investigaciÓn de operaciones ii · que ocurre un tipo especial de evento, entonces u representa el...
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MODELOS DE
FILAS DE ESPERA
El Papel de la Distribución ExponencialUna variable que sirva para representar los tiempos entre llegadas o lostiempos de servicio en un sistema de colas, debe ser
• Lo suficientemente realista como para que se puedan hacerpredicciones razonable, y
• Lo suficientemente sencilla para que pueda matemáticamente sermanejable
Esta función es la Exponencial
e)tT(P
e)tT(P
t
t
1
0
0
t para 0
t para e)t(f
t
T
La probabilidades
acumuladas son
2
1
1
)T(V
,)T(ESu valor
esperado
y su
varianza
¿cuales son las implicaciones para el
modelo de colas al suponer que T tiene
distribución exponencial?
Propiedad 1
fT(t) es una función estrictamente
decreciente de t ( t ≥ 0 ).
P 0 ≤ T ≤ ∆t > P t ≤ T ≤ t + ∆t
Para cualquier valor estrictamente
positivos de t y ∆ t .
Función de densidad de
probabilidad para la distribución
exponencial
tE { T } = ----1
FT (t )
En el caso de que T represente los tiempos de servicio en un
sistema, la propiedad 1 establece que es muy poco probable
que hayan tiempos de servicio por debajo del promedio.
La probabilidad de que los tiempos entre
llegadas sean pequeños es muy alta.
En el caso de que T represente los tiempos entre llegadas, la
propiedad 1 descarta las situaciones en las que los clientes
que llegan al sistema tienden a posponer su entrada si ven que
otro cliente entra antes que ellos.
La probabilidad de que los tiempos entre
llegadas sean pequeños es muy alta.
Propiedad 2
Falta de memoria
tTptTttTP |
Para cualquiera valores estrictamente positivas de t
y ∆t
La distribución de probabilidad del tiempo que falta
hasta que ocurra el evento siempre es la misma
sin importar cuanto tiempo ∆t haya transcurrido
tTP
ttTtTPtTttTP
,|
)tT(Pee
e
tTP
ttTP t
t
)tt(
tTPtTttTP |
Propiedad de pérdida de memoria
sr
Segmentos
de Tiempo
P (t > r + s / t > s) = P ( t > r )
Ejemplo de pérdida de memoria en un proceso de llegadas Poisson
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 12 clientes en 4 horas, sise conoce que en las primeras tres horas llegaron 9 clientes?
3 horas
1 hora
9 clientes
?
P(4 horas=12 clientes/3 horas = 9 clientes) = P (1 hora /3 clientes)
No importa lo que haya
pasado en las tres primeras
horas, lo que sucederá es
totalmente independiente
probabilísticamente.
!3
)()3(
3 tet
XP
Con λ =3 clientes/hora y t = 1 hora, P(X=3) = 22,4%
Tiempo
entre
llegadas
El tiempo que transcurre hasta
la llegada siguiente es
totalmente independiente de
cuando ocurrió la ultima
llegada
Tiempo
de
servicio
Si ha pasado un tiempo de
servicio considerable, la única
implicación puede ser que este
cliente en particular requiera un
servicio más extenso que los
demás
Propiedad 3
El mínimo de diversas variables aleatorias exponenciales independientes
tienen una distribución exponencial
,T ,...,T ,TminU n21
Así, si Ti, representa el
tiempo que pasa hasta
que ocurre un tipo
especial de evento,
entonces U representa
el tiempo que pasa
hasta que ocurre el
primero de los n
eventos diferentes.
Para cualquier t>=0,
Sean T1, T2 …, Tn variables aleatorias exponenciales Independientes
con parámetros 1, 2 …, n, respectivamente, también sea U la
variable aleatoria cuyo valor es igual al mínimo de los valores que
toman T1, T2 …, Tn , es decir
,texp
e...ee
tTP...tTPtTP
,tT,...,tT,tTPtUP
n
1i
i
t-t-t-
n
n
n21
21
21
n
i
i
1
Tiempo entre llegadas
n tipos de
clientes
Distribución exponencial con parámetro αi, i = 1, 2 ….. n
1 2 n
…
El tiempo entre llegadas del sistema de colas completo
U, tiene distribución exponencial con parámetro
Tiempo de servicio
n tipos de
servidores
Distribución exponencial con parámetro µ para cada servidor.
El tiempo de servicio del sistema de colas tiene
distribución exponencial con parámetro α = nµ
1 2 n
Propiedad 4
Relación con la distribución poisson
Tiempo entre dos
ocurrencias consecutivas
de un tipo de evento
especifico
Número de veces que
ocurre este evento en
un periodo dado
Distribución
exponencial
Distribuccion
Poisson
Naturaleza Estocástica de los Sistemas de Colas
0,1,...ksi,k!
e)T(=k)=P(X
λTk
Supuesto de las COLAS POISSON
El número de clientes quellegan en un tiempo T(variable X), se distribuyePoisson con parámetro λT
λ → Tasa de llegada por unidad de tiempo
Si el número de llegadas se distribuye Poisson, entonces elTiempo entre llegadas consecutivas (variable Y) se distribuyeexponencial con media β =1/λ
LLEGADAS DE
CLIENTES
0,)(
te
tYft
0,)( tetYf
t
P { X (t) = 0 } = e -t P { Y > t } = e -t/ β
Probabilidad de que
no ocurra ningún
evento en el tiempo t
(t ≥0)
Probabilidad de
que ocurra el
primer evento
después de un
tiempo t (t≥0)
La media de la distribución poisson es E {X(t) } =λt
λ es la tasa media a la que ocurren los eventos
,...1,0,!
)()(
ksik
eTkWP
Tk
Supuesto de las COLAS POISSON
El número de clientes queson atendidos en un tiempoT (variable W), se distribuyePoisson con parámetro μT
μ→ Clientes atendidos por unidad de tiempo
Si el número de clientes atendidos se distribuye Poisson, entonces el Tiempode atención ó de servicio (variable Z) se distribuye exponencial con media β=1/μ
TIEMPO DE
SERVICIO
0,)(
te
tZft
0,)( tetZf
t
Naturaleza Estocástica de los Sistemas de Colas
Llegadas
Tiempo entre 2 llegadas
consecutivas
distribución exponencial
con media β ג / 1 =
Servicios
Tiempo de servicio tiene
distribución exponencial
con media β = 1 / µ
X(t) = el número de llegadas
en un tiempo transcurrido t,
tiene distribución Poisson con
media ג
X(t) = el número de servicios
en un tiempo transcurrido t,
tiene distribución Poisson con
media µ
Propiedad 5
No afecta agregar o desagregar
n tipos de
clientes
Distribución Poisson con parámetro גi i = 1,2…..n
Suponiendo que se trata de procesos Poisson
independientes, la propiedad dice que el proceso de
entrada agregado también debe ser Poisson con
parámetro ג = ,1ג + 2ג + … + nג
n
…
21
Proceso de Nacimiento y Muerte
La mayor parte de los modelos elementales de colas
suponen que las entradas (llegadas de clientes ) y las
salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de
acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.
Nacimiento : llegada de
un nuevo cliente al
sistema de colas
muerte : salida del cliente
servido
Si N(t) es el número de clientes que hay en el sistema en eltiempo t.
El proceso de nacimiento y muerte describe en términosprobabilísticos como cambia N(t) al aumentar t.
Suposición 1
Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempoque falta para el próximo nacimiento ( llegada ) es exponencialcon parámetro nג ( n = 0, 1, 2 … ).
Suposición 2
Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del
tiempo que falta para la próxima muerte (terminación
del servicio) es exponencial con parámetro
µn ( n = 1,2…).
Suposición 3
Las variables aleatorias de los tiempos que faltan para
la próxima llegada y para la terminación del servicio
son mutuamente independientes.
Transición en el estado del proceso n n+1
o n n–1
Empleo de la Poisson en Nacimiento Puro y Muerte Pura
• Suponga que los nacimientos en un país estánseparados en el tiempo, de acuerdo con unadistribución exponencial, presentándose unnacimiento cada 8 minutos en promedio.
• Cuál es la probabilidad de que no hayannacimientos en 1 día?
• Cuál es la probabilidad de emitir 54 actas denacimiento en 3 horas si en las primeras 2 horas seemitieron 38 actas? Es decir, que nazcan 16 bebésmás
Empleo de la Poisson en Nacimiento Puro y Muerte Pura
• Como el tiempo entre llegadas (entre nacimientos) es de 8minutos, entonces la tasa de nacimiento en el país se calculacomo:
=(24*60) /8= 180 nacimientos / día = 7,5 nacimientos / hora
La probabilidad de que no
hayan nacimientos en un día
es, siendo T = 1 día:
0
0
11800
11800
1
!
e*)X(P
*
T
Para la segunda pregunta, recordar el ejemplo anterior, en
donde se enuncia la perdida de memoria del sistema
%.
!
e*.)X(P
*.
T 26016
15716
15716
1
Cálculo de las probabilidades Pn en Sistemas de Espera
• Se define un intervalo t muy pequeño que asegure elcumplimiento del siguiente postulado
• Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre un t yt + t
n-1 n n+1
n-1n
n-1 n
Esquema de transición de estados asumiendo un t pequeño
Se deduce que estando en el estado n, sólo se puede pasar al estado n+1 (ocurre una llegada) o al estado n-1 (ocurre una salida).Observe también que la Tasa de Llegada λn y la Tasa de Servicio μn dependendel estado en que se encuentre el sistema en un determinado momento
Tasa de llegada constante con capacidad finita
Tasa de servicio igual para cada uno de los servidores:
Distribución de llegadas
• La distribución de probabilidad que define la llegada de uncliente al sistema esta dada por la distribución Poissonexpresada como:
!
*)/(
0
*0
0x
ettxXP
t
nn
Pero como de hecho x0 = 1, entonces, la probabilidad de que
ocurra una llegada en t, es decir, de pasar del estado n al
estado n + 1, es por tanto:
1-...N 2, 1, 0,n te)t(P n
t
nn,nn
1
Distribución de Salidas
•La distribución de probabilidad que define la salida de uncliente del sistema esta dada por la distribución Poissonexpresada como:
!
)/(*
0
o
tx
n
x
ettxXP
no
De nuevo se tiene que x0 = 1, y entonces la probabilidad
de que ocurra una salida en t, es decir, de pasar del
estado n al estado n - 1, es por tanto:
4 3. ,2 1,n teP ntnnnn
*)*(1.
Distribución cuando no hay ni llegadas ni salidas en Dt
• En este caso se busca la probabilidad de que partiendo de unestado n el sistema continúe en este estado después de t.
• Puesto que lo que puede ocurrir son tres cosas únicamente: unallegada, una salida o ninguna de las dos, estos tres eventosforman un espacio muestral y por lo tanto:
..., 2, 1, n ttP nnnn 1,
En general, a partir de resolver el sistema de ecuaciones que se
generan de las ecuaciones de estado de Pn, n-1 Pn, n+1 Pn, n,se
obtiene que:
o
n321
1-n210n P
...P
...
Este resultado es el usado
mundialmente para la deducción de
las formulas analíticas de Teoría de
Colas.
L: Promedio de clientes en el sistema
Lq: Promedio de clientes en la cola
Notación de Little
W: Tiempo promedio de permanencia de un
cliente en el sistema
Wq: tiempo promedio de permanencia de un cliente
en la cola
Notación de Little
EJEMPLO PRÁCTICO • Los clientes llegan a un banco a una tasa promedio de 20 por
hora, si un cliente acaba de llegar, cuál es la probabilidad de queun cliente llegue dentro de los siguientes diez minutos?
Esto implica calcular la probabilidad:
P(tiempo entre llegadas ≤ 10minutos)=1-e*T =1-e20*1/6
=1–0.036= 0,964
• Cuál es la probabilidad de que dos clientes lleguen dentro
de los siguientes diez minutos?
•Esto implica calcular la probabilidad:
P(X=2 en los próximos 10 minutos)=
0.200.036*11.111
2
6120
22
612022
!
e)/*(
!
e)t()X(P
/*t
Ejemplo Práctico• Si es 20 y es 8, y el número de clientes promedio que
esperan en cola es 4, calcule:
• Tiempo promedio en cola
• Tiempo promedio en el sistema
• Número promedio de clientes en el sistema
0.2020
4
LW cola en promedio Tiempo
q
q
32508
10
1..20 WW elsistema en promedio Tiempo q
56.0.325*20 W*L
sistemael en clientes de promedio Numero
Aspectos a considerar
• Varios de los modelos reales tienen un número
infinito de términos. Para muchos casos
especiales estas sumas tienen solución analítica
o pueden aproximarse por métodos numéricos.
• Estos resultados de estado estable se
desarrollaron bajo la suposición de que los
parámetros nג y µn tienen valores tales que el
proceso, de hecho puede alcanzar la condición
de estado estable.
Modelos de varios servidores
• M/M/s: s servidores, con tasas dellegadas Poisson y tiempos de servicioexponenciales
• M/D/s: s servidores, con tiempos entrellegadas exponenciales y unadistribución degenerada de tiempos deservicio
• M/Ek/s: s servidores, con tiempos entrellegadas exponenciales y unadistribución Erlang de tiempos deservicio
Modelo M/M/S: DG/∞/∞
Modelo M/M/s
Este modelo nos indica que :
Todos los tiempos entre llegadas independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución
exponencial.
Todos los tiempos de servicio independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución
exponencial
El número de servidores es s (s cualquier entero positivo)
Caso múltiples servidores ( s > 1)
Cuando el sistema tiene múltiples servidores no es
tan sencillo expresar µn ( µn es la tasa media de
servicio para el sistema de colas completo).
µn = nµ Para n ≤s
µn = sµ Para n ≥s
Según el número de
personas en el sistema
0 1 2 s s+1 n n+1
ג ג ג ג ג
µ 2µ sµ sµ sµ
…. ………
ג = nג para n = 0,1,2, ……
µn = nµ Para n = 1,2,….,s
sµ Para n = s,s + 1,….
Los parámetros de los
modelos son :
n≤s
…
n≥s
≥1Cuando ρ = ג
sµ
Tasa media de servicio
menor que la tasa media
de llegadas. Se forma
una cola infinita.
גsµ
Cuando ρ = <1Tasa media de servicio
mayor que la tasa media
de llegadas.
El sistema de colas alcanzara la condición de estado
estable y podemos aplicar directamente los resultados
de estado estable hallados anteriormente.
P W > t = e -µt 1 + P0
גµ
s
s! (1- ρ)
1 – e-µ t ( s – ( µ/ג– 1
s – 1 - גµ
P W q > t = (1 – P )W q =0 e - sµ ( 1 – ρ) t
P W q = 0 ∑s - 1
n = 0
p0
Ejemplo – HOSPITAL GENERAL
La sala de emergencia del HOSPITAL GENERAL proporciona
cuidados médicos rápidos a los casos de emergencia que
llegan en ambulancia o vehículos particulares.
En cualquier momento se cuenta con un doctor de guardia,
pero debido al creciente número de urgencias se estudiará la
probabilidad de contratar otro doctor.
El ingeniero administrador ha recolectado datos y ha podido
estimar que las llegadas de pacientes siguen una
distribución Poisson con media de un cliente cada media
hora.
La distribución del tiempo de atención es exponencial con
media de servicio de 20 minutos para atender un paciente.
Se deben mirar los indicadores del modelo
para los casos en haya 1 y 2 médicos
ג 1 clientes cada 1 / 2 hora = 2 clientes por hora
µ
1=
1 1
20 min. 3 hora
µ 3 clientes por hora
Debemos verificar que ρ < 1
Caso un servidor ( s = 1 )
ρ = = < 1 2
3
ג
µ
Tasa media de servicio
mayor que la tasa media
de llegadas.
P0 = 1 - ρ =2
3
1
3-P0 =1
P0 = ( 1 – ρ ) ρ 0
P1 = (1 – ρ ) ρ 1 =
Pn = (1 – ρ ) ρ n =
1
3
2*
3
*1
3
2
3
n
L
L
W
W
= 2
=
= 1 hora
= Hora
3 - 2
1=W
=L 3 - 2
2
4
3
(2)2
3 ( 3 -2 )=Lq
Wq = 2 2
3 ( 3 – 2 ) 3
=
=
=
=q
q
ג
µ (µ - ג )
1µ - ג
2ג
µ ( µ - ג )
גµ - ג
P W q = 0 = P0 =1- ρ P Wq = 0 =1
3
P wq < t = e-3 (1 ) t = 2
3
2
3e-tP Wq > t = ρ e -µ(1- ρ)t
P W > t = e -µ(1- ρ)tP W > t = e -3(1- )t = e-t2
3
Caso múltiples servidores ( s = 2 )
= < 11
=ρג
sµ 3
Tasa media de servicio
mayor que la tasa media
de llegadas
1
∑n = 0
s-1
+1
1 -
ג ג
ג
µ µ
µs
s!n!
s
P0 =
P0 = 1
+ + *
222
2!
3 3 3
3
0! 1!
10 1 2
1- 1
n
1
2P0 =
Pn
ג
ג
µ
µ
n
n
n!
s!sn-s
P0 para n = 0,1,2
P0 para n = n = 2, 3,…
P1 = =
23
1!
1
213
1
Para n ≥2
Pn = = =
23
2!2n-2
1
2
23
2n
13
n
nn
Lq =
12
23
13
2
13
( 1 - )2
2!
112
= Lq
2
0
)1(!
s
P
L
s
q
+ =112
2
3
34
L =
= hora
1
12
2
124
Wq =
+ = hora124
13
38
L = Lq ג +µ
Lq
ג=Wq
1
µ+Wq W =
P w > t = e -µ t1+ P0
ג
µ
s! ( 1 – ρ )
1 – e -µ t ( s – 1 – (µ/ג
( s – 1 - ג(
µ
s
P w > t = e - 3t1+
ג
µ
2! ( 1 – )
1 – e - 3t ( 2 – 1 – 2/3)
( 2 – 1 - )2
3
2
1
2
13
2
P w > t = e - 3t ( 3 – e -t)1
2
wq = 0 = ∑s-1
n = 0
Pn P
wq = 0 P = P0 + P1 = + =1
2
1
3
5
6
wq > 0 P = ( 1- P Wq = 0 ) e-sµ (1-ρ)t
wq > 0 P = 1- e-2*2 (1-1/3)t5
6 =1
6e-4t
ρ
P0
P1
Pn
L
*
2
2
3
1
3
9
2
1
3
2
3
1
3
1
2
1
3
1
3
3
4
n
S = 1 S = 2
n
Lq
W
Wq
P w > t
P wq > t
P wq = 0
1 hora
hora2
3
e-t
2
3e-t
1
3
hora
hora
112
3
8
124
1
2
1
6
5
6
e-3t ( 3 – e –t )
e-4t
43
Los indicadores de eficiencia para el modelo con 2 médicos
mejoran notablemente con respecto al modelo de un solo
medico.
Sin embargo esta información no basta para determinar si se
debe contratar un nuevo médico o no , ya que se debe hacer
un análisis de costos como se verá más adelante.
Variación de cola finita al modelo M / M / s
El modelo M / M / s que trabajamos con anterioridad opera bajo el
supuesto de una cola infinita. Sin embargo hay diferentes
ocasiones en las cuales este supuesto no aplica.
Si el tamaño de la cola es finito, a cualquier cliente que llegue
cuando la cola este llena se le niega el acceso al sistema.
Modelo M / M / s / K
Este modelo es similar al M / M /s con la única excepción de que
en este caso se trabajara con un tamaño de la cola finita.
La interpretación física para este modelo es que se cuenta con un
espacio limitado de espera que admite un máximo de K clientes en
el sistema o que los clientes desisten de entrar al sistema cuando lo
vean demasiado lleno.
MODELO M/M/s: DG/k/∞
Caso un servidor ( s = 1 )
Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte,
la tasa de entradas al sistema será :
nג=
0
ג Para n = 0,1,2,……,k - 1
Para n ≥ k
0 1 2 k-2 k-1 k k+1
ג ג ג ג 0
µ µ µ µ 0
……… ………
ρ = < 1 גµ
Este modelo no exige que
MODELO M/M/1: DG/k/∞
Si ρ≠1 entonces
Si ρ=1 entonces
k ..., 2, 1, 0,n 1
1
kPn
2
kL
MODELO M/M/1: DG/k/∞
)1(1
0
kn
k
n
PP
kre P
λre tasa promedio de clientes no atendidos
(clientes rechazados por el sistema) por estar el
sistema a plena capacidad
Caso múltiples servidores ( s > 1 )
Como este modelo no permite mas de k clientes en el sistema, k
es el número máximo de servidores que pueden tenerse,
suponga que s ≤ k .
0 1 2 s-2 s-1 s k+1
ג ג ג ג 0
µ 2µ (s – 1 )µ sµ
……… ………
sµ
= nג
µn = Para n = s,s+ 1 ….,k
ג
0 Para n ≥ k
Para n = 0,1,2,….,k - 1
ρ = < 1 ג
sµ
Este modelo no exige que
Los
parámetros
del modelo
son: nµ
sµ
Para n = 1,2,…..,s
Suponga que s ≥ k
MODELO M/M/s: DG/k/∞
Si ρ≠1 entonces
MODELO M/M/s: DG/k/∞
)1(1
0
kn
k
n
PP
kre P W y Wq se obtienen a partir de estas cantidades,
como se mostró para el caso de un servidor.
EJEMPLO
• El propietario del restaurante El tunel de Josep desea evaluar la calidad de suservicio en lo relativo a esperas de los clientes. Actualmente el restaurante cuentacon 6 mesas, que se llenan en cuanto llegan los clientes (no hay reserva previa). Seestima que llega un promedio de 3,5 grupos cada hora y que cada grupopermanece en el restaurante durante 1,5 horas.
La política actual es la de dejar esperar solamente a dos grupos cuando todas lasmesas están llenas. Cuando hay dos grupos esperando, la política del restaurante(política A) es la de indicar a los clientes que puedan llegar que no pueden serservidos, por lo que éstos abandonan el sistema. Se desea saber:
• a) ¿Cuál es el número medio de grupos esperando?
• b) ¿Cuál es el número medio de grupos en el restaurante (tanto los que esperancomo los que son servidos)?
• c) ¿Cuál es el tiempo medio de espera, antes de entrar a comer?
• d) ¿Qué probabilidad existe de denegar el servicio a un grupo?
EJEMPLO PRACTICO
• También se desea saber cuál sería el efecto de cambiar la política de espera a losclientes. Más concretamente, cómo se verían afectados los valores anteriores si:
• Se deja esperar cinco grupos de clientes, en vez de dos (política B).
• Se deja esperar a todos los grupos de clientes que lleguen. Dada la calidad delrestaurante, se supone que ninguno de ellos abandonará, por larga que sea la cola(política C).
Variación fuente de entrada finita al modelo M / M / s
Ahora supongamos que el tamaño de la población es finito con
tamaño N. cuando el número de clientes en el sistema de colas
es n ( n = 0,1,2,….,N), existen sólo ( N-n) clientes potenciales en
la fuente de entrada.
Este problema se aplica a la reparación de maquinas, en el que se asigna a uno
o mas técnicos de mantenimiento la responsabilidad de mantener en operación
cierto número de N maquinas dando servicio a los que se descomponen.
MODELO M/M/s: DG/ N /N
El tiempo que pasa desde que una máquina deja el sistema hasta
que regresa tiene una distribución exponencial con parámetro .ג
Cuando N – n miembros están fuera
del sistema la distribución de
probabilidad del tiempo que falta
para la próxima llegada es la
distribución del mínimo de los
tiempos restantes afuera para esos
miembros N – n miembros.
nג = ( N – n )ג
Parámetro
b) Caso un servidor ( s = 1 )
Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte,
la tasa de entradas al sistema será :
nג=
0
(N – n)ג Para n = 0,1,2,……,N
Para n >N
0 1 2 n-2 n-1 n
Nג (N – ג (1(N – n +2) ג ( N – n +1)ג
µ µ µ µ
………N
Caso un servidor ( s = 1 )
Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte,
la tasa de entradas al sistema será :
N-1
ג ג
………
µ
= nג
µn =
(N-n)ג
0 Para n > N
Para n = 0,1,2,….,N
ρ = < 1 ג
µ
Este modelo no exige que
Los
parámetros
del modelo
son:
µ Para n = 1,2,…..,N
P0 =
(N – n)!
1
N! גµ
N
n=0
∑n
Pn = N!
(N-n)!גµ
P0 si n = 1,2,….,N
n
Lq = N-+
ג
µג( 1 – P0 ) Lq = N-
ג
µ( 1 – P0 )
W =
ג ∑ = Pnג
ג
∑
L Wq =
Lq
ג
n pnג = = ( N – n ) ג ( N – L )
Caso múltiples servidores ( s > 1 )
Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte, la tasa
de entradas al sistema será :
nג=
0
(N – n)ג para n = 0,1,2,……,N
para n >N
0 1 2 s-2 s-1 s
Nג (N – ג (1(N – s +2) ג ( N – s +1) ג
µ 2µ (s-1)µ sµ
………NN-1
ג
………
sµ
= nג
µn = Para n = s+1, s+2
(N – n )ג
0 Para n >N
Para n = 0,1,2,….,N
ρ = < 1 ג
µ
Este modelo no exige que
Los
parámetros
del modelo
son: nµ
sµ
Para n = 1,2,…..,s
Pn =
N!
(N-n)! n !
N!
( N-n)! s!sn-s
גµ
ג
µ
0
Para n = 0,1,2,……,s
Para n = s, s+1,… N
Para n > N
P0
P0
n
n
11
0
0!)!(
!
!)!(
!
N
sn
n
sn
ns
n ssnN
N
nnN
NP
L = + Lq + s ∑ n Pn 1 - Pn∑s-1
n = 0
s-1
n=0
W y Wq pueden obtenerse con las mismas ecuaciones
que en el caso de un servidor.
N
sn
nq PsnL )(
Costos de una Línea de Espera (1)
La obtención de L, Lq, W y Wq a través de los modelos de nacimiento ymuerte permite tomar decisiones de diseño de sistemas de líneas deespera. Estas decisiones suelen expresarse en términos de minimizaciónde los costos asociados a la espera.
Para cualquier sistema de espera tendremos dos tipos de costos: costosde servicio y costos de espera. Si el tamaño de la cola está limitado,tendremos también costos de abandono.
Costos de servicio
Serán directamente proporcionales al número de servidores en paraleloque establezcamos en el sistema. Suelen caracterizarse con el parámetroCs, que expresa los costos de servicio por servidor para un determinadoperiodo de tiempo. De este modo, tenemos:
Costos de servicio = Cs x S [$ / periodo]
Costos de una Línea de Espera (2)
Al expresar los costos de servicio de este modo, suponemos queincurrimos en costos de servicio por el hecho de disponer de servidor,independientemente de que efectivamente esté en servicio o no. Siincurrimos en estos costos sólo cuando el servidor está ocupado,tendremos:
Costos de servicio = tasa de utilización del servidor ·x Cs x S [$ / periodo]
Dicha tasa de utilización será igual a ρ para los modelos de universoinfinito y cola no limitada. Para el resto de modelos, deberá calcularse encada caso.
Costos de espera
La preocupación por el diseño de un sistema de líneas de espera suponela existencia de ciertos costos de espera, asociados al número medio deunidades en el sistema. Dichos costos pueden interpretarse en términosde pérdida de calidad de servicio, posibles reducciones de ventas futurasdebido al largo tiempo de espera en experiencias anteriores, etc.
Costos de una Línea de Espera (3)Los costos de espera se caracterizan por el parámetro Ce, que no es másque los costos de servicio por unidad en el sistema para un determinadoperiodo de tiempo. Dichos costos de espera valdrán:
Costos de espera = Ce x L [$ / periodo]
Los costos de espera también dependen del número de servidores, perode manera indirecta: un aumento del número de servidores induciráuna reducción del número promedio de unidades en el sistema L, enfunción del sistema que estemos tratando.
Costos de abandono
Entre otras utilidades, los modelos de cola finita permiten representarun comportamiento de abandono del sistema por parte de las unidades,si el tamaño de la cola es demasiado grande.
Para el calculo de los costos de abandono, más concretamente, se supone quelas unidades abandonarán el sistema si, cuando éstas llegan al sistema, eltamaño de la cola es de k – s. Se trata de unos costos de naturaleza parecida alos de espera, aunque en ocasiones pueden interpretarse como reduccionesde ventas actuales (por abandono). Se caracterizan por Ca, que es el costo deabandono por unidad para un periodo de tiempo determinado.
Para un determinado periodo de tiempo, las unidades que abandonan elsistema valdrán:
Unidades que abandonan = λ x Pk
Donde λ representa la tasa de llegadas al sistema referida al periodoconsiderado. La tasa de entradas al sistema será λ·(1 – Pk).
Los costos de abandono serán, entonces:
Costos de abandono = Ca x λ x Pk [$ / periodo]
Costos de una Línea de Espera (4)
Las circunstancias para las que se optimiza el sistema variarán en cada caso,pero es habitual tomar como parámetro el número s de servidores enparalelo. Se trata entonces de encontrar el número de servidores queminimiza los costos totales:
Costos totales = Costos de servicio + Costos de espera + Costos deabandono
Costos de una Línea de Espera (3)