irrigacion

3.3 Análisis Estadístico: Tendencia

La tendencia se manifiesta como un cambio continuo,

ascendente o descendente, que afectan los parámetros de la

media o la desviación estándar de una muestra con

información hidrometeorológica.

Por lo general, la tendencia se manifiesta en la media si la

información es anual, y en la media y la desviación estándar

si la información es mensual o diaria. Estas pueden ser

removidas o incorporadas de la información original.

La información que se va a analizar por tendencia debe estar

libre de saltos tanto en la media como en la desviación

estándar.

Tendencia en la media: Tm

Se puede expresar como:

Para determinar si la tendencia es significativa en la media se

analiza el coeficiente de correlación ”r” según el estadístico

“t” de Student, de acuerdo a la siguiente expresión:

Donde:

tC: Estadístico calculado “t” de Student

r: Coeficiente de correlación

N: Número de datos analizados

El valor teórico (tT) lo obtenemos de la tabla de distribución

“t” de Student, con:

Nivel de significación: α

Grados de libertad: N - 2

Criterio de decisión:

Si: tC ≤ tT: La tendencia en la media NO es significativa

para el α considerado

Si: tC > tT: La tendencia en la media SI es significativa

para el α considerado. Se debe eliminar la

tendencia

o Eliminación de la tendencia en la media:

Se elimina aplicando la relación:

Donde:

Yt: Información libre de tendencia en la media

Xt: Información inicial (Libre de salto)

Tmt: Tendencia en la media.

La serie Yt cumple la condición que: E(Yt) = 0

Tendencia en la desviación estándar: TS

Se puede expresar en la forma:

Para aplicar esta prueba, considerando datos mensuales, se

realiza lo siguiente:

- La serie sin tendencia en la media (Yt), se divide en

periodos anuales.

- Se calcula la dispersión de cada periodo anual (S):

Año Ene Feb Mar Abr ……………. Nov Dic St

1 + + + - ……………. - + S1

2 - + - - ……………. + + S2

3 + - + - ……………. - + S3

4 - + - + ……………. + - S4

. . . . . ……………. . . .

. . . . . ……………. . . .

. . . . . ……………. . . .

. . . . . ……………. . . .

. . . . . ……………. . . .

p - + + - ……………. + - SP

t: Indica el año de análisis y varía desde 1 hasta “p”

Para determinar si la tendencia es significativa en la

desviación estándar, se aplica la misma prueba del caso

anterior:



Nivel de significación: α

Grados de libertad: p - 2

Criterio de decisión:

Si: tC ≤ tT: La tendencia en la desviación estándar NO es

significativa para el α considerado

Si: tC > tT: La tendencia en la desviación estándar SI es

significativa para el α considerado. Se debe

eliminar la tendencia

o Eliminación de la tendencia en la desviación

estándar:

Para eliminar la tendencia en la desviación estándar se aplica

la siguiente relación:

Donde:

Zti: Serie mensual (Mes “i” del año “t”), sin tendencia en la

media y la desviación estándar.

Yti: Serie mensual (Mes “i” del año “t”), libre de tendencia

en la media.

TSt: Tendencia en la desviación estándar correspondiente al

año “t”.

“i” varía de 1 a 12 (Meses)

“t” varia de 1 a p (Años)

Por ejemplo, para el primer año (t=1) el valor de la tendencia

sería:

La serie Zti cumple con la condición:

E(Zti) = 0 V(Zti) = 1

o Determinación de la serie corregida: XtiC

Sea XP y S la media y la desviación estándar de la serie

original libre de saltos: Xt

Se cumple que:

despejando:

Ejemplo:

El registro de caudales medios mensuales mostrado está libre

de saltos. Se pide analizar la tendencia en la media y la

desviación estándar y corregir la información de ser

necesario:

Año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Set,. Oct. Nov. Dic.

1960 25.25 21.70 13.36 5.21 6.50 5.87 6.28 9.27 9.54 10.89 11.49 12.15

1961 15.42 19.13 39.66 7.44 11.86 14.27 16.95 17.69 19.45 31.49 25.10 16.26

1962 21.66 39.24 46.05 30.25 15.96 24.94 26.27 28.73 31.47 33.55 45.19 40.15

1963 13.25 53.98 39.67 36.30 28.40 40.00 41.22 43.26 45.29 46.73 47.93 20.10

1964 15.40 47.47 56.89 39.10 28.50 50.34 50.79 52.41 53.25 54.81 55.70 44.70

1965 50.86 49.28 62.13 27.52 18.60 59.02 60.07 62.19 63.61 65.03 67.06 41.50

1966 53.84 55.16 70.14 35.98 42.80 71.14 72.37 74.69 75.14 76.36 81.45 32.31

1967 21.66 39.24 46.05 30.25 27.96 24.94 26.27 28.73 31.47 33.55 45.19 97.24

La media y la desviación estándar de estos valores son:

XP = 37,31 m3/s S = 20,21 m3/s

Tendencia en la media: Tm

Ordenando los caudales medios mensuales en función del

tiempo, tenemos:

t Q t Q t Q t Q t Q t Q

1 25.25 17 11.86 33 31.47 49 15.40 65 18.60 81 75.14

2 21.70 18 14.27 34 33.55 50 47.47 66 59.02 82 76.36

3 13.36 19 16.95 35 45.19 51 56.89 67 60.07 83 81.45

4 5.21 20 17.69 36 40.15 52 39.10 68 62.19 84 32.31

5 6.50 21 19.45 37 13.25 53 28.50 69 63.61 85 21.66

6 5.87 22 31.49 38 53.98 54 50.34 70 65.03 86 39.24

7 6.28 23 25.10 39 39.67 55 50.79 71 67.06 87 46.05

8 9.27 24 16.26 40 36.30 56 52.41 72 41.50 88 30.25

9 9.54 25 21.66 41 28.40 57 53.25 73 53.84 89 27.96

10 10.89 26 39.24 42 40.00 58 54.81 74 55.16 90 24.94

11 11.49 27 46.05 43 41.22 59 55.70 75 70.14 91 26.27

12 12.15 28 30.25 44 43.26 60 44.70 76 35.98 92 28.73

13 15.42 29 15.96 45 45.29 61 50.86 77 42.80 93 31.47

14 19.13 30 24.94 46 46.73 62 49.28 78 71.14 94 33.55

15 39.66 31 26.27 47 47.93 63 62.13 79 72.37 95 45.19

16 7.44 32 28.73 48 20.10 64 27.52 80 74.69 96 97.24

Calculando la recta de regresión lineal “t” vs. “Q” hallamos

la ecuación de la tendencia en la media: Tmt

r = 0,646

Gráficamente, tenemos:

De los datos:



Nivel de significación: 5%

Grados de libertad: 96 – 2 = 94

Tmt = 14,601 + 0.4683 tr = 0.646

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

Q

t

Obtenemos: tT = 1,986

Como: tC > tT: La tendencia en la media SI es

significativa para α = 5%

o Eliminación de la tendencia en la media:

La serie sin tendencia en la media (Yt), la hallamos

aplicando:

Reemplazando “t” y Xt, obtenemos la serie Yt:


1960 10.18 6.16 -2.65 -11.26 -10.44 -11.54 -11.60 -9.08 -9.28 -8.39 -8.26 -8.07

1961 -5.27 -2.03 18.03 -14.65 -10.70 -8.76 -6.55 -6.28 -4.99 6.59 -0.27 -9.58

1962 -4.65 12.46 18.80 2.54 -12.22 -3.71 -2.85 -0.86 1.42 3.03 14.20 8.69

1963 -18.68 21.58 6.81 2.97 -5.40 5.73 6.48 8.05 9.62 10.59 11.32 -16.98

1964 -22.15 9.45 18.41 0.15 -10.92 10.45 10.43 11.58 11.96 13.05 13.47 2.00

1965 7.69 5.64 18.03 -17.05 -26.44 13.51 14.09 15.74 16.70 17.65 19.21 -6.82

1966 5.05 5.90 20.42 -14.21 -7.86 20.01 20.77 22.63 22.61 23.36 27.98 -21.63

1967 -32.75 -15.63 -9.29 -25.56 -28.32 -31.81 -30.95 -28.95 -26.68 -25.07 -13.90 37.68

o Tendencia en la desviación estándar:

Calculamos la dispersión para cada serie anual:

t St

1 7.17

2 8.74

3 8.97

4 11.72

5 11.70

6 15.18

7 16.76

8 19.46

Con estos datos calculamos la ecuación de la tendencia para

la desviación estándar:

r = 0,979

Tst = 4,7096 + 1,7227 tr = 0.979

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8

St

t

Reemplazando:



Nivel de significación: 5%

Grados de libertad: 8 – 2 = 6

Obtenemos: tT = 2,447

Como: tC > tT: La tendencia en la desviación estándar SI

es significativa para α = 5%

o Eliminación de la tendencia en la desviación

estándar:

Para eliminar la tendencia en la desviación estándar se aplica

la siguiente relación:

“i” varía de 1 a 12 (meses)

“t” varía de 1 a 8 (Años)

El valor de Z para el mes 1 del año 1 (Z11) es:

TS1 = 4,7096 + 1,7227x1 = 6,4323

Y11 = 10,18 Reemplazando:

Reemplazando para todos los valores de la serie Yt,

obtenemos la serie Zti (Serie sin tendencia en la media y

desviación estándar):


1960 1.58 0.96 -0.41 -1.75 -1.62 -1.79 -1.80 -1.41 -1.44 -1.30 -1.28 -1.25

1961 -0.65 -0.25 2.21 -1.80 -1.31 -1.07 -0.80 -0.77 -0.61 0.81 -0.03 -1.17

1962 -0.47 1.26 1.90 0.26 -1.24 -0.38 -0.29 -0.09 0.14 0.31 1.44 0.88

1963 -1.61 1.86 0.59 0.26 -0.47 0.49 0.56 0.69 0.83 0.91 0.98 -1.46

1964 -1.66 0.71 1.38 0.01 -0.82 0.78 0.78 0.87 0.90 0.98 1.01 0.15

1965 0.51 0.38 1.20 -1.13 -1.76 0.90 0.94 1.05 1.11 1.17 1.28 -0.45

1966 0.30 0.35 1.22 -0.85 -0.47 1.19 1.24 1.35 1.35 1.39 1.67 -1.29

1967 -1.77 -0.85 -0.50 -1.38 -1.53 -1.72 -1.67 -1.57 -1.44 -1.36 -0.75 2.04

o Determinación de la serie corregida: XtiC

Sabemos: XP = 37,31 m3/s S = 20,21 m3/s

Reemplazando en la ecuación de corrección:

Para el mes 1 del año 1 (X11C: Enero de 1960):

Z11 = 1,58

X11C = 37,31 + 20,21 x 1,58 X11C = 69,24

Del mismo modo hallamos los demás caudales corregidos:


1960 69.24 56.71 29.03 1.95 4.58 1.14 0.94 8.82 8.21 11.04 11.45 12.05

1961 24.18 32.26 81.97 0.94 10.84 15.69 21.15 21.75 24.99 53.68 36.71 13.67

1962 27.81 62.77 75.71 42.57 12.25 29.63 31.45 35.49 40.14 43.58 66.41 55.10

1963 4.78 74.90 49.23 42.57 27.81 47.21 48.63 51.26 54.08 55.70 57.12 7.81

1964 3.77 51.66 65.20 37.51 20.74 53.07 53.07 54.89 55.50 57.12 57.72 40.34

1965 47.62 44.99 61.56 14.48 1.75 55.50 56.31 58.53 59.74 60.96 63.18 28.22

1966 43.37 44.39 61.97 20.14 27.81 61.36 62.37 64.59 64.59 65.40 71.06 11.24

1967 1.54 20.14 27.21 9.43 6.39 2.55 3.57 5.59 8.21 9.83 22.16 78.54

Gráficamente:

PRECIPITACIÓN

Representa la caída de agua a la superficie terrestre debido a

la condensación del vapor de agua contenido en el aire,

puede ser de forma líquida (Lluvia) o sólida (Granizo).

Para que la humedad, presente en el aire, se transforme en

precipitación, se requieren tres condiciones: producirse un

estado de saturación (generalmente por enfriamiento), un

cambio de fase del vapor de agua a líquido o sólido, y un

crecimiento de las pequeñas gotas o cristales de hielo que

permitan su caída.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100

Q

t

Para que se formen gotas de suficiente tamaño y peso deben

existir núcleos de condensación, constituidos por polvo

atmosférico o cristales de sales. En los procesos que inducen

lluvias artificialmente, se siembran nubes (mediante cohetes

ó aviones) con cristales microscópicos de sales como el

ioduro de plata.

El enfriamiento se produce por efecto del ascenso de una

masa de aire húmeda en la atmósfera que hace que el vapor

de agua se condense. Existen tres tipos de precipitaciones:

convectiva, ciclónica y orográfica. A continuación se

describen con mayor detalle.

Precipitación Convectiva: Esta precipitación ocurre

debido al calentamiento o enfriamiento de la superficie

terrestre (Dependiendo del tipo de suelo, vegetación,

entre otros), que se produce debido a la acción desigual

de la radiación solar. El aire al calentarse aumenta su

volumen, disminuye su densidad y asciende

desplazando al aire de menor temperatura que se

encuentra en la parte superior. Esta masa de aire se

enfría al pasar por zonas de menor temperatura, para

finalmente condensarse. Este mecanismo también puede

formar niebla.

Precipitación ciclónica o frontal: Resulta del ascenso

de la masa de aire cálido como consecuencia de la

colisión de aire cálido y liviano con aire frío y más

pesado. Este proceso está asociado a zonas de baja

presión atmosférica, las cuales se convierten en centros

de atracción de vientos. La superficie de contacto de

estas masas de aire se denomina "frente".

La masa de aire frio puede actuar como una “barrera

montañosa” pues es más densa que la más cálida y

permanece en niveles más bajos (El aire frio es más

pesado que el caliente y por eso sólo asciende al ser

calentado). La densidad del aire depende de la

temperatura.

El frente frio es una zona de transición entre el aire

cálido y el frio, donde este último se mueve sobre la

superficie previamente ocupada por el aire cálido. Este

tipo de frente provoca precipitaciones intensas en áreas

pequeñas.

El frente cálido separa el aire cálido en avance del aire

frío en retirada, provocando precipitaciones menos

intensas pero sobre áreas más extensas.

Precipitación Orográfica: Resulta del avance del aire

húmedo (generalmente desde el mar) que es obligado a

ascender por efecto de una cadena montañosa, causando

fuertes precipitaciones en el lado de barlovento. En

nuestro país esta barrera lo forma la cordillera de los

andes

La precipitación por lo general es máxima en el Ecuador y

decrece con el aumento de la latitud.

P (t)

Q (t)

Q = f(P)

irrigacion

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