S

udS

d2 S

Cu

Cd

Cuu=max(0, u2S-K)

Cud=max(0, udS-K)

Cdd=max(0, d2 S-K)


C =*

)1(r

CppC du −+,

donde Cu y Cd están dadas por (7) y (8), respectivamente.

Después de un poco de álgebra, obtenemos que:

(9) C=2

22

*)1()1(2

rCpCppCp dduduu −+−+

.

Notemos que ésta es nuevamente la esperanza del valor futuro de los flujosdescontados a la tasa libre de riesgo utilizando las probabilidades ajustadas por riesgo,donde Prob(Cuu)=p2, Prob(Cud)=2p(1-p) y Prob(Cdd)=(1-p)2.

Ejemplo 1

La acción de la empresa A se está transando en $10. Se sabe que el precioaumentará o caerá en un 20% en cada uno de los dos próximos años. La tasa libre deriesgo anual (interés simple) es 10%. ¿Cuál es el precio de una call a dos años sobre laacción de la empresa A que tiene un precio de ejercicio de $8?

Los parámetros del modelo son u=1,2, d=0,8, r*=1,1. Por lo tanto, de ladefinición (3) obtenemos que p=0,75. Los árboles binomiales de la acción y de la callson, respectivamente:

t=1 t=2

t=0

10

12

8

14,4

9,6

6,4


C

De las ecuaciones (7) y (8), obtenemos que Cu=4,73 y Cd=1,09. Reemplazandoestos valores y los de los parámetros en la ecuación (9), tenemos que el precio de la callhoy día es C=3,47.

3.3. Caso General: n Períodos.

La ecuación (9) se puede generalizar al caso de n períodos. Sea:

n ≡ número de períodos.j ≡ número de movimientos hacia arriba necesarios para alcanzar un punto dado.n-j ≡ número de movimientos hacia abajo necesarios para alcanzar un punto dado.

El número de trayectorias que conducen a j)(nj duC − está dado por:

)!jn(!j!n−

,

donde n!=n(n-1)(n-2)....1

(10) C= )jn(djujnn

0j

jn C)p1(p)!jn(!j

!n*r1

−−

=−∑ − ,

donde j)(nj duC − = max(0, ujd(n-j) S-K).

Es fácil chequear que esta fórmula se cumple para n=2.

Cu

Cd

Max(0; 14,4-8)=6,4

Max(0; 9,6–8)=1,6

Max (0; 6,4-8)=0


4. REPLICA DINAMICA

El método de valoración neutral al riesgo nos entrega el valor correcto de unaopción porque da el costo de replicar sus pagos. Ilustraremos en el siguiente ejemplocómo uno puede replicar dinámicamente el precio de una opción en un árbol binomial dedos períodos.

Ejemplo 2

Del ejemplo 1 sabemos que u=1,2, d=0,8, r*=1,1, p=0,75, C=3,47, Cu=4,73,Cd=1,09, Cuu=6,4, Cud=1,6 y Cdd=0. En el nodo u en t=1, el portafolio réplica para la callCu contiene ∆u acciones y $Lu de préstamo. Utilizando las fórmulas obtenidasanteriormente para ∆ y L, obtenemos que:

16,94,14

6,14,6)uduu(S

CC uduuu =

−−=

−−

=∆ ,

27,7)du(*r

uCdCL uduu

u =−

−=

Comprobemos que un portafolio compuesto de 1 acción y de un préstamo de $7,2replica, en verdad, el precio de la opción en t=2:

En el nodo uu: uuS-7,27 r*=6,4,en el nodo dd: udS-7,27 r*=1,6.

El costo de este portafolio réplica en el nodo u es de ∆uuS-Lu =4,73, el cual esexactamente igual al precio de la opción Cu calculada con el método de valoraciónneutral al riesgo.

En el nodo d en t=1, el portafolio réplica de Cd contiene ∆d acciones y $Ld depréstamo, donde:

5,04,66,9

06,1)ddud(S

CC ddudd =

−−

=−

−=∆ ,

91,2)du(*r

uCdCL ddud

d =−

−= .

Este portafolio replica el precio de la call Cd en t=2, puesto que:

En el nodo ud: 0,5 udS-2,91 r*=1,60,en el nodo dd: 0,5 ddS-2,91 r*=0.


El costo de este portafolio réplica en el nodo d es ∆ddS-Ld =$1,09, el cual es igual alprecio de la opción Cd calculado con el método de valoración neutral al riesgo.

En t=0 el portafolio réplica debe estar compuesto por ∆ acciones y $L depréstamo, donde:

91,081209,173,4

)du(SCC du =

−−

=−

−=∆ ,

63,5)du(*r

uCdCL du =

−−

= ,

a fin de que este portafolio replique el precio de la opción en t=1:

nodo u: 0,91.uS-5,63.r*=4,73nodo d: 0,91dS-5,63.r*=1,09.

En t=0 el costo de este portafolio es ∆S-L =$4,73, el precio de C calculadoanteriormente.

Interpretación de este Procedimiento

Notemos que no podemos replicar el pago de la call en t=2 comprando unportafolio compuesto por ∆ acciones y $L de préstamo en t=0 y manteniéndolo hasta t=2.Nuestra posición larga en la acción y en el préstamo debe variar en cada período, a fin dereplicar dinámicamente el precio de la opción.

En el caso del ejemplo 2, en el nodo u sabemos que ∆u =1, por lo tanto, sabemos que ent=1 es preciso comprar 0,09 acciones extra (hoy día tenemos sólo 0,91). Esto nos costará0,09 x12=$1,08 (al precio del nodo u). Para financiar esta compra en t=1, pedimosprestado dicha cantidad. Dado que en t=0 pedimos prestado $5,63, en t=1 deberemos5,61x1,1+1,08=$7,27. Pero esto es igual a Lu, el monto del préstamo en el nodo u.

En el nodo d, por contraste, vendemos 0,41 acciones (teníamos 0,91 y necesitamos ∆d=0,5). Esto produce una entrada de 0,41x8=$3,28. Dicha cantidad la usamos paracancelar parte del préstamo adquirido en t=0. Sabemos que en t=1 éste asciende a $6,19(5,61x1,1). Por lo tanto, después de pagar $3.28 de la deuda ésta se reduce a 6.19-3,28=$2,91. Pero esta suma es exactamente igual a Ld.

¿Qué sucede si la opción se transa a $3,70 en t=0? De acuerdo a nuestros cálculos,C=$3,47. Por lo tanto, la call está sobrevalorada. Para arbitrar, emitimos la opción a$3,70 y compramos el portafolio réplica en $3,47 ganando $0,23 hoy día. En t=1cambiamos la composición de nuestro portafolio en la forma descrita más arriba.Sabemos que este portafolio cubrirá en t=2 el valor de la call escrita, por construcción.


5. EJEMPLOS DEL USO DEL MODELO BINOMIAL

a) Existencia de Dividendos

Consideremos la acción de la empresa XYZ que se está transando en $50. Laacción pagará un dividendo de $10 en un mes. El precio de la acción sube o baja en un20% cada mes. La tasa de interés simple libre de riesgo es 10%. ¿Cuál es el precio deuna call europea con un precio de ejercicio de $40 si expira en dos meses?

Pre-div Post-div S(T) Call

50

En este caso, r*=1,1, u=1,2, d=0,8.

75,0dud*r

p =−−

=

30,91,1

20.75,0

r

CpC

2

2

2uu

2===

Notemos que en este caso el árbol binomial no se recombina.

b) Ejercicio Temprano de una Opción Americana

Consideremos una call americana en la misma acción del ejemplo anterior. El siguienteárbol ilustra la decisión óptima en cada nodo. El (*) denota que es óptimo ejercer laopción antes de su vencimiento. Recordemos del capítulo 1 que sólo en la presencia dedividendos puede ser óptimo el ejercicio temprano de una call americana.

60

40

50

30

60 20

40 0

36 0

24 0


donde C=13,64=0,75 x 20/1,1.

6. ¿ES EL MODELO BINOMIAL RAZONABLE?

En apariencia, el modelo binomial no parece ser representativo de lo queobservamos en el mundo. En particular, los retornos de las acciones no son u ó d. Puedentomar básicamente cualquier valor.

Consideremos un modelo más realista para describir la evolución del precio de

la acción. Sean So, ~ ,S1

~ ,S2 ..., 365S~ los precios diarios de una acción para el período de

un año. Los retornos brutos diarios están dados por:

~SS

1

0

,

~

~S

S2

1

,...,

~

~S

S365

364

,

por lo tanto, el retorno bruto total para el año está dado por:

~

~S

S365

0

=

~SS

1

0

x

~

~S

S2

1

x....x

~

~S

S365

364

.

Sea ~

~

~RS

Sii

i

≡−1

. Por lo tanto, el logaritmo del retorno anual puede expresarse como:

=)~

ln(0

365

SS

ln( 1~R )+ln( 2

~R )+….+ln( 365~R )

Su pre=60 Su post=50 Cu ejercicio=60-40=20 * Cu esperar=0,75x20/1,1=13,64

Sd pre=40 Sd post=30 Cd=0

Suu=60 Cuu=20

Sud=40 Cdu=0

Sdu=36 Cdu=0

Sdd=24 Cdd=0

S=50 C=13,64


Supuestos de la dinámica del precio.

(1) El logaritmo de los retornos diarios, ln( iR~ ), son independientes e

idénticamente distribuidos con media µ y varianza σ2 .

(2) El precio de la acción es continuo.

Estos supuestos implican que el logaritmo del retorno de la acción se distribuyenormalmovimiento Browniano. Esto a su vez implica que el precio de la acción sedistribuye lognormalmovimiento Browniano geométrico(ver apéndice al final deeste capítulo). En otras palabras,

(11) )~

ln(0S

ST ~N(µT, σ2T),

dado que la suma de variables normales independientes es también normal conesperanza igual a la suma de las esperanzas de cada variable normal, y varianza igual ala suma de la varianzas de cada variable normal.

Se puede demostrar que E(ST)=So

TTe

2

21

σµ + y Var(ST)=So

2e2µT[ Te2σ -1] (ver

Hull (1997), capítulo 11 o Greene (1996), capítulo 4).

¿Puede el modelo binomial ser tan realista como el modelo lognormal?

Si hacemos el árbol binomial suficientemente “denso”, será posible que elprecio de la acción tome cualquier valor. En el límite, a medida que el número deperíodos en el árbol tiende a infinito, la distribución de probabilidades del precio final dela acción, ST, será lognormal. En la práctica, entre 30 y 60 períodos puede dar una muybuena aproximación del precio de una opción valorada con el método binomial.

Para escoger los parámetros del modelo binomial, u y d, dividimos el intervalode tiempo [0, T] en n subintervalos, de modo tal que la suma del logaritmo de losretornos para cada los n pasos converja a la distribución normal N(µT, σ2T). La media yvarianza del retorno de la acción para cada subintervalo son:

−=

−q1adprobabilidcon,d

qadprobabilidcon,u

S~S~

1it

it

donde q es la probabilidad del mundo real y no de aquél neutral al riesgo.

De modo tal que:


E[ln(

1

~

~

−i

i

t

t

S

S )]=q ln(u)+(1-q) ln(d),

Var[ln(

1

~

~

−i

i

t

t

S

S )]=q(1-q)[ln(du

)]2

Para n períodos, tenemos que:

E[ln(0

~~

SST )]=n[q ln(u)+(1-q) ln(d)],

Var[ln(0

~~

SS T )]=nq(1-q)[ln(

du

)]2,

dado que consideramos la suma de n variables independientes e idénticamentedistribuidas.

Deseamos que:

n[q ln(u)+(1-q) ln(d)]→µT, y

nq (1-q) [ln(du

)]2)]→σ2T,

a medida que n →∞.

Tenemos 2 ecuaciones y tres incógnitas, u, d y q. Por lo tanto, tenemos un grado delibertad. Escojamos d=1/u, a fin de que el árbol binomial se recombine.Alternativamente, podríamos escoger q=0,5.

Para el caso en el cual d=1/u, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

(12) n[q ln(u)+(1-q) ln(d)]=µT,

(13) nq (1-q) [ln(du

)]2)]=σ2T,

(14) d=1/u.

Para un n suficientemente grande, la solución está dada por:

(15) u = exp(σnT ),

(16) d = exp(-σnT ),


(17) q = 0,5+0,5 nT

σµ

La tasa libre de riesgo bruta para cada uno de los n períodos, r*=1+r, está dadapor R*T/n, donde R* es la tasa libre de riesgo bruta anual, con T medido en años. O,equivalentemente, R*=r*n/T. Con interés compuesto, tendríamos r*=exp(rc T/n), donde rces la tasa anualizada compuesta continuamente.

La pseudo-probabilidad, p, está dada por:

(18) p=dudr

−−*

,

donde u y d están dadas por (15) y (16), respectivamente. Si utilizamos interéscompuesto continuamente, p estaría dada por:

(19) p= n/Texp()n/Tr(exp

n/Texp()n/Tr(exp

c

c

σ−−

σ−−

Si hacemos una expansión de Taylor para cada término (esto es, ex≈1+x+x2/2!),obtenemos:

(20) p=0,5+0,5.nTrc

σσ )2/( 2

− .

Si comparamos (20) con (17), vemos que µ ha sido reemplazado por rc-σ2/2.

Para obtener un estimador de la volatilidad del logaritmo del retorno de laacción, podemos utilizar una muestra de m precios diarios de la acción y calcular unestimador del cuadrado de la volatilidad histórica:

(21)2

111

2 )ln()ln(1

ˆ

−=

−−=∑

i

i

i

im

i SS

SS

mσ ,

donde )ln(1

)ln(111 −=−

∑≡i

im

ii

i

SS

mSS .

7. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES

Supuestos del Modelo

En esta sección veremos la célebre fórmula de Black y Scholes (1973) para lavaloración de una call europea. La derivación de dicha fórmula se basa en los siguientessupuestos:


a) Los mercados financieros no tienen fricciones:

(i) No hay impuestos o costos de transacción.(ii) Todos los activos son perfectamente divisibles.(iii) No hay restricciones a las ventas cortas de activos.

(b) Las tasas de interés para prestar y pedir prestado son iguales y constantes entret=0 (hoy) y T (fecha de vencimiento del activo). Asumiremos que la tasa deinterés por período, r, es compuesta continuamente, de modo tal que un bonocero-cupón libre de riesgo que paga un $1 en t2 tiene un precio de B(t1,t2)=exp[–r(t2-t1)] en t1.

(c) La acción, activo subyacente, no paga dividendos entre 0 y T.

(d) El precio de la acción sigue un proceso lognormal. Esto es:

Ln()()(

1

2

tStS

)~N(µ(t2-t1), σ2(t2-t1))

Black y Scholes demuestran que bajo estos supuestos uno puede replicar elprecio final en T de una call europea comprando un portafolio compuesto de acciones ybonos libres de riesgo en t=0, y transando dinámicamente este portafolio hasta T.(Recordemos la discusión sobre réplica dinámica de las secciones anteriores). A fin deevitar operaciones de arbitraje, el valor de la call en t=0 debe ser igual al del portafolioréplica en t=0.

La fracción de una acción que debe contener el portafolio réplica se llama“razón de hedge” o “delta” de la opción: ∆=∂C/∂S. Delta cambia continuamente demodo que la fracción de la acción en el portafolio réplica debe ser ajustadaconstantemente para replicar el valor de la call. Sin embargo, el costo neto de ajustarsees siempre cero, dado que no existen restricciones de crédito.

La Ecuación de Black-Scholes.

Los autores demuestran que el precio de una call europea en una acción estádada por:

(22) C(S, K, t=0, r, σ, T)=SΦ(d1)-Ke-rTΦ(d2),

donde Φ(.) representa la función distribución acumulada (f.d.a) de una variable normalestándar, d1 y d2 están dados por:

(23) d1=2

)ln(T

TKe

SrT σ

σ+

−; d2=d1-s T


S representa el precio corriente de la acción, K es el precio de ejercicio de lacall, T es la fecha de vencimiento de la call, r es la tasa libre de riesgo por períodocompuesta continuamente, y σ es la volatilidad de la acción (esto es, la desviaciónestándar del precio de la acción por unidad de tiempo).

Los términos del lado derecho de la ecuación (22) pueden ser interpretados dela siguiente forma. Para una call europea, Φ(d1) es el número de acciones en elportafolio réplica hoy día (t=0). Es decir, ∆=Φ(d1). (Esto se puede demostrarformalmente tomando la derivada parcial de C con respecto a S en (22)). A su vez, Ke-

rTΦ(d2) es la cantidad de dinero que pedimos prestado hoy día. Es decir, este términoequivale a L en el modelo binomial. Y, tal como concluimos anteriormente, el precio dela call debe ser el mismo que aquél del portafolio réplica: C=∆S-L.

Ejemplo

Sea S=60, r=8,62% por año compuesta continuamente, K=65, σ=0,3 (anual),

T=6 meses. Por lo tanto, σ T =0,2123, Ke -rT=62,26, d1=-0,068, y d2=-0,280. Paraevaluar Φ(d1) y Φ(d2), hacemos uso de una tabla de valores de la f.d.a de unadistribución normal estándar (disponible en cualquier libro de estadística). En particular,Φ(-0,068)=1-Φ(0,068)=0,473 y Φ(-0,280)=1-Φ(0,280)=0,390. Por lo tanto,

C=60 x 0,473-62,26 x 0,390=4,11.

Derivación de la Fórmula de Black-Scholes

Existen distintas maneras de derivar la fórmula de Black-Scholes. Veremos tresmétodos utilizados comúnmente en la literatura.

1. Vía el Arbol Binomial

Como vimos anteriormente, la fórmula para una call europea está dada por:

(24) C= )u ,0()1()!(!

!*1 j

0

KSdmaxppjnj

nr

jnjnn

j

jn

−−−

−−

=∑ ,

= ]u [)1()!(!

!*1 j KSdpp

jnjn

rjnjn

n

aj

jn

−−−

−−

=∑ ,

= )1()!(!

!*

*ru

)1()!(!

!n

jjn

n

aj

jnjn

jnn

aj

j ppjnj

nKr

dpp

jnjn

S −

=

−−

−

=−

−−−

− ∑∑

donde a representa el número mínimo de movimientos hacia arriba en el precio de laacción necesarios para que la call esté in-the-money.


Sabemos que, a fin de replicar la dinámica del precio de la acción cuando éste

se distribuye lognormal, debemos escoger u= exp(σ nT / ) y d= exp(-σ nT / ). Envirtud del teorema del límite central, se puede demostrar que cuando n→∞,

)(d)1(

)!(!!

*ru

)1()!(!

!1n

j

Φ→

−

−=−

−

−

=

−−

=∑∑

jnjn

aj

jnjn

n

aj

j

rdp

rup

jnjnd

ppjnj

n ,

)(d )1()!(!

!2Φ→−

−−

=∑ jn

n

aj

j ppjnj

n ,

con r*= exp(rT/n), p=(r*-d)/(u-d) y a≡el número entero más pequeño mayor o igual a

T

nTSK

σ

σ

2

)/ln( − . Para mayores detalles de esta derivación, ver Cox, Ross y Rubinstein

(Journal of Financial Economics (1979), pp 229-263)

2. Método de Valoración Neutral al Riesgo

Un $1 invertido hoy a la tasa libre de riesgo (t=0) nos dará $erT en T. Por otrolado, $1 invertido en acciones alcanzará para 1/S(0) acciones hoy día, las cuales valdrán

)(~ TS /S(0) en T. Si nos encontramos en un mundo neutral al riesgo, el pago esperadoen T por invertir en la acción debería ser igual a aquél obtenido en el activo libre deriesgo. Es decir,

(25) E[)0()(~

STS ]=erT

Pero sabemos que:

(26) E[)0()(~

STS ]= TTe

25.0 σµ + .

Por lo tanto, µ=r-0,5σ2. Si descontamos el precio de la call en T a la tasa librede riesgo ,en un mundo neutral al riesgo tenemos que:

C = e-r(T-t) E*t[max(0, S~ (T)-K)],

donde E*t denota el valor esperado en un mundo neutral al riesgo, condicional en el valor

de S(t). Sabemos que

(27) Ln()()(~

tSTS )~N([r-0,5σ2](T-t), σ2(T-t)),

por lo tanto,


C= e-r(T-t) (T)S~(T))dS~(](T)S~ ,0[0

fKmax −∫∞

,

= e-r(T-t) (T)S~(T))dS~(](T)S~[ fKK

−∫∞

.

Haciendo el siguiente cambio de variables,

Z=τσ

τσ )21()

)()(~

ln( 2−− rtSTS

~N(0, 1),

con τ ≡ T-t, y después de un poco de álgebra, llegamos a la fórmula de Black y Scholes.

Importante

¿Cuál es la probabilidad de que la call esté in-the-money en la fecha deexpiración?

P( S~ (T)>K | S(t))=P(Z>τσ

τσ )21

())(

ln( 2−− rtS

K

)=1-Φ

−−

τσ

τσ )21

())(

ln( 2rtS

K

=Φ

−−−

τσ

τσ )21

())(

ln( 2rtS

K

=Φ

−−

τσ

τστ

2

21

))(

ln(rKe

tS

=Φ(d2)

3. Derivación de la Ecuación Diferencial de Black-Scholes

Dado que el precio de la acción se distribuye lognormal de acuerdo a (27), ladinámica del precio puede ser descrita por el siguiente movimiento Brownianogeométrico:

(28) dS(t) = µS(t) dt + σS(t) dW(t),

donde dW~N(0, dt), representa el incremento de un proceso Wiener o Brownianoestándar. Por el lema de Ito, la dinámica de C está dada por (ver apéndice):


(29) dC = SdWSC

dt)SSC

21

tC

SSC

( 222

σ∂∂+σ

∂∂+

∂∂+µ

∂∂ .

A fin de encontrar la ecuación diferencial que debe satisfacer C, formamos unportafolio libre de riesgo que contiene una posición corta en la call y una posición largaen ∂C/∂S acciones. Es decir, el valor de nuestro portafolio Π está dado por:

(30) Π=-C+SC

∂∂ S

Por lo tanto,

(31) dΠ=-dC+ SC

∂∂

dS.

Si reemplazamos (29) y (30) en (31), vemos que cambios pequeños en el valor denuestro portafolio no dependen de dW, variable aleatoria. Por lo tanto, nuestro portafolioes libre de riesgo y, por lo tanto, su rentabilidad debe ser la tasa libre de riesgo. Esto es,

(32) dΠ=rΠdt.

Por lo tanto, llegamos a que:

(33) 222

21

SSC

tC

rSSC σ

∂∂+

∂∂+

∂∂ =rC.

Esta ecuación diferencial de segundo orden está sujeta a las condiciones deborde:

En t=T, C = max(0, S(T)-K); y C(0, t)=0.

Haciendo cambio de variables, se concluye que (33) es la llamada “ecuación decalor”. Esta última, utilizada en física, resulta tener una solución cerrada (ecuación (22)).

Precio de una Put Europea.

Dado que la paridad put-call para opciones europeas fue derivada sin hacerningún supuesto sobre la dinámica que sigue el precio de la acción, ésta también esválida en este caso particular. Es decir, una vez derivado el precio de una call europeabajo los supuestos del modelo de Black-Scholes, sabemos que el precio de una puteuropea escrita bajo las mismas condiciones estará dado por:

(34) P(t) = C(t) - S(t) + Ke-r(T-t),

donde C(t) está dada por (22).


8. EXTENSIONES DE LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES

a) Opciones europeas en una acción con un dividendo conocido.

Consideremos una call en una acción que paga un dividendo de D en t1, dondet<t1<T. La call europea es una opción en la acción en t=T, es decir, después que eldividendo ha sido pagado. Por lo tanto, el activo subyacente no es la acción per se, sinola precio de la acción menos el valor presente de los dividendos. En otras palabras, elvalor corriente de la acción tiene dos componentes:

- El valor presente del dividendo conocido a ser entregado en t1,

- El valor presente del precio de la acción en T después del pago del dividendo, denotadocomo Sriesgoso(t).

El activo subyacente es el segundo componente con un valor presente de:

Sriesgoso(t) = S(t) - D exp(-r(t1-t)).

Esta clase de argumento también funciona en el caso de dividendos múltiplesentre t y T, siempre y cuando sepamos el valor presente de todos los dividendosentregados en dicho intervalo de tiempo.

Por lo tanto, podemos calcular el valor de una call substituyendo Sriesgoso(t) porS(t) en la fórmula de Black-Scholes:

(35) C(t) = [S(t)-D´] Φ(d1) - Ke-rτ Φ(d2),

donde,

τστσ

τ

21)´)(ln(

1 +

−

=−rKe

DtS

d , d2=d1-σ τ , D´ es el valor presente de todos los

dividendos futuros entre t y T, y τ≡T-t.

(b) Opciones en una acción que paga una tasa de dividendo conocido.

En este caso suponemos que se paga un dividendo δSdt en cualquier intervalode tiempo dt. Esto es equivalente a pagar δdt de la acción remanente en cada instante deltiempo. Es decir, en T sólo queda e-δτ de la acción original.

El precio corriente de la acción tiene dos componentes: 1-e -δτ de los cuales serápagado como dividendo antes de T, y el remanente e-δτ es el valor presente de una acciónen T. Este último es el activo subyacente. Por lo tanto, ajustamos la fórmula de Black-Scholes reemplazando S(t) por S(t)e -δτ:

(36) C(t) = S(t)e -δτ Φ(d1) - Ke-rτ Φ(d2),


donde,

τστσ

τ

δτ

21

))(

ln(1 +=

−

−

rKeetS

d , d2=d1-σ τ .

c) Opciones en Moneda Extranjera

Una moneda extranjera es similar a una acción que paga una tasa de dividendoconocido. Sea S(t) el tipo de cambio medido por el valor de una unidad de monedaextranjera. Por ejemplo, si el tipo de cambio es US$0,59 por marco alemán en t,S(t)=US$0,59 por marco. Si rf representa la tasa libre de riesgo en el país extranjero (estoes, Alemania), el interés recibido sobre S(t) en un intervalo de tiempo dt es rfS(t)dt.

Supongamos una call europea que da la opción de comprar una unidad de lamoneda extranjera en T (por ejemplo, 1 marco alemán). Esta última corresponde a e-rfτ

unidades de la moneda extranjera en t. Esto implica que el activo subyacente es e-rfτ

marcos. Por lo tanto, debemos substituir e-rfτS(t) por S(t) en la fórmula de Black-Scholes:

(37) C(t)=S(t) e-rfτ Φ(d1) - Ke-rτ Φ(d2), )donde,

τστσ

τ

τ

21))(ln(

1 +=−

−

r

r

KeetS

d

f

, d2=d1-σ τ .

d) Opciones en Futuros

Estos derivados requieren la entrega de un contrato futuro en el momento deejercicio. Por ejemplo, existen opciones en futuros para cobre, oro, ganado, maíz,monedas, etc. (los precios de estos contratos se publican en el diario norteamericano“The Wall Street Journal”). Si uno tiene una posición larga en una call europea y laejerce en la fecha de maduración, uno adquiere una posición larga en un contrato futuromás una cantidad de dinero igual a la diferencia entre el precio corriente del futuro y elprecio de ejercicio. Si uno tiene una posición larga en una put europea y la ejerce en lafecha de vencimiento, uno adquiere una posición corta en un futuro más una cantidad dedinero igual a la diferencia entre el precio de ejercicio menos el precio corriente delfuturo. Es decir, al momento de la expiración, T, los precios de una call y put europea enun contrato futuro están dadas por:

Call=max[0, F(T, T´)-K],

Put=max[0, K-F(T, T´)],

donde, F(T, T´) denota el precio de un futuro en T para una fecha de entrega en T´. Esdecir, F(T, T´)=S(T)e (r+u)(T´-T) , donde S(T) es el precio en T del activo subyacente (por


ejemplo, precio de una onza de oro), r es la tasa libre de riesgo y u es la tasa de costo dealmacenaje por unidad de tiempo.

Ejemplo

Considere un empresario que posee una call en un futuro en 25,000 libras decobre con un precio de ejercicio igual 70 centavos de dólar por libra. Supongamos que elprecio corriente de un futuro para recibir una libra de cobre en septiembre es 80 centavosde dólar. Si la opción es ejercida, el empresario recibe US$2,500 (=25000 x 10 centavosde dólar) más una posición en un futuro para comprar 25,000 libras de cobre enseptiembre. Si él desea, puede cerrar la posición larga en el futuro inmediatamente sincosto alguno. En dicho caso, el empresario recibe un flujo de caja igual a US$2,500.

Black (1976) desarrolló un modelo para valorar una call europea en un contratofuturo bajo los siguientes supuestos:

i) El retorno de la acción entre t y T sigue una distribución normal con media µ(T-t) y varianza igual a σ2(T-t). Por lo tanto, si F(t, T´)=S(t)er(T´-t) (caso de un futuro sobreun activo financiero), el logaritmo del “retorno” en el contrato futuro entre t y T sigueuna distribución normal con media (µ-r)(T-t) y varianza σ2(T-t). (Esto se puededemostrar usando el lema de Ito). Es decir,

(38) Ln(T´) F(t,T´) F(T, )∼N[(µ-r)(T-t), σ2(T-t)],

lo que es equivalente a que Ln(t)-r(T-T´)e F(t,

T´) F(T, )∼N[µ(T-t), σ2(T-t)].

ii) La tasa de interés es constante, r, entre t y T.

iii) La opción es europea.

Bajo estos supuestos, la fórmula para valorar una call en un futuro se reduce ala fórmula de Black-Scholes con S(t) reemplazado por F(t, T´)e-r(T-t):

(39) C(t)=F(t, T´) e-rτ Φ(d1)-Ke-rτ Φ(d2),

donde,

τστσ 2

1)T´) F(t,

ln(1 += Kd , d2=d1-σ τ

Es interesante notar que la volatilidad del contrato futuro es igual a aquélla delactivo subyacente.(e) Pseudo-Valoración de una Call Americana

Consideremos una call americana en una acción que paga un dividendo de D ent1, donde t<t1<T. Dado que el dueño de la opción sólo la ejercerá justo antes de la


entrega del dividendo o en la fecha de maduración, Black (1975) propuso que podemospensar en el precio de una call americana como en el máximo de los precios de dos callseuropeas:

(i) Una call europea que madura en t1 en una acción que no paga dividendos;

(ii) Una call europea que madura en T en una acción que paga dividendos en t1.

Sea CE(S(t), τ) el precio de una call con tiempo restante para su vencimiento τen una acción que no paga dividendos obtenido mediante la fórmula de Black-Scholes.Entonces, una fórmula aproximada para el precio de una call americana es:

(40) CA(S(t), τ)=max(CE(S(t), t1-t), CE(S(t)-D´, τ)),

donde D´=De-r(t1-t), valor presente de los dividendos, y τ=T-t.

Este método da un precio levemente sesgado hacia la baja porque no contabilizael valor del derecho a esperar hasta justo antes de la entrega del dividendo para ejercer lacall. Una fórmula exacta para una call americana bajo los supuestos del modelo deBlack-Scholes fue derivada por Roll, Geske y Whaley (ver apéndice 11A en Hull). LaTabla 1 presenta una comparación entre el precio de una call americana obtenidomediante la aproximación de Black y la fórmula exacta de Roll, Geske y Whaley. Comovemos, la aproximación de Black es bastante buena, aunque empeora con incrementosen el precio de la acción.

Tabla 1Valoración de una Call Americana

Precio de laacción antes del

dividendo

Precio de laacción despuésdel dividendo

Valor callamericana

Roll-Geske-Whaley

Valor callamericana

aprox. de Black

80 75,196 3,212 3,20885 80,196 4,818 4,80890 85,196 6,839 6,82095 90,196 9,279 9,239

100 95,196 12,111 12,048

Fuente: Whaley, R. (1981).

No existen soluciones analíticas para el precio de una put americana, ni siquierabajo los supuestos del modelo de Black-Scholes.


Apéndice: Conceptos Básicos sobre Procesos Wiener y el Lema de Ito

Partamos por estudiar un random walk en tiempo discreto . En particular, seaW(t) la distancia en t de una partícula con respecto a un punto fijo. Asumimos que dichadistancia es igual a la distancia un período atrás más un cierto ruido aleatorio:

(1) W(t) = W(t-1) + ε(t),

tal que ε(t)∼N(0, 1), i.i.d., y W(0)=0.

De (1),

W(t) = W(t-2) + ε(t) + ε(t-1),

(2) = ∑=

εt

1i

)i( .

De (2) obtenemos que

(3) E0[W(t)]= ])i([Et

1i0∑

=

ε = 0,

(4) Var0[W(t)]= ])i([Vart

1i0∑

=

ε = t.

Las ecuaciones (3) y (4) implican a su vez:

(5) W(t) ∼ N(0, t)

La variable aleatoria W(t) recibe el nombre de random walk estándar. (Entiempo continuo, ésta se denomina proceso Wiener).

Figura 1Un Random Walk en Tiempo Discreto

PartículaPunto Fijo

W(t)


Considere t=T. De (1),

W(T) = W(T-1) + ε(T),

(6) = ∑+=

εT

1ti

)i( + W(t).

De (6) tenemos que

(7) E[W(T)| W(t)] = W(t), Var[W(T)| W(t)] = T-t.

Igual que antes, (7) implica que W(T) ∼ N(W(t), T-t).

Supongamos t1, t2, t3, t4 tal que 0<t1<t2<t3<t4. Entonces,

(8) E0[W(t2)-W(t1)] = E0[ ∑=

ε2t

1i

)i( -∑=

ε1t

1i

)i( ] = 0,

(9) Var0[W(t2)-W(t1)] = Var0[ ∑=

ε2t

1i

)i( -∑=

ε1t

1i

)i( ] = t2-t1,

(10) Cov0[W(t2)-W(t1), W(t4)-W(t3) ]= 0,

(11) Cov0[W(t3)-W(t1), W(t4)-W(t2)] = Var0[W(t3)-W(t2)] = t3-t2.

Consideremos ahora un random walk con tendencia (drift) α:

(12) x(t) = αt + σ W(t),

donde α y σ son constantes.

Lo anterior implica que:

x(T) – x(t) = αT + σ W(T) - αt - σ W(t)

= α(T-t) + σ [W(T) - W(t)]

(13) = α(T-t) + σ ∑+=

εT

1ti

)i( .

De (13) se deduce que:

(14) x(T)|x(t) ∼ N[x(t) + α(T-t), σ2 (T-t)].


El modelo anterior podría ser utilizado para describir la dinámica del precio deuna acción. Sin embargo, ello implicaría permitir que el precio tomara valores negativos.Un modelo más realista es aquel que supone que el precio se distribuye lognormal:

(15) S(t) = S(0) exp[x(t)] = S(0) exp [αt + σ W(t)],

donde S(t) representa el precio de la acción en t.

De (15),

(16) ln S(t) = ln S(0) + αt + σ W(t).

Ello implica que:

(17) ln S(T) – ln S(t) = α(T-t) + σ [W(T) - W(t)].

De (17) deducimos que:

(18) ln S(T)| ln S(t) α(T-t) + σ [W(T) - W(t)].

Es decir, S(T)condicional en el valor tomado en por S en t, S(t)se distribuyelognormal.

De (17) se tiene que:

(19) S(T) = S(t) exp α(T-t) + σ [W(T) - W(t)].

Se sabe que si y∼ N(µ, σ2) entonces E(ey)=exp(µ +σ2/2)ver, por ejemplo,Greene, 1996. En este caso y=α(T-t) + σ [W(T) - W(t)]~N [α(T-t), σ2 (T–t)]. Entonces,

(20) E[S(T)| S(t)] = S(t) exp[α(T-t) + σ2(T-t)/2].

En la ausencia de dividendos, el retorno aritmético medio está dado por:

Et-1 [S(t) – S(t-1)/S(t-1)] = Et-1 [expα + σ[W(t) – W(t-1)]] –1,

(21) = exp(α + σ2/2) –1 ≈ α + σ2/2.

En contraste, el retorno medio compuesto continuamente viene dado por:

Et-1 [ln S(t) – ln S(t-1)] = Et-1 [α + σ[W(t) – W(t-1)]],

(22) = α.

Pasemos a estudiar un random walk en tiempo continuotambién llamadoproceso Wiener estándar . Para ello consideremos el intervalo de tiempo de 1 a h:


(23) W(t + h) = W(t) + ε(t+h),

donde ε(t+h) ~ N(0, h).

Sea ∆W(t) ≡ W(t) – W(t-1) = ε(t+h). Entonces,

(24) E[∆W(t)]=0, E[∆W(t)2] = h, E[∆W(t)3] = 0, E[∆W(t)4] = 3h2.

(En general, si ε~N(0, h) entonces E( ε2k)= kk

h !k 2

)!k2( , donde k ∈ ; E(ε2k+1)=0).

Supongamos que el intervalo [t, T] es dividido en n subintervalos de largoh=(T-t)/n. Entonces,

W(t + h) = W(t) + ∆W(t),

W(t + 2h) = W(t + h) + ∆W(t + h),

= W(t) + ∆W(t) + ∆W(t + h).Por lo tanto,

(25) W(T) = W(t) + ∆W(t) + ∆W(t + h) + ∆W(t + 2h) +...+ ∆W(t + nh).

La identidad anterior implica que

E[W(T)|W(t)] = W(t); Var[W(T)|W(t)] = n Var [∆W(t)] = nh = T-t.

De ello se deduce que

(26) W(T) –W(t) ~ N(0, T-t),

distribución de probabilidad independiente de n.

En el límite, a medida que h→0, W(t) tiende al denominado proceso Wiener omovimiento Browniano estándar. De la discusión anterior, se puede inferir que W(t)satisface las siguientes tres propiedades:

Sus trayectorias son continuas.

Sus incrementos son independientes y estacionarios.

W(t)|W(0) ~ N(0, t).

Existe un teorema que establece que, si x(t) satisface i) y ii), entonces es unproceso Wiener. Es decir, x(t) = x0 + µt + σ W(t), donde µ y σ son constantes. Esimportante señalar que la propiedad iii) es una consecuencia de i) y ii). (Para untratamiento riguroso, ver Billingsley, 1995).


Sea dW(t) ≡ W(t + dt) – W(t), con dt→0. Entonces, dW(t) ~ N(0, dt). Esteresultado puede ser expresado como:

(27) dW(t) = (dt)1/2 ξ, ξ ~ N(0,1).

De (27) se tiene que E[dW(t)]=0, E[dW(t)2]=dt, E[dW(t)3]=0,E[dW(t)4]=3(dt)2, etc.

Ejemplos

1) Proceso Wiener con Tendencia (Drift) o Movimiento Browniano Aritmético

(28) dx(t) = µ dt + σ dW(t),

con µ y σ, constantes.

2) Movimiento Browniano Geométrico

(29) dx(t) = µ x(t) dt + σ x(t)dW(t),

con µ y σ, constantes.

Los ejemplos (1) y (2) son casos particulares de un proceso de difusión:

dx(t) = µ(x(t), t) dt + σ (x(t), t) dW(t).

Para el caso2), µ(x, t)=µx y σ (x, t)= σ x.

3) Proceso con Reversión a la Media

El proceso con reversión a la media más simple es el de Ornstein-Uhlenbeck:

(30) dx(t) = β[ x -x(t)] dt + σ dW(t),

donde β es la velocidad de reversión y x es el nivel al cual x tiende a revertirse. Enparticular, si x es mayor (menor) que x , entonces es más probable que caiga (aumente)en el próximo intervalo de tiempo. Ello implica que este proceso no tiene incrementosindependientes.

La Figura 2 muestra distintas trayectorias de un proceso Wiener aritmético conparámetros µ=0,15 y σ=0,7 por año y x0=0. Las simulaciones están hechas en términosmensuales para 50 años. Para calcular la trayectoria de x(t) se utilizó la ecuación:

xt = x t-1 + 0,0125+0,2021 ξt ,donde ξt es una variable aleatoria normal estándar. La línea rectatendencia seobtiene de la ecuación anterior al eliminar el término aleatorio ξt.


Figura 2Diferentes Trayectorias de un Proceso Wiener Estándar

-2

0

2

4

6

8

10

12

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551

Tiempo (Meses)

Figura 3Diferentes Trayectorias de un Proceso Wiener Geométrico

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

1 52 1 0 3 1 5 4 2 0 5 2 5 6 3 0 7 3 5 8 4 0 9 4 6 0 5 1 1 5 6 2

T i e m p o ( M e s e s )

La Figura 3 muestra simulaciones de la trayectoria de un proceso Wienergeométrico con parámetros µ=0,07 y σ=0,2 por año y x0=100. Al igual que en la Figura2, las simulaciones están hechas en términos mensuales. La trayectoria simulada de x(t)está dada por:

xt = 1,0058 x t-1 + 0,0577 xt-1 ξt


donde ξt ~N(0, 1).

Las Figuras 4 y 5 muestran intervalos de confianza al 90 por ciento para elpronóstico de x(t) desde la observación 180 en adelante. Para el caso del proceso Wieneraritmético, el pronóstico de x para T meses en adelantepartiendo de t=180está dadopor:

x 180+T = x 180 + 0,0125 T.

Figura 4Intervalo de Confianza al 90% para el Pronóstico de un Proceso Wiener Estándar

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 57 113 169 225 281 337 393 449 505 561

Tiempo (Meses)

Intervalo de Confianza al 90%

Figura 5Intervalo de Confianza al 90 % para el Pronóstico de un Proceso Wiener

Geométrico

0

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

6 0 0 0

7 0 0 0

1 6 0 1 1 9 1 7 8 2 3 7 2 9 6 3 5 5 4 1 4 4 7 3 5 3 2 5 9 1


I n t e r v a l o d e C o n f i a n z a a l 9 0 %


Un intervalo de confianza al 90 por ciento para este pronóstico está dado por:

x 180 + 0,0125 T ± 1,65 x 0,2021 T .

Figura 6Diferentes Trayectorias de un Proceso con Reversión a la Media

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 57 113 169 225 281 337 393 449 505 561


ß=0

ß=0.07

ß=0.5

Figura 7Intervalo de Confianza al 90 % para el Pronóstico de un Proceso con

Reversión a la Media

-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

0 5 8 1 1 6 1 7 4 2 3 2 2 9 0 3 4 8 4 0 6 4 6 4 5 2 2 5 8 0


I n t e r v a l o d e

C o n f i a n z a a l 9 0 %


Para el proceso de Wiener geométrico, el pronóstico de x desde t=180 enadelante es:

x 180+T = (1,0075)T x 180,

con un intervalo de confianza al 90 por ciento de:

[(1,0075)T (1+1,65 x 0,0577)T

x 180 ; (1,0075)T (1+1,65 x 0,0577)T−

x 180]

La Figura 6 muestra trayectorias de un proceso que presenta reversión a lamedia para distintos valores del parámetro β: 0, 0.07 y 0.5 con x0=1, x =0,6 y σ=0,3 poraño. El caso en que β=0 corresponde a un simple proceso Wiener sin tendencia. Paralos casos en que β≠0, se observa que, a medida que aumenta el valor del parámetro β,x(t) tiende apartarse menos de x −su equilibrio de largo plazo.

La Figura 7, en tanto, presenta un intervalo de confianza al 90 por ciento para el

pronóstico de x. En este caso, E( xt )= x +(x0 - x ) e-βt y Var (xt - x )=β

σ2

2

(1-e-2βt), de

modo que la esperanza de xt converge a x y la varianza a σ2/2β a medida que t→∞-

El Lema de Ito

Supongamos que x(t) representa el precio de un activo financiero cuya dinámicaes descrita por el siguiente proceso de difusión:

(31) dx(t) = α(x(t), t) dt+ σ(x(t), t) dW(t).

Sea f(x(t), t) el precio en t de un derivado en el activo subyacente con preciox(t). El cambio en el precio de este derivado entre t y t+dt está dado por:

df(x(t), t) = f(x(t+dt), t+dt) – f(x(t), t)

(32) = f(x(t)+dx, t+dt) – f(x(t), t).

Realizando una expansión de Taylor de f(x(t)+dx, t+dt) en (32)bajo elsupuesto que todas las derivadas existenalrededor de (dx, dt)=(0,0), obtenemos que:

df(x(t), t) = ft(x(t), t) dt + fx(x(t), t) dx +21 ft t(x(t), t) (dt)2 + fxt(x(t), t) dx dt

+21 fxx (dx)2 +

61 fttt (dt)3 + ...

= ft dt + fx α(x(t), t) dt+ σ(x(t), t) dW(t) + 21 ftt (dt)2 +


fxt α(x(t), t) dt+ σ(x(t), t) dW(t)dt + 21

fxx α(x(t), t) dt+ σ(x(t), t) dW(t)2 + ...

= ft dt + α(.)fxt (dt)2 + σ(.) fx dW + 21 ftt (dt)2 + α(.) fxt (dt)2 + σ(.) fxt (dt)(dW)

(33) + 21 fxx α2(.) (dt)2 + 2α(.)σ(.) (dt)(dW) + σ2(.)(dW)2 + ...

Si ignoramos los términos (dt)2 y de orden menor, tenemos que:

(34) E(df) = [ft + α(.) fx + 21 σ2(.) fxx] dt + o(dt),

Var(df) = σ2(.) (fx)2 dt + o(dt).

Ello implica que:

(35)

Aplicaciones del Lema de Ito Univariado

1.- Retorno Aritmético y Geométrico. Supongamos que el precio de una ciertaacción, S(t) sigue un proceso Wiener geométrico:

dS(t) = µ S(t) dt + σ S(t) dW(t),

donde µ y σ son constantes.

La tasa de retorno aritméticoen la ausencia de dividendosviene dada por:

)t(S)t(dS

= µ dt + σ dW(t) ~ N(µ dt, σ2 dt).

A fin de encontrar la tasa de retorno compuesta continuamente (geométrica),definamos la función f(S(t), t) = ln S(t). Luego, ft = 0, fS = 1/S, fss= -1/S2. Si aplicamos(35) tenemos que:

df(S, t) = d ln S(t)= [ft + µ S fs + 1/2 σ2 S2 fss] dt + σ S fs dW

= (µ - σ2/2) dt + σ dW ~ N[(µ - σ2/2) dt, σ2 dt]

Lema de Ito Univariado

df = [ft dt + α(.)fx + 21

σ2(.)]dt + σ(.) fx dW


2. Derivación de la Ecuación de Black-Scholes

Supongamos que cambios infinitesimales en el precio del activo subyacente(acción) pueden ser descritos por:

dS(t) = α(S(t), t) dt+ σ(S(t), t) dW(t).

Notemos que el precio no es necesariamente lognormal a menos que α(S(t), t)=µS, y σ(S(t), t)= σS, donde µ y σ son constantes.

Se asume que la acción paga una tasa de dividendo continuo, δ, tal que en elintervalo de tiempo [t, t+dt] su poseedor recibe $ δ S(t) dt. La tasa de interés libre deriesgo es constante e igual a r. Sea C(S(t), t) el precio de una calleuropea o americana.Por el lema de Ito,

dC(S(t), t) = [Ct + α Cs + 1/2 σ2 S2 Css] dt + σ S(t) Cs dW(t).

A fin de derivar la ecuación diferencial parcial que debe satisfacer el precio dela call, formemos el siguiente portafolio en t (hoy):

Transacción en t Flujo en t Flujo en t + dtTomar una posición corta en una call C -(C + dC)Comprar ∆ acciones -∆S ∆ (S + dS + δ S dt)Pedir prestado ∆S - C ∆S - C -(∆S – C)(1+ rdt)Total 0 -dC + ∆ dS + ∆δSdt - ∆ S r dt + C r dt

Pero,

-dC + ∆ dS + ∆δSdt - ∆ S r dt + C r dt

= -[Ct + α Cs + 1/2 σ2 S2 Css] dt - σS Cs dW + ∆α dt + ∆ σS dW + ∆δS dt - ∆S rdt +rC dt.

Si escogemos ∆ = Cs, razón de hedge, entonces el componente aleatorio en laigualdad de arriba, [-S σ Cs + ∆ σ S] dW se hace cero. Ello implica que el flujo en t+dtdebe ser también cero puesto que, de lo contrario, podríamos hacer una ganancia libre deriesgo en t+dt sin desembolsar dinero hoy día. Es decir,

Ct + (r -δ) SCs + 1/2 σ2(S, t) S2 Css – rC = 0,

la cual es la ecuación de Black-Scholes.

Para una call europea, las condición de borde son C(0, t)=0; C(S(T), T) =max[0, S(T) – K]. Si asumimos que la volatilidad es constante, entonces obtenemos la


fórmula de Black-Scholes. Nótese que la ecuación diferencial de arriba no depende deα(S(t), t).

Consideremos la generalización de (35). Supongamos para ello una función dem procesos de difusión x1, x2 , ..., xm y de t, f=f(x1, x2 , ..., xm, t), donde:

(36) dxi = αi(x1 , ..., xm, t) + σi(x1, ..., xm, t) dWi, i=1,..., m

y E(dWi dWj) = ρ ij dt.

Sea fi =ix

f∂∂

y fij =ji

2

xxf

∂∂∂

. Entonces,

(37)

Generalización del Lema de Ito

df = [ft + ∑=

αm

1iim1i f t),x ..., ,(x + iim1

m

1i

2i f t),x..., ,x(

21∑

=

σ +

dt ]f t),x ..., ,(x t),x ..., ,(x ijm1jm1iji

ij σσρ∑≠

+ iim1

m

1ii dWf t),x..., ,x(∑

=

σ

Por ejemplo, para el caso bivariado (m=2):

dx1 = α1(x1, x2, t) + σ1(x1, x2, t) dW1,

dx2 = α2(x1, x2, t) + σ2(x1, x2, t) dW2,

donde E(dW1 dW2) = ρ12 dt = σ12/σ1σ2 dt, y

df = [ft + α1 f1 + α2 f2 + 21

(σ12 f11 + σ2

2 f22) + σ12 f12] dt + [σ1 f1 dW1+ σ2 f2 dW2]

REFERENCIAS

Black, F. y M. Scholes (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” enJournal of Political Economy , 81(3), May-June, pp. 637-54.

Billingsley, P (1995), Probability and Measure. Tercera Edición. Wiley Series inProbability and Mathematical Statistics.

Black, F (1975), “Fact and Fantasy in the Use of Options” en Financial AnalysisJournal , 31, julio-agosto, 36-41, 61-72.


_______ (1976), “The Pricing of Commodity Contracts” en Journal of FinancialEconomics 3, 167-79.

Constantinides, G. M. (1997), Financial Instruments, mimeo, University of Chicago.Notas de clase “Business 337”, otoño.

Dixit, A. y R. Pindyck (1994), Investment under Uncertainty. Princeton UniversityPress.

Greene, W. (1996), Econometric Analysis. Tercera Edición. Macmillan.

Hull, J. (1997), Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, tercera edición.

Pindyck, R. (1991), “Irreversibility, Uncertainty, and Investment” en Journal ofEconomic Literature, Vol. XXIX (septiembre), pp. 1110-1148.

Whaley, R. (1981), “On the Valuation of American Call Options on Stocks with KnownDividends” en Journal of Financial Economics 9, 207-211.


1. Este ejercicio tiene por objetivo ilustrar el cálculo del precio de una opción conlas probabilidades del mundo real en vez de aquellas de un mundo neutral alriesgo. Veremos que ambos procedimientos conducen a la misma respuesta.

Suponga que una acción se transa en $60 hoy día. Mañana su precio puede subira $90 con probabilidad q=80% o bajar a $30 con probabilidad 1-q=20%. La tasade interés libre de riesgo es 20% (interés simple) por período.

(a) ¿Cuál es el precio esperado de la acción al final del período? ¿Cuál esel retorno esperado de la acción al final del período?

(b) ¿Cuál es el precio esperado de una call en la acción al final delperíodo?

(c) Como vimos, una posición larga en una call es equivalente a unportafolio compuesto por una posición larga en un cierto número deacciones más un préstamo. Determine dicho portafolio y obtenga suretorno esperado. Hint: En la parte (a) usted determinó el retornoesperado de la acción y sabe que el retorno del monto en caja que ustedposee es 20%. Pondere dichos retornos por la proporción querepresenta cada posición (esto es, acciones y préstamo) en dinero en elvalor total de su portafolio para obtener el retorno de éste. Dado queeste portafolio es una call sintética, ese será el retorno exigido para lacall a finales del período.


(d) Calcule el precio corriente de la call descontando los pagos esperadoscon la tasa de retorno calculada en (c). ¿Obtiene el mismo resultado siutiliza el método de valoración en un mundo neutral al riesgo?

(e) Suponga que q es ahora 90%. Repita los pasos de (a)-(d) y calcule elprecio corriente de la call. ¿Es el mismo de antes? ¿Cuál es laintuición?

2. Intel se transa en US$50 hoy día. Se sabe que en cada uno de los dos próximosmeses, el precio de Intel subirá en 25% o caerá en 20%. La tasa de interéssimple mensual es 1%. Además, se sabe que en un mes más Intel pagará undividendo, el cual será igual al 10% del precio de la acción en ese momento.Por ejemplo, si el precio de Intel es US$30 de aquí a un mes, el dividendo seráigual a US$3.

(a) Derive un modelo binomial de dos períodos para el precio de Intel(esto es, use un mes para cada período). Encuentre u, d, r y p.

(b) Use el método binomial para encontrar el precio de una put americanaen la acción de Intel a dos meses con K=50.

(c) Use el método binomial para encontrar el precio de una call “binaria”europea, la cual paga US$100 si el precio de Intel es mayor o igual a$50 en dos meses más, y US$0 si no.

(d) ¿Cuántas acciones debería comprar y cuánto dinero debería pedirprestado hoy día para replicar el precio de la call binaria europea elpróximo período? ¿Cuál es el valor de este portafolio? ¿Cómo secompara con el precio encontrado en (c)? Hint: Utilice el precio de laacción pre-dividendo dado que el ejercicio temprano no procede.

3. Suponga que el logaritmo del retorno anualizado de la acción de Microsoftsigue una distribución normal con media 0,18 y desviación estándar de 0,4. Latasa de interés anualizada compuesta continuamente es 4%. Microsoft se transaen US$50 actualmente. No se repartirán dividendos en los próximos nuevemeses.

(a) Encuentre u, d, r y p para un árbol binomial de tres períodos .

(b) Utilice el modelo binomial de tres períodos para encontrar el precio deuna put europea a nueve meses con un precio de ejercicio de US$60.Hint: Utilice “Excel” o la fórmula general del árbol de n períodoscubierta en este capítulo para el caso de una call. (Sólo tiene quereemplazar el valor de la call por el de la put).

4. (Arbol que no se recombina). El valor corriente de la acción de IBM es US$20.La volatilidad del retorno de la acción se mueve inversamente en relación alprecio de la acción. Esto es, σ/mes=2/S, donde S representa de precio de IBM.


La tasa de interés simple es 1% por mes. Si IBM no paga dividendos, encuentreel precio de una call americana con un precio de ejercicio de US$20 y con fechade expiración de dos meses. Utilice el modelo binomial de dos períodos. Hint:Dado que la volatilidad del precio de IBM no es constante, usted debe calcularu, d y p para cada nodo.

5. El propósito de este ejercicio es ilustrar que, si la volatilidad de la acción esestocástica y negativamente correlacionada con el precio de la acción, lavolatilidad implícita del precio de mercado de las opciones debería exhibir lallamada “sonrisa de la volatilidad” (volatility smile):

Asuma que la volatilidad del retorno de la acción se mueve inversamente alprecio de la acción. Esto es, σ/mes=2/S, donde S representa de precio de laacción. Utilice un árbol binomial de cuatro períodos para valorar una call acuatro meses para los siguientes precios de ejercicio: K=14, 17, 20, 23, 26.(Note que el árbol no se recombina).

Después de obtener el precio de las opciones para los distintos precios deejercicio, utilice la fórmula de Black-Scholes para obtener las volatilidadesimplícitas para estos distintos precios de ejercicio, y grafique la volatilidadimplícita como una función de K.

Volatilidad Implícita

Precio de Ejercicio, K

6. De acuerdo a información de The Wall Street Journal, la acción de Intel se

transaba en $11583 el 18 de noviembre de 1996. Las calls para diciembre con

precios de ejercicio de 105, 110, 120 y 125 se transaban en dicha fecha,respectivamente, en $12

21 , $8

87 , $5

85 , $3

43 , $2

161 . Se sabe que la acción

no pagó ningún dividendo antes de la maduración de estas opciones.


Calcule la volatilidad implícita de la acción de Intel para cada uno de losprecios de ejercicio anteriores. Grafique sus resultados. Utilice la tasa LIBOR a30 días como la tasa libre de riesgo. Se sabe que al 18/11/96, ésta alcanzaba a5

83 %. Usted puede tratar esta tasa como anualizada, compuesta continuamente.


CAPITULO 3

COBERTURA DE RIESGO DE OPCIONES

1. INTRODUCCION

En la práctica, una empresa o institución financiera que emite un derivadonecesita protegerse del riesgo que involucra su posición corta. Si escribimos, porejemplo, una opción contamos con dos alternativas de cobertura de riesgo: i) adquirir laopción en el mercadosi está disponible, o ii) formar un portafolio que replique suvalor. La alternativa i) representa una cobertura perfecta puesto que, si la opción emitidaes ejercida en nuestra contra, inmediatamente ejercemos nuestra posición larga en dichaopción. Dicha estrategia de cobertura de riesgo, sin embargo, no involucra gananciasamenos que la opción emitida estuviera sobrevaloraday, en general, no es viablecuando involucra una opción exótica (over-the-counter). Por lo tanto, la alternativa ii) esla de uso más frecuente en la práctica.

Supongamos, entonces, que formamos un portafolio réplica del valor de nuestraposición corta. ¿Es factible eliminar todo el riesgo de mercado asociado con nuestraposición? Si el modelo binomial fuera una descripción adecuada de la dinámica delprecio del activo subyacente, sería posible, en principio, ir cambiando la composición denuestro portafolio en cada estado de la naturaleza sin costo. Sin embargo, si el precio delactivo subyacente siguiera un proceso aleatorio continuo—por ejemplo,lognormaldeberíamos cambiar la composición de nuestro portafolio en todo instantedel tiempo. En la realidad, tal estrategia es impracticable debido a los altos costos detransacción que conllevaría.

En consecuencia, la estrategia a seguir es la siguiente:

(1) Identificar las fuentes del riesgo:

-S: precio del activo subyacente-t: tiempo-σ: volatilidad-r: tasa de interés

(2) Formar un portafolio réplica (u opción sintética). El valor de mercadode este portafolio debería cambiar aproximadamente en el mismomonto en que varía el precio de la opción ante cambios pequeños enlas variables en (1).

2. POSICIONES CUBIERTAS Y DESCUBIERTAS

Una estrategia posible es simplemente no cubrirse del riesgo. Tal estrategia sedenomina “posición descubierta”, naked position. Supongamos, por ejemplo, que unainstitución emite una opción de compra europea por 10.000 acciones con vencimiento a

76 VALORIZACION DE DERIVADOS

3 meses. Si la opción es ejercida, la institución debe comprar 10.000 acciones en elmercado al precio prevaleciente en tres meses más. Supongamos que la opción fuevendida en $300.000—el precio obtenido mediante la fórmula de Black-Scholes. Si elprecio de ejercicio es $50 por acción y el precio de mercado en 3 meses es de $70 poracción, la empresa tendrá una pérdida de $200.000. Ignorando el factor de descuento, laempresa tendrá una ganancia neta de $100.000. Si, en tanto, la acción subiera a $120, eldinero ganado al momento de vender la opción no cubriría la pérdida sufrida al momentode su expiración, $700.000. Como vemos, una posición descubierta funciona bien si elprecio de la acción está por debajo del precio de ejercicio de la opción.

Una estrategia alternativa es la “posición cubierta”, covered position. Estainvolucra comprar 10.000 acciones tan pronto como la acción es vendida. Si el precio demercado de la acción en dicho momento es de $48, entonces la empresa gastará$450.000 en acciones. Supongamos que el precio por acción cae a $30 en tres mesesmás, por ejemplo. En dicho caso, la opción no será ejercida y la empresa perderá$180.000 por concepto de acciones. Ignorando el factor de descuento, la empresa tendráuna ganancia neta de $120.000.

En consecuencia, ninguna de estas estrategias proporciona una coberturasatisfactoria de riesgo. Bajo los supuestos del modelo de Black-Scholes, el costo para lainstitución financiera de cubrir su posición será en promedio de $300.000. Es decir, elprecio pagado por la opción. Sin embargo, en algunos casos éste será de cero o de$700.000. Una cobertura perfecta aseguraría siempre un costo de $300.000. Esto es, uncosto neto de emisión y cobertura de la opción de $0.

3. LA ESTRATEGIA DE COMPRAR-VENDER

Hull y White (1987) analizan la estrategia de comprar–vender (stop-lossstrategy). A fin de ilustrar esta estrategia, supongamos que una institución financieraemite una opción de compra europea en una acción con precio de ejercicio de K yvencimiento en T, y desea cubrirse del riesgo asociado con su posición. La estrategia decomprar-vender consiste en comprar la acción tan pronto como su precio supere a K yvenderla tan pronto como caiga por debajo de K. Es decir, la institución tiene unaposición cubierta si S(t)>K y una posición descubierta si S(t)<K. La idea es que lainstitución financiera tenga la acción a mano sólo en el caso en que la opción seaejercida, esté “in the money”.

La Figura 1 ilustra cómo se lleva a cabo esta estrategia. Como vemos,compramos la acción en t1 y la mantenemos hasta t2. Luego, en t2 la vendemos y lavolvemos a comprar en t3 para mantenerla hasta t4, etcétera. El costo de iniciar estaestrategia es de S(0) si S(0)>K, y cero si no. A primera vista, el costo total de coberturade riesgo es de:

(1) Q = max [S(0)-K, 0],

porque posteriormente compramos y vendemos la acción en $K. En ausencia de costosde transacción, esta estrategia sería perfecta y siempre tendría un costo inferior al preciocobrado por la opción en t=0, de acuerdo a la fórmula de Black-Scholes. Por lo tanto,


uno podría obtener una ganancia libre de riesgo al emitir una opción y cubrirse del riesgode esa posición corta.

Figura 1Estrategia de Comprar - Vender

K

Tiempot1 t3 t4 t5

Precio de la Acción, S(t)

t2

Sin embargo, hay una razón crucial que hace que este raciocinio seaequivocado: el precio al cual las compras y ventas se llevan a cabo no es exactamente$K. En la práctica, las ventas se llevarán a cabo a un precio $K-ε y las compras a unprecio $K+ε, para algún ε>0. Por lo tanto, cada compra y venta involucra un costo de$2ε (a parte de los costos de transacción)1. A fin de disminuir dicho costo, la instituciónfinanciera debería reducir el valor de ε. En el límite, uno desearía hacer ε→0. Sinembargo, ello involucraría realizar un número infinito de transacciones.

Tabla 1Desempeño de la Estrategia Comprar-Vender

∆t (semanas) 5 4 2 1 0,5 0,25Medida de desempeño 1,02 0,93 0,82 0,77 0,76 0,76

Nota: Simulaciones realizadas para una call europea con S=49, K=50, r=0,05 y σ=0,20 y T-t=0,3846 en base a muestras de tamaño 1.000 para cada caso. El error estándar es de 2 por ciento.La estrategia consiste en: i) comprar la acción al final del intervalo ∆t si el precio de la acción subepor sobre K partiendo de un valor inferior a K en el intervalo ∆t; ii) vender la acción al final delintervalo ∆t si el precio de la acción cae por debajo de K partiendo de un valor superior a K en elintervalo ∆t. De lo contrario, no se hace nada.

Hull (1997) presenta una evaluación de esta estrategia mediante simulaciones de MonteCarlo. Se asume que el precio de la acción es observado al final de cada intervalo detiempo ∆t. El desempeño de la estrategia se calcula como la razón entre la desviación

1 Dado que las sucesivas compras y ventas toman lugar en distintos puntos del tiempo, el factor dedescuento sería un punto a considerar a fin de calcular el costo de la estrategia de cobertura.


estándar del costo de escribir la opción y cubrirse del riesgo y el precio dado por lafórmula de Black-Scholes. Aunque ∆t se haga arbitrariamente pequeño, no es posibleproducir una medida de desempeño inferior a 0,7 (Tabla 1).

4. TECNICAS DE COBERTURA DE RIESGO MAS ELABORADAS

Los agentes que participan en el mercado de opciones generalmente utilizantécnicas de cobertura de riesgo más sofisticadas que la estrategia de comprar-vender. Enprimer término, se intenta hacer el portafolio inmune a pequeños cambios en el preciodel activo subyacente en intervalos de tiempo pequeños. Esto se conoce como deltahedging. En segundo término, se mira a variables tales como el gama y vega delportafolio. Gama mide la tasa a la cual el delta de una opción cambia frente a variacionesen el precio del activo subyacente. Si hacemos que nuestro portafolio tenga un gamacercano a cero, entonces éste se vuelve relativamente insensible a cambios más biengrandes en el precio del activo subyacente. Vega, en tanto, es la tasa a la cual el valor delportafolio cambia a medida que la volatilidad del activo subyacente varía. Si hacemosque nuestro portafolio tenga un vega cercano a cero, entonces éste se vuelverelativamente insensible a cambios (pequeños) en la volatilidad del precio del activosubyacente.

Otros parámetros relevantes para la cobertura de riesgo son el theta y el rho deun portafolio. Theta mide la tasa a la cual el valor del portafolio cambia con el paso deltiempo. Rho, por su parte, es la tasa del cambio del valor del portafolio frente avariaciones en la tasa de interés libre de riesgo. Una técnica alternativa para la coberturade riesgo es el análisis de escenarios (ver Hull, 1997): contraste de estrés (stress testing),simulaciones de Monte Carlo y valor en riesgo (Value at Risk , VaR).

4.1. Derivadas Parciales de Opciones Europeas (en una acción que no pagadividendos)

Estamos interesados en ver cómo cambia el precio de una opción cuandoalteramos un determinado factorprecio del activo subyacente, tiempo, volatilidad ofactor de descuento manteniendo los demás inalterados.

(a) Delta (∆)

Delta mide la sensibilidad del precio de un derivado frente a variaciones en elprecio del activo subyacente. Supongamos que tenemos una call escrita sobre unaacción. Gráficamente, cuando el precio de la acción es S0 el precio de la call es C0. Eldelta de la call es la pendiente de la curva en el punto (S0, C0). Es decir, ∂C/∂S evaluadaen dicho punto. Ello se ilustra en la Figura 2.

Bajo el modelo de Black-Scholes, tenemos que:

(2) ∆c=SC

∂∂ =Φ(d1)>0,


(3) ∆p=SP

∂∂

=-Φ(-d1)<0,)

con d1= ( )2

tTtT

S/(Keln t)r(T −σ+

−σ

−−

.

Figura 2Delta de una Call

Pendiente = ∂C/∂S(S0, C0)

Precio de laAcción

Precio de la Opción

C0

S0

Como vemos de la ecuación (2), ∆c>0. Esto implica que, si tenemos unaposición corta (larga) en una call, debemos mantener una posición larga (corta) en Φ(d1)acciones a fin de cubrir nuestra posición. A su vez (3) implica que, si tenemos unaposición corta (larga) en una put, debemos tener una posición corta (larga) en Φ(-d1)acciones.

Se puede demostrar que ∆c→0 a medida que S→0, y que ∆c→1 a medida queS→∞. La intuición de este resultado es que es óptimo mantener una posición descubiertacuando la opción está deep out-of-the-money y una posición cubierta cuando la opciónestá deep in-of-the-money Las Figuras 3 y 4 muestran tal propiedad. De ello se deduceque ∆p→ -1 a medida que S→0, y ∆p→0 a medida que S→∞ (ver Figuras 5 y 6).

(b) Gama (Γ)

Gama mide la convexidad del derivado. Es decir, indica cuán rápido éste quedadesprotegido ante cambios en el precio del activo subyacente cuando sólo nosprotegemos del riesgo de nuestra posición usando el activo subyacente.

Bajo el modelo de Black-Scholes:

(4) Γc=τσS

d

SC

Sc )(' 1

2

2 Φ=

∂∂

=∂∆∂ =Γp>0.


con τ ≡ T-t

Figura 3Delta de una Call

0

0.2

0.4

0.6

0.8

15

0

65

80

95

11

0

12

5

14

0

15

5

17

0

18

5

Precio Acción

De

lta

X = precio de la acción, Y = tiempo Z= delta

Figura 4Delta de una Call como una Función del Tiempo y el Precio de la Acción

50

90 13

0 170

0.01

0.21

0.41 0

0.5

1

Delta

Precio Acción

Tiempo

X = precio de la acción, Y = delta


Figura 5Delta de una Put

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

50

65

80

95

110

125

140

155

170

185

Precio Acción

De

lta

X = precio de la acción, Y = tiempo Z= delta

Figura 6Delta de una Put como una Función del Tiempo y el Precio de la Acción

50

90

13

0

17

0

0.01

0.27

-1

-0.5

0

Delta

Precio AcciónTiempo

X = precio de la acción, Y = gama


Figura 7Gama de una Opción

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

50

65

80

95

11

0

12

5

14

0

15

5

17

0

18

5

Precio Acción

Ga

ma

Como sugiere la figura 7, Γ→0 a medida que S→0 y a medida que S→∞. Γ es altocuando S≈K, es decir, cuando la opción está at-the-money.

(c) Theta (Θ)

Theta mide la sensibilidad del derivado al pasaje del tiempo, todo lo demásconstante. Por ejemplo, el valor de una call europea (en una acción que no pagadividendos) cae a medida que el tiempo pasa porque la varianza del precio final cae, yporque el precio de ejercicio recibe un menor descuento.

(5) Θc=τ

σ2

)(' 1dStC Φ

−=∂∂ -rKe-rτ Φ(d2)<0,

(6) Θp=τ

σ2

)(' 1dStP Φ

−=∂∂ +rKe-rτ Φ(d2).

En general, el theta de una opción será negativo (Figura 8) porque ésta vaperdiendo valor con el paso del tiempo. Excepciones pueden ser una put europea in-the-money en una acción que no paga dividendos o una call europea in-the-money enmoneda extranjera con una alta tasa de interés (Hull, 1997).

Es importante señalar que theta no es la misma clase de parámetro de hedgingque delta o gama. La razón es que, a pesar de que existe incertidumbre con respecto alprecio del activo subyacente, no existe incertidumbre con respecto al paso del tiempo.Como indica la ecuación (11), si theta es grande en valor absoluto, delta o gama debe sergrande. Si, en tanto, delta y gama son cero, el valor de nuestra posición crece a la tasalibre de riesgo.


Figura 8Theta de una Call Europea

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

50 65 80 95

110

125

140

155

170

185

200

Precio Acción

Th

eta

(d) Vega (ϑ)

Vega mide la sensibilidad del derivado frente a cambios en la volatilidad delactivo subyacente. Bajo el modelo de Black-Scholes, tenemos que:

(7) ϑc= )d('SC1Φτ=

σ∂∂

=ϑp>0,

con ϑ≈0 para S<<K y para S>>K. Además, ϑ es máximo para S≈Ke-rτ (ver Figura 9).

Figura 9Vega de una Opción

0

5

10

15

20

25

50

65

80

95

11

0

12

5

14

0

15

5

17

0

18

5

20

0

Precio Acción

Ve

ga


(e) Rho:

Rho mide la sensibilidad del derivado con respecto a variaciones en la tasa deinterés. Por ejemplo, el valor de una call europea (en una acción que no pagadividendos) aumenta con la tasa de interés porque el valor presente de S(T), S(t),permanece constante mientras que el valor presente de K cae.

Bajo el modelo de Black-Scholes, tenemos:

(8) Rhoc= rC

∂∂

= Kτe-rτ Φ(d2)>0,

(9) Rhop=rP

∂∂

= -Kτe-rτ Φ(-d2)<0.

Figura 10Rho de una Call Europea

0

10

20

30

40

50

60

50

65

80

95

11

0

12

5

14

0

15

5

17

0

18

5

20

0

P r e c i o A c c i ó n

Rh

o

Anteriormente, derivamos la ecuación diferencial que debía satisfacer una calleuropea bajo los supuestos del modelo de Black-Scholes:

(10) 0rCtC

SCrS

SCS

21

2

222 =−

∂∂+

∂∂+

∂∂σ ,

lo que nos entrega una relación entre ∆, Γ y Θ (r y σ se asumen constantes en elmodelo):

(11) 0rCrSS21 22 =−Θ+∆+Γσ .


4.3. Una Aplicación

Supongamos que el precio de una acción es $50. Se nos da la siguienteinformación sobre precios calculados con la fórmula de Black-Scholes para tres opcionesde call a tres meses:

K 45 50 55C 6,86 3,60 1,61∆ 0,83 0,60 0,35Γ 0,034 0,052 0,049

(a) Escriba las ecuaciones que necesitan ser resueltas para hacer un portafolio decero-costo, delta-neutral con una convexidad de 0,05 usando los tres tipos decalls. (No es necesario resolver estas ecuaciones).

(b) Grafique el valor de su portafolio como función del precio de la acción. (c) ¿Cuál es el signo del Θ (theta) de su portafolio? Discuta la intuición de dicho

signo.

Respuesta

a) Supongamos que el portafolio deseado contiene n1 unidades de C(45), n2unidades de C(50), n3 unidades de C(55). Por lo tanto, tenemos:(cero-costo) n1. 6,86+n2 3,60+n3 1,61=0(delta neutral) n1 0,83+n2. 0,60+n3 0,35=0(convexidad) n1. 0,034+n2 0,052+n3 0,049=0,05.

b) Sea V el valor del portafolio en el momento en que obtenemos la informacióndada arriba, y grafiquemos V versus S en ese momento. Dado que elportafolio es delta neutral y V=0 para S=50, la curva será tangente al eje S en50. Dado que el gama del portafolio es positivo, la curva es convexa (verFigura 11).

Figura 11Valor de un Portafolio Delta Neutral con Costo Cero

0

50

V

S


c) El signo de theta debe ser negativo, ya que al pasar el tiempo el “premio portiempo” del portafolio declina. Sea V el valor del portafolio que es unacombinación de varias opciones europeas para la misma acción que no pagadividendos y con el mismo vencimiento. Sabemos que este portafoliosatisface la ecuación diferencial de Black-Scholes:

0rVrSS21 22 =−Θ+∆+Τσ .

En este caso, ∆=V=0 y Γ=0,05>0. Por lo tanto, tenemos Θ<0. La intuición deeste resultado es que, dado que el valor de nuestro portafolio es cero y que suvalor aumenta ya sea que S suba o baje, theta debe ser negativo. De otraforma, el valor del portafolio costaría cero pero tendría un valor estrictamentepositivo después de un corto período de tiempo.

5. DERIVADAS PARCIALES DE OTROS DERIVADOS: FORWARDS YFUTUROS

(a) Contrato Forward (en una acción que no paga dividendos).

Sabemos que el valor de un forward está dado por:

(12) (t)f =S(t)-Ke-rτ .

Por lo tanto,

(13) ∆forward=)()(ˆ

tStf

∂∂

=1,

(14) Γforward=)(tS

forward

∂

∆∂=0,

(15) Θforward=ttf

∂∂ )(ˆ

= -rKe-rτ ,

(16) ϑforward=σ∂

∂ )(ˆ tf= 0,

(17) Rhoforward=rtf

∂∂ )(ˆ

= τKe-rτ .


Que ∆ forward=1 y que Γforward=0 explica por qué un contrato forward puede serperfectamente y estáticamente protegido con una unidad del activo subyacente.

(b) Contrato Futuro (en una acción que no paga dividendos)

Sabemos que un contrato futuro es liquidado en una base diaria (marked-to-market) de acuerdo a cambios en el precio del futuro. En consecuencia, el valor de uncontrato futuro está dado por:

(18) f(t)=F(t, T)-Fd-1,

en donde F(t, T) es el precio de un contrato futuro hoy día para entrega en T, y Fd-1denota el precio del contrato futuro al cierre del día anterior.

Por lo tanto, el delta de un contrato futuro estaría dado por:

(19) ∆futuro=)t(S

)e)t(S()t(S)t(f r

∂∂=

∂∂ τ

=erτ>1.

Es decir, para proteger una posición corta en un futuro, uno debe mantener erτ

unidades del activo subyacente en vez de sólo una, como en el caso del forward . Lasotras derivadas pueden ser calculadas análogamente.

6. COBERTURA DE RIES GO.

Supongamos que mantenemos n activos en nuestro portafolio de modo que suvalor, V, está dado por:

(20) V=n1A1+n2A2+...+ nnAn,

donde ni representa el número de unidades del activo i y Ai denota el precio unitario demercado de dicho activo. Nuestra meta en la cobertura de riesgo (hedging) es elegir elnúmero de activos, de modo tal que el valor de nuestro portafolio no cambie cuando lasvariables que afectan el precio de los activos cambien. Es decir, escogemos ni, i=1, ...,nde modo que:

(21)x

An...

xA

nx

An

xV n

n2

21

1 ∂∂

+++∂

∂+

∂∂

=∂∂

=0.

Esto implica que el valor del portafolio permanece constante para pequeñasvariaciones en el factor x:

(22) dV = dxxV

∂∂

=0.


En general, podemos hacer un hedge de n-1 fuentes de incertidumbre con nactivos.

Delta hedging

Se dice que un portafolio de n activos es delta neutral o delta hedged si el deltadel portafolio es 0, donde:

(23) SA

n...SA

nSA

nSV n

n2

21

1portfolio ∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂=∆ ,

en donde S representa el precio del activo subyacente a cada derivado del portafolio.

Para ilustrar este concepto, supongamos que escribimos una call con K=50,τ=10 semanas, S=50, σ=0,5 anual y r=3 por ciento anual. Por la fórmula de Black-Scholes, ∆c=0,554. ¿Cuántas unidades de la acción debemos comprar para hacer un deltahedge?

Sabemos que el delta de una acción es 1, por lo tanto si ns representa el númerode acciones que debemos comprar, tenemos que:

ns x 1+(-1) x 0,554=0,

ns=0,554.

Es decir, debemos comprar 0,554 unidades de la acción (recordemos elconcepto de portafolio réplica en el contexto del árbol binomial).

Gama hedging

Se dice que un portafolio de n activos es gama neutral o gama hedged si elgama del portafolio es 0:

(24) nn2211n

n2

21

12

2

portfolio n...nnS

n...S

nS

nSV Γ++Γ+Γ=

∂∆∂

++∂∆∂

+∂∆∂

=∂∂=Γ ,

donde S representa el precio del activo subyacente a cada derivado del portafolio.

Consideremos nuevamente el portafolio delta neutral compuesto de unaposición corta en una call y una posición larga en 0,554 acciones, y veamos cuán establees su valor ante cambios en el precio de la acción.

(a) Cambios pequeños en el precio de la acción

Si S aumenta de 50 a 51, de acuerdo a Black-Scholes el valor de nuestraposición corta en la call debiera caer en $5,064-4,492=$0,572, mientras que el valor de0,554 acciones aumenta en $0,554. Nuestra pérdida neta es $0,018, la cual es pequeña.


(b) Cambios grandes en el precio de la acción

Si S aumenta de $50 a $60, el valor de nuestra posición corta en la call decreceen $11,577-4,492=$7,09, mientras que el valor de 0,554 aumenta en $5,54. Nuestrapérdida total es $7,09-5,5=$1,55, la cual es grande en comparación con aquella del casoa).

De lo anterior, podemos concluir que el delta hedging funciona bien cuando elprecio de la acción varía poco. Tal conclusión se puede verificar gráficamente en laFigura 11 (comparemos el movimiento de S1 a S2 con el de S a S1). Por lo tanto,podemos hacer un delta y gama hedging para reducir las fluctuaciones en el valor denuestro portafolio.

Figura 12Errores de Cobertura con un Delta Hedging

S S1 S2

Precio Call

Precio Acción

C

C1

C2

Tomemos nuevamente nuestra call con un delta de 0,554 y un gama de 0,0361.Usemos la acción y una segunda call en la misma acción con K=55 y τ=10 semanas,para formar un portafolio que es delta y gama neutral. De Black-Scholes obtenemos queel delta de la segunda call es 0,382 y su gama es 0,0348. Supongamos que necesitamosns acciones y n2 unidades de la segunda call. Por lo tanto,

ns+0,382ns-0,554=0, delta neutral,

0+0,0348n2-0,0361=0, gama neutral.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos que ns=0.158 y n2=1,037.

Si el precio de la acción aumenta de 50 a 51, el valor del portafolio cambia(aumenta) sólo en $0,1. Si el precio de la acción aumenta de 50 a 60, el valor delportafolio cambia (aumenta) en $0,2. Esta variación es mucho menor a los $1,55 decambio en el valor del portafolio cuando éste era sólo delta neutral.


Los conceptos de theta, vega y rho hedging pueden ser definidos análogamente.Por ejemplo, un portafolio es vega neutral si el vega del portafolio es cero. En general,por medio de una expansión de Taylor, podemos ver que cambios en el valor delportafolio, V, pueden ser explicados por:

.....V21S

SV

21r

rVt

tVVS

SVV 2

2

22

2

2+σ∆

σ∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+σ∆

σ∂∂+∆

∂∂=∆ , o

(25)

.....V21S.

21rRhot.S.V 2

2

22

.portfolio.portfoliopottfolioportfolio +σ∆σ∂

∂+∆Γ+∆+∆Θ+σ∆ϑ+∆∆=∆

6.1. Aplicación: Delta Hedging de una Call Europea bajo Distintos Escenarios

Suponga que usted ha escrito 100.000 opciones con un precio de ejercicio iguala $50 con expiración en 10 semanas más. Se sabe que la volatilidad del precio de laacción es σ=0,5/año, y que la tasa libre de riesgo es 3 por ciento anual (interés simple).Usted debe replicar dinámicamente el valor de estas opciones, transando acciones ypidiendo prestado dinero semanalmente (recuerde el concepto de portafolio réplica).

En la semana cero (hoy), el precio de la acción es $50, y usted construye unportafolio réplica de acuerdo a la fórmula de Black-Scholes comprando 55,4 miles deacciones. Dado los dos escenarios del precio de cierre de la acción al cabo de 10semanas, construya una hoja de cálculo (para cada caso) que muestre para cada semana:(a) el delta de su portafolio; (b) el número adicional de acciones que necesita comprar enesa semana; (c) el número total de acciones que tiene; (d) el costo marginal de lasacciones adicionales; (e) el monto acumulado de su deuda (préstamo del banco); y (f) elcosto en intereses de su deuda cada semana.

Los dos escenarios para el precio de la acción son los siguientes:

Tabla 2Escenarios para el Precio de la Acción

Semana 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Escenario 1 50 52,5 51,5 52,5 54 57 55 59,25 59 61,5 63Escenario 2 50 53,5 48 47,5 44 46 41 42 38 37 34

Basado en sus simulaciones, compare el costo de replicar las opciones para cadaescenario con el valor de $449,141 (miles) calculado con la fórmula de Black-Scholes.(Nota: al comparar estos valores, hay que tener presente que el costo acumulado es elcosto total para un período de 10 semanas, en tanto que el precio de la call es el valorcorriente).


Respuesta

El costo neto de replicar la call, medido en dinero al momento de la expiración,está dado por el préstamo acumulado menos el precio de ejercicio, K, en caso de que lacall sea ejercida. Esta cantidad es distinta dependiendo de los distintos escenarios defluctuación del precio de la acción. En el escenario 1, la volatilidad del precio de laacción es bajo, y el rebalanceo semanal resulta en un costo de réplica menor, $344,112,que el precio de la call dado por Black-Scholes en t=0, $450. En el escenario 2, el preciode la acción es más volátil, lo que resulta en un costo de réplica mayor, $500,374, que elprecio de la call en t=0.

Escenario 1

Tabla 3

Semana Precio acción d1 delta0 50 0.136 0.5541 52.5 0.364 0.6422 51.5 0.272 0.6073 52.5 0.380 0.6484 54 0.558 0.7125 57 0.941 0.8276 55 0.773 0.7807 59.25 1.488 0.9328 59 1.749 0.9609 61.5 3.029 1.00010 63 -- 1.000

Tabla 4

Accionescompradas

Costoacciones(miles)

Númeroacciones

Valor neto(miles)

Interéscosto

(miles)

Préstamoacumulado

(incluye interés)55406.725 2770.336 55406.725 2770.336 1.598 2770.3368782.509 461.082 64189.234 3369.935 1.865 3233.016

-3458.312 -178.103 60730.923 3127.643 1.764 3056.7784060.594 213.181 64791.516 3401.555 1.888 3271.7236381.156 344.582 71172.672 3843.324 2.087 3618.193

11498.077 655.390 82670.749 4712.233 2.467 4275.671-4638.872 -255.138 78031.877 4291.753 2.321 4023.00015128.606 896.370 93160.483 5519.759 2.839 4921.6902822.539 166.530 95983.022 5662.998 2.937 5091.0604016.978 247.044 100000.000 6150.000 3.081 5341.041

0.000 0.000 100000.000 6300.000 -- 5344.122


Notemos que, aunque usted escribió una call, el costo de replicarla es más altocuando la call termina “out-of-the-money”. Esto sucede porque hicimos un deltahedging, lo cual significa que nuestro portafolio es indiferente a pequeños cambios en elprecio de la acción. Sin embargo, el portafolio es sensible a la volatilidad de éste.

Escenario 2

Tabla 5

Semana Precioacción

d1 delta

0 50 0.136 0.5541 53.5 0.454 0.6752 48 -0.087 0.4663 47.5 -0.166 0.4344 44 -0.647 0.2595 46 -0.442 0.3296 41 -1.345 0.0897 42 -1.377 0.0848 38 -2.738 0.0039 37 -4.300 0.00010 34 -- 0.000

Tabla 6

Accionescompradas

Costoacciones(miles)

Númeroacciones

Valor netoacciones(miles)

Interéscosto(miles)

Préstamoacumulado

(incluye interés)55406.725 2770.336 55406.725 2770.336 1.598 2770.33612110.112 647.891 67516.837 3612.151 1.973 3419.826

-20965.786 -1006.358 46551.051 2234.450 1.394 2415.441-3137.892 -149.050 43413.159 2062.125 1.308 2267.784

-17543.241 -771.903 25869.918 1138.276 0.864 1497.1907066.547 325.061 32936.465 1515.077 1.052 1823.115

-24006.352 -984.260 8930.113 366.135 0.485 839.906-509.479 -21.398 8420.634 353.667 0.472 818.993

-8111.485 -308.236 309.149 11.748 0.295 511.229-309.149 -11.439 0.000 0.000 0.289 500.085

0.000 0.000 0.000 0.000 -- 500.374

Hull (1997) realiza una serie de simulaciones de Monte Carlo para comparar eldesempeño de un delta hedging versus una estrategia de comprar-vender. Para una calleuropea con S=49, K=50, r=0,05 y σ=0,20 y T-t=0,3846 y en base a muestras de tamaño1.000 para cada caso, él encuentra que un delta hedging es claramente superior a unaestrategia de comprar-vender:


Tabla 7Desempeño de la Estrategia del Delta Hedging

∆t (semanas) 5 4 2 1 0,5 0,25Medida de desempeño 0,43 0,39 0,26 0,19 0,14 0,09

A diferencia de esta última, el desempeño del delta hedging mejoraestablemente a medida que aumenta la frecuencia del monitoreo.

REFERENCIAS

Constantinides, G. M. (1997), Financial Instruments, mimeo, University of Chicago.Notas de clase “Business 337”, Otoño.

Hull, J (1997), Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, tercera edición.

_____ y A. White (1987), “Hedging through the Cap: Implications for MarketEfficiency, Hedging, and Option Pricing” en International Options Journal , 4, pp: 17-22.


1. Una institución financiera tiene el siguiente portafolio de opciones “over-the-counter”2 en marcos alemanes:

Tipo Posición Delta opción Gama opción Vega opciónCall -1.000 0,55 2,0 1,6Call -500 0,60 0,7 0,6Put -2.000 -0,50 1,3 0,7Call -500 0,70 1,8 1,4

Existe una opción que se transa en el mercado con un delta de 0,6, un gama de 1,5 y unvega de 0,8.

(a) ¿Qué posición en la opción transada en el mercado y en marcosalemanes harían su portafolio gama-neutral y delta-neutral?

(b) ¿Qué posición en la opción transada en el mercado y en las opcionesen marcos alemanes harían su portafolio vega-neutral y delta-neutral?

2 Opciones “over-the-counter” son aquéllas que no son transadas en bolsas de comercio sinodirectamente entre instituciones financieras y corporaciones.


2. Comente las siguientes afirmaciones:

a) Usted tiene una posición larga en una call europea y una posicióncorta en una put de similares características. Por lo tanto, el vega desu posición es negativo.

b) El delta de un contrato forward es siempre positivo. Su gama estambién positivo.

c) El theta de una posición mide cuán expuesta está ella al movimientodel precio de la acción.

3. El precio de la acción de “General Motors” es hoy día US$38. Se sabe que lavolatilidad anual del precio es 35 por ciento, y no se espera que se repartandividendos en los próximos dos meses. La tasa de interés anual compuestacontinuamente es de 10 por ciento.

(a) Encuentre u, d y p de un árbol binomial donde cada período tiene unaduración de 1 mes, asumiendo que el precio de la acción se distribuyelognormal. Construya dicho árbol y encuentre el precio de una calleuropea a dos meses con precio de ejercicio igual a US$37.

(b) Explique cómo hacer un hedge de la call europea hoy día utilizando laacción y un bono. (No explique cómo ajustar la razón de hedge en unmes más).

(c) Un tipo de call exótica es la “down-and-out”. Esta es una call comúnque deja de existir si el precio del activo subyacente alcanza una ciertabarrera, H, que está por debajo del precio inicial del activo subyacente.Supongamos una call europea “down-and-out” con H=US$36 y preciode ejercicio igual a US$37. En base al árbol binomial que construyópara el precio de la acción en a), encuentre el precio de esta opciónexótica.

(d) Explique cómo hacer un hedge de la call “down-and-out” utilizando unbono y una call europea común. (No explique cómo ajustar la razón dehedge en un mes más). Hint: en base a los árboles que construyó en a)y d), calcule el delta de la call europea común y de la call europea“down-and-out” y construya un portafolio costo-cero y delta neutral.

(e) Demuestre que el precio de una call europea “down-and-out” conprecio de ejercicio de K y barrera H más el precio de una call europea“down-and-in”--call común que pasa a existir si el precio del activosubyacente alcanza una cierta barrera—con precio de ejercicio de K ybarrera H es igual al precio de una call europea con vencimiento a Tperíodos y precio de ejercicio igual a K.

4. El precio de la acción de la empresa “XYZ” es $29 5/8. Suponga que el preciode la acción se distribuye lognormal con un retorno anualizado medio de 25por ciento y volatilidad anual de 35 por ciento. La tasa de interés libre de


riesgo anual compuesta continuamente es de 12 por ciento anual. Suponga queno se repartirán dividendos.

a) Encuentre la probabilidad de que una call a dos meses con un precio deejercicio de $30 no sea ejercida al momento de la expiración. Hint: Enun mundo neutral al riesgo, la distribución de probabilidades de S(T)condicional en S(0) está dada por:

Ln (S(0)S(T)

) ~ N((µ - σ2/2) T, σ2T).

b) Encuentre el precio de una call americana a dos meses con un preciode ejercicio de $30. Encuentre su razón de hedge.

c) El gama de una call a dos meses con precio de ejercicio de $30 es0,0928. Encuentre el theta de la call. Encuentre además el aumento ocaída esperada en el precio de la opción para el lapso de un día,suponiendo que el precio de la acción permanecerá constante. Hint:Recuerde que el precio de la call satisface la ecuación diferencial:

θ + rS∆ + σ2 S2Γ = rC

d) El precio de una put americana a dos meses en la acción de “XYZ” conprecio de ejercicio de $35 es de $5,3991, delta de –0,9335, gama de0,0875 y theta de –0,7301. Explique cómo construir una posiciónsintética gama-neutral en 1.000 acciones de “XYZ” utilizando el bono,la call y la put.

e) Encuentre el theta de la posición sintética en d). Esta debiera ser cero.¿Por qué?


CAPITULO 4

VALORIZACION DE INSTRUMENTOS FINANCIEROS CORPORATIVOS CONTEORIA DE OPCIONES

1. INTRODUCCION

En su célebre artículo de 1973, Black y Scholes ilustraron por primera vez quelos instrumentos financieros corporativos pueden ser valorados con las herramientas dela teoría de opciones. Posteriormente, esta idea ha sido desarrollado por diversos autoresque han ilustrado cómo valorar instrumentos tales como warrants, bonos convertibles ybonos rescatables-convertibles. El desarrollo de esta área de investigación haposibilitado una comprensión más acabada del conflicto de intereses entre accionistas yacreedores de una empresa.

En general, tres son las fuentes que dan valor a un instrumento corporativo: (1)el valor final del instrumento en el momento del vencimiento; (2) los flujos de cajaintermedios, tales como dividendos e intereses; y (3) el valor del instrumento en elevento de una recapitalización de la firma. Por ejemplo, en el caso de un bono simple elvalor final del bono es usualmente su valor cara y los flujos intermedios están dados porlos pagos de cupones. La recapitalización de la firma, en tanto, puede tener efecto por larealización de algún evento incierto, tal como un cambio de política de tasas de interésen la economía. En el caso de un bono rescatable, su comprador no necesariamenterecibirá el valor cara del bono. Por ejemplo, si las tasas de interés caen lo suficiente, elemisor del bono puede decidir rescatarlo a fin de emitir deuda nueva a un costo másbajo. En dicho caso, el comprador del bono recibe un precio de rescate—usualmente másalto que el valor cara—antes de la fecha de vencimiento del bono.

A fin de ilustrar estas ideas, haremos uso de la teoría de opciones para valorar elcapital (patrimonio) y bonos simples de una empresa, warrants, bonos rescatables, bonosno rescatables con conversión de opción europea, bonos no rescatables con conversiónde opción americana y bonos rescatables convertibles.

2. BONOS SIMPLES Y PATRIMONIO

A) El Patrimonio de una Empresa: Opción de Compra sobre los Activos de laFirma

Supongamos que los pasivos de una empresa pueden dividirse entre capital ybonos cero-cupón. Los bonos tienen un vencimiento a T años y un valor cara (total) de K(por ejemplo, si se han emitido 10.000 bonos cada uno con un valor cara de $1.000,entonces K=$10 millones).


El capital es como una opción de compra sobre el valor de la firma. Su preciode ejercicio es igual a K, valor cara total de los bonos y su fecha de ejercicio es T, estoes, la fecha de vencimiento de los bonos. Los bonos cero-cupón son como bonos simpleslibres de riesgo más una put escrita con un precio de ejercicio igual a K. (Los poseedores delos bonos han emitido una put a los dueños de la firma). La Figura 1 muestra el pago endinero en la fecha de vencimiento asociado al patrimonio y a la deuda.

Es importante señalar que existen dos diferencias importantes entre una callcomún y el patrimonio de una empresa. En primer lugar, el gerente de una firmarepresenta los intereses de los accionistas como contrapartida a aquéllos de losacreedores. En segundo término, el gerente puede afectar el valor de la firma de distintasmaneras:

Figura 1Deuda y Patrimonio en Función del Valor de la Firma

K

Valor del Patrimonio

Valor de la Firma

Valor de la Deuda

Valor de la Firma

Accionistas

K

K

Acreedores

a) Política de inversión: proyectos de inversión con alta varianza aumentan elvalor de la opción de compra (aumentan la volatilidad del valor de la firma) y


disminuyen el valor de los bonos corporativos (hacen caer el valor de la put emitida porlos acreedores en bonos).

b) Política de dividendos: dividendos altos aumentan la probabilidad de quiebra y,por consiguiente, incrementan el valor de la call.

c) Política de financiamiento: la firma puede aumentar K al emitir más deuda conla misma antigüedad o mayor. Por ejemplo, supongamos que la firma tiene tres clases deinstrumentos: i) deuda de primera prioridad (senior) con un valor cara de K1, ii) deudade segunda prioridad (junior) con un valor cara de K2, iii) patrimonio.

Figura 2Deuda de Distinta Prioridad y Patrimonio en Función del Valor de la Firma

K1

K1

K2

Valor de la Firma

Deuda Senior

K2

K1 K2

Deuda Junior

Valor de la Firma

Valor del Patrimonio

Valor de la Firma

K1+K2


Suponiendo que la deuda senior y junior vence al mismo tiempo, tenemos queel valor de estos instrumentos está dado por:

Deuda senior:

(1) Bs = V-C(V, K1)

(al vencimiento, si K1>V ⇒ Bs =V; si V>K1⇒ Bs =V-max(0, V-K1)=V-V+K1=K1).

El patrimonio sigue siendo una call pero tiene un precio de ejercicio más alto, K1+K2:

(2) Vp = C(V, K1+K2).

Deuda junior:

(3) Bj = V-Bs-Vp = C(V, K1)- C(V, K1+K2).

Ejemplos

1) La estructura de capital de la empresa XYZ consiste de deuda y de 500.000acciones. La deuda está compuesta por 50.000 bonos cero-cupón que vencen endos años, cada uno con un valor cara de $1.000. La acción de XYZ se transa a$40. Asumamos que el retorno de los activos de la empresa tiene unavolatilidad de 25%. La tasa libre de riesgo es constante e igual a 4 por ciento(anualizada, compuesta continuamente). La empresa XYZ no pagará dividendosen los próximos 2 años. Nuestra meta es valorar el bono corporativo.

(a) Tratando el capital de la empresa como una opción de compra sobre elvalor de la firma,

(i) ¿Cuál es el activo subyacente de la call?(ii) ¿Cuál es la volatilidad de dicho activo?(iii) ¿Cuál el precio de ejercicio de la call?

(b) Basado en el valor de mercado del capital, use la fórmula de Black-Scholes para encontrar el valor de los activos de XYZ.

(c) ¿Cuál debería ser el valor de mercado de un bono corporativo?

Respuesta

1) Sea Vt el valor de los activos de la firma y Et el valor total del capital en t Eneste caso,

Et = 500.000 x $40 = $20 millones.


(a) i) El activo subyacente de la call son los activos de la firma.ii) La volatilidad del activo subyacente es la volatilidad de los

activos de la firma. En este caso, σV=0,3 anual.iii) El precio del ejercicio de la call es igual a la cantidad total de

la deuda. En este caso, es 50.000 unidades x $1.000 porunidad = $50 millones.

(b) Tratando al capital como una opción de compra sobre el valor de lafirma, tenemos: Et=$20 millones = C(Vt, K=50 millones, σV=0,25/año,r=0,04/año, T-t=2 años). Vt es la única incógnita en esta ecuación. Siutilizamos “Excel -Solver”, obtenemos que Vt es igual a $64,38millones.

(c) Dado que en este caso el valor de la firma es igual a la suma de ladeuda total y del capital, el valor del bono corporativo es igual a:

(Vt – Et)/50.000 = $887,59.

2) Supongamos una empresa con un valor de mercado de $1.000 millones. Ladesviación estándar de los flujos de los activos es de 45 por ciento anual. Laempresa tiene una deuda de primera prioridad con un valor par de $600millones y una deuda de segunda prioridad con un valor par de $400 millones,ambas con vencimiento a tres años. La tasa libre de riesgo es de 10 por cientoanual, compuesta continuamente.

a) Calcule el valor del patrimonio y de la deuda total.

b) Suponga que la empresa decide llevar a cabo un proyecto con un valorpresente neto de $100 millones. Los flujos de este proyecto tienen unavolatilidad anual de 70 por ciento y presentan un coeficiente decorrelación de 0,8 con los demás flujos de la empresa. Si para financiareste proyecto la empresa emite deuda de primera prioridad con unvalor par de $60 millones y vencimiento a tres años, ¿qué impactotiene este proyecto sobre la deuda total y el patrimonio de la empresa?

Respuesta

a) Sea Bs y Bj el valor de la deuda senior y junior, respectivamente y E el valor delpatrimonio. Sabemos que la tasa libre de riesgo anual, compuestacontinuamente es de 10 por ciento. Además, la volatilidad del valor de losactivos es de 0,45 y la deuda vence en tres años. Usando nuestra notación,K1=600, K2=400, V=1.000 y en base a lo discutido anteriormente,

Bs=1.000 - C(1.000, 600), Bj =C(1.000, 600) – C(1.000, 1.000),E=C(1.000, 1.000).

Utilizando la fórmula de Black-Scholes, tenemos que:


C(1.000, 600)=1.000 x Φ(d1) – 600 x Φ(d2), donde

d1=3 x 0,45

3 x /2)0,45 1,0()600/000.1log( 2++=1,43; d2=1,43-0,45 x 3 =0,65

y Φ(d1)=0,924; Φ(d2)=0,742.

Por lo tanto, C(1.000, 600)=593,62. Análogamente, C(1.000, 1.000)=411,87.De ello, Bs = 1.000-593,62 = $406,38 millones y Bj = $181,75 millones yE = $411,87 millones.

b) La nueva volatilidad de los activos de la firma está dada por:

0,8 x 0,7 x 0,45 x 100.1

1.000 x 100 x 2 0,7 x 1.100100 0,45 x

100.1000.1

222

22 +

+

=σ

=0,4616

C(1.100, 660) =1.100 x Φ(d1) – 660 x Φ(d2), donde

d1=3 x 0,4616

3 x /2)0,4616 1,0()660/100.1log( 2++=1,414; d2=1,43-0,45 x 3 =0,615

y Φ(d1)=0,921; Φ(d2)=0,730.

Entonces, C(1.100, 660) = 656,21. Análogamente, C(1.100, 1.060)=474,2. Deello, Bs=$443,79 millones (deuda senior antigua = Bs x 0,91=$403,45 millones y deudasenior nueva = Bs x 0,09=$40,34 millones), Bj=$182,01 millones y E=$474,2 millones.

3. WARRANTS

Un warrant es similar a una call ordinaria emitida por una firma. La principaldiferencia entre un warrant y una call ordinaria es que, si el warrant es ejercido, la firmaemite nuevas acciones. Esto implica que se produce un efecto dilución al aumentar elnúmero de acciones emitidas. Sin embargo, el precio de ejercicio de los warrants pagadoa la firma aumenta el valor de ésta.


A. Valoración de un Warrant (sólo warrants y capital).

1. Notación:n: número de acciones emitidas a la fecha.m: número de acciones que serán emitidas en que caso de que el warrant

sea emitido.α: fracción de la firma que será de propiedad de los dueños de los

warrants en caso de ejercicio =nm

m+

S: precio corriente de la acción.W: valor total de los warrantsK: k.m= precio total de ejercicio de los warrants.

2. Si los warrants son ejercidos, las nuevas acciones valen α(V(T)+K), de modoque el valor total de los warrants en la fecha de vencimiento (T) es:

W(T) = max[0, α(V(T)+K)-K]

= max[0, αV(T)-(1-α)K],

(5) =αmax[0, V(T)- K1

αα−

]

3. Un warrant puede interpretarse como:

-una call sobre una fracción α de la firma con un precio de ejercicio de (1-α)K.Por lo tanto, el valor de los warrants (antes de la expiración) está dado por la fórmula deBlack-Scholes:

(6) W(t)=C(αV, (1-α)K, T-t, σv)

o, equivalentemente, como:

-una fracción α de una call sobre el valor de la firma con precio de ejercicio

igual a K1α

α−, con un valor de:

(7) W(t)= αC(V, K1α

α−, T-t, σv)

4. El warrant será ejercido si:

αV(T)>(1-α)K, ó

V(T)> K1α

α−.


Cuando V< K1α

α−, el valor del capital coincide con el valor de la firma

porque los warrants no son ejercidos. Por contraste, cuando V> K1α

α−, los

warrants son ejercidos y, en consecuencia, los accionistas reciben un (1-α) delvalor de la firma. Esto se ilustra en la Figura 3.

Figura 3Valorización de Warrants y Patrimonio de la Firma

K1

α

α−Valor de la Firma

Valor Total de los Warrants

α

45°

Kα

α−1

1-α

Valor de la Firma

Valor del Capital


B. Implementación de los Warrants Europeos

- Los ítems que conocemos son n, m, K y τ≡T-t.

- Los ítems que podemos medir son: S y σs.

- Los ítems que necesitamos son: V y σv.

1. Caso Simple: Volatilidad del Valor de la Empresa es Conocida

No existe deuda, sólo capital y warrants. Supongamos que la volatilidad delvalor de la empresa, σv, es conocido. De la relación V= nS + W, tenemos que:

(8) V = nS+αC(V, K1α

α−, τ, σv)

Conocemos n, S, α, K y τ, σv, mientras que V es desconocido. Podemosresolver V usando “Excel-Solver”. De la solución, podemos calcular el valor de loswarrants.

2. Caso Difícil: Volatilidad del Valor de la Empresa es Desconocida

Al igual que en (1), no hay deuda. Sin embargo, en este caso no conocemos σv.Esto implica que tenemos dos incógnitas, pero sólo una ecuación. Necesitamos,entonces, derivar una relación entre σs y σv. ¿Cómo? Podemos reescribir (8) como:

(9) K≡ nS = V-αC(V, K1α

α−, τ, σv),

donde K denota el valor del capital de la empresa.

La relación entre σs y σv depende de la elasticidad del capital, Ωs (cambioporcentual en el precio de la acción por un cambio de 1 por ciento en el valor de lafirma). De (9) vemos que:

(10) ∆E=VE

∂∂

=1-α Φ(d1),

donde:

d1=2

)Ke)1(Vln(

v

v

r τσ+

τσα−α

τ−,

lo que implica que la elasticidad del capital está dada por:


(11) Ωs=v

s

σσ

= =∂∂

V/VE/E

EEV ∆ =

nSV

[1-α Φ(d1)].

De ello tenemos que:

(12) σv=s

sΩσ =

)d(1VnS.

1

sΦα−

σ ,

con lo cual podemos resolver V y σv de (9) y (11).

Ejemplos

1.- La estructura de capital de ABC está compuesta por: (a) 400.000 acciones; y (b)200.000 warrants que maduran en 8 meses más, con un precio de ejercicio de $100 porwarrant. La acción de ABC se está transando en $98. Asuma que la volatilidad de losactivos de ABC es σV=0,15/año. La tasa libre de riesgo es 5 por ciento (anualizada,compuesta continuamente).

(a) ¿Cuál es el valor de cada warrant?(b) Suponga que hay 1.000 warrants en vez de 200.000, todo lo demás

constanteexcepto Vcalcule el valor de cada warrant.(c) Suponiendo que hay 1.000 warrants, ¿espera que la volatilidad del retorno de la

acción, σS, sea cercano a 15 por ciento? Explique intuitivamente.(d) Asuma que σS=15 por ciento /año. Use la fórmula de Black-Scholes para

calcular el valor de una call en la acción de ABC, con el mismo precio deejercicio y maduración que el warrant. ¿Es su resultado cercano al de (b)?Intuitivamente, ¿por qué debería esperar esto?

Respuesta

a) Parámetros: n=400.000, m=200.000, τ=2/3 años, k=100, S=98, σv=0,15, r=0,05,α=1/3, k=20 millones, nS=39,2 millones.

Sea V el valor total de los activos de la firma. Dado que la estructura de capitalconsiste de capital y warrants, tenemos:

V = nS + α C(V, Kα

α−1 , τ, σv),

donde V es la única incógnita. Utilizando “Excel-Solver” para resolver laecuación anterior, tenemos que:

V=40.104.622,


lo que implica que W=V-nS=904.622. Por lo tanto, el valor de cada warrant esw=W/m=$4.523.

b) En este caso tenemos que m=1.000, K=mk=100.000, α=0,002494. ResolviendoV con “Solver” y usando el hecho que W=V-nS, obtenemos W=5.414,7. Elvalor de cada warrant es w=W/m=$5.415.

c) En este caso, el valor de la firma es muy cercano al del capital. Por lo tanto,esperamos que la volatilidad del retorno de la acción sea cercana a la de lafirma, 15 por ciento. En el caso extremo en que no se ha emitido warrants,σv=σs.

d) Utilizando la fórmula de Black-Scholes, con C(S=98, K=100, r=0,05, τ=2/3,σs=0,15)=5.421. Este valor es bastante cercano al valor del warrant de la parteb). La intuición es que, dado que el número de warrants, m=1.000, es muchomás pequeño que el número de acciones, ignoramos el efecto dilución de loswarrants y los tratamos como una opción de compra sobre la acción de la firmacuando los valoramos.

2. Una firma vale $100 millones. Cada año, el valor de la firma cae o aumenta en20 por ciento, antes de dividendos. La cantidad total de dividendos pagados porla compañía cada año es $5 millones, la cual es pagada de una sola vez. La tasade interés simple es 10 por ciento anual.

a) Suponga que la firma se financia sólo con capital y tiene un millón de acciones.Valore una call europea a dos años con un precio de ejercicio de $100 en unárbol binomial de dos períodos. Asuma que, cuando usted ejerce la opción alfinal de año, recibe una acción cuyo precio es aquél que prevalece antes de laentrega del dividendo.

b) Ahora suponga que la firma tiene 1 millón de acciones y un warrant europeocon un precio de ejercicio de $50 millones convertible a 1 millón de accionesque vence en dos años. Valore el warrant en un árbol binomial de dos períodos.

c) Repita el ejercicio de (b) suponiendo que el warrant es americano. (Hint:recuerde la valoración de opciones americanas en un árbol binomial con lasconsiguientes consideraciones de ejercicio temprano en cada estado de lanaturaleza para cada período).

Respuesta

Parámetros usados: u=1,2, d=0,8, r=0,1 y p=0,75.

La firma tiene sólo capital, S=V/n, n=1 millón. La dinámica del precio de laacción se muestra en el árbol binomial de abajo.


S=100

120 115

80 75

138 133

60 55

92 87

90 85

t = 2t = 1

t = 0

Spre div Spost div

Deberíamos ejercer la call sólo en el nodo uu (Suu=138). Por lo tanto,

C(100, 2) = 2

uu2

)r1(

Cp

+=17,665.

Parámetros: factor de dilución, α=0,5, precio de ejercicio K=50. Valoramos el warrantpor medio de un árbol binomial. Notemos que el pago al momento de la expiración esmax(0, α (V(T) + K) – K). Para W europeo, tenemos:

W=27,07

34,78

14,775

5

21

20

44 (*)

t = 2t = 1

t = 0

(*) 44=(138+50) –50.

Por lo tanto, en t=0 We=27,07.


c) W es americano

25 (e) 27,27 (*)

35 (e) * 34,78

15 (e) * 14,775

44

5

21

20

t = 2t = 1

t = 0

Por ejemplo, 15 (e) =0,5 (80+50)-50, donde “e” denota ejercicio temprano, y “(*)” es elprecio del warrant bajo la estrategia óptima a seguir. Notemos que cuando el warrant esejercido en t, su valor es α (V(t) + K) –K. Por lo tanto, Wa=27,27. Tal como hubiésemosesperado, Wa ≥ We.

4. BONOS RESCATABLES (CALLABLE BONDS)

En los mercados financieros más desarrollados, la mayoría de los bonoscorporativos son rescatables. Es decir, éstos tienen una provisión de rescate que permiteal emisor recomprarlos a un precio preespecificado–precio de rescate (call price). Estaopción de compra puede ser ejercida usualmente sólo después de un período de“protección de rescate” (call protection).

La firma rescatará sus bonos ya sea para reestructurar su deuda a una tasa deinterés más baja, o para obtener una mayor flexibilidad en la realización de proyectos deinversión, adquisiciones o fusiones que puedan estar actualmente restringidas porcovenants (restricciones legales sobre el accionar de los dueños del capital destinados aproteger a los acreedores en bonos). La call para reestructurar la deuda de la empresaserá ejercida cuando el nivel general de tasas de interés haya declinado o cuando losprospectos de la firma hayan mejorado, de modo tal que el premio por riesgo en unanueva emisión de bonos sea más bajo.

Durante el período de rescate, el capital de la empresa puede considerarse comouna call americana (en contraste al caso analizado anteriormente). Dado que el derecho aejercer una opción antes de la expiración puede tener valor, el capital de la firma con elbono rescatable no debiera tener un valor más bajo que aquél de una firma con un bonono rescatable comparable. Por el mismo razonamiento, el valor de un bono rescatable nodebiera ser más alto que aquél de un bono no rescatable. En particular, el precio de un


bono rescatable, Br, se puede expresar como la diferencia entre el valor de un bono norescatable, Bnr, y el valor de una opción de call, C. Esto es, Br=Bnr-C.

El gerente de la empresa representa los intereses de los accionistas y, por lotanto, trata de minimizar el valor del bono. Ello implica que el gerente no debierarescatar el bono si su valor de mercado es menor que el precio de recompra. Por otrolado, el gerente de la empresa no debiera dejar de rescatar un bono que tiene un valor demercado mayor al precio de recompra. La regla óptima de rescate dicta que la firmadebiera rescatar el bono apenas su valor (después del pago de cupones) ascienda alprecio de recompra.

5. BONOS CONVERTIBLES NO RESCATABLES CON OPCION DECONVERSION EUROPEA

Un bono corporativo convertible da a su dueño la opción de convertir el bonoen un número preespecificado de acciones.

A. Notación

n: número de acciones emitidas,m: número de bonos emitidos,S: precio unitario de la acción,K: valor cara del bono emitido,k: razón de conversión del bono,mk: número total de nuevas acciones en conversión,T: fecha de maduración de los bonos,

γ=mkn

mk+

, factor de dilución,

mkK

: precio de conversión.

Asumimos que los bonos convertibles sólo pueden ser ejercidos como unbloque.

Ejemplo

Una firma tiene 2.000 bonos convertibles, cada uno con un valor par de $1.000.Cada bono puede ser convertido en 10 acciones. Hay actualmente 50.000 emitidas.

K = 2.000 x 1.000 = 2.000.000

mk = 2.000 x 10 = 20.000


γ =000.20000.50

000.20+

= 72

precio de conversión = 000.20

000.000.2 = 100

Analicemos la decisión de convertir:

1. Si V(T)<$2.000.000, la firma se declara en quiebra y:

B(T)=V(T),

nS(T)=0, los accionistas no reciben nada.

2. Si V(T)>$2.000.000, la firma es solvente y los dueños de los bonos desearíanconvertir:

-Si no convierten, reciben K.

-Si convierten, reciben γV(T)= )(72

TV .

Por lo tanto, los dueños de los bonos convertirán si γV(T)>K, o si

V(T)>γK

=$7.000.000.

B. Pagos en la Fecha de Vencimiento

Los pagos de los dueños del bono convertible y de los accionistas (asumiendoque no se reparten dividendos y los bonos son cero-cupón) son en la fecha devencimiento:

Valor de: V(T)≤K K<V(T)≤K/γ V(T)>K/γB(T) (bonos) V(T) K γV(T)

nS(T) (capital) 0 V(T)-K V(T)-γV(T)

O, dividiendo de manera conveniente el valor del capital en dos componentes:

Valor de: V(T)≤K K<V(T)≤K/γ V(T)>K/γnS(T)1 0 V(T)-K V(T)-KnS(T)2 0 0 -γ[V(T)-K/γ]


Por lo tanto el valor del capital es:

nS(t)=C(V(t), K, T-t)- γC(V(t), K/γ, T-t),

nS(t1) nS(t2)

y el valor de los bonos convertibles es:

B(t)=V(t)-nS(t) = V(t)-C(V(t), K, T-t) + γC(V(t), K/ γ, T-t)

Valor bono simple Valor de la característicade conversión (puedeinterpretarse como un

warrant)

Figura 4Valor de un Bono con Opción de Conversión Europea al Momento del Vencimiento

K

γ

45°

K

V(T)

Pago Bono

K/γ

6. BONOS CONVERTIBLES NO RESCATABLES CON OPCION DECONVERSION AMERICANA

Nunca es óptimo convertir un bono antes de su maduración en una acción queno paga dividendos. ¿Por qué?

1. Si los dueños de los bonos convierten en t1<T, reciben una fracción γ de lafirma, la cual valdrá γV(T) en T.

2. Si los dueños de los bonos esperan hasta T para tomar su decisión deconversión recibirán:


min[V(T), K]+max[γV(T)-K, 0] ≥ γV(T),

Figura 5Valor de un Bono No Rescatable con Opción de Conversión Americana al

Momento del Vencimiento

K

K

V(T)

Pago Bono

K/γ

γ

tal como se puede apreciar en la Figura 5.

La decisión es más complicada en la presencia de cupones y dividendos. Si seva a pagar un dividendo “cuantioso”, puede ser óptimo convertir temprano si el valor delderecho a no convertir es pequeño (lo cual se dará cuando V sea grande). Los dueños delos bonos reciben una fracción γ del dividendo si convierten; de lo contrario losaccionistas se llevan todo el dividendo.

La existencia de cupones desincentiva la conversión por parte de los dueños delos bonos. Si éstos convierten, el cupón queda en poder de la firma y los dueños de losbonos sólo reciben una fracción γ de éste. Por otra parte, si se anuncia un dividendo demonto conocido, los dueños de los bonos nunca ejercerían si el cupón recibido superaraal monto del dividendo. En caso de que el flujo de los dividendos sea mayor que el flujode los cupones, podemos utilizar un árbol binomial para determinar la acción óptima aseguir en cada estado de la naturaleza.

7. BONOS RESCATABLES CONVERTIBLES

La característica de rescate de estos bonos es similar a aquélla de los bonosrescatables ordinarios, excepto que los dueños de los bonos pueden decidir si convertir(a acciones a una razón predeterminada) cuando se produce el rescate.

La decisión de conversión es la misma que en el caso de bonos convertibles norescatables. La diferencia radica en que en este caso los dueños de los bonos pueden


escoger entre recibir el precio de rescate (más intereses ganados) y convertir a acciones.Si γV>m x precio de rescate, los dueños de los bonos convertirán (con m, el número debonos emitidos).

Consideremos el siguiente ejemplo:- El valor total corriente de la firma es $200.000.-A la fecha, se han emitido 150 acciones (no pagan dividendos).- Se han emitido 100 bonos, rescatables y convertibles, cupón de 10%, valor cara de$1.000, rescatables a $1.100, fecha de vencimiento a dos años.- Razón de conversión de 1 (1 acción/1 bono convertible)- Se asumen los siguientes parámetros: r*=1,08, u=1,5, d=0,5.

Lo anterior implica que:

58,0dud*rp =

−−= ; 4,0

100150100

mknmk =

+=

+=γ .

El valor de la firma puede ser descrita por el siguiente árbol binomial:

300-10=290

100-10=90

435-10=425

145-10=135

135-10=125

45-10=35

170+10 100+10

54+10 100+10

50+10 100+10

14+10 35+10

C N.C.

200

donde C≡ Convertir y NC ≡No convertir.

1.- ¿Los dueños de los bonos convertirán voluntariamente en u?

El valor del bono no convertido en el nodo u es:

Bu = $139,441,0810

1,08100 x 0,42170 x 0,58 =++

(en miles),

mientras que el valor del bono convertido en u es:

γV=0,4 x 290=$116 (miles).


Ello implica que los dueños de los bonos no convierten voluntariamente. (Ya sabíamosesto porque la acción no paga dividendos).

2. ¿Escogerá la firma rescatar los bonos en u? (Asumimos que la firma puederescatar en un año desde la fecha de emisión, sólo después de pagar los cuponescorrespondientes).

Si la firma rescata, los dueños de los bonos entregarán el bono por $110 o convertiránrecibiendo acciones que valen $116. Por lo tanto, ellos decidirán convertir, sacrificandoun instrumento que vale $139,44 por acciones que sólo valen $116. Esto significa quehay una transferencia de $23,44 de los dueños de los bonos a los accionistas. Por lotanto, en este nodo es óptimo para la firma rescatar y forzar la conversión.

3.- En el nodo d, el valor del bono no convertido es:

Bd = 574,76$08,1

1008,1

35x42,0100x58,0 =++.

El bono convertido tiene un valor de γV=0,4 x 90=$36. Por lo tanto, los dueñosde los bonos no desean convertir. Sin embargo, dado que en este caso el valor de rescatees mayor que el valor del bono (no convertido), la firma no rescatará. Es más, la firmano puede rescatar porque el precio de rescate, $110, es superior al valor de la firma.

4. Con esta información, podemos valorar el bono a dos períodos. En t=0, el valordel bono no convertido es:

334,101$08,1

1008,1

574,76x42,0116x58,0 =++ ,

mientras que el valor del bono convertido es γV=0,4 x 200=$80. Esto implica que losdueños de los bonos no desean convertir y la firma, aunque pudiera, no desearía rescatar.En consecuencia, el valor total del bono rescatable convertible a dos años es $101,334.

Referencias

Black, F. y M. Scholes (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” enJournal of Political Economy , 81(3), May-June, pp. 637-54.




Figlewski, S., W. Silber y M. Subrahmanyam (1990), editores , Financial Options: FromTheory to Practice, McGraw Hill. Capítulo 9, 357-414.


1. El valor de la firma Z puede aumentar en 50 por ciento o caer en un 40 porciento en cada uno de los próximos dos años. El valor corriente de la empresa Zes $4 millones. La tasa de interés simple libre de riesgo es 10 por ciento anual.La firma ha emitido 2.000 bonos que pagan un cupón anual de 10 por ciento.Estos bonos tienen un valor cara de $1.000 con un valor de rescate de $1.100.Además, cada uno de estos bonos es convertible en cualquier momento en unaacción de la firma Z. A la fecha, se ha emitido 3.000 acciones. (Por simplicidad,asuma que la conversión de estos bonos puede ser hecha sólo como un bloque).

(a) Encuentre el valor de cada bono rescatable-convertible de la firma Z.

(b) Encuentre el valor de cada acción de la firma.

2. Los activos de la empresa ABC valen $100 millones y su retorno tiene unavolatilidad de 20 por ciento (esto es, σV=0,2/año). La estructura de capital deABC consiste de deuda y 1 millón de acciones. La deuda está compuesta por100.000 bonos cero-cupón con fecha de vencimiento a dos años, cada uno conun valor cara de $1.000. Asuma que la tasa libre de riesgo es constante e igual a4 por ciento (anualizada, compuesta continuamente). La empresa ABC nopagará dividendos en los próximos tres años. Utilizando la fórmula de Black-Scholes, encuentre el valor de la acción de ABC y el valor del bono cero-cupón.

3. Como vimos, al momento de expiración los warrants debieran ser ejercidos siαV(T)>(1-α)K. Esta regla de ejercicio depende del valor de V, el cual es noobservable públicamente. En este ejercicio, intentamos mostrar que, siempre ycuando, el mercado tenga información sobre el valor de la firma; y que tengaexpectativas racionales acerca de las decisiones de ejercicio de los dueños dewarrants, estos últimos sólo deben observar el valor de la acción para decidir siejercer o no. Específicamente, sólo si el precio de la acción es superior al preciode ejercicio de los warrants al momento de expiración, éstos serán ejercidos.

(a) Supongamos que la firma ha emitido n acciones antes de T (fecha deexpiración de los warrants) y tiene m warrants con un precio k deejercicio por warrant. Sea K=k m el precio de ejercicio total de loswarrants.

(b) Supongamos que justo antes de T, el mercado concuerda en que elvalor de la firma es V(T)<(1-α)K/α (aunque V no es observablepúblicamente). Por lo tanto, el mercado espera que los warrants noserán ejercidos en T. ¿Cuál es el precio de la acción en este caso?Observando el precio de la acción y comparándolo con k, ¿deberían loswarrants no ser ejercidos?


(c) Supongamos que justo antes de T, el mercado concuerda en que elvalor de la firma es V(T)>(1-α)K/α. En consecuencia, el mercadoespera que los warrants serán ejercidos en T. ¿Cuál es el precio de laacción en este caso? Observando el precio de la acción ycomparándolo con k, ¿deberían los warrants ser ejercidos?

4. Una firma tiene la siguiente estructura de capital:

# acciones emitidas a la fecha=2 millones# bonos senior (cada uno con valor cara de $1.000)=60.000# número de warrants americanos-rescatables emitidos=1 millón

La firma puede rescatar los warrants en cualquier momento a un precio derescate de $13 millones. Los warrants pueden ser ejercidos en cualquiermomento en los próximos dos años. Cada warrant da a su dueño el derecho acomprar una acción al precio de $18. La deuda senior expira también en dosaños. El valor corriente de la firma es V=$100 millones y no se pagarádividendos o cupones en los próximos dos años. La tasa de interés anual simplees 10 por ciento.

a) Dibuje un árbol de dos períodos para el valor de la firma con u=1,35 yd=1/u. Cada período es de un año. En su árbol muestre el valor de ladeuda senior y de los warrants en el momento de su expiración. Hint:La deuda senior tiene prioridad de pago sobre los warrants.

b) En un árbol similar al de a), muestre el valor total de la deuda, B, encada nodo. En otro árbol muestre el valor total, combinado del capital,E, más los warrants, W en cada nodo. Hint: Use V=(E+W)+B.

c) ¿Cuáles serán los pagos de los warrants en cada estado de lanaturaleza si son convertidos? ¿Cuáles son pagos si no sonconvertidos? ¿Debería la firma rescatar los warrants en los estadosfavorables de la naturaleza? ¿Debería la firma rescatar los warrants enlos estados desfavorables de la naturaleza? ¿Cuál es el precio de unwarrant hoy? (No olvide la posibilidad de ejercicio temprano).


CAPITULO 5

SWAPS, DERIVADOS EN INSTRUMENTOS DE RENTA FIJA Y ESTRUCTURA DETASAS DE INTERES

1. INTRODUCCIÓN

Un swap o permuta es un contrato financiero privado entre dospartestípicamente, dos compañíasque intercambian flujos de caja futuros de acuerdoa una fórmula preestablecida. Como veremos, los swaps pueden ser considerados comoportafolios de contratos forward .

Los swaps tuvieron su origen en los préstamos paralelos y subsidiarios surgidosdurante la década de los 70’s como consecuencia de los controles cambiarios existentesen la mayoría de los países3. Estos no sólo limitaban las oportunidades definanciamiento en el extranjero para las compañías locales sino que dificultaban lainversión de nacionales en el extranjero. Los primeros contratos swaps fueronnegociados al comienzo de la década de los 80’s. Su indiscutible éxito llevo a que elmercado de estos contratos superara los US$2 billones a finales de dicha década. En laactualidad, cientos de billones de dólares en contratos son negociados cada año (Galitz,1994).

En este capítulo, estudiaremos la valoración y hedging de swaps. Tambiénintroduciremos opciones en swaps (swaptions), techos en tasas de interés (caps), pisos(floors) y collares (collars). Veremos además la valoración de instrumentos de renta fijaen la presencia de tasas de interés estocásticas.

2. SWAPS EN TASAS DE INTERÉS: SWAP “VAINILLA SIMPLE”

En un swap en tasa de interés, la parte A paga a la parte B interés a tasa fijasobre un principal P (nocional) por un número fijo de años. La parte B, a su vez, paga ala parte A interés a una tasa flotante (por ejemplo, LIBOR4) sobre el principal P por unnúmero fijo de años.

¿Por qué dos firmas entrarían en un swap? Si B tiene una ventaja comparativaen pedir prestado a una tasa flotante y A tiene una ventaja comparativa pidiendoprestado a una tasa fija, entonces hay una ganancia neta para cada parte de pedir

3 Hasta principios de la década del 70con excepción de las guerras mundiales, la mayoría delos países en el mundo mantuvo tipos de cambio fijo entre sus monedas. En particular, después dela Segunda Guerra Mundial, numerosos países establecieron bandas estrechas de flotación de susmonedas con respecto al dólar.4 London Interbank Offer Rate. Es la tasa de interés ganada sobre eurodólares depositados por unbanco en otro banco en el mercado londinense. Los eurodólares son depósitos denominados endólares en bancos no americanos o sucursales de bancos americanos fuera de Estados Unidos.


prestado a la tasa en la cual se tiene ventaja comparativa y después intercambiar lospagos del préstamo.

Al igual que los contratos forward , los contratos swap normalmente tienen unvalor de cero (esto es, son asignados sin pagos) en el momento de la iniciación.

Ejemplo

Si A y B tienen las siguientes tasas disponibles:

Tabla 1

Fijo Variable (flotante)Firma A 10% LIBOR a seis meses +0,3%Firma B 11,2% LIBOR a seis meses +1%

La parte A tiene una ventaja absoluta en ambos mercados. Dado que A paga0,03% de tasa fija por cada 1% de tasa variable, A tiene una ventaja comparativa en elmercado de tasa fija puesto que B paga 0,089% tasa fija por 1% de tasa variable. Enconsecuencia, B tiene una ventaja comparativa en el mercado de tasa flotante.

El tamaño de la tasa comparativa es 0,5%:

(tasa fija B-tasa fija A)-(tasa flotante B- tasa flotante A)=10,2-9,7=0,5%

Si A desea pedir prestado $10 millones a la tasa flotante y B desea pedirprestado $10 millones a la tasa fija, ¿cómo puede cada una de las partes pedir prestadoen el mercado en el cual tiene ventaja comparativa y después llevar a cabo un swapventajoso?

Figura 1Swap Vainilla Simple entre Dos Compañías

Compañía A Compañía B

10%9,95%

LIBOR

LIBOR +1%

A paga LIBOR +0,05%, es decir, 0,25% menos que lo que pagaría pidiendoprestado directamente a la tasa flotante. B paga 10,95% en tasa fija, es decir, 0,25%menos de lo que pagaría pidiendo prestado directamente a la tasa fija. La ganancia neta


de las dos partes es 0,50%, es decir, 50 puntos base, la que es igual al tamaño de laventaja comparativa.

Usualmente las partes A y B no entran en un swap por sí mismos. Cada uno deellos llama a una persona especializada en swaps (swap dealer) de una instituciónfinanciera, el cual actúa como intermediario entre las firmas.

Figura 2Rol dela Intermediación Financiera en un Swap Vainilla

Compañía A InstituciónFinanciera

10%9,9%

LIBOR

Compañía B

10 %

LIBOR

LIBOR+1%

En este ejemplo, la institución financiera (por ejemplo, un banco) gana 0,1%(10 puntos base) y cada uno de las dos firmas obtiene una reducción de 0,2 % (20 puntosbase) en su tasa. En este caso, el banco tiene swaps que se cancelan el uno con el otro. Sino es ese el caso, el banco hará un hedge de los swaps que tenga (por ejemplo,adquiriendo futuros en tasa de interés).

Si una de las empresas no paga, la institución financiera aún tiene que respetarsu acuerdo con la otra empresa. El spread de 10 puntos base ganado por la instituciónfinanciera es para compensar en parte el riesgo de no pago que sobrelleva.

3. VALORIZACION Y HEDGING DE SWAPS EN TASA DE INTERES

Consideremos un swap a dos años de una tasa fija por la tasa LIBOR a 6 mesescon una cantidad nocional de $1 millón. La tasa flotante LIBOR a ser pagada en cadaflujo de caja futuro se fija de acuerdo a la tasa de mercado flotante vigente 6 meses antesde la fecha de pago. Por ejemplo, si la tasa LIBOR a seis meses en 12 meses más es 8%,la tasa flotante que se pagaría sería 0.5 x 8% x $1 millón de aquí a 18 meses más. Elprimer pago en tasa flotante (en 6 meses) es conocido a la iniciación: es la tasa corrienteLIBOR a 6 meses.

Sea C la tasa fija del swap y sea t´)(t,R~ la tasa LIBOR de mercado en t para

pedir prestado entre t y t´, con ambas tasas anualizadas (con interés compuestosemestralmente). El pago del swap es (en millones):


Tabla 2

Fecha (meses) 6 meses 12 meses 18 meses 24 mesesTasa fija C/2 C/2 C/2 C/2

Tasa flotante R(0, 6)/2 )12 (6,R~ /2 18) (12,R~ /2 24) (18,R~ /2

Notemos que la cantidad nocional no aparece.

Existen dos enfoques para valorar un swap en tasa de interés:

a) Enfoque del Valor Presente

Un swap de tasa de interés puede ser interpretado como un intercambio de unbono con cupones fijos por un bono de cupones variables. El valor de un swap es ladiferencia entre el valor presente de un bono con cupones flotantes y el valor presente deun bono con cupones fijos.

b) Enfoque del Contrato Multi-Forward

Se puede pensar en un swap de tasas de interés como en una serie de contratosforward . Cada uno de ellos involucra el intercambio de un pago en tasa fija por uno entasa flotante. El valor del swap es el valor total de todos los componentes de loscontratos forward .

Para el caso de swaps vainilla simple, el primer enfoque es generalmente mássimple (ver ejemplo más adelante).

Para ilustrar el enfoque del valor presente, supongamos que conocemos laestructura de la tasa LIBOR (cero-cupón) anualizada, compuesta semestralmente:

Tabla 3

Vencimiento 6 meses 12 meses 18 meses 24 meses

LIBOR 6% 6,3% 6,7% 7%

¿Cuál es la tasa fija a la cual el contrato swap es firmado sin costo para ambaspartes? (Notemos la analogía con el precio forward).

Supongamos que la tasa fija es C. Luego, el valor presente del bono concupones fijos está dado por:

(1) VP (fijo) =432 )2/07,01(

2/C1)2/067,01(

2/C)2/063,01(

2/C2/06,01

2/C+

+++

++

++

El valor presente del bono con tasa flotante es igual al valor cara de $1 millón:


-Prestar $1 millón ahora a la tasa LIBOR por seis meses.

-En seis meses más, quedarse con el interés pagado de R(0, 6)/2 millones yprestar el principal de $1 millón a la tasa LIBOR a seis meses imperante en esemomento. Continuar con esta estrategia hasta el mes número 24. Los flujos generadospor esta estrategia son exactamente igual al flujo de caja generado por el bono con tasaflotante:

Tabla 4

Mes 0 6 12 18 24Transacción 1 -1 1+R(0, 6)/2Transacción 2 -1 1+ )12 (6,R~ /2Transacción 3 -1 1+ 18) (12,R~ /2Transacción 4 -1 1+ 24) (18,R~ /2

Neto -1 R(0, 6)/2 )12 (6,R~ /2 8)1 (12,R~ /2 1+ 24) (18,R~ /2

Esto implica que el valor presente del bono con cupones flotante debe ser $1 millón,porque de otra forma existirían oportunidades de arbitraje.

Para la persona que paga tasa flotante el valor del swap viene dado por:

VP(bono con tasa fija)-$1 millón.

El valor del swap para el que paga tasa fija es:

$1 millón-VP(bono tasa fija), dado que éste es un juego de suma cero.

Para encontrar C, debemos igualar el valor del swap a cero. Esto es,

VP(bono tasa fija)-$1 millón=0.

En nuestro ejemplo, C=6,97%. Notemos que C es igual a la tasa cupón a la cualel bono con tasa fija se vendería a la par.

Consideremos ahora hedging el swap. Los cupones de tasa fija son fáciles decubrir. Sólo necesitamos saber cómo hacer un hedge de cada bono flotante. A fin de

replicar el pago flotante de 12) (6,R~

x $1 millón en 12 meses, podemos llevar a cabo lassiguientes transacciones:

Transacción 1: en t=0, prestamos B(0, 6)=2/)6,0(R1

1+

millones a la tasa LIBOR a

seis meses por 6 meses.


Transacción 2: en t=0, pedimos prestado B(0, 12) =2)2/)12,0(R1(

1+

millones por 12

meses a la tasa a 12 meses LIBOR (interés compuestosemestralmente).

Transacción 3: en seis meses, prestamos $1 millón por seis meses a la tasa LIBOR aseis meses vigente en ese momento.

Transacción 3: en seis meses, prestamos $1 millón por seis meses a la tasa LIBORvigente en ese momento.

Tabla 5

Mes 0 6 12Transacción 1 -B(0, 6) 1Transacción 2 B(0, 12) -1Transacción 3 -1 1+

Neto -[B(0, 6)-B(0, 12)] 0 )12 (6,R~ /2

De modo que si gastamos B(0, 6)-B(0, 12) millones ahora, podemos generar un

flujo de caja de 12) (6,R~ /2 millones en 12 meses.

En general, los contratos swaps en tasa de interés son cubiertos usandocontratos forward/futuros en tasas de interés.

4.. SWAPS EN MONEDA EXTRANJERA

Un swap en moneda extranjera es usualmente utilizado para transformar unpréstamo en moneda extranjera en un préstamo en moneda doméstica.

4.1. Conceptos Básicos

Coloquemos el siguiente ejemplo: IBM y Reebok enfrentan las siguientes tasaspara pedir prestado en dólares y libras.

Tabla 6

Dólares Libras

IBM 8,0 % 11,6%Reebok 10,0 % 12%

IBM tiene ventajas comparativas en pedir prestado en dólares (8/11,6<10/12) y, por lotanto, Reebok en pedir prestado en libras. Sin embargo, IBM necesita pedir prestado £10


millones y Reebok US$15 millones. Por lo tanto, ambas partes pueden iniciar elsiguiente swap en moneda:

Figura 3Swap en Moneda Extranjera

IBM Reebok

dólar 8%

dólar 8%

libra 11%

libra 12%

IBM paga 11% en libras, 0,6% menos de que si pidiera prestado directamenteen el mercado de la libra. Reebok, sin embargo, tiene que soportar algo de riesgocambiario dado que paga 8% en dólares pero también 1% en libras.

Un intermediario financiero podría ayudar tomando el riesgo asociado al tipo decambio:

Figura 4Rol de la Intermediación Financiera en un Swap en Moneda Extranjera

IBM InstituciónFinanciera

Dólar 8% Dólar 8%

Libra 11%

Reebok

Dólar 9.4 %Libra 12%

Las tasas de 9,4% y 11% son fijadas por competencia de mercado. Lainstitución financiera se cubre del riesgo cambiario usando contratos forward .

Consideremos ahora los flujos de caja involucrados en un swap estándar enmoneda. Para ello, introduzcamos la siguiente notación:

Pd: principal en dólaresPf: principal en librascd: tasa cupón en dólarescf: tasa cupón en libras

Por ejemplo, los flujos de caja de un swap en moneda extranjera a dos añosserían:


Tabla 7

Fecha (años) 0 1 2Pagos hechos por A Pf libras cdPd dólares (cdPd+Pd) dólaresPagos hechos por B Pd dólares cfPflibras (cfPf+Pf) libras

Ejemplo

Consideremos un swap entre un banco (parte A) e IBM (parte B), y tomemos eldólar americano como la moneda doméstica. En el momento de la iniciación, IBM pagaPd=US$15 millones al banco, y recibe Pf=£10 millones. Después de la iniciación, cadaaños, IBM paga cfPf=11% x £10 millones al banco a cambio de cdPd=8% x US$15millones. Al momento de la maduración del contrato, IBM paga Pf=£10 millones albanco y recibe Pd=US$15 millones.

4.2. Valoración de un Swap en Moneda Extranjera

Existen básicamente dos métodos de valoración. En primer lugar, podemostratar el swap en moneda extranjera como un intercambio de dos bonos denominados endos monedas diferentes, más un intercambio de principales al momento de la iniciación.Alternativamente, podemos tratar el swap como una serie de contratos forward enmoneda extranjera.

Introduzcamos la siguiente notación:

Xt: tipo de cambio en t. Esto es, el valor (en dólares) de una unidad de monedaextranjera.rd: tasa de interés doméstica (en dólares) anualizada, compuesta continuamente.rf: tasa de interés extranjera anualizada, compuesta continuamente.

Asumimos que rd y rf son constantes.

a) Método del Valor Presente

El valor del swap para la parte B (en dólares) en el momento de la iniciación es:

(2) VB(t=0)=(XoPf-Pd)+(Bd-Xo Bf),

donde el primer término a la mano derecha es el valor inicial del intercambio de los dosprincipales, y el segundo término corresponde al valor del intercambio de los dos bonosdenominados en las dos monedas:

(3) Bd=cdPde-rd x 1+(cdPd+Pd) e-rd x 2,

(4) Bf=c fPfe-rf x 1+(c fPf+Pf) e-rf x 2


Al momento de la iniciación, el valor del swap es cero, esto es, VB(t=0)=0.Después de la iniciación, el valor del swap es mayor que cero para una de las partes.

b) Método de Valoración de Contratos Forward Múltiples

El swap para la parte B, también puede ser tratado como un intercambio inicialde principales más dos posiciones cortas en dos contratos forward:

-Vender c fPf unidades de un contrato forward a un año con precio de entrega de

ff

ddPcPc

.

-Vender c fPf+Pf unidades de un contrato forward a un año con un precio de

entrega de fff

dddPPcPPc

++

.

Sea ft(St, K, T) el valor de un forward con un precio de entrega de K quemadura en T, donde St representa el tipo de cambio en t (por ejemplo, dólar por unidadde moneda extranjera). Por lo tanto, tenemos que:

(5) ft(St, K, T)=Ste-rf (T-t)-Ke-rd (T-t).

El valor del swap en el momento de la iniciación, para la parte B, está dada por:

(6) VB(t=0)=(XoPf-Pd)-cfPf fo(Xo, ff

ddPcPc

, 1)-(c fPf+Pf) fo(Xo, fff

dddPPcPPc

++

).

Ejemplo (Hull, 1997)

La estructura de tasas de interés en Estados Unidos y Japón es plana, y las tasaslibres de riesgo compuestas continuamente son rJ=4% en Japón y rUS=9% en EstadosUnidos. Un banco ha entrado en un swap donde cada año paga 8%/año en dólares yrecibe 5%/año en yenes. Los montos principales en las dos monedas son US$10 millonesy 1.200 millones de yenes. Ha pasado un tiempo desde la iniciación del swap y quedantres años para su maduración. El tipo de cambio corriente es 110 yen/dólar. Dada estainformación, valore lo que resta del swap.

Solución. Los parámetros del swap y las tasas de mercado son las siguientes:

PUS=$10 millones, cUS=8%, rUS=9%.

PJ=1.200 millones de yenes, cJ=5%, rJ=4%.


Método 1: Cálculo del Valor Presente.

1. El resto del swap es un intercambio de dos bonos:

BUS =cUSPUSe-rUSx1 +cUSPUSe-rUSx2+(cUSPUS+PUS)e-rUSx3

=0,08 x 10 x e-0,09x1+0,08 x 10 x e-0,09x2+(0,08x10+10) x e-0,09x3

=US$9,64 millones.

BJ =cJPJe-rJx1+cJPJe

-rJx2+(cJPJ+PJ)e-rJx3

=0,05 x 1200 x e-0,04x1+0,05 x 1200 x e-0,04x2+(0,05 x 1200+1200) x e-0,04x3

=1.230,55 millones de yenes.

El valor del swap es:

55,1US$64,9110

55,1230 =− millones

Método 2: Cálculo de los Contratos Forward Múltiples

1. Lo que resta del swap está compuesto de contratos forward–dos para elintercambio de cupones antes del vencimiento y uno para el intercambio de principalesen la fecha de maduración.

2. Usando la fórmula

(7) ft(St, K, T)=Ste-rf (T-t)-Ke-rd (T-t),

encontramos que el valor del swap (en t=0) para el banco es (en millones):

V0 = 0,05 x 1200 fo(110

1,

1200x05,010x08,0

, 1)+ 0,05 x 1200 fo(110

1,

1200x05,010x08,0

, 2)

+1,05 x 1200 fo(110

1,

1200x05,010x08,0

, 3)

= 60 x [ 1x09,01x04,0 e60

8,0e110

1 −− − ]+60 x [ 2x09,02x04,0 e60

8,0e110

1 −− − ]+

1260 x [ 3x09,03x04,0 e1260

8,10e110

1 −− − ]

=US$1,55 millones.


5. SWAPTIONS

Un swaption da a su dueño el derecho, pero no la obligación, de entrar en unswap en una cierta fecha futura. Es como una opción de call con un precio de ejerciciode cero en un swap. Por ejemplo, consideremos el caso de una compañía que sabe quepedirá un préstamo a tasa flotante a 5 años en 6 meses más y que desea intercambiarpagos en tasa flotante por pagos en tasa fija a fin de convertir el préstamo en uno a tasafija. Por un cierto precio, la compañía podría entrar en un swaption y obtener el derechoa intercambiar los pagos en tasa flotante por pagos en tasa fija, digamos 12% por año,por un período de 5 años empezando en 6 meses más. Si la tasa fija en un swap ordinarioen seis meses más resulta ser menor que 12% por año, la compañía no ejercería elswaption y entraría en un swap en la forma usual. Sin embargo, si la tasa fija resulta sermayor que 12% anual, la compañía ejercerá el swaption y obtendrá un swap en términosmás favorables que aquéllos disponibles en el mercado.

Recordemos que un swap puede ser considerado como un acuerdo paraintercambiar un bono a tasa fija por uno a tasa flotante. En el momento de la iniciacióndel swap, el valor del bono a tasa flotante siempre es igual al principal del swap. Por lotanto, un swaption puede ser considerado como una opción a intercambiar un bono a tasafija por el principal del swap. Si el swaption da a su dueño el derecho a pagar tasa fija yrecibir flotante, éste es una opción de put en un bono a tasa fija con un precio deejercicio igual al principal. Si el swaption da a su dueño el derecho a pagar flotante yrecibir fija, éste es una opción de call en un bono a tasa fija con un precio de ejercicioigual al principal.

6. OPCIONES EN TASAS DE INTERÉS

a) Un techo en la tasa de interés (cap) es una garantía que la tasa cobrada sobreun préstamo a tasa flotante nunca excederá la tasa techo. Por ejemplo, una firmapodría tener un préstamo a 10 años para el cual la tasa se fija al comienzo decada período en la tasa LIBOR a tres meses. La firma podría comprar a unainstitución financiera un techo en la tasa de interés de 6%. La instituciónfinanciera estaría obligada a pagar a la firma cada trimestre:

10 millones x 0,25 x max[0, R-6%],

donde R representa la tasa LIBOR.


Figura 5Un Techo en Tasa de Interés

Tasa techo

Tasa de interés

LIBOR

Tiempo

La institución financiera ha vendido a la firma un portafolio de 40 opciones decall en la tasa LIBOR. Cada una de estas opciones sobre la tasa LIBOR amenudo se denomina caplets.

b) Un piso en la tasa de interés (floor) coloca un límite inferior a la tasa a sercobrada en un préstamo. Esto es equivalente a un portfolio de puts en la tasa deinterés. Es de utilidad al emisor de un préstamo a tasa flotante.

c) Un collar en la tasa de interés (collars) es una combinación de un piso más untecho.

7. INTRODUCCION A LOS DERIVADOS EN INSTRUMENTOS DE RENTAFIJA Y ESTRUCTURA DE TASAS DE INTERES

En la casi totalidad de estos apuntes, hemos asumido que las tasas de interés sondeterminísticas y constantes a través del tiempo. Aunque el modelo de Black-Scholes(1973) puede ser utilizado para valorar ciertos derivados en tasas de interés (porejemplo, techos (caps) y pisos (floors) en tasas de interés), en general no es satisfactoriopara derivados en instrumentos de renta fija debido a la naturaleza estocástica de laestructura de tasas de interés.

En esta sección, discutiremos los siguientes tópicos:

- Uso del modelo de Black (1976) para valorar opciones en bonos.- Uso del modelo de Black (1976) para valorar techos y pisos en la tasa de

interés.- Modelo binomial de un factor para la tasa de interés.

- Construcción de modelos binomiales de tasa de interés con datos de precios de bonos yvolatilidad de tasas (esto es, modelos de no arbitraje).


7.1. Uso del Modelo de Black-Scholes (1973) y Black (1976) para Valorar Opcionesen Instrumentos de Renta Fija

El modelo de Black-Scholes presenta los siguientes problemas cuando tratamoscon instrumentos de renta fija:

1. Supone que la tasa de interés es fija. Sin embargo, la existencia misma de losderivados en tasa de interés se debe a la naturaleza estocástica de éstas.

2. Supone que la volatilidad del retorno del activo subyacente es constante. Sinembargo, la volatilidad de los precios de los bonos no es constante. De hecho, el preciode un bono es mucho menos volátil cerca de su vencimiento–su precio de acerca al valorcara.

No obstante, como veremos, el modelo de Black-Scholes y Black se utiliza enla valoración de ciertos derivados en tasas de interés:

-Es adecuado para opciones de corto plazo en instrumentos de largo plazo,donde los supuestos anteriores son buenas aproximaciones.

-Es a menudo usado para valorar techos en tasas de interés (caps), pisos en tasasde interés (floors) y collares (collars).

Ejemplo 1: Una Opción a Corto Plazo en un Bonos a Largo Plazo. (Hull, 1997):

Encuentre el precio de una call europea a 10 meses en un bono a 9,75 años conun valor cara de $1.000. Supongamos que el precio corriente del bono es $960, el preciode ejercicio de la call es $1.000, las tasas libre de riesgo a 3 meses, 9 meses y 10 mesesson 9%, 9,5% y 10%, respectivamente (anualizada, c.c.), y la volatilidad del precio delbono es 9% por año. El bono paga un cupón semi-anual de 10% (esto es,10%x0,5x1000=50), y se esperan pagos de cupones en 3 y 9 meses.

Solución

1. El valor presente de los pagos de cupones antes del vencimiento de la call es:

50 x e-0,25 x 0,09+50 x e-0,75 x 0,095=95,45.

El activo subyacente, S, es el bono menos los pagos del cupón. Esto es S=960-95,45=$864,55. Los otros parámetros del modelo de Black-Scholes son K=$1.000,r=0,1, σ=0,09 y τ=10/12=0,8333. Haciendo los cálculos pertinentes, obtenemosC=$9,49.

Para la mayoría de las opciones en bonos, el precio de ejercicio es el precio decotización del bono en la bolsa ($1.000) más un pago de interés prorrateado por el hechode que el dueño del bono deja de percibir el pago del próximo cupón, en caso de que laopción sea ejercida. En tal eventualidad, dado que la opción vence un mes después de laentrega de un cupón, el precio de ejercicio del bono sería:


K=1.000+50 x 1/6=1.008,33.

Con los demás parámetros constantes, el precio de la call es ahora $7,97.

Ejemplo 2: Uso del Modelo de Black para Valorar Techos en Tasas de Interés(Caps)

Considere un techo para la tasa de interés de 6% en un préstamo de $10millones con una tasa flotante igual a la LIBOR. La tasa del préstamo se fija cada tresmeses a la tasa LIBOR prevaleciente a comienzos del período. Este techo garantiza quela tasa cobrada es la menor entre el techo y la tasa LIBOR prevaleciente.

A fin de cumplir con sus obligaciones del contrato, la institución financieradebe pagar al deudor al final de cada trimestre (en millones):

0,25 x 10 x max(R-0,06; 0),

donde R es la tasa LIBOR a 3 meses al comienzo del trimestre. La expresión max (R-0,06; 0) es el pago de una call en R con precio de ejercicio de 6%. Por lo tanto, una cappuede ser considerada como un portfolio de opciones de compra en R (caplets) conpagos que tienen lugar cada tres meses.

En general, si Rx representa el techo de la tasa de interés y L el principal (en elejemplo anterior, 6% y $10 millones, respectivamente), y τ es el período de tiempo entrepagos (3 meses en el ejemplo anterior), entonces la caplet entre t=1 y t=2 tiene un pagoen t=2 de:

(8) L τ max[R1,2-Rx],

donde R1,2 y Rx se componen con frecuencia τ. Por ejemplo, si al comienzo del períodola tasa LIBOR es 11% anual, la institución financiera debe pagar0,25x10.000.000x0.05=$125.000 al deudor al final del período.

Si asumimos que la tasa (forward) R1,2 tiene una volatilidad constante, σ1,2, elvalor de esta opción de compra en t0 (hoy) está dada por:

(9) τ L )t-.(tr 02*

e− [R1,2Φ(d1)-RxΦ(d2)],

donde

d1=011,2

012

1,2x1,2

tt.

)/2t(t)/Rln(R

−σ

−σ+,

d2=d1- 012,1 tt −σ ,


y r* es una tasa compuesta continuamente para un bono cero-cupón (libre de riesgo) conexpiración en t2. R1,2 y Rx se componen con frecuencia τ.

Análogamente, se puede demostrar que el valor de un piso en tasa de interés(floorlet) está dado por:

(10) τ L )t-.(tr 02*

e− [RxΦ(-d2)-R1,2Φ(-d1)],

Para ilustrar, considere un contrato que coloca un techo a la tasa de interés de8% por año (compuesta trimestralmente) para un préstamo de US$10.000 a tres mesescomenzando en una año más. Suponga que la tasa forward para tres meses comenzandoen un año es 7% anual (compuesta trimestralmente); la tasa de interés corriente a 15meses es 6,5% anual (compuesta continuamente); y la volatilidad de la tasa forward es20% por año. Tenemos, por tanto, que R1,2=0,07, τ=0,25, L=10.000, Rx=0,08, r*=0,065,σ1,2=0,20 y t1-t0=1 año. Dado que

d1= 5657,020,0

02,0ln(0,875) −=+

d2=d1-0,20=-0,7677,

el valor de la caplet es:

0,25 x 10.000 x e-0,065x1,25 x [0,07 x Φ(-0,5657)-0,08 x Φ(-0,7677)]=$5,19.

7.2. Modelando la Estructura de Tasas de Interés.

a) ¿Por qué necesitamos conocer la estructura de tasas de interés?

A lo largo de estos apuntes, hemos supuesto que la tasa de interés es constante.

Bajo dicho escenario, un instrumento financiero que paga NS~

en N períodos más tiene

un valor presente de:

(11) S0=N)r1(

1+

E0*( NS

~),

en un mundo neutral al riesgo, donde r denota la tasa de interés simple constante porperíodo.

Para derivados en instrumentos de renta fija, tales como opciones en bonos del

gobierno, el pago NS~

depende de la tasa de interés futura. Dado que estos derivados son

transados en el mercado por inversionistas que desean protegerse o especular frente avariaciones en las tasas de interés, es importante modelar el comportamiento estocástico


de éstas. Ello nos permite comprender y valorar los derivados en instrumentos de rentafija correctamente.

b) ¿Por qué es difícil desarrollar modelos de la estructura de tasas de interés?

Si las tasas de interés son estocásticas, tenemos que la valoración en un mundoneutral al riesgo debiera hacerse descontando dentro de la esperanza en (11):

(12) S0=E0*( N

1N10

S~

).r~

1)....(r~

1)(r1(

1

−+++).

De lo anterior, tenemos que las tasas de interés estocásticas afectan el valor del

activo en t=N, NS~

, y el descuento entre 0 y N. A fin de tener un buen modelo de la

estructura de tasas de interés, necesitamos modelar el movimiento de toda la curva derendimiento. Es decir, las tasas de corto plazo no pueden ser modeladasindependientemente de las de largo plazo, a fin de ser consistentes. Por ejemplo, uninstrumento financiero cuyos flujos son descontados por tasas de interés de corto plazosucesivas debiera tener el mismo valor que si utilizáramos una única tasa de interés delargo plazo.

7.2.1. Modelo de un Factor

Los modelos de un factor asumen que la tasa de interés de corto plazo esdeterminada por una sola fuente de incertidumbre, y que todos los cambios en losprecios de instrumentos de renta fija son explicados por cambios en la tasa de interés decorto plazo.

Un modelo simple de un factor es el siguiente ejemplo de un modelo binomialpara la tasa de interés en un mundo neutral al riesgo:

R(0,1)

R1(1,2)

R0(1,2)

R2(2,3)

R0(2,3)

R1(2,3)

t = 2t = 1

t = 0


El modelo describe el movimiento de la tasa de interés simple por período. Porejemplo, R0(1,2) es la tasa de interés relevante entre t=1 y t=2 en el nodo 0. Obviamente,el lapso de tiempo transcurrido entre períodos del árbol binomial puede ser 1 día, 1 mes,1 año, etc.

Podemos escoger p=0,5. Este es un supuesto innocuo (al igual que el quehicimos para modelar el precio de una acción, u=1/d).

Ejemplo: Cómo utilizar el Modelo binomial para Modelar la Tasa de Interés deCorto Plazo.

Supongamos que la tasa corta es descrita por el siguiente árbol binomial, concada período igual a un año:

10

14,32

9,79

19,42

9,76

13,77

t = 2t = 1

t = 0

Valoremos un bono cero-cupón a dos años con un valor cara de $1. El árbolpara el bono está dado por:

B(0,2)

B1(1,2)

B0(1,2)

1

1

1

t = 2t = 1

t = 0

En un mundo neutral al riesgo, la tasa esperada de corto plazo de un bono (concualquier vencimiento) debiera ser igual a la tasa de mercado de corto plazo:


a) En t=1 (año), el precio del bono debe ser tal que la tasa de interés simple queuno gana por tener un bono entre t=1 y t=2 sea igual a la tasa corta en t=1:

(13) B1(1,2)=1432,011

(1,2)R10,5x10,5x1

1 +=

++

=0,8747

(14) B0(1,2)=0979,01

1(1,2)R10,5x10,5x1

0 +=

++

=0,9108.

b) En t=0, el precio debe ser igual al valor descontado del precio esperado elpróximo período:

(15) B(0,2) =01,01

9108,0x5,08747,0x5,0R(0,1)1

)2,1(0,5xB)2,1(0,5xB 01+

+=+

+=0,8116

Con este modelo también podemos valorar derivados en tasa de interés. Por ejemplo,consideremos una call europea en un bono cero-cupón con un precio de ejercicio de$0,89 y vencimiento a un año.

B(0,2)=0,8116

B1(1,2)=0,8747

B0(1,2)=0,9108

1

1

1

t = 2t = 1

t = 0

El árbol para la call está dado por:

C

Cu

Cd

t = 1

t = 0

El valor de la call al vencimiento está dado por:


Cu=max(0, B1(1,2)-0,89)=0,

Cd=max(0, B0(1,2)-0,89)=0,0208.

El precio corriente de la call es entonces:

(16) C= 00946,0$1,1

xC5,0xC5,0 du =+

.

7.2.2. Construcción de un Arbol Binomial para un Modelo de un Factor queReproduce Precios de Bonos y Volatilidad de las Tasas de Interés.

Este ejercicio es importante porque ilustra la idea básica detrás de una granclase de modelos de un factor de no-arbitraje. Ejemplos de estos modelos son Ho-Lee(1986) y Black-Derman-Toy (1990). Estos modelos incorporan datos de la estructura detasas de interés vigentes y estimadores de la volatilidad de la tasa de interés.

Inputs (conocidos)

1.- La curva de rendimiento cero-cupón. Esta es equivalente a bonos de descuentopuros y puede ser inferida de precios de bonos con cupones.

2.- La volatilidad de las tasas de interés. Por ejemplo, asumimos que conocemos lavolatilidad (condicional) de la tasa de interés de corto plazo spot al final de cadaperíodo, dada la tasa spot al final del período previo.

EjemploTabla 8

Vencimiento (años) Rendimiento (%) Precio ($) Volatilidad (%)1 6,0 0,9434 1,42 6,4 0,8833 1,23 6,7 0,8232 1,1

La segunda fila de la tabla anterior muestra el rendimiento (yield) compuestoanualmente de bonos cero-cupón. La tercera columna da los precios de aquellos bonoscero-cupón con valor cara de $1. La cuarta columna entrega las volatilidades de la tasade interés. Por ejemplo, dado que conocemos la tasa spot R(1,2) al final del primer año,la tasa de interés spot R(2,3) tiene una desviación estándar de 1,2%.


Construcción del Arbol Binomial

1. Bono a un Año

De la tabla vemos que R(0,1)=6%. Por lo tanto, el árbol binomial quenecesitamos construir es:

6%

R1(1,2)

R0(1,2)

R0(2,3)

R1(2,3)

t = 2t = 1

t = 0

2. Bono a Dos Años

B(0,2)=0,8833

B1(1,2)

= )2,1(R11

1+

B0(1,2)

)2,1(R11

0+=

1

1

1

t = 2t = 1

t = 0

Las siguientes condiciones deben satisfacerse:

a) El precio corriente del bono en t=0 debe ser el valor descontado de la esperanzade los precios del próximo período:

B(0,2)=R(0,1)1

(1,2)0,5xB(1,2)0,5xB 01+

+,

es decir,


(17) 0,8833=1,06

(1,2)R110,5x(1,2)R1

10,5x01 +++

.

(b) La volatilidad de la tasa de interés debe ser aquélla de los datos:

0,5 x [R1(1,2)-2

))2,1(R)2,1(R( 01 +]2+0,5 x [R0(1,2) -

2))2,1(R)2,1(R( 01 +

]21/2

=0,5 x [R1(1,2)- R0(1,2)]

(18) =0,014 (esto es, 1.4%).

Esto da dos ecuaciones con dos incógnitas. Usando “Excel Solver”, obtenemosR1(1,2)=8,22%, R0(1,2)=5,42%.

3. Bono a Tres Años

El proceso aleatorio que describe a la tasa de interés es el siguiente:

6%

8,22%

5,42%

R2(2,3)

R1(2,3)

R0(2,3)

t = 2t = 1

y el del bono es:

B(0,3)=0,8232

B1(1,3)

B0(1,3)

B2(2,3)

B2(2,3)

B1(2,3)

1

1

1

1

t = 2t = 1 t = 3

t = 0


donde B2(2,3)=)3,2(R1

12+

, etc.

Nuevamente, deben satisfacerse las siguientes condiciones:

a) El precio corriente debe ser el valor descontado de los precios del próximoperíodo:

(19) B1(1,3)=1,0822

(2,3)R110,5x(2,3)R1

10,5x12 +++

(20) B0(1,3)=1,0542

(2,3)R110,5x(2,3)R1

10,5x01 +++

,

y también,

(21) B(0,3)=0,8232=1,06

(1,3)0,5xB(1,3)0,5xB 01 +,)

b) Suponemos que la volatilidad entre t=1 y t=2 es la misma, ya sea que las tasasaumenten o disminuyan en el primer períodocondicional en el valor de la tasade interés al final del primer período. Esto es,

(22) 0,5 x [R2(2,3)- R1(2,3)]=0,012,

(23) 0,5 x [R1(2,3)- R0(2,3)]=0,012.

De lo anterior, vemos que tenemos tres incógnitas por resolver: R2(2,3), R1(2,3)y R0(2,3). A fin de obtener tres ecuaciones, substituimos (19) y (20) en (21). Lasecuaciones (22) y (23) completan el sistema. Resolviendo obtenemos:

R2(2,3)=9,75%, R1(2,3)=7,35% y R0(2,3)=4,95%.

Podemos continuar calculando la tasa de interés de un período en cada nodo tanlejos en el futuro como tengamos información sobre precios de bonos cero-cupón,rendimientos y volatilidades.

Referencias

Black, F. y M. Scholes (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” enJournal of Political Economy , 81(3), mayo-junio, pp. 637-54.


Black, F (1976), “The Pricing of Commodity Contracts” en Journal of FinancialEconomics 3, 167-79.

_______, E. Derman y W. Toy (1990), “A One Factor Model of Interest Rates and ItsApplications to Treasury Bonds Options” en Financial Analysts Journal, enero-febrero,pp. 33-39.


Figlewski, S., W. Silber y M. Subrahmanyam (1990), editores , Financial Options: FromTheory to Practice. McGraw Hill.

Galitz, L (1994), Ingeniería Financiera I. Ediciones Folio S.A., Barcelona.Ho T.S y S. B. Lee (1986), “Term Structure Movements and Pricing Interest RateContingent Claims” en Journal of Finance, 41, pp. 1011-29.



1. A las compañías A y B se les ofrece las siguientes tasas anuales para unpréstamo a 5 años de $10 millones:

Tasa fija Tasa flotanteCompañía A 12,0% LIBOR+0,1%Compañía B 13,4% LIBOR+0,6%

2. La compañía A requiere un préstamo a tasa flotante; la compañía B necesita unpréstamo a tasa fija. Diseñe un swap que le asegure a un banco intermediariouna ganancia neta de 10 puntos base por año, y que sea igualmente atractivopara ambas compañías (esto es, que cada compañía tenga la misma ganancia entérminos de puntos base en relación al caso sin swap). Hint: Fíjese en el tamañode la ventaja comparativa.

3. La compañía X desea pedir prestado dólares a una tasa de interés fija. Lacompañía Y desea pedir prestado Yenes a una tasa de interés fija. Lascantidades requeridas por las dos compañías son aproximadamente iguales altipo de cambio vigente. Las compañías enfrentan las siguientes tasa de interés:

Yen dólaresCompañía X 4,0% 8,0%Compañía Y 5,5% 8,4%


Diseñe un swap que le proporcione a un banco intermediario una ganancia netade 50 puntos bases por año. Haga el swap igualmente atractivo a las dos compañías yasegúrese que todo el riesgo cambiario es asumido por el banco.

4. Supongamos que las tasas LIBOR (anualizada, interés compuestosemestralmente) para vencimientos hasta dos años están dadas por:

Plazo 6 meses 12 meses 18 meses 24 mesesLIBOR 6% 6,2% 6,4% 6,6%

(a) ¿Cuál es la tasa de mercado fija (anualizada, compuesta semestralmente)para un swap a dos años fijo-flotante con pagos semestrales en el cual latasa flotante al final de cada período es la tasa LIBOR a seis meses vigenteal comienzo de cada período?

(b) La empresa XYZ entró en dicho swap, como la parte que paga tasa fija, enuna cantidad nocional de $10 millones. Dos meses después, supongamosque la estructura de la tasa LIBOR es plana en 6% (anualizada, compuestacontinuamente) para todos los plazos. ¿Cuál es el valor del swap paraXYZ?

(c) Considere un nuevo swap que es igual al de la parte a), excepto que la tasaflotante es 10%-LIBOR (anualizada, compuesta semestralmente). Usandosu respuesta de la pregunta (a), calcule la tasa de mercado del swap paraeste caso.

(d) Considere, nuevamente, el swap de la pregunta (a) y asuma que la tasa fijadel swap es la tasa de mercado que usted calculó en dicha pregunta.Suponga que el swap tiene una nueva característica la cual establece que,cuando la tasa flotante LIBOR a seis meses sea mayor a 7,5%, se darátérmino al contrato swap. Sin hacer ningún cálculo, ¿espera que el nuevoswap tendrá un valor positivo, negativo o cero para la parte que paga tasafija? Explique brevemente por qué.

4. La estructura de la tasa de interés en Alemania y Estados Unidos es plana, y lastasas libres de riesgo compuestas continuamente son rDM=6% en Alemania yrUS=4% en Estados Unidos. Usted está interesado en entrar a un swap enmoneda extranjera a tres años en el cual usted paga 3%/año en dólares. Elprincipal en las dos monedas alcanza a US$10 millones y 15 millones DM. Eltipo de cambio vigente es US$0,660/DM.

(a) ¿Cuál es el tasa de mercado del cupón en DM para este swap?(b) Seis meses después de entrar en este swap, el tipo de cambio alcanza a

US$0,64/DM. ¿Cuál es el valor del contrato swap para usted? ¿Cuál es elvalor del contrato swap para la contraparte?

5. Un bono “reversible” comienza su vida como un bono con cupones fijos pero,en cualquier fecha de entrega de cupones, los cupones subsiguientes pueden ser


convertidos a tasa flotante. Una vez hecho esto, el factor de conversión nopuede ser cambiado. Usualmente, la decisión de convertir está en manos delemisor del bono, pero para un bono en particular es el dueño de éste quien hacela elección. El bono tiene un vencimiento a cuatro años, paga cupones anuales ytiene un principal de $100. Si se convierte a tasa flotante, el bono se transaría ala par en la fecha de entrega de cupones. El cupón fijo es de 6,5%. Eldepartamento de estudios de su empresa ha construido el siguiente árbol paralas tasas de interés a un año sobre un horizonte de 4 años:

6,62

4,51

8,24

5,72

3,98

10,14

7,17

5,09

3,62

5,62

¿Cuándo el bono será convertido a flotante? ¿Cuál es el precio actual del bono?

6. Suponga un bono que tiene un vencimiento a 3 años, un valor cara de $100pero, en vez de pagar un cupón fijo como un bono ordinario, cada año paga uncupón variable el cual es una proporción fija del precio que el bono tuvoexactamente un año atrás. Esta proporción se ha fijado en 5%. Con el árbolbinomial dado en la pregunta anterior, calcule el valor del bono hoy día (t=0).


CAPITULO 6

OPCIONES REALES

1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo veremos cómo podemos utilizar el instrumental de la teoría deopciones para evaluar la decisión de entrar, expandir o cerrar un negocio. Veremos quela evaluación de proyectos que involucran algún grado de flexibilidad futura–opcionesrealesno puede llevarse a cabo con las técnicas tradicionales del valor presente neto otasa interna de retorno. En verdad, tales métodos pueden llevarnos a tomar decisionesincorrectas con respecto al momento óptimo de invertir en un determinado proyecto.Ejemplos de opciones reales son la explotación de una mina o pozo petrolífero, el diseñode un nuevo producto y la inversión en investigación y desarrollo.

Partiremos discutiendo bajo qué supuestos la regla de valor presente neto esóptima. Luego veremos que, cuando dichos supuestos son violados, podemos hacer unparalelo entre una opción de inversión y una opción financiera y utilizar las herramientasanalíticas de los capítulos anteriores. En particular, el modelo de Black-Scholes y elconcepto de portafolio réplica serán de especial utilidad. Finalizaremos este capítuloanalizando la puesta en marcha de un proyecto de inversión en tiempo continuo pormedio de las herramientas de cálculo estocástico cubiertas en capítulos anteriores.

2. LIMITACIONES DE LA REGLA DE VALOR PRESENTE NETO

Recordemos que la regla tradicional del valor presente neto establece quedebemos llevar a cabo un proyecto si el valor presente neto de los flujos de cajagenerados por éste es mayor que cero. Esta regla es óptima cuando la oportunidad deinversión es del tipo “ahora o nunca”, o cuando el proyecto de inversión escompletamente reversible.

Sin embargo, en la realidad pocas inversiones son del tipo “ahora o nunca”. Losinversionistas no sólo tienen el derecho a decidir si invertir o no, sino que también tienenel derecho a decidir cuándo invertir en un nuevo proyecto. El segundo derecho es unaopción a retrasar la inversión. Esta es una opción real a diferencia de una financiera. Sinembargo, como veremos, ambas tienen varios elementos en común. Por otra parte, pocasinversiones son completamente reversibles. La puesta en marcha de un nuevo proyectoinvolucra costos hundidos, los cuales no son recuperados si el proyecto es abandonado.

No obstante, la regla del valor presente neto (VPN) también se aplica a lavaloración de opciones reales si nos damos cuenta que el VPN de una opción real es elVPN de llevar a cabo el proyecto menos el costo de oportunidad de la pérdida asociadacon ejercer la opción. La regla tradicional del valor presente para proyectos mutuamenteexcluyentes establece que deberíamos adoptar el proyecto más valioso. En el contexto deopciones reales, enfrentamos un continuo de proyectos porque siempre podemos retrasar


la fecha de la puesta en marcha. La regla tradicional del VPN nos diría, entonces, queseleccionásemos aquella fecha de puesta en marcha que maximice el valor del proyecto.Esto es precisamente lo que trata la teoría de opciones reales. Veamos el siguienteejemplo.

Ejemplo

Considere una firma que está tratando de decidir si invertir en una plantaproductora de “bigudíes” y cuándo. La inversión es puede realizarse en cualquiermomento pero, una vez hecha, es completamente irreversible. Si la firma decide invertir,la construcción de la planta tendría un costo de US$16 millones. Cada año, la fabricapuede producir un millón de bigudíes a un costo unitario de US$1. El precio corriente esde US$3 por bigudí. El mercado cree que el próximo año el precio unitario subirá aUS$4, con una probabilidad de 1/2, o caerá a US$2, con una probabilidad de 1/2,permaneciendo constante de ahí en adelante. ¿Debería la firma invertir ahora? Supongaque la tasa de descuento para los flujos de la fábrica de bigudíes es de 10 por cientoanual, interés simple.

Como vemos, la firma tiene una opción de gastar US$16 millones para adquirirel valor presente de los flujos generados por la fábrica de bigudíes. Esta es una opciónamericana con maduración infinita. La regla tradicional del valor presente neto nos diceque debemos ejercer dicha opción cuando ésta está in-the-money, es decir, cuando suvalor intrínseco es positivo.

Supongamos que el valor presente neto (VPN) de construir la nueva planta esde US$1 millón. La regla del VPN sugiere que la firma debería invertir en el proyectohoy día y “matar” la opción de esperar. Sin embargo, tal recomendación es erróneapuesto que al no ejercer la opción de inversión, la firma retiene el valor de la opción, lacual puede ser mayor que US$1 millón.

El valor presente de este proyecto es:

=-16+ ....1,1

131,1

131,1

1332 +−+−+−

(1) =-16+0,12

=US$4 millones.

Por lo tanto, la regla tradicional del VPN sugiere que deberíamos realizar esteproyecto hoy día. Sin embargo, la firma puede obtener una ganancia mayor si retrasa lainversión en un año más:

Si el precio aumenta a US$4 por bigudí, tenemos que el VPN del proyecto es:

=-16+ ....1,1

141,1

141,1

1432 +−+−+−

(2) =-16+0,13

=US$14 millones.


Por lo tanto, la firma debería construir la firma. Si el precio de cada bigudí cae a US$2 lafirma no debería construir la planta porque el VPN es negativo:

=-16+ ....1,1

121,1

121,1

1232 +−+−+−

(3) =-16+0,11

=-US$6 millones.

Hoy día, el VPN de retrasar el proyecto en un año es de:

(4)1,1

0,5x00,5x14 +=US$6,364 millones.

Por lo tanto, la fábrica debería retrasar la inversión en un año.

¿Cuáles son los beneficios y costos de retrasar la inversión en un año?

-Al retrasar la inversión, la firma retiene el derecho a no ejercer (esto es, elvalor de la opción) y puede llevar a cabo una mejor decisión basada en nuevainformación disponible en un año más.

-Sin embargo, la firma pierde el ingreso del primer año al retrasar la inversión.

¿Aún sería óptimo retrasar la inversión en un año si la firma pudiera recuperaren su totalidad el costo de los US$16 millones, en caso de que invirtiera hoy (t=0) ydecidiera cerrar la planta cuando el precio unitario de los bigudíes cayera a US$2? Larespuesta es no. ¿Por qué?

-Si el precio aumenta a US$4 por unidad, continuamos produciendo parasiempre (rinde más que producir por un tiempo y cerrar en el futuro) obteniendo:

(5) =-16+0,13

=US$14 millones.

-Si el precio cae a US$2 por bigudí, producimos el primer año y cerramos laplanta (rinde más que continuar produciendo y cerrar en el futuro) obteniendo:

(6) =-16+1,1

1-216 +=-US$0,454 millones.

Estos dos escenarios tienen un valor esperado de 14x0,5-0,454x0,5=US$6,772millones >US$6,364 millones. Esto implica que es óptimo ejercer la opción en t=0.

Como vemos, cuando la inversión es completamente recuperable, la regla delVPN nos lleva a la decisión correcta.


3. ANALOGIA ENTRE UNA OPCION DE INVERSION Y UNA OPCIONFINANCIERA

El ejemplo anterior sugiere que una oportunidad de inversión es muy parecida auna opción americana sobre una acción que paga dividendos con un vencimiento muylejano en el futuro. Para entender por qué, veamos la siguiente tabla:

Tabla 1Comparación de una Opción Americana y una Opción de Inversión

Opción Americana Opción de InversiónActivo subyacente Acción Valor de la plantaPrecio de ejercicio K Costo de construir la plantaFuente de incertidumbre Precio de la acción, S(t) Valor de la plantaGanancia por esperar Derecho a no ejercer

Postergar el costo de KDerecho a no invertirPostergar el costo de la planta

Pérdida por esperar Dividendo Pérdida de no producirValor de la opción ejercida S(t)-K VPNValor de la opción sin ejercer C(t) Valor de la opción de invertir

Lo anterior sugiere que las reglas de ejercicio temprano para opcionesamericanas cubiertas en los capítulos anteriores pueden ser también aplicadas, al menosa nivel intuitivo, a las decisiones de inversión de una compañía. En particular, en el casode inversiones irreversibles que la firma puede retrasar, las inversiones no debieranllevarse a cabo simplemente porque el VPN es positivo. En vez, la firma debería invertirsólo si el VPN del proyecto excede a cero en una cantidad mayor o igual que el valor demantener vigente la opción de invertir.

Entre más incierto sean los flujos futuros del proyecto y entre másincertidumbre pueda eliminarse al retrasar la inversión, más beneficioso resultarápostergar la puesta en marcha del proyecto. Haciendo un paralelo con una opciónfinanciera, una mayor volatilidad del valor de la firma (activo subyacente) aumenta elvalor de la opción de inversión.

4. USO DEL INSTRUMENTAL DE TEORIA DE OPCIONES PARAEVALUAR UN PROYECTO DE INVERSION

4.1. Explotación de una Mina de Cobre

Supongamos que a usted le ofrecen por un año los derechos de explotación deuna mina de cobre con reservas de 100.000 toneladas. Los costos de explotación sonexclusivamente variables, dado que su actual dueño ya incurrió en los costos fijosasociados con la puesta en marcha. Los costos variables ascienden a US$1.000 portonelada extraída. Estos costos se mantendrán constantes a lo largo del próximo año. Elprecio corriente del cobre es US$1.600 por tonelada. Se sabe que el retorno del preciodel cobre (compuesto continuamente) se distribuye normal con media de 2 por ciento yvolatilidad de 5 por ciento anual. La tasa libre de riesgo es de 8 por ciento anual (interéssimple). Nos ofrecen dos tipos de contratos:


a) Con la obligación de extraer el cobre a lo largo del año.

b) Con la opción de extraerlo o no.

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada contrato?

a) Con la Obligación de Extraer

Si adquirimos la obligación de extraer las 100.000 toneladas de cobre a lo largodel año, la técnica de análisis adecuada es el VPN. Lo que debemos determinar es laestrategia óptima a seguir: extraer ahora o esperar hasta el final del año.

Si extraemos hoy, obtenemos 100.000x(1.600-1.000)=US$60 millones. Siesperáramos un año, en tanto, obtendríamos un ingreso neto en valor presente deUS$67,4 millones:

(7) (1600-1,08

1,000)x 100.000=US$67,407 millones.

Notemos que, dado que estamos realizando los cálculos en un mundo neutral alriesgo, el valor presente del precio del cobre en un año más debe ser el precio de éstehoy día.

De lo anterior, deducimos que nos conviene esperar hasta el final del año paraextraer. La intuición de este resultado es que nos beneficia posponer los costos deexplotación por un año.

En consecuencia, estaríamos dispuestos a pagar hasta US$67,407 millones poreste proyecto en caso de estar sujetos a la obligación de extraer.

b) Sin la Obligación de Extraer

Dada la simplicidad de nuestro ejemplo, podemos utilizar la fórmula de Black-Scholes para valorar esta opción de inversión. Verdaderamente, bajo el supuesto de queel cobre es extraído de una sola vez, estamos frente a una opción americana que no pagadividendos. Pero, como ya sabemos, dicho caso se reduce a valorar una opción europeaporque el ejercicio temprano nunca es óptimo.

Este proyecto equivale a tener 100.000 contratos de una call sobre una toneladade cobre con parámetros S=160.000, K=100.000, σ=0,05, T-t=1, r=ln(1+0,08)=7,7 porciento. Reemplazando estos valores en la fórmula de Black-Scholes, obtenemos que elvalor del proyecto es de US$67,411 millones. Esta cifra es bastante cercana a la obtenidaen el caso a) porque hemos supuesto que la volatilidad del precio del cobre es sólo de 5por ciento por año. La tabla siguiente muestra el efecto de aumentar el parámetro de lavolatilidad.


Tabla 2

Volatilidad anual del precio del cobre Valor del proyecto15% US$67,412 millones20% US$67,434 millones30% US$67,898 millones

Como vemos, aumentos en la volatilidad del precio del cobre hacen aumentar elvalor del proyecto. La intuición detrás de este resultado es que estamos protegidos contrafuertes bajas en el preciono ejercemos la opción, y aumentos significativos en elprecio incrementan nuestra ganancia neta en valor presente. Esto es exactamente loopuesto a lo predicho por el VPN: dado que la incertidumbre asociada con la variacióndel precio del cobre no es completamente diversificable, le exigiríamos una rentabilidadmayor al proyecto. Ello se traduciría en un aumento en el factor de descuento delproyecto y, por ende, en una caída en el valor estimado de las reservas cupríferas.

¿Qué pasaría si hoy día el precio del cobre estuviera bajo los costos de explotación?

Supongamos que el precio del cobre es de US$924 por tonelada. En el caso a),concluiríamos que no nos conviene realizar este proyecto porque el VPN de explotar enun año más es negativo. Sin embargo, en el caso b) el valor de la opción de extraer estaráfuertemente ligada a la volatilidad del precio del cobre, ceteris paribus. La siguientetabla muestra el valor del proyecto para distintos valores de σ:

Tabla 3

Volatilidad Anual del Precio del Cobre Valor del Proyecto0% 05% US$1,752 millones15% US$5,440 millones20% US$7,277 millones30% US$10,938 millones

De lo anterior, vemos que, si existe algún grado de flexibilidad en el proyecto,(opción de extraer), la regla del valor presente neto tradicional puede llevarnos aresultados erróneos y decisiones equivocadas. Por lo tanto, debemos necesariamente usarla teoría de opciones para obtener una evaluación confiable de un proyecto de inversión.

4.2. Valoración de un Proyecto Mediante el Uso de un Portafolio Réplica

a) Realizar o No un Proyecto

Supongamos que la empresa fabricante de software “S-Views” tiene laoportunidad de llevar a cabo un nuevo proyecto que requiere una inversión inicial de $40millones. El proyecto consiste en el desarrollo de un nuevo paquete estadístico. Existegran incertidumbre con respecto al grado de aceptación de dicho producto debido a su


gran especificidad. Sin embargo, el próximo año dicha incertidumbre se habrá disipadoconociéndose entonces su grado de aceptación. Para simplificar el análisis suponemosque existen dos escenarios posibles:

-El producto tiene gran éxito. En este caso, el VPN del proyecto sería de $120 millones.

-El producto tiene escaso éxito. En este caso, el VPN del proyecto sería de $30 millones.

Se sabe además que la empresa “Microtough”, cuya acciones se cotizan en labolsa, se dedica exclusivamente al desarrollo de un producto idéntico al de “S-Views”.El mercado espera que dentro de un año el valor de estas acciones sean de $400 si elproducto es un éxito (probabilidad 0,9), y $100 si el producto es un fracaso (probabilidad0,1). La rentabilidad exigida a estas acciones es de 15 por ciento. La tasa libre de riesgoes de 8 por ciento.

Por lo tanto, el valor esperado de la acción de “Microtough” hoy día, S0, es:

(8) S0=exigida adrentabilid1

)E(S1+

=15,1

9,0x1001,0x400 +=$113,04.

Con esta información, ¿debería “S-Views” aceptar el proyecto?

Sea V1 el valor del proyecto en t=1. Utilizando la regla de VPN, obtenemos:

(9) VPN=exigida adrentabilid1

)E(V1+

=15,1

9,0x301,0x120 +-40=-$6,08 millones

Por lo tanto, no deberíamos emprender este proyecto.

Si utilizamos el concepto de portafolio réplica, obtenemos la misma respuesta.Veamos por qué:

Dado el movimiento del precio de la acción de “Microtough”, tenemos queu=3,539, d=0,885, r*=1,08, p=0,0736. Por lo tanto, usando la valoración neutral alriesgo, obtenemos que el valor del proyecto, V, hoy día es:

(10) V=*r

p)V(1pV du −+-costo=

08,19264,0x3007362,0x120 +

-40=-$6,08 millones

Calculemos la composición del portafolio réplica:

∆=du

duS-SV-V

=10040030120

−−

=300 mil acciones de “Microtough”.

(11) L=*d)r-(u

uV-dV du =08,1x)885,0539,3(30x539,3120x885,0

−−

=0


Si el paquete estadístico resulta un éxito, un portafolio de 300.000 accionesvaldrá $120 millones el próximo año. En tanto, si el producto resulta poco exitoso, elportafolio valdrá $30 millones. Dado que este portafolio replica los flujos del proyectoen cada estado de la naturaleza en t=1, debe ser el caso que el valor del proyecto seaigual a 300.000 acciones x 113,04$/acción-40 millones=-$6,08 millones.

Es claro que a “S-Views” no le conviene llevar a cabo el proyecto, porquepodría generar los mismos flujos que éste en t=1 comprando 300.000 acciones de“Microtough” hoy día a $33,9 millones.

b) Decisión de Ampliar el Proyecto en Marcha

Supongamos que “S-Views” puede ampliar el proyecto en un 100 por cientoinvirtiendo de nuevo $40 millones adicionales. Claramente, la empresa sólo ampliará elnegocio si el proyecto resulta exitoso.

El proyecto tendría los siguientes flujos el año próximo:

Tabla 4

Hoy Dentro de un añoV 120+(120-40) con probabilidad=10%

30 con probabilidad=90%

Si calculamos el VPN, obtenemos:


)E(V1+

=15,1

9,0x301,0x200 +-40=$869.565

En base al resultado anterior, concluiríamos que debemos realizar el proyecto.Sin embargo, si utilizamos la valoración de opciones concluimos exactamente locontrario:

(13) V=*r

p)V(1pV du −+-costo=

08,19264,0x3007362,0x200 +

-40= -$633.333

¿Por qué?

La razón es que podemos replicar lo que sucederá el próxi mo año comprando567 mil acciones de la empresa “Microtough” y pidiendo prestado $24,7 millones.

∆=du

duS-SV-V

=10040030200

−−

=567 mil acciones de “Microtough”.


(14) L= *d)r-(u

uV-dV du =08,1x)885,0539,3(30x539,3200x885,0

−−

=$24,7 millones

Si el producto resulta un éxito, las acciones valdrán $226,8 millones ytendremos que devolver $26,7 millones del préstamo. Si el producto resulta un fracaso,en cambio, las acciones valdrán $56,7 millones y tendremos asimismo que devolver eldinero del préstamo más los intereses, esto es, $26,7 millones. Por lo tanto, el valor deeste proyecto es igual a 567.000 acciones x 113,04$/acción-24,7 millones-40 millones=-$633.333. En otras palabras, no realizaríamos este proyecto porque, a fin de replicar losflujos de éste el próximo período, resulta más barato comprar 567 mil acciones a$113,04 por acción y pedir prestado $24,7 millones hoy día (ello tendría un costo de$39,4 millones).

Por lo tanto, tenemos que:

Valor opción de ampliar

=Valor del proyecto con la opción de ampliar- Valor del proyecto sin opción deampliar

=-$633.333-(-$6,08 millones)

(15) =$5.446.667.

Otra forma más rápida de llegar al mismo resultado es:

(16) Valor opción de ampliar = 08,1

07362,0x809264,0x0 +=$5,45 millones.

La regla de valor presente neto nos entrega una cifra mayor:

(17) Valor opción de ampliar = 15,1

1,0809,00 xx +=$6,96 millones

La razón de tal resultado es que la regla del valor presente neto no toma encuenta que podemos construir un portafolio réplica del valor del proyecto. Como hemosvisto, el costo de formar dicho portafolio puede ser menor que la inversión requeridapara hacernos acreedores a los flujos futuros generados por el proyecto.

c) Decisión de Aplazar la Inversión

Supongamos el mismo proyecto de las secciones anteriores, pero con lacaracterística adicional de que la empresa puede aplazar el proyecto en un año. Lainversión requerida dentro de un año será de $60 millones. Es claro que la empresa “S-


Views” llevará a cabo el proyecto sólo si el producto resulta un éxito para “Microtough”.Por lo tanto, el proyecto tendrá los siguientes flujos el próximo año:

Tabla 5

Hoy Dentro de un añoV 120-60 con probabilidad=10%

0 con probabilidad=90%

Si utilizamos la regla del valor presente neto, haremos los siguientes cálculos:


)E(V1+

=15,1

9,0x01,0x60 +=$5,217 millones

Por lo tanto, si seguimos la regla del valor presente neto deberíamos mantenereste proyecto y esperar un año más para decidir si llevar a cabo la inversión o no.

Si utilizamos la teoría de opciones, llegamos a la misma conclusión pero con unresultado numéricamente distinto. El valor del proyecto de acuerdo a la teoría deopciones es de:

(19) V=*r

p)V(1pV du −+=

08,19264,0x007362,0x60 +

=$4,09 millones

El valor del proyecto resulta ser $4,09 millones porque podemos replicar losflujos de aplazar comprando 200.000 acciones de “Microtough” y pidiendo prestado$18,52 millones al 8 por ciento anual:

(20) ∆=du

duS-SV-V

=100400060

−−

=200.000 acciones de “Microtough”.

(21) L=*d)r-(u

uV-dV du =08,1x)885,0539,3(0x539,360x885,0

−−

=$18,52 millones.

Por lo tanto, el valor de retrasar la inversión en un año es de 4,09-(-6,08)=$10,17 millones. Otra forma de llegar al mismo resultado es la siguiente:

(22) Valor opción de esperar un año=08,1

07362,0x609264,0x30 −−+40=$10,17 mills.

Al igual que en b), la regla de valor presente neto nos da una cifra mayor:

(23) Valor opción de esperar un año=15,1

1,0x609,0x30 −−+40=$11,3 mills.


c) Valoración de la Opción de Utilizar la Inversión en Usos Alternativos

Supongamos que “S-Views” puede recuperar un 93 por ciento de la inversióninicial hecha en las instalaciones requeridas por el proyecto. La empresa cerrará sucentro de producción del paquete estadístico sólo si éste resulta un fracaso. Enconsecuencia, el proyecto se puede representar como:

Tabla 6

Hoy Dentro de un añoV 120 con probabilidad=10%

37,2 con probabilidad=90%

Si utilizamos la regla de VPN, tenemos:


)E(V1

+= 15,1

9,0x2,371,0x120 + - 40=-$452.174.

Por lo tanto, si nos ceñimos a la regla del valor presente neto, concluimos queno deberíamos llevar a cabo este proyecto.

En contraste, si utilizamos la valoración neutral al riesgo, concluimos locontrario:

(25) V=*r

p)V(1pV du −+=

08,19264,0x2,3707362,0x120 +

-40=$89.333

De lo anterior, deducimos que el valor de la opción de utilizar la inversión parausos alternativos es de $0,089333 millones-(-$6,08 millones)=$6,17 millones.

Otra forma de llegar al mismo resultado es mediante el siguiente cálculo(excepto por errores de redondeo):

(26) Valor opción=08,1

9264,0x2,707362,0x0 +=$6,17 millones

Comentarios a la Utilización de la Teoría de Opciones

La metodología que utilizamos anteriormente se basa en la existencia de unportafolio réplica. En la práctica, no es frecuente encontrar una firma como“Microtough” que sea análoga al proyecto de inversión que queremos analizar. Por lotanto, cuando no es posible replicar una opción real, no es apropiado utilizar lametodología que hemos presentado. A pesar de esta advertencia, el análisis de lassecciones anteriores nos permite mostrar que:


La regla convencional del valor presente neto (VPN) puede subvalorardeterminados proyectos de inversión al no considerar el valor de las opciones presentesen el proyecto.

Es posible aceptar proyectos con VPN negativo si el valor de la opción asociadacon la flexibilidad futura—esto es, valor del derecho a no ejercer la opciónsupera elvalor presente neto de los flujos de caja futuros del proyecto.

La magnitud de la subvaloración de un proyecto y la medida en que la empresaque evalúa el proyecto podría invertir más de lo dictado por la regla convencional delVPN se puede cuantificar con la teoría de opciones.

En el marco de la teoría de opciones, el valor de la flexibilidad futura es mayoren entornos más inciertos. Por ejemplo, tasas de interés altas y horizontes de inversiónmás lejanos (cuando es posible aplazar la inversión) no reducen necesariamente el valorde un proyecto de inversión. Incrementos de estas variables reducen el valor presenteneto estático de un proyecto, pero pueden aumentar el valor de la opción del proyecto(valor de la flexibilidad).

5. USO DE CALCULO ESTOCASTICO PARA MODELAR OPCIONESREALES

En esta sección, hacemos uso de las herramientas de cálculo estocásticoaprendidas en capítulos anteriores. Veremos dos ejemplos: determinación del momentoóptimo de destinar un pedazo de tierra de uso agrícola a fines urbanos: opción americanaperpetua, y el momento óptimo de desarrollar un pozo petrolífero: opción americana conuna fecha de vencimiento establecida.

5.1. Algunas Supuestos Preliminares

Asumamos que el precio de un activo subyacente, P, sigue el siguiente procesode difusión:

(27) dPt =α(Pt, t)dt + σ(Pt, t) dWt,

donde:

- α es el crecimiento esperado en pesos por unidad de tiempo del precio del activosubyacente Pt;

- σ es la desviación estándar anualizada del retorno del activo subyacente;

- dWt es el incremento de un proceso Wiener estándar.

Supongamos, además, que δ(Pt, t) representa una tasa de dividendo instantáneaque recibe el dueño del activo subyacente. Después de suprimir subíndices, la tasa deretorno esperada puede expresarse como la suma de ganancia de capital y del dividendo:


(28) E[dP+δ(P, t)dt]= [α(P, t) + δ(P, t)] dt.

Consideremos ahora un derivado sobre el activo subyacente. Sea f(P, t) elprecio de una opción real. Esta da, por ejemplo, el derecho a adquirir, intercambiar oabandonar un determinado activo bajo ciertas condiciones preestablecidas. DefinamosD(t) como una tasa de dividendo instantánea que recibe el dueño de la opción. Porejemplo, D(t) es el ingreso neto que genera una propiedad que debe ser intercambiadapor el activo subyacente una vez que se ejerce la opción.

Asumiendo que la primera y segunda derivada de la función f(P, t) existen, ellema de Ito permite encontrar la dinámica que describe la evolución del precio delderivado:

df=fpdP + ftdt + 21

σ2(P, dt)fppdt

(29) =fp α(P, t)dt + fp σ(P, t)dW+ft dt + 21

σ2(P, dt) fpp dt.

El retorno esperado en pesos (ganancias de capital más dividendos) de la opciónpor unidad de tiempo es:

(30) [fp α(P, t) +ft+ 21

σ2(P, dt)fpp+D(t)]dt

Si formamos un portafolio libre de riesgo con dos derivados sobre el activosubyacente, podemos obtener la ecuación parcial fundamental para la valoración deopciones (ver por ejemplo Hull, 1997):

(31)21

σ2(P, dt) fpp+ ft +fp [r P - δ(P, t)] + D(t) = r f

5.2. Un Ejemplo de una Opción Americana Perpetua: Distintos Usos de la Tierra.

Consideremos el ejemplo en Sick (1995) de una opción perpetua para convertirun ingreso de $D por año generado por un pedazo de tierra dedicado a los cultivosagrícolas en un terreno de uso urbano con un valor incierto de $P, pagando un costo fijode desarrollo de $K. De lo anterior, vemos que estamos en presencia de una opciónamericana con precio de ejercicio $K que paga un dividendo de $D a su dueño, y dondeel activo subyacente es la tierra de uso urbano. Como vimos en capítulos anteriores, unfactor clave es determinar el momento óptimo de ejercicio de la opción americana.

Supongamos que la desviación estándar del precio del activo subyacente, σ(P,t), es igual a σ0P por año. El activo subyacente entrega un dividendo igual a la rentaanual generada por la tierra urbana. Este se asume igual a δ(P, t)= δ0P por año. Bajoestos supuestos la ecuación (31) viene dada por:

(32)21

σ02(P, dt) fpp+ ft +fp [r -δ0] P + D= r f


El valor de la opción al momento de ejercicio es:

(33) f(P*, t) = max

− KP ,

rD * ,

donde P* denota el precio del activo subyacente al momento de ejercicio de la opción. Laecuación (33) es una condición de borde para resolver la ecuación diferencial (32).Dicha condición establece que si la opción no es ejercida, se recibe una perpetuidad de$D con valor presente de D/r. Por otra parte, si la opción es ejercida se obtiene un valorneto de conversión de P*-K. El poseedor de la opción escoge el máximo de estos dosvalores.

Notemos que en este caso, existen dos variables de estado: el tiempo y el preciodel activo subyacente. Sin embargo, dado que la opción es perpetua y que el dividendo,D, y el precio de ejercicio, K, no son función del tiempo, la decisión de ejercicio nodepende del tiempo. Como se demostrará abajo, existe una solución única para P*.

A fin de resolver la ecuación diferencial (32), notemos que f(P, t)=f(P), dadoque el precio de la opción no depende directamente de t. Por ello, ft=0. Entonces (32) sereduce a:

(34)21

σ02(P, dt) fpp+ fp [r -δ0 ] P + D= r f,

la cual es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. La solución general a laecuación (34) está dada por (ver, por ejemplo, Dixit y Pindyck, 1994):

(35) f(P)=C11Pλ + C2 2Pλ +

rD

,

donde f(P)= C11Pλ + C2 2Pλ es la solución a la ecuación homogénea, y f(P)=D/r es una

solución particular. Utilizando la metodología para resolver este tipo de ecuaciones, seobtiene que:

(36)20

2

20

020

02,1

r2r21r

21

σ+

σ

−δ+±

σ

−δ+=λ .

De (36) vemos que λ1 es positiva y λ2 es negativa.

A fin de determinar las constante C1 y C2, necesitamos hacer uso de lascondiciones de borde. Primero, hay que observar que, dado que la opción puede serejercida en cualquier momento, su valor tiene un piso. En particular, f(P) ≥ D/r –el valorpresente de la perpetuidad generada por la tierra agrícola. Por otra parte, la opción nopuede valer más que el valor del activo en el cual puede ser convertidatierra para uso


urbanoy el valor presente de la perpetuidad generada por la tierra destinada al usoagrícola, es decir, f(P) ≤ P+D/r. Ahora, dado que Pλ2 diverge cuando P→0, entoncesC2=0. De lo contrario, f(P) no sería acotada.

Por otra parte, es razonable esperar que f(.) sea creciente en P. Por lo tanto,C1>0. Ahora, el dueño de la opción la ejercerá sólo si las ganancias de ello, P*-K,superan la perpetuidad obtenida al destinar la tierra a fines agrícolas, D/r. Es decir, P*-K-D/r ≥ 0. De (33) obtenemos la siguiente condición de borde:

(37) f(P*) = P* - K.

Utilizando (35), (37) y la condición C2=0, obtenemos:

(38) C1= 2)(P * λ−

−−

rDKP* ,

Dado que C2=0, el máximo global de f puede ser encontrado al maximizar C1

con respecto a P*. Haciendo ∂C1/∂P*=0 en (38), encontramos un único valor para P*:

(39) P* =

+

−λλ

rDK

12

2

La condición de segundo orden ∂2C1/∂P*2P* <0 indica que P*

es, en verdad, unmáximo global.

Por otra parte, si δ0>0, tenemos que λ2>1 y, por tanto, P* es positivo. Para veresto, recordemos que:

20

2

20

020

02

r2r21r

21

σ+

σ

−δ++

σ

−δ+=λ .

Por lo tanto, λ2>1 si y sólo si 20

020

2

20

0 r21r2r

21

σ

−δ−>

σ+

σ

−δ+ . Pero se tiene que

20

020

02

20

020

2

20

0 r212r

21r2r

21

σ

−δ−>

σ

δ+

σ

−δ−=

σ+

σ

−δ+ , si δ0>0.

De lo anterior, deducimos que la solución para f(P) está dada por:

(40) f(P)= rD

PP

rDK

11 2

*2+

+

−λ

λ,


donde P* está dado por (39).

En la Figura 1, las curvas con línea punteada representan el valor de la opción,f(P) –esto es, soluciones a la ecuación diferencial (34). El precio óptimo de ejercicio, P*,viene dado por el punto de tangencia de la función f(P) con la frontera de pago, max(D/r,P-K) –condición de borde (33). El precio P1 se encuentra en la frontera de pago, sinembargo, es un subóptimo porque podemos aumentar el valor de la opción escogiendoP*. La curva denominada “no alcanzable” representa una solución de la ecuacióndiferencial (34) que no satisface la condición de borde (33).

La condición de tangencia descrita arriba se denomina condición de “smooth-pasting” (ver Dixit y Pindyck, op cit.). Ella establece que en el óptimo o punto deejercicio, P*, el valor de la opción es tangente a la frontera –en este caso, max(D/r, P-K)P*:

Gráficamente,

Figura 1Determinación del Precio de Ejercicio Optimo

P*K

Optimo

Noalcanzable

f(P)

Valor de la Opción

P

Subóptimo

max(D/r, P-K),frontera de pago

Activo subyacenteP1

D/r

(41) fP(P*, t)= PK)(P

*PP=∂−∂

.

Es decir,

(42) fP(P*, t)=1.

De arriba, sabemos que f(P)= 2*)(P λ−

−−

rDKP* 1Pλ . Calculando fP(P*, t)

e igualándola a 1, nos lleva a obtener el mismo P* encontrado al maximizar C1.


Si el dividendo asociado con la propiedad de la opción, D, es cero, entonces laecuación (41) se reduce al precio de una opción de compra perpetua sobre un activosubyacente cuyo precio sigue una dinámica lognormal5:

(43) f(P)= 2

*2 PP

1K λ

−λ,

donde P* = 1

K

2

2−λ

λ y λ2 se define de la misma forma que antes.

Esta observación permite interpretar la opción de convertir la tierra de usoagrícola a uso urbano como un portafolio de dos activos: i) una opción a intercambiar latierra agrícola por tierra urbana con un precio de ejercicio de K+D/r, y ii) un pedazo detierra no convertible con un valor de D/r.

5.3. Decisiones de Desarrollar un Pozo Petrolífero: Una Opción Americana con unaFecha de Vencimiento Específica

En esta sección estudiaremos un modelo de inversión en reservas petrolíferasdesarrollado por Paddock, Siegel y Smith (1988) y presentado en Dixit y Pindyck, 1994.Como hemos señalamos en secciones anteriores, el momento óptimo de la explotaciónde un recurso natural puede ser analizado con la teoría de opciones. Sabemos que laregla del Valor Presente Neto (VPN) puede conducir a conclusiones erróneas porquesubestima el valor del recurso en cuestión. La razón radica, tal como lo señalamosanteriormente, en que el VPN ignora la flexibilidad con que cuenta el dueño de lareserva, esto es, el valor de la opción de dicho recurso. La Tabla 6 ilustra la analogíaentre una call americana y una reserva petrolífera (recordemos la comparaciónestablecida entre una opción financiera y un proyecto de inversión en la Tabla 1).

Tabla 6Analogía entre una Opción de Compra Americana y una Reserva Petrolífera sin

Desarrollar

Opción de Compra Americana Reservas sin DesarrollarPrecio de la acción Valor de las reservas desarrolladasPrecio de ejercicio Costo de desarrolloTiempo restante para la expiración Expiración del derecho de desarrollarVolatilidad del precio de la acción Volatilidad del valor de las reservas desarrolladasDividendo de la acción Ingreso neto de producción de las reservas desarrolladas

menos desgaste del recursoFuente: Dixit y Pindyck, op cit., en base a elaboración de Paddock, Siegel y Smith(1988).

5 Otro ejemplo de una oportunidad de inversión que se asemeja a una opción de compra americanaperpetua es aquel analizado por McDonald y Siegel (1986). En particular, ellos consideran elproblema de encontrar el momento óptimo de pagar un costo hundido, I, a cambio de un proyectocon valor V, donde V sigue un proceso browniano geométrico –esto es, una dinámica lognormal.


La valoración y explotación de un pozo petrolífero es un problema de inversiónde múltiples etapas. La primera de ella involucra la exploración, etapa cuyo objetivo esdeterminar cuánto petróleo existe y cuál es el costo de extraerlo. La segunda etapa—quetoma lugar sólo si la primera ha sido exitosa—involucra la etapa de desarrollo. Esto es,la instalación de plataformas y pozos de producción necesarios para extraer el recurso.La última etapa corresponde a la extracción del petróleo sobre algún horizonte detiempo. Dado que la etapa de desarrollo involucra el gasto de capital más cuantioso deeste proceso de inversión, es aquí donde el valor de la opción es el más importante. Espor ello que el modelo de Paddock, Siegel y Smith se centra en la valoración de lasreservas sin desarrollar y en la decisión de cuándo desarrollar. A diferencia del ejemploanterior, esta no es una opción americana perpetua porque los derechos de desarrollogeneralmente caducan en algún momento del tiempo.

Paddock et al. parten por caracterizar el valor de una reserva ya desarrollada. Elnúmero de barriles de petróleo en la reserva está dado por Bt y Vt es el valor por barril dela reserva ya desarrollada. El retorno instantáneo, Rt, para el dueño de la reserva tienedos componentes: el flujo de ganancias asociado a la producción y la ganancia de capitaldel petróleo remanente. A manera de aproximación, se asume que la producción de unpozo en explotación decae en forma exponencial:

(44) dBt = ωBtdt,

donde ω es la fracción de petróleo producido cada año. Por ello, el retorno Rt puedeescribirse como:

(45) Rtdt = ωBtΠtdt + d(Bt Vt),

donde Πt es la utilidad después de impuestos de producir y vender un barril de petróleo.

Se asume que la tasa de retorno de la reserva en explotación sigue un procesobrowniano:

(46)tt

tVBdtR

= µν dt + σν dz ,

donde µν es la tasa de retorno ajustada por riesgo exigida en un mercado de capitalescompetitivo. De las ecuaciones (46) y (47) se puede obtener la dinámica que sigue V, elvalor por barril de la reserva bajo explotación:

(47) dV = (µν - δt ) V dt + σν V dz,

donde δt representa la tasa de ingreso por unidad de producir la reserva desarrollada netade desgaste del recurso (depletion) y está dada por:

(48) δt = ω (Πt - Vt)/Vt.

Dado que el costo de producción es pequeño—la mayor parte del costo de producción escosto hundido de desarrollo—y dado que el petróleo sólo puede ser extraído


lentamente—típicamente, ω es alrededor de 10 por ciento por año, Πt > Vt . Elloimplica que δ > 0 y, por tanto, una vez que la reserva ha sido desarrollada, siempre seproduce.

Una vez que se ha caracterizado la dinámica del valor de un pozo yadesarrollado, se procede a determinar el valor de una reserva sin desarrollar así como elmomento óptimo para su desarrollo. Sea F(V, t) el valor de un barril de la reserva sindesarrollar. En virtud de (31) y (48), F(V, t) satisface la siguiente ecuación diferencialparcial:

(49)21

σν2 V2 FVV+ [r -δ] FV - r F = -Ft.

Dado que la opción de desarrollar la reserva expira en T, su valor depende de la fechacorriente, t. La ecuación (50) debe ser resuelta sujeta a un conjunto de condiciones deborde:

(50) F(0, t) = 0,

(51) F(V, t) = max [Vt – D, 0],

(52) F(V*, t) = V* - D,

(53) FV(V*, t) = 1,

donde D es el costo por barril de desarrollar la reserva—esto es, el precio de ejercicio dela opción. La condición (53) establece que la opción sólo será ejercida en T si el valormarginal por barril desarrollado es superior a su costo marginal.

Dado que la ecuación (50) contiene el término Ft, ésta no puede ser resueltaanalíticamente. Sin embargo, es posible encontrar una solución numérica mediante elmétodo de diferencias finitas (ver Dixit y Pindyck, capítulo 10, para mayores detalles).La Figura 2 y la Tabla 7 presentan soluciones obtenidas por Siegel, Smith y Paddock(1987) y reproducidas por Dixit y Pindyck para δ=0,04 y una tasa libre de riesgo neta deimpuestos, r, de 0,0125 y distintos valores de σν. Se estima que un rango razonable paraeste último parámetro se ubica entre 0,15 y 0,25 6.

La Figura 2 ilustra el valor crítico V*/D como una función del número de añosrestantes para la expiración de la opción de desarrollo para distintos valores de lavolatilidad del valor del barril de la reserva ya desarrollada. Por la condición de borde(52), al momento de la expiración de la opción, T, la razón crítica, V*/D, es igual a 1. Esdecir, lo que dictaría la regla del valor presente neto. Sin embargo, esta razón aumenta a2 ó más cuando la empresa puede esperar algunos años antes de iniciar el proceso dedesarrollo. Como se ve en la Figura 2, la razón crítica no es demasiado sensible alnúmero restante de años para la expiración de la opción cuando éste es mayor a 1 ó 2

6 Este rango de valores ha sido obtenido en base a cifras históricas para un período de treinta añosy pronósticos hechos por la industria.


años. Por lo tanto, una simplificación razonable es ignorar la fecha de vencimiento delderecho de desarrollo y tratar este caso como una opción americana perpetua. Bajo talsimplificación, el término Ft desaparece de la ecuación diferencial (50) y, por tanto, esposible encontrar una solución analítica como en el ejemplo de la sección anterior. Enparticular, la solución en dicho caso viene dada por:

(54) F(V) = AVβ ,

donde

V* = D1−β

β, A=

1-

1-

*

*

D 1)-(

V

DVββ

β

β ββ=−

, β= 2

2

22r2r

21r

21

ννν σ+

σ−δ++

σ−δ+ .

Figura 2Valor Crítico para el Desarrollo de la Reserva Petrolífera

(δ=0,04 y r=0,0125)

σ = 0,25

σ = 0,15

Frontera deContacto, V*/D

Tiempo (Años)

1

5 10 15 20 25

0,5

1,5

2

2,5

La Tabla 7 muestra el valor de la reserva sin desarrollar--el valor de la opciónde desarrollo—por dólar de costo de desarrollo para σν=0,142 y 0,25. Cuando V/D<1,no desarrollamos la reserva petrolífera puesto que el valor de la reserva desarrollada esinferior al costo de desarrollo; la opción está out-of-the-money. A la misma conclusiónllegaríamos si aplicásemos la regla del VPN. Si V/D>1—la opción está in-of-the-moneyla regla del VPN nos diría que debemos desarrollar la reserva. Sin embargo, taldecisión no es la correcta a menos que V/D sea sustancialmente mayor a 1. Como se veen la Figura 2, para valores de V/D mayores que 2, postergar la inversión no reportaganancias significativas.


Tabla 7Valores de la Opción por US$1 de Costo de Desarrollo, F(V, t)/D

σν=0,142 σν=0,25V/D T=5 T=10 T=15 T=5 T=100,80 0,01810 0,02812 0,03309 0,07394 0,103920,85 0,02761 0,03894 0,04430 0,09174 0,123050,90 0,04024 0,05245 0,05803 0,11169 0,143900,95 0,05643 0,06899 0,07458 0,13380 0,166461,00 0,07661 0,08890 0,09431 0,15804 0,190711,05 0,10116 0,11253 0,11754 0,18438 0,216641,10 0,13042 0,14025 0,14464 0,21278 0,244241,15 0,16472 0,17242 0,17599 0,24321 0,27349

Fuente: Dixit y Pindyck, op cit., en base a elaboración de Siegel, Smith y Paddock(1987).

La Tabla 7 muestra la razón F(V, t)/D para diferentes valores de V/D. CuandoV/D=1, σν=0,142 y T=15, por ejemplo, el valor de la opción es aproximadamente 9,4centavos de dólar de costo de desarrollo. A fin de ilustrar el uso de estos resultados,Siegel, Smith y Paddock (1987) consideran una reserva sin desarrollar que, de serdesarrollada, podría producir 100 millones de barriles de petróleo. El plazo paradesarrollar dicha reserva es de 10 años. Se asume que el valor de la reserva desarrolladaes de US$12 por barril, δla tasa de ingreso por unidad de producir la reservadesarrollada neta del desgaste del recursoes de 4 por ciento, el desarrollo de la reservalleva tres años y el valor presente del costo de desarrollo es de US$11,79 por barril.

Para calcular el valor presente de la reserva desarrollada, V´, notemos que latasa de descuento apropiada es δ=0,04=µ - (µ - δ). Dado que lleva tres años el desarrollode la reserva, V´=e-0,12 x US$12=US$10,64. De lo anterior, V´/D=US$10,64/US$11,79=0,9. Dado que esta razón es menor que 1, la opción está out-of-the-money. Suponiendo σν=0,142 y en base a la Tabla 7, vemos que el valor de la opciónpor dólar de costo de desarrollo es de 0,05245 (T=10 años). El costo total de desarrolloes de US$1.179 millones. Por lo tanto, el valor de la reserva sin desarrollar es de0,05245 x US$1.179 millones=US$61,84 millones. En consecuencia, vemos que, aunqueactualmente no sea rentable desarrollar la reserva petrolífera, ésta vale aproximadamenteUS$62 millones debido a su valor de opción. Dicho valor aumentaría aún más si elmercado percibiera un incremento en la volatilidad del precio del petróleo. Por ejemplo,si σν aumentara a 0,25, el valor de la reserva sin desarrollar aumentaría a 0,1439 xUS$1.179 millones=US$169,66 millones.

Otra referencia clásica en el tema de evaluación de proyectos de inversión enrecursos naturales mediante la teoría de opciones es el trabajo de Brennan y Schwartz(1985). Por otra parte, Trigeorgis (1996) presenta un completo tratamiento del área deopciones reales.


Referencias


Brennan M. y E. Schwartz (1985), “Evaluating Natural Resource Investments” enJournal of Business, vol. 58, No. 2, pp.: 135-157.

Dixit, A. y R. S. Pindyck (1994), Investment under Uncertainty, Princeton, NJ: PrincetonUniversity Press.

Fernández, P. (1996). “Opciones, Futuros e Instrumentos Derivados”. Ediciones Deusto,S.A.

McDonald, R. y D. Siegel (1986), “The Value of Waiting to Invest” en Quaterly Journalof Economics 101, November, pp.: 707-728.

Paddock, J., D. Siegel y J. Smith (1988), “Option Valuation of Claims on Real Assets:The Case of Offshore Petroleum Leases” en Quaterly Journal of Economics 103,Agosto, pp.: 479-508.

Sick, G. (1995), “Real Options”, en “Handbooks in Operational Research andManagement Science”, volumen 9, pp.: 631-691. R. Jarrow et al., editores., ElsevierScience.

Siegel, D., J. Smith y J. Paddock (1987), “Valuing Offshore Oil Properties with OptionPricing Models”, en Midland Corporate Finance Journal 5, primavera, pp.: 22-30.

Trigeorgis, L (1996), Real Options. The MIT Press.


1. En el ejemplo de la explotación del pozo petrolífero presentado por Dixit yPindyck, 1994, derive la solución (55). Hint: Guíese por la solución presentadapara la opción americana perpetua de la sección 5.2.

2. Este ejercicio considera la versión determinística del modelo de McDonald ySiegel (1986). Supongamos que en cualquier momento una empresa puedepagar un costo hundido I a cambio de un proyecto con valor V. Se asume que Vsigue la siguiente dinámica:

dV = αVdt.

Sea F(V) el valor de la opción a invertir. Dado que al momento de realizar lainversión el ingreso neto es V-I, nuestro función objetivo es F(V), donde:

F(V)=max [V(T) – I] e-ρ t.


T representa la fecha futura (desconocida) en que se realiza la inversión, ρ es latasa de descuento Se asume ρ > α. De otra forma, podríamos hacer F(V)arbitrariamente grande escogiendo un T grande.

a) Demuestre que V(t)=V0 eαt, con V0=V(0) y que, por lo tanto, lafunción a maximizar es F(V)= [V eαt – I] e-ρ t para un valor corriente V.

b) Si α≤0, V(t) permanece constante o declina a través del tiempo.Argumente que en tal caso es óptimo invertir inmediatamente si V>I y,por lo tanto, F = max(V-I, 0).

c) Suponga que 0<α<ρ. Aún cuando en la actualidad V>I, puede seróptimo esperar para realizar la inversión. La razón es que al retrasar lainversión el costo decrece por un factor de e-ρT mientras que el pagodecrece por un factor menor e-(ρ -α)T. Para ver esto, maximice F(V)= [Veαt – I] e-ρt con respecto a T y demuestre que:

T* = max

αρρ

α 0 ,)V-(I ln1

.

Si V>>I, entonces T*>0.

d) Demuestre que para V*= I α−ρ

ρ> I es óptimo invertir inmediatamente.

Hint: Haga T*=0 en la ecuación obtenida en c).

Substituyendo T* obtenido en c) en F(V)= [V eαt – I] e-ρ t, demuestreque la solución para F(V) está dada por:

>−

≤

ραρ

α−ρα

=

αρ

.VV para IV

,VV para I

V )-( I )V(F

*

*/

Grafique esta función para ρ=0,1, I=1, α=0, 0,03 y 0,06.

issn: 0716-7334 pontificia universidad catolica de …economia.uc.cl/docs/trd_64.pdf ·...

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