Instituto Tecnológico de Acapulco

Materia: Investigación de Operaciones

Maestro: Juan Manuel Rodríguez Vázquez

Alumno: Pedro Camacho Martínez

Unidad: 5 Líneas de espera

Grupo: 10-11/709

Fecha: 06/12/2012

Índice

5.1 Definiciones Líneas de Espera características y suposiciones5.2 Terminología Notación Líneas de Espera5.3 Proceso Nacimiento Muerte Líneas de Espera5.4.1 Modelos Poisson un Servidor

5.4.2 Modelos Poisson Múltiples Servidores

Fuentes de información

Anexos

UNIIDAD 5

LINEAS DE ESPERA

5.1 Definiciones Líneas de Espera características y suposiciones

PROCESO BÁSICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA.

Una situación de línea de espera, se genera de la siguiente manera:

El cliente llega a una instalación se forma en un línea de espera. El servidor elige a un cliente de la

línea de espera, para comenzar el servicio. Al término del servicio se repite el proceso de elegir un

nuevo cliente.

Cliente.- Unidades que entran al sistema para recibir un servicio. Pueden ser personas, cartas,

carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc.

Servidor.- Unidades encargadas de prestar un servicio. Pueden ser las cajas

en un banco, en un supermercado, unidades de emergencias, un médico, una maquina, etc.

Disciplina de servicio.- Regla establecida para proporcionar un servicio a

un cliente en la línea de espera.

Sistema de cola

Disciplina de la cola

Llegadas Cola

Mecanismo de

servicio

PROCESO DE ENTRADA. (PROCESO DE LLEGADA)

Este proceso se refiera a la forma en que surgen y llegan los clientes a la instalación.

Una característica muy importante es el tiempo entre llegadas (tiempo de llegadas) que es

tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas. Este tiempo entre llegadas puede ser de dos

clases:

Determinístico: Cuando los clientes llegan a un intervalo de tiempo conocido de forma constante.

Probabilístico: Cuando se considera al tiempo de llegada como una variable aleatoria cuya

distribución probabilística se considera conocida.

Normalmente se considera que los clientes llegan de forma individual, es decir en un momento

dado solo hay una llegada, pero se puede presentar también que la llegadas sean en grupo (en

masa).

El proceso de entrada podría depender de la cantidad o tamaño de clientes presentes en un

determinado tiempo. Si la fuente de fuente de clientes es pequeña, se le nombra fuente como

fuente de entrada finita, pero si la fuente de clientes es grande o no se puede determinar su

tamaño se conoce como fuente de entrada infinita. (Fuente limitada o ilimitada).

Rechazo: Se produce un rechazo cuando, un cliente llega a una instalación y se niega a entrar debido

al tamaño de la línea de espera.

Abandono: se produce cuando un cliente estando en la línea de espera se sale, debido a que la

espera es muy larga.

PROCESO DE SALIDA. (PROCESO DE SERVICIO)

Este proceso de refiere a la forma en que son atendidos los clientes por lo servidores.

Dentro de este proceso tenemos el tiempo de servicio, que es el tiempo que le toma a un servidor

atender a un cliente. Este tiempo pude ser de dos tipos:

Determinístico: Cuando el tiempo de servicio se conoce con exactitud. Probabilístico: Cuando se

considera al tiempo de servicio como una variable aleatoria cuya distribución probabilística se

considera conocida.

En una instalación puede haber más de un servidor, y debido a esto surgen 2

Tipos de líneas de espera:

Líneas de espera en paralelo (canales de servicio en paralelo).- Cuando en una instalación hay

más de un servidor y todos ofrecen el mismo servicio.

Prioridad en el servicio.- aquí se clasifican los clientes en categorías y cada categoría recibe un nivel de

prioridad.

Líneas de espera en serie (estaciones).- Cuando en una instalación hay más de un servidor en la cuales

el cliente tiene que pasar a cada una para completar su servicio.

Líneas de espera en red.- En estas instalaciones hay una combinación de líneas de espera en serie y

otras en paralelo.

DISCIPLINA EN UNA LINEA DE ESPERA.

Como se menciono, la disciplina en una línea de espera es el orden que se atiende a los clientes las

cuales pueden ser:

Disciplina FCFS (First come, first served) (FIFO). En el cual el cliente que llega primero se atiende primero, es

decir según el orden de llegada.

Disciplina LCFS (Last come, first served) (LIFO). En el cual el último cliente que llega se atiende primero.

Disciplina SIRO (service in random order) Servicio en orden aleatorio.

TIPOS DE LÍNEAS DE ESPERA

Llegada

Una cola, un servidor

Cola

Servidor

Salida

Una cola, múltiples servidores Servidor Salida

Llegada

Cola S

ervidorSalida

Servidor Salida

Varias colas, múltiples servidores

Llegada

Colas Servidor Salida

Colas Servidor Salida

Colas Servidor Salida

Una cola, servidores secuenciales

Llegada Cola

Servidor

Cola

Servidor

Salida

5.2 Terminología Notación Líneas de Espera

NOTACION KENDALL-LEE.

Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de espera que se

pueden tener.

La notación consta de 6 números de la forma siguiente:

a/b/c/d/e/f

Donde los símbolos representan lo siguiente:

a = La distribución de tiempo entre llegadas.

b = La distribución de tiempo de servicio.

c = El numero de servidores en paralelo.

d = Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD)

e = Numero máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).

f = Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.

Para remplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:

M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana).

D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista

Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K.

G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general

(Cualquier distribución arbitraria).

Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera, dependerá de los siguientes factores:

Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo). Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).

Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red) Disciplina de servicio tamaño de la línea (finita o infinita) Fuente de los clientes (finita o infinita).

2

5.3 Proceso Nacimiento Muerte Líneas de Espera

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.

La mayoría de los modelos de colas suponen que las entradas y salidas al sistema de colas, ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.

En este caso un nacimiento se refiere a la entrada de un nuevo cliente y una muerte a la salida de un cliente servido.

Este proceso nos sirve para calcular el número de clientes probables que habrá en un sistema en un tiempo determinado t. N (t) número de clientes que hay en el momento t.

Este proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t.

Este proceso hace las siguientes suposiciones:

1

La media de esta función esta dado por:

1

La varianza de esta función es:

Aquí se puede observar las siguientes propiedades de esta distribución:

1) La probabilidad de que ocurra un evento siempre es positiva pero menor que 1

2) fT(t) es una función decreciente respecto a t, es decir es más probable que el valor de T este cercano a la media.

3) La distribución de probabilidad del tiempo para que ocurra un evento, no depende del tiempo en que ocurrió el evento anterior, es decir es independiente.

Para calcular la probabilidad de cuál será el número de llegadas en un tiempo determinado, se utiliza la distribución de Poisson (densidad de probabilidad discreta)

Donde X(t) representa el numero de ocurrencias de un evento en un determinado tiempo t. Siempre que t >0, en donde el tiempo cero es el instante donde comienza la cuenta.

5.4.1 Modelos Poisson un Servidor

5.4.2 Modelos Poisson Múltiples Servidores

Cálculos en los modelos de colas

Pn = probabilidad que en el estado estable haya n clientes en el sistema

Ls = número de clientes que espera halla en el sistema

Lq = número de clientes que espera halla en la línea de espera. Ws = Tiempo

de espera en el sistema (línea mas servicio)

Wq = Tiempo de espera en la línea de espera. (M/M/S)

S=1 Y S>1

(M/M/S) VARIACION DE COLA FINITA S=1 Y S>1(COLA FINITA)

(M/M/S) VARIACION DE FUENTE DE ENTRADA FINITA S=1 Y S>1

REPARACION DE MAQUINAS

(M/M/1)(GD/∞/∞), (M/M/C)(GD/∞/∞)

(M/M/1)(GD/N/∞), (M/M/C)(GD/N/∞) VARIACION DE COLA FINITA (COLA

FINITA)

(M/M/R)(GD/K/K) MODELO DE SERV A MAQ. ORIGEN FINITO (M/M/∞)

(GD/∞/∞) MODELO DE AUTOSERVICIO. FORMULARIO DE ACUERDO AL

MODELO:

En estos modelos utilizaremos las siguientes literales: λ =

0

j

Tasa de llegadas por unidad de tiempo. μ = Tasa de

servicio por unidad de tiempo.

ρ = Intensidad de tráfico del sistema.

= Probabilidad que sistema este ocioso.

= Probabilidad que haya j clientes en el sistema

L = Cantidad de personas en el sistema. Lq

= Cantidad de personas en la cola.

Ls = Cantidad de personas en servicio.

W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema. Wq =

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola.

Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor.

M/M/1/GD/∞/∞

En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es

exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es

infinito, y el tamaño de la población también es infinito.

En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es

exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es

C, es decir, después de cierto tamaño en la cola ya no se aceptan clientes, y el tamaño de la

población es infinito.

P (j S) PARA UN SISTEMA DE COLAS M/M/S/GD/∞/∞

FUENTES DE INFORMACIÓN:

http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf

http://metodoscuantitativo2.galeon.com/enlaces2219625.html

http://metodosunoydos.galeon.com/enlaces2221688.html

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeespera/

ANEXOS