investigacion operativa 1

Programación lineal:

Postulados básicos

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial

2015-0

MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez DíazMSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz

¿Quién podrá ayudarme?

¿Cuántas hectáreas de cada verdura debo cultivar para gastar lo mínimo y maximizar los ingresos de mi cosecha?


Naturaleza de la Investigación Operativa

También llamada, Ciencia de la Administración o Management Science .Data de la segunda guerra mundial, pero por sus aplicaciones, se dice que su impacto social es amplio Las aplicaciones de la Investigación de Operaciones, van desde el aspecto laboral hasta el plano criminal, pasando por el de polución y de la segregación racial.


Orígenes

Primera revolución industrial, se trajo consigo el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos .Segmentación funcional y geográfica de la administración.Durante la segunda guerra mundial existían grupos especialistas ( matemáticos, físicos, psicólogos, ingenieros, etc.) Por el año de 1941 se establece una sección de Operations Research en la RAF Al finalizar la Gran Guerra, un grupo de ellos se dedicó a la industria y al gobierno; empezando a aparecer la palabra IO para designar a aquellos científicos que se preocupaban por dar solución a los problemas que aparecían en la administración


Objetivos de la Investigación Operativa

El objetivo más importante de la aplicación de la Investigación Operativa es apoyar en la “toma óptima de decisiones” en los sistemas y en la planificación de sus actividades.Para hallar la solución, la Investigación Operativa generalmente representa el problema como un modelo matemático, que es analizado y evaluado previamente.


Características de la I.O

Enfoque de sistema. considera a los sistemas tomados en conjuntos y no en sus partes individuales



El uso del equipo interdisciplinario, es indispensable, cuando nos encontramos ante una situación compleja, como lo es el sistema de la organización hombre-máquina.



La adopción del método científico , automáticamente se relaciona con el método de la experimentación; realmente sería muy costoso que el investigador de operaciones experimentara sus decisiones y por otro lado las consecuencias fatales que traería una mala decisión dentro de una empresa


Modelos en la I.O

SimbólicosMatemáticos Ello radica en la facilidad que se consigue de expresar las relaciones de causa-efecto de un sistema La formulación de hipótesis, no es otra cosa que la construcción de un modelo matemático y la predicción del comportamiento del sistema, la obtención de la solución del mismo


Condiciones de un modelos en I.O

Variables de decisión y parámetros.- Las variables de decisión son las variables no conocidas y que deben de ser determinadas en el modelo. Los parámetros representan la variables controlables.Restricciones.- Están representadas por las limitaciones físicas del sistema; el modelo incluye restricciones para limitar el valor de la variable de decisión. Funciones objetivo.- Define la medida de efectividad del sistema en función de las variables de decisión.


Diagrama del Modelo de la I.O

VARIABLES

DECISION

VARIABLES

INCONTROLABLESEFECTIVIDAD

MEDIDAS DE


Fases de un Estudio de Inv.Operativa

Formulación del problema Construcción del modelo Solución del modelo Validación del modelo Control del modelo Implantación del modelo


Fases de un Estudio de Inv.Operativa

PONER LA

SOLUCION A

TRABAJAR: EJECUCION

ESTABLECIMIENTO

DE CONTROLES

SOBRE LA SOLUCION

PRUEBA DEL

MODELO Y

DE LA SOLUCION

DEDUCCION DE

UNA SOLUCION

A PARTIR DEL MODELO

CONSTRUCCION DE UN

MODELO PARA

REPRESENTAR EL SISTEMA

FORMULACION

DEL

PROBLEMA


Validez de un modelo de Inv. Operativa

Se dice que un modelo es válido cuando representa la realidad de una manera adecuada; siendo para ello necesario: Comprobar con la data histórica el rendimiento del sistema real y el del ofrecido por el modelo. Comprobar el rendimiento del sistema en funcionamiento (sin cambios) y el del modelo.

“Un modelo es construido en base a parámetros y restricciones que con el transcurso del tiempo pueden cambiar”


SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELSISTEMA REAL

SISTEMAREAL

SOLUCIÓNAL MODELO

MODELOCUANTITATIVO

SISTEMA ASUMIDO

JUICIOS YEXPERIENCIAS

VARIABLESRELEVANTES

RELACIONESRELEVANTES

MÉTODODE SOLUCIÓN

INTERPRETACIÓNDECISIONES

Validez de un Estudio de Inv.Operativa


El impacto de la Investigación Operativa

Las aplicaciones de la investigación de operaciones han llegado diversos campos como:

Finanzas. Cadenas de abastecimiento. Localización de facilidades. Manufactura. Construcción y mantenimiento. Mercados. Personal Desarrollo e investigación.


Ventajas de la Inv. Operativa

En general, ayudan a tomar 2 tipos de decisiones : Decisiones estratégicas.- Es una decisión de una sola vez, que involucra políticas con consecuencias a largo plazo para la organización.Se consideran decisiones importantes, considera la incertidumbre y escoge entre varias alternativas.

Decisiones Operacionales.- Es una decisión que implica cuestiones de planeación a corto plazo que generalmente deben hacerse repetidamente.Se consideran decisiones de menor importancia y frecuentes por ser dadas para el corto plazo. Ignoran la incertidumbre y no evita barajear alternativas nuevas.


Ventajas de la Inv. Operativa

Método de determinación de la mejor forma de

lograr un objetivo

Por la forma de evaluar el impacto de un nuevo sistema

sin el costo ni el tiempo de llevarlo a cabo

Permite evaluar la fortaleza de la solución

óptima (problemas de sensibilidad)


Limitaciones de la Inv. Operativa

Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución.

La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.

Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.


Limitaciones de la Inv. Operativa

Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.


Conclusiones

Los problemas complicados del mundo real no suelen tener solución óptima

No se debe permitir que el modelo tome las decisiones sin analizar los resultados

El modelo de optimización produce la respuesta óptima al problema matemático propuesto por el modelo, que puede no ser una buena respuesta para el problema real

Óptimo significa grandes esperanzas de buena decisión, pero no certeza


La programación Lineal PL


2015-0


La programación lineal o PL, tiene el propósito de construir modelos a una amplia clase de problemas de decisión; siendo muy solicitados en la industria, el gobierno, la economía y la ingeniería.

Conceptos


Un programa lineal es aquel en el cual la función objetivo es lineal y las restricciones están dadas por un conjunto de ecuaciones e inecuaciones también lineales.

Definicion de un PL


George B. Dantzig, es considerado como el padre de la programación lineal.

La PL descansa en 4 supuestos, los que son:

La proporcionalidad.La aditividadLa divisibilidad.La certeza.

Postulados básicos


La proporcionalidad.Así, cuando en el Dpto. de corte se utilizan 3 horas-hombre para procesar una mesa, entonces para la actividad k se tiene 3k como el tiempo total para cortar toda la producción de mesas.

Postulados básicos

xcx

c

mesa

mesa

1

11


La aditividad.Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.

Postulados básicos

2211

22

11

xcxc

cx

cx

sillas

mesas


La divisibilidad.Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.

X1 = 50 carpetas

X2 = 25.32 escritorios ← ACEPTABLE

X3 = - 12 mesas ¿?

Postulados básicos


La certeza.Esta dado por la confianza que dará el resultado de elaborar un PL.

Postulados básicos


¿Qué pasaría, si en vez de sumarse las variables, por ejemplo se multiplicarán? Estaríamos ante el dominio de la programación no lineal. Este es un campo fértil, en nuestros días actuales.

Considerar lo siguiente:

Postulados básicos


Postulados básicos

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5


La solución a un PL es resultado de la manipulación de un sistema de ecuaciones lineales; por tanto, las unidades de las actividades pueden dividirse en niveles fraccionarios, de modo que pueden permitirse valores no enteros para las variables de decisión.

Muchos problemas de PL obtienen valores enteros, porque sus estructuras se ajustan al principio de la unimodularidad.

Postulados básicos


Estructura general de un modelo PL

jx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

asujeto

xcxcxczMax

j

mnmnmm

nn

nn

n

0

+

+

+

+

2211

22222121

11212111

n2211



nxcxcxczMax n2211 +

Donde el vector c también conocido como el vector costos, viene dado por:

nn ccccc 121



El vector de la mano derecha o b, viene dado por:

m

m

b

b

b

b

b

1

2

1

Este es un vector columna, que representa los recursos de las m actividades.

Es por lo tanto el elemento de la mano derecha de cada una de las m ecuaciones.



La matriz A, representa los coeficiente tecnológicos; es la matriz para el sistema de ecuaciones Ax = b:

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

,2,1,

22221

12111


Soluciones básicas

Sea una matriz A de m x n; es decir se consideran m ecuaciones y n incógnitas. El sistema de ecuaciones:

Ax = b

origina la matriz aumentada (A, b) con m filas y (n+1) columnas.

Cuando el rango ( A , b)= rango ( A) = k, entones se puede escribir :

( , )A bA b

A b

1 1

2 2


Soluciones básicas

Con A1 de orden k x n y A2 de orden (m-k) x n;

satisfaciendo:

A1x = b1

donde el sistema A2x = b2 es redundante.

Puesto que el rango ( A1) = k, entonces seleccionando k

columnas linealmente independientes, se tiene :

A1 = (B,N)

Donde B es una matriz no singular de orden k x k ( llamada matriz básica ) y N de orden n x (n-k) (matriz no básica). El sistema queda expresado A1x = b1


Puntos extremos y solución básica

Sea una x BFS (una solución básica factible) a las restricciones:

Ax = b

Luego, la matriz A, se descompone en (B,N) y x en (xB,xN); siendo la solución desde BxB = b; igual :

xB = B-1b, xN = 0


Existencia de una solución básica factible

Si un PL con restricciones no redundantes, tiene solución factible (dado que la restricción es ser las variables no negativas); entonces tiene solución básica factible.


Ejemplo

Sea el PL:

Ax = b

x 0

Donde A es de orden m x n, por ejemplo :

2 1 1 0

1 1 0 1

40

40

1

2

3

4

x

x

x

x


Formato canónico de un PL

Min Max

sa.

sa.

Canónica

sa.

sa.

Estándar

Min CXZ

0X

AX

b

Max CXZ

0X

AX

b

Min CXZ

0X

AX

b

Max CXZ

0X

AX

b


Ventajas de un PL

Resultan más fáciles de definir y formular. Permiten trabajar de manera eficiente con mayor número de variables de decisión.

Se adaptan mejor al tratamiento algorítmico con computadores, aprovechando la rapidez de cálculo de éstos.

Formulación de problemas en PL


2015-0

Introducción.Introducción.

El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos.

IntroducciónIntroducción

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones.

Elementos de un modelo de Elementos de un modelo de optimizaciónoptimización

Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.


Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:

• 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60• 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55• 3 mesas, utilidad de U$60• 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65• 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70• etc.


Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:

i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,

x: número de sillas elaboradas.

y: número de mesas elaboradas.


ii) La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y


iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2x + 2y 8Piezas grandes : x + 2y 6También se impone restricciones de no – negatividad:

x,y 0


En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y 8

x + 2y 6x,y 0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.

Un programa lineal puede formularse de muy diferentes formas, pero dentro de la Programación Lineal se adopta como estándar la siguiente:

Formulación de problemas en PL

0x

bAx

cx

:sa

zMax

Definición de Variables Coeficientes de costos (o de utilidades) Función Objetivo (F.O) Término independiente o del lado derecho (recursos o requerimientos) Coeficientes tecnológicos Restricciones funcionales Restricciones de signo de las variables

Etapas en la Formulación de problemas en PL

Alguno de los tipos de problemas que se pueden formular son:

Planeación de la producción e inventarios Mezcla de Alimentos Transporte y asignación Planeación financiera Mercadotecnia Asignación de recursos

Usos de los PL

Considere la producción de 3 artículos; cada uno produciendo una ganancia unidades monetarias por unidad. Los artículos hacen uso de los recursos de dos departamentos; siendo los tiempos estándares consumidos por cada artículo por departamento:

Mezcla de productos...

Artículo Ganancia Dpto. 1 Dpto. 21 c1 a11 a21

2 c2 a12 a22

3 c3 a13 a23

Si existen un total de tiempos disponibles de b1 y

b2, respectivamente por los departamentos 1 y 2.

¿Cuál es la mejor decisión, con la finalidad de optimizar la ganancia total?

...Mezcla de productos

Artículo Ganancia Dpto. 1 Dpto. 21 c1 a11 a21

2 c2 a12 a22

3 c3 a13 a23

Analizando:

¿Cuál es el objetivo de la modelación?

¿Como queremos maximizar la ganancia total ?

Mediante el producto de la cantidad de unidades por cada artículo

Entonces nuestras variables de decisión, corresponden al número de unidades a producir por cada artículo.

Solución

Sea; xj la cantida de unidades a producir para el articulo j entonces la FO (función objetivo), expresará la maximización de la ganancia total; producto de la contribución de cada uno de los artículos, de la sgte manera:

Solución

332211Max xcxcxcz

Para la producción de las unidades expresadas en las variables de decisiones; se hace necesario, balancear el uso de los recursos de cada Dpto., con su disponibilidad; así se tiene que para cada departamento :

Departamento 1:

Solución

1313212111 bxaxaxa

Departamento 2:2323222121 bxaxaxa

3,2,1 ,0 jx j

El modelo de PL, completo se presenta a continuación:

Solución

3,2,1 ,

:sa

Max

2323222121

1313212111

332211

jx

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

j

En una fábrica de muebles se producen dos tipos: mesa y silla, adicionalmente la empresa dispone de 2 áreas en su planta: Corte y acabado.

Ejercicios

Para producir una mesa se requiere de 2hr y 1hr en las áreas respectivas. Para la producción de una silla se requiere de 1.5 hr. y 0.5 hr. en las diferentes áreas. Adicionalmente se sabe que la mesa da una utilidad de S / 10.00 y la silla S /. 8.00 ¿Qué cantidad de muebles se debe producir?, si se sabe que la capacidad de producción en el área de corte y acabado es de 80hr y 60 hr. respectivamente.

Ejercicios

Solución

Elaborando la tabla:

SecciónCorte(Hr)

SecciónAcabado(Hr)

Utilidad unit.(s.)

Mesas 2.0 1.0 10.0

Sillas 1.5 0.5 8.0

Cap. Prod. 80.0 60.0

Solución

Sección de

Corte

Sección de

Acabado

X1

X2

Mesa

Silla

80 hr. 60 hr.

Solución

SecciónCorte(Hr)

SecciónAcabado(Hr)

Utilidad unit.(s.)

Mesas 2.0 1.0 10.0Sillas 1.5 0.5 8.0Cap. Prod. 80.0 60.0

Mesa 2X1 + 1.5X2 < 80Silla 1X1 + 0.5X2 < 60

Función Objetivo: Max Z = 10X1 + 8X2

Solución

El PL queda de la siguiente manera:

Max Z = 10X1 + 8X2

s.a: 2X1 + 1.5X2 < 80

1X1 + 0.5X2 < 60 X1,X2 > 0

Ejercicio

Se fabrica mesas y sillas. Para una mesa se necesitan 40 pies tabla de madera, y para una silla 30 pies tabla. Se puede conseguir la madera a 1 dólar el pie tabla, y se pueden comprar 40000 pies tabla. Se necesitan 2 horas de trabajo especializado para producir una mesa y una silla sin acabado. Tres horas mas de trabajo especializado convertirán una mesa sin acabar, en una mesa acabada, y se necesitan 2 horas de trabajo especializado para acabar una silla. Se disponen de 6000 horas para cada trabajo especializado (que ya se han pagado).

Todos los muebles producidos se pueden vender a los siguientes precios unitarios: una mesa sin acabar, 70 dólares; una mesa acabada, 140 dólares; una silla sin acabar, 60 dólares; y una silla acabada, 110 dólares. Formule un programa lineal que maximice la ganancia de la producción de mesas y sillas.

Ejercicio

Todos los muebles producidos se pueden vender a los siguientes precios unitarios: una mesa sin acabar, 70 dólares; una mesa acabada, 140 dólares; una silla sin acabar, 60 dólares; y una silla acabada, 110 dólares. Formule un programa lineal que maximice la ganancia de la producción de mesas y sillas.

Solución

Colocando los Datos:

Mesas 40 US$.1 2 70 3 140Sillas 30 US$.1 2 60 2 110

Requerimientos xpies-tabla de madera

Productos Tiempo (hr.)/Precios US$Sin acabar Acabado

Costo x pie-tablar

Solución

Variable de decisión:

Xij = Cantidad de unidades del producto i que

esta en el proceso j

i = 1 => mesa

i = 2 => silla

j =1 => sin acabar

j = 2 => acabado.

Solución

Función Objetivo:

MAX Z = HI – E

Max Z = 70X11 + 60X21+140X12+110X22-40(X11+X12)-

30(X21+X22)

Max Z = 30X11 +100X12+30X21+80X22

Solución a) Restricciones:

RR de insumos: 40(X11+X12)+30(X21+X22)<=40000

RR de capacidad sección acabado

2X11+2X21<=6000

RR de capacidad sección sin acabar

3X12+2X22<=6000

RR de no negatividad

X11,X12,X21,X22>=0

Solución

Max Z = 30X11 +100X12+30X21+80X22

s.a 40(X11+X12)+30(X21+X22)<=40000

2X11+ 2X21 <=6000

3X12 +2X22<=6000

X11,X12,X21,X22>=0

El granjero Lopez tiene 480 hectáreas de tierra en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima? Si se tiene la siguiente información de utilidad y requerimiento de mano de obra:

Ejemplo

Utilidad $. Cant. Trabajo Hr

Maíz: 40 2

Trigo: 30 1

Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada.

Solucion.

Maíz TrigoElementos disponibles

Horas 2 1 800

Hectáreas 1 1 480

Utilidad por unidad $ 40 30

Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total Z, en dólares, está dada por:

Z=40x+30y

Que viene a ser la función objetivo por maximizar.

Solución.

La cantidad total de tiempo por hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por:

2x+y

Haciendo la restricción por disponibilidad

2x+y < 800

Solución.


Horas 2 1 800

La cantidad de hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por:

x+y

Haciendo la restricción por disponibilidad

x+y < 480

Solución.


Hectáreas 1 1 480

En resumen, el problema en cuestión queda de la siguiente manera:

Maximizar Z=40x+30y

Sujeto a:

2x+y < 800 Hora disp.

x+y < 480 Terreno disp.

x > 0 Positiva

y > 0 Positiva

Solución.

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de Hierro y 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla). Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Ejemplo

¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Ejemplo

Marca A Marca B Req. mínimos

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg

Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg


Cost *píldora(US$) 0,06 0,08

¿Cual es el objetivo? Sea “x” el número de píldoras de la marca A; “y” el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo Z, medido en centavos, está dado por

Z = 0.06x+ 0.08y

Que viene a ser la función objetivo por minimizar.

Solución.

La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por:

40x+10y Haciendo la restricción por cantidad mínima requerida.

40x+10y >= 2400

Solución.


Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg

La cantidad de Vitamina B-1 contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por:


10x+15y >= 2100

Solución.



La cantidad de Vitamina B-2 contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por:


5x+15y >= 1500

Solución.



En resumen, el problema en cuestión queda de la siguiente manera:

Minimizar Z = 0.06x+ 0.08y

Sujeto a:

40x+10y >= 2400 Hierro.

10x+15y >= 2100 Vitamina B-1

5x+15y >= 1500 Vitamina B-2

y > 0 Positiva

x > 0 Positiva

Solución.

La demanda de un artículo ha sido pronosticada, para los siguientes 4 periodos en las siguientes cantidades: . . Se sabe que los costos variables de producción son: . Asumiendo que se puede utilizar inventarios, a un costo de h/unidad . Formular un programa lineal para minimizar los costos totales, combinación de costos de producción mas costos por llevar inventario.

Modelo de Inventario-Producción

D D D D1 2 3 4, , ,4321 ,,, CCCC

De lo siguiente:

Inv. final = Inv. inicial + Producción – Demanda

Definiendo :

x Cantidad a producir por periodo.

I0 Como el inventario Inicial.

I Como el inventario Final.

Solución

Período 1:

Período 2:

Período 3:

Período 4:

Solución

I I x D1 0 1 1

I I x D2 1 2 2

I I x D3 2 3 3

I I x D4 3 4 4

Luego el costo total viene dado por la

z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + h(I1+I2+I3+I4)

Generalizando para un horizonte de planeación a n periodos:

Solución

Generalizando para un horizonte de planeación a n periodos:

Solución

niI

x

niDxII

hIx

i

i

iiii

i

iin

i

n

i

,,2,1, 0

0

,,2,1,

: sa

=zMin

1

11

Una persona compra y vende artículos. Su depósito posee una capacidad de B unidades. Cada mes puede vender cualquier cantidad sin sobrepasarse el inventario a principios del mes.

Sean ci y pi, el valor de compra y el precio respectivo para cada mes. ¿Cuál deberá ser la política óptima para n períodos, si el inventario inicial es Io?

El Problema del Almacén

Sea:

yi = cantidad a vender.

xi = cantidad a comprar.

La función objetivo:

Solución

Max z ( )p y c xi i i i

i

n

1

La función objetivo:

Restricciones:

Solución

Max z ( )p y c xi i i i

i

n

1

niyx

niByxI

BienfinalInventario

niIxy

yxIy

imesdeinicioaInventarioy

ii

kk

kk

kki

i

i

k

i

k

i

k

i

k

,,2,1, 0,

,,2,1,

,,2,1,

: a eequivalent

1

1

11

1

1

0

0

0

Necesito obtener informacion para una semana de 3 turnos, tengo que producir como maximo 500 unid, se dispone de 10 trabajadores ´para el primer turno, 7 para el segundo, 5 para el tercero.

Para ofrecer un minimo de 300 unidades, dispongo de 10 trabajadores en el primer turno, 7 en el segundo y 5 en el tercer turno.Por cada articulo se va a recibir una renta de S/.2.00para el primero y los dos productos se procesan secuencialment en los 3 turnos empleando tiempos diferentes.

1 turno requiere 2 horas; 2turno tambien 2 horas y en el 3 turno, 1 hora para el primer producto para el segundo producto requiero 1 hora para el primer turno 2 horas para el segundo turno y media hora para el tercer turno.

El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20m3en el cual transporta mercancía. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.

Ejemplo: Asignación de Recursos

¿ Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje ?

Caja tipo 1

Caja tipo 2

Caja tipo 3

1 m3 $ 1000 c/u

1,2 m3 $ 1120 c/u

0.8 m3 $ 900 c/u

X1: Número de cajas tipo 1 : transportados en cada viaje [caja/viaje]

X2: Número de cajas tipo 2 : transportados en cada viaje [caja/viaje]

X3: Número de cajas tipo 3 : transportado

Definición de Variables.

Coeficientes de costo (utilidad): Datos

Medida de la eficiencia (F. O.)

Z: Ganancia total (pesos) por el transporte de : los 3 tipos de cajas en cada viaje.

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

[$/ caja] * [caja/viaje] = [$/ viaje]

R1: Capacidad del camión (recurso)

X1+ 1.2X2 + 0.8 X3 ≤ 20

[m3/ caja] * [caja/viaje ] = [m3/viaje]R2: Mínimo de mercancía tipo 2 (requerimiento)

X1≥8 [caja/viaje ]

R3 : Mínimo de mercancía tipo 2 (requerimiento)

X3 ≥ 5 [caja/viaje ]

Restricción de signo de las variables

X1, X2 , X3 ≥ 0

Restricciones funcionales

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

s.a.

X1+ 1.2X2 + 0.8 X3 ≤ 20

X1 ≥8

X3 ≥ 5

X1, X2 , X3 ≥ 0

Modelo completo.

investigacion operativa 1

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