INVESTIGACION DE OPERACIONESProgramacin Lineal

Ing. Edgar Del Rio Q

MODELOImplementacinDecisinfinalComparacin (+) o ( -)AjustesSistema Real

El problemaCada vez es ms difcil asignar los recursos o actividades de la forma ms eficazLos recursos son escasosLos sistemas son cada vez ms complejos

Investigacin de operaciones (I.O.)La investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-mquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacin.

Investigacin de operaciones (I.O.) Es la aplicacin del mtodo cientfico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestin y organizacin de sistemas complejosSu objetivo es ayudar a la toma de decisionesRequiere un enfoque interdisciplinario

Investigacin de operaciones (I.O.) Proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro

Historia de la I.O.Se aplica por primera vez en 1780Antecedentes:Matemticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)Estadstica: fenmenos de espera (Erlang, Markov) (aos 20)Economa: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (aos 20)

Historia de la I.OEl origen de la I.O. moderna se sita en la 2 Guerra Mundial - Exista una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva. Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido principalmente a:

Historia de la I.O.Un ejemplo sobresaliente es el mtodo simplex para resolver problemas de programacin lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas caractersticas de la investigacin de operaciones, como programacin lineal, programacin dinmica, lneas de espera y teora de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del trmino de la dcada de 1950.

Historia de la I.O.progreso tericoRAND (Dantzig)Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)gran desarrollo de los ordenadores

Actualidad de la I.O.Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia ArtificialMs informacin:Sociedad Espaola de Estadstica e Inv. Op. (SEIO) www.cica.es/aliens/seioAssociation of European O.R. Societies (EURO)www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.htmlInstitute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) www.informs.orgInternational Federation of O.R. Societies (IFORS) www.ifors.org

El mtodo de la I.O.Definicin del problemaFormulacin del problema y construccin del modeloResolucinVerificacin, validacin, refinamientoInterpretacin y anlisis de resultadosImplantacin y uso extensivoA lo largo de todo el proceso debe haber una interaccin constante entre el analista y el cliente

El modeladoEs una cienciaanlisis de relacionesaplicacin de algoritmos de solucinY a la vez un artevisin de la realidadestilo, elegancia, simplicidaduso creativo de las herramientasexperiencia

Definicin del problemaConsiste en identificar los elementos de decisinobjetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)alternativaslimitaciones del sistemaHay que recoger informacin relevante (los datos pueden ser un grave problema)Es la etapa fundamental para que las decisiones sean tiles

Formulacin del problemaModelo: representacin simplificada de la realidad, que facilita su comprensin y el estudio de su comportamientoDebe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representacinModelo matemtico: modelo expresado en trminos matemticoshace ms claras la estructura y relacionesfacilita el uso de tcnicas matemticas y ordenadoresa veces no es aplicable

Construccin del modeloTraduccin del problema a trminos matemticosobjetivos: funcin objetivoalternativas: variables de decisinlimitaciones del sistema: restriccionesPero a veces las relaciones matemticas son demasiado complejasheursticossimulacin

Tipos de modelosDeterminsticosProgramacin matemticaProgramacin linealProgramacin enteraProgramacin dinmicaProgramacin no linealProgramacin multiobjetivoModelos de transporteModelos de redesProbabilsticosProgramacin estocsticaGestin de inventariosFenmenos de espera (colas)Teora de juegosSimulacin

SOLUCINDeterminar los valores de las variables de decisin de modo que la solucin sea ptima (o satisfactoria) sujeta a las restriccionesPuede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

Verificacin y validacinEliminacin de erroresComprobacin de que el modelo se adapta a la realidad

Interpretacin y anlisisRobustez de la solucin ptima obtenida: Anlisis de sensibilidadDeteccin de soluciones cuasi-ptimas atractivas

IMPLANTACINSistema de ayuda y mantenimientoDocumentacinFormacin de usuarios

PROGRAMACIN LINEALSe refiere a varias tcnicas matemticas relacionadas que se utilizan para asignar recursos limitados entre demandas en competencia de una manera optima.Para que se justifique utilizar la PL, en una situacin problemtica debe reunir cinco condiciones esenciales.debe haber recursos limitadosSe debe tener claro un objetivo explcitoDebe haber una condicin linealDebe existir homogeneidaddivisibilidad

El modelo de PL.

El modelo de PL.Z: funcin objetivo (MAX o MIN)C: (c1,..,cn): vector de coeficientes de la FO.Xij (x1,..,xn): vector de variables de decisinAij(..,aij,..): matriz de coeficientes tcnicos (restricciones)bi(b1,..,bm): vector de demandas, disponibilidades

Opt CTXs.a.AX bx 0Forma cannica

EJEMPLOUna empresa produce dos tipos bsicos de tubo plstico, cada tubo tiene una longitud estndar de 100 pies. Tres recursos son fundamentales para la produccin de esos tubos: las horas de extrusin, las horas de embalaje y un aditivo especial para las materias primas del plstico. para la fabricacin de un tubo tipo 1 se requieren 4h en extrusin, 2h en embalaje y 2lb de mezcla aditiva. Un tubo tipo 2 requiere 6h en extrusin, 2h en embalaje y 1lb de mezcla

EJEMPLOLa empresa dispone de 48h en extrusin, 18h para embalaje y 16lb de mezcla aditiva. La contribucin a las ganancias por cada 100pies de tubo es de $34 para el tipo1 y $40 para el tipo2. que cantidad de cada tipo de tubo ser necesario producir semanalmente para maximizar las ganancias?

FORMULACIONPaso 1. definir las variables de decisin: responder a las preguntas: Xi: que es?, que dimensin?, Que temporalidad?

X1:cantidad de tubos tipo1 a fabricar en longitudes de 100pies semanalmente X2:cantidad de tubos tipo2 a fabricar en longitudes de 100pies semanalmente

FORMULACIONPaso2. definir la funcin objetivo (meta): MAX o MIN: Z=C1X1+C2X2++CnXn

MAX: Z=34X1+40X2

Paso3. formular conjunto de restricciones de la forma:

4X1+6X2

FORMULACION

PASO 4. Condicin de no negatividad

X1,X2>=0

MODELO MATEMATICOpara la empresa fabricante de tubos MAX: Z=34X1+40X2 S.A 4X1+6X2

TIPOS DE SOLUCION:METODO GRAFICOPASOS BSICOS:PASO1:convertir inecuaciones en ecuaciones y trazar la grafica de cada una de las restriccionesPASO2: identificar la regin de solucin factiblePASO3: trazar la grafica de la lnea de la F.OPASO4: con la ayuda de la lnea de la FO encontrar la solucin optimaPASO5: encontrar la solucin algebraica y su interpretacin.

Grafica de:Restriccin 1

Grafica deRestricciones

SOLUCION GRAFICA

INTERPRETACION DE LOS RESULTADOSAnlisis de la estructura de produccin de la empresa:

la empresa debe fabricar 3 tubos tipo1 en longitudes de100pies, as mismo fabricar 6 tubos tipo2 de 100 pies para obtener utilidades mximas semanales de $342=

INTERPRETACION DE LOS RESULTADOSAnlisis econmico y tecnolgico. recurso R1: horas en extrusin 4X1+6X2

Restriccin 2 Horas de embalaje 2X1+2X2

INTERPRETACION DE LOS RESULTADOSRestriccion 3 mezcla aditiva 2X1+ X2

Anlisis de las variables no bsicas: S1(slack_C1), S2(slack_C2) INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS

Anlisis S1: slack_C1 horas en extrusin por cada hora adicional en el proceso de extrusin se tiene:Aumenta la utilidad en $3.00= (precio sombra)De las 4lb sobrantes de mezcla se utilizan 0.5lbSe deja de fabricar tubo tipo1Se fabrica tubo tipo2 Por cada hora perdida en el proceso se obtiene todo lo contrarioINTERPRETACION DE LOS RESULTADOS

Anlisis S2:horas en embalaje por cada hora adicional en el proceso de embalaje se tiene:Aumenta la utilidad en $11.00=(precio sombra)De las 4lb sobrantes de mezcla se utilizan 2lbSe fabrica 1 tubo tipo1Se deja de fabricar 1 tubo tipo2 Por cada hora perdida en el proceso se obtiene todo lo contrario.

EJEMPLOUna joyera produce dos tipos de joyas: la tipo 1 y la tipo 2. Cada joya tipo 1 contiene 2 rubes, 4 diamantes,1 esmeralda y se vende a $10000.000/unidad con un costo de produccin de $5000.000/unid. Cada joya tipo 2 contiene un rub y 1 diamante, 4 esmeraldas y se vende a $6000.000 con un costo de produccin de $2500.000/unid. La joyera dispone de 30 rubes, 40 diamantes y 50 esmeraldas para producir las joyas. Por la situacin del mercado, se deben producir al menos 10 joyas del tipo 2 por semana.Cuantas joyas de cada tipo se deben producir semanalmente, para maximizar la utilidad neta?

FORMULACIONPaso 1. definir las variables de decisin: Xi que es?, que dimensin?, Que temporalidad?Que es?: joyasQue dimensin?: unidad, numero de, cantidad de, Que temporalidad?: semanalmente X1:cantidad de joyas tipo1 a fabricar semanalmente X2:cantidad de joyas tipo2 a fabricar semanalmente

FORMULACIONPaso2. definir la funcin objetivo (meta):

MAX o MIN: Z=C1X1+C2X2++CnXn

MAX: Z=5X1+35X2

Paso3. formular conjunto de restricciones de la forma:

2X1+X2

FORMULACION

PASO 4. Condicin de no negatividad

X1,X2>=0

MODELO MATEMATICO: Empresa fabricante de joyas MAX: Z=5X1+35 X2 S.A 2X1+X2

TIPOS DE SOLUCION:METODO GRAFICOPASOS BSICOS:PASO1:convertir inecuaciones en ecuaciones y trazar la grafica de cada una de las restriccionesPASO2: identificar la regin de solucin factiblePASO3: trazar la grafica de la lnea de la F.OPASO4: con la ayuda de la lnea de la F.O encontrar la solucin optimaPASO5: encontrar la solucin algebraica y su interpretacin.

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

EJERCICIOS1. Una fbrica produce nevera utilitarias y de lujo. La fbrica est dividida en tres secciones: Montaje, pintura y acabados. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:

El mximo nmero de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje, 150 en pintura y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el costo de producir una nevera de lujo es 350.000 y el de una utilitaria es 220.000 y su precio de venta es de 650.000 y 480.000 respectivamente, Cuntas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el mximo beneficio?

Montaje pinturaAcabado Utilitaria 3 horas2 1/2 horas 3 horas Lujo 3 horas 4 1/2 horas 6 horas

EJERCICIOS2. Una entidad financiera capta depsitos y presta dinero. La captacin de depsitos lleva una hora para convencer al cliente y otra de trabajo burocrtico. El prstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrtico. El mximo nmero de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrtico. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar depsitos. Cuntas operaciones de cada tipo le conviene realizar para obtener el mximo beneficio?

EJERCICIOS3. Una compaa de productos electrnicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una lnea de produccin de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera lnea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrnicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria mxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30.000 y $ 20.000 respectivamente. Determine la produccin diaria ptima de cada modelo de radio.

EJERCICIOS4. Una compaa elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria est limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los ndices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $200.000 y $400.000 por unidad. El costo de producir cada unidad es de $110.000 y 245.000 respectivamente. Determine la asignacin ptima de la materia prima a los dos productos.

EJERCICIOS5. Un fabricante de aviones produce en dos fbricas tres tipos de aparatos: el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar semanalmente a un emirato rabe como mximo 10 aviones del tipo A, por mucho 2 del tipo B y como mnimo 3 del tipo C. el fabricante recibe de utilidad 40 millones de pesos por la venta de aviones tipo B, 26 millones por los de tipo A y 38 millones por los de tipo C. La primera fbrica dispone de un total de 220 horas-hombre semanal, de las cuales para la fabricacin de aviones tipo A se requieren de 45 horas-hombre, 35 horas-hombre para los de tipo B y 34 horas para tipo C. mientras que la segunda fabrica dispone de 250 horas-hombre semanal, de las cuales se requieren respectivamente, 36, 36 y 36 horas-hombre. Cuntos aviones debe fabricar por semana para cumplir con el emirato y obtener la mxima ganancia?

GRACIAS