Introducción alos límites de

funciones de Ren R

Manuel Ibarra Contreras

2016

A los libres y forzados.

1 Introducción

Si queremos buscar en la historia preguntas sobre límites, lasprimeras se remontan a los antiguos griegos. Ellos realmente noentendían el concepto de límite (ver por ejemplo las paradojasde Zenón). Este no es nada trivial pero su comprensión y apro-piación es fundamental para la comprensión de un desarrollomoderno del cálculo. Las cuestiones sobre los límites surgieronde manera más intensa en el desarrollo del cálculo. Ni I. New-ton ni G.W. Leibniz entendian de límites. Fueron necesarios losesfuerzos combinados de un buen número de genios, incluyen-do a los matemáticos del siglo XIX, Bolzano, Cauchy, Riemann,Dirichlet, Weierstrass y otros para finalmente concretar el con-cepto de límite como ahora lo conocemos. Reiteramos, la comu-nidad matemática necesitó de varios cientos de años, despuésdel descubrimiento del cálculo, para organizar su desarrollo ló-gico alrededor del concepto de límite y de otros cien años paraescribir la definición precisa moderna de límite.

La dificultad mencionada anteriormente es la razón por laque se advierte al lector que necesitará tiempo y esfuerzo conti-nuo para trabajarlo y reflexionar acerca de su significado. Hare-mos uso de algunos temas que se ven en el curso de MatemáticasBásicas (ver [1]). Usaremos propiedades profundas de R paraobtener resultados nuevos y muy importantes para el cálculo.Después de haber estudiado este concepto empezaremos a vercon otros ojos al conjunto de números reales.

3

2 Límites

2.1. Límite de una función en un punto

En esta sección estudiaremos el concepto de límite de unafunción en un punto x0. Intuitivamente lo que haremos seráestudiar el comportamiento de dicha función en la cercanía dex0.

Comencemos con una función f , definida en un intervaloabierto (a, b) con la propiedad de que x0 ∈ R es un elemen-to de él, no importando si f está o no definida en x0. Estamosinteresados en saber si las imágenes f (x), para x próximos ax0, se aproximan a un número real `. Una de las primeras ideaspara saber si f tiene este comportamiento es considerar una lis-ta "suficiente"de números en el intervalo (a, b) y evaluar a f encada uno de los elementos de esta lista. El problema de unalista así es que siempre será una lista con una cantidad finitade números reales y, en general, hay una infinidad de puntos"próximos a x0". De esta manera será imposible averiguar si lasimágenes de f , de todos los puntos "próximos a x0", se aproxi-man a un número real `.

Aunque al lector le sea difícil pensar que ha trabajado conideas más cercanas a lo que queremos llegar, es posible que elsiguiente ejemplo lo convenza de que así ha sido.

Ejemplo 2.1. Encontrar el radio máximo r, del intervalo I concentro en −1, de tal manera que si x ∈ I, entonces x2 dista de 1en menos que 1

5 .

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2 Límites

Lo que deseamos encontrar es r > 0, máximo con la propie-dad de que:

Si |x + 1| < r, entonces |x2 − 1| < 15

. (2.1)

Ahora, dado que |x2− 1| < 15 ⇔ x ∈ (−

√65 , − 2√

5)∪ ( 2√

5,√

65 )

y que −1 ∈ (−√

65 , − 2√

5) (como el lector puede verificar), se

tiene que:

r =min{−1 +√

65 , −

√65 + 1}

satisface las condiciones pedidas en (2.1). Si ahora definimos lafunción f como f (x) = x2, podemos interpretar el enunciado(2.1) de la siguiente manera: cada vez que consideremos x pró-ximos a −1 en menos que r, obtendremos que los valores de fpara estos x, serán próximos a 1 en menos que 1

5 .

Si observamos con cuidado lo que hicimos en el Ejemplo 2.1nos daremos cuenta que si cambiamos 1

5 por cualquier otro nú-mero, el valor del número r también cambiará. Entonces, si que-remos averiguar si nuestra función f tiene un comportamientogeneral similar al obtenido en el Ejemplo 2.1, entonces el plan-teamiento sería: ¿es posible obtener un intervalo centrado en−1 de tal manera que x2 diste de 1 en menos que un númeroreal positivo dado?, en otra palabras:

Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que

si |x + 1| < δ, entonces |x2 − 1| < ε. (2.2)

Si seguimos el procedimiento del Ejemplo 2.1 obtenemos que:|x2 − 1| < ε ⇔ 1 − ε < x2 < 1 + ε ⇔ x2 > 1 − ε y |x| <√

1 + ε. Ahora, x2 > 1− ε ⇔ x2 > 1− ε ∧ (1− ε ≥ 0 ∨ 1−

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2 Límites

ε < 0) ⇔ (x2 > 1 − ε ∧ 1 − ε ≥ 0) ∨ (x2 > 1 − ε ∧1 − ε < 0) ⇔ [(x >

√1− ε ∨ x < −

√1− ε) ∧ 1 − ε ≥

0] ∨ x ∈ R. Por lo tanto |x2 − 1| < ε ⇔ [1 − ε ≥ 0 ∧x ∈ [(−

√1 + ε,

√1 + ε) ∩ (

√1− ε, ∞)] ∪ [(−

√1 + ε,

√1 + ε) ∩

(−∞,√

1− ε)]] ∨ [1− ε < 0 ∧ x ∈ (−√

1 + ε,√

1 + ε)] ⇔[1− ε ≥ 0 ∧ x ∈ (

√1− ε,

√1 + ε) ∪ (−

√1 + ε,−

√1− ε)] ∨

[1− ε < 0 ∧ x ∈ (−√

1 + ε,√

1 + ε)].Es evidente que −1 ∈ (−

√1 + ε, −

√1− ε) y que −1 ∈

(−√

1 + ε,√

1 + ε) así que si δ es el mínimo de las distanciasde −1 a cada uno de los extremos del intervalo, entonces sesatisface que:

Si |x− (−1)| < δ, entonces |x2 − 1| < ε. (2.3)

En otras palabras, hemos demostrado lo que se enuncia en (2.2),y lo que esto significa es que cada vez que nos aproximemos a−1 por números x, no importando de qué manera, x2 será unnúmero próximo a 1.

A continuación resumimos nuestra discusión anterior peroahora para el caso de cualquier función. Vale la pena insistir enque la siguiente definición es la base para discutir y desarrollarlos conceptos de derivada e integral de una función.

Definición 2.2. Sea f una función definida en un intervalo abiertoque tiene a x0 ∈ R como elemento, excepto posiblemente en x0. Elnúmero real ` es el límite de f cuando x tiende a x0 si y sólo si paratodo ε > 0, existe δ > 0 con la propiedad de que:

Si x ∈ dom f y 0 < |x− x0| < δ, entonces | f (x)− `| < ε. (2.4)

Geométricamente, la Definición 2.2 enuncia lo siguiente: da-da cualquier franja horizontal de ancho 2ε y centrada en la rectay = `, existe una franja vertical de ancho 2δ y centrada en la rec-ta x = x0 con la propiedad de que la gráfica de f , restringida a

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2 Límites

(x0 − δ, x0 + δ) \ {x0}, está dentro del rectángulo formado porla intersección de estas dos franjas. Notemos que la existenciadel número real ` depende de los valores f (x), para númerosx cercanos a x0, pero no de f (x0), aún cuando la función f es-té definida en x0, es decir, la existencia de f (x0) no afecta laexistencia de `.

Antes de iniciar con el estudio de los ejemplos probemos quenuestra Definición 2.2 es buena, es decir, que en caso de existirel número real `, éste es único.

Teorema 2.3. Si existe el límite de una función f cuando x tiende ax0, entonces es único.

Demostración. Supongamos que existen `1, `2 ∈ R, `1 6= `2y que ambos son límite de la función f cuando x tiende a x0,entonces |`1 − `2| > 0, así que, aplicando la Definición 2.2 alnúmero real positivo |`1−`2|

2 , obtenemos la existencia de dos nú-meros reales positivos, δ1 y δ2, con las siguientes propiedades:

Si x ∈ dom f y 0 < |x− x0| < δ1, entonces | f (x)− `1| < |`1−`2|2

y

Si x ∈ dom f y 0 < |x− x0| < δ2, entonces | f (x)− `2| < |`1−`2|2 .

Si ahora consideramos δ =min {`1, `2}, entonces para x ∈dom f y 0 < |x − x0| < δ se cumple que 0 < |x − x0| < δ1y 0 < |x − x0| < δ2, y por lo tanto son ciertas las siguientesdesigualdades:

| f (x)− `1| < |`1−`2|2 y | f (x)− `2| < |`1−`2|

2 .

En consecuencia, para x ∈ dom f y 0 < |x− x0| < δ se obtieneque:

|`1 − `2| = |`1 − f (x) + f (x)− `2|

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2 Límites

≤ |`1 − f (x)|+ | f (x)− `2|= | f (x)− `1|+ | f (x)− `2|

<|`1 − `2|

2+|`1 − `2|

2= |`1 − `2|,

es decir, |`1 − `2| < |`1 − `2| que contradice la tricotomía en R.Por lo tanto, no pueden existir dos números reales que sean,ambos, límnite de f cuando x tiende a x0; concluimos así que ellímite de f cuando x tiende a x0 es único si es que existe.

¡Ahora sí!, el Teorema 2.3 nos permite adoptar una notaciónpara cuando ` ∈ R es el límite de la función f cuando x tiendea x0; de aquí en adelante este hecho lo denotaremos como

lımx→x0

f (x) = ` (2.5)

en el entendido de que se tiene la igualdad (2.5) si ocurre todolo que está enunciado en la Definición 2.2.

Observación 2.4. Lo que probamos en (2.3) es que lımx→−1

x2 = 1

Ejemplo 2.5. (1). Consideremos cualquier número real k y de-finamos la función f : R→ R como f (x) = k para cada x ∈ R.Probaremos que para todo número real x0, lım

x→x0f (x) = k. Sea

ε > 0. Queremos probar que existe δ > 0 tal que

si 0 < |x− x0| < δ y x ∈ dom f , entonces | f (x)− k| < ε. (2.6)

Notemos que | f (x)− k| = |k− k| = 0 y que ε > 0; por lo tanto,el consecuente de la condicional que está en (2.6) siempre esverdadero, lo que significa que no importa el valor de δ > 0,(2.6) es verdadera, en particular si elegimos δ = ε se satisface(2.6) y así concluimos que lım

x→x0f (x) = k.

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2 Límites

(2). Probar que lımx→1

(3x− 4) = −1.

Sea ε > 0. Probaremos que existe un número real δ > 0 con lapropiedad de que

si 0 < |x− 1| < δ y x ∈ dom f ,

entonces |(3x− 4)− (−1)| < ε. (2.7)

Notemos que

|(3x− 4)− (−1)| = |3x− 3| = |3(x− 1)| = 3|x− 1|

y como esta última expresión tiene a |x − 1 como uno de susfactores, entonces ya es fácil encontrar el número real δ con lascaracterísticas enunciadas en (2.7) pues

3|x− 1| < ε⇔ |x− 1| < ε

3y esto último significa que si δ = ε

3 y 0 < |x− 1| < δ, entonces

|3(x− 4)− (−1)| = 3|x− 1| < 3(ε

3) = ε.

En otras palabras, para ε > 0 hemos encontrado δ = ε3 > 0 de

tal manera que se satisface (2.7), lo que nos permite concluirque

lımx→1

(3x− 4) = −1.

(3). Aquí generalizaremos el Ejemplo 2.1 (2). Probaremos quesi f (x) = mx + b, donde m, b ∈ R, m 6= 0 y x0 ∈ R, entonces

lımx→x0

f (x) = mx0 + b.

Sea ε > 0. Queremos encontrar un número δ > 0 que tenga lapropiedad de que

Si 0 < |x− x0| < δ y x ∈ dom f ,

entonces | f (x)− (mx0 + b)| < ε.

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Tenemos que:

| f (x)− (mx0 + b)| = |mx + b−mx0 − b|= |mx−mx0| = |m||x− x0|

y como |m||x − x0| < ε ⇔ |x − x0| < ε|m| ya que |m| 6= 0,

entonces para δ = ε|m| y 0 < |x− x0| < δ se obtiene lo siguiente

| f (x)− (mx0 + b)| = |m||x− x0| < |m|ε

|m| = ε,

es decir, si 0 < |x − x0| < δ y x ∈ dom f , entonces | f (x) −(mx0 + b) < ε. Por lo tanto lım

x→x0f (x) = mx0 + b.

(4). Probar que lımx→2

(2x2 + 1) = 9.

Sea ε > 0. Buscaremos un número real δ > 0 tal que

si 0 < |x− x0| < δ y x ∈ dom f , entonces |(2x2 + 1)− 9| < ε.

Como

|(2x2 + 1)− 9| = |2x2 − 8| = |2(x2 − 4)| = |2||(x2 − 4)|= 2|x− 2||x + 2|,

encontraremos el número real δ > 0 si logramos encontrar M ∈R+ con la propiedad de que |x + 2| ≤ M. Observemos que eneste caso sólo nos interesan los números próximos a 2 así quepara encontrar M consideremos a los x ∈ R tales que |x− 2| <1 y como esto es equivalente a −1 < x− 2 < 1⇔ 3 < x + 2 < 5y esto último implica que |x+2|<5, entonces obtenemos que

|x− 2| < 1 ⇒ |x + 2| < 5

y por lo tanto

|(2x2 + 1)− 9| = 2|x− 2||x + 2| < 2|x− 2|5= 10|x− 2| siempre que |x− 2| < 1 (2.8)

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y dado que

10|x− 2| < ε⇔ |x− 2| < ε10

obtenemos lo siguiente: si δ =mín{1, ε10} y 0 < |x − 2| < δ,

entonces

|x− 2| < 1 y |x− 2| < ε10

y así, por (2.8),

|(2x2 + 1)− 9| < 10|x− 2| < 10(ε

10) = ε.

Hemos probado que , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

si 0 < |x− 2| < δ, entonces |(2x2 + 1)− 9| < ε,

es decir, lımx→2

(2x2 + 1) = 9.

(5). Probar que lımx→ 1

3

1x= 3.

Sea ε > 0. De la definición de límite sabemos que hay queencontrar un número real δ > 0 tal que

Si 0 < |x− 13| < δ y x 6= 0, entonces | 1

x− 3| < ε. (2.9)

Notemos que:

| 1x− 3| = |1− 3x

x| = |1− 3x|

|x| =|3x− 1||x| =

3|x| |x−

13|;

así que para hallar el número real δ > 0 que cumpla (2.9), aco-taremos la función 3

|x| en puntos próximos a 13 :

|x− 13| < 1

6⇔ −1

6< x− 1

3<

16⇔ 1

6< x <

12

⇒ |x| > 16⇒ 1|x| < 6⇒ 3

|x| < 18

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y por lo tanto

| 1x− 3| = 3

|x| |x−13| < 18|x− 1

3| (2.10)

siempre que |x− 13 | <

16 y ya que 18|x− 1

3 | < ε⇔ |x− 13 | <

ε18 ,

si elegimos δ =mín{ 16 , ε

18} y consideramos 0 < |x − 13 | < δ,

entonces

0 < |x− 13| < 1

6y |x− 1

3| < ε

18y por consiguiente, usando (2.10)

| 1x− 3| = 18|x− 1

3| < 18

ε

18= ε

y por lo tanto, hemos demostrado (2.9), lo cual significa que

lımx→ 1

3

1x= 3.

Seguramente el lector se estará preguntando por qué para aco-tar la función 3

|x| consideramos un intervalo de radio 16 centrado

en 13 y no un intervalo de radio arbitrario, o por ejemplo de ra-

dio 1 como en el Ejemplo 2.5(4). Aquí el problema es que, encualquier intervalo de la forma (0, b) o (a, b) tal que 0 ∈ (a, b),la función 3

x no es acotada y esta es la razón por la que se tienenque evitar este tipo de intervalos.

(6). Probar que si x0 ∈ R+, entonces lımx→x0

3√

x = 3√

x0.

Sea ε > 0. Recordemos que si a, b ∈ R y n ∈ N, entoncesa3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2); por lo tanto, si consideramosa = 3√

x y b = 3√

x0 obtenemos lo siguiente:

| 3√

x− 3√

x0| =

∣∣∣∣ x− x0

( 3√

x)2 + 3√

x 3√

x0 + ( 3√

x0)2

∣∣∣∣= |x− x0|

1

| 3√x2 + 3√

xx0 +3√

x20|

.

12

2 Límites

Notemos que si |x− x0| < x0, entonces 3√x2, 3√

xx0 y 3√

x20 son

números reales positivos, así que:

3√x2 + 3√

xx0 +3√

x20 > 3

√x2

0

lo cual implica que

1

| 3√x2 + 3√

xx0 +3√

x20|

>1

3√

x20

y por lo tanto

| 3√

x− 3√

x0| < |x− x0|1

3√

x20

si |x− x0| < x0.

Así que bastará elegir δ =min {x0, ε 3√

x20} y 0 < |x − x0| < δ

para que

| 3√

x− 3√

x0| < ε,

es decir, hemos probado que si x0 > 0, entonces lımx→x0

3√

x =

3√

x0.

¿Qué moraleja podemos sacar de los ejemplos anteriores?Si queremos probar que lım

x→x0f (x) = `, entonces una vez que

hemos dado el número real ε > 0, para encontrar el nmeroreal δ > 0 con las propiedades especificadas en la Definicion2.2, no siempre es posible resolver directamente la inecuación| f (x)− `| < ε pero descubrimos que si expresamos | f (x)− `|en términos de |x− x0|, es decir, si encontramos una función g,definida en un intervalo abierto que contenga a x0 y tal que

| f (x)− `| = |x− x0||g(x)|

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o bien

| f (x)− `| ≤ |x− x0||g(x)|

y después acotamos superiormente a |g(x)| en algún intervaloabierto centrado en x0, en otran palabras

|x− x0||g(x)| ≤ |x− x0|M

para algún M ∈ R+, entonces bastará elegir δ =min {δ1, εM}

donde δ1 es el radio del intervalo en que se acotó superiormentea |g(x)|.

Por otro lado, en todos los ejemplos anteriores se mostró elhecho de que ` ∈ R es el límite de una función cuando x tiendea x0 pero, ¿qué significa que ` ∈ R no sea el límite de f en x0?Si recurrimos a la Definición 2.2 obtenemos que:

lımx→x0

f (x) 6= ` ⇔ ∃ε > 0 : ∀δ > 0 : ∃z ∈ R : 0 < |z− x0| < δ,

z ∈ dom f y | f (z)− `| ≥ ε. (2.11)

De lo anterior se tiene que f no tiene límite en x0 si y sólo si∀` ∈ R: ` 6= lım

x→x0f (x).

Si traducimos ` 6= lımx→x0

f (x) al lenguaje de los intervalos lo

que significa es que, existe un intervalo abierto centrado en `,(`− ε, `+ ε), con la propiedad de que todo intervalo abiertocentrado en x0, (x0 − δ, x0 + δ), tiene como elemento a un nú-mero real diferente de x0, cuya imagen bajo la función f no estáen el intervalo abierto (`− ε, `+ ε).

A continuación analizaremos algunos ejemplos que muestrenesta propiedad.

Ejemplo 2.6. (1) Probar que lımx→0

1x

no existe.

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Necesitamos probar que ∀` ∈ R: ` 6= lımx→0

1x

. Demostraremos

esta afirmación por casos.1er caso. ` > 0

Definamos ε = ` y observemos que

(`− ε, `+ ε) = (0, 2`) ⊆ R+.

Si ahora consideramos δ > 0 y z ∈ (δ, 0) ⊆ (−δ, δ), entonces1z < 0 y así, 1

z /∈ (`− ε, `+ ε) y con esto hemos probado quepara ε = ` se cumple que

∀δ > 0 ∃z ∈ R con 0 < |z− 0| < δ y | 1z − `| ≥ ε,

es decir, ` 6= lımx→0

1x

, si ` > 0.

2do caso. ` < 0.Es similar al caso anterior si se considera ε = −`.

3er caso. ` = 0.Si ε = 1 y δ > 0, entonces bastará saber si existe z ∈ (−δ, δ), z >0 tal que 1

z ≥ 1, pero 1z ≥ 1 si y sólo si z ≤ 1; entonces al elegir

0 < z <min{δ, 1} se obtiene que

0 < |z− 0| < δ y | 1z − 0| ≥ 1,

así que 0 6= lımx→0

1x

.

(2) Probar que si f (x) = |x|x , entonces lım

x→0f (x) no existe.

Primero observemos que

f (x) ={

1 si x > 0−1 si x < 0,

y queremos probar que ∀` ∈ R: ` 6= lımx→0

f (x). Sea ` ∈ R y

notemos que |1− (−1)| = 2, es decir, la distancia entre 1 y −1

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es 2, y que siempre hay puntos próximos a cero cuya imagen es−1; por lo tanto, para ε = 1 se tiene que el intervalo (`− ε, `+ε) contiene a lo más a uno de los números 1 o −1. Sin pérdidade generalidad supongamos que 1 ∈ (` − ε, ` + ε); entoncespara δ > 0 y z ∈ (−δ, 0) se tiene que

|z− 0| < δ y f (z) = −1 /∈ (`− ε, `+ ε),

es decir, | f (z)− `| ≥ ε. Hemos probado que no importando elvalor de ` ∈ R, ` 6= lım

x→0f (x).

Hasta aquí sólo hemos trabajado con la definición de lımx→x0

f (x)

en ejemplos concretos. Enseguida desarrollaremos resultadosgenerales acerca de este concepto que nos permitirán avanzarmás rápido en el estudio de las funciones.

Teorema 2.7. Si lımx→x0

f (x) = ` y ` > 0, entonces existe δ > 0 con

la propiedad de que:

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0} : f (x) > 0.

Demostración. Si recordamos la interpretación geométricade lım

x→x0f (x) = `, para obtener la conclusión del teorema, bas-

tará considerar un intervalo abierto centrado en ` y que tengacomo elementos sólo números positivos y esto se logra si ε = `,pues usando la Definición 2.2, existe δ > 0 tal que

Si 0 < |x− x0| < δ y x ∈ dom f , entonces | f (x)− `| < `

y | f (x)− `| < ` ⇔ −`+ ` < f (x) < `+ ` lo que implica quef (x) > 0, es decir, para x ∈ dom f :

Si x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), entonces f (x) > 0.

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Teorema 2.8. Si lımx→x0

f (x) = ` y ` < 0, entonces existe δ > 0 talque:

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0} : f (x) < 0.

Demostración. La demostración es similar a la prueba delTeorema 2.7.

Con los ejemplos que ya se estudiaron y los teoremas queprobaremos enseguida tendremos una herramienta poderosapara conocer el comportamiento de una clase amplia de fun-ciones a través del cálculo de sus límites.

Teorema 2.9. Si lımx→x0

f (x) = `1 y lımx→x0

g(x) = `2, entonces existen

lımx→x0

( f + g)(x), lımx→x0

( f − g)(x) y lımx→x0

( f g)(x) y además

1. lımx→x0

( f + g)(x) = `1 + `2,

2. lımx→x0

( f − g)(x) = `1 − `2,

3. lımx→x0

( f g)(x) = `1`2.

Demostración. 1. Sea ε > 0. Queremos demostrar que exis-te δ > 0 tal que para cada x ∈ dom f

Si 0 < |x− x0| < δ, entonces |( f + g)(x)− (`1 + `2)| < ε.

Observemos que:

|( f + g)(x) − (`1 + `2)| = | f (x) + g(x)− (`1 + `2)|= |( f (x)− `1) + (g(x)− `2)| (2.12)

≤ | f (x)− `1|+ |g(x)− `2|.

Por otro lado, como por hipótesis sabemos que lımx→x0

f (x) = `1

y que lımx→x0

g(x) = `2, entonces para ε2 > 0, existen δ1 > 0 y

δ2 > 0 tales que:

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0 < |x− x0| < δ1 y x ∈ dom f ⇒ | f (x)− `1| < ε2

0 < |x− x0| < δ2 y x ∈ domg⇒ |g(x)− `2| < ε2

y como queremos que se cumplan ambas proposiciones paravalores comunes de la variable x, definimos δ = min {δ1, δ2}para obtener que si 0 < |x − x0| < δ, x ∈ dom f y x ∈ domg,entonces

| f (x)− `1| <ε

2y |g(x)− `2| <

ε

2. (2.13)

En consecuencia, usando (2.12) y (2.13), para x ∈ dom( f + g) y0 < |x− x0| < δ se obtiene que

|( f + g)(x)− (`1 + `2)| ≤ | f (x)− `1|+ |g(x)− `2|

<ε

2+

ε

2= ε.

Por lo tanto, hemos probado que lımx→x0

( f + g)(x) existe y es

igual a `1 + `2.2. Es una prueba análoga a la de 1. y se deja como ejercicio

para el lector.3. Sea ε > 0. Deseamos encontrar un número real δ > 0 tal

que para x ∈ dom( f g)

0 < |x− x0| < δ⇒ |( f g)(x)− `1`2| < ε. (2.14)

Por nuestra experiencia en la prueba de 1., necesitamos expre-sar | f (x)g(x) − `1`2| en términos de | f (x) − `1| y |g(x) − `2|.Como el lector puede verificar

f (x)g(x)− `1`2 = ( f (x)− `1)`2 + (g(x)− `2) f (x).

Por lo tanto

|( f g)(x)− `1`2| = | f (x)g(x)− `1`2|

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2 Límites

= |( f (x)− `1)`2 + (g(x)− `2) f (x)|≤ |( f (x)− `1)`2|+ |(g(x)− `2) f (x)|= |( f (x)− `1)||`2|+ |(g(x)− `2)|| f (x)|.

Por hipótesis, el primer sumando ya se puede hacer tan peque-ño como se quiera, sin embargo, en el segundo tenemos la ex-presión | f (x)| que impide que todo el sumando se pueda hacertan pequeño como se necesite, En los ejemplos ya nos hemosenfrentado a este tipo de dificultad y la forma de resolverla esacotando superiormente a | f (x)|, lo que haremos de la siguien-te manera: como lım

x→x0f (x) = `1, entonces para 1 > 0, existe

δ1 > 0 con la propiedad de que para x ∈ dom f :

0 < |x− x0| < δ1 ⇒ | f (x)− `1| < 1,

pero sabemos que | f (x)| − |`1| ≤ | f (x)− `1| < 1 lo que implicaque | f (x)| − |`1| < 1 y así | f (x)| < |`1|+ 1. Resumiendo: parax ∈ dom f

0 < |x− x0| < δ1 ⇒ | f (x)| < |`1|+ 1. (2.15)

Por lo tanto

|( f g)(x)− `1`2| ≤ |( f (x)− `1)||`2|+ |(g(x)− `2)|| f (x)|< |( f (x)− `1)|(|`2|+ 1) + |(g(x)− `2)|(|`1|+ 1)

y dado que |( f (x) − `1)|(|`2| + 1) < ε2 y |(g(x) − `2)|(|`1| +

1) < ε2 si y sólo si |( f (x) − `1)| < ε

2(|`2|+1) y |(g(x) − `2)| <ε

2(|`1|+1) , entonces, por hipótesis, para ε2(|`2|+1) > 0 y ε

2(|`1|+1) >

0 existen δ2 > 0 δ3 > 0, respectivamente, tales que:

0 < |x− x0| < δ2 y x ∈ dom f ⇒ | f (x)− `1| <ε

2(|`2|+ 1)

0 < |x− x0| < δ3 y x ∈ domg⇒ |g(x)− `2| <ε

2(|`1|+ 1).(2.16)

19

2 Límites

Para concluir con la demostración se necesita que se cumplanlas propiedades (2.15) y (2.16). Por lo tanto, necesitamos definirδ =min{δ1, δ2, δ3} para obtener que si 0 < |x − x0| < δ y x ∈dom f g, entonces

0 < |x− x0| < δ1, 0 < |x− x0| < δ2, 0 < |x− x0| < δ3,x ∈ dom f y x ∈ domg

y por lo tanto, aplicando (2.15) y (2.16)

|( f g)(x) − `1`2| << |( f (x)− `1)|(|`2|+ 1) + |(g(x)− `2)|(|`1|+ 1)

<ε

2(|`2|+ 1)(|`2|+ 1) +

ε

2(|`1|+ 1)(|`1|+ 1)

=ε

2+

ε

2= ε,

en otras palabras, hemos encontrado δ > 0 con las propiedadesenunciadas en (2.14), lo cual significa que existe lım

x→x0( f g)(x) y

es igual `1`2.

Teorema 2.10. Si lımx→x0

f (x) = `1, lımx→x0

g(x) = `2 y `2 6= 0, en-

tonces existen lımx→x0

(1g)(x) y lım

x→x0(

fg)(x) y además se cumplen las

siguientes igualdades:

1. lımx→x0

(1g)(x) =

1`2

y

2. lımx→x0

(fg)(x) =

`1

`2.

Antes de comenzar la prueba del teorema, recordemos quelos Teoremas 2.7 y 2.8 afirman que si `2 6= 0, entonces hay un

20

2 Límites

intervalo centrado en x0 en donde la función g no es cero, ex-cepto posiblemente en x0, y esto nos asegura que las funciones1g y f

g están definidas en ese intervalo abierto, excepto posible-mente en x0; esto nos proporciona la certeza de que sí tienesentido hablar de los límites de las funciones 1

g y fg en el punto

x0. Ahora sí, pasemos a la prueba del Teorema 2.10.

Demostración. (del Teorema 2.10)1.Sea ε > 0. Queremos encontrar un número real δ > 0 con lapropiedad de que

0 < |x− x0| < δ y g(x) 6= 0⇒ |( 1g )(x)− 1

`2| < ε.

Como∣∣∣∣( 1g)(x)− 1

`2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1g(x)

− 1`2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ `2 − g(x)g(x)`2

∣∣∣∣=|`2 − g(x)||g(x)`2|

= |g(x)− `2|1

|g(x)||`2|

necesitamos acotar superiormente a 1|g(x)||`2|

; para hacerlo con-

sideremos |`2|2 > 0 y dado que lım

x→x0g(x) = `2, entonces existe

δ1 > 0 con la propiedad de que si 0 < |x− x0| < δ1 y x ∈ domg,entonces |`2 − g(x)| < |`2|

2 , pero |`2| − |g(x)| ≤ |`2 − g(x)| así

que |`2| − |g(x)| < |`2|2 lo que implica que g(x) > |`2|

2 , es decir,1|g(x)| <

2|`2|

si g(x) 6= 0 y así 1|g(x)||`2|

< 2|`2|2

; por lo tanto

0 < |x− x0| < δ1 y x ∈ domg⇒ 1|g(x)||`2|

< 2|`2|2

y en consecuencia, si 0 < |x− x0| < δ1 y g(x) 6= 0, entonces∣∣∣∣( 1g)(x)− 1

`2

∣∣∣∣ = |g(x)− `2|1

|g(x)||`2|< |g(x)− `2|

2|`2|2

(2.17)

21

2 Límites

y, por hipótesis, para ε|`2|22 > 0 existe δ2 > 0 tal que

0 < |x− x0| < δ2 y x ∈ domg⇒ |g(x)− `2| <ε|`2|2

2. (2.18)

Por lo tanto, si δ =min {δ1, δ2}, 0 < |x − x0| < δ y g(x) 6= 0,entonces

0 < |x− x0| < δ1, 0 < |x− x0| < δ2 y g(x) 6= 0

y por consiguiente, usando (2.17) y (2.18)∣∣∣∣( 1g)(x)− 1

`2

∣∣∣∣ < |g(x)− `2|2|`2|2

<ε|`2|2

22|`2|2

= ε

y así, hemos mostrado que para ε > 0 existe δ > 0 tal que si0 < |x − x0| < δ y g(x) 6= 0, entonces |( 1

g )(x) − 1`2| < ε, es

decir, lımx→x0

(1g)(x) existe y es igual a 1

`2.

2. Notemos que si g(x) 6= 0, entonces

( fg )(x) = f (x)

g(x) = f (x) 1g(x) ,

es decir, tenemos la igualdad de funciones fg = f ( 1

g ) y así, por la

parte (1.) de este teorema y el Teorema 2.9(3), existe lımx→x0

(fg)(x)

y es igual a `1(1`2) = `1

`2.

Observación 2.11. Consideremos n ∈N, f1, f2,· · · fn funcionescon un dominio común y x0 ∈ R. Si utilizamos inducción y elTeorema 2.9 obtenemos que: si para cada i ∈ {1, 2, · · · , n} setiene que lım

x→x0fi(x) = `i, entonces

1. lımx→x0

( f1 + · · ·+ fn)(x) = `1 + · · ·+ `n.

22

2 Límites

2. lımx→x0

( f1 − · · · − fn)(x) = `1 − · · · − `n.

3. lımx→x0

( f1 · · · fn)(x) = `1 · · · `n.

Ejemplo 2.12. (1) Como sabemos que lımx→x0

x = x0, si utilizamos

la Observación 2.11, obtenemos que para cada n ∈N, lımx→x0

xn =

xn0 y si α ∈ R, también por la Observación 2.11, lım

x→x0αxn =

αxn0 . Como consecuencia de lo anterior, si p(x) = a0 + a1x +

a2x2 + · · ·+ anxn es una función polinomial y x0 ∈ R, entonceslım

x→x0p(x) = a0 + a1x0 + a2x2

0 + · · ·+ anxn0 = p(x0).

(2) Si r(x) = p(x)q(x) es una función racional, es decir, p y q

son funciones polinomiales y x0 ∈ R tiene la propiedad de queq(x0) 6= 0, entonces, si aplicamos el ejemplo (1) y el Teorema2.10 a la función r, obtenemos que

lımx→x0

r(x) =p(x0)

q(x0)= r(x0).

En particular se tiene que

lımx→3

x2 − x + 12x + 3

= 3; lımx→1

x3 − 1x2 + 1

= 0 y lımx→2

x− 3x2 + 4x− 3

=−19

.

No obstante que ya podemos estudiar una clase amplia defunciones a través del concepto de límite, hay funciones como

f (x) = 3√

x2 − 5x− 4 o g(x) = x−15√

(x+3)2

que se escapan de la influencia de los teoremas anteriores y siquisiéramos saber lım

x→4f (x) o lım

x→1g(x) tendrámos que analizar

las funciones, proponer un límite y utilizar la Definición 2.2para probar que el lmite propuesto es correcto. Los teoremas

23

2 Límites

que siguen no solo resolveran, de manera sencilla los problemasanteriores, sino que también serviran como herramienta paraestudiar el comportamiento de más funciones.

Teorema 2.13. Si n ∈N y x0 ∈ R+, entonces lımx→x0

n√

x = n√

x0.

Demostración. Seguiremos la idea desarrollada en el Ejem-plo 2.5 (6). Para hacerlo necesitamos recordar que para todon ∈N y a, b ∈ R,

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1),

así que para a = n√

x y b = n√

x0 se obtiene lo siguiente:

x− x0 = ( n√

x− n√

x0)((n√

x)n−1 + ( n√

x)n−2 n√

x0 + · · ·+ ( n√

x0)n−1)

= ( n√

x− n√

x0)(n√

xn−1 + n√

xn−2x0 + · · ·+ n√

xn−10 )

y por lo tanto

n√

x− n√

x0 =x− x0

(n√xn−1 + n

√xn−2x0 + · · ·+ n

√xn−1

0 ). (2.19)

Ahora sí, sea ε > 0. Lo que queremos es encontrar un númeroreal δ > 0 que satisfaga la propiedad de que si x está en eldominio de la función raíz n-ésima, entonces

0 < |x− x0| < δ ⇒ | n√

x− n√

x0| < ε. (2.20)

Por (2.19) se tiene que:

| n√

x− n√

x0| = |x−x0|| n√xn−1+ n

√xn−2x0+···+ n

√xn−1

0 |

Si consideramos 0 < |x − x0| < x0, entonces x > 0 y y enconsecuencia todos los sumandos de n√xn−1 + n

√xn−2x0 + · · ·+

n√

xn−10 son positivos, de donde se infiere que:

24

2 Límites

| n√xn−1 + n√

xn−2x0 + · · ·+ n√

xn−10 | > n

√xn−1

0

y por lo tanto

1

| n√xn−1+ n√

xn−2x0+···+ n√

xn−10 |

< 1n√

xn−10

lo cual implica que

| n√

x− n√

x0| = |x− x0|1

n√xn−1 + n√

xn−2x0 + · · ·+ n√

xn−10

< |x− x0|1

n√

xn−10

(2.21)

y como |x − x0| 1n√

xn−10

< ε ⇔ |x − x0| < ε n√

xn−10 bastará con-

siderar δ =min {x0, ε n√

xn−10 } y (2.21) para que obtengamos lo

siguiente: si 0 < |x− x0| < δ, entonces

| n√

x− n√

x0| < |x− x0|1

n√

xn−10

< ε n√

xn−10

1n√

xn−10

= ε,

es decir, hemos probado (2.20) y así lımx→x0

n√

x = n√

x0.

Con un argumento semejante al dado en la prueba del Teo-rema 2.13 también obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 2.14. Si n ∈N es impar y x0 ∈ R−, entonces lımx→x0

n√

x =

n√

x0.

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2 Límites

Demostración. Ejercicio para el lector.

El siguiente teorema es muy importante y será indispensablepara calcular ciertos límites.

Teorema 2.15. Si lımt→t0

g(t) = x0, lımx→x0

f (x) = ` y existe δ1 > 0

tal que para todo t ∈ (t0 − δ1, t0 + δ1) \ {t0}, g(t) 6= x0, entonceslımt→t0

( f ◦ g)(t) = `

Antes de desarrollar la prueba del teorema, aclaremos el porqué de la tercera hipótesis: Si g : R → R es tal que para todot ∈ R, g(t) = 1 y f : R \ {1} es tal que f (x) = x2, entoncesobtenemos que lım

t→0g(t) = 1, lım

x→1f (x) = 1, pero ( f ◦ g)(t) =

f (g(t)) = f (1) no está definido, es decir, la función f ◦ g noestá definida y por consiguiente lım

t→0( f ◦ g)(t) no tiene sentido.

Más aún, si f0 : R→ R está definida por

f0(x) ={

x2 si x 6= 12 si x = 1,

entonces f ◦ g es la función constante 2, de donde se obtieneque lım

t→0( f ◦ g)(t) = 2 que no coincide con la conclusión del

teorema. En ambos casos no se satisface la tercera hipótesis delTeorema 2.15. Hecha esta aclaración pasamos a la prueba.

Demostración. (del Teorema 2.15). Sea ε > 0. Deseamosprobar la existencia de un número real δ > 0 con la propie-dad de que para t ∈ dom( f ◦ g)

0 < |t− t0| < δ ⇒ |( f ◦ g)(t)− `| < ε. (2.22)

Dado que lımx→x0

f (x) = ` existe un número real δ2 > 0 tal que

para x ∈ dom f

0 < |x− x0| < δ2 ⇒ | f (x)− `| < ε, (2.23)

26

2 Límites

y para este número real δ2 > 0, como lımt→t0

g(t) = x0, existe

δ3 > 0 tal que para t ∈ domg

0 < |t− t0| < δ3 ⇒ |g(t)− x0| < δ2. (2.24)

Si δ = min {δ1, δ3} y 0 < |t− t0| < δ, entonces

0 < |t− t0| < δ3 y 0 < |t− t0| < δ1

lo cual implica, por (2.24) e hipótesis del teorema, que

|g(t)− x0| < δ2 y g(t) 6= x0

y esto significa que g(t) satisface la hipótesis de (2.23) y, por lotanto

|( f ◦ g)(t)− `| < ε

con lo que hemos probado (2.22).

Ejemplo 2.16. (1) Si h(x) = 3√

x2 − 5x− 4, g(t) = t2 − 5t − 4y f (x) = 3

√x, entonces h = f ◦ g, lım

t→4g(t) = −8, lım

x→−8f (x) =

3√−8 según el Teorema 2.14 y claramente hay un intervalo abier-

to centrado en 4 en donde la función g no vale −8, excepto en4, así que, por el Teorema 2.15, lım

x→4h(x) = −2.

(2) Si h(x) = x−15√

(x−2)2, g(t) = (t − 2)2 y f (x) = 5

√x,

entonces

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Bibliografía

[1] J. J. Angoa Amador, A. Contreras Carreto, M. Ibarra Con-treras, R. Linares Gracia, A. Martínez García, MatemáticasElementales , Fomento editorial BUAP, México, 3a reimpre-sión de la segunda edición, 2015.

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