INVESTIGACION DE OPERACIONES

Mg. Ing. Gastón Roger Huiman León

INVOPE¿Qué es INVOPE?

P.M.Moorse y G.E. Kimball : Método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para la toma de decisiones relacionadas con las operaciones que listan bajo su control.

Miller y Star: Es la teoría de la decisión aplicada y consecuentemente usa cualquier método científico, matemático o lógico para resolver los problemas que enfrenta un ejecutivo al tomar una decisión.

Hamdy A. Taha: Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables.

Comité de Investigación de Operaciones del Consejo Internacional de Investigación: Es la aplicación del método cientifico al estudio de las operaciones de las grandes y complejas organizaciones o actividades.

ETAPAS I.O.

1. Definición del problema2. Construcción del modelo3. Solución del modelo4. Validación del modelo5. Implementación del modelo

1 2 3

5

4

SINO

Construcción del modelo

a) Definir variables

b) Identificar parámetros

c) Construcción de restricciones

d) Construcción de la Función Objetivo

Modelos Matemáticos

a) Problemas de programación de producción

b) Modelo de mezclas

c) Modelos de Inversión

d) Modelos de transporte

METODOS DE SOLUCION GRAFICA

1. Graficar restricciones

2. Determinar región factible

3. Graficar función objetivo (Max – Min)

4. Ubicar puntos óptimos

5. representar

METODO SIMPLEX

1. Simplex primal.

2. Simplex en dos etapas

3. Simplex dual

4. Análisis de sensibilidad

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

1. Metodo de esquina N – O

2. Metodo de multiplicadores

3. Matriz de costo minimo

4. Metodo Russell

PROBELMAS DE ASIGNACIONES

1. Metodo hungaro

2. Asignaciones prohibidas

PROBLEMAS DE REDES - WINQSB

ADMINISTRACION DE PROYECTOS PERT – CPM

• Ruta critica

Construcción del modelo

a) Definir las variables de decisión:

¿Qué se busca determinar en el modelo?

¿Qué elementos afectan los costos o ganancias?

Que elementos se pueden elegir y controlar libremente?

¿Qué decisiones hay que tomar en el problema?

INVOPE

b) Identificar los parámetros (si se conocen tienen valores)

Son valores que representan datos conocidos y expresan tasas de consumo,

producción, limites, etc., pueden ser determinísticos o probabilísticos.

c) Construcción de las restricciones (Limitaciones)

Son pautas impuestas por condiciones externas al sistema: físicas , impuestas por

administración, relaciones entre variables, externas, lógicas.

d) Construcción de la Función Objetivo

Objetivo total o global de un problema expresado matemáticamente en función a las

Variables de Decisión y los Parámetros.

Se debe definir la medida de efectividad del modelo:

• Max: maximización (ganancias, productividad)

• Min: minimización (costos)

Ejemplo:

Una pequeña industria utiliza 3 tipos de materia prima P,Q,R ; para fabricados 2 tipos de

productos A y B; el departamento de producción establece lo siguiente:

Tipo de producto P Q R Utilidad por Unidad

A 4 2 4 S/. 0.5B 2 2 0 S/. 1.0

Cantidad Disponible 20 12 16

Determinar un plan de producción que maximice las utilidad total

SOLUCION

Xi = Numero de productos A y B. (i = 1,2) productos a producir.

F.O.:

Max Z = $0.5 X1 + $1 X2

S.A.:

4X1 + 2X2 20

2X1 + 2X2 12

4X1 16 𝑋𝑖≥0

a) Problemas de programación de producción

b) Modelo de mezclas

c) Modelos de Inversión

d) Modelos de transporte

Modelos Matemáticos

Ejemplo 1 : PRODUCCIONUna fabrica de bebidas BIGINKA se produce 6 tipos de gaseosas, usando 4 maquinas y 4 tipos de mano de obra. El departamento de producción presenta el siguiente cuadro:

Tipo de Maquina Tiempo disponible maquinaria Horas/mes

Tipo de mano de obra Tiempo disponible hombre

Horas/mes

M1 80 MO1 100

M2 40 MO2 140

M3 60 MO3 160

M4 90 MO4 180

Asimismo sabemos el requerimiento horas/maquina y horas/hombre para producir una unidad de cada producto.

Tipo maquina

Tipos de producto

I II III IV V VI

M1 2 3 4 1 6 1M2 1 3 0 2 3 0M3 4 4 5 0 2 0M4 3 4 5 6 7 8

Tipo mano de obra

Tipos de producto

I II III IV V VI

MO1 1 3 6 0 7 8MO2 2 2 1 4 5 6MO3 3 1 2 3 2 0MO4 4 4 6 0 3 5

Finalmente el departamento de comercialización informa lo siguiente:

Tipo de producto Demanda máxima estimada unid/mes

Ganancia por unidad$

I 800 10

II 400 6

III 300 5

IV 200 8

V 600 9

VI 500 7

¿Cuál seria el plan de producción, para maximizar las ganancias en un mes?

Xi = Numero de unidades de producto I,II,III,IV,V,VI. (i = 1,2,3,4,5,6) a producir en un mes

F.O.:

Max Z = $10 X1 + $6 X2 + $5 X3+ $8 X4+ $9 X5+ $7 X6

Restricciones:Horas/maquinaHoras/hombreDemanda S.A.: Horas/maquina

2X1 + 3X2 + 4X3+ 1X4+ 6X5 + 1X6 80

1X1 + 3X2 + 0X3+ 2X4+ 3X5 + 0X6 40

4X1 + 4X2 + 5X3+ 0X4+ 2X5 + 0X6 60

3X1 + 4X2 + 5X3+ 6X4+ 7X5 + 8X6 90

S.A.: Horas/hombre

1X1 + 3X2 + 6X3+ 0X4+ 7X5 + 8X6 100

2X1 + 2X2 + 1X3+ 4X4+ 5X5 + 6X6 140

3X1 + 1X2 + 2X3+ 3X4+ 2X5 + 0X6 160

4X1 + 4X2 + 6X3+ 0X4+ 3X5 + 5X6 180

S.A.: DemandaX1 800X2 400 X3 300 X4 200 X5 600 X6 500

𝑋𝑖≥0

Ejemplo 2 : MezclasUna empresa de fertilizantes tiene un contrato de ventas de 6000 Ton. de un producto llamado mezcla 1. Sabemos también que la fabrica produce otros dos tipos de mezclas cuyas químicas son las siguientes:

Mezcla Nitrato (%) Fosfato(%) Potasio(%) Excipiente(%)

M1 5 10 5 80

M2 5 10 10 75

M3 10 10 10 70

La empresa dispone a lo máximo de 1000,1800,1200 Ton. de nitrato, fosfato y potasio respectivamente. El excipiente que es una sustancia liquida para disolver no tiene restricciones. Se conoce además que la utilidad por toneladas de cada producto es:

Mezcla Utilidad ($) por Ton .de cada producto

M1 4

M2 9.25

M3 11.5

Determinar la cantidad de cada producto a fabricar, respetando las proporciones de sus componentes, con respecto a la utilidad.

Xi = Cantidad de Ton. de las mezclas M1, M2, M3. (i = 1,2,3) a producir.

F.O.:

Max Z = $4 X1 + $9.25 X2 + $11.5 X3

S.A.:

X1 6000

0.05X1 + 0.05X2 + 0.10X3 1000

0.10X1 + 0.10X2 + 0.10X3 1800

0.05X1 + 0.10X2 + 0.10X3 1200

𝑋𝑖≥0

Admisible mínimo

Admisible máximo

Ejemplo 3 : InversiónUna asociación de inversionistas tiene $ 1'000,000 solo para invertir en seis tipos de fondos diferentes, que a su vez tienen diferentes rendimiento potenciales y diferentes niveles de riesgo.

CondiciónFONDOS

1 2 3 4 5 6

Precio de acciones 50 70 100 20 40 30

Devolución esperada

40% 30% 26% 25% 15% 10%

Riesgo alto alto alto medio medio bajo

Una forma de controlar el riesgo es redistribuyendo los fondos en diferentes cuentas consecutivamente.

• La cantidad invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 60% - 80% del capital.• La cantidad invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 30% - 40% del capital.• La cantidad invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos 10% del capital.

Otra forma de controlar el riesgo es diversificando la inversión, tal es así que la cantidad invertida en alto, mediano y bajo riesgo debe estar en la razón: 1:2.3; respectivamente.La cantidad invertida en los fondos 4 y 5 deben estar en la razón 1:2.

Estructurar un modelo para maximizar la devolución esperada.

Xi = Cantidad de la devolución esperada de los fondos 1,2,3,4,5,6 ($) (i = 1,2,3,4,5,6) a devolver.

F.O. (INICIAL):

Max Z = 0.40 X1 + 0.30 X2 + 0.26 X3 + 0.25 X4 + 0.15 X5 + 0.10 X6

S.A.: Fondos de alto riesgo

X1 + X2 + X3 600,000

X1 + X2 + X3 800,000

Fondos de mediano riesgo

X4 + X5 300,000

X4 + X5 400,000

Fondos de bajo riesgo

X6 100,000

𝑎𝑙𝑡𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜=

𝑋 1+𝑋 2+𝑋 3𝑋 4+𝑋 5 =

12

𝑎𝑙𝑡𝑜𝑏𝑎𝑗𝑜=

𝑋 1+𝑋 2+𝑋 3𝑋 6 =

13

𝐹𝑜𝑛𝑑𝑜4𝐹𝑜𝑛𝑑𝑜5=

𝑋 4𝑋 5=

12

2X1 + 2X2 + 2X3 - X4 - X5 0

3X1 + 3X2 + 3X3 - X6 0

2X4 - X5 0

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 $ 1'000,000 𝑋𝑖≥0

1'000,000))

F.O. (FINAL):

Max Z = 400,000 X1 + 300,000 X2 + 260,000 X3 + 250,000 X4 + 150,000 X5 + 100,000 X6

S.A.:Fondos de alto riesgo

X1 + X2 + X3 0.6

X1 + X2 + X3 0.8

Fondos de mediano riesgo

X4 + X5 0.3

X4 + X5 0.4

Fondos de bajo riesgo

X6 0.1

2X1 + 2X2 + 2X3 - X4 - X5 0

3X1 + 3X2 + 3X3 - X6 0

2X4 - X5 0

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 1

𝑋𝑖≥0

Ejemplo 4 : TransporteUna empresa de ensamblaje de motos tiene 3 plantas: Trujillo, Chimbote y Lima; con capacidades de producción de :

Trujillo Chimbote LimaMotos / año

300 400 400

Las motos son vendidas en 4 tiendas, y los pedidos en esas tiendas son :

Arequipa Cuzco Piura San Martin Motos/año como mínimo

300 200 250 150

Los costos de transporte por unidad son:

PlantaEn soles

Arequipa Cuzco Piura San Martin

Trujillo 70 120 50 80

Chimbote 70 100 60 90

Lima 80 90 100 120

Planificar el transporte que represente el costo mínimo total

i = numero de plantas de ensamblaje de motosj = numero de tiendasXij = Numero de motos transportadas desde i hacia j (i = 1,2,3) plantas Trujillo, Chimbote y Lima.(j = 1,2,3,4) tiendas Arequipa, Cuzco, Piura y San Martin.

TX11, X12,X13,X14

CH

L

X21, X22,X23,X24

X31, X32,X33,X34

A

PLANTAS TIENDAS

C

P

SM

F.O. :

Min Z = 70X11+ 120X12+50X13+80X14+70X21+100X22+60X23+90X24

+ 80X31+90X32+100X33+120X34

S.A.:Capacidad de producción

X11+ X12+X13+X14 300

X21+ X22+X23+X24 400

X31+ X32+X33+X34 400

Demanda

X11+ X21+X31 300

X12+ X22+X32 200

X13+ X23+X33 250

X14+ X24+X34 150

𝑋𝑖 𝑗≥0

Ejemplo 1

La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A,B,C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150,$210 y $130 por unidad respectivamente.Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (minutos).

Tiempo requeridoMesa 1

Tiempo requeridoMesa 2

Tiempo requeridoMesa 3

Producto 1 10 12 8Producto 2 15 17 9Producto 3 7 7 8Tiempo total disponible por mesa 3300 3500 2900

Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen las utilidad para la compañía.

Xi = Numero de unidades a producir (i = 1,2,3) productos A,B,C

F.O.:

Max Z = $150 X1 + $210 X2 + $130 X3

S.A.:

10X1 + 15X2 + 7X3 3300 minutos

12X1 + 17X2 + 7X3 3500 minutos

8X1 + 9X2 + 8X3 2900 minutosX1 +X2 + X3

Al limite

Costo reducido

Estado de base

Costo o beneficio por

unidad

Contribución total

Valor de la solucion

Lado izquierdo

Lado derecho

Holgura o superávit

Precio sombra

Limite inferior

Limite superior

Ejemplo 2

La junta de directores de PROTRAC observa los datos resumidos en la tabla. Las sumas monetarias de esta tabla están expresadas en miles de dólares. Los directores deben seleccionar una o mas de las alternativas. Si deciden expandir la planta en Bélgica, el valor presente del rendimiento neto para la firma es $400,000. Este proyecto requiere $100,000 de capital en el primer año, $50,000 en el segundo, y así sucesivamente. La junta directiva ha presupuestado con anterioridad hasta $ 500,000 para todas las inversiones de capital en el año 1, hasta $450,000 en el año 2, y así sucesivamente. Formule con un modelo de PLE.Alternativas del Presupuesto del Capital de PROTRAC

ALTERNATIVASCapital requerido en el año por cada alternativa (miles $)

Valor presente del rendimiento neto(miles $)

1 2 3 4 5

Ampliar la planta en Bélgica 400 100 50 200 100 0

Ampliar la capacidad para maquinas pequeñas en EEUU

700 300 200 100 100 100

Establecer una nueva planta en Chile

800 100 200 270 200 100

Ampliar la capacidad para maquinas grandes en EEUU

1000 200 100 400 200 200

Capital disponible cada año 500 450 700 400 300

Xi = Numero de alternativas a presupuestar y evaluar (i = 1,2,3,4) alternativas

F.O.:

Max Z = $400 X1 + $700 X2 + $800 X3+ $1000 X4

S.A.:

100X1 + 300X2 + 100X3+ 200X4 $500

50X1 + 200X2 + 200X3+ 100X4 $450

200X1 + 100X2 + 270X3+ 400X4 $700

100X1 + 100X2 + 200X3+ 200X4 $400

0X1 + 100X2 + 100X3+ 200X4 $300X1 +X2 + X3 + X4

METODO DE SOLUCION GRAFICA

1. Graficar las restricciones

2. Determinar la región factible (Intersección de las restricciones)

3. Graficar la Función Objetivo

4. Ubicar el punto Optimo

5. Generar respuestas. (X1 ; X2)

1.Max Z=7X1 + 5X2

sa.: 3X1 + X2 450 X1 120 X2 220

2.Min Z=8X1 + 10X2

sa.: 2X1 + 2X2 80 6X1 + 2X2 120 4X1 + 12X2 240

1.Max Z=5X1 - 10X2

sa.: 12X1 + 26X2 780 2X1 + X2 50 6X1 + 9X2 540

EJEMPLOS

METODO DE SOLUCION GRAFICA

1.Max Z=20X1 + 40X2

sa.: 2X1 + 4X2 100 X1 0.6(X1+X2)

2.Min Z=4X1 + X2

sa.: 3X1 + X2 3 4X1 + 3X2 6 X1 + 2X2 3

3.Max Z=4000X1 - 9000X2

sa.: 15X1 - 20X2 100 3X1 + 4X2 8

LABORATORIO II

4.Min Z=X1 + X2

sa.: 5X1 + 10X2 40 12X1 + 10X2 60 8X1 + 5X2 40

5.Min Z=3X1 + 5X2

sa.: X1 + 3X2 48 2X1 + 7X2 21 3X1 + 1X2 15

ANALISIS DE SENSIBILIDAD LINDO

REPORTE LINDO

Valor optimo de la función objetivo

Solución optima de la variables

Holguras y precios duales

N° variables

Análisis de sensibilidad

Análisis de los rangos de función objetivo

Análisis de los rangos de las restricciones

Holguras y precios duales

Restricciones de gasolina: holgura = 0 ; agotamos los 1260 barriles disponibles

Restricciones de turbosina: holgura = 0 ; agotamos los 900 barriles disponibles

Restricciones de queroseno: holgura = 480 mil barriles ; estamos utilizando 480 mil barriles más de lo permitido

Precio dual de restricción por barril de gasolina es -50.909292

Precio dual de restricción del queroseno por barril es = 0 , nada va a cambiar si relajamos la restricción por unidades menos de su holgura 480 mil barriles

Precio dual de restricción por barril de turbosina es -11.616161

El signo “ – ” en el precio dual significa que el valor de la función objetivo va a aumentar en un problema de minimización.

Análisis de los rangos de función objetivo

Coeficientes actuales de la función objetivo

Cantidad máxima en que los coeficientes de la función objetivo se pueden aumentar sin variar la solución optima de la variable

Cantidad máxima en que los coeficientes de la función objetivo se pueden disminuir sin variar la solución optima de la variable

Dentro de los rangos especificados, los cambios en uno de los coeficientes objetivo no alteran la solución optima de las variables (XL , XP), pero si harán variar el valor final de la función objetivo (mínimo costo total)

Análisis de los rangos de las restricciones

Valores actuales (términos independientes) situados a la derecha de la desigualdad de cada restricción.

Cantidad máxima en que los términos independientes de cada restricción se pueden aumentar

Cantidad máxima en que los términos independientes de cada restricción se pueden disminuir

Estas columnas determinan la cantidad máxima en que podemos aumentar / disminuir los términos independientes, sin variar los valores de los precios reducidos y los precios duales.

El valor INFINITY significa que ningún cambio en la cantidad en le lado derecho de la desigualdad de una restricción afectara los valores de los precios duales ni los valores de los precios reducidos.

Problema propuesto