irán apolinar peredo cortes 12 de noviembre de 2012. topología conjuntista 1.1.2. sucesiones...

Notas de Teoría Económica

Irán Apolinar Peredo Cortes

12 de noviembre de 2012

Índice general

Índice general 3

1. Matemáticas Preliminares 51.1. Topología Conjuntista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Propiedades de los Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Comportamiento del Consumidor 92.1. Relaciones de Preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. La Función de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Comportamiento del Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1. Mercancías y Conjunto de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2. Conjunto Presupuestario Competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3. Estática comparativa y función de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Axioma Débil de preferencia revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1. Implicaciones de AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3

Capítulo 1

Matemáticas Preliminares

EL propósito de este capítulo preliminar es que el lector no especializado obtenga un conocimientono solo en la teoría de conjuntos necesaria para el firme avance en capítulos subsecuentes sino

además brindarle elementos de análisis necesarios a lo largo de su estadía en la ciencia económica. Enla sección 1 se ofrecen algunas notas de topología básica para el lector no especializado lo cual seránecesario para capítulos subsecuentes. No se aborda en las presentes notas los temas relacionados aespacios vectoriales ya que el autor supone que dichas nociones son básicas para cualquier estudiantede Economía de Pregrado.

DEFINICIÓN 1. Un conjunto de B es un subconjunto de A si todo elemento de B pertenece a A:

B ⊂ A = {∀x ∈ B : x ∈ A}

COROLARIO 1. Un conjunto de B es un subconjunto de A si la intersección entre A y B es el conjuntoB.

B ⊂ A → B ∩A = B

DEFINICIÓN 2. Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto propio de A, si todoelemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.

B ⊆ A = {∀x ∈ B : x ∈ A ∧ ∃y ∈ A : y /∈ B}

A lo largo de las presentes notas utilizaremos varias operaciones aparte de las ya conocidas Unióne intersección (∪ , ∩) entre ellas la Diferencia y el producto cartesiano. Diferencia: (símbolo \) Ladiferencia del conjunto A con B es el conjunto A \B que resulta de eliminar de A cualquier elementoque esté en B. Denotemos ahora a dos conjuntos X y Y . El conjunto de pares ordenados {(x, y) : x ∈X ∧ y ∈ Y } es llamado Producto cartesiano de X y Y denotado por X × Y . El producto cartesiano den conjuntos X1...Xn esta definido inductivamente por

∏ni=1 Xi =

∏n−1i=1 Xi ×Xn ≡ X1 ×××Xn.

1.1. Topología ConjuntistaLa Topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuer-

pos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.La topología conjuntistaconstituye la base de los estudios en Topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espaciotopológico o los entornos de un punto. A continuación enunciaremos los elementos necesarios en estarama a fin de tener una herramienta solida en el análisis de la teoría económica.

5

1.1. Topología Conjuntista

1.1.1. Propiedades de los ConjuntosIniciamos desarrollando algunos conceptos básicos de topología en Rn. Recordamos algunas pro-

piedades de los números reales. Los Números Reales son un campo ordenado con las operaciones desuma y producto; además poseen la propiedad de ser completos , es decir, dado X y Y dos conjuntosno vacíos de reales se tiene la siguiente propiedad:

∀x ∈ X ∧ ∀y ∈ Y ⇒ x ≤ y

Entonces existe un r ∈ R tal quex ≤ r ≤ y

DEFINICIÓN 3. Dado X ⊂ R, X = ∅, se dice que s tiene una Cota Superior de X si s ≥ x para todox ∈ X . De manera análoga se define la cota inferior. Si X tiene una cota superior (inferior) se diceque X esta acotado superiormente (inferiormente) o acotado por arriba (por abajo).

DEFINICIÓN 4. Dado X ⊂ R, se define el supremo de X y se denota por supX como la mínima cotasuperior del conjunto:

supX ≥ x ∀x ∈ X ∧ c ≥ x ∀x ∈ X ⇒ supX ≥ c (1.1)

de manera análoga se define el ínfimo de X denotado por ınfX .

En economía la noción de distancia es muy importante para poder discernir entre cestas de bienescuando esta la diferencia de estas no es tan clara. Supongamos que tenemos dos cestas de bienes,llamemos a x1 y x2 tal que x2

∼= x1, es decir, ¿ qué tan cerca o que tan lejos esta una cesta de otra? Esprecisamente la Métrica la que te da esa noción de distancia en un conjunto. Definamos a un conjunto Xy una función d a la que llamaremos Métrica o distancia, al par (X, d) le llamaremos Espacio Métrico.

DEFINICIÓN 5. Un Espacio Métrico es un par (X, d) donde X es un conjunto cualquiera no vacío yd es una función real d : X ×X → R que cumple las siguientes propiedades:

(1) d(x1,x2) ≥ 0 ∀x1,x2 ∈ X

(2) d(x1,x2) = 0 ⇔ x1 = x2

(3) d(x1,x2) = d(x2,x1) ∀x1,x2 ∈ X

(4) d(x1,x3) ≥ d(x1,x2) + d(x2,x3) ∀x1,x2,x3 ∈ X .

PROPOSICIÓN 1. Sea X = Rn. Para x2,x1 ∈ X se define

d(x1,x2) = ||x1 − x2||

entonces d es una distancia en X .

DEFINICIÓN 6. La Bola abierta con centro en x0 y de radio δ es el conjunto

Bδ(x0) = {z ∈ Rn : d(z,x0) < δ}

es decir, el conjunto de puntos que distan de x0 en menos δ .

DEFINICIÓN 7. Decimos que h ∈ G ⊂ Rn es un punto interior si

int(h) ⇔ {∃δ > 0 : Bδ(h) ⊂ G}

6

1. Matemáticas Preliminares

DEFINICIÓN 8. Un conjunto G ⊂ Rn es abierto si

G ⊂ Rn Es Abierto ⇔ {∀h ∈ G, ∃δ > 0 : Bδ(h) ⊂ G}

Es decir, todos los puntos de G son interiores y no existen puntos fronterizos.

DEFINICIÓN 9. Un conjunto G ⊂ Rn es Cerrado si su complemento Gc es abierto.

DEFINICIÓN 10. Un conjunto G ⊂ Rn es Acotado si se cumple la siguiente propiedad

G ⊂ Rn Es acotado ⇔ {∀x ∈ G,∃δ ∈ R : ||x|| < δ}

DEFINICIÓN 11. Un conjunto G es compacto si es cerrado y es acotado.

DEFINICIÓN 12. Sean G ⊂ Rn y h ∈ Rn decimos que h es un Punto Frontera de G si para todoδ > 0 se cumplen

frt(h) ⇔ {Bδ(h) ∩G = ∅ ∧Bδ(h) ∩Gc = ∅}

PROPOSICIÓN 2. El conjunto G ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene puntos frontera.

Demostración. La demostración puede realizarse expresando las condiciones necesarias y suficientes:

• Necesidad Supongamos primero que G es cerrado, es decir Gc es abierto y sea h un puntofrontera arbitrario de G,ahora si Gc es abierto implica que existe δ > 0 tal que Bδ(h) ⊂ Gc. Setiene entonces que Bδ(h)∩G = ∅ lo cual es imposible dada la definición del punto frontera. Detal manera es necesario tener h ∈ G y como h es abierto G contiene a todos sus puntos frontera.

• Suficiencia Supongamos ahora que G contiene a todos sus puntos frontera. Sea h ∈ Gc. ComoG contiene a todos sus puntos frontera h no es punto frontera de G, es decir existe δ > 0 tal queBδ(h) ∩ G = ∅ o Bδ(h) ∩ Gc = ∅. Como h ∈ Bδ(h) ∩ Gc = ∅ debe cumplirse entoncesque Bδ(h) ∩ G = ∅ lo cual implica que Bδ(h) ⊂ Gc. Concluimos que Gc es cerrado y enconsecuencia G es abierto.

PROPOSICIÓN 3. Las siguientes propiedades se cumplen:

(a) La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta y la intersección de un número finito deabiertos es abierta.

(b) La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de un número finito decerrados es cerrada.

DEFINICIÓN 13. Las propiedades de Interior y cerradura puede definirse como:

(a) El interior de G es el conjunto Go ≡∪

i∈I Gi en donde {G}i∈I es el conjunto de todos losabiertos Gi tales que G ⊂ i. El interior de G de puede interpretar como el abierto más grandecontenido en G. Otra notación usada es Go = intG.

(b) La cerradura de G es el conjunto G =∩

i∈I Gi en donde {G}i∈I es el conjunto de todos loscerrados Gi tales que G ⊂ i.La cerradura de G de puede interpretar como el abierto más grandecontenido en G.Otra notación usada es G = clG.

7

1.1. Topología Conjuntista

1.1.2. SucesionesDEFINICIÓN 14. Una sucesión de puntos en Rm es una función f : N → Rm. Normalmente loselementos del contradominio de f es escrito como f(n) = xn, de igual manera se puede expresar solocomo un conjunto de elementos {xn}n∈N o simplemente {xn}.

DEFINICIÓN 15. Sea {xn} ⊂ R una sucesión correspondiente a la función f : N → R decimos quela sucesión {xn} ⊂ R es creciente (decreciente) si f es creciente (decreciente). Si una sucesión escreciente (decreciente) decimos que es monótona.

DEFINICIÓN 16. Decimos que G ⊂ Rm y h ⊂ Rm. Decimos que plim(h) punto de acumulación deG si

h es un punto límite ⇔ {∀δ > 0,∃h ∈ G ∧ q = h : q ∈ Bδ(h) ∩G}

DEFINICIÓN 17. Decimos que la sucesión {xn} converge a x ∈ Rm si

{xn} → x ⇔ {∀ε > 0 ∧ ∃N ∈ N : n > N ⇒ d(xn,x) < ε} (1.2)

En este caso decimos que x es el límite de la sucesión lo que se denota por lımn→∞ xn = x

PROPOSICIÓN 4. Sea G ⊂ Rm. h es un punto límite de G si y solo si existe una sucesión {hn} ⊂ Gtal que el lımn→∞ hn = h.

Demostración. • Necesidad. Supongamos primero que h es un punto límite de G. Ahora cons-truyamos una sucesión que converja a h. Dadon ∈ N, existe hn ∈ G,hn = h, tal quehn ∈ B1/n(h). La sucesión {hn} es una sucesión de puntos de G que satisface lımn→∞ hn = h.

• Suficiencia. Ahora consideremos la sucesión {hn} ⊂ G tal que lımn→∞ hn = h. Sea δ > 0,entonces lımn→∞ hn = h implica que N ∈ N tal que, si n > N entonces hn ∈ Bδ(h). Comohn ∈ G se tiene que h es un punto límite de G.

PROPOSICIÓN 5. El conjunto G es cerrado syss

∀{xn} ⊂ G ⇒ lımn→∞

xn = x ⇒ x ∈ G

PROPOSICIÓN 6. Sea {xn} ⊂ R una sucesión creciente (decreciente)y acotada por arriba (por aba-jo)entonces lımn→∞ = sup{xn} (lımn→∞ = ınf{xn})

DEFINICIÓN 18. Sea la sucesión f : N → Rm y sea g : N → N una función estrictamente creciente,es decir n1 < n2 ⇒ g(n1) < g(n2) la composición f ◦ g : N → Rm se conoce como una subsucesiónde f .Con la notación usual, la sucesión f está dada por {xn}

PROPOSICIÓN 7. Toda sucesión {xn} ⊂ R posee una subsucesión monótona.

TEOREMA 1.1.1 (Bolzano-Weierstrass). Sea {xn} una sucesión acotada en Rm.Entonces ésta poseeuna subsucesión convergente, {xnk

}.

8

Capítulo 2

Comportamiento del Consumidor

El presente capitulo aborda la teoría clásica de la demanda, su contenido se basa al igual que la ma-yoría de las notas de microeconomía en el texto ya clásico de Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinstony Jerry R. Green (1995). Así como en el texto de Geoffrey A. Jehle , Philip J. Reny (2000). A diferenciade la introducción se intentara que sea altamente amable este capitulo ya que el objetivo es que el lectorcomprenda en la medida de lo posible la importancia y los alcances de la Teoría clásica de la demanda.

2.1. Relaciones de Preferencia

2.1.1. Relaciones Binarias

Con objeto de definir en un conjunto cualquiera una relación de orden, introduciremos el conceptode relación binaria. En definitiva un conjunto ordenado no es más que un conjunto en el que hay definidauna relación binaria que cumple las propiedades que a continuación detallaremos.

DEFINICIÓN 19. Una Relación Binaria en el producto cartesiano X × Y es cualquier subconjunto deX × Y

DEFINICIÓN 20. Una relación binaria ≽ en X ×X es un Preorden en X si ella es:

(1) Reflexiva, (a, a) ∈≽ ∀a ∈ X .

(2) Transitiva, si (a, b) ∈≽ ∧(b, c) ∈≽→ (a, c) ∈≽ ∀a, b, c,∈ X .

Si además la relación es de Preorden Completo, esto es, si se verifica que los pares ordenados conte-nidos en la relación binaria pueden ser comparados, es decir ∀(a, b) ∈≽ ∨(b, a) ∈≽ ∀a, b,∈ X .

DEFINICIÓN 21. Una relación binaria ≡ se define como una relación de equivalencia syss satisfacelas siguientes propiedades:

(1) Reflexiva. (a, a) ∈≡ ∀a ∈ X

(2) Transitiva. Si {(a, b) ∧ (b, c)} ∈≡→ (a, c) ∈≡.

(3) Simetría. Si ∀(a, b) ∈≡→ (b, a) ∈≡.

9

2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias

2.1.2. PreferenciasComo es bien sabido, todo agente económico se enfrenta al problema de la elección, dicho problema

se da en un Espacio de Consumo X . En dicho espacio las preferencias del agente son representadaspor un Preorden completo ≽ es decir:

DEFINICIÓN 22. Las Relaciones de Preferencias son relaciones binarias sobre el producto cartesianoX ×X que son Reflexivas, Transitivas y Completas.

En donde el espacio de consumo1 es un subconjunto el ortante no negativo RL+, es decir X ⊂

RL+.Una Cesta de Bienes se denotara por el vector x = [x1, x2, ..., xn]

t, en donde cada xi es unnúmero real no negativo. Supondremos en general para cualquier Xi ⊂ RL

+ las siguientes propiedades.

(1) Xi es un subconjunto no vacío y cerrado en RL. Esto es, dada una sucesión infinita {xi}∞}de cestas de bienes que convergen a la cesta x0

i , entonces x0i es un plan de consumo para el

consumidor i.

(2) Xi es un conjunto convexo, es decir, dados dos planes de consumo x1i y x2

i , si estos son posiblespara el consumidor i, también lo será el promedio ponderado formado por estos, es decir λx1

i +(1− λ)x2

i ∀λ ∈ [0, 1].

Una vez establecido lo anterior notaremos la afirmación x es al menos tan bueno cuanto x2i como

x1i ≽ x2

i o de igual manera (x1i ,x

2i ) ∈≽ .

2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferenciasLo Anterior no es suficiente para entender y derivar la teoría del consumidor, necesitamos enunciar

una estructura analítica que permita asociar cada clase de indiferencia a un número Real, en otras pala-bras que una clase de indiferencia sea preferida a otra si su número real asociado es mayor que el otro.Para comenzar enunciaremos la continuidad de las preferencias, la idea detrás de dicha enunciación esclara. Para empezar imaginemos dos cestas de consumo x1 y x2 y una secuencia de consumo {xj}la cual es tan buena o preferible como x2 y que además converge a x1, luego la continuidad de laspreferencias nos dice que x2 es casi tan bueno o preferible como x1, luego entonces todos los planesde consumo cercanos (dada la Métrica utilizada) serán tan buenos como x1.

Axioma 1 (Continuidad) ∀(xi,xj) ∈ X , los conjuntos

M ≡ {xi ∈ X : xi ≻ xj}

P ≡ {xi ∈ X : xj ≻ xi}

Son abiertos.

Donde el conjunto M representa todas las opciones que son mejores que xj y el conjunto P representatodas las cestas de consumo que son peores a xj . Alternativamente Podemos definir los siguientesconjuntos

MI ≡ {xi ∈ X : xi % xj}

PI ≡ {xi ∈ X : xj % xi}1este espacio de consumo puede ser entendido dado que es un subconjunto de RL

+ se dice que es el conjunto de mínimasubsistencia, es decir es el espacio más pequeño o donde se alojan las opciones de consumo, sin perdida de generalidad de igualmanera se puede establecer que X ⊆ RL

+

10

2. Comportamiento del Consumidor

I ≡ {xi ∈ X : xj ∼ xi}

Donde el conjunto MI muestra las cestas no peores que xj , el conjunto PI las cestas de consumo nomejores que xj y el conjunto I las cestas de consumo equivalentes a xj . Los conjuntos son cerrados yaque % es completa y continua. Es fácil ver que

MI ∩PI = I MI ∪PI = X

La convexidad de las preferencias puede formularse con diferentes grados de generalidad. La con-vexidad débil es la definición más general de convexidad, mientras que la convexidad estricta es ladefinición que contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de con-vexidad. La noción general de convexidad es que un consumidor con preferencias convexas prefiere unplan de consumo que contenga un poco de cada bien a un plan de consumo con una gran cantidad de unbien y nada (o muy poco) de los demás bienes. Es decir, la convexidad captura la idea de la preferenciapor la variedad. Notemos que la convexidad conlleva implícito el supuesto de la perfecta divisibilidadde los bienes. Veamos las definiciones alternativas de convexidad.

Axioma 2 (Convexidad Débil)∀(xi,xj) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple

xi % xi ⇒ [λxi + (1− λ)xj ] % xj

Axioma 3 (Convexidad)∀(xi,xj) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple

xi ≻ xi ⇒ [λxi + (1− λ)xj ] ≻ xj

Axioma 4 (Convexidad Estricta)∀(xi,xj) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple

xi % xi ⇒ [λxi + (1− λ)xj ] ≻ xj

El axioma 2, dada la transitividad, reflexividad y completitud de las preferencias equivale a suponer quelos conjuntos M(xi) y MI(xj) son convexos. Además, junto con la continuidad de las preferencias,implica que para todo xj ∈ X , el conjunto M(xj) es abierto y convexo y tiene como frontera elconjunto I(xj) el cual es cerrado y convexo. Este axioma permite que el conjunto I(xi) tenga puntosinteriores. El axioma 3 junto con el axioma 1 implica que si xj no es un punto máximo de la relación% El conjunto I(xj) no tiene puntos interiores. El axioma 4 garantiza que cualquier tangencia con unhiperplano con una clase de indiferencia solo puede ocurrir en un punto. Sin embargo este axioma nogarantiza que I(xj) sea diferenciable en todos sus puntos.

Para terminar con los supuestos que introducimos sobre las preferencias, formularemos diferentesaxiomas de insaciabilidad. Como en el caso de la convexidad, pueden definirse con diferentes grados degeneralidad. La no-saciabilidad es la definición más general, mientras que la monotonía es la definiciónque contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de no saciabilidadlocal y la de semimonotonía. El axioma 5 recoge la idea de que un individuo, dado un plan de consumo,siempre puede encontrar otro mejor; el axioma 6 matiza la afirmación anterior para planes de consumoarbitrariamente cerca, es decir, dado un plan de consumo, siempre existe otro arbitrariamente cercaque es mejor. Este axioma implica que las curvas de indiferencia no pueden ser anchas. El axioma7 dice que dado un plan de consumo, siempre podemos construir uno mejor aumentando la cantidadde alguno de los bienes. Estos axiomas evitan que el consumidor pueda saciarse de todos los bienessimultáneamente. Sin embargo no impiden la posibilidad de que el consumidor sí pueda saciarse dealgún bien concreto en X. Finalmente, el axioma 8 dice que cuanto más mejor.

Axioma 5 (No-Saciabilidad) Para todo xi ∈ X existe un xj ∈ X tal que xj % xi.

11

2.3. La Función de Utilidad

Axioma 6 (No-Saciabilidad Local)Sea Hθ(xi) un entorno de centro xi y de radio θ. Para todo xi ∈ Xy para todo escalar θ > 0 existe un xj en Hθ(xi) ∩X tal que xj ≻ xi.

Axioma 7 (Semimonotonía) Para todo xi ∈ X existe algún h, donde h = 1, 2...L (que puede dependerde xi) tal que (xi+λeh) ≻ xi, para todo λ > 0 y donde eh ∈ RL representa un vector de ceros exceptoen la posición h-ésima donde hay un uno.

Axioma 8 (Monotonía) Sean (xi,xj) ∈ X tales que xi ≫ xj . Entonces xi ≻ xj .

Este es un axioma muy restrictivo. Exige que el individuo mejore consumiendo cantidades adicio-nales de mercancías.

Axioma 9 (Monotonía débil) Sean (xi,xj) ∈ X tales que xi ≥ xj . Entonces xi % xj .

Este axioma nos dice que un plan de consumo xi que contenga al menos la misma cantidad demercancías que otro, xj es por lo menos igual de bueno que éste.

Axioma 10 (Monotonía Fuerte) Sean (xi,xj) ∈ X tales que xi > xj . Entonces xi ≻ xj .

La monotonicidad fuerte nos dice que un plan de consumo xi que contenga por lo menos la mismacantidad de todos los bienes que otro plan de consumo xj y más de alguno de ellos es estrictamentemejor que éste. Notemos que este axioma implica, a su vez, que todos los bienes son deseables para elconsumidor.En particular, si el plan de consumo contiene algún bien no deseable (un mal) no satisfaríala monotonicidad fuerte.


En economía es muy común referirse al termino utilidad como una representación de la Felicidado Satisfactores de de uno o más individuos, esta representación le asignamos comúnmente una formafuncional bien comportada. ¿De dónde surge esta concepción de utilidad? Debreu (1959) Se preguntasi dado un pre-orden de preferencias similares a las vistas en la introducción es posible encontraruna función creciente en dicho espacio. En otras palabras, si dada la posibilidad de poder ordenar ydecernir entre cestas de consumo sería posible encontrar una función que describa las preferencias deun consumidor individual vista como un continuo dentro del espacio de preferencias. Cuando dichafunción existe se le denomina Función de Utilidad.

DEFINICIÓN 23 (Función de Utilidad). Una función u : X → R representa el pre-orden de preferen-cias % si y solamente si para todo (x1,x2) ∈ X se cumple:

u(x1) ≥ u(x2) ⇔ x1 % x2

A la función u(·) se le denomina función de utilidad del consumidor.

2.3.1. Existencia

No todos los tipos de preferencia puede representarse mediante funciones, al respecto de esto De-breu desarrolla el siguiente Teorema el cual es suficiente para su tiempo para demostrar la Existenciade una función de utilidad.

12


TEOREMA 2.3.1 (Debreu 1959). Sea % una relación de preferencia definida sobre un subconjunto co-nexo en RL. La relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continuasi y solamente si succsim es reflexiva, completa, transitiva y continua.

Este Teorema expresado por Debreu permite entender el problema del consumidor como un proble-ma de identificación de la función de utilidad u(·), de igual forma el teorema de Weierstrass permitedemostrar la existencia de un Máximo de la función de cualquier subconjunto compacto de X . Poste-riormente a dicho teorema surgen refinamientos del mismo donde además satisfacían monotonía fuertey dado nuestro interés en demostrar la existencia de la función de utilidad enunciamos y demostramosel siguiente teorema:

TEOREMA 2.3.2 (Existencia de una función de Utilidad). Supongamos que la relación de preferencia% definida sobre X ⊂ RL es reflexiva, transitiva, completa, continua y satisface monotonía fuerte.Entonces existe una función de utilidad continua u : RL → R que representa dichas preferencias.

Demostración. La demostración puede realizarse en tres pasos:

(1) Sea i un vector unitario (todos sus elementos son unos) tal que i ∈ RL+. Dado cualquier vector

x tenemos que demostrar que existe un único número u(x) tal que x v u(x)i.Para cualquierx ∈ X y α ∈ R+ definimos los siguientes conjuntos

A ≡ {α : α ≥ 0, αi % x} B ≡ {α : α ≥ 0,x % αi}

Dada la monotonía fuerte ambos conjuntos son no vacíos. El conjunto A para α suficientementegrande αi % x en el caso del conjunto B porque contiene al menos el 0. El supuesto de continui-dad asegura que ambos conjuntos son cerrados. Dado que las preferencias son completas cadaα ≥ 0 pertenece a uno de estos conjuntos. Por tanto, es necesario que exista un punto en común,por ejemplo αx para que αxi v x, la monotonía fuerte asegura que este punto es único.Ahora,identificando αx con u(x), lo cual implica que αxi v u(x)i y aplicando transitividad obtenemosu(x)i v x. En otras palabras, para cada plan de consumo x ∈ X hemos demostrado que existeun número real u(x) tal que u(x)i v x.

(2) Consideremos ahora dos cestas de consumo x1,x2 ∈ X , por definición x1 v u(x1)i y x2 vu(x2)i. Si u(x1) > u(x2) la monotonía fuerte implica que u(x1)i ≻ u(x2)i, de igual manerapor transitividad

x2 v u(x1)i ≻ u(x2)i v x2 ⇒ x1 ≻ x2

El mismo razonamiento nos lleva a demostrar que si u(x1) = u(x2) implica que x1 v x2, y asíde manera sucesiva faltando solo por demostrar continuidad.

(3) Pensemos ahora que existe un {xj} el cual es una secuencia convergente a x, es decir {xj} → x.Ahora pasaremos a demostrar que u(xj) → u(x). Para empezar vamos a suponer que no esconvergente, es decir, que existe un γ > 0 y un número infinito de j′s tal que xj v u(xj) ≻u(x) + iγ v x + iγ La transitividad de las preferencias implica que xj ≻ x + iγ Ahora bien,para un j suficientemente grande en nuestro conjunto infinito necesariamente tiene que ocurrirque x+iγ > xj y por monotonía x+iγ ≻ xj , lo cual es una contradicción por tanto la secuenciatiene que ser convergente y por tanto continua.

13


2.3.2. UnicidadEs importante señalar que la función de utilidad que acabamos de construir es ordinal. Es decir, el

valor numérico de u(·) no contiene ningún significado, solo el signo de la diferencia entre los valoresde u(·) en dos puntos distintos es significativo. Notemos también que el enunciado de la proposiciónque acabamos de demostrar no dice nada sobre la unicidad de la función de utilidad que representalas preferencias del consumidor. La proposición siguiente aborda precisamente esta cuestión. En par-ticular, podemos demostrar que la función de utilidad que hemos identificado es única excepto paratransformaciones estrictamente crecientes.

PROPOSICIÓN 8 (Unicidad de la Función de Utilidad). La unicidad de la función de Utilidad implicaque es invariable ante transformaciones monótonas.

(1) Supongamos que la relación de preferencia % de un consumidor es representada mediante lafunción de utilidad u : RL → R Entonces cualquier función υ(x) = f [u(x)] donde f es unafunción estrictamente creciente, también es una función de utilidad que representa la mismarelación de preferencias, además si uyf son continuas entonces υ también lo es.

(2) Todas las funciones de utilidad que representan las preferencias % de un consumidor pueden serrepresentadas por υ(x) = f [u(x)]

Demostración. (1) Si x1 ≻ x2, entonces u(x1) > u(x2) si f es estrictamente creciente podemosafirmar que f [u(x1)] > f [u(x2)] por tanto υ(x1) > υ(x2) y de la misma manera dicha cons-trucción se puede mostrar de forma inversa, es decir υ(x1) > υ(x2) si x1 ≻ x2. Además de estodado que la composición de dos funciones continuas es una función continua, υ es continua si fy u(·) lo son.

(2) Sea υ una función de utilidad arbitraria que representa la misma relación de preferencia queu(·). Es claro que u(x1) = u(x2) si y solo si υ(x1) = υ(x2) ya que en ambos casos implicaque x1 ≻ x2. También debe ser claro que u(x1) > u(x2) si y solamente si υ(x1) > υ(x2). Portanto podemos escribir υ(x) = f [u(x)].

La representación de las preferencias mediante una función de utilidad hace que las propiedades dela relación de preferencias se reflejen en las propiedades de la función de utilidad que las representa.Monotonía y continuidad de las preferencias se traducen en monotonía y continuidad de la función deutilidad. La convexidad de las preferencias se traduce en la concavidad de la función de utilidad. En par-ticular, la convexidad débil de las preferencias implica la cuasi-concavidad de la función de utilidad; laconvexidad de las preferencias implica que la función de utilidad es semi-estrictamente cuasi-cóncava;finalmente, la convexidad fuerte de las preferencias se traduce en una función es estrictamente cuasi-cóncava.

DEFINICIÓN 24 (Cuasi-Concavidad). Sea u : RL → R, decimos que u es cuasi-cóncava si para todox1,x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple

u(x1) ≥ u(x2) ⇒ u[λx1 + (1− λ)x2] ≥ u(x2)

DEFINICIÓN 25 (Cuasi-Concavidad Semi-Estricta). Sea u : RL → R, decimos que u es Semi estricta-mente cuasi-cóncava si para todo x1,x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple

u(x1) > u(x2) ⇒ u[λx1 + (1− λ)x2] > u(x2)

DEFINICIÓN 26 (Cuasi-Concavidad Estricta). Sea u : RL → R, decimos que u es cuasi-cóncavaEstricta si para todo x1,x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple

u(x1) ≥ u(x2) ⇒ u[λx1 + (1− λ)x2] > u(x2)

14


2.4. Comportamiento del ConsumidorUna ves demostrada la existencia de una función de utilidad y de probar que es invariante ante

transformaciones monótonas pasamos a analizar el comportamiento del consumidor. Es menester es-tablecer que las decisiones de consumo de nuestro agente representativo se desarrollan en mercadocompetitivo por mercado competitivo podemos entenderlo de manera coloquial como un momento enla evolución de una economía donde el número de Empresas y el número de consumidores es tan gran-de que un consumidor individual le es imposible influir en el fijamiento de los precios en el mercado, esdecir, son tomadores de precio o precio aceptantes como veremos más adelante. Iniciamos definiendolas Mercancías y el Conjunto Presupuestario Walrasiano, posteriormente realizamos un desarrollo delas propiedades de estática comparativa y finalizamos enunciando el Axioma Fuerte de PreferenciaRevelada.

2.4.1. Mercancías y Conjunto de ConsumoDenominaremos Mercancías al conjunto de satisfactores de un consumidor individual, para fines

prácticos llamaremos de manera indistinta Mercancías al conjunto de bienes y servicios que elaborano desarrollan un conjunto de individuos con el fin de satisfacer las necesidades de un consumidorindividual. Asumiremos que el número de Mercancías es finito igual a L tal que ℓ = 1, 2, 3...L . Ahora,denominaremos cesta de consumo, a un vector de mercancías

x =

x1

x2

...xL

Donde cada xi es una mercancía. El vector x es un punto en RL. Las elecciones de consumo son porrazones obvias no negativas, es decir, no existen cantidades negativas que queramos consumir de algunamercancía o producto. Formalmente denotamos al espacio de consumo como X ⊂ RL . En algunostextos y sin perdida de generalidad enuncian al espacio de consumo como el cual se encuentra en elortante no negativo.

X = RL+ = {x ∈ RL : xℓ ≥ 0 ∀ℓ = 1, ..., L}

Como es sabido el ortante no negativo RL+ es convexo ya que para todo x1,x2 ∈ RL

+ se tiene quex3 = αx1 + (1− α)x2 tal que x3 ∈ RL

+ para todo α ∈ [0, 1].

2.4.2. Conjunto Presupuestario CompetitivoTambién llamado restricción presupuestaria en la jerga del economista, definimos ahora al vector

de precios p tal que

p =

p1p2...pL

∈ RL+

Donde cada pℓ es el precio de algún bien xℓ, luego entonces el vector p describe los precios de mercadode los distintos bienes que consta la cestas de consumo contenidas en X . En la teoría económica escomún definir precio como una medida de la escasez, es decir, a medida que aumenta la escasez de lamercancía aumenta su precio, aunque no siempre tiene que ser así. Dado que no hay precios negativosy sin perdida de generalidad asumimos que p ≫ 0, es decir pℓ > 0 para toda ℓ. Cada consumidor esta

15

2.4. Comportamiento del Consumidor

Figura 2.1: Izquierda:Restricción presupuestaria competitiva o walrasiana en R2+. Derecha: Efecto precio ante una variación de p2.

dotado de una riqueza o presupuesto w el cual será utilizado para comprar alguna cesta de consumo xde precio p. La restricción presupuestaria debe satisfacer

p · x = p1x1 + ...+ pLxL ≤ w

Es decir, cada consumidor selecciona la combinación de precios y mercancías tales que no sobrepaseel presupuesto w. Es decir, decimos que las cestas de bienes son consumos factibles.

DEFINICIÓN 27. Una restricción presupuestaria competitiva es el conjunto Bp,w = {x ∈ RL+ : px ≤

w} es el conjunto que muestra todas las opciones de consumo posibles dados un vector de precios p yun presupuesto w.

El conjunto {x ∈ RL+ : px = w} es llamado hiperplano presupuestario que no es otra cosa más

que la frontera de Bp,w. Para L = 2, la restricción Bp,w queda reducida a p1x1 + p2x2 = w lo cuales una recta con pendiente −(p1/p2) la cual es una tasa de cambio entre dos mercancías la cual comoveremos más adelante mide el costo de oportunidad. Una de las propiedades geométricas que seránútiles es la ortogonalidad de los precios. Para observar esto supongamos que existen dos dos cestasx, x ∈ Rℓ

+. Para un vector de precios p se debe cumplir, dado que el consumidor no puede exceder supresupuesto que px = px = w de donde se deduce que p∆x = 0 tal que ∆x = (x− x) y por ende pes ortogonal. Por ultimo hablaremos de la convexidad de Bp,w, dadas dos cestas x1,x ∈ Bp,w, la cestax3 = αx1 + (1− α)x2 también lo es tal que x3 ∈ RL

+. Después dados px1 ≤ w y px2 ≤ w nosotrostenemos que px3 = αpx + (1− α)px2 ≤ w lo cual implica que x3 ∈ Bp,w = {x ∈ RL

+ : px ≤ w}y por ende Bp,w es convexo. Además de esto dados los supuestos sobre X podemos afirmar que Bp,w

es cerrado y dado que pℓ > 0 (ignoraremos el caso de pℓ = 0) es compacto.

2.4.3. Estática comparativa y función de demandaCada consumidor walrasiano (o ordinario o competitivo) puede a partir de sus preferencias y su

conjunto presupuestario calcular una cantidad demandada de bienes lo cual dependerá integramentedel vector p y del presupuesto w. La correspondencia de demanda del consumidor (ordinaria owalrasiana) se denota por x(p, w) y asigna un conjunto de cestas de consumo a cada par precio-riqueza(p, w). Cuando la correspondencia consta de solo un elemento se le denomina función de demandaµ(p, w) . Asumiremos que la correspondencia de demanda es homogénea de grado cero y satisface laLey de Walras.

DEFINICIÓN 28. La correspondencia de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de grado cero six(αp, αw) = x(p, w) para todo p, w y α > 0

16


La homogeneidad de grado cero quiere decir que sí los precios y la riqueza cambian en la mismaproporción, la elección de consumo del individuo no cambia,sólo importan los precios y renta relativosy no los absolutos.Para entender la homogeneidad de grado cero, nótese que un cambio de renta yprecios de (p, w) a (αp, αw) , no produce ningún cambio en el conjunto de consumos factibles,esdecir Bp,w = Bαp,αw.

DEFINICIÓN 29. La correspondencia de demanda walrasiana x(p, w) satisface la ley de walras sipara todo p ≫ 0 y w > 0, se cumple px = w para todo x ∈ x(p, w).

La Ley de Walras significa que el individuo consume totalmente su riqueza. Este supuesto es ra-zonable siempre que exista algún bien deseable.En contextos dinámicos intertemporales, la Ley deWalras significa que el consumidor gasta enteramente su presupuesto a lo largo de su vida. El análisisde un cambio en el resultado como respuesta a cambios en los parámetros económicos subyacentes sele conoce como Análisis de Estática Comparativa. Este análisis es por demás interesante ya que nosmuestra como cambian la elección de un consumidor cuando se modifican el precio o la riqueza de unconsumidor

Efecto Riqueza Mantengamos fijo p, la correspondencia x(p, w) se le conoce como función de En-gel del consumidor La cual tiene su imagen en RL

+. Ep = {x(p, w) : w > 0} se le conoce comopatrón de expansión de la riqueza. Para cualquier (p, w) la derivada ∂xℓ(p, w)/∂w se le conoce comoelecto riqueza para el ℓ-ésimo bien. Un bien se denomina normal si para cualquier (p, w) se tiene que∂xℓ(p, w)/∂w ≥ 0 es decir, la demanda no decrece ante aumentos en la riqueza. Si ∂xℓ(p, w)/∂w < 0para cualquier (p, w) se le denomina bien inferior . El supuesto de normalidad en la demanda tienesentido cuando los bienes son agregaciones (alojamiento, comida, etc. ). Si se encuentran muy desagre-gados (por ejemplo, una clase particular de zapatos), entonces dada la sustitución de bienes de mejorcalidad cuando w se incrementa, los bienes pueden convertirse en inferiores a partir de un nivel derenta. Dado el vector de precios p el efecto riqueza puede ser expresado mediante

Dwx(p, w) =

∂x1(p,w)

∂w∂x2(p,w)

∂w...

∂xL(p,w)∂w

∈ RL

Efecto Precio Ahora manteniendo fijo w, la variación de la correspondencia de demanda ante varia-ciones en los precios se le denomina efecto precio, más generalmente para todo (p, w) el efecto preciode pk tal que k = 1, 2, ..., L se expresa como ∂xℓ(p, w)/∂pk, luego entonces ∂xℓ(p, w)/∂pℓ muestrala curva de precio-oferta del consumidor. Decimos que el bien ℓ es un Bien Giffen si ∂xℓ(p, w)/∂pℓ >0, es interesante notar que los bienes de baja calidad pueden ser bienes Giffen para consumidores derentas bajas. El efecto precio se puede mostrar mediante la siguiente matriz

Dpx(p, w) =

∂x1(p,w)

∂p1· · · ∂x1(p,w)

∂pL

. . .∂xL(p,w)

∂p1· · · ∂xL(p,w)

∂pL

Implicaciones de la Homogeneidad y la ley de Walras en el efecto precio y riqueza La homoge-neidad y la ley de Walras implican ciertas ciertas restricciones en los efectos de estática comparativasobre la demanda del consumidor con respecto a los precios y a la riqueza. Dada la homogeneidadde grado cero implica que x(αp, αw) − x(p, w) = 0. Diferenciando la ecuación con respecto a α yevaluando la derivada en α = 1 tenemos un caso particular de la ecuación de Euler.

17

2.4. Comportamiento del Consumidor

PROPOSICIÓN 9. Si la función de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de cero se cumple, paratodo p y w

L∑k=1

∂xℓ(p, w)

∂pkpk +

∂xℓ(p, w)

∂ww = 0 ∀ℓ = 1, ..., ℓ. (2.1)

En notación matricialDpx(p, w)p+Dwx(p, w)w = 0 (2.2)

La homogeneidad de grado cero implica que las derivadas con respecto a precios y renta, de lademanda de cualquier bien ℓ, cuando se ponderan por estos precios y renta deben sumar cero. La pon-deración se da, porque cuando se incrementan todos los precios y la riqueza en la misma proporción,cada variable cambia en proporción a su nivel inicial.LA expresión (2.1) puede ser expresada en térmi-nos de sus elasticidades de la demanda con respecto al precio y la riqueza de la siguiente manera.

εℓk(p, w) =∂xℓ(p, w)

∂pk· pkxℓ(p, w)

(2.3)

y de igual manera

εℓw(p, w) =∂xℓ(p, w)

∂w· w

xℓ(p, w)(2.4)

La Elasticidad muestra las variaciones porcentuales de la demanda del bien ℓ ante variaciones de algunode sus parámetros como puede ser el precio o la riqueza.La expresión (2.1) puede ser reescrita como

L∑k=1

εℓk(p, w) + εℓw(p, w) = 0 ∀ℓ = 1, ..., L (2.5)

Esta formula expresa directamente, las implicaciones de estática comparativa de la homogeneidad degrado cero: un mismo porcentaje de cambio en todos los precios y renta no produce cambios en lademanda. La ley de Walras tiene dos implicaciones sobre el efecto riqueza y el efecto precio. Por la leyde Walras sabemos que px(p, w) = w para todo p y w.

PROPOSICIÓN 10. Si la función de demanda Walrasiana x(p, w) satisface la ley de Walras para todop y w

L∑ℓ=1

pℓ∂xℓ(p, w)

∂pk+ xk(p, w) = 0 (2.6)

y de manera matricialpDpx(p, w) + x(p, w) = 0 (2.7)

Esta preposición es conocida como la Agregación de Cournot que dice que el gasto total no puedecambiar ante variaciones en el precio del bien k.

PROPOSICIÓN 11. Si la función de demanda Walrasiana x(p, w) satisface la ley de Walras para todop y w

L∑ℓ=1

pℓ∂xℓ(p, w)

∂w= 1 (2.8)

y de manera matricialpDwx(p, w) = i (2.9)

Tal que i es un vector unitario. Esta proposición enuncia que el gasto total debe cambiar en unacantidad igual a cualquier cambio de la riqueza, esto se conoce como la Agregación de Engel

18


2.5. Axioma Débil de preferencia reveladaComo el lector notará el instrumental mostrado parece suficiente para realizar una teoría consistente

del comportamiento de un consumidor representativo sin embargo aun queda una laguna la cual versaen la necesidad de una teoría que establezca un mecanismo a través del cual el consumidor mantengaun hábito de compra el cual permita a los oferentes ofrecer bienes y servicios al consumidor, esta teoríase le conoce como la Teoría de la Preferencia Revelada (a partir de ahora abreviado AD). A grandesrasgos esta teoría establece lo siguiente: cuando un consumidor se enfrenta a una colección de cestas(xi,xj) ∈ RL

+ si el consumidor selecciona xi cuando podía seleccionar xj decimos que xi se revela axj lo cual nos permite deducir que xi ≻ xj . Luego, una función de demanda walrasiana x(p, w) quees homogénea de grado cero y satisface la ley de walras en el contexto de AD cumple lo siguiente:

DEFINICIÓN 30. Una función de demanda walrasiana x(p, w) satisface AD si la siguiente propiedadse satisface para cualquier par (pi, wi) y (pj , wj) con la demanda x(pi, wi) dependiendo de (pi, wi)y x(pj , wj) dependiendo de (pj , wj):

{∃pi, ∃x(pj , wj) : pix(pj , wj) ≤ wi}∧{∃x(pi, wi) : x(pj , wj) = x(pi, wi)} ⇒ pjx(pi, wi) ≥ wj

La explicación es muy clara, pix(pjwj)wi ≤ 0 y x(pjwj) = x(pi, wi) significa que cuando losprecios y el presupuesto son (piwi) el consumidor elige x(pi, wi) aun cuando x(pj , wj) era factible.Se puede decir que el consumidor revela su preferencia a x(pi, wi) sobre x(pj , wj). Que la demandasea consistente significa que que el consumidor prefiere siempre x(pi, wi) sobre x(pj , wj) cuandoambas son disponibles. De igual manera se cumple que x(pi, wi) no debe ser disponible con los preciosy el presupuesto (pj , wj).

2.5.1. Implicaciones de ADSabemos que un cambio en los precios afecta al consumidor de dos maneras, por una parte altera los

costos relativos de diferentes bienes y de igual manera altera la riqueza (o presupuesto) real. Una manerade llevar a cabo el análisis es imaginar una situación en la que un cambio en precios se acompaña deun cambio en la riqueza del consumidor que haga que su consumo inicial sea factible a los nuevosprecios. Sean pi y wi los precios y la riqueza inicial y sea x(pi, wi) la demanda del consumidor.Supongamos que los precios cambian a pj y que la renta del consumidor se ajusta wj = pjx(pi, wi).Luego el ajuste del ingreso esta dado por ∆w = ∆px(pi, wi), con ∆p = (pj − pi). A este ajustese le conoce como la compensación de la riqueza de Slutsky. La Figura 2.2 muestra lo anterior paraR2

2. En Bpi,wi , pi = [p1, p2], con pendiente −(p1/p2) y demanda x(piwi). Supongamos ahora que p1disminuye y el nuevo vector es pj = [p1, p2] con p1 < p2 y por ende p1/p2 disminuye. Luego la nuevarestricción será Bpj ,wi . La compensación de Slutsky será la siguiente: wi = p1x1 + p2x2 y sabemosque wj = p1x1 + p2x2, luego entonces la variación total de la riqueza es igual a ∆wi = (p1 − p1)x1

y dado que p1 < p1 entonces ∆wi es negativa.A estos cambios de precios que se acompañan de talescambios compensatorios en la renta se les denomina cambios compensados de precios. La siguienteProposición establece que el AD puede enunciarse equivalentemente en términos de la respuesta de lademanda a tales cambios compensados en precios.

PROPOSICIÓN 12. Supongamos que función de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de gradocero y satisface la ley de walras. Entonces la función de demanda x(p, w) cumple AD syss satisface lasiguiente propiedad: Para cualquier cambio compensado de precios desde el par inicial (pi, wi) hasta(pj , wj) = [pj , pjx(pi, wi)] se tiene que

(pj − pi)[x(pj , wj)− x(pi, wi)] ≤ 0 (2.10)

con desigualdad estricta siempre que x(pi, wi) = x(pj , wj)

19

2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky

Figura 2.2: Efecto compensación de la Riqueza de Slutsky en R2+

Demostración. (i)El AD implica que (pj − pi)[x(pj , wj)− x(pi, wi)] ≤ 0 se cumple con con la de-sigualdad estricta x(pi, wi) = x(pj , wj). Si x(pi, wi) = x(pj , wj) implica que (pj−pi)[x(pj , wj)−x(pi, wi)] = 0, por lo tanto supongamos que x(pi, wi) = x(pj , wj). Podemos reescribir

(pj − pi)[x(pj , wj)− x(pi, wi)] = pj [x(pj , wj)− x(pi, wi)]− pi[x(pj , wj)− x(pi, wi)]

Como el cambio es de pi a pj es compensado: pjx(piwi) = wj , por la ley de walras pjx(pjwj) = wj ,luego pj [x(pj , wj) − x(pi, wi)] = 0. ahora dado que pjx(piwi) = wj , x(piwi) es factible bajo(pjwj). el AD implica que x(pjwj) no debe ser factible bajo (piwi) y por ende pix(pjwj) > wi ypor la ley de walras pix(piwi) = wi y por tanto pi[x(pj , wj)− x(pi, wi)] > 0.

Ahora, (2.10) puede ser reescrita como ∆pi∆x ≤ 0 Se puede interpretar como una expresión dela Ley de la Demanda: La demanda y el precio se mueven en la dirección opuesta. La Proposiciónanterior establece que la Ley de la Demanda se satisface para cambios compensados en los precios. Sedenomina la ley de la Demanda Compensada.

2.6. Matriz de Sustitución de SlutskyAhora para el siguiente análisis supongamos que la demanda x(p, w) de consumo es una función

diferenciable de los precios y de la riqueza. Consideremos ahora que para un vector de precios dado y unpresupuesto (p, w) se da un cambio en los precios, es decir, el diferencial de precios puede expresarsecomo ∂p, sin embargo dicho cambio en los precios esta compensado por un ajuste en la riqueza opresupuesto tal que ∂w = x(p, w)∂p, después la Proposición 12 se resume en

∂p · ∂x ≤ 0 (2.11)

ahora por regla de l cadena la variación total de la demanda esta expresada como

∂x = Dpx(p, w)∂p+Dwx(p, w)∂w (2.12)

luego∂x = Dpx(p, w)∂p+Dwx(p, w)[x(p, w)∂p] (2.13)

o de manera equivalente

∂x = [Dpx(p, w) +Dwx(p, w)x(p, w)]∂p (2.14)

20


ahora sustituyendo (2.14) en (2.11) tenemos

∂p · [Dpx(p, w) +Dwx(p, w)x(p, w)]∂p ≤ 0 (2.15)

La expresión (2.15) es una matriz de L× L denotada por S(p, w). Formalmente

S(p, w) =

s11(p, w) · · · s1L(p, w)...

. . ....

sL1(p, w) · · · sLL(p, w)

Donde la (ℓ,k)ésima entrada esta dada por

sℓk(p, w) =δxℓ(p, w)

∂pk+

xℓ(p, w)

∂w· xk(p, w) (2.16)

La matriz S(p, w es conocida como la matriz de sustitución de Slutsky y sus elementos se le conocencomo efecto sustitución.sℓk(p, w) mide el cambio diferencial en el consumo del bien ℓ (es decir, lasustitución a otro bien) debido a un cambio diferencial en el precio del bien k, cuando la renta se ajustatal que el consumidor pueda todavía adquirir a los nuevos precios su cesta inicial (debido solamente aun cambio en los precios). Nótese que el cambio en la demanda del bien ℓ, si la renta no cambiase, sería

δxℓ(p, w)

∂pk∂pk

Ahora, para que el consumidor pudiera simplemente adquirir su cesta de consumo inicial, su riquezadebería variar en la cantidad xk(p, w)∂pk. El efecto de cambio de renta en su demanda del bien ℓ, es

δxℓ(p, w)

∂pk[xk(p, w)∂pk]

La suma de estos dos efectos es exactamente sℓ,k(p, w)∂p.

PROPOSICIÓN 13. Si una función de demanda Walrasiana diferenciable x(p, w), satisface la ley dewalras, es homogénea de grado cero y cumple el axioma débil de preferencia revelada, entonces paracualquier par (p, w) la matriz de sustitución de Slutsky S(p, w) satisface VS(p, w)V ≤ 0 paracualquier V ∈ RL.

Si una matriz de sustitución cumple esta propiedad se dice que es semidefinida-negativaUna im-plicación importante de sℓℓ ≤ 0 (el efecto sustitución del bien ℓ con respecto a su propio precio (efectosustitución propio))es que un bien puede ser Giffen en (p, w), solamente si es inferior. En particularcomo:

sℓℓ(p, w) =δxℓ(p, w)

∂pℓ+

xℓ(p, w)

∂w· xℓ(p, w) (2.17)

Si δxℓ(p,w)∂pℓ

> 0 se tiene que dar xℓ(p,w)∂w < 0.

21

irán apolinar peredo cortes 12 de noviembre de 2012. topología conjuntista 1.1.2. sucesiones...

Documents