IntroducciónIntroducción

Las personas piensan que las matemáticas son Las personas piensan que las matemáticas son solo importantes para el trabajo o para el colegio. Pero solo importantes para el trabajo o para el colegio. Pero están equivocadas, ya que las matemáticas sirven están equivocadas, ya que las matemáticas sirven para la vida diaria.para la vida diaria.

En este ABP, dirigido por nuestro profesor En este ABP, dirigido por nuestro profesor Harold Ayala Coronado, hemos aprendido diferentes Harold Ayala Coronado, hemos aprendido diferentes cosas acerca de los polinomios.cosas acerca de los polinomios.

Esperemos que con este trabajo, ustedes Esperemos que con este trabajo, ustedes puedan aprender todo lo que nos han enseñado.puedan aprender todo lo que nos han enseñado.

MenúMenú

Polinomios en R.Polinomios en R. Grados de un monomio.Grados de un monomio. Grados de un polinomio.Grados de un polinomio. Polinomios especiales.Polinomios especiales. Operaciones con Polinomios.Operaciones con Polinomios. Ejercicios y problemas desarrollados.Ejercicios y problemas desarrollados. Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos. Citas Bibliográficas.Citas Bibliográficas.

Te pedimos por favor que

primero leas y luego resuelvas los ejercicios.

Polinomios en RPolinomios en R

Un polinomio es una expresión algebraica formada Un polinomio es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma , donde solamente por la suma de términos de la forma , donde "a" es cualquiera y "n" no es un número entero no negativo."a" es cualquiera y "n" no es un número entero no negativo.

El polinomio en R, tiene diferentes clases: El polinomio en R, tiene diferentes clases:

1. Monomio: Cuando un polinomio tiene un sólo término.1. Monomio: Cuando un polinomio tiene un sólo término.

2. Binomio: Cuando un polinomio tiene dos términos.2. Binomio: Cuando un polinomio tiene dos términos.

3. Trinomio: Cuando un polinomio tiene tres términos.3. Trinomio: Cuando un polinomio tiene tres términos.

Cuando los polinomios tiene más de tres términos, no Cuando los polinomios tiene más de tres términos, no reciben ningún nombre.reciben ningún nombre.

nax

Ejemplos de polinomios en Ejemplos de polinomios en RR

A continuación, presentaremos

algunos ejemplos de polinomios.

Monomios Binomios Trinomios

3x 7x – 4 n2 + 3n + 2

25 3a + 5b 3x4 – 3x + 5x2

-9x2y3 n2 – 3n 4xy + 9xy2 – 11xy

Grados de un MonomioGrados de un Monomio

Grado relativo:Grado relativo:Se refiere a una de las variables del monomio, y es el Se refiere a una de las variables del monomio, y es el

exponte de dichaexponte de dicha variable.variable.Ejemplo:Ejemplo:

4a4a33bb22

En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)3)GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)2)

XX55yy33zz

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: xun 1: x55yy33yy11

GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1))

Grado absoluto:Grado absoluto:Se refiere a la suma de los exponentes de las variables.Se refiere a la suma de los exponentes de las variables.

4a4a33bb22

    En este caso sumaremos el exponente de la letra a con En este caso sumaremos el exponente de la letra a con

el exponente de la letra b:el exponente de la letra b:GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

  XX55yy33yy11

Recordamos que el exponente de la letra y es 1:Recordamos que el exponente de la letra y es 1:  

XX55yy33zz

  GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

Grados de un PolinomioGrados de un Polinomio

Grado relativo: Grado relativo: Se refiere a una de las variables de la expresión, y es el Se refiere a una de las variables de la expresión, y es el

mayor exponente de ella en la expresión.mayor exponente de ella en la expresión.4a³b² +5a4a³b² +5a55bb

En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.tendremos dos grados relativos.

4a³b² +5a4a³b² +5a55b1b1Antes de seguir trabajando completo los exponentes que Antes de seguir trabajando completo los exponentes que

"no se ven""no se ven"

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos

el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al como Grado Relativo con respecto a la letra a al

mayor de estos exponentes (en este caso 5)mayor de estos exponentes (en este caso 5)GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es

5)5)

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos

los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como

Grado Relativo (en este caso 2).Grado Relativo (en este caso 2).GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es

2) 2)

Grado absoluto:Grado absoluto:

Es el mayor grado absoluto de uno de sus términos.Es el mayor grado absoluto de uno de sus términos.4a3b2 +5a5b4a3b2 +5a5b

Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.solo Grado Absoluto.

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1

Completo los exponentes que "no se ven" con 1.Completo los exponentes que "no se ven" con 1.

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1

Trabajo independientemente cada termino y sumo los Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes, en el primer termino tengo los

exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1

Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.

4a3b2 +5a5b14a3b2 +5a5b1

Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.quedare con el 6.GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Polinomios EspecialesPolinomios Especiales

Hola!!Les

presentaremos las clases de

polinomios especiales

Clases de Polinomios Clases de Polinomios EspecialesEspeciales

Polinomios completos: cuando una letra tiene todos Polinomios completos: cuando una letra tiene todos los exponentes consecutivos, desde la más alta hasta los exponentes consecutivos, desde la más alta hasta la más baja.la más baja.

Ejemplo:Ejemplo:

05

4253

15

36 xxxxxx

Polinomios ordenados: los exponentes de las variables Polinomios ordenados: los exponentes de las variables de todos los términos están ordenadas ya sea de todos los términos están ordenadas ya sea ascendentemente o descendentemente.ascendentemente o descendentemente.

Ejemplo: Ejemplo:

aaaa 6285 234

Polinomios homogéneos: son aquellos en que los Polinomios homogéneos: son aquellos en que los grados de cada ternito son iguales.grados de cada ternito son iguales.

Ejemplo:Ejemplo:

33

15

42

95

72

43

ba

ba

ba

Polinomios idénticamente nulos: son aquellos en que Polinomios idénticamente nulos: son aquellos en que su coeficiente son 0. su coeficiente son 0.

Ejemplos:Ejemplos:

0

23323

4

cba

by caa

Operaciones con PolinomiosOperaciones con Polinomios

Las personas piensan que las operaciones con polinomios son difíciles, pero eso es lo más fácil. A continuación le mostraremos las operaciones con polinomios.

Adición de polinomios.Adición de polinomios.

Sustracción de Polinomios.Sustracción de Polinomios.

Multiplicación de polinomios.Multiplicación de polinomios.

Productos Notables e Identidades de LegeProductos Notables e Identidades de Legendrendre

Adición de PolinomiosAdición de Polinomios Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y

simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.restarlos según su signo.

Ejemplo:Ejemplo:

P(P(xx) = 3) = 3xx4 – 54 – 5xx2 + 72 + 7xx con Q( con Q(xx) = ) = xx3 + 23 + 2xx2 – 112 – 11xx + 3 se + 3 se procede así:procede así:

P(P(xx) + Q() + Q(xx) = (3) = (3xx4 – 54 – 5xx2 + 72 + 7xx) + () + (xx3 + 23 + 2xx2 – 112 – 11xx + 3) = + 3) = 33xx4 + 4 + xx3 + 3 + xx2 (2– 5) + 2 (2– 5) + x x (7 – 11) + 3 = P((7 – 11) + 3 = P(xx) + Q() + Q(xx) = ) = 33xx4 + 4 + xx3 – 33 – 3xx2 – 42 – 4xx + 3 + 3

Sustracción de polinomiosSustracción de polinomios

Para restar solo se cambian los signos del Para restar solo se cambian los signos del segundo término y luego se tiene que sumar.segundo término y luego se tiene que sumar.

4x44x4 - 2x3- 2x3 + + 3x23x2 - 2x + 5- 2x + 5+--- - 5x3+--- - 5x3 -- ---- x2x2 +2x +2x __________________________________________4x44x4 + 3x3+ 3x3 + + 2x2 + -----52x2 + -----5

La sustracción de polinomios es fácil, se hace lo mismo que en la adición,

solo que se cambian los signos del

segundo polinomio.

Multiplicación de polinomiosMultiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se deben Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma especial al producto de potencias de la misma base")base")Si uno de los dos polinomios es un monomio, la Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple.operación es simple.En el caso en que ambos polinomios consten de En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.semejantes.

En la siguiente imagen se puede ver el producto En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.de dos polinomios de varios términos.

Productos Notables e Productos Notables e Identidades de LegendreIdentidades de Legendre

Los productos notables y las identidades de Legendre teLos productos notables y las identidades de Legendre te

ayudan a resolver ejercicios de polinomios por simpleayudan a resolver ejercicios de polinomios por simple

inspección. Los productos notables son:inspección. Los productos notables son:

Binomio de Suma al Cuadrado Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )² = a² + 2ab + b²( a + b )² = a² + 2ab + b²

Binomio Diferencia al Cuadrado Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )² = a² - 2ab + b²( a - b )² = a² - 2ab + b²

Diferencia de Cuadrados Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a² - b²( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

Binomio Suma al Cubo Binomio Suma al Cubo ( a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³( a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³= a³ + b³ + 3 ab (a + b)= a³ + b³ + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³( a - b )³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³

Suma de dos Cubos Suma de dos Cubos a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²)a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²)

Diferencia de Cubos Diferencia de Cubos a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²)a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)= a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b) . (b +c) . ( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) (a + c)

Producto de dos binomios que tienen un término común Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Identidades de LegendreIdentidades de Legendre

Identidades de Legendre Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Ejemplos de grado Relativo Ejemplos de grado Relativo y Absoluto de un Monomioy Absoluto de un Monomio

Ejemplo de Grado Relativo de un Monomio:Ejemplo de Grado Relativo de un Monomio:

4a4a33bb22

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)

GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Ejemplo de Grado Absoluto de un Monomio:Ejemplo de Grado Absoluto de un Monomio:

4a3b2 --------->GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5) x5y3z ------> GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

Ejercicios de PolinomiosEjercicios de PolinomiosEjemplo de simplificar Ejemplo de simplificar polinomios.polinomios.

(-3x(-3x33+2y+2y22) + (-8x) + (-8x22+9xy)+9xy)

-3x3+(2y2 + -8x2)+9xy

-3x3- -6x2+ 9xy

SimplificaSimplifica

(6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y)6y2 - 3y - 1 = 6y2 + -3y + -1-(7y2 - y) _ + -7y2 + y_____-y2 - 2y – 1

Cabe resaltar, que aquí, el resultado se da en forma ordenada descendente.

Ejercicios de PolinomiosEjercicios de PolinomiosP(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4. hallar P(x) . Q(x)P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4)

P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)

P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44

P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44Cabe resaltar que la multiplicación depolinomios, cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

4x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 5 ) + ( 5x3 + x2 + 2x )

4x4 +2x3 + 3x2 +2x + 5 + 5x3 +x2 + 2x

4x4 + (2x3 + 5x3) +(3x2 + x2 ) + (2x + 2x ) + 5

4x4 + 7x6 + 4x2 + 4x + 5

Reglas de Productos NotablesReglas de Productos Notables1. Binomio de Suma al 1. Binomio de Suma al Cuadrado Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al 2. Binomio Diferencia al Cuadrado Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Diferencia de Cuadrados 3. Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Binomio Suma al Cubo 4. Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5. Binomio Diferencia al 5. Binomio Diferencia al Cubo Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3ab2 - b3

6. Suma de dos Cubos 6. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)+ b2)

7. Diferencia de Cubos 7. Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)+ b2)

8. Trinomio Suma al 8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Cuadrado ó Cuadrado de un TrinomioTrinomio

( a + b + c)² = a² + b² + c² ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² = a² + b² + c² + 2( ab + bc + ac)+ c² + 2( ab + bc + ac)

9. Trinomio Suma al Cubo 9. Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + ( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b) . (b +c) . 3(a + b) . (b +c) . (a + c)(a + c)

10. Identidades de 10. Identidades de LegendreLegendre

( a + b)² + ( a – b)² = 2 a² ( a + b)² + ( a – b)² = 2 a² 2b² = 2(a² + b²)( a + b)² + 2b² = 2(a² + b²)( a + b)² + ( a – b)² = 4 ab( a – b)² = 4 ab

11. Producto de dos 11. Producto de dos binomios que tienen un binomios que tienen un término común término común

( x + a)(x + b) = x² + ( a + ( x + a)(x + b) = x² + ( a + b) x + ab Todos estos b) x + ab Todos estos productos notables, son los productos notables, son los más conocidos, no son los más conocidos, no son los únicos. Todos los productos únicos. Todos los productos notables, como su mismo notables, como su mismo nombre lo indica, son nombre lo indica, son aplicables, solamente en la aplicables, solamente en la multiplicación.multiplicación.

Productos NotablesProductos NotablesRecordar que:

(a + b)²  =  a² + 2ab + b²           (a -  b)²  =  a² -  2ab + b²           (a + b)(a -  b)  =  a² -  b²

EJEMPLOS:

1 ) ( x + y )² = x² + 2xy + y² 1 ) ( x + y )² = x² + 2xy + y²

2 ) ( n - p )² = n² - 2np + p² 2 ) ( n - p )² = n² - 2np + p² 3 ) ( 2a + 3b )( 2a - 3b ) = ( 2a )² - ( 3b )² = 4ª² - 9b²3 ) ( 2a + 3b )( 2a - 3b ) = ( 2a )² - ( 3b )² = 4ª² - 9b²

Ejercicios ResueltosEjercicios Resueltos1.-  ( p   +   q )²    =

A )  2p   +   2qB )  p²   +   q²C )  p²   +   2pq   +   q²D )  p   +   q²E )  p²   +   q

Rpta: p²   +   2pq   +   q ²

2.-  ( k   -   m )²    =

A )  k²   -   m²B )  k²   +   2km   +   m²C )  k²   +   2km   -   m²D )  k²   -   2km   +   m²E )  k²   -   2km   -   m²

Rpta: D )  k 2   -   2km   +   m 2

EjerciciosEjercicios

3.-  ( w   +   z )( w   -   z )    =3.-  ( w   +   z )( w   -   z )    =

A )  2wA )  2w

B )  w²   -   z²B )  w²   -   z²

C )  w²   +   z²C )  w²   +   z²

D )  w²   -   2wz   +   z²D )  w²   -   2wz   +   z²

E )  w²   +   2wz   +   z²E )  w²   +   2wz   +   z²

Rpta: w²   -   z²Rpta: w²   -   z²

4.-  ( a   -   b )( a   +   b )    =4.-  ( a   -   b )( a   +   b )    =

A )  a²   -   b²A )  a²   -   b²

B )  b²   -   a²B )  b²   -   a²

C )  a²   +   b²C )  a²   +   b²

D )  2²D )  2²

E )  - 2bE )  - 2b

Rpta: a²   -   b²Rpta: a²   -   b²

EjerciciosEjercicios

5.-  ( 3c   +   2n )²    =5.-  ( 3c   +   2n )²    =

A )  9c   +   4nA )  9c   +   4nB )  3c²   +   2n↓3B )  3c²   +   2n↓3C )  9c²   +   4n²C )  9c²   +   4n²D )  9c²   +   6cn   +   4n²D )  9c²   +   6cn   +   4n²E )  9c²   +   12cn   +   4n²E )  9c²   +   12cn   +   4n²

Rpta: 9c 2   +   12cn   +   Rpta: 9c 2   +   12cn   +   4n²4n²

6. ( 2t   -   r )²    =6. ( 2t   -   r )²    =

A )  2t²   -   r 2A )  2t²   -   r 2B )  4t²   +   4tr   +   r²B )  4t²   +   4tr   +   r²C )  4t²   +   4tr   -   r²C )  4t²   +   4tr   -   r²D )  4t²   -   4tr   +   r²D )  4t²   -   4tr   +   r²E )  4t²   -   4tr   -   r²E )  4t²   -   4tr   -   r²

Rpta: 4t²   -   4tr   +   r²Rpta: 4t²   -   4tr   +   r²

EjerciciosEjercicios

7.-  ( 5x   +   4y )( 5x   -   4y ) 7.-  ( 5x   +   4y )( 5x   -   4y )    =   =

A )  5x²   -   4y²A )  5x²   -   4y²

B )  25x²   -   16y²B )  25x²   -   16y²

C )  25x²   +   16y²C )  25x²   +   16y²

D )  25x   -   16yD )  25x   -   16y

E )  10x E )  10x

Rpta: 25x²   -   16y ²Rpta: 25x²   -   16y ²

Ejercicios Resueltos de Ejercicios Resueltos de Productos NotablesProductos Notables

1. (a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d 1. (a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

2. ( a + b ) ( a + c ) = a2. ( a + b ) ( a + c ) = a 2 2 + ( b + c ) a + b c + ( b + c ) a + b c

3. ( a + b )² = a3. ( a + b )² = a 2 2 + 2 a b + b + 2 a b + b 2 2

4. ( a – b )² = a 4. ( a – b )² = a 22 – 2 a b + b – 2 a b + b 2 2

5. ( a + b ) ( a – b ) = a5. ( a + b ) ( a – b ) = a 2 2 – b – b 2 2

6. ( a + b )³ = a6. ( a + b )³ = a 3 3 + 3 a+ 3 a 2 2 b + 3 a b b + 3 a b 2 2 + b + b 3 3

7. ( a – b )³ = a 7. ( a – b )³ = a 3 3 – 3 a– 3 a 2 2 b + 3 a bb + 3 a b 2 2 – b – b 3 3

8. ( a + b + c )² = a8. ( a + b + c )² = a 2 2 + b + b 2 2 + c + c 2 2 + 2 ( a b + a c + b c ) + 2 ( a b + a c + b c )

9. ( a + b – c )² = a 9. ( a + b – c )² = a 2 2 + b+ b 2 2 + c + c 2 2 + 2 ( a b – a c – b c ) + 2 ( a b – a c – b c )

10. ( a + b ) ( a10. ( a + b ) ( a 2 2 – a b + b – a b + b 2 2 ) = a ) = a 3 3 + b+ b 3 3

11. ( a – b ) ( a11. ( a – b ) ( a 2 2 + a b + b + a b + b 2 2 ) = a) = a 3 3 – b – b 3 3

12. ( a12. ( a 2 2 + a b + b + a b + b 2 2 ) ( a ) ( a 2 2 – a b + b – a b + b 2 2 ) = a ) = a 4 4 + a+ a 2 2 b b 22 + b + b 4 4

Ejercicios propuestosEjercicios propuestos

Halla el grado absoluto.Halla el grado absoluto.

1. –2x²y³1. –2x²y³

El grado absoluto es 7.El grado absoluto es 7.

El grado absoluto es –2.El grado absoluto es –2.

El grado absoluto es 5.El grado absoluto es 5.

La respuesta correcta es 5. La respuesta correcta es 5.

Tenías que sumar los grado de las variables.Tenías que sumar los grado de las variables.

3+2=53+2=5

Hallar el grado absoluto.Hallar el grado absoluto.

xx44+ y+ y + 2xy+ 2xy³³

El grado absoluto es 2.El grado absoluto es 2.

El grado absoluto es 5.El grado absoluto es 5.

El grado absoluto es 4.El grado absoluto es 4.

El grado absoluto es 1.El grado absoluto es 1.

El grado absoluto es 4.El grado absoluto es 4.

SeSe calcula indicando el mayor grado absoluto de uno de sus calcula indicando el mayor grado absoluto de uno de sus términos.términos.

Resuelve:Resuelve:

(8y + 6x) - (34y - 10x)(8y + 6x) - (34y - 10x)

16x - 26y16x - 26y

17x-16y17x-16y

42x+42y42x+42y

N.AN.A

Resolver:Resolver:

7. (w + z)(w - z)7. (w + z)(w - z)

w²+2wz+z²w²+2wz+z²

w² - z²w² - z²

(w+z)²(w+z)²

Cada pregunta vale Cada pregunta vale 10 puntos, son 7 10 puntos, son 7 preguntas, es decir, preguntas, es decir, hay 70 puntos en hay 70 puntos en total.total.

Citas BibliográficasCitas Bibliográficas

A continuación les

presentaremos las Web de la información adquirida.

1. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 1. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htmhttp://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

2.Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 2.Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#semejanteshttp://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#semejantes

3. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 3. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.librosvivos.net/noticias.asp?idud=1223&id_libro=1022&ihttp://www.librosvivos.net/noticias.asp?idud=1223&id_libro=1022&id_marca=1002&est=2,0,2d_marca=1002&est=2,0,2

4. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 4. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinohttp://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdfmios_b.pdf

5. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 5. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#sumahtm#suma

WebWeb

6. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 6. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnothttp://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnot

7. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 7. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.htmlhttp://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

8. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 8. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnothttp://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnot

9. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: 9. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/prohttp://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htmductos_notables_desarrollo.htm

10. Leoncio Santos Cuervo. Polinomios (1). Definición y ejemplos (ref: 10. Leoncio Santos Cuervo. Polinomios (1). Definición y ejemplos (ref: 18 de julio 2005 18 de julio 2005 http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.hthttp://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#polinom#polino

11. Anónimo. Polinomios. Conocimientos previos (ref: 18 de julio 11. Anónimo. Polinomios. Conocimientos previos (ref: 18 de julio 2005)2005)http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htmhttp://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm

12.Anónimo. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)12.Anónimo. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htmhttp://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

13.Anónimo. Polinomios. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)13.Anónimo. Polinomios. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)http://www.librosvivos.net/noticias.asp?idud=1223&id_libro=1022&id_marhttp://www.librosvivos.net/noticias.asp?idud=1223&id_libro=1022&id_marca=1002&est=2,0,2ca=1002&est=2,0,2

14. Introducción al álgebra. Polinomios Completo. Consultada 14. Introducción al álgebra. Polinomios Completo. Consultada 18/07/05. 18/07/05. http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplethttp://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet

15.Polinomio heterogneo. Consultada el 18/07/05. Disponible en la 15.Polinomio heterogneo. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web:http://www.upes.edu.sv/cursosiguiente Web:http://www.upes.edu.sv/curso

16.Polinomio Identico. Consultada el 18/07/05. Disponible en 16.Polinomio Identico. Consultada el 18/07/05. Disponible en lasiguiente Web: C:\WINDOWS\Archivos temporales de Internet\lasiguiente Web: C:\WINDOWS\Archivos temporales de Internet\Content.IE5\32O7FXWD\258,3,POLINOMIOSContent.IE5\32O7FXWD\258,3,POLINOMIOS

17. Introducción al álgebra. Grado Relativo y Absoluto de un 17. Introducción al álgebra. Grado Relativo y Absoluto de un monomio. Consultada 18/07/05. monomio. Consultada 18/07/05. http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htmhttp://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

18. Grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Actualizada 18. Grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Actualizada el 08 de Septiembre del 2004. Consultada 18/07/05. 17.el 08 de Septiembre del 2004. Consultada 18/07/05. 17.

http://www.elmundo.com.sv/vernota.php3?nota=36183&fecha=2004-http://www.elmundo.com.sv/vernota.php3?nota=36183&fecha=2004-09-0809-08

19. Leoncio Santos Cuervo. Monomios. Ministerio de Educación, 19. Leoncio Santos Cuervo. Monomios. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Actualizada en el Año 2000. Consultada Cultura y Deporte. Actualizada en el Año 2000. Consultada 18/07/05. 18/07/05. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polihttp://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomi.htm#monomionomi.htm#monomio

20.Leoncio Santos Cuervo. Definición y ejemplos de polinomios. . 20.Leoncio Santos Cuervo. Definición y ejemplos de polinomios. . Ministerio de Educación y Ciencia. Actualizada en el año 2001. Ministerio de Educación y Ciencia. Actualizada en el año 2001. Consultada 18/07/05. Consultada 18/07/05. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomiohttp://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomios1.htms1.htm