ipn. 3sem. variable compleja, apuntes para marcial
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VARIABLE COMPLEJA
Representación de un número complejo (z)
Cartesiana o Rectangular z=x+iy
Esta forma es la más fácil de usar para hacer operaciones elementales, además de esta manera es rápido localizar un número Z en el Plano de Argand como un vector:
Polar z=r (cosθ+isenθ)
En la forma polar de un número complejo es necesario obtener su módulo (r) = |z| por o que se citarán las fórmulas elementales para poder escribir así un número z:
1. |z|=r=√ x2+ y2
2. x=rcosθ3. iy=irsenθ
4. θ=tan−1( yx )
Otras formas de representar la forma polar son:
a. z=r (cosθ+isenθ)b. z=r∨θ ¿c. z=rcisθ
Exponencial z=r e iθ
Partimos de…
e ix=cosx+isenxAhora… si
z=r (cosθ+isenθ)Entonces
z=r (eiθ)
∴ z=r eiθ
Operaciones fundamentales con números complejos
Suma z1+ z2
Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2
Ahora z1+ z2=ℜ ( z1+z2 )+ℑ ( z1+z2 )= ( x1+x2 )+( y1+ y2 ) i
Resta z1−z2
Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2
Ahora z1−z2=ℜ ( z1−z2 )+ℑ ( z1−z2 )=( x1−x2)+ ( y1− y2 ) i
Producto z1 z2
Se lleva a cabo como lo siguiente, si tenemos z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2
Ahora z1 z2=ℜ ( z1 z2)+ℑ ( z1 z2 )=( x1 x2− y1 y2 )+( x1 y2+ x2 y1 )i
División z1
z2
Para llevar a cabo esta operación, como te explique se multiplica por el conjugado del denominador el llamado “uno disfrazado” z1=x1+ i y1 y z2=x2+i y2
z=z1
z2
=x1+ i y1
x2+ i y2
Ahora…
z=( x1+i y1
x2+i y2) (1 )=( x1+i y1
x2+i y2)( x2−i y2
x2−i y2)= z1
z2
z2
Otras operaciones necesarias… Producto punto
z1° z2=ℜ(z1 z2)
Producto cruzz1 x z2=ℑ( z1 z2)
Conjugado z
Se obtiene cambiando de signo la parte imaginaria de un número imaginario.
Si z=x+iyEntonces…z=x−iy
Módulo de z … |z|
También conocido como r se obtiene a partir de la fig. 2 de este trabajo por medio del teorema de Pitágoras, de acuerdo con la componente de cada número en el Plano de Argand.
|z|=r=√ x2+ y2
i n
Existen una cierta relación en las potencias de i, entonces se observa que las potencias repiten el valor de 4 en 4. Por lo cual…
i n = Valores para ni 1 5 9 13 17 21
-1 2 6 10
14 18 22
-i 3 7 11
15 19 23
1 4 8 12
16 20 24
Conversión de radianes a grados y viceversa.
Con una sencilla regla de tres obtenemos esto.
1 πradián=180°x radianes=x grados
Potencias y raíces
z1 z2=r1 r2 [cos (θ+∅ )+isen (θ+∅ ) ]
Fórmula de De Moivre
zn=r n[cos (nθ )+isen (nθ )]
Como e inθ=cos (nθ )+isen (nθ )…zn=r ne inθ
Para hallar identidades:
(e iθ)n=cosnθ+isen nθ
Raíces de números complejos
z1n=r
1n [cos ( θ+2 πk
n )+ isen(θ+2πkn )]
Dónde: Debemos trabajar en radianes n es el número de raíces posibles k va de desde 0 hasta (n-1) si se grafican las raíces, obtenemos un polígono de n lados
Pero también podemos escribir la fórmula anterior como:
z1n=r
1n e
i( θ+2πkn )
Funciones
Funciones Polinomiales: Las encontramos de la forma:
P ( z )=a0 zn+a1 zn−1+…+an−1 z+an
Funciones algebraicas racionales:
w=P(z )Q(z)
Funciones exponenciales: Si a es real y positivo, definimos que…
az=ezlna
Funciones trigonométricas: Se definen en identidades de exponenciales…
sen ( z )= eiz−e−iz
2 i= 1
csc (z )
cos (z )= e iz+e−iz
2= 1
sec (z)
tan (z )= e iz−e−iz
i(e iz+e−iz)= 1
cot(z )
*Las propiedades trigonométricas reales también son válidas.**Para obtener las inversas, solo invertir el numerador y denominador en cada caso.
Funciones hiperbólicas
senh ( z )= ez−e−z
2= 1
csch (z)
cosh ( z )= ez+e− z
2= 1
sech (z)
tanh (z )=e z−e− z
ez+e− z =1
coth (z)
*Las propiedades trigonométricas reales también son válidas.**Para obtener las inversas, solo invertir el numerador y denominador en cada caso.
Funciones logarítmicas:w=ln z=ln r+i(θ+2kπ )
Funciones trigonométricas inversas: si z=senw
sen−1 ( z )=1i
ln (iz+√1−z2 )
cos−1 (z )=1i
ln ( z+√z2−1 )
tan−1 (z )= 12 i
ln( 1+iz1−iz )
csc−1 ( z )=1i
ln ( i+√ z2−1z )
sec−1 ( z )=1i
ln( 1+√1−z2
z )cot−1 ( z )= 1
2 iln( z+1
z−1 )
Continuidad: Para que una función f(z) sea continua en z0 debe cumplir:
1. limz → z0
f ( z )=límite debe existir
2. f ( z0 ) debe existir , o sea f ( z )está definida en z0
3. límite=f (z0)
Funciones de Variables compleja
f ( z ) ;donde z=x+iy f =u( x , y )+iv (x , y )u=ℜ , v=ℑ
1. Sustituir z=x+iy en f (z)2. Resolver3. Sustituir x→ a, y →b en f ( z ) despuesdel 2.
Derivada
Por definición:
f ´ ( z )= lim∆ z → 0
f ( z+∆ z )−f (z )∆ z
1) Sustituir en cualquier z de la función original: z+∆ z2) Restarle la función original (tal cual)3) Dividirla entre ∆ z4) Sustituir ∆ z →0
Ecuaciones de Cauchy – Riemann: Una condición necesaria para que w=f (z )=u (x . y )+ iv(x , y) sea analítica (es decir que se pueda derivar) en una región R, es que, en R, u y v satisfagan las siguientes ecuaciones:
∂ u∂ x
= ∂ v∂ y
;∂u∂ y
=−∂ v∂ x
Regla de L´Hôpital: Esta regla sirve cuando f (z0) y g (z0)= 0, es entonces que derivamos arriba y abajo
pues g ´ (z0)≠ 0, en el caso de que lo anterior no se cumpla, la regla se extiende a seguir derivando hasta
cumplir la condición anterior. Por tanto…
limz → z0
f (z )g (z)
=f ´ (z0)g ´ (z0)