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Introducao ao Curso de Algoritmos Numericos I

Lucia Catabriga

[email protected]

August 29, 2017

Lucia Catabriga (UFES) ANI/DI August 29, 2017 1 / 31

Computacao Cientıfica

O que e Computacao Cientıfica

E uma area multidisciplinar que cresce rapidamente com conexoes paraciencias, engenharia, matematica e computacao.Projeto e analise de algoritmos para resolver numericamente problemasmatematicos em ciencia e engenharia.Reconstrucao ou predicao de fenomenos e processos.


Tecnicas de Solucao

Teorica: Utiliza informacoes teoricas conhecidas para obter, em geral,uma expressao explıcita para a solucao de um problema. Ex:∫ 1−1 x dx = x2

2 |1−1 = 0.

Experimental: Utiliza equipamentos de medicao para simular processofısicos nas mais diversas areas do conhecimento.

Numerica: Utiliza ferramentas numericas e computacionais parasimular numericamente problemas nas mais diversas areas doconhecimento.



A simulacao e hoje em dia um parceiro igual e indispensavel noavanco do conhecimento cientıfico junto a investigacao teorica eexperimental.

Os objetivos dependem da tarefa concreta da simulacao:

reconstruir e compreender cenarios conhecidos → desastres naturais.otimizacao de cenarios conhecidos → processos tecnicos.predicao de cenarios nao conhecidos → previsao do tempo, estudos denovos materiais.



Tecnica Vantagens DesvantagensTeorica mais geral restrita a geometrias e processos fısicos simples

formula fechada geralmente restrita a problemas linearesExperimental mais realista equipamento exigido

problemas de escaladificuldade de medicaocusto operacional

Numerica nao ha restricao a linearidade erros de truncamento e arredondamentogeometria e problemas complicados custos operacionaisevolucao temporal do processo prescricao das condicoes de contorno apropriadas


Exemplos de aplicacao da Computacao Cientıfica

dinamica de fluidos: a aerodinamica de carros e aeronaves, processosde combustao, espalhamento de agentes poluentes.

tecnologia de semicondutores: criacao de cristais, processos deoxidacao;

clima e previsao do clima: acompanhamento de tornados,aquecimento global;

fısica: simulacoes de partıculas, dobramento de proteınas, design dedrogas.

matematica financeira: previsao de precos de acoes e de opcoesaplicacoes financeiras.


Por que Simulacao Numerica?

Algumas vezes experimentos sao impossıveis!

Astrofısica: ciclo de vida de galaxias

Geofısica: deslocamento do campo magnetico da terra




Pesquisa sobre clima: Corrente do Golfo, Efeito La nina

Previsao do tempo: tornados, enchentes




Seguranca: Ataque de bombas

Medicina:



Algumas vezes experimentos nao sao bem-vindos!

Testes de armas nucleares:

Estabilidade de edificacoes:



Algumas vezes experimentos sao extremamente custosos!Analise e estudo de proteınas:

Dinamica molecular:



Algumas vezes simulacoes sao mais baratas e apresentam respostasmais rapidas!

aerodinamica, turbulencia:


Do fenomeno a predicao


Modelagem Matematica

Modelagem e uma abstracao formal (simplificada) da realidade.

Problemas na obtencao do modelo matematico:

Quais quantidades tem influencia e o quanto elas sao importantes?Quais relacoes existem entre elas?Qual e a tarefa determinante do processo (resolver, otimizar, etc)?

Problemas na analise do modelo matematico:

O que pode ser dito sobre a existencia e unicidade da solucao?Os resultados dependem de que forma dos dados de entrada?Como a acuracia do modelo pode ser representada?O modelo e bem-representado pelo tratamento numerico?

Nao ha um unico modelo correto, mas varios sao possıveis,

Hierarquia do modelo: Acuracia × Complexidade


Etapas para uma solucao: Exemplo simples

Problema Real: Calcular a area sob uma curva.

Modelo Matematico:

Area =

∫ b

af (x)dx

onde a, b, f (x) sao dados conhecidos do problema.



Algoritmo Numerico:

Area = AreaTrapezio + Erro



Algoritmo Numerico:

Area =4∑

n=1

An + Erro



Codigo Computacional: usar uma linguagem computacional(C,Fortran,C++,etc) para implementar o modelo numerico.

Verificacao do Algoritmo Computacional: construir, sempre quepossıvel, problemas com solucao conhecida e verificar a acuracia dasolucao aproximada obtida;Resolucao de Aplicacoes: obter solucoes numericas de problemas deinteresse pratico.


Simulacao Numerica - Tratamento Numerico de Modelos

Aproximacoes e compromissos:

Representacao de numeros: numero fixos de dıgitos ao inves denumeros reaisRepresentacao de funcoes: aproximacoes polinomiais ao inves de series.Representacao de domınios: polıgonos limitados e representados porpontos fixos.Representacao de operadores: quocientes de diferencas ao inves dederivacoes.Representacao de espacos de funcoes: somente espacos de dimensaofinita.


Simulacao Numerica - Tratamento Numerico de Modelos

Requerimentos a serem cumpridos por algoritmos numericos:

Eficiencia: elevada acuracia com investimento moderado emarmazenamento.Rapidez: solucao aproximada e calculada em pouco tempocomputacional.Estabilidade: erros qualitativamente pequenos (nao significativos) nosresultados.Robustez: pode ser aplicado para uma classe de problemas de maisabrangentes.

Principais tarefas:

Descrever: equacoes discretizadas.Solucionar: sistemas resultantes de equacoes discretas.


Laboratorios e Intituicoes

Membro:

Laboratorio de Computacao e Alto Desempenho (LCAD/DI/UFES):http://www.lcad.inf.ufes.br/

Laboratorio de Otimizacao(LABOTIM/DI/UFES):http://www.labotim.inf.ufes.br/

Doutorado e Pos-Doutorado:

Nucleo Avancado de Computacao de Alto Desempenho(NACAD/Coppe/UFRJ): http://www.nacad.ufrj.br/

Institute for Computational Engineering and Science (ICES/UT atAustin): https://www.ices.utexas.edu/

Colaboracoes:

Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica (LNCC/MCTI):http://www.lncc.br/

Texas Advanced Computing Center (TACC/UT at Austin,https://www.tacc.utexas.edu/home)


Recursos de Informatica

Projeto Veıculo Autonomo da UFES (LCAD/DI/UFES,(https://lcadufes.wordpress.com/)


Supercomputadores Santos Dumont (esquerda) e Lobo Carneiro (direita)do sistema SINAPAD, instalados respectivamente no LNCC e naCOPPE/UFRJ.


Stampede is one of the most powerful current supercomputers in the U.S.for open science research. Able to perform nearly 10 quadrillion operationsper second (TACC/UT at Austin).


Um exemplo Pratico - Tsunami Baıa de Guanabara 2004


Crescimento Tumoral


Programa do Curso Algoritmos Numericos I

Prof.: Lucia Catabriga, CT VII sala 06 - tel.: 40092160homepage: www.inf.ufes.br/∼luciacemail: [email protected]: estudar e implementar algoritmos numericos para solucionar problemas, modeladosmatematicamente, nas mais diversas areas do conhecimento humano.

Erros de Arredondamento no processo de solucoes aproximadas

Sistemas Lineares

Interpolacao Polinomial

Ajuste de Curvas pelo Metodo dos Quadrados Mınimos

Solucoes Numericas de Equacoes Diferenciais

Integracao Numerica

Zeros Reais de Funcoes Reais

Avaliacao: 2 provas parciais; 5 exercıcios de laboratorio; 2 trabalhos computacionais,Media Parcial = 0.3*Media dos trabalhos + 0.2*Media dos Exercıcios + 0.5*Media das Provas1a. Prova: 20/10 2a. Prova: 20/12 (Mecanica);1a. Prova: 20/10 2a. Prova: 19/12 (Computacao);


Cronograma - Mecanica

Agosto Novembro23 - Introducao ao Curso 01 - Aula de Laboratorio25 - Erros de Arredondamento 03 - Recesso30 - Sistemas Lineares - Met. Diretos 08 - Nao tem aula

10 - EDPSetembro 15 - Feriado

01 - Aula de Laboratorio 17 - EDP06 - Nao tem aula 22 - Integracao Numerica08 - Feriado 24 - Integracao Numerica13 - Sistemas Lineares - Met. Iterativos 29 - Aula de Laboratorio20 - Aula de Laboratorio22 - Sistemas Lineares Dezembro27 - Ajuste de Curvas 01 - Raızes de Equacoes29 - Aula de Laboratorio 06 - Raızes de Equacoes

08 - Aula de LaboratorioOutubro 13 - Revisao04 - Ajuste de Curvas 15 - Revisao06 - Interpolacao Polinomial 20 - Segunda Prova11 - Aula de Laboratorio 22 -13 - Recesso 27 -18 - Exercıcios 28 -20 - Primeira Prova25 - EDO - PVI27 - EDO - PVC


Cronograma - Computacao

Agosto Novembro25 - Introducao ao Curso 03 - Recesso29 - Erros de Arredondamento 07 - Nao tem aula

10 - Aula de LaboratorioSetembro 14 - EDP01 - Aula de Laboratorio 17 - EDP05 - Sistemas Lineares - Met. Diretos 21 - Integracao Numerica08 - Feriado 24 - Integracao Numerica12 - Sistemas Lineares - Met. Iterativos 28 - Aula de Laboratorio15 - Aula de Laboratorio19 - Sistemas Lineares22 - Ajuste de Curvas Dezembro26 - Aula de Laboratorio 01 - Raızes de Equacoes29 - Ajuste de Curvas 05 - Raızes de Equacoes

08 - Aula de LaboratorioOutubro 12 - Revisao03 - Interpolacao Polinomial 15 - Revisao06 - Aula de Laboratorio 19 - Segunda Prova11 - Exercıcios 22 -13 - Recesso 27 -18 - Revisao 28 -20 - Primeira Prova24 - EDO - PVI27 - EDO - PVC31 - EDO - PVC


Bibliografia Basica

Bibliografia Basica[1] Algoritmos Numericos, Frederico F. Campos, Filho - 2a Ed., Rio

de Janeiro, LTC, 2007.[2] Metodos Numericos para Engenharia, Steven C. Chapa e

Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5a Ed., 2008.[3] Calculo Numerico - Aspectos Teoricos e Computacionais, Marcia

A. G. Ruggiero e Vera Lucia da Rocha Lopes, Ed. Pearson Education, 2a

Ed., 1996.


Bibliografia Complementar

Bibliografia Complementar[4] Calculo Numerico, Neide Maria Bertoldi Franco, Ed. Pearson

Prentice Hall, 2007.[5] Metodos Numericos, Maria Cristina C. Cunha, Ed. Unicamp, 2a

Ed., 2003.[6] Numerical methods in engineering with MATLAB, Jaan

Kiusalaas, Cambridge University Press, 2005.[7] Calculo numerico: caracterısticas matematicas e computacionais

dos metodos numericos, Decio Sperandio, Joao Texeira Mendes e LuizHenry Monken Silva, Pearson Prentice Hall, 2003.

[8] Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluidos - ConceitosBasicos e Aplicacoes, Armando de Oliveira Fortuna, Editora daUniversidade de Sao Paulo, 2000.


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