UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y QUIMICAS

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

INVESTIGACION DE ESTRUCTURAS 2

TEMA:

METODO DE LAS DEFORMACIONES

METODO PENDIENTE - DEFLEXION

ALUMNO:

MARIO VERGARA ALCIVAR

DOCENTE:

ING. JORGE PALACIOS

CURSO:

7MO “C”

SEMESTRE:

OCTUBRE 2014 – FEBRERO 2015

ANTECEDENTES:

Desde los comienzos de la humanidad, la ingeniería estructural ha estado ligada a su historia. Pero sólo fue hasta mediado del siglo XVII que los ingenieros empezaron a aplicar los conocimientos de la mecánica, en el análisis y diseño de estructuras y máquinas. Las primeras máquinas simples como el plano inclinado, la rueda, la polea, el tornillo y la cuña sirvieron para construir algunas de las magníficas estructuras antiguas. Podemos distinguir algunos períodos importantes de esta historia y en ellos algunos pueblos, construcciones, personajes y descubrimientos importantes.

G.A. MANEY desarrollo el método de la pendiente deflexión que se considera como el método precursor del método matricial de las rigideces.

OBJETIVOS:

GENERAL

Conocer el método de las deformaciones y el método pendiente – deflexión.

ESPECIFICOS

Analizar sus métodos de planteo.

Establecer las ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión

METODO PENDIENTE DEFLEXION

En el análisis de estructuras hiperestáticas, los desplazamientos pueden utilizarse como incógnitas y se les conoce como método de los desplazamientos. De estos métodos, uno de los importantes es el pendiente deflexión.

Este método se basa en la determinación de las rotaciones y desplazamientos de los diferentes nudos, a partir de los cuales se obtienen los momentos en los extremos de cada barra.

Planteamiento del método.

1) Se plantean los momentos de barra sobre apoyo en los extremos de cada miembro de la estructura utilizando las ecuaciones del método pendiente-deflexión. Estos momentos quedan expresados en términos de las rotaciones θ en los extremos y de los desplazamientos lineales relativos ∆ entre los dos extremos de cada miembro.

2) Planteamos una ecuación de equilibrio que nos da un sistema de ecuaciones de un número igual a los grados de libertad de la estructura. Su resolución permite calcular los valores de las rotaciones en los extremos y de los desplazamientos relativos.

3) Se calculan los momentos finales sustituyendo los valores de θ y de ∆, obtenidos en el paso anterior, en los momentos planteados en el a.

Ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión

Consideremos un elemento aislado de una viga o pórtico (FIG. 12-1). El elemento esta deformado con rotaciones en los extremos θa y θb, una traslación relativa entre a y b. Los momentos en los extremos los llamaremos Mab y Mba están relacionados con las deformaciones elásticas en ambos extremos asi como la carga en el vano ab. Donde f y g son funciones distintas.

Mab = f(θa, θb, ∆, carga sobre la luz)

Mba = g(θa, θb, ∆, carga sobre la luz)

Para encontrar las expresiones de estas ecuaciones establecemos el siguiente convenio de signos:

1) El momento que actúa en el extremo de una barra es positivo si tiene sentido horario.

2) La rotación en el extremo de una barra es positiva cuando la tangente a la curva deformada, en su extremo, gira en el sentido horario desde su posición inicial.

3) La traslación relativa entre los extremos de una barra es positiva cuando corresponde a una rotación de la barra en sentido horario.

Ahora refirámonos la FIG. 12-1 y observemos que los momentos en los extremos Mab y Mba pueden considerarse como la suma algebraica de cuatro efectos distintos:

1) El momento debido a la rotación θa del extremo a, mientras el otro extremo esta empotrado.

2) El momento debido a la rotación θb del extremo b, mientras el extremo a esta fijo.

3) El momento debido a la traslación relativa ∆ entre los dos extremos de la barra sin alterar las pendientes o tangentes existentes en los extremos.

4) El momento producido al aplicar las cargas actuantes sobre el vano sin alterar las deformaciones existentes en los extremos.

1. Considérese la barra ab soportada como se indica en la FIG. 12-12(a). La línea de trazos representa la barra deformada. Obsérvese que el extremo a gira un ángulo θa mientras que el extremo b esta fijo (θb = 0); no hay desplazamiento relativo entre los extremos a y b (∆=0). Los correspondientes momentos en los extremos a y b, que representamos respectivamente por M’ab y M’ba pueden obtenerse fácilmente por el método de la viga conjugada, como se indica en la FIG. 12-2(b), con el diagrama de momentos divididos por EI como carga elástica y con θa

como reacción, de tal manera que la fuerza cortante positiva de la viga conjugada de la pendiente positiva buscada de la viga real. De las condiciones de equilibrio:

∑Ma=0(M ' abl2 EI )( l3 )−(M ' bal

2EI )( 213 )=0 (12-3)

∑Mb=0 (θal )−(M ' abl2EI )( 21

3 )+(M ' bal2 EI )( l3 )=0 (12-4)

Sustituyendo la EC. 12-5 en la Ec. 12-4 se obtiene

M 'ab=4 EIθal

(12-6)

Así como

M 'ba=2EIθal

(12-7)

2. Considérese la barra ab soportada y deformada como se indica en la FIG. 12-3, en donde el extremo b ha rotado un ángulo θb y el extremo a esta fijo. El momento correspondiente en el extremo b, al que llamaremos M’’ba, y el momento en a, M’’ab, se obtiene en forma similar:

M ' 'ab=12M ' ' ba (12-8)

M ' 'ab=2 EIθbl

(12-9)

M ' 'ba= 4 EIθbl

(12-10)

3. Para encontrarlos momentos que aparecen en los extremos debidos a una traslación pura o desviación ∆ entre los dos extremos sin rotación en los mismos, consideremos las viga empotrada en sus extremos de la FIG. 12-4(a). Debido a la simetría de la deformación con respecto al punto central de la barra, los dos momentos en los extremos deben ser iguales.

Así pues, si llamamos M’’ab y M’’ba a los momentos en los extremos a y b respectivamente, tendremos:

M’’ab=M’’ba=-M

El signo negativo indica que M’’’ab y M’’’ba tienen sentido antihorario. El valor de M puede obtenerse por el método de la viga conjugada como se indica en la FIG. 12-4(b). Obsérvese que, además de las cargas elásticas distribuidas del diagrama M/EI, actúa un par o momento en el extremo b igual a ∆, correspondiente a la desviación en b de la viga real. De ∑ M=0 tenemos:

( Ml2EI )( l3 )−∆=0

M=6 EI ∆

l2

Así, pues, los momentos en los extremos de una barra, debidos a un puro desplazamiento relativo están dados por

M ' ' ' ab=M ' 'ba=−6 EI ∆

l2 (12-11)

4. Finalmente, los momentos que aparecen en los extremos de una barra sin causar deformaciones en los extremos, cuando se aplican las cargas externas sobre el vano, no son otra cosa que los momentos de empotramiento perfecto, designados corriente por MF

ab Y MFba .

Mab=M’ab+M’’ab+M’’’ab±MFab

Mba=M’ba+M’’ba+M’’’ba±MFba

Aplicando las Ecu. 12-6, 12-7, 12-9, 12-10, 12-11, obtenemos

Mab= 4 EIθal

+ 2EIθbl

−6 EI ∆

l2±MF ab

Mba= 2EIθal

+ 4 EIθbl

−6 EI ∆

l2±MFba

Ordenando las expresiones anteriores se obtiene:

Mab=2 EIl (2θa+θb−3

∆l )±MFab (12-12)

Mba= 2 EIl (2θb+θa−3

∆l )±MFba (12-13)

Que son las ecuaciones fundamentales de pendiente-deflexión para una barra deformada de sección uniforme. Las ecuaciones expresan los momentos en los extremos Mab y Mba en función de las pendientes en los extremos (θa, θb), la traslación relativa o desviación (∆), entre los dos extremos, y la carga libre la luz ab. Si hacemos:

Il=K ∆

l=R

Siendo K el factor de rigidez de la barra y R la rotación de la barra, las ecuaciones se convierten en:

Mab=2 EK (2θa+θb−3R )±MF ab (12-14)

Mba= 2 EK (2θb+θa−3R )±MFba (12-15)

Los signos y los valores de MFab Y MF

ba dependen de las condiciones de carga en el vano ab. Si la barra ab no soporta ninguna carga, MF

ab= MFba= 0.

En la tabla 12-1 se indican los valores de los momentos de empotramiento en una barra recta con EI constante, debido a los tipos más usuales de cargas.

METODO DE LAS DEFORMACIONES.

También llamado “Método de las rigideces”, plantea una estructura en la que se satisfagan las condiciones de compatibilidad geométrica, aunque no se cumplan las condiciones de equilibrio. Estas últimas se logran en una segunda etapa introduciendo fuerzas correctivas que no alteren las condiciones de continuidad geométrica.

Planteamiento general del método de las deformaciones.

1. La estructura original hiperestática se transforma en otra cuyos desplazamientos sean conocidos; la forma más sencilla es plantear que los nudos no giren y no tengan desplazamientos lineales. La estructura transformada tiene continuidad geométrica, pero no cumple las condiciones de equilibrio estático.

2. Se plantean las ecuaciones de equilibrio estático en los nudos de la estructura y en la estructura en su conjunto, y se determinan los desequilibrios que resulten.

3. Se aplican deformaciones arbitrarias en los nudos que están en desequilibrio y se calculan las acciones que producen estas deformaciones en la estructura.

4. Se calculan los valores que deben tener las deformaciones aplicadas en los nudos para corregir todos los desequilibrios en el paso 2.

5. Se calculan los valores de las acciones que corresponden a las deformaciones determinadas en el paso anterior.

6. Se calculan las acciones finales sumando las de los pasos 1 y 5.

ANALISIS DE VIGAS HIPERESTATICAS POR EL METODO DE LAS DEFORMACIONES

En el siguiente ejemplo suponemos que la deformación por flexión es la única importante.

Puede considerarse como sobrante una de las reacciones. Escojamos en este caso la reacción en el apoyo b como hiperestática actuando hacia abajo, como se indica en la FIG. 9-2(b). Si aplicamos el principio de supersicion, podemos considerar la viga sometida a la suma de los efectos de la carga uniforme inicial y la hiperestática Xb como se indica en la FIG. 9-2(c) y (d) respectivamente.

Ahora calculamos la flecha en b debida a la carga uniforme cuya expresión es FIG.9-2(c):

∆ 'b= w l4

8EI

La FIG. 9-2(e) representa el diagrama de momentos de la viga.

y la producida en b por una carga unitaria aplicada en el mismo punto cuya expresión es FIG. 9-2(d).

δbb= l3

3 EI

Aplicando la ecuación de compatibilidad

∆b=∆’b+ δbbXb=0

Obtenemos w l4

8 EI+( l33 EI )xb=0

De donde Xb=−3wl

8

El signo menos indica que la reacción va hacia arriba.

Una vez determinada la reacción en b, se observa que la viga se reduce a una estáticamente determinada. Las componentes de la reacción en a pueden determinarse ahora mediante las ecuaciones de equilibrio:

∑Fy=0V 4=wl−38wl=5

8wl (Hacia arriba)

∑Ma=Ma=12w l2−3

8w l2=1

8w l2 (Sentido antihorario)

CONCLUSION:

El método de las deformaciones junto con el método de las fuerzas son los métodos clásicos para resolver estructuras hiperestáticas.

El método pendiente-deflexión se fundamenta en un análisis de desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en función de las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones son solucionadas para obtener los valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los valores de fuerzas internas son determinados.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Teoría Elemental de Estructuras – Yuan Yu Hsieh

Análisis Estructural – González Cuevas

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN:

Ya vimos la forma general del método de la rigidez aplicado a modelos con resortes los cuales resultaban ser simplificaciones de las estructuras reales.  En los modelos con resortes expresábamos las ecuaciones de relación fuerza deformación simplemente como F=kΔ y como eran resortes estas deformaciones correspondían a alargamientos o acortamientos de los elementos.

Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento.

Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres.  Estas ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las luces.  Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las cargas actuantes en la luz.  Una vez planteados estos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los momentos de empotramiento debidos a las cargas.  Podemos expresar estos momentos como unos valores de rigidez de los elementos por cada uno de los movimientos, lo cual se muestra en el siguiente capitulo.

PLANTEAMIENTO DE LAS RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

                      

Para plantear alguna ecuación en este tipo de viga tendríamos que tener algún grado de libertad libre y aquí no lo hay, entonces que tal si liberamos un grado de libertad y planteamos que sucede con las reacciones en los extremos.

 -

 

de donde         

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A

 

     

 

    y          

note que el hecho de liberar el extremo A produce un momento de reacción en B.

Se aplica lo mismo para el extremo B

Lo que hemos encontrado aquí no es mas que la rigidez del elemento a un movimiento de extremo, o sea el valor de k.

En el caso de tener un desplazamiento en uno de los extremos, o sea liberar el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical, tendríamos:

 

donde ΔB  corresponde a un desplazamiento perpendicular al elemento.

Podríamos definir una ecuación que contenga todos estos desplazamientos para hallar el momento de extremo de un elemento:

esta ecuación me esta asociando cada uno de los movimientos de extremo con el momento producido.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO:

Para encontrar los momentos que se producen en los apoyos cuando tenemos un elemento totalmente empotrado aplicamos el método de las fuerzas :

Con estos planteamos las ecuaciones de compatibilidad y podemos encontrar las reacciones.  La solución se presentará en clase.

 

 

donde simplemente volvemos a expresar las rigideces de los elementos en forma matricial.

De aquí se pueden encontrar los momentos de empotramiento perfecto en función de los giros de extremo de los elementos estáticos.

Estos momentos de empotramiento se denominan MEP y son característicos para cada tipo de carga.

En el estado en que estamos tenemos ya unas ecuaciones de relación fuerza desplazamiento  resueltas en función de los giros de extremo de los elementos y unas ecuaciones de MEP.

Los pasos del método de rigidez vistos contemplan plantear las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres, plantear las ecuaciones de compatibilidad donde se expresan los desplazamientos de los elementos en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura y plantear las ecuaciones de relación fuerza desplazamiento.

Una vez tenidas estas ecuaciones se debe expresar la fuerzas de los elementos en función de de los desplazamientos de los grados de libertad libres y pasar a reemplazarlas en las de equilibrio.

Lo que vamos a hacer es considerar un elemento totalmente empotrado, a este elemento le conocemos F=kΔ y también los MEP. Podemos decir que los momentos totales de extremo están dados por:

Esta ecuación se puede interpretar que se parte de elementos totalmente empotrados y se irán soltando sus grados de libertad de los extremos y se modifican sus momentos de extremos por estos desplazamientos o giros.

Lo mismo se puede expresar en el extremo B.

Conocidos los momentos de extremo de los elementos procedemos a aplicar el equilibrio en los nudos

esta ecuación queda definida en función de los desplazamientos de la estructura los cuales constituyen las incógnitas a despejar en el método de la rigidez.

EJEMPLOS A RESOLVER:

Escribiremos aquí los momentos de empotramiento perfecto para dos tipos de carga comunes:

 

Recuerde que estos momentos se encontraron con el método de las fuerzas. 

1. Ejemplo de una viga estáticamente indeterminada:

Se determina el numero de elementos y se reconocen los grados de libertad de toda la estructura.  En este caso tenemos rotación en A, rotación en B y rotación y desplazamiento en C. (θa,θb,θc y Δc)

El método parte de plantear las ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres.

A.  Ecuaciones de equilibrio:

 Nudo A:

Nudo B

Nudo C

 

Para facilitar las ecuaciones a solucionar y en vista que las ecuaciones de pendiente deflexión están en función de los momentos de extremo, cuando en las ecuaciones de equilibrio se involucren fuerzas cortantes estas se expresan en función de los momentos de extremo por medio de la estática en el elemento.  En este caso ese cortante en C se expresa así:

 

esta constituye la última ecuación de equilibrio.

 B. Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones:

Los giros propios de los elementos los expresamos como Φ.  Podemos observar que el giro de los elementos, Φ, es igual al giro θ de los grados de libertad externos de la estructura. Entonces las ecuaciones de compatibilidad son:

Note que el desplazamiento en c se puede expresar en función del grado de libertad de rotación en b, esta relación facilita la solución de las ecuaciones simultaneas al disminuir una de las incógnitas. 

C. Ecuaciones de relación fuerza desplazamiento

Este tipo de ecuaciones está planteado en las ecuaciones de pendiente deflexión donde expresamos los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos de los extremos de los elementos, observe que aquí también se incluyen las ecuaciones de compatibilidad.

 

 

 

 Luego para el método de la rigidez se reemplazan las ecuaciones del numeral C en las ecuaciones de equilibrio y se resuelve para los desplazamientos.

   

 

de la viga sabemos que  , entonces (aunque no hubiéramos planteado esta solución ella debe salir de estas ecuaciones):

 

 

de la ultima ecuación vemos que se cumple mcb=0

 resolviendo simultáneamente la primera y la segunda ecuación tenemos:

 

 

 

 

en la metodología general estos valores de rotación se reemplazan en las ecuaciones del numeral C y se encuentran los momentos, en este caso como la viga era estáticamente determinada, los momentos salían directamente Mab=0 y Mba=0, confirmando de esta manera que las ecuaciones de pendiente deflexión funcionan bien para todo tipo de estructura.

Por último se debe presentar el diagrama de momentos.

Se puede presentar una solución matricial en este método.

Se resolverán en clase ejercicios de pórticos con desplazamiento lateral y miembros inclinados y la solución matricial.