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Diplomado Actualizacion en Matematicas yProbabilidad para Profesionales en Banca y Seguros

Material de estudio

Modulo III

Calculo en varias variables e introduccion a las ecuaciones diferenciales

Autor: Hector Fabian Ramırez Ospina, Dr.

Bogota D.C. Marzo 2019

Introduccion

Estas guia de clase se han desarrollado para elModulo III: Calculo en varias variables e introduccion a las ecuacionesdiferenciales del Diplomado Actualizacion en matematicas para profesionales en banca y seguros. Han sido escritasa partir de varios libros de calculo [1], [2] y [3], y se busca estudiar sucesiones, series, calculo diferencial e integralde funciones de varias variables y una breve introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias con enfoquesanalıtico y cualitativo.

[1 ] W. Boyce and R. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa Wiley,2001.

[2 ] Devaney R. Blanchard, P. and G. Hall, Ecuaciones diferenciales, Thomson, 1999.

[3 ] J. Marsden and A. Tromba, Calculo vectorial, Pearson S.A., 2004.

[4 ] R. Larson and B. Edwards, Calculo 2 De varias variables, McGraw-Hill S.A., 2010.

i

Indice general

1. Sucesiones y Series 1

1.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Calculo en varias variables 18

2.1. Funciones de valores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Geometrıa de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1. Derivadas parciales s z = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2. Regla de la cadena, funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Integrales Multiples 73

3.1. Sustitucion en integrales Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4. Calculo Vectorial 88

4.1. Integrales de lınea y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2. Rotacional y Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3. Teorema de Stokes y Teorema de Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5. Introduccion a las ecuaciones diferenciales 107

5.1. Clasificacion de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2. Solucion de una ecuacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3. Tecnica analıtica: Variables separables y ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4. Ecuaciones diferenciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.5. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6. Ejercicios y Soluciones 122

6.1. Respuestas ejercicios pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

ii

Modulo III

Sucesiones y Series

1.1. Sucesiones

Se puede considerar que una sucesion es una lista de numeros escritos en un orden definido:

a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .

El numero a1 recibe el nombre de primer termino, a2 es el segundo termino y, en general, an es el n-esimo termino.Aquı se trata exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que cada termino an tiene un sucesor an+1.

Matematicamente, una sucesion se define como una funcionf : N0 → R, donde N0 = N ∪ {0}. Por lo regular, se escribean en lugar de la notacion de funcion f(n) para el valor de lafuncion en el numero n. Por ejemplo, en la sucesion

En los ejemplos siguientes se ofrecen las tres descripciones que usaremos para una sucesion: Observe que la n notiene que empezar en 1.

Ahora veamos dos maneras de representar demanera grafica las sucesiones. En la primera,los primeros puntos, a1, a2, a3, . . . , an, . . . se co-locan en el eje real. El segundo metodo mues-tra la grafica de la funcion que define la su-cesion, observe que la funcion solo esta defini-da para entradas enteras, y la grafica consistede algunos puntos en el plano xy, ubicados en(1, a1), (2, a2), . . . , (n, an), . . . .

Convergencia y divergencia

El punto principal de esta seccion son las sucesiones cuyos terminos tienden a valores lımite. Tales sucesiones sellaman convergentes. Por ejemplo, la sucesion {1/2n}

1

2,1

4,1

8,1

16,1

32,1

64. . . converge a 0.

1

Diplomado: Actualizacion en matematicas y probabilidad

para profesionales en banca y seguros. Modulo II

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia

Definicion 1. (Convergencia, divergencia, lımite)La sucesion {an} converge al numero L, si

lımn→∞

an = L.

En otras palabras,

∀ ǫ > 0, ∃N > 0, tal que ∀n > N ⇒ |an − L| < ǫ

Si L es finito, decimos que {an} es convergente, y si L es infinito o noexiste, se dice que {an} es divergente

Graficamente, esta definicion dice:

Si los terminos a1, a2, a3, . . . se localizan en la recta numerica. No importa que tan pequeno se escoja alintervalo (L− ǫ, L+ ǫ), existe una N tal que todos los terminos de la sucesion desde aN+1 en adelante debenestar en el intervalo.

Si los terminos estan representados sobre una grafica de {an} entonces muchos puntos deben estar entre lasrectas horizontales y = L+ ǫ y y = L− ǫ si n > N , no importa que tan pequeno se haya escogido ǫ, pero porlo regular un ǫ mas pequeno requiere una N mas grande.

La definicion de convergencia es muy similar a la del limite de una funcion cuando x → ∞. Explotaremos estaconexion para calcular lımites de sucesiones.

Ejemplo 1. (Aplicacion de la definicion)

Demuestre que la sucesion an =n

2n+ 1tiene como lımite

1

2.

SOL: Dado ǫ > 0, se debe encontrar un N > 0 tal que ∀n > N , verifique∣∣∣

n

2n+ 1− 1

2

∣∣∣ < ǫ En efecto

∣∣∣

n

2n+ 1− 1

2

∣∣∣ < ǫ ⇔ 1

4n+ 2< ǫ ⇔ 4n+ 2 >

1

ǫ, ⇔ n >

1− 2ǫ

4ǫ= N

Por tanto, ∀n > N = 1−2ǫ4ǫ , se tiene

∣∣∣

n

2n+ 1− 1

2

∣∣∣ < ǫ.

Calculo (directo) de lımites de sucesiones:

Ejemplo 2. Determine si la sucesion {n sen(πn )} es convergente o divergente.

SOL: Calculemos lımn→∞

n sen(π

n). Al hacer el cambio de variable x = 1

n (observe que x → 0 cuando n → ∞), se tiene

lımn→∞

n sen(π

n

)= lım

x→0

sen(πx)

x

L′H︷︸︸︷= lım

x→0πcos(πx)

1= π

Por tanto, la sucesion {n sen(πn )} es convergente y converge a π.

2





Como las sucesiones son funciones con dominio en N0, no es demasiado sorprendente que los teoremas acerca delımites de funciones dados en Calculo I tengan versiones para sucesiones.

Teorema 2. (Propiedades)Sean {an} y {bn} sucesiones de numeros reales, y sean A y B numeros reales.Las reglas siguientes se cumplen si lım

n→∞an = A y lım

n→∞bn = A

1. lımn→∞

an ± bn = A±B

2. lımn→∞

anbn = AB

3. lımn→∞

kbn = kB (k constante)

4. lımn→∞

anbn

=A

B

Teorema 3. (Sandwich para sucesiones)Si an ≤ bn ≤ cn para n ≥ N y lım

n→∞an = lım

n→∞cn = L, entonces lım

n→∞bn = L

Ejemplo 3. (Aplicacion del Teorema del Sandwich)

1. { cosnn } converge a cero pues − 1

n ≤ cosnn ≤ 1

n

2. { 12n } converge a cero pues 0 < 1

2n ≤ 1n

Teorema 4. (Valor absoluto en sucesiones)Dada la sucesion {an} si lım

n→∞|an| = 0 entonces lım

n→∞an = 0

DEM: Considere las dos sucesiones {|an|} y {−|an|}. Como ambas sucesiones convergen a 0 y

−|an| ≤ an ≤ |an|

Luego, usando el teorema del sandwich podemos concluir que {an} converge a 0. �

Teorema 5. Funcion continua para sucesionesSea f una funcion de una variable real tal que lım

x→∞f(x) = L y sea {an} una sucesion

tal que f(n) = an entonces lımn→∞

an = L

Ejemplo 4. Hallar el lımite de la sucesion cuyo termino n-esimo es an =(

1 +1

n

)n

.

SOL: Tomando la funcion en una variable real f(x) =(

1 + 1x

)x

encontramos que lımx→∞

(

1 +1

x

)x

= e. Por tanto,

como f(n) = an para todo entero positivo, puede aplicarse el Teorema 5 para concluir que lımn→∞

(

1 +1

n

)n

= e

Ejemplo 5. Hallar el lımite de la sucesion cuyo termino n-esimo es an =n2

2n − 1.

SOL:

3





Teorema 6. Prueba del cociente para convergencia de sucesiones

Sea {an} una sucesion de numeros reales. Si lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ < 1, entonces lım

n→∞an = 0.

Ejemplo 6. Determine sı la sucesion

{5n

n!

}

es convergente o divergente.

SOL: Observemos que lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = lım

n→∞

5n+1

(n+ 1)!5n

n!

= lımn→∞

5

n+ 1= 0

Usando la prueba de la razon, concluimos que lımn→∞

5n

n!= 0

Ejemplo 7. Usando la prueba del cociente analice la convergencia de la sucesion an =n!

nn.

Definiciones recursivas: Hasta ahora hemos calculado cada an de manera directa a partir del valor de n; peroen ocasiones las sucesiones se definen de manera recursiva, dando

1. El valor del termino inicial

2. Una regla, denominada formula recursiva, para calcular cualquier termino posterior a partir de los terminosque le preceden.

Ejemplo 8. (Sucesiones construidas de manera recursiva)

Considere la sucesion definida por: a1 = 1 y an = an−1 + 1, es decir,

a1 = 1, a2 = a1 + 1 = 2, a3 = a2 + 1 = 3, y ası sucesivamente

por tanto, la sucesion es 1, 2, 3, . . . , n, . . ..

Considere la sucesion definida por: a1 = 1 y an = nan−1, es decir,

a1 = 1, a2 = 2a1 = 2, a3 = 3a2 = 6, a4 = 4a3 = 24, y ası sucesivamente

por tanto, la sucesion es 1, 2, 3, 6, 24, . . . , n!, . . ..

Considere la sucesion definida por: a1 = 1, a2 = 1 y an+1 = an + an−1, es decir,

a1 = 1, a2 = 1, a3 = a2 + a1 = 2, a4 = a3 + a2 = 3, a5 = a4 + a3 = 5, y ası sucesivamente

por tanto, la sucesion es 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .. Estos numeros son los numeros de Fibonacci

Sucesiones monotonas y sucesiones acotadas

Hasta ahora se ha determinado la convergencia de una sucesion donde tenemos explıcitamente el termino an,encontrando su lım an. Pero, cuando NO podamos escribir una formula explicita (simple) para an (por ejemplo, lassucesiones recursivas) entonces como vamos a estudiar su convergencia? la respuesta la encontramos estudiando lamonotonıa y la acotacion.

4





Definicion 7. (Sucesion Monotona)Una sucesion {an} se llama creciente si an ≤ an+1 para toda n ≥ 1, es decir,

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 · · · ≤ an ≤ · · ·

Mientras que sera decreciente si an ≥ an+1 para toda n ≥ 1. En general, unasucesion {an} recibe el nombre de monotona si es creciente o decreciente.

Ejemplo 9. Determinar si la sucesion que tiene el termino n-esimo dado es monotona.

an = 3 + (−1)n bn =2n

1 + ncn =

n2

2n − 1

SOL:

(a) La sucesion an alterna entre 2 y 4. Por tanto, no es monotona.

(b) Aquı debemos comparar los terminos bn y bn+1. Supongamos en principio que bn ≥ bn+1. Es decir,

2n

1 + n≥ 2(n+ 1)

1 + (n+ 1)

2n(2 + n) ≥ 2(1 + n)2 pues (1 + n), (2 + n) > 0

4n+ 2n2 ≥ 2 + 4n+ 2n2

0 ≥ 2.

Como hemos llegado a una contradiccion 0 ≥ 2 entonces nuestra suposicion bn ≥ bn+1 es erronea. Por lo tantodeducimos que, bn ≤ bn+1, ası que bn es monotona creciente.

NOTA: Otra manera de ver que la sucesion es monotona es argumentar que la derivada de la funcion derivablecorrespondiente f(x) = 2x/(1 + x) es positiva para toda x. Esto implica que f es creciente, lo cual a su vezimplica que {an} es creciente.

(c) Esta sucesion no es monotona, porque al estudiar sus primeros terminos encontramos que

1 <4

3>

9

8>

16

15> · · · > cn > · · ·

Notese que si se suprime el primer termino, la sucesion c2, c3, c4, . . . es monotona decreciente.

Ejemplo 10. Demuestre que la sucesion an =n

n2 + 1es decreciente.

SOL: Considere la funcion f(x) =x

x2 + 1la cual verifica que f(n) = an, ahora como

f ′(x) =x2 + 1− 2x2

(x2 + 1)2=

1− x2

(x2 + 1)2< 0 cuando x2 > 1.

En estos terminos, f es decreciente en (1,∞) y por eso f(n) > f(n + 1). Es decir, an > an+1. Por tanto, {an} esdecreciente.

5





Definicion 8. (Sucesion acotada)

1. Una sucesion {an} es acotada por arriba si existe un numero real M tal que an ≤ Mpara todo n. El numero M es llamado una cota superior de la sucesion.

2. Una sucesion {an} es acotada por abajo si hay un numero real m tal que an ≥ mpara todo n. El numero m es llamado una cota inferior de la sucesion.

3. Una sucesion {an} es acotada si lo esta superior e inferiormente

Ejemplo 11.

1. La sucesion 1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . esta acotada por abajo, pero no por arriba.

2. La sucesion 12 ,

23 ,

34 ,

45 , . . . ,

nn+1 , . . . esta acotada por arriba por M = 1. Observe que ningun numero p < 1 es

una cota superior para la sucesion, por lo que 1 es la mınima cota superior.

3. la sucesion {(−1)n} es acotada por arriba y por abajo, pues −1 ≤ an ≤ 1. PERO es divergente.

Teorema 9. (Sucesion acotada y monotona)Si una sucesion {an} es acotada y monotona, entonces converge.

Ejemplo 12. Determine la convergencia de la sucesion dada por

an =

√

2 +

√

2 +√2 + · · · n veces

SOL: Claramente NO podemos escribir una formula explıcita (simple) para expresar an. Pero, no es difıcil ver que

a1 =√2, a2 =

√

2 +√2 =

√2 + a1, a3 =

√2 + a2, an =

√

2 + an−1 ∀n.

Veamos entonces que an es monotona y acotada.

an esta acotada superiormente por 2, es decir an ≤ 2. Por induccion, primero tenemos que a1 =√2 < 2,

ahora supongamos que an−1 < 2, por ultimo observe que

an =√

2 + an−1 <√2 + 2 = 2.

an es monotona creciente, es decir, an+1 ≥ an. En efecto, tenemos las siguientes equivalencias:

an+1 ≥ an ⇔√2 + an ≥ an ⇔ 2 + an − a2n ≥ 0 ⇔ (an − 2)(an + 1) ≤ 0

Evidentemente cierto. De lo anterior se deduce que la sucesion es convergente. Si llamamos L a su lımite, entoncestenemos que L = lım an = lım an+1, tenemos:

L =√2 + L ⇒ L2 = 2 + L ⇒ L2 − L− 2 = 0 ⇒ (L− 2)(L+ 1) = 0 ⇒ L = 2,

ya que los terminos de la sucesion son todos positivos y el lımite no puede ser negativo

Reconocimiento de sucesiones:

A veces los terminos de una sucesion {an} se generan mediante alguna regla que no identifica explıcitamente eltermino n-esimo de la sucesion. En tales casos, puede ser necesario descubrir el patron en la sucesion y describir eltermino n-esimo. Una vez que el termino n-esimo se ha especificado, se puede investigar la convergencia o divergenciade la sucesion.

6





Ejemplo 13. Hallar una sucesion {an} cuyos cinco primeros terminos son:2

1,4

3,8

5,16

7,32

9y despues analice si

converge o diverge.

SOL: No es difıcil ver que esta sucesion sigue el siguiente patron

21

1,22

3,23

5,24

7,25

9, . . . ,

2n

2n− 1

Ahora consideremos la funcion f(x) =2x

2x− 1, pues esta funcion verifica f(n) = an, y

lımx→∞

2x

2x− 1

L′H︷︸︸︷= lım

x→∞ln(2)2x

2= ∞

Luego, lımn→∞

2n

2n− 1= ∞ y por tanto la sucesion diverge.

Ejemplo 14. Hallar una sucesion {an} cuyos cinco primeros terminos son: −2

1,8

2,−26

6,80

24,−242

120y despues

determine si la sucesion particular que se ha elegido converge o diverge.

SOL:

1.2. Series

Una aplicacion importante de las sucesiones {an} es considerar la suma infinita de cada uno de sus terminos.Informalmente, si {an} es una sucesion infinita, entonces

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

es una serie infinita (o simplemente una serie). Los numeros a1, a2, a3 son los terminos de la serie. En algunasseries es conveniente empezar con el ındice n = 0 (o algun otro entero). Como convenio de escritura, es comunrepresentar una serie infinita simplemente como

∑an.

Para encontrar la suma de una serie infinita, consideramos la siguiente sucesion de sumas parciales.

S1 = a1

S2 = a1 + a2 Observe que

S3 = a1 + a2 + a3

∞∑

n=1

an = lımk→∞

k∑

n=1

an = lımn→∞

Sk

...Sk = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak

Si esta sucesion de sumas parciales converge, se dice que la serie∑

an converge.

7





Definicion 10. (Serie)

Dada una serie infinita∞∑

n=1

an la k-esima suma parcial Sk esta dada por

Sk =

k∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak

Si lımk→∞

Sk = L, entonces la serie∑

an converge a L. Si {Sk} diverge, entonces la serie∑

an diverge.

Cuando escribimos∞∑

n=1

an = L quiere decir que al sumar suficientes terminos de la serie puede llegar tan cerca como

quiera al numero L.

Teorema 11. (Propiedades)Si∑

an = A y∑

bn = B son series convergentes entonces

1.∑

can = cA

2.∑

n=k

an =∑

l=0

al+k =∑

m=2

am+k−2

3.∑

(an ± bn) = A±B.

Ejemplo 15. Series convergente y divergente Calcule la serie

(a)

∞∑

n=1

1

2n, (b)

∞∑

n=1

( 1

n− 1

n+ 1

)

, (c)

∞∑

n=1

1,

SOL: (a) Calculemos las sumas parciales Sn,

S1 =1

2, S2 =

1

2+

1

4=

3

4, S3 =

1

2+

1

4+

1

8=

7

8

S4 =1

2+

1

4+

1

8+

1

16=

15

16, · · · Sn =

2n − 1

2n

Ahora, como el lımn→∞

Sn = lımn→∞

2n − 1

2n= 1, se sigue que la serie

∞∑

n=1

1

2n= 1 por

tanto converge.

SOL: (b) No es difıcil ver que

Sn =n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)

=(

1− 1

2

)

+(1

2− 1

3

)

+(1

3− 1

4

)

+ · · ·+( 1

n− 1

n+ 1

)

Es decir, Sn = 1− 1n−1 . Como lım

n→∞Sn = lım

n→∞1− 1

n+ 1= 1, se sigue que la serie

∞∑

n=1

( 1

n− 1

n+ 1

)

= 1, por tanto converge.

SOL: (c) Claramente Sn = n. Luego, lımn→∞

Sn = lımn→∞

n = ∞, por tanto la serie

∞∑

n=1

1 = ∞, y diverge.

8





Criterio del termino n-esimo para la divergencia

Hasta ahora NO se tiene un procedimiento matematico para determinar si una serie infinita converge o diverge, masaun en el caso convergente, no se sabe como calcular su suma. Comenzamos el estudio de convergencia y divergenciade series, enunciando un metodo SENCILLO que se usa para la divergencia de una serie.

Teorema 12. (Criterio del termino an)

Si∞∑

n=1

an converge entonces lımn→∞

an = 0. De forma equivalente, si lımn→∞

an 6= 0 entonces la

serie

∞∑

n=1

an diverge.

Ejemplo 16. Aplicacion de la prueba del n-esimo termino

∑

n=1

n2 diverge porque lımn→∞

n2 = ∞

∑

n=1

n+ 1

ndiverge porque lım

n→∞n+ 1

n= 1

∑

n=1

(−1)n+1 diverge porque lımn→∞

(−1)n+1 no existe.

∑

n=1

2n diverge porque lımn→∞

2n = ∞

∑

n=1

n!

2n! + 1diverge porque lım

n→∞n!

2n! + 1=

1

2

∑

n=1

1

5n, El criterio NO DECIDE porque, lım

n→∞1

5n= 0

Ejemplo 17. Series divergentes donde lımn→∞

an = 0

En la serie∑

n=1

1

nse tiene lım

n→∞1

n= 0. De manera que el criterio del termino n-esimo para la divergencia

no es aplicable y no se puede obtener alguna conclusion sobre convergencia o divergencia. (Mas adelanteveremos que esta serie en particular diverge.)

Suma de un serie: Geometricas y Telescopicas

Las series que son de la forma∞∑

n=0

rn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn + · · · ,

donde r es un numero real fijo, reciben el nombre de serie geometrica de razon r.

Teorema 13. (Serie Geometrica de razon r)

La serie geometrica

∞∑

n=0

rn converge, si |r| < 1 y diverge si |r| ≥ 1. Para el caso

convergente la suma de la serie es

∞∑

n=0

rn =1

1− r.

OBSERVACION: Cuando el primer termino de una serie geometrica es el numero 1 (independientemente del

ındice de la suma), decimos que la serie esta bien ordenada y por ende la formula∞∑

n=0

rn =1

1− res valida. En el

caso en que el primer termino de la serie geometrica NO sea 1, entonces tenemos que manipular dicha serie paraencontrar su valor.

Ejemplo 18.

1. La serie

∞∑

n=0

(−1)n5

4n= 5

∞∑

n=0

(−1

4

)n= 5( 1

1− (−1/4)

)

= 4.

9





2. La serie∞∑

n=1

1

9

(1

3

)n−1=

1

9

∞∑

n=1

(1

3

)n−1=

1

9

( 1

1− (1/3)

)

=1

6

3. La serie∞∑

n=1

3

2n= 3

∞∑

n=1

(1

2

)n= 3( 1

1− (1/2)

)

= 6 ¿PORQUE hay un ERROR?

4. La serie∞∑

n=0

3n

2n=

∞∑

n=0

(3

2

)ndiverge porque la razon r = 3

2 > 1.

5. la serie∞∑

n=1

22n51−n =∞∑

n=1

(22)n5

5n= 5

∞∑

n=1

(4

5

)n= 5

∞∑

k=0

(4

5

)k+1= 5

∞∑

k=0

(4

5

)k(4

5

)

= 4∞∑

k=0

(4

5

)k=

4

1− 45

Ejemplo 19. La serie

∞∑

n=4

(1

2

)n

SOL: Claramente esta serie geometrica NO esta ordenada, por lo tanto tenemos que manipularla para encontrar suvalor. Observe que

∞∑

n=4

(1

2

)n=

∞∑

n=0

(1

2

)n −(

1− 1

2− 1

2− 1

8

)

=1

1− (1/2)− 15

8=

1

8

Ejemplo 20. Rebote de una pelotaSe deja caer una pelota desde a metros de altura sobre una superficie plana.Cada vez que la pelota toca la superficie, despues de caer una distancia h, rebotahasta una distancia rh, donde r es positiva, pero menor que 1. Determine ladistancia total que viaja la pelota hacia arriba y hacia abajo.

SOL: La distancia total es

s = a+ 2ar + 2ar2 + 2ar3 + · · · = a+ 2ar(1 + r + r2 + r3 + · · · )

= a+ 2ar∞∑

n=0

rn = a+2ar

1− r= a

1 + r

1− r

Ejemplo 21. Expresar el decimal periodico 5.23 y 0.08 como la razon de dos enteros.

SOL:5.232323 . . . = 5 +

23

100+

23

(100)2+

23

(100)3+ · · ·

= 5 +23

100

(

1 +1

100+( 1

100

)2+( 1

100

)3+ · · ·

)

= 5 +23

100

∞∑

n=0

( 1

100

)n= 5 +

23

100

( 1

1− 1/100

)

=518

99

Serie Telescopica

Aquellas series∑

an donde cada termino an se pueda expresar como una diferencia de forma:

an = bn − bn+1

se llaman series telescopicas y su comportamiento esta caracterizado por el siguiente teorema:

Teorema 14. (Serie Telescopica)Sean {an} y {bn} dos sucesiones de numeros tales que an = bn − bn+1. Entonces

∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

bn − bn−1 = b1 − lımn→∞

bn

10





Ejemplo 22. Determine la convergencia de la serie∞∑

n=1

2

4n2 − 1y

∞∑

n=1

√n+ 1−√

n√n2 + n

SOL(a): Observe que al usar fracciones parciales, podemos escribir

an =2

4n2 − 1=

2

(2n− 1)(2n+ 1)=

1

2n− 1− 1

2n+ 1

Luego, la suma parcial Sn esta dada por

Sn =n∑

k=1

( 1

2k − 1− 1

2k + 1

)

=(1

1− 1

3

)

+(1

3− 1

5

)

+(1

5− 1

7

)

+ · · ·+( 1

2n− 1− 1

2n+ 1

)

= 1− 1

2n+ 1

Como lımn→∞

Sn = lımn→∞

1− 1

2n+ 1= 1, se sigue que la serie

∞∑

n=1

2

4n2 − 1= 1, por tanto converge.

SOL(b):

Criterio de la integral y series p

Ahora vamos a estudiar varios criterios de convergencia que aplican a las series con terminos positivos.

Teorema 15. (Criterio del la integral)Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 tal que f(n) = an entonces

∞∑

n=1

an y

ˆ ∞

1

f(x)dx ambas convergen o ambas divergen.

La convergencia o divergencia de∑

an no se ve afectada al anular los primeros N terminos. Analogamente, si las

condiciones para el criterio de la integral se satisfacen para todo x ≥ N > 1 se puede simplemente usar

ˆ ∞

N

f(x)dx

como criterio de convergencia o divergencia.

Ejemplo 23. Determine si la siguiente serie converge o diverge

∞∑

n=1

n

n2 + 1

SOL: Observe que, f(x) =x

x2 + 1es positiva y continua para x ≥ 1 y

f ′(x) =−x2 + 1

(x2 + 1)2< 0 para x > 1,

es decir, f es decreciente. Luego, f satisface las condiciones del criterio de la integral. Por tanto

ˆ ∞

1

x

x2 + 1= lım

b→∞

1

2ln(x2 + 1)

∣∣∣

b

1= lım

b→∞

1

2[ln(b2 + 1)− ln 2] = ∞

Por tanto, la serie diverge.

11





Ejemplo 24. Determine si la siguiente serie converge o diverge∞∑

k=1

k

ek

SOL: Observe que, f(x) =x

ex= xe−x es positiva y continua para x ≥ 1 y

f ′(x) = e−x(1− x) < 0 para x > 1,

Luego, f satisface las condiciones del criterio de la integral. Por tanto

ˆ ∞

1

xe−xdx =

Por tanto, la serie

Series p y series armonicas

Este tipo de serie admite un criterio aritmetico de convergencia o divergencia muy sencillo. Una serie de la forma

∞∑

n=1

1

np=

1

1p+

1

2p+

1

3p+ · · · Serie p

es una serie p donde p es una constante positiva. Para p = 1 la serie

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · · Serie Armonica

Teorema 16. (Convergencia de series p)La serie p

∞∑

n=1

1

np=

1

1p+

1

2p+

1

3p+

1

4p· · ·

convergen si p > 1 y diverge si p ≤ 1

La serie∞∑

i=1

1

n3converge por ser una serie p = 3.

La serie

∞∑

i=1

1

n1/3diverge por ser una serie p = 1

3 < 1.

Comparacion de Series

Teorema 17. (Comparacion Directa)Sea 0 < an ≤ bn para todo n

1.∑

bn converge, entonces∑

an converge

2.∑

an diverge, entonces∑

bn diverge

El criterio de comparacion directa requiere que 0 < an ≤ bn para todo n. Como la convergencia de una serie nodepende de sus primeros terminos, se podrıa modificar el criterio requiriendo solo que 0 < an ≤ bn para todo n > N .

Ejemplo 25. Estudie la convergencia de la serie∞∑

k=2

1

ln k

12





SOL: Puesto que ln k < k para todo k > 2, entonces1

ln k>

1

kpara k ≥ 2. Como la serie

∞∑

k=2

1

kes divergente,

entonces la serie

∞∑

k=2

1

ln kes divergente.

Ejemplo 26. Estudie la convergencia de la serie∞∑

n=1

2 + sen3(n+ 1)

2n + n2

SOL: Puesto que2 + sen3(n+ 1)

2n + n2≤ 3

2n + n2≤ 3

2n

Entonces,∞∑

n=1

2 + sen3(n+ 1)

2n + n2≤

∞∑

n=1

3

2n

esta ultima serie es convergente (serie geometrica de razon r = 12 ). Por tanto,

∞∑

n=1

2 + sen3(n+ 1)

2n + n2es convergente.

Criterio de comparacion en el lımite

Teorema 18. (Criterio de comparacion en el lımite)Suponga que an, bn > 0 y

lımn→∞

(anbn

)

= L

Si 0 < L < ∞ entonces las dos series∑

an y∑

bn comparten la misma condicion,ambas convergen o bien ambas divergen.

L = 0 y si∑

bn converge entonces∑

an converge.

L = ∞ y si∑

bn diverge entonces∑

an diverge.

El criterio de comparacion en el lımite funciona bien para comparar una serie algebraica “complicada” con una seriep. Al elegir una serie p apropiada, se debe elegir una en la que el termino n-esimo sea de la misma magnitud que eltermino n-esimo de la serie dada.

En otras palabras, al elegir una serie para comparacion, se pueden despreciar todos menos las potencias mas altasdel numerador y el denominador.

Ejemplo 27.

∞∑

n=1

√n

n2 + 1comparar con

∞∑

n=1

√n

n2=

∞∑

n=1

1

n3/2esta ultima serie Converge

∞∑

n=1

n2n

4n3 + 1comparar con

∞∑

n=1

2n

n2esta ultima diverge por criterio del termino n-esimo.

Ejemplo 28. Determine si la serie

∞∑

n=1

sin( 5

n

)

converge o diverge.

13





SOL:

El criterio de la raız

El siguiente criterio para convergencia o divergencia de series es especialmente adecuado para series que involucrann-esimas potencias.

Teorema 19. (El criterio de la raız)

Sea∑

an una serie tal que lımn→∞

n√

|an| = L

1. Si L < 1 entonces∑

an es absolutamente convergente

2. Si L > 1 entonces∑

an es divergente.

3. Si L = 1 el criterio no decide.

Ejemplo 29. Determinar la convergencia o divergencia de

∞∑

n=1

e2n

nn

SOL: Se puede aplicar el criterio de la raız como sigue.

lımn→∞

n√

|an| = lımn→∞

n

√

e2n

nn= lım

n→∞e2

n= 0 < 1

Por tanto, usando el criterio de la raız la serie es absolutamente convergente (y por consiguiente converge).

Ejemplo 30. Pruebe la convergencia de la serie∞∑

n=1

2n

n

SOL: Aplicando el criterio de la raız

lımn→∞

n√

|an| = lımn→∞

n

√

2n

n= lım

n→∞2

(n1/n)= 2 > 1

Por tanto, usando el criterio de la raız, la serie es divergente.

El criterio del cociente

Teorema 20. (El criterio del cociente)

Sea∑

an una serie con terminos distintos de cero, tal que lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = L

a) Si L < 1 entonces∑

an es absolutamente convergente.

b) Si L > 1 entonces∑

an es divergente.

c) Si L = 1 el criterio no decide.


∞∑

n=1

2n

n!

SOL: Observemos que

∣∣an+1

an

∣∣ =

2n+1

(n+ 1)!

n!

2n=

2

n+ 1

14





Entonces lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = lım

n→∞2

n+ 1= 0 < 1, por el criterio del cociente, concluimos que, la serie absolutamente

converge , y por ende converge.


∞∑

n=1

n!

nn

SOL: Observemos que

∣∣an+1

an

∣∣ =

(n+ 1)!nn

(n+ 1)n+1n!=

nn

(n+ 1)n=

1(

1 + 1n

)n

Entonces lımn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = lım

n→∞1

(

1 + 1n

)n =1

e< 1, por el criterio del cociente, concluimos que,

∞∑

n=1

n!

nnes absoluta-

mente converge, y por ende converge.

Series alternadas o alternantes

Vamos a estudiar series que contienen terminos positivos y negativos. Por ejemplo,

Ejemplo 33.∞∑

n=0

(

− 1

2

)n

=

∞∑

n=0

(−1)n1

2n= 1− 1

2+

1

4− 1

8+

1

16− . . .

es una serie geometrica alternante con r = − 12 . Las series alternadas o alternantes pueden ser de dos tipos: los

terminos impares son negativos o los terminos pares son negativos.

Teorema 21. (Criterio de la serie alternante)Sea an > 0. La serie alternada

∑

(−1)nan

converge si lımn→∞

an = 0 y an es decreciente, esto es, an+1 ≤ an.


∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n

SOL: Observe que lımn→∞

an = lımn→∞

1

n= 0. Ademas

an+1 =1

n+ 1≤ 1

n= an ∀n

Por consiguiente, aplicando el criterio de la serie alternante, se puede concluir que la serie converge.


∞∑

n=1

n

(−2)n−1

SOL: Consideremos la funcion real f(x) =x

2x−1=

2x

2x, claramente

lımx→∞

2x

2x= lım

x→∞2

2x(ln 2)= 0, ⇒ lım

n→∞n

2n−1= 0.

Ademas

an+1 =n+ 1

2n≤ 2n

2n=

n

2n−1= an ∀n

Por consiguiente, por el criterio de la serie alternada o alternante, la serie converge.

Ejemplo 36. Determinar la convergencia o divergencia de∞∑

n=1

(−1)n√n

n+ 1

SOL: Consideremos la funcion f(x) =√x

x+1 y claramente es decreciente porque f ′(x) < 0. Ademas lımn→∞

∣∣∣

√x

x+ 1

∣∣∣ = 0.

Por consiguiente, por el criterio de la serie alternante, la serie converge.

15





Convergencia absoluta y condicional

Teorema 22. (Convergencia absoluta)Si la serie

∑ |an| converge, entonces la serie∑

an tambien converge

DEM: Como 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an| para todo n, la serie

∞∑

n=1

(an + |an|) pues∞∑

n=1

(2|an|) converge. Ademas, como

an = (an + |an|)− |an| entonces

∞∑

n=1

an =

∞∑

n=1

(an + |an|)−∞∑

n=1

|an|

donde las dos series de la derecha convergen. Por tanto, se sigue que∑

an converge.

OBSERVACION:

El recıproco del este teorema es FALSO. Por ejemplo, la serie armonica alternante

∞∑

n=1

(−1)n+1

nconverge por el cri-

terio de la serie alternante. Sin embargo, la serie

∞∑

n=1

∣∣(−1)n+1

n

∣∣ =

∞∑

n=1

1

narmonica diverge. Este tipo de convergencia

se llama convergencia condicional.

Definicion 23. (Convergencia absoluta y condicional)

1.∑

an es absolutamente convergente, si∑ |an| converge

2.∑

an es condicionalmente convergente, si∑

an converge, pero∑ |an| diverge.

Ejemplo 37.

∞∑

n=1

(−1)nn!

2n. Diverge pues lım

n→∞an = ∞

∞∑

n=1

(−1)n√n

por el criterio de la serie alternada la serie converge, pero

∞∑

n=1

∣∣(−1)n√

n

∣∣ =

∞∑

n=1

1√n

es una p-serie y

por tanto diverge

∞∑

n=1

(−1)n

ln(n+ 1)el criterio de la serie alternada o alternante indica que la serie dada converge. Sin embargo, la

serie ∞∑

n=1

1

n≤

∞∑

n=1

∣∣∣

(−1)n

ln(n+ 1)

∣∣∣ =

∞∑

n=1

1

ln(n+ 1)

diverge por la comparacion directa con los terminos de la serie armonica. Por consiguiente, la serie dada escondicionalmente convergente.

La habilidad de elegir y aplicar los criterios solo se adquiere con la practica. A continuacion se da un conjunto depautas para elegir un criterio apropiado.

Estrategia:

1. ¿Tiende a 0 el termino n-esimo? Si no es ası, la serie diverge.

2. ¿Es la serie de alguno de los tipos especiales: geometrica, serie p, telescopica o alternante?

3. ¿Se puede aplicar el criterio de la integral, el de la raız o el cociente?

4. ¿Puede compararse la serie favorable o facilmente con uno de los tipos especiales?

16





Estrategias para analizar la convergencia de series

Ejemplo 38.

∞∑

n=1

n+ 1

3n+ 1. Diverge pues lım

n→∞an 6= 0

∞∑

n=1

(π

6

)n

. Converge porque es una serie geometrica de razon |r| = π6 < 1.

∞∑

n=1

ne−n2

. Converge, basta con aplicar el criterio de la integral facilmente.

∞∑

n=1

1

3n+ 1. Diverge pues lım

n→∞

13n+1

1n

= 1 luego ambas divergen.

∞∑

n=1

(−1)n3

4n+ 1. Es una serie alternante donde lım

n→∞an = 0 y an + 1 ≤ an, de ahı que converge.

∞∑

n=1

n!

10n. El termino an involucra un factorial, lo que indica que el criterio del cociente puede ser el adecuado.

Despues de aplicar el criterio del cociente, se puede concluir que la serie diverge.

∞∑

n=1

( n+ 1

2n+ 1

)n

El termino an involucra una variable con potencia n que indica que el criterio de la raız puede

ser el adecuado. Despues de aplicar el criterio de la raız, se puede concluir que la serie converge.

17

Modulo III

Calculo en varias variables

2.1. Funciones de valores vectoriales

Definicion 24. Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es

f (t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

se denomina funcion vectorial de una variable real t.

1. El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cada t ∈ I un vector en el espacio Rn.

2. El dominio de la funcion vectorial f es el conjunto Dom(f ) = Dom(f1) ∩Dom(f2) ∩ . . . ∩Dom(fn)

3. Los puntos (f1(t), . . . , fn(t)), t ∈ I describen una curva C en Rn.

El extremo del vector f (t) trazala trayectoria de la curva C e in-dica su orientacion.

4. f (t) = (f1(t), . . . , fn(t)) es una parametrizacion de la curva C, (“cada punto de C se asocia un tiempo t”).A las ecuaciones xi = fi(t) son llamadas ecuaciones parametricas de C.

Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por medio de lafuncion vectorial

r(t) =(

f(t), g(t), h(t))

= f(t)i+ g(t)j+ h(t)k

r(t) representa la posicion de la partıcula en el instante t. De ahı que recibe elnombre de vector posicion de la partıcula.

Ejemplo 39. Algunos graficos de funciones vectoriales

18





Ejemplo 40. Grafique la curva trazada por la funcion vectorial r(t) = 2 cos ti+ 2 sen tj+ 3k

SOL: Las ecuaciones parametricas de la curva son las componentes de la funcion vectorial son

x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = 3

.

Ejemplo 41. Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2

SOL: Primero parametrizamos la curva C de interseccion haciendo, x = t, de donde sededuce que y = 2t y z = 9− t2 − (2t)2 = 9− 5t2. Por tanto las ecuaciones parametricas son

x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,

y por tanto una funcion vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano y = 2xesta dada por

r(t) = ti+ 2tj+ (9− 5t2)k.

Si r(t) tiende al vector L cuando t → a, la longitud del vector r(t)− L tiende a 0. Es decir,

‖r(t)− L‖ → 0 Cuando t → a

Ejemplo 42. Calcule lımt→t0

f (t) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales

1. f (t) =

(

1−√t+ 1

t+ 2,

t

t+ 1, 2

)

, para t0 = 0 R/ (0, 0, 2)

2. f (t) =

(

et − e

t− 1,ln t

1− t,sen(t− 1)

t− 1

)

, para t0 = 1 R/ (e,−1, 1)

19





La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funciones vectoriales.

Definicion 25. una funcion vectorial f es continua en el numero a si

f (a) esta definido lımt→a

f (t) existe lımt→a

f (t) = f (a)

De acuerdo con esta definicion, una funcion vectorial f (t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

es continua en t = a si y solo

si las funciones componentes fi, son continuas en t = a.

Ejemplo 43. 1. Dada la funcion vectorial f (t) =

(

t2 − 1

t+ 1,sen(πt)

cos(πt),ln t+ 1

t+ 2

)

Determine si la funcion vectorial

es continua en t = 1. R/: SI

2. Dada la funcion vectorial f (t) =

(

sen t

t,ln(1 + t)

1− t,cos t− 1

t

)

Determine si la funcion vectorial es continua

en t = 0. R/: NO

La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dada para funciones reales.

Definicion 26. La derivada de una funcion vectorial f = (f1, f2, . . . , fn) es

f ′(t) = lımt→a

f (t+ h)− f (t)

h= lım

t→a

(

f1(t+ h), . . . , fn(t+ h))

−(

f1(t), . . . , fn(t))

h

=(

lımt→a

f1(t+ h)− f1(t)

h, . . . , lım

t→a

fn(t+ h)− fn(t)

h

)

=(

f ′1, . . . , f

′n

)

para todo t para el cual existe el lımite.

NOTA: Ademas de la notacion f ′(t) otras son Dt[f (t)],d

dt[f (t)],

df

dt

Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn, tenemos 3 vectores importantes:

f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) Vector Posicion

v(t) = f ′(t) =(

f ′1(t), f

′2(t), . . . , f

′n(t)

)

Vector Velocidad

a(t) = v′(t) = f ′′(t) =(

f ′′1 (t), f

′′2 (t), . . . , f

′′n (t)

)

Vector Acelaracion.

El vector velocidad v(t) tiene la direccion del vector tan-gente a la curva C en el punto f (t) y el vector aceleraciona(t) apunta hacia el lado concavo de la curva C (lado haciadonde se doble la curva).

20





2.2. Funciones de varias variables

En el primer curso de calculo se trabajo con funciones

f : I ⊂ R −→ R

x f(x)

notacion en la que se enfatiza que el dominio de la funcion es el conjunto I de R y que su codominio es R (el rangode la funcion no queda explıcito en esta notacion). Decıamos entonces que f es una funcion real porque las imagenesf(x) son numeros reales de una variable real x ∈ I.

Ahora vamos a considerar funciones

f : U ⊂ Rn −→ R o bien f : U ⊂ R

n −→ R

x f(x) (x1, . . . , xn) f(x1, . . . , xn)

cuyas imagenes f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) son tambien numeros reales, pero cuyo dominio sera un subconjunto Udel espacio R

n. Estas funciones son llamadas funciones reales de n variables x1, x2, . . . , xn reales, o bien,funciones reales de variable vectorial (viendo a los elementos (x1, x2, . . . , xn) = x como vectores). El conjuntoU es el dominio de la funcion f , su codominio es R y el rango de f es el conjunto de z ∈ R para las cuales existex ∈ U tal que z = f(x), es decir,

Rango f = Im(f) = {z ∈ R : z = f(x),x ∈ U}

Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Por ejemplo,

Area de un rectangulo A(x, y) = xy

Volumen de un cilindro circular V (r, h) = πr2h

Volumen de un cono circular V (r, h) = 13πr

2h

Perımetro de un rectangulo P (x, y) = 2x+ 2y

La altura del paraboloide esta dada por z = x2 + y2, es decir, z = f(x, y) = x2 + y2.

La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre depende de su latitud x y su longitud y, lo que seexpresa escribiendo T (x, y).

El volumen V y el area de la superficie S de una caja rectangular son funciones polinomiales de tres variables:

V (x, y, z) = xyz, S(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz

Nota: Puesto que se requieren cuatro dimensiones, no es posible graficar una funcion de tres variables.

Definicion 27.Una funcion de dos variables, f : U ⊂ R

2 −→ R definida en el dominio U ⊂ R2, es una

regla f que asocia a cada punto (x, y) ∈ U un numero real unico, denotado por z = f(x, y).Una funcion de tres variables, f : U ⊂ R

3 −→ R definida en el dominio U ⊂ R3, es una

regla f que asocia a cada punto (x, y, z) ∈ U un numero real unico w = f(x, y, z).

En la funcion dada por z = f(x, y), x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente.

En caso de que el dominio D de f no se especifique en forma explıcita, se toma como aquel que consiste entodos los puntos para los que la formula dada es significativa.

Una funcion de dos variables suele escribirse z = f(x, y) y se lee “f de x, y.”

Una ecuacion de un plano ax+ by + cz = d, c 6= 0, describe una funcion cuando se escribe como

z =d

c− a

cx− b

cy, f(x, y) =

d

c− a

cx− b

cy

Puesto que z es un polinomio en x y y, el dominio de la funcion consiste en el plano xy completo.

21





Dominios e imagenes

En el caso concreto de funciones f : U ⊂ R2 −→ R definidas en algun conjunto U del plano R

2, conviene a vecestener una representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayor subconjunto U del espacio R

2 parael cual la regla f(x, y) tenga sentido con (x, y) ∈ U .).

El dominio quedar determinado por las restricciones que f imponga para obtener f(x, y) ∈ R; y nuestro interes esver el pedazo del plano R

2 donde f esta definida.

Ejemplo 44.

1. Dado que f(x, y) = 4 +√

x2 − y2) encuentre f(1, 0), f(5, 3) y f(4,−2).

2. Dibuje el dominio de la funcion.

SOL: (a)f(1, 0) =

f(5, 3) =

f(4,−2) =

SOL: (b) Las coordenadas (x, y) debe cumplir x2 − y2 ≥ 0, el dominio consiste en la regionsombreada de la figura.

Ejemplo 45. Encuentre el dominio de la funcion f(x, y) = y√x−y2

y encuentre los

puntos (x, y) en los que f(x, y) = ±1.

SOL: Para que f(x, y) este definida, x − y2 > 0 es decir, y2 < x. Este dominioesta sombreado en la figura. Observe que la parabola en aparece en lınea punteadapara indicar que NO esta incluida en el dominio de f .Por otra parte f(x, y) = ±1 implica que y√

x−y2= ±1, es decir, x = 2y2. Por lo tanto

f(x, y) = ±1 se obtiene en cada punto de la parabola x = 2y2 [OJO (x, y) 6= (0, 0)].

Ejemplo 46. Calcule el dominio para las siguientes funciones y si es posible indique su grafica

1. f(x, y) =√

9− x2 − y2

2. f(x, y) = lnxy

3. f(x, y) =

√x2+y2−9

x

4. g(x, y, z) = x√9−x2−y2−z2

5. g(x, y, z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (1)

22





2.3. Geometrıa de las funciones de varias variables

Superficies en el espacio

La grafica de una ecuacion f(x, y) = 0 es por lo general una curva en el plano xy, la grafica de una ecuacionF (x, y, z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De manera que, una funcion F de tres variables asociaun numero real F (x, y, z) con cada tercia ordenada (x, y, z) de numeros reales. La grafica (dibujo) de la ecuacion

F (x, y, z) = 0

es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen esta ecuacion y recibe el nombre de superficie.Por ejemplo,

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2 Esferas

ax+ by + cz + d = 0 Planos en R3

Un tercer tipo de superficies que estudiaremos en el espacio son las llamadassuperficies cilındricas, superficies cuadraticas.

Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S, en ocasiones es util examinarsus intersecciones con varios planos. La traza de la superficie S es la curva de lainterseccion de P y S.

Por ejemplo, si S es una esfera, se puede ver que la traza de S con un plano P esuna circunferencia. Cuando queremos visualizar una superficie especıfica en el espacio,suele ser suficiente analizar sus trazas en los planos coordenados (esto es, haciendox = 0, y = 0 y z = 0) y posiblemente unos cuantos planos paralelos a ellos.

Ejemplo 47. Bosqueje el plano con ecuacion 3x+ 2y + 2z = 6.

SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x+ 2y = 6 en el plano xy.De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta 3x + 2z = 6 en el plano xz; conx = 0 obtenemos la recta y + z = 3 en el plano yz. La figura muestra las tres trazasque se encuentran en el primer octante. Todas juntas dan una buena idea de comoesta situado el plano 3x+ 2y + 2z = 6 en el espacio R

3.

Superficies Cilındricas

En R2 la grafica de la ecuacion x2+y2 = 1 es una circunferencia

centrada en el origen del plano xy. Sin embargo, en el R3 esposible interpretar la grafica del conjunto

{(x, y, z) : x2 + y2 = 1, z arbitraria}

como una superficie que es el cilindro circular recto ver grafica

De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y+2z = 2es una recta en el espacio R

2 (el plano yz), pero en el espaciotridimensional R3, la grafica

{(x, y, z) : y + 2z = 2, x arbitraria}

es el plano perpendicular al plano yz.

23





Las superficies de este tipo reciben un nombre especial cilindros. Usamos el termino cilindro en un sentido masgeneral que el de un cilindro circular recto. Especıficamente, si C es una curva en un plano y L es una recta noparalela al plano, entonces el conjunto de todos los puntos (x, y, z) generado al mover una lınea que recorra a Cparalela a L se denomina cilindro. En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva C en lamisma direccion de la recta L, donde la recta L es representada por la variable que falta en su ecuacion. La curvaC recibe el nombre de generatriz del cilindro.

Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva

f(x, y) = c1, plano xy, g(x, z) = c2, plano xz, h(y, z) = c3, plano yz

definen un cilindro paralelo al eje z, eje y y eje x, respectivamente cuya ecuacion tambien esf(x, y) = c1, g(x, z) = c2 y h(y, z) = c3. Por tanto, concluimos que una curva en un plano,cuando se consideran tres dimensiones, es un cilindro perpendicular a ese plano.

Ejemplo 48. Cilindros

Superficies Cuadricas

La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2 solo un caso particular de la ecuacion general de

segundo grado en tres variables

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Eyz + Fxz +Gx+Hy + Iz + J = 0, (2.1)

donde A,B,C, . . . , J son constantes. La grafica de una ecuacion de segundo grado de la forma (2.1) que describe unconjunto real de puntos se dice que es una superficie cuadrica. Por ejemplo, tanto el cilindro elıptico x2/4+y2/9 = 1como el cilindro parabolico z = y2 son superficies cuadricas.

Hay seis tipos basicos de superficies cuadricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, conoelıptico, paraboloide elıptico y paraboloide hiperbolico.

Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,

corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) los numeros reales positivos a, b y c se llaman semiejesdel elipsoide. La superficie es simetrica con respecto a cada uno de los planos coordenados, ya que en la ecuacionque la define, cada variable esta elevada al cuadrado.

24





Cono elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2=

z2

c2,

recibe el nombre de cono elıptico (o circular si el cono a = b)

Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2=

z

c,

es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0. La unica interseccion con los ejes es el origen. Excepto poreste punto, la superficie esta completamente por arriba (si c > 0) o completamente debajo (si c < 0 ) del plano xy,segun el signo de c.

Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1,

se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano paralelo al plano xy, corta la superficie en seccionestransversales elıpticas (o circulares si a = b) y es simetrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados.

25





Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1,

se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Es simetrico con respecto a los tres planos coordenados. Elplano z = 0 no corta a la superficie; de hecho, para que un plano horizontal corte a la superficie, debemos |z| ≥ c.tener

Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma

z

c=

y2

b2− x2

a2,

se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla de montar.Su traza en el plano horizontal z = z0es una hiperbola (o dos rectas que se cruzan si z0 = 0).

Para clasificar una superficie cuadrica, se empieza por escribir la superficie en la forma canonica o estandar. Despues,se determinan varias trazas en los planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados.

Ejemplo 49. Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica

4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0 ⇒ y2

4− x2

3− z2

1= 1

26





se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas que abre en y. Para esbozar la grafica, convienehallar las trazas en los planos coordenados.

Traza xy (z = 0)y2

4− x2

3= 1 Hiperbola

Traza xz (y = 0)x2

3+

z2

1= −1 No hay traza

Traza yz (x = 0)y2

4− z2

1= 1 Hiperbola

Ejemplo 50. Clasificar y dibujar la superficie dada por x− y2 − 4z2 = 0

SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende la superficie esque abre en el eje x. Estudiemos algunas trazas,

Ejemplo 51. Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.

SOL:

EJERCICIO:Clasificar y dibujar las superficies dadas pora) x2 + 2y2 + z2 − 4x+ 4y − 2z + 3 = 0.b) 2x2 − 4y2 + z2 = 0c) −2x2 + 4y2 + z2 = −36

Graficas

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de unafuncion de dos variables dibujando su grafica. La grafica de una funcion f : D ⊂ R

2 → R2 de dos variables es

Graf(f) ={

(x, y, z) : z = f(x, y)}

={(

(x, y, f(x, y))

: (x, y) ∈ D}

1. la grafica de f o tambien se les llama superficie en el espacio.

2. la grafica de z = f(x, y) es una superficie cuya proyeccion sobre el planoxy es D, el dominio de f .

3. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y,viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto(x, y) en D.

27





Ejemplo 52. ¿Cual es el rango de f(x, y) =√

16− 4x2 − y2. Describir la grafica de f .

SOL: Para que f(x, y) este definida, . Por tanto, el dominio D es elconjunto de todos los puntos que

El rango de f esta formado por todos los valores z = f(x, y) tales que .Un punto (x, y, z) esta en la grafica de f si y solo siPor lo tanto, la grafica de f es .

Ejemplo 53. Dibuje la grafica de la funcion f(x, y) = 2− 12x− 1

3y.

SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2 − 12x − 1

3y es , y paravisualizarlo usamos las trazas.

Curvas de nivel

En general, si una funcion de dos variablesesta dada por z = f(x, y) entonces el conjunto depuntos (x, y) en el dominio de f donde f(x, y) = ctiene un valor constante es una curva de nivelde f .

NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a una superficie z = f(x, y) esta formada por los puntosque representan el valor de la funcion f(x, y) = c. A esta se le llama curva de contorno para distinguirla de lacurva de nivel f(x, y) = c en el dominio de f . Sin embargo, no todo mundo hace esta distincion; por ejemplo enla mayorıa de los mapas, a las curvas que representan una elevacion (altura sobre el nivel del mar) se les llamacontornos, no curvas de nivel.

28





Ejemplo 54. Grafique f(x, y) = 100 − x2 − y2 y trace las curvas de nivel f(x, y) = 0,f(x, y) = 51 y f(x, y) = 75 en el dominio de f en el plano.

SOL: El dominio de f es , y el rango de f es el conjunto de numerosreales . La grafica es . La curva de nivel f(x, y) = 0es claramente , ya que,

las curvas f(x, y) = 51 y f(x, y) = 75 son . Pues,

Ejemplo 55. Halle las curvas de nivel de una funcion po-linomial f(x, y) = y2 − x2

SOL:

Ejemplo 56. Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2

SOL: las curvas de nivel son dadas por . Por tanto las curvas de nivel son .

Superficies de nivel

Para una funcion de tres variables, w = f(x, y, z) las superficies definidas por f(x, y, z) = c donde c es una constante,se llaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos la funcion pues los puntos (x, y, z, f(x, y, z))que estan en R

4; Sin embargo, podemos ver como se comporta la funcion, estudiando sus superficies de nivel en sudominio, ya que ellas muestran en que forma cambian los valores de la funcion al movernos por el dominio.

Ejemplo 57.

1. Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x− 2y + 3z son

2. Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 son

3. Las superficies de nivel de una funcion racional f(x, y, z) =x2 − y2

zestan dadas por .

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Ejemplo 58. Estudie las superficies de nivel de la funcion f(x, y) = x2 + y2 − z2

SOL: La superficies de nivel estan dadas por . De manera que, si c > 0entonces obtenemos un , mientras que si c < 0, entonces es

. El cono x2 + y2 − z2 = 0 se encuentra entre estos dos tipos de hi-perboloides.

2.4. Lımites y continuidad

En el estudio de los lımites de las funciones de varias variables, se ponen al descubierto las grandes dificultades depasar del calculo de una variable al de varias variables: para funciones de una variable sus dominios son “pedazosde la recta”, muchas veces intervalos. Para una funcion de n variables, su dominio es un “pedazo de R

n”, y...aquı empiezan los problemas. ¿Como son los subconjuntos de R

n “equivalentes” a los subconjuntos de R? La res-puesta la encontramos en la matematica llamada “topologıa”. Nosotros solamente estudiaremos aquellos conceptos“topologicos”que nos hagan la vida mas eficiente para comprender los conceptos de lımite y continuidad para unafuncion f : U ⊂ R

n → R.

En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factible hacer un juicio acerca de la existencia delımx→a

f(x) a partir de la grafica de y = f(x). Tambien se aprovecha que lımx→a

f(x) existe si y solo si lımx→a−

f(x) y

lımx→a+

f(x) existe y son iguales al mismo numero L, en cuyo caso lımx→a

f(x) = L. En esta seccion veremos que la

situacion es mas DIFICIL en la consideracion de lımites de funciones de dos variables.

El estudio del lımite de una funcion de dos variables inicia definiendo el analogo bidimensional de un intervalo enla recta real. Utilizando la formula para la distancia entre dos puntos (x, y) y (x0, y0) en el plano, se puede definirel entorno de (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)

D ={

(x, y) :√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ}

Cuando esta formula contiene el signo de desigualdad menor que, <, al disco se le llama abierto, y cuando contieneel signo de desigualdad menor o igual que, ≤ al disco se le llama cerrado.

Definicion 28. (Conjunto abierto y cerrado)Un conjunto V ⊂ R

n se dice que es abierto si para cada x ∈ V existe r > 0 tal queB(x, r) ⊂ V . Un conjunto F ⊂ R

n se dice que es cerrado si su complemento F c = Rn − F

es un conjunto abierto.

Un punto (x0, y0) en una region R del plano es un punto interior de R si existe un entorno δ de (x0, y0) queeste contenido completamente R.

30





Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region abierta.

Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto centrado (x0, y0) en contiene puntos dentrode R y puntos fuera de R

Si una region contiene todos sus puntos frontera, la region es cerrada.

Una region que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada.

La region R esta acotada si puede estar contenida en un rectangulo o disco suficientemente grande en el plano.

Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y no acotada para las regiones en el espacio, sonsimilares a las de las regiones en el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferas solidas de radiopositivo en lugar de discos.

1. Un punto (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R, si es el centro de una bola solidaque esta completamente dentro de R

2. Un punto (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si todaesfera con centro en (x0, y0, z0) contiene puntos que estanfuera de R y puntos que estan en R

3. El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R.

4. La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R.

5. Una region es abierta si consta solo de puntos interiores.

6. Una region es cerrada si contiene a toda su frontera.

LIMITES Y CONTINUIDAD: Analizar un lımite dibujando la grafica dez = f(x, y) no es conveniente ni es una rutina posible para la mayor parte delas funciones de dos variables. Por intuicion sabemos que f tiene un lımite enun punto (a, b) si

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

Para tener un poco mas de precision, los puntos en el espacio (x, y, f(x, y))pueden hacerse arbitrariamente cercanos a (a, b, L) siempre que (x, y) sea sufi-cientemente cercano a (a, b)La nocion de (x, y) “aproximandose” a un punto (a, b) no es tan simple comopara funciones de una variable donde x → a significa que x puede acercarse aa solo desde la izquierda y desde la derecha.

31





En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse al punto (a, b) para que lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) exista,

requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a lo largo de cualquier trayectoria o curva posible quepase por (a, b).

1. Si f(x, y) no se aproxima al mismo numero L por dos trayectorias diferentes a (a, b), entonces lım(x,y)→(a,b)

f(x, y)

no existe.

2. En la discusion de lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) que sigue se supondra que la funcion f esta definida en todo punto (x, y)

en un disco abierto centrado en (a, b) pero no necesariamente en el propio (a, b).

Ejemplo 59. Demuestre que lım(x,y)→(0,0)

x2 − 3y2

x2 + 2y2no existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x (y = 0) y el eje y (x = 0).

lım(x,y)→(0,0)

y=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= lım

(x,0)→(0,0)

x2

x2= 1 lım

(x,y)→(0,0)

x=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= lım

(0,y)→(0,0)

3y2

2y2= −3

2

Por tanto, el lımite no existe.


xy

x2 + y2no existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x y el eje y.

lım(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lım

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0 lım

(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lım

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0

Sin embargo, esto NO significa que lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2exista, ya que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0).

Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx.

lım(x,y)→(0,0)

y=mx

xy

x2 + y2= lım

(x,mx)→(0,0)

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2

Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que el lımite no existe. Por ejemplo, tomandolas rectas y = x y en y = 2x tenemos,

lım(x,y)→(0,0)

y=x

xy

x2 + y2= lım

(x,x)→(0,0)

x2

x2 + x2=

1

2lım

(x,y)→(0,0)

y=2x

xy

x2 + y2= lım

(x,2x)→(0,0)

2x2

x2 + 4x2=

2

5


x3y

x6 + y2no existe.

SOL: El dominio de f es . Aproximemos a (0, 0) por el eje x, el eje y y por rectas y = mx

lım(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2=

lım(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2=

lım(x,y)→(0,0)

y=mx

x3y

x6 + y2=

32





Si bien esto constituye verdaderamente un numero infinito de trayectorias al origen, el lımite sigue sin existir, yaque tomando la trayectoria dada por y = x3

lım(x,y)→(0,0)

y=x3

x3y

x6 + y2=

Por tanto, concluimos que el lımite no existe.


(x2 − y2

x2 + y2

)2

no existe.

SOL: El dominio de f es . Aproximemos a (0, 0) por el ejex, el eje y y por rectas y = x.

lım(x,y)→(0,0)

y=0

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

lım(x,y)→(0,0)

x=0

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

lım(x,y)→(0,0)

y=x

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

Por tanto, NO tiene lımite en (0, 0).

Ejemplo 63 (Uso de coordenadas polares). Evalue lım(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2.

SOL: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = r sen θ tenemos

lım(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= lım

r→0

10(r cos θ)(r2 sen2 θ)

r2= lım

r→010r cos θ sin2 θ = 0

Observe, que el lımite es independiente del valor de θ. De ahı que el lımite exista.

Definicion 29. (Formal de un lımite)Suponga que una funcion z = f(x, y) se define en cualquier punto en undisco abierto centrado en (a, b) salvo posiblemente en (a, b). Entonces

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

significa que para toda ǫ > 0, existe un numero δ > 0 tal que

|f(x, y)− L| < ǫ, siempre que 0 <√

(x− a)2 + (y − b)2 < δ


10xy2

x2 + y2= 0.

SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que

∣∣∣f(x, y)− 0

∣∣∣ =

∣∣∣10xy2

x2 + y2− 0∣∣∣ < ǫ, siempre que |(x, y)− (0, 0)| =

√

x2 + y2 < δǫ

33





Observe que

∣∣∣10xy2

x2 + y2− 0∣∣∣ = 10|x| y2

x2 + y2

≤ 10|x|y2

y2= 10|x| = 10

√x2 ≤ 10

√

x2 + y2 < 10δǫ.

De modo que si se elige δǫ =ǫ10 , logramos tener

∣∣∣10xy2

x2+y2 − 0∣∣∣ < 10δǫ = ǫ. Esto demuestra que lım

(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= 0.

Definicion 30. (Continuidad)Una funcion z = f(x, y) es continua en (a, b) si

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b)

Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.

La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.

Una funcion z = f(x, y) es continua sobre un region R del plano xy si f es continua en cualquier puntoen R.

La suma y el producto de dos funciones continuas tambien son continuas.

El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en el punto donde el denominador es cero.

Si g es una funcion de dos variables continuas en (a, b) y F es una funcion de una variable continua en g(a, b)entonces la composicion f(x, y) = F ◦ g(x, y) es continua en (a, b).

Ejemplo 65. Demuestre que la funcion f(x, y) =x4 − y4

x2 + y2es discontinua en (0, 0), pero

F (x, y) =

x4 − y4

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

es continua en (0, 0).

SOL: Claramente la funcion f(x, y) es discontinua en (0, 0), ya que f(0, 0) no esta definida.

Por otra parte, F (0, 0) = 0 y

lım(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2= lım

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2)(x2 + y2)

x2 + y2= 0 = F (0, 0)

Por consiguiente, F (x, y) es continua.

2.5. Diferenciabilidad

2.5.1. Derivadas parciales s z = f(x, y)

Recordemos que para una funcion de una variable f : I ⊂ R → R definida en el intervalo abierto I de R, se definela derivada de f en x0 ∈ I, denotada por f ′(x0), como el valor del lımite

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

cuando este existe (en cuyo caso decimos que f es diferenciable en x0).

34





1. Si f ′(x0) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion y = f(x) en elpunto (x0, f(x0)).

2. Las funciones importantes a estudiar, bajo la optica del calculo, son las funciones diferenciables.

3. Cuando se tiene una funcion diferenciable, lo importante es obtener informacion de la funcion a partir de suderivada (la informacion que se obtiene de f a partir del valor de f ′(x0) es local, alrededor de x0).

4. El simple hecho de la existencia de f ′(x0) nos habla del comportamiento suave de la grafica de la funcion enlos alrededores del punto (x0, f(x0));

5. El signo de f ′(x0) nos habla del crecimiento y/o decrecimiento de la funcion alrededor del punto, etc. Este es,

6. En realidad, uno de los objetivos principales del calculo: obtener informacion de una funcion diferenciable apartir de su derivada.

Resulta deseable, por tanto, disponer de un concepto de “diferenciabilidad” para funciones de varias variablessemejante a aquel que conocemos para funciones de una variable.

Definicion 31. Derivadas parcialesSea f : U ⊂ R

2 → R una funcion definida en el abierto U de R2, entonces la derivadaparcial con respecto a x en un punto (x, y) es

∂f

∂x(x, y) = lım

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

y la derivada parcial con respecto a y es

∂f

∂y(x, y) = lım

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

siempre que exista el lımite.

En un nivel practico

• Para calcular∂f

∂x, hay que tomar a y como constante y derivar respecto a x.

• Para calcular∂f

∂y, hay que tomar a x como constante y derivar respecto a y.

Las derivadas parciales son conceptos “puntuales”, es decir, se habla de la derivada parcial de una funcionen un punto dado (de su dominio).

En general, se debe hacer explıcito el punto (x0, y0) donde se calcula la derivada parcial, escribiendo∂f

∂x(x0, y0)

y∂f

∂y(x0, y0).

Muchas veces calculamos las derivadas parciales “en un punto cualquiera (x, y) de su dominio”. En tal

caso, basta escribir∂f

∂xy∂f

∂y(fx y fy, o D1f y D2f , respectivamente).

Ejemplo 66. Sea f : U ⊂ R2 → R, f(x, y) = x2y3. Entonces

∂f

∂x= lım

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h=

∂f

∂y= lım

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h=

35





En este ejemplo se observa que, como era de esperarse, las derivadas parciales de una funcion z = f(x, y) se obtienen“derivando parcialmente” cada una de las variables, y conservando la otra como constante (es decir, pensando enla funcion f como dependiente solo de x o de y)

Ejemplo 67. Calcular las derivadas parciales, de las siguientes funciones

1. f(x, y) = x2 + 2xy2 − y3.

2. z = (x2 + y2)exy.

3. z = 4x3y − 24x2 + y6 + 1,

4. f(x, y) = x4y6 cos(x3y2 − y3).

5. z = ln(x2y) + tan(xy2)

6. z = sin(√

4x3y − 24x2y6 + 1),

Ejemplo 68. Considere la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) =

xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)Calcule las

derivadas parciales ∂f∂x (x, y) y

∂f∂y (x, y).

SOL: Segun la definicion de f vemos que podemos derivar parcialmente de forma directa en todo (x, y) 6= (0, 0),PERO para el punto (x, y) = (0, 0), solo podemos calcularlo usando la definicion de limite ¿SABES EL PORQUE?

∂f

∂x(x, y) =

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

∂f

∂y(x, y) =

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

En efecto,

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) =

Ambas derivadas parciales existen en el origen. Pero sabemos que esta funcion NO es continua en (0, 0). (VerEjemplo 60).

36





Curiosidad interesante Las derivadas parciales de una funcion f pueden existir en P y en ese mismo P la funcionf pueden NO ser continua. ¿Esta curiosidad en Calculo I es factible?.

Ejemplo 69. Dada f(x, y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Muestre que

(a) fx(0, y) = −y para toda y (b) fy(x, 0) = x para toda x

SOL: Para y 6= 0, se tiene

fx(0, y) =∂f

∂x(0, y) =

=

Luego, para y = 0 resulta fx(0, 0) = 0

SOL: Para x 6= 0, se tiene

fy(x, 0) =∂f

∂y(x, 0) =

=

Luego, para x = 0 resulta fy(0, 0) = 0

Interpretacion geometrica de las derivadas parciales

Las derivadas parciales fx y fy de una funcion de dos variables, tienen una interpretacion geometrica util, pues fxy fy son las pendientes de las rectas tangentes a ciertas curvas de la superficie z = f(x, y).

Si y = b entonces z = f(x, b) representan la curva interseccion de la superficie z = f(x, y) con el plano y = b (estoes, la coordenada x varıa pero la coordenada y es constante, como se muestra en la figura 1.

Fig 1 Fig 2 Fig 3

Notese que tanto la curva como la recta tangente se encuentran en el plano y = b.

Una curva de interseccion de z = f(x, y) con un plano vertical y = b se denomina curva x sobre la superficie.

Podemos “ignorar” la presencia de y = b y considerar a z = f(x, b) una funcion de la variable unica x.

La pendiente de la recta tangente a la curva x original que pasa por P Figura 2, es igual a la pendiente de larecta tangente de la figura 3, pero de acuerdo con el calculo con una variable, esta pendiente esta dada por laexpresion

∂f

∂x(x, b) = lım

h→0

f(x+ h, b)− f(x, b)

h

37





Ası, el significado geometrico de fx es el siguiente:

Interpretacion geometrica de fx = ∂fdx = zx . . .

El valor fx(x, b) es la pendiente de la recta tangente en P (a, b, c) de la curva x quese encuentra sobre la superficie z = f(x, y).

Analogamente, la figura 4 ilustra la interseccion con la superficie z = f(x, y) de un plano vertical x = a. Ahora, lacurva de interseccion es una curva y sobre la que varıa y pero x = a es constante. En la figura 5 se muestra estacurva y, z = f(a, y), y su recta tangente en P . La proyeccion de la tangente en el plano yz en la figura 6) tienependiente ∂f

∂y = fy(a, b).

Fig 4 Fig 5 Fig 6

Ası, se observa que el significado geometrico de fy es el siguiente:

Interpretacion geometrica de fy = ∂fdy = zy . . .

El valor fy(x, b) es la pendiente de la recta tangente en P (a, b, c) de la curva y quese encuentra sobre la superficie z = f(x, y).

Observe que ahora tenemos dos rectas tangen-tes asociadas a la superficie z = f(x, y) en elpunto P (x0, y0, f(x0, y0)) (figura 7).

¿El plano determinado por estas rectastangentes es tangente a la superficie en P?

Veremos que sı, pero tenemos que aprendermas sobre las derivadas parciales antes de sa-ber por que.

Fig 7

Ejemplo 70. Considere un plano x = 1 el cual corta al paraboloide z = x2+y2

en una parabola. Determine la pendiente de la tangente a la parabola en (1, 2, 5)

SOL: Claramente este corte origina una curva-y. Por lo tanto, la pendiente mesta dada por:

m =∂z

∂y

∣∣∣∣∣(1,2)

=

38





Ejemplo 71. Hallar las pendientes en las di-recciones de x y de y de la superficie dada por

f(x, y) = −x2

2 − y2 + 258 en el punto ( 12 , 1, 2).

SOL: Estas pendientes estan dada por las de-rivadas parciales de f evaluadas en ( 12 , 1, 2):

∂f

∂x

∣∣∣∣∣( 12 ,1)

=

∂f

∂y

∣∣∣∣∣( 12 ,1)

=

Ejemplo 72. Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva de interseccion de la superficie z = f(x, y) =√

64− 5x2 − 7y2 y el plano x = −2, en el punto P (−2, 2, 4).

SOL: No es difıcil ver que la interseccion de estas superficies es la traza de la superficie con el plano x = 2 y suecuacion es dada por z =

√

44− 7y2 ahora si parametrizamos esta traza C con y = t entonces sus coordenadasestan dadas por

x(t) = 2, y(t) = t, z(t) =√

44− 7t2

de manera que C ′(t) es un vector tangente a esta traza, observe que c′(t) = (0, 1, z′(t)), luego la recta tangente enP (−2, 2, 4) es

l(s) = (−2, 2, 4) + sC ′(2) =

Derivadas parciales de una funcion de tres o mas variables:

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o mas variables. Por ejemplo,una funcion w = f(x, y, z) tiene tres derivadas parciales, que se definen como

∂f

∂x= lım

h→0

f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)

haquı y, z son constantes

∂f

∂y= lım

h→0

f(x, y + h, z)− f(x, y, z)

haquı x, z son constantes

∂f

∂z= lım

h→0

f(x, y, z + h)− f(x, y, z)

haquı x, y son constantes

Las derivadas parciales de las funciones con aun mas variables se definen de manera analoga. Una funcion f(x1, x2, . . . , xn)de n variables tiene n derivadas parciales, una respecto a cada una de sus variables independientes. Por ejemplo,

∂f

∂xi= lım

h→0

f(x1, . . . , xi−1, xi + h, xi+1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

haquı xi son constantes

∂f

∂xi= lım

h→0

f(

(x1, . . . , xi, . . . , xn) + (0, . . . , h, . . . , 0))

− f(x1, . . . , xn)

h

∂f

∂xi= lım

h→0

f(

(x1, . . . , xn) + h(0, . . . , 1, . . . , 0))

− f(x1, . . . , xn)

h

∂f

∂xi= lım

h→0

f(

x+ hei

)

− f(x)

hdonde x = (x1 . . . , xn)

Esta ultima ecuacion es conocida como la Derivada Direccional de la funcion f en la direccion del vector ei.

Ejemplo 73. Si f(x, y, t) = e−3πt cos(4x) sen(6y), entonces las derivadas parciales con respecto a x, y y t son:,

SOL:

39





Ejemplo 74. Si g(x, y, u, v) = eux cos(vy), entonces las derivadas parciales con respecto a x, y, u y v son:,

SOL:

Derivadas parciales de orden superior

Las derivadas parciales de primer orden, fx y fy, son en sı mismas funciones de x y y, por lo que se pueden derivarrespecto de x o de y. Las derivadas parciales de fx(x, y) y fy(x, y) se denominan derivadas parciales de segundoorden de f . Existen cuatro de ellas porque hay cuatro posibilidades en el orden de derivacion:

(fx)x = fxx =∂fx∂x

=∂

∂x

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2(fx)y = fxy =

∂fx∂y

=∂

∂y

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x

(fy)x = fyx =∂fy∂x

=∂

∂x

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y(fy)y = fyy =

∂fy∂y

=∂

∂y

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2

Si se escribe z = f(x, y), entonces se puede reemplazar cada ocurrencia del sımbolo f por z.

1. La funcion fxy es la derivada parcial de segundo orden de f respecto a x primero y despues respecto a y;

2. fyx es el resultado de derivar respecto a y primero y posteriormente respecto a x.

3. Aunque fxy y fyx no son necesariamente iguales, en el calculo avanzado se demuestra que estas dos derivadasparciales “mixtas” de segundo orden son iguales si ambas son continuas.

4. El orden de los sımbolos en los subındices de las parciales mixtas es justamente lo opuesto al orden de lossımbolos cuando se usa la notacion de operador de diferenciacion parcial:

(fx)y = fxy =∂fx∂y

=∂

∂y

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x(fy)x = fyx =

∂fy∂x

=∂

∂x

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y

Ejemplo 75. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f(x, y) = 2xy2− 3x+3x2y2 y determinar el valorde fxy(1,−2)

Ejemplo 76. Si f(x, y) = x sin y + yex determine fxx, fxy, fyy y fyx.

40





Aunque no se demostrara, el siguiente teorema enuncia que bajo ciertas condiciones es irrelevante el orden en elcual se efectua una derivada parcial de segundo orden mixta; esto es, las derivadas parciales mixtas fxy y fyx soniguales.

Teorema 32. Sea f una funcion de dos variables. Si las derivadas parciales fx, fy,fxy y fyx son continuas en algun disco abierto, entonces

fxy = fyx

en cada punto sobre el disco.

Ejemplo 77. Encuentre∂2w

∂x∂yy

∂2w

∂y∂xsi w = xy +

ey

y2 + 1. Que opinas de estos dos calculos?

SOL:

Aunque trabajaremos principalmente con derivadas parciales de primer y segundo orden, pues estas aparecen conmayor frecuencia en las aplicaciones, no hay lımite teorico para el numero de veces que se pueda derivar una funcion,siempre que las derivadas implicadas existan. Ası, podemos obtener derivadas de tercer y cuarto orden, denotadaspor sımbolos como

∂3w

∂x∂y2= fyyx,

∂4w

∂x2∂y2= fyyxx

etcetera. Como con las derivadas de segundo orden, el orden de derivacion no importa, mientras todas las derivadashasta el orden en cuestion sean continuas.

Ejemplo 78. Si f(x, y, z) =√

x2 + y4 + z6 determine fyzz

SOL:

Ejemplo 79. Mostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx para la funcion dada por f(x, y, z) = yex + x ln z

SOL:

41





Diferenciabilidad en varias variables

El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recordemos que la motivacion original para la derivadafue el problema de definir las rectas tangentes a las graficas de las funciones y el calculo de las pendientes de dichasrectas (figura: 2.1).

. Pendiente m =?. . mPQ =f(x) − f(a)

x − a. m = lım

x→a

f(x) − f(a)

x − a

Figura 2.1: El problema de la recta tangente motiva el calculo diferencial

Llamando h = x− a encontramos que

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a= lım

h→0

f(a+ h)− f(a)

h:= f ′(x). (2.2)

En tal caso al valor del lımite se le llama derivada de f en x y se denota por f ′(x), y geometricamente este valores la pendiente de la recta tangente en el punto P .

Por supuesto que un primer intento para conseguir un concepto equivalente para funciones de varias variables,digamos f : U ⊂ R

n → R serıa copiar la definicion (2.2). Esto seria

f ′(a) = lım∆x→0

f(a+ h)− f(a)

hPORQUE ESTO NO TIENE SENTIDO?

A pesar de este contratiempo nuestro interes seguira siendo tratar de “copiar la esencia” de la definicion dediferenciabilidad que conocemos para plasmarla en el concepto que queremos establecer de diferenciabilidad parafunciones de varias variables. Lo que haremos ahora sera replantear la definicion para una variable, de modo queen ella no aparezcan divisiones (que es la operacion que no se puede copiar para vectores de R

n con n ≥ 2).

Una manera equivalente -y mas elegante– de establecer el concepto de diferenciabilidad para funciones de unavariable es la siguiente: Si f es diferenciable es porque existe una constante m := f ′(a) tal que

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h= m ⇔ lım

h→0

f(a+ h)− f(a)−mh

h= 0 (2.3)

Ahora interpretemos de manera geometrica este ultimo limite.

r(h)

f(a) +mh

Observe que la altura del punto a + h a la recta tangente esf(a) +mh,. En efecto, la ecuacion de la recta esta dada por

y − f(a) = m(x− a).

Luego, si x = a+ h entonces

y = m(a+ h− a) + f(a) = f(a) +mh.

De la figura se desprende varias cosas importantes:

r(h) es justamente la distancia entre la curva y la recta tangente, es decir,

r(h) = f(x+ h)− f(a)−mh.

42





r(h) es llamado el residuo, pensando en que es “lo que le falta a la recta tangente para describir a la curvay = f(x) en los alrededores de P”

Usando esto en (2.3) concluimos que lımh→0

r(h)

h= lım

h→0


h= 0.

Teorema 33 (EQUIVALENCIA: Diferenciabilidad para funciones de una variable).Una funcion f : I ⊂ R → R es diferenciable en a ∈ I si y solo si existe una constante m tal que

f(a+ h) = f(a) +mh+ r(h) donde lımh→0

r(h)

h= 0

En caso afirmativo, m = f ′(a).

Demostracion. (⇒) Si f es diferenciable en x = a entonces existe f ′(a) luego si definamos r(h) = f(a+h)− f(a)+f ′(a)h y encontramos que

lımh→0

r(h)

h= lım

h→0

f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a) = f ′(a)− f ′(a) = 0.

(⇐) Supongamos ahora que existe un m tal que f(a + h) = f(a) +mh + r(h) donde lımh→0

r(h)

h= 0. Demostremos

que f es diferenciable en a, para ello demostremos que lımh→0

f(a+ h)− f(a)

hexiste. En efecto, como

0 = lımh→0

r(h)

h= lım

h→0


h= lım

h→0

f(a+ h)− f(a)

h−m

Por tanto, lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h= m, es decir, el limite existe, y por ende que f es diferenciable en x = a.

Observaciones IMPORTANTES en esta nueva definicion de diferenciabilidad

A medida que h tiende a cero, el residuo r(h) tambien tiende a cero. Sin embargo, esto no es el puntoimportante en la definicion de diferenciabilidad, pues este hecho (el que lım

h→0r(h) = 0) lo unico que nos dice

es que la funcion es continua en P . En efecto, si f(a+ h) = f(a) +mh+ r(h) entonces si aplicamos limite,

lımh→0

f(a+ h) = lımh→0

f(a) +mh+ r(h) = f(a) es decir, f en continua en a

Lo importante cuando se estudia la diferenciabilidad de funciones, es que el residuo r(h) tiende a cero masrapido de lo que h lo hace. Esta condicion esta expresada en la parte de la definicion que dice que

lımh→0

r(h)

h= 0.

Intuitivamente, lımh→0

r(h)h = 0 se da unicamente si la recta tangente se “besa apasionadamente” con la curva

en los alrededores de P . En otras palabras, la funcion tiene que ser “suave” en P , para que se pueda verlocalmente como una recta tangente.

El “beso apasionado” entre la funcion y su recta tangente, es en realidad la idea geometrica tras el conceptode diferenciabilidad de una funcion en un punto P : el buen comportamiento de la funcion en torno al puntoP para que en se pueda aproximar por un comportamiento lineal (el de su recta tangente).

Ahora que ya establecimos el nuevo concepto de diferenciabilidad para funciones de una variable, nos proponemosestablecer la generalizacion de diferenciabilidad para funciones de varias variables. Empezando como debe ser porlas funciones f : U ⊂ R

2 → R.

43





Primer acercamiento: Una funcion f : U ⊂ R2 → R es diferenciable en (x0, y0) ∈ U si existen constantes m1 y m2

tal que

f((x0, y0) + (h1, h2)

)= f(x0, y0) +m1h1 +m2h2 + r(h1, h2) (2.4)

donde

lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1, h2)

‖(h1, h2)‖= 0.

No se puede negar que esta definicion se ve como una generalizacion natural de la dada para funciones de unavariable: el incremento h ha sido sustituido por el vector h = (h1, h2) ∈ R

2, Y al residuo r que depende de h,se le ha pedido que, al ser dividido ‖h‖ tienda a cero cuando h tiende a cero. (en este caso no podemos dividirsimplemente por h)

Hallemos las constantes m1 y m2. Poniendo h = (h1, 0) en la expresion (2.4), podemos escribir

r(h1, 0)

‖(h1, 0)‖=

f(x0 + h1, y0)− f(x0, y0)−m1h1

h1=

f(x0 + h1, y0)− f(x0, y0)

h1−m1

Ahora usando la propiedad que cumple el residuo encontramos que

0 = lım(h1,0)→(0,0

r(h1, 0)

‖(h1, 0)‖= lım

(h1,0)→(0,0)

f(x0 + h1, y0)− f(x0, y0)

h1−m1

= lımh1→0

f(x0 + h1, y0)− f(x0, y0)

h1−m1

Por tanto,

m1 = lımh1→0

f(x0 + h1, y0)− f(x0, y0)

h1=

∂f

∂x(x0, y0)

Un argumento analogo (poniendo h = (0, h2)) nos conduce a

m2 = lımh2→0

f(x0, y0 + h2)− f(x0, y0)

h2=

∂f

∂y(x0, y0)

Se observa entonces que una condicion necesaria para que una funcion f : U ⊂ R2 → R sea diferenciable en el punto

P (x0, y0) ∈ U es que existan sus derivadas parciales en ese punto. Sin embargo, tal condicion esta muy lejos de ser

suficiente porque tambien necesitamos que lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1,h2)‖(h1,h2)‖ = 0.

Podemos entonces, establecer la definicion siguiente

Definicion 34 (Diferenciabilidad para funciones de dos variable).Una funcion f : U ⊂ R

2 → R es diferenciable en (x0, y0) ∈ U si existen constantes m1 = fx(x0, y0)y m2 = fy(x0, y0) tal que

f((x0, y0) + (h1, h2)

)= f(x0, y0) +m1h1 +m2h2 + r(h1, h2)

donde

lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1, h2)

‖(h1, h2)‖= 0.

Veamos ahora que esta definicion SI garantiza la continuidad de la funcion en el punto (x0, y0) en donde es diferen-ciable (como acontece con funciones de una variable).

Teorema 35 (Diferenciabilidad implica continuidad).Si f : U ⊂ R

2 → R es diferenciable en el punto (x0, y0) ∈ U , entonces f es continua en (x0, y0).

Corolario 36 (NO continuidad ⇒ NO diferencibilidad).Si f : U ⊂ R

2 → R no es continua en el punto (x0, y0) ∈ U , entonces f no es diferenciable en(x0, y0).

44





Ejemplo 80. Considere la funcion f : R2 → R definida por

f(x, y) =

xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

no puede ser diferenciable en el origen.

SOL: Del Ejemplo 68 sabemos que f NO es continua en (0, 0) por tanto NO es diferenciable en (0, 0). Otra formade ver la no diferenciabilidad (0, 0) es usando la propia definicion de ser diferenciable, del Ejemplo 68 sabemos quem1 = fx(0, 0) = 0 y m2 = fy(0, 0) = 0 existen. Luego r(h1, h2) existe y verifica la siguiente ecuacion,

f((0, 0) + (h1, h2)

)= f(0, 0)−m1h1 −m2h2 + r(h1, h2),

Haciendo los respectivos reemplazos, encontramos que

lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1, h2)

‖(h1, h2)‖= lım

(h1,h2)→(0,0)

f(h1, h2)

‖(h1, h2)‖= lım

(h1,h2)→(0,0)

h1h2((h1)2 + (h2)2

)3/2

= lım(h1,h2)→(0,0)

h1=h2

(h1)2

(2h21)

3/2=

1

(2)3/2lımh1→0

1

|h1|= ∞ (NO EXISTE)

Por tanto f no es diferenciable en (0, 0).

Ejemplo 81. La funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = x2 + y2 es diferenciable en todo punto.

SOL: Consideremos un punto arbitrario (x0, y0) y estudiemos su diferenciabilidad en este punto. Dado que m1 =fx(x0, y0) = 2x0 y m2 = fy(x0, y0) = 2y0 existen entonces r(h1, h2) existe e verifica la siguiente ecuacion,

f((x0, y0) + (h1, h2)

)= f(x0, y0)−m1h1 −m2h2 + r(h1, h2),

Haciendo los respectivos reemplazos, encontramos que

(x0 + h1)2 + (y0 + h2)

2 = x20 + y20 + 2x0h1 + 2y1h2 + r(h1, h2)

de donde conlcuimos que r(h1, h2) = h21 + h2

2 y entonces

lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1, h2)

‖(h1, h2)‖= lım

(h1,h2)→(0,0)

h21 + h2

2√

h21 + h2

2

= lım(h1,h2)→(0,0)

√

h21 + h2

2 = 0.

Lo anterior nos lleva a concluir que f es diferenciable en todo punto.

Ejemplo 82. Demuestre que la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) =√

x2 + y2 no es diferenciable en elorigen.

SOL: Primero estudiemos la existencia de las constantesm1 ym2. Como es bien sabidom1 = fx(0, 0) ym2 = fy(0, 0)serıan

m1 = fx(0, 0) = lımt→0

f((0, 0) + t(1, 0)

)− f(0, 0)

t= lım

t→0

f(t, 0)

t= lım

t→0

|t|t

= ±1 (No existe)

m2 = fy(0, 0) = lımt→0

f((0, 0) + t(0, 1)

)− f(0, 0)

t= lım

t→0

f(0, t)

t= lım

t→0

|t|t

= ±1 (No existe)

Como m1 y m2 NO existen entonces r(h1, h2) NO existe y por ende f no es diferenciable en el origen.

Ejemplo 83. Verifiquemos que la funcion f(x, y) = xy2 es diferenciable en punto (0, 0).

45





SOL: No es difıcil ver que

Discutamos, por ultimo, que papel que juegan las derivadas parciales de una funcion f : U ⊂ R2 → R en un punto

(x0, y0) ∈ U con la diferenciabilidad de la funcion en este punto. Como hemos visto, el hecho de que haya talesderivadas NO garantiza que la funcion sea diferenciable.

Primero observe que el dominio U de una funcion f y el dominio U de las derivadas parciales fx, fy pueden nosiempre son los mismo, por ejemplo, si f(x, y) = x1/3 + y1/3 tenemos que U = R

2 y U = R2 − (0, 0)

Teorema 37. (Condicion suficiente para la diferenciabilidad)Sea f : U ⊂ R

2 → R una funcion definida en U . Si las derivadas parciales fx y fy soncontinuas en un punto (x0, y0) ∈ U ⊂ U , entonces f es diferenciable en (x0, y0).

Ejemplo 84. Demuestre que la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = e−(x2+y2) es diferenciable.

SOL: Las derivadas parciales de f estan dadas por

∂f

∂x= −2xe−(x2+y2) ∂f

∂y= 2ye−(x2+y2)

Claramente estas funciones son continuas. Entonces f es diferenciable.

Ejemplo 85. Demuestre que la funcion f : R3 → R definida por f(x, y, z) = cos (x+ y2 + z3) es diferenciable.

SOL: Las derivadas parciales de f estan dadas por

∂f

∂x= − sen (x+ y2 + z3)

∂f

∂y= −2y sen (x+ y2 + z3)

∂f

∂z= −3z sen (x+ y2 + z3)

Claramente estas funciones son continuas. Entonces f es diferenciable.

Terminemos esta seccion mencionando la definicion de diferenciabilidad para funiones de n variables.

Definicion 38 (Diferenciabilidad para funciones de n variables).Una funcion f : U ⊂ R

n → R es diferenciable en x ∈ U si existen constantes m1 = fx1(x),m2 =

fx2(x), . . . ,mn = fxn

(x) tal que

f(x+ h) = f(x) +∇f · h+ r(h) donde lımh→0

r(h)

‖h‖ = 0.

Aquı x = (x1, . . . , xn), h = (h1, . . . , hn) y ∇f = (m1, . . . ,mn)

2.5.2. Regla de la cadena, funciones compuestas

Comencemos pues por estudiar como se hace la composicion de funciones de varias variables. Componerfunciones significa “sustituir una funcion en otra”. Por ejemplo, si tenemos la funcion y = f(x), y la funcion

46





x = g(u), entonces y = f(g(u)). Esto es, la funcion manda u a y y esto se le llama composicion de f con g y sedenota por f ◦ g.Pasemos al caso de funciones de dos variables z = f(x, y). Siguiendo con la misma idea, para “componer” estafuncion tendremos que sustituir las dos variables x y y por dos funciones, Supongamos entonces que

x = g1(u, v) y = g2(u, v)

luego tenemos la funcion compuesta z = f(g1(u, v), g2(u, v))

Ejemplo 86. Considere la funcion f(x, y) = x2y + sen(xy). Si x = u2 + v2, y y = uv3

SOL: La funcion compuesta f con x y y esta dada por

Ejemplo 87. Considere la funcion f(x, y, z) = 2x3y2z + cos2(x+ y + z) y sean x = et, v = cos t, y z = t2

SOL: La funcion compuesta f con x, y z esta dada por

En general, los conjuntos de n funciones reales, cada una de ellas dependiendo de m variables, digamos

x1 = g1(u1, u2, . . . , um) x2 = g2(u1, u2, . . . , um) · · · xn = gn(u1, u2, . . . , um)

se puede ver como una funcion g : Rm → R

n que toma al punto (u1, u2, . . . , um) ∈ Rm y le asocia el punto

(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, a las funciones gi reciben el nombre funciones coordenadas de g ya que g = (g1, g2, . . . , gn).

Ejemplo 88. La funcion g : R2 → R3, dada por g(u, v) = (u2 − v2, u+ v, u− v) tiene por funciones coordenadas a

g1, g2, g3 : R2 → R dadas por

g1(u, v) = u2 − v2, g2(u, v) = u+ v, g3(u, v) = u− v.

Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad para funciones g : U ⊂ Rn → R

m, m > 1, se establecen en terminosde las funciones coordenadas de la funcion g. De modo mas preciso, se dira que la funcion g = (g1, g2, . . . , gm) escontinua (respectivamente, diferenciable) en el punto x0 ∈ U , si y solo si todas y cada una de las funcionescoordenadas fi : U ⊂ R

n → R, i = 1, 2, . . . ,m, lo son.

Ejemplo 89. La funcion f : R2 → R2, dada por

f(x, y) = (x, |y|)

es continua en todo su dominio, pues las funciones coordenadas f1, f2 : R2 → R, f1(x, y) = x, f2(x, y) = |y| lo son.Esta funcion no es diferenciable en el origen, pues la funcion f2(x, y) = |y| no lo es.

Ejemplo 90. La funcion f : R3 → R4, dada por

f(x, y, z) = (x+ y + z, senx+ cos y, ex+z, arctan(xz2))

es diferenciable en todo su dominio, pues las funciones coordenadas f1, f2, f3, f4 : R3 → R, f1(x, y, z) = x+ y + z,f2(x, y, z) = senx+ cos y, f3(x, y, z) = ex+z, f4(x, y, z) = arctan(xz2) lo son.

Ahora estudiaremos la relacion entre la diferenciabilidad y las derivadas parciales de una funcion compuesta, conla diferenciabilidad y las derivadas parciales de sus funciones componentes

47





Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable indica que si y = f(x) es una funciondiferenciable de x, y x = g(t) es una funcion diferenciable de t, entonces la derivada de la funcion compuesta es

∂y

∂t=

∂y

∂x

∂x

∂t

Ahora vamos a extender la regla de la cadena a funciones de varias variables. Si z = f(x, y) y x y y son funciones

de una sola variable t, entonces el siguiente teorema indica como calcular la derivada ordinaria.dz

dt

Definicion 39 (Regla de la cadena).Suponga que z = f(x, y) es diferenciable en (x, y) y x = g(t) y que y = h(t) son funcionesdiferenciables en t. Entonces z = f(g(t), h(y)) es una funcion diferenciable de t y

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt

Ejemplo 91. Si z = x3y − y4 y x = 2t2, y = 5t2 − 6t calcule endz

dten t = 1.

Solucion. No es difıcil ver que

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt= (3x2y)(4t) + (x3 − 4y3)(10t− 6)

En este caso, en t = 1, x(1) = 2 y y(1) = −1, por lo quedz

dt

∣∣∣t=1

= 0.

NOTA: Aunque NO HAY necesidad de hacerlo de esa manera, tambien podemos encontrar la derivada dzdt al sustituir

las funciones x = 2t2, y = 5t2 − 6t en z = x3y − y4 y despues derivar la funcion resultante de una sola variablez = 8t6(5t2 − 6t)− (5t2 − 6t)4 con respecto a t. ∆

Ejemplo 92. Sea f : U ⊂ R2 → R la funcion dada por f(x, y) = x2 + 3y2, y sea g : U ⊂ R → R

2 la funciong(t) = (et, cos t). Calcule sus derivadas parciales de f ◦ g

Solucion.

∆

Regla de la cadena para derivadas parciales Para una funcion compuesta de dos variables z = f(x, y) dondex = g(u, v) y y = h(u, v) se esperarıan naturalmente dos formulas, ya que z = f

(g(u, v), h(u, v)

)y por ello pueden

calcularse tanto ∂z∂u como ∂z

∂v . La regla de la cadena para funciones de dos variables se resume en el siguiente teorema.

Definicion 40 (Regla de la cadena).Suponga que z = f(x, y) es diferenciable y x = g(u, v) y que y = h(u, v) tienenprimeras derivadas parciales continuas, entonces

∂z

∂u=

∂z

∂x

∂x

∂u+

∂z

∂y

∂y

∂u,

∂z

∂v=

∂z

∂x

∂x

∂v+

∂z

∂y

∂y

∂v(2.5)

Ejemplo 93. Si z = x2 − y3 y x = e2u−3v, y = sen(u2 − v2), determine ∂z∂u y ∂z

∂v

Solucion.

48





1.∂z

∂x=

2.∂z

∂y=

3.∂x

∂u=

4.∂x

∂v=

5.∂y

∂u=

6.∂y

∂v=

7.∂z

∂x=

8.∂z

∂y=

∆

Ejemplo 94. Consideremos la funcion z = f(x2 + y3, 2x2 − y2) y hallemos ∂z∂x y ∂z

∂y

Solucion. Observe que esta funcion f ya se presenta como la composicion de de funciones, para ello considerez = f(u, v) con las funciones u = x2 + y3, v = 2x2 − y2. Por tanto

∂z

∂x=

∂z

∂u

∂u

∂x+

∂z

∂v

∂v

∂x=

∂z

∂y=

∂z

∂u

∂u

∂y+

∂z

∂v

∂v

∂y=

∆

Generalizaciones regla de la cadena: Si z = f(x1, x2 . . . , xn) es diferenciable en (x1, x2, . . . , xn) y si xi, i =1, . . . , n son funciones diferenciables de una sola variable t, entonces

dz

dt=

∂z

∂x1

dx1

dt+

∂z

∂x2

dx2

dt+ · · ·+ ∂z

∂xn

dxn

dt

De manera similar, si z = f(x1, x2 . . . , xn) y si cada xi, i = 1, . . . , n en una funcion de k variables u1, u2, . . . , uk

entoncesdz

dui=

∂z

∂x1

dx1

dui+

∂z

∂x2

dx2

dui+ · · ·+ ∂z

∂xn

dxn

dui

donde i = 1, 2, . . . , k

Ejemplo 95. Si r = x2 + y5z3 y x = uve2s, y = u2 − v2s z = sen(uvs2),

encuentre∂r

∂uy∂r

∂s

Solucion. En este caso r es una funcion de tres variables x, y y z, y cada unaes en sı misma una funcion de tres variables u, y y s.

∂r

∂u=

∂r

∂s=

∆

49





Ejemplo 96. Si z = u2v3w4 y u = t2, v = 5t− 8 y w = t3 + t, determinedz

zt.

Solucion. Siguiendo el diagrama de arbol tenemos

∂z

∂t=

∆

Diferenciacion implıcita

En el calculo de funciones de una variable, se consideraron expresiones del tipo F (x, y) = 0, preguntandonossi podıamos despejar a y en terminos de x, y dejar establecida una funcion del tipo y = f(x) (por ejemplo siF (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 NO se puede obtener de ella una funcion y = f(x); y de F (x, y) = x2 − y = 0 SIse puede obtener la funcion y = f(x) = x2 ) Cuando de F (x, y) = 0 podemos despejar la variable y, y escribiry = f(x), decimos que esta ultima funcion esta dada implıcitamente en F (x, y) = 0 El siguiente teorema demuestraque aunque no tengamos de manera explicita la funcion, podemos hallar cualquier derivada parcial de dicha funcion.

Teorema 41 (Diferenciacion implıcita).

i) Sea F (x, y) es diferenciable. Si y = f(x) es diferenciable en x y esta definida implıci-tamente por F (x, y) = 0 entonces

dy

dx= −Fx(x, y)

Fy(x, y), donde Fy(x, y) 6= 0

ii) Sea F (x, y, z) diferenciable. Si z = f(x, y) es diferenciable de x y y y esta definidaimplıcitamente por F (x, y, z) = 0 entonces

∂z

∂x= −Fx(x, y, z)

Fz(x, y, z)

∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z)

donde Fz(x, y, z) 6= 0

Ejemplo 97.

a) Encuentredy

dxsi x2 − 4xy − 3y2 = 10 b) Encuentre

∂z

∂ysi x2y − 5xy2 = 2yz − 4z3.

Solucion. (a) La ecuacion x2 − 4xy− 3y2 = 10 define a y implıcitamente como funcion de x. Ahora consideremos lafuncion diferenciable F (x, y) = x2 − 4xy − 3y2 − 10. Observe que F (x, y) = 0 implica que F depende solo de unavariable x por lo tanto,

dF

dx

dx

dx+

dF

dy

dy

dx= 0 ⇔ dy

dx= −Fx(x, y)

Fy(x, y)=

2x− 4y

−4x− 6y=

x− 2y

2x+ 3y

(b) La ecuacion define z como una funcion de x y y. Ahora consideremos la funcion diferenciable G(x, y, z) =x2y − 5xy2 − 2yz + 4z3. Observe que F (x, y, z) = 0 depende solo de las variables x, y. Luego podemos derivarrespecto a x o y. En nuestro caso vamos a derivar respecto a y. Usando la regla de la cadena encontramos que

dF

dy

dy

dy+

dF

dx

dx

dy+

dF

dz

dz

dy= 0

Como ∂y∂y = 1, ∂x

∂y = 0 entonces∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z)= −x2 − 10xy − 2z

−2y + 12z2∆

50





Ejemplo 98.Suponga que la ecuacion z2 = x2 + xyz2 define a z implıcitamente como una funcion de x y y. Encuentre ∂z

∂x y ∂z∂x .

SOL:

Derivada Direccional

Suponer que se esta en la colina de la figura y se quiere determinar la inclinacion dela colina respecto al eje z. Si la colina esta representada por z = f(x, y) se sabe comodeterminar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la direccionde y esta dada por la derivada parcial fx(x, y) y la pendiente en la direccion dex esta dada por la derivada parcial fy(x, y). En esta seccion se vera que estas dosderivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier direccion .

Recordemos que las derivadas parciales∂z

∂xy

∂z

∂yde la funcion z = f(x, y) estan

definidas como

∂z

∂x= lım

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h,

∂z

∂y= lım

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

= lımh→0

f((x, y) + (h, 0)

)− f(x, y)

h= lım

h→0

f((x, y) + (0, h)

)− f(x, y)

h

= lımh→0

f(x+ he1)− f(x)

h= lım

h→0

f(x+ he2)− f(x)

h

en todo lugar en que existan estos lımites. Aquı x = (x, y), e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1),como es habitual. Ası, fx y fy representan tasas de cambio de z respecto a la distanciaen las direcciones de los vectores unitarios e1 y e2. No hay razon para restringir nuestraatencion solo a dos direcciones; podemos encontrar la tasa de cambio de una funciondiferencial en cualquier direccion.

Suponga que ∆x y ∆y denotan incrementos en x y y, respec-tivamente, y que u es un vector unitario en el plano xy quees paralelo al vector v de (x, y, 0) a (x + ∆x, y + ∆y, 0). Luego,

v = hu. (Aquı h =√

∆x2 +∆y2) Ahora nuestra inquietud es:

¿Cual es la pendiente de la recta tangente a C en el punto P concoordenadas (x, y, f(x, y)) en la direccion dada por v?

por lo que la pendiente de la recta secante indicada que pasa porlos puntos P y R sobre C es

f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y)√

∆2x+∆2y=

f((x, y) + (∆x,∆y))− f(x, y)

h

=f(x+ v)− f(x)

h=

f(x+ hu)− f(x)

h,

donde x = (x, y), v = (∆x,∆y). Por tanto, es natural que seconsidere al lımite y ası encontrar la pendiente de f en P en ladireccion especificada por el vector unitario u.

51





Esto nos lleva a la siguiente definicion.

Definicion 42 (Derivada Direccional).La derivada direccional de la funcion f en el punto x en direccion del vector unitario ues

Duf(x) =∂f

∂u= lım

h→0

f(x+ hu)− f(x)

h(2.6)

si se prueba que este lımite existe.

La derivada direccional de f en el punto (x0, y0) ∈ D en la direccion del vector unitario u = (u1, u2), esto es,Duf(x0, y0) mide la razon (o velocidad) de cambio instantaneo del valor de la variable dependiente z = f(x, y)con respecto a la distancia en el plano XY , medida en la direccion del vector unitario u.

las derivadas parciales de una funcion de dos variables x y y se escriben como

fx(x, y) = De1f(x, y) = Dif(x, y) fy(x, y) = De2

f(x, y) = Dıf(x, y)

La funcion f en la ecuacion (2.6) puede ser una funcion de dos, tres omas variables.

El lımite en la ecuacion (2.6) tendrıa sentido si u no fuera un vectorunitario.

El significado de las derivadas direccionales es mas facil de entendercuando u es un vector unitario, y este es el porque definimos Duf(x)solo cuando |u| = 1.

Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dadode una superficie z = f(x, y), una para cada direccion especificada poru, (ver figura). Dos de estas son las derivadas parciales fx y fy.

Teorema 43 (Calculo de las derivadas direccionales).Sea f : Rn → R una funcion derivable en x, y u es un vector unitario, entonces la derivadadireccional Duf(x) existe y esta dada por

Duf(x) = ∇f(x) · u = ‖∇f‖ cos θ (2.7)

donde θ es el angulo formado por el vector ∇f y u

Propiedades de la Derivada Direccional:

La funcion f crece mas rapidamente cuando cos θ = 1, es decir, cuando u esta enla misma direccion del ∇f . Es decir, en cada punto P de su dominio, f crecemas rapidamente en la direccion del vector gradiente ∇f en P . La derivada enesta direccion es

Duf = ∇f · u = ‖∇f‖ cos(0) = ‖∇f‖

De manera similar, f decrece mas rapidamente en la direccion de −∇f , (θ =−π). la derivada en esta direccion es Duf = ‖∇f‖ cos(π) = −‖∇f‖

Cualquier direccion u ortogonal a un gradiente ∇f 6= 0 es una direccion decambio nulo en f , pues en ese caso θ = π/2 y Duf = ‖∇f‖ cos(π/2) = 0

Anteriormente mencionamos de manera informal el vector gradiente como herramienta de notacion para simplificarla expresion de ciertas formulas con varias variables. Ahora vamos a analizar el significado e interpretacion geometricade los vectores gradiente, sobre todo en dos y tres dimensiones. Comencemos con la definicion formal.

52





Definicion 44. (Vector Gradiente)El gradiente de la funcion derivable, f : Rn → R es la funcion de variable vectorial∇f : Rn → R

n definida por

∇f(x) =( ∂f

∂x1,∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn

)

∇f se lee como “nabla”. Otra notacion para el gradiente es gradf(x, y). OOJOOpara cada (x, y) el gradiente ∇f(x, y) es un vector en el plano (no un vector en elespacio).

Nota: El sımbolo ∇ no tiene ningun valor. Es un operador de la misma manera que ddx es un operador. Cuando ∇

opera sobre f(x, y) produce el vector ∇f(x, y)

Ejemplo 99. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2) en el punto P0(2, 2,−4) enla direccion que va de P1(2, 2,−4) a Q1(3, 1,−5)

Solucion. Primero hallemos el vector en la direccion indicada u =P1Q1

‖P1Q1‖

Ahora hallemos el gradiente de f , ∇f = (fx, fy, fz) no es difıcil ver que

∇f(x, y, z) = ∇f(2, 2,−4) =

Por tanto, Duf(2, 2,−4) = ∇f(2, 2,−4) · u = ∆

Ejemplo 100. Determine las direcciones en que f(x, y) = (x2/2) + (y2/2),crece mas rapidamente, decrece mas rapidamente en el punto (1, 1) y ¿Cualesson las direcciones de cambio nulo de f en (1, 1)?

Solucion. Como sabemos cualquier funcion f(x, y) crece mas rapidamente en

la direccion de su ∇f , es decir u =∇f(x, y)

|∇f(x, y)| en nuestro caso, ∇f(x, y) =

y por tanto,

∇f(1, 1) = u =∇f(1, 1)

|∇f(1, 1)| =

Adicionalmente la funcion decrece mas rapidamente en la direccion de en −∇fen (1, 1), es decir −u =Por otra parte, las direcciones de cambio nulo en (1, 1) son las direccionesortogonales a ∇f . es son:

n = −n =

∆

Interpretacion geometrica del gradiente

Teorema 45. (Curvas de nivel)Si f(x, y) = c es la curva de nivel de una funcion diferenciable de dos variablesz = f(x, y) que pasa por un punto especificado (x0, y0) entonces ∇f(x0, y0) esnormal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por (x0, y0).

NOTA La ecuacion de la recta tangente de la curva de nivel de una funcion f en el punto (x0, y0), esta dada por

fx(x, y)(x− x0) + fy(x, y)(y − y0) = 0

53





Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de ecuaciones de la forma

z = f(x, y), Ecuacion de una superficie S

Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representacion mas general F (x, y, z) = 0. Unasuperficie S dada por z = f(x, y) se puede convertir a la forma general definiendo F como

F (x, y, z) = f(x, y)− z

Puesto que f(x, y)− z = 0, se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por

F (x, y, z) = 0 Ecuacion alternativa de la superficie S

Teorema 46. (Superficie de nivel)Si F (x, y, z) = c es la superficie de nivel de una funcion diferenciable de tres variablesw = F (x, y, z) que pasa por un punto especificado (x0, y0, z0) entonces ∇F (x0, y0, z0) esnormal (ortogonal) a la superficie de nivel que pasa por (x0, y0, z0).

NOTA: Todas las rectas tangentes en S se encuentran en un plano que es normal a ∇F (x0, y0, z0) y contiene a(x0, y0, z0).

Definicion 47. (Plano tangente y recta normal)Sea F diferenciable en un punto P (x0, y0, z0) de la superficie S dada por F (x, y, z) = c talque ∇F (x0, y0, z0) 6= 0

1. Al plano que pasa por P y es normal a ∇F (x0, y0, z0) se le llama plano tangente aS en P , y su ecuacion esta dada por

Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fx(x0, y0, z0)(z − z0) = 0

2. A la recta que pasa por P y tiene la direccion ∇F (x0, y0, z0) de se le llama rectanormal a S en P , y su ecuacion vectorial esta dada por l : P + t∇F

Ejemplo 101. Determine una ecuacion para la recta tangente a la elipsex2

4+ y2 = 2 en el punto (−2,−1)

Solucion. La elipse es una curva de nivel de la funcion F (x, y) = x2

4 + y2 − 2. Luego el gradiente

∆

54





Ejemplo 102. Halle la superficie de nivel de F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 y una ecuacion delplano tangente que pasa por (1, 1, 1). Dibuje el gradiente.

Solucion. Puesto que F (1, 1, 1) = 3 la superficie de nivel que pasa por (1, 1, 1) es la esferax2 + y2 + z2 = 3. El gradiente de la funcion es ∇F = y por ello

∇F (1, 1, 1) =

∆

Ejemplo 103. Encuentre una ecuacion de un plano tangente a la grafica del para-boloide z = 1

2x2 + 1

2y2 + 4 en (1,−1, 5). Adicionalmente encuentre las ecuaciones

parametricas para la recta normal a la superficie en este mismo punto.

Solucion. Definimos F (x, y, z) = 12x

2 + 12y

2 − z + 4 de manera que la superficie denivel de F que pasa por el punto dado es F (1,−1, 5) = 0. No es difıcil ver que

∇F (x, y, z) = ∇F (1,−1, 5) =

∆

Recta tangente en interseccion de superficies

Si F y G son funciones de tres variables derivables continuamente, entonces la inter-seccion de las superficies

F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 (2.8)

por lo general sera alguna clase de curva C en el espacio, pues las ecuaciones en (2.8)pueden “resolverse de manera implıcita para dos de las variables en terminos de latercera”. (2 ecuaciones 3 incognitas). En cualquier caso, C es una curva suave quepasa por P . Como esta curva se localiza en ambas superficies, su vector tangente enP es perpendicular a ambos vectores normales ∇F (P ) y ∇G(P ). Si estos vectoresNO son colineales, entonces el vector

T = ∇F (P )×∇G(P )

es tangente a P en la curva C de la interseccion de las dos superficies F (x, y, z) = 0y G(x, y, z) = 0

Ejemplo 104. Describir la recta tangente a la curva de interseccion de las superficies x2 + 2y2 + 2z2 = 20 yx2 + y2 + z = 4 en el punto (0, 1, 3)

55





Solucion: Los gradientes de ambas superficies en el punto (0, 1, 3).

El producto vectorial de estos dos gradientes es un vector tangente a ambas superficiesen el punto (0, 1, 3).

∇F (0, 1, 3)×∇G(0, 1, 3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∣∣∣∣∣∣∣∣

Por tanto, la recta tangente a la curva de interseccion de las dos superficies en el punto (0, 1, 3) es

Ejemplo 105. El punto P (1,−1, 2) queda tanto en el paraboloide x2+y2 = z como en el elipsoide 2x2+3y2+z2 = 9Escriba una ecuacion del plano que pasa por P y que es normal a la curva de la interseccion de estas dos superficies

Solucion. Los gradientes de ambas superficies en el punto (1,−1, 2).

Elipsoide

∇F (x, y, z) =

∇F (1,−1, 2) =

Paraboloide

∇G(x, y, z) =

∇G(1,−1, 2) =

El producto vectorial de estos dos gradientes es un vector tangente a ambas superficiesen el punto (1,−1, 2).

∇F (1,−1, 2)×∇G(1,−1, 2) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∣∣∣∣∣∣∣∣

Por tanto, la ecuacion del plano solicitada es:

∆

Perspectiva general

Trabajaremos con funciones f : U ⊂ Rn → R

m definidas en el conjunto abierto U de Rn y tomando valores en R

m.Entonces f = (f1, f2, . . . , fm) donde fi : U ⊂ R

n → R, i = 1, 2, . . . ,m, son las funciones coordenadas de f .

Para definir la derivada de esta funcion en un punto x0 ∈ U , recordemos que se habıa dicho que f es diferenciableen x0 (lo cual querra decir que “la derivada”de la funcion existe en x0) si y solo si todas y cada una de sus funcionescomponentes fi, lo eran. En este momento tendremos que establecer esta misma idea de una manera diferente, unpoco mas sofisticada, pero de mayor utilidad para nuestras intenciones

56





Definicion 48. . Considere la funcion f : U ⊂ Rn → R

m definida en el conjunto abiertoU de R

n y sea x0 ∈ U . Se dice que esta funcion es diferenciable en x0 si existe unatransformacion lineal

Df(x0) : Rn → R

m,

llamada derivada de f en x0, tal que

f(x0 + h) = f(x0) +Df(x0)(h) + r(h), donde lımh→0

r(h)

‖h‖ = 0

(para h ∈ Rn tal que x0 + h ∈ U)

NOTA: Siendo r una funcion que toma valores en Rm, la interpretacion del lımite anterior serıa de que todas sus

funciones componentes tenderan a cero cuando, al dividirlas por ‖h‖, h tiende a cero.

La matriz que representa a la transformacion Df(x0) : Rn → R

m es

ADf(x0) =

∂f1

∂x1(x0)

∂f1

∂x2(x0) · · · ,

∂f1

∂xn

(x0)

∂f2

∂x1(x0)

∂f2

∂x2(x0) · · · ,

∂f2

∂xn

(x0)

...... · · ·

...

∂fm

∂x1(x0)

∂fm

∂x2(x0) · · · ,

∂fm

∂xn

(x0)

= Jf(x0)

A esta matriz m × n, se le llama matriz Jacobiana de la funcion f en x0 y se denota Jf(x0). Esta es entoncesla Derivada de la funcion diferenciable f en x0 (identificando, como siempre, a la transformacion lineal Df(x0) :R

n → Rm con la matriz que la representa Jf(x0)).

Veamos, por ejemplo,

m = 1. f : U ⊂ Rn→ R Df(x0) : R

n→ R Jf(x0) =

(

∂f

∂x1(x0),

∂f

∂x2(x0), · · · ,

∂f

∂xn

(x0)

)

:= ∇f(x0)

m = 2. f : U ⊂ Rn→ R

2Df(x0) : R

n→ R

2Jf(x0) =

∂f1

∂x1(x0)

∂f1

∂x2(x0) · · · ,

∂f1

∂xn

(x0)

∂f2

∂x1(x0)

∂f2

∂x2(x0) · · · ,

∂f2

∂xn

(x0)

Ejemplo 106. Calcule la matriz Jacobiana de la funcion f : R2 → R2 dada por f(x, y) = (x2 + 3y2, 5x3 + 2y6)

Solucion.

∆

57





Ejemplo 107. Calcule la matriz Jacobiana en el punto (0, 0) de la funcion f : R2 → R

3 dada por f(x, y) =(sin(x+ y), xex+y, x+ y)

Solucion.

∆

Regla de la cadena, mas general

Supongamos que la funcion g : Rm → Rn es diferenciable en x0 y la funcion f : Rn → R

p es diferenciable en g(x0).Lo que dice la regla de la cadena es que la funcion compuesta f ◦ g : Rm → R

p sera diferenciable en x0 y que

D(f ◦ g)(x0) = Df(g(x0)(Dg(x0))

o bien, en terminos matriciales

J(f ◦ g)(x0) = Jf(g(x0)

)Jg(x0)

el lado derecho de esta ultima expresion es una multiplicacion de matrices. Observe que Jg(x0) es una matriz n×mny Jf(g(x0)) una matriz p×n, de modo que el producto Jf

(g(x0)

)Jg(x0) esta bien determinado y da por resultado

una matriz p×m, como debe ser la derivada de J(f ◦ g)(x0)

Ejemplo 108. Consideremos las funciones diferenciables g : R2 → R3 y f : R3 → R

2, dadas por

g(x, y) = (xy, 5x, y3) f(x, y, z) = (3x2 + y2 + z2, 5xyz)

Halle explıcitamente (f ◦ g)(x, y), Jf(x, y, z) y Jg(x, y), luego verifique que J(f ◦ g)(x, y) = Jf(g(x, y)

)Jg(x, y)

Solucion.

∆

58





Ejemplo 109. Sea f : R3 → R2 y g : R3 → R

3 las funciones f(x, y, z) = (x2 + 2, x + y2 + z3), g(x, y, z) =(x+ y + z, xyz, x2 + y3). Calcule la derivada de f ◦ g : R3 → R

2 en (1, 1, 1).

Solucion. No es difıcil ver que J(f ◦ g)(1, 1, 1) = Jf(g(1, 1, 1)

)Jg(1, 1, 1) = Jf(3, 1, 2)Jg(1, 1, 1). Entonces

∆

Maximos y mınimos de z = f(x, y)

Primero consideraremos una funcion z = f(x, y) continua de dos variables.Suponga que nos interesan los valores mas grande y mas pequeno que alcanzaf(x, y) sobre una region plana, acotada y cerrada R. Recuerdese que unaregion en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. Mientrasque una region en el plano se le llama acotada si es una subregion de un discocerrado en el plano.

Empezamos entonces con la definicion de maximos y mınimos relativos olocales para funciones de dos variables x y y.

Definicion 49. Sea z = f(x, y) una funcion definida en una region plana R

1. La funcion f tiene un mınimo local en (x0, y0) si existe, una bola abierta Bǫ

((x0, y0)

)⊂ R,

(ǫ > 0), tal quef(x0, y0) ≤ f(x, y), ∀(x, y) ∈ Bǫ

((x0, y0)

)

2. La funcion f tiene un maximo local en (x0, y0) si existe, una bola abierta Bǫ

((x0, y0)

)⊂ R,

(ǫ > 0), tal quef(x, y) ≤ f(x0, y0) ∀(x, y) ∈ Bǫ

((x0, y0)

)

Decir que f tiene un maximo relativo en (x0, y0) significa que el punto(x0, y0, f(x0, y0)) es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanosen la grafica de z = f(x, y).

f tiene un mınimo relativo en (x0, y0) si el punto (x0, y0, f(x0, y0)) espor lo menos tan bajo como todos los puntos cercanos en la grafica z =f(x, y).

Los maximos locales corresponden a picos de montana en la superficiez = f(x, y)

Los mınimos locales corresponden a fondos de valle

En tales puntos, los planos tangentes (cuando existen) son horizontales.

El punto (x0, y0) es llamado punto extremo (local), si (x0, y0) corresponde a un maximo o mınimo (relativo),ası que f(x0, y0) se denomino VALOR extremo (local) de f

No toda funcion f tiene maximo o mınimo global (absoluto).

59





Como hallar extremos locales

Como en el caso de las funciones de una sola variable, la clave para identificar los extremos locales es un criteriode la primera derivada. Recordemos que para determinar los valores extremos locales de una funcion f(x) de unavariable, buscamos los puntos donde la grafica y = f(x) tiene una recta tangente horizontal . En tales puntos,buscamos los maximos locales, los mınimos locales y los puntos de inflexion.

Para una funcion f(x, y) de dos variables, buscamos los puntos donde la superficie z = f(x, y) tiene un planotangente horizontal . En tales puntos, buscamos los maximos locales, los mınimos locales y los puntos silla (deestos ultimos daremos mas detalles en breve).

Teorema 50. Extremos localesSi una funcion z = f(x, y) tiene un extremo local en el punto (a, b) y si las primeras derivadasparciales existen en este punto, entonces

fx(a, b) = 0 fy(a, b) = 0

OBSERVACION: Si f tiene un maximo o mınimo relativo en un punto (a, b)y si fx y fy existen en (a, b), entonces una ecuacion del plano tangente en(a, b, f(a, b)) esta dada por

fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0

pero como fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0. Entonces esta ecuacion se reduce,

z = f(a, b) = constante.

Por tanto, el teorema anterior nos dice que la superficie tiene un plano tangentehorizontal en un extremo local, si dicho plano existe.

Puntos crıticos

Recuerde que en calculo I definimos un valor crıtico c de una funcion f de una sola variable x como un numeroen su dominio para el cual f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe. En la definicion que sigue definimos un punto crıtico deuna funcion f de dos variables x y y.

Definicion 51. (Puntos Crıticos)Un punto crıtico de una funcion z = f(x, y) es un punto (a, b) en el dominio de f para elcual fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, o si una de sus derivadas parciales no existe en el punto.

1. Los puntos crıticos corresponden a puntos donde f podrıa posiblemente tener un extremo relativo.

2. En algunos libros los puntos crıticos tambien reciben el nombre de puntos estacionarios.

3. En el caso en que las primeras derivadas parciales EXISTAN, notamos que un punto crıtico se encuentra alresolver simultaneamente las ecuaciones

fx(x, y) = 0 fy(x, y) = 0

60





4. El Teorema 50 dice que los unicos puntos donde una funcion f(x, y) puede asumir valores extremos son lospuntos crıticos y los puntos frontera.

5. Al igual que en las funciones diferenciables de una sola variable, no todo punto crıtico da lugar a un extremolocal.

6. Una funcion diferenciable de una variable podrıa tener un punto de inflexion. Una funcion diferenciable dedos variables puede tener un punto silla .

Definicion 52. (Punto Silla)Un punto crıtico (a, b) de una funcion z = f(x, y) es un punto silla si para toda bola B

((a, b)

)

existen puntos (x, y) ∈ B tal que f(x, y) > f(a, b) y puntos (x, y) ∈ B tal que f(x, y) < f(a, b).

Ejemplo 110. Hallar los extremos locales de f(x, y) = 2x2 + y2 + 8x− 6y + 20

Solucion. El dominio de f es todo el plano R2 (no hay puntos frontera). Ahora hallemoslos puntos crıticos de f estudiando fx y fy,

fx(x, y) = fy(x, y) =

estan definidas en todo R2. Por tanto, los puntos extremos locales pueden ocurrir

solamente cuando , es decir,

Luego el punto crıtico es , y su valor crıtico es . Ahoraobserve que,

f(x, y) = 2x2 + y2 + 8x− 6y + 20 > 3 =

Por tanto, f tiene un mınimo local en . ∆

Nota: Recuerdese que una de las derivadas parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un puntocrıtico.

Ejemplo 111. Hallar los puntos crıticos de f(x, y) = xy(3− x− y) definida en el conjuntoD =

{(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x+ y < 3

}

Solucion. El dominio de f es la region de la figura, (no hay puntos frontera). Ahora hallemoslos puntos crıticos de f estudiando fx y fy,

fx(x, y) = fy(x, y) =

estan definidas en todo R2. Por tanto, los puntos extremos locales pueden ocurrir solamente

cuando , es decir,

Luego, el punto crıtico es . y su valor crıtico es . ∆

61





En las funciones de los ejemplos anteriores, fue relativamente facil determinar los extremos locales, porque cada unade las funciones estaba dada, o se podıa expresar, en forma de cuadrado perfecto. Con funciones mas complicadas,los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear los medios analıticos presentados en el siguientecriterio de las segundas derivadas parciales. Es el analogo, para funciones de dos variables, del criterio de lassegundas derivadas para las funciones de una variable.

Pero antes, definamos la matriz Hessiana de una funcion de varias variables.

Definicion 53. (Matriz Hessiana)Sea f : D ⊂ R

n → R una funcion de n variables con dominio el conjunto abierto D tal quefxi

(p) y fxixj(p) existen ∀i, i = 1, 2, . . . , n y ∀p ∈ D Se denomina matriz hessiana de la

funcion f en el punto p ∈ D, a la matriz dada por

Hess(f(p)) =

fx1x1(p) fx1x2

(p) · · · fx1xn(p)

fx2x1(p) fx2x2

(p) · · · fx2xn(p)

......

. . ....

fxnx1(p) fxnx2

(p) · · · fxnxn(p)

Ejemplo 112. Halle la matriz Hessiana de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x3+ y3−9xy+4 y b) g(x, y, z) =x2 + y2 + z2 − xy + 2z

Solucion. a) Las derivadas parciales de primer orden y de segundo orden de f son

fx(x, y) =

fy(x, y) =

fxx(x, y) =

fyx(x, y) =

fxy(x, y) =

fyy(x, y) =

Luego, la matriz Hessiana de f es

Hess(f(p)) =

fxx(x, y) fxy(x, y)

fyx(x, y) fyy(x, y)

=

b) Las derivadas parciales de primer orden y de segundo orden de g son

gx =

gy =

gz =

gxx =

gxy =

gxz =

gyy =

gyx =

gyz =

gzx =

gzy =

gzz =

Luego, la matriz Hessiana de f es

Hess(g(x, y, z)) =

∆

OBS: Las menores principales de la matriz Hessiana Hess(f(p)) son los determinantes dados por

H1(f(p)) = fx1x1(p) H2(f(p)) =

∣∣∣∣∣∣

fx1x1(p) fx1x2

(p)

fx2x1(p) fx2x2

(p)

∣∣∣∣∣∣

, H3(f(p)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

fx1x1(p) fx1x2

(p) fx1x3(p)

fx2x1(p) fx2x2

(p) fx2x3(p)

fx3x1(p) fx3x2

(p) fx3x3(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣

62





Hess(f(p)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

fx1x1(p) fx1x2

(p) · · · fx1xn(p)

fx2x1(p) fx2x2

(p) · · · fx2xn(p)

......

. . ....

fxnx1(p) fxnx2

(p) · · · fxnxn(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Teorema 54. (Criterio segundas derivadas)Sea f : D ⊂ R

n → R una funcion de n variables con dominio el conjunto abierto D ⊂ Rn,

tal que fxi(p) y fxixj

(p) existen ∀i, j = 1, 2, . . . , n y ∀p ∈ D. Sea x0 ∈ D un punto crıticode la grafica de f , entonces se tiene:

1. Si la matriz Hessiana Hess(f(x0)) es definida positiva, esto es, las menores

H1(f(x0)) > 0, H2(f(x0)) > 0, H3(f(x0)) > 0, . . . Hn(f(x0)) > 0

entonces f(p) es un valor mınimo local de f .

2. Si la matriz Hessiana Hess(f(x0)) es definida negativa, esto es, las menores

H1(f(x0)) < 0, H2(f(x0)) > 0, H3(f(x0)) < 0, H4(f(x0)) > 0 . . .

(es decir, los menores principales de orden impar son negativas y los de orden parpositivos), entonces f(x0) es un valor maximo local de f .

3. Si no se cumple ninguna de las dos primeras condiciones y Hn(f(x0)) 6= 0, entoncesx0 corresponde a un punto de silla de la grafica de f .

4. Si no se cumple ninguna de las dos primeras condiciones y Hn(f(x0)) = 0 , enton-ces nada se puede concluir con respecto al punto crıtico x0; puede corresponder a unextremo relativo, a un punto de silla o ninguna de estas caracterısticas.

Ejemplo 113. Determine los extremos relativos de f(x, y) = x3 + y3 + 9x2 − 3y2 + 15x− 9y + 20

Solucion. Las derivadas parciales de primer orden de f son

fx(x, y) = 3x2 + 18x+ 15 = 3(x+ 1)(x+ 5)

fy(x, y) = 3y2 − 67− 9 = 3(y + 1)(y − 3)

Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene los puntos crıticos (−1,−1), (−1, 3),(−5,−1) y (−5, 3) Lamatriz Hessiana de f en un punto generico (x, y) es

Hess(f(p)) =

fxx(x, y) fxy(x, y)

fyx(x, y) fyy(x, y)

=

6x+ 18 0

0 6y − 6

Para el punto (−1,−1), se tiene

Hess(f(−1,−1)) =

12 0

0 −12

, y como

H1(f(−1,−1)) = 12 > 0

H2(f(−1,−1)) = −144 < 0,

entonces (−1,−1) es un punto de silla. El punto de silla se encuentra en (−1,−1, f(−1,−1)) = (−1,−1, 18).

Para el punto (−1, 3), se tiene

Hess(f(−1, 3)) =

12 0

0 −12

, y como

H1(f(−1, 3)) = 12 > 0

H2(f(−1, 3)) = 144 > 0,

63





entonces (−1, 3) es un mınimo local. El valor mınimo local es f(−1, 3)) = −14

Para el punto (−5,−1), se tiene

Hess(f(−5,−1)) =

−12 0

0 −12

, y como

H1(f(−5,−1)) = −12 < 0

H2(f(−5,−1)) = 144 > 0,

entonces (−5,−1) es un maximo local. El valor maximo local es f(−5,−1)) = 50

Para el punto (−5, 3), se tiene

Hess(f(−5, 3)) =

−12 0

0 12

, y como

H1(f(−5, 3)) = −12 < 0

H2(f(−1, 3)) = −144 < 0,

entonces (−5, 3) es un punto de silla. El punto de silla se encuentra en (−5, 3, f(−1, 3)) = (−5, 3, 18) ∆

OBSERVACION:

1. Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos locales si alguna de lasprimeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el criterio.

2. Cuando el metodo no funciona se pueden tratar de hallar los extremos mediante la grafica o mediante algunotro metodo.

Ejemplo 114. Determine los extremos relativos de f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 − 3xy − 3z2 + 2

Solucion. Las derivadas parciales de primer orden de f son

Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene los puntos crıticos

La matriz hessiana de f en un punto generico (x, y, z) es

Hess(f(x, y, z)) =

fxx(x, y, z) fxy(x, y, z) fxz(x, y, z)

fyx(x, y, z) fyy(x, y, z) fyz(x, y, z)

fzx(x, y, x) fzy(x, y, z) fzz(x, y, z)

=

Para el punto , se tiene

Hess( ) =

, y como

H1( ) =

H2( ) =

H3( ) =

,

entonces corresponde a un punto de silla.

64






Hess(f ) =

, y como

H1( ) =

H2( ) =

H3( ) =

,



Hess(f ) =

, y como

H1( ) =

H2( ) =

H3( ) =

,



Hess(f ) =

, y como

H1( ) =

H2(( )) =

H3( )) =

,

entonces corresponde a un mınimo local. El valor mınimo local es . ∆

Ejemplo 115. Supongase que x e y representan las cantidades (en kilos) de los complementos diferentes mezcladosen un alimento balanceado para pollos. Los pesos resultantes (en kilos) para vender los gallos y las gallinas seestiman por p = 6x− 3y y q = 3y− 9 respectivamente. La utilidad (en miles pesos) obtenido de un lote de pollos semodela por la funcion

U(p, q) = 10− 2(p− 15)2 − (q − 12)2

(se supone que el numero de gallos y gallinas en cada lote no varıa). Determine las cantidades x e y de cadacomplemento alimentario que maximiza la utilidad.

Solucion. Al aplicar la regla de la cadena, las derivadas parciales de la funcion utilidad con respecto a x e y son

∂U

∂x=

∂U

∂y=

Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene un unico punto crıtico La matriz hessiana de fen un punto generico (x, y) es

Hess(f(p)) =

fxx(x, y) fxy(x, y)

fyx(x, y) fyy(x, y)

=


Hess( ) =

, y como

H1( ) =

H2( ) =,

entonces corresponde a un . Por consiguiente, las cantidades de x =kilos e y = kilos maximizan la utilidad. ∆

Ejemplo 116. Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con un vertice en el origen coordenado. Halle elvolumen maximo de la caja si el vertice opuesto esta situado en el plano Q : 2x+ 2y + z = 12.

65





Solucion.Sean a, b y c las longitudes de las aristas de la caja, tal que P (a, b, c) es elvertice (opuesto al origen) de la caja situado en el plano Q (ver figura). ComoP (a, b, c) ∈ Q, entonces Luego, el volumen de la caja en funcion de a y b es

V = abc

Las derivadas parciales de primer orden de la funcion volumen son

Va(a, b) =

Vb(a, b) =

Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene un unico punto crıtico La matriz Hessiana de fen un punto generico (x, y) es

Hess(V (p)) =

Vaa(a, b) Vab(a, b)

Vba(a, b) Vbb(a, b)

=

Para el punto ( , ), se tiene

Hess(V ( , ) =

, y como

H1(V ( , )) = < 0

H2(V ( , )) = > 0,

entonces corresponde a un maximo local. Por tanto, el volumen maximo de la caja es .∆

Extremos en conjuntos acotados cerrados

Recuerde que si una funcion f de una variable x es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f posee siempreun maximo global o absoluto y un mınimo global o absoluto en el intervalo [a, b]. Tambien vimos que estos extremosglobales sobre [a, b] ocurren en un punto frontera x = a o x = b del o en un numero crıtico c ∈ (a, b).

A continuacion se presenta el teorema del valor extremo para una funcion f de dos variables x y y que escontinua sobre un conjunto R cerrado y acotado en el plano xy.

Teorema 55. Una funcion f de dos variables x y y que es continua sobre un conjunto Rcerrado y acotado tiene siempre un maximo absoluto y un mınimo absoluto sobre R.

OBS: Los valores maximo o mınimo globales o absolutos de f(x, y) sobreun conjunto R cerrado y acotado se encuentran como sigue:

1. Halle los puntos crıticos interiores.

2. Halle los posibles valores extremos de f sobre la frontera de R.

3. Compare los valores de f en los puntos hallados en los pasos 1 y 2.

Ejemplo 117. Determine los valores maximos y mınimos globales o absolutos de f(x, y) = 2 + 2x+ 2y − x2 − y2

en la region triangular del primer cuadrante acotada por las rectas x = 0 y y = 0, y = 9− x

Solucion. Como f es diferenciable, los unicos lugares donde f puede asumir estos valores son los puntos interioresdel triangulo donde fx = fy = 0 y los puntos en la frontera.

66





(i) Puntos interiores: Las derivadas parciales de primer orden de f son

fx(x, y) = 2− 2x fy(x, y) = 2− 2y

Haciendo fx = fy = 0, se obtiene un unico punto crıtico (1, 1) y el valor es f(1, 1) = 4.

(ii) Puntos frontera : Consideramos un lado del triangulo a la vez.

a) Sobre el segmento OA, y = 0. La funcion

f(x, y)∣∣∣y=0

= 2 + 2x− x2 := g(x)

donde g(x) es un funcion diferenciable definida en 0 ≤ x ≤ 9. Ahora hallemoslos valores extremos de ginteriores de g. Como g es diferencialbe en estos puntos, entonces hacemosg′(x) = 2 − 2x = 0 y obtenemos un unico punto critico x = 1 y el valor de fahi es

f(1, 0) = g(1) = 3.

frontera de g: los unicos valores frontera de g son

x = 0 donde f(0, 0) = g(0) = 2

x = 9 donde f(9, 0) = g(9) = −61

b) Sobre el segmento OB, x = 0. La funcion

f(x, y)∣∣∣x=0

= 2 + 2y − y2 := h(y)

donde h(y) es un funcıon diferenciable definida en 0 ≤ y ≤ 9. Como h ≡ g, sabemos que los candidatosa valores extremos en este segmento son

f(0, 0) = h(0) = 2, f(0, 9) = h(9) = −61, f(0, 1) = h(1) = 3

c) Sobre el segmento AB, y = 9− x. La funcion

f(x, y)∣∣∣y=9−x

= −61 + 18x− 2x2 = m(x)

donde m(x) es un funcion diferenciable definida en 0 ≤ x ≤ 9. Ahora hallemos los valores extremos de m

Puntos interiores de m. Comom es diferenciable en estos puntos, entonces hacemosm′(x) = 18−4x =0 y obtenemos un unico punto critico x = 9

2 y el valor es

f(9

2,9

2) = m(

9

2) = −41

2.

Puntos frontera de m: los unicos valores frontera de m son

x = 0 donde f(0, 9) = m(0) = −61

x = 9 donde f(9, 0) = m(9) = −61

En resumen, los valores extremos encontrados son: 4, 2,−61, 3,−41/2. El maximo es 4, y f lo asume en (1, 1).El mınimo es −61 y f lo asume en (0, 9) y (9, 0). ∆

Ejemplo 118. Determine los valores maximos y mınimos globales o absolutos de f(x, y) = 6x2 − 8x+ 2y2 − 5 enla region cerrada R definido por x2 + y2 ≤ 1,

Solucion. Como f es diferenciable, los unicos lugares donde f puede asumir estos valores son los puntos interioresdel circulo x2 + y2 < 1 donde fx = fy = 0 y los puntos en la frontera x2 + y2 = 1.

67





(a) Puntos interiores: Las derivadas parciales de primer orden de f son

fx(x, y) = 12x− 8 fy(x, y) = 4y

Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene un unico punto crıtico ( 23 , 0). Como(

23

)2

+ 02 < 1, el

punto esta en el interior de R y el valor de f ahı es f( 23 , 0) = − 233 .

(b) Puntos frontera : La frontera es un circunferencia x2 + y2 = 1. Usando las ecuaciones parametricas dadaspor x = cos t y y = sen t. La funcion

f(x, y) = f(cos t, sen t) = 6 cos2 t− 8 cos t+ 2 sen2 t− 5 := g(t)

donde g(t) es un funcion diferenciable definida en 0 ≤ t ≤ 2π. Ahora hallemos los valores extremos de g

interiores de g. Como g es diferenciable en 0 < t < 2π, entonces hacemos g′(t) = 8 sin t(− cos t + 1) yobtenemos un unico punto critico en 0 < t < 2π es t = π. Por tanto el punto correspondiente es (−1, 0) y elvalor de f ahi es

f(−1, 0) = g(π) = 9.

frontera de g: los unicos valores frontera deg son

t = 0 donde = g(0) = f(1, 0) = −7

t = 2π donde = g(2π) = f(1, 0) = −7

En resumen tenemos los valores extremos de la funcion f : f( 23 , 0) = − 233 , f(−1, 0) = 9 y f(1, 0) = −7. Por

tanto, el maximo global de f es f(−1, 0) = 9 y el mınimo global es f( 23 , 0) = − 233 .

∆

Multiplicadores de Lagrange

En ocasiones es necesario determinar los valores extremos de una funcioncuyo dominio esta restringido a cierto subconjunto particular del plano(por ejemplo, un disco, una region triangular cerrada, o a lo largo de unacurva). Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimi-zacion porque la solucion optima puede presentarse en un punto fronteradel dominio. En esta seccion exploraremos un poderoso metodo para de-terminar los valores extremos de funciones restringidas: el metodo demultiplicadores de Lagrange .

Teorema 56. (Multiplicadores de Lagrange)Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tieneun extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave de restriccion g(x, y) = 0 Si∇g(x0, y0) 6= 0 entonces existe un numero real λ tal que

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0).

1. Una interpretacion geometrica interesante del teorema 57. En las figuras se observa la curva de restricciong(x, y) = 0 junto con curvas de nivel comunes de la funcion f(x, y). Como los vectores gradiente ∇f y ∇g sonnormales a las curvas de nivel de las funciones f y g, respectivamente, se sigue que las curvas f(x, y) = c yg(x, y) = 0 son tangentes una con otra en puntos donde los dos vectores gradiente son colineales y f toma suvalor maximo (o mınimo), c.

68





2. El criterio de los multiplicadores de Lagrange sirve para seleccionar, de entre las curvas de nivel de f , aquellaque es tangente a la curva de restriccion.

3. El metodo de los multiplicadores de Lagrange NO tiene un indicador integrado que senale MAX o MIN cuandose encuentra un extremo.

4. El numero real λ para el cual ∇f = λ∇g recibe el nombre de multiplicador de Lagrange .

5. Al aplicar el metodo de los multiplicadores de Lagrange, en realidad no estamos interesados en determinarlos valores de λ que satisfacen el sistema ∇f = λ∇g.

6. La ecuacion ∇f = λ∇g es equivalente a

fx(x, y) = λgx(x, y) fy(x, y) = λgy(x, y)

Ejemplo 119. Encuentre los puntos de la hiperbola rectangular xy = 1 que sean los mas cercanos al origen (0, 0).

Solucion. Se necesita minimizar la distancia d =√

x2 + y2 que hay del origen a un punto P (x, y) sobre la curvaxy = 1. Pero el algebra es mas sencilla si en lugar de eso se minimiza el cuadrado de esta distancia, es decir,

f(x, y) = x2 + y2 sujeta a la restriccion g(x, y) = xy − 1

Luego, ∇f(x, y) = (2x, 2y) y ∇g(x, y) = (y, x). Por tanto, la ecuacion ∇f = λ∇g noslleva a

(i) 2x = λx ⇒ 2x2 = λxy

(ii) 2y = λy ⇒ 2y2 = λxy

(iii) xy − 1 = 0

Pero como xy = 1 > 0 implica que x y y tienen el mismo signo. Entonces, el hechode que x2 = y2 implica que x = y. Al sustituir xy = 1 se obtiene x2 = 1, por lo quese sigue finalmente que x = y = 1 o x = y = −1. Los dos resultados posibles (1, 1) y(−1,−1) estan indicados en la figura. Fig. 1

∆

En la figura 1 se observa que la circunferencia x2+y2 = 2 y la hiperbola xy = 1 son, en realidad, tangentes a los dospuntos (1, 1) y (−1,−1) donde la distancia al cuadrado f(x, y) = x2 + y2 es mınima y esta sujeta a la restricciong(x, y) = xy − 1

Ejemplo 120. Determine los extremos f(x, y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9

Aquı la restriccion esta dada por g(x, y) = x2 + y2 − 9 = 0. Luego, ∇f(x, y) = (−4, 2y) y ∇g(x, y) = (2x, 2y). Portanto, la ecuacion ∇f = λ∇g nos lleva a

(i) − 4 = 2xλ

(ii) 2y = 2yλ ⇒ y(1− λ) = 0

(iii) x2 + y2 − 9 = 0

Si y = 0, de (iii) tenemos x2 = 9 o x = ±3. Por consiguiente, (−3, 0) y (3, 0) son soluciones del sistema.

Si λ = 1, entonces de (i) tenemos x = −2. Al sustituir este valor en (iii) obtenemos y2 = 5 o y = ±√5. Luego

tenemos dos o soluciones mas del sistema (−2,−√5) y (−2,

√5). De la lista de valores de la funcion

f(−3, 0) = 12 f(3, 0) = −12, f(−2,−√5) = 13, f(−2,

√5) = 13

De manera que f tiene un mınimo con restricciones en (3, 0) y un maximo con restricciones en (−2,√5)

Los cuatro puntos que encontramos yacen en el plano xy sobre el cırculo de radio 3; los tres extremos con restriccionescorresponden a los puntos (3, 0,−12), (−2,−

√5, 13) en el espacio tridimensional sobre la curva de interseccion de

la superficie del cilindro circular.

69





Aquı la grafica muestra tres curvasde nivel de y2 − 4x = c. Dos delas curvas de nivel son tangentes alcırculo x2 + y2 = 9.

Ejemplo 121. Determine los extremos f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujetos a 2x+ 2y − z = 5

Solucion.

De tal manera, un extremo con restricciones es f( 109 , 109 ,− 5

9 ) ∆

Ejemplo 122. Determine los puntos mas cercanos al origen sobre el cilindro hi-perbolico x2 − z2 − 1 = 0

Solucion.

Por tanto, los puntos sobre el cilindro mas cercanos al origen son los puntos (1, 0, 0)y (−1, 0, 0).

∆

Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones

Muchos problemas nos piden determinar los valores extremos de una funcion diferenciable f(x, y, z) cuyas variablesestan sujetas a dos restricciones. Si las restricciones son

g1(x, y, z) = 0 g2(x, y, z) = 0

g1 y g2 son diferenciables, con ∇g1 no paralelo a ∇g2 encontramos los maximos y mınimos locales con una restriccionde f , introduciendo dos multiplicadores de Lagrange λ1 y λ2.

70





Teorema 57. (Lagrange dos restriciones)Sean f , g1 y g2 funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene unextremo en un punto (x0, y0, z0) sobre la curva interseccion de las dos superficies

g1(x, y, z) = 0 g2(x, y, z) = 0

Si ∇g1(x0, y0, z0),∇g2(x0, y0, z0) 6= 0 y no-paralelos entonces existen λi ∈ R tal que

∇f(x0, y0, z0) = λ1∇g1(x0, y0, z0) + λ2∇g2(x0, y0, z0).

Las siguientes ecuaciones

∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2, g1(x, y, z) = 0, g2(x, y, z) = 0 (2.9)

tienen una agradable interpretacion geometrica. Las superficies g1 = 0 y g2 = 0 se cortan(por lo general) en una curva regular, digamos C. A lo largo de esta curva, buscamos lospuntos donde f tiene valores maximos y mınimos locales con respecto a sus otros valoressobre la curva. Estos son los puntos donde ∇f es normal a C. Pero ∇g1 y ∇g2 tambienson normales a C en estos puntos, pues C esta en las superficies g1 = 0 y g2 = 0.

Por tanto, ∇f esta en el plano determinado por ∇g1 y ∇g2, lo que significa que

∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2, para algunas λ1 y λ2.

Como los puntos que buscamos estan en ambas superficies, sus coordenadas tambiendeben satisfacer las ecuaciones g1(x, y, z) = 0 y g(x, y, z) = 0 que son los requisitosrestantes de las ecuaciones (2.9).

Ejemplo 123. Halle los puntos sobre la curva C de interseccion de la esfera x2+y2+z2 = 9 y el plano x−y+3z = 6que estan mas cerca y lejos del plano xy respectivamente.

Solucion: Basandonos en las grafica, sugiere que existen dos de tales puntos P1 y P2 concoordenadas z no negativas. La funcion f a maximizar y minimizar es, f(x, y, z) = z.(distancia del plano xy a la curva interseccion) sujeta a las restricciones

g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 9 = 0 g2(x, y, z) = x− y + 3z − 6 = 0 (2.10)

Luego,∇f(x, y) = (0, 0, 1), ∇g1(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), ∇g2(x, y, z) = (1,−1, 3).

Por tanto, la ecuacion ∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2 nos lleva a

a) 0 = 2λ1x+ λ2, b) 0 = 2λ1y − λ2, c) 1 = 2λ1z + 3λ2

Sumando (a) + (b) obtenemos 2λ1(y + z) = 0. Ahora, si λ1 = 0, entonces (a) nos lleva a λ2 = 0 usando esto en (c)encontramos que 0 = 1. Ahora bien, y = −x y reemplazando esto en (2.10) encontramos que

x2 + x2 + z2 − 9 = 0 x+ x+ 3z − 6 = 0

2x2 + z2 = 9 2x+ 3z = 6 (2.11)

Al resolver el sistema (2.11), obtenemos

x =6

11± 9

22

√14 z =

18

11∓ 3

11

√14

Entonces, los puntos en C que estan mas alejado y mas cercano al plano xy son, respectivamente P1(−0.99, 0.99, 2.66)y P2(2.08,−2.08, 0.62)

Ejemplo 124. El plano x+ y + z = 1 corta al cilindro x2 + y2 = 1 en una elipse. Determine los puntos, sobre laelipse, mas cercanos y mas lejanos del origen.

71





Solucion. Encontramos los valores extremos de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 (el cuadrado de la distancia de (x, y, z) alorigen) sujeta a las restricciones

g1(x, y, z) = x2 + y2 − 1 = 0 g2(x, y, z) = x+ y + z − 1 = 0 (2.12)

Luego,

∇f(x, y) = (2x, 2y, 2z), ∇g1(x, y, z) = (2x, 2y, 1), ∇g2(x, y, z) = (1, 1, 0).

Por tanto, la ecuacion ∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2 nos lleva a

2x = 2λ1x+ λ2, 2y = 2λ1y + λ2, 2z = λ2

No es difıcil ver que

2x = 2λ1x+ 2z ⇒ (1− λ1)x = z

2y = 2λ1y + 2z ⇒ (1− λ1)y = z

Ahora, si λ1 = 1 entonces z = 0, al reemplazar esto en (2.12) encontramos dos puntos(1, 0, 0) y (0, 1, 0). Por otra parte si λ1 6= 1 entonces x = y = z

1−λ = 0, usando estoesto en (2.12) encontramos que

x2 + x2 − 1 = 0 x+ x+ z − 1 = 0

x = ±√2

2z = 1∓

√2

Luego los puntos correspondientes sobre la elipse son P1(√22 ,

√22 , 1 −

√2) y P2(−

√22 ,−

√22 , 1 +

√2). Sin embargo,

debemos tener CUIDADO. Aunque P1 y P2 dan maximos locales de f sobre la elipse, P2 esta mas alejado del origenque P1.

Los puntos sobre la elipse mas cercanos al origen son (1, 0, 0) y (0, 1, 0). El punto sobre la elipse mas lejano delorigen es P2. ∆

72

Modulo III

Integrales Multiples

A manera de introduccion, recordemos que una de las ideas que acompanaronal calculo integral de funciones de una sola variable f : I ⊆ R → R fue la del“el area bajo la curva de y = f(x) entre a y b”.

A(S) =

ˆ b

a

f(x)dx

Ahora las ideas que acompanaran al calculo integral de funciones dedos variables f : U ⊆ R

2 → R sera la de “volumen bajo la superficie”.Mas concretamente, si tenemos una funcion z = f(x, y) continua talque su grafica este por encima del plano xy, entonces el volumen delsolido limitado con el plano xy (abajo), la grafica la funcion z = f(x, y)(arriba), y la frontera de solido esta marcada la parte lateral del cuerporesultante esta dado por:

V =

¨

R

f(x, y)dxdy

Recuerde que la definicion de la integral definida de una funcionde una sola variable esta dada por el lımite de una suma:

ˆ b

a

f(x)dx = lım‖P‖→0

∑

k=1

f(x∗k)∆xk

Los pasos preliminares analogos que conducen al concepto de inte-gral definida bidimensional, conocidos simplemente como integraldoble de una funcion f de dos variables, se dan a continuacion.

Sea z = f(x, y) una funcion definida en una region cerrada y acotada R del plano xy. Considere lo siguiente:

Por medio de una retıcula de lıneas verticales y horizontales paralelas a los ejes de coordenadas, forme unaparticion P de R en n subregiones rectangulares Ri de areas ∆Ai que esten por completo sobre R. Son losrectangulos que se muestran en rojo claro en la figura.

Sea ‖P‖ la norma de la particion o la longitud de la diagonal mas grande de las n subregiones Rk.

Elija un punto muestra (x∗i , y

∗i ) en cada subregion Ri

Forme la Suma de Riemann Sn =∑

f(x∗k, y

∗k)∆Ak

73





Ası, tenemos la siguiente definicion.

Definicion 58. (Integral doble)Sea f una funcion de dos variables definida sobre una region cerrada R del plano xy. En-tonces la integral doble de f sobre R, se define como

¨

R

f(x, y)dA = lım‖P‖→0

n∑

i=1

f(x∗i , y

∗i )∆Ai (3.1)

Si el lımite en (3.1) existe, afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la region de integracion .

Cuando f es continua sobre R, el lımite en (3.1) existe, esto es, f es necesariamente integrable sobre R.

Areas y Volumenes

a) b) c)

Area: Cuando f(x, y) = 1 sobre R, entonces

V =

¨

R

1dA = lım‖P‖→0

n∑

k=1

∆Ak = Area(R)

Volumen: Si f(x, y) ≥ 0 sobre R, entonces¨

R

f(x, y)dA = V olumen

Volumen neto: No toda integral doble produce volumen. Para la superficie que se muestra en la figura c),¨

R

f(x, y)dA es un numero real pero NO es el volumen puesto que f toma en ocasiones valores negativos so-

bre R. Podemos interpretar el volumen neto como la suma de un volumen “arriba” menos el volumen “abajo”.

En general,

¨

R

f(x, y)dA siempre representa un volumen neto entre la grafica de f y el plano xy sobre la region

R.

Teorema 59 (Propiedades). Sean f y g funciones de dos variables que son integrablessobre una region cerrada R del plano xy. Entonces

1.

¨

R

kf(x, y)dA = k

¨

R

f(x, y)dA

2.

¨

R

[f(x, y)± g(x, y)]dA =

¨

R

f(x, y)dA±¨

R

g(x, y)dA

3.

¨

R

f(x, y) =

¨

R1

f(x, y)dA +

¨

R2

f(x, y)dA donde R1 y R2 son subregiones

que no se traslapan y R = R1 ∪R2

4. Si f(x, y) ≥ g(x, y) sobre R entonces

¨

R

f(x, y)dA ≥¨

R

g(x, y)dA

74





Ejemplo 125. Considere la region de integracion R en el primer cuadrante acotado por las graficas de x+ y = 2,

y = 0 y x = 0. Aproxime la integral doble

¨

R

(5 − x − 2y)dA utilizando una suma de Riemann, las Rk que se

muestran en la Figura y los puntos muestra (x∗k, y

∗k) en el centro geometrico de cada Rk.

Solucion. Nuestra objetivo es

¨

R

(5− x− 2y)dA ≈6∑

k=1

f(x∗k, y

∗k)∆Ak

Observe que Area(Rk) = ∆Ak = 1212 = 1

4 , y los representantes (x∗k, y

∗k) en cada Rk son:( 14 ,

14 ),

( 34 ,14 ),(

54 ,

14 ),(

34 ,

34 ),(

14 ,

34 ),(

14 ,

54 ). Por consiguiente, la suma de Riemman es

¨

R

(5− x− 2y)dA ≈6∑

k=1

f(x∗k, y

∗k)∆Ak = f(

1

4,1

4)1

4+ f(

3

4,1

4)1

4+ f(

5

4,1

4)1

4

+ f(3

4,3

4)1

4+ f(

1

4,3

4)1

4+ f(

1

4,5

4)1

4

=17

16+

15

16+

13

16+

11

16+

13

16+

9

16= 4.875

∆

Como calculamos integrales dobles: Las regiones de integracion juegan un papel fundamental en el calculo de

integrales

¨

R

f(x, y)dA. Diremos que la region R es de tipo I (tipo-x) si,

R : a ≤ x ≤ b g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

donde las funciones frontera g1 y g2 son continuas. Mientras que la region tipo II (tipo-y)

R : c ≤ y ≤ d h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

donde h1 y h2 son continuas.

Observe que tipo I, es que la region R es mas facil integrarla en terminos de x, y tipo II es que R es mas facilintegrarla respecto a y.

Definicion 60. (Integral iterada)Si f es continua sobre una region R de tipo I, entonces

¨

R

f(x, y)dA =

ˆ b

a

ˆ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dydx =

ˆ b

a

[ˆ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dy

]

dx

Si f es continua sobre una region R de tipo II, entonces¨

R

f(x, y)dA =

ˆ d

c

ˆ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dxdy =

ˆ d

c

[ˆ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dx

]

dy

Ejemplo 126. Evalue la integral iterada de f(x, y) = 2xy sobre la region R cerrada por y = x2 +1, y = x, x = −1y x = 2.

75





Solucion. La region es de tipo luego tomaremos dA =

¨

R

2xydA =

ˆ ˆ

2xy =

∆

Ejemplo 127. Evalue la integral iterada de f(x, y) = 8x+ ey sobre la region R cerrada por x = 2y, y = x, x = 0y x = 4.

Solucion. La region es de tipo Usaremos dA =

¨

R

8x+ eydA =

ˆ ˆ

8x+ ey =

∆

Ejemplo 128. Evalue la integral doble

¨

R

ex+3y sobre la region R acotada por las graficas de y = 1, y = 2, y = x

y y = −x+ 5.

Solucion. La region es de tipo Usaremos dA =

¨

R

ex+3ydA =

ˆ ˆ

ex+3y =

∆

Ejemplo 129. Emplee la integral doble para determinar el area de la region acotada por las graficas de y = x2 yy = 8− x2

Solucion. Un area es igual a un volumen si la altura del solido es 1, es decir, f(x, y) = 1. Laregion es de tipo Usaremos dA =

A =

¨

R

1dA =

ˆ ˆ

∆

76





NOTA: Usted debe reconocer¨

R

dA =

ˆ b

a

ˆ g2(x)

g1(x)

dydx =

ˆ b

a

[

y∣∣∣

g2(x)

g1(x)

]

dx =

ˆ b

a

[g2(x)− g1(x)

]dx = A

Ejemplo 130. Emplee la integral doble para determinar el volumen V del solido en el primer octante que es queesta acotado por los planos de coordenadas y las graficas del plano z = 3− x− y y el cilindro x2 + y2 = 1.

Solucion. El volumen del solido De las figuras vemos que el volumen esta dado

por V =

¨

R

zdA y la region de integracion R es tipo I, luego,

V =

¨

R

zdA =

¨

R

(3− x− y)dA =

ˆ ˆ

(3− x− y)

∆

Ejemplo 131. Evalue

¨

R

xey2

dA sobre la region R en el primer cuadrante acotado por las graficas de y = x2,

x = 0, y = 4.

Solucion: Al dibujar la region vemos que puede considerarse de tipo I o II

I.

¨

R

xey2

dydx =

II.

¨

R

xey2

dxdy =

Ejemplo 132. Evalue

¨

R

(x+ y)dA sobre la region acotada por las graficas de x = y2 y y = 12x− 3

2

Solucion. Al dibujar la region vemos que puede escribirse como la unionR = R1

⋃R2 de las dos regiones tipo I. o interpretarla de tipo II, calculemos

la doble integral usando la region tipo I y tipo II

I.

¨

R

(x+ y)dA =

¨

R1

(x+ y)dA+

¨

R2

(x+ y)dA

II.

¨

R

(x+ y)dA =

∆Pregunta: ¿Porque la respuesta en este ejemplo NO representa el volumendel solido sobre R y debajo del plano z = x+ y?

.

77





Ejemplo 133. Encuentre el volumen V del solido T limitadopor los planos z = 6 y z = 2y, y por los cilindros parabolicosy = x2 y y = 2− x2. Este solido se ilustra en la figura

SOL: T La region R plana xy esta limitada por las parabolasy = x2 y y = 2 − x2. las cuales se intersecan en los puntos(−1, 1) y (1, 1).

V =

¨

R

zsup − zinfdAdA =

3.1. Sustitucion en integrales Multiples

Una de las tecnicas poderosas que conocemos de nuestro primer curso de calculo para calcular integrales, es latecnica del cambio de variables simple, el objetivo de la sustitucion es reemplazar las integrales complicadas porotras mas faciles de evaluar. Las sustituciones logran esto simplificando el integrando, los lımites de integracion oambos.

Suponga que queremos evaluar la integral doble

¨

R

f(x, y)dxdy

Un cambio de variables para esta integral esta determinado por una transformacion T derivable continuamente,

del plano uv al plano xy, donde T que asocia al punto (u, v) un punto T (u, v) = (x, y) =(x(u, v), y(u, v)

)

T convierte alrectangulo S en lafigura curvilınea R

Adicionalmente encontramos que area(R) = |JT (u, v)|Area(S) (esto nos llevara a que dA = |JT (u, v)|dudv) dondeJT es la matriz Jacobiana de T , dada por:

JT (u, v) =

∣∣∣∣∣∣

xu(u, v) xv(u, v)

yu(u, v) yv(u, v)

∣∣∣∣∣∣

:=∂(x, y)

∂(u, v)

Por tanto, al realizar un cambio de variable (x, y) a variables (u, v) implica que

¨

R

f(x, y)dA =

¨

S

f(

g(u, v), h(u, v)|JT (u, v)|dudv.

78





Teorema 61. (Cambio de variable)Suponga que la transformacion derivable continuamente T : R

2uv → R

2xy toma la region

limitada S en el plano uv en la region limitada R en el plano xy, y es uno a uno del interiorde S al interior de R. Si F (x, y) es continua sobre R, entonces

¨

R

f(x, y)dA =

¨

S

f(

T (u, v))

|JT (u, v)|dudv

OBSERVACION: En caso de que sea mas conveniente expresar u y v en terminos de x y y, primero se calcula enforma explıcita J(u, v) y despues se encuentra el Jacobiano necesario J(x, y) con la formula

|J(u, v)||J(x, y)| = 1

Esta ecuacion es una consecuencia de aplicar la regla de la cadena a T (T−1(x, y)) = (x, y).

Ejemplo 134. Halle

¨

R

(x2 + y2)dxdy donde R es la region plana limitada por las hiperbolas xy = 1, xy = 3,

x2 − y2, x2 − y2 = 4.

Solucion. Las hiperbolas que limitan a R son curvas u y v si u = xy y v = x2 − y2, observe que de aquı NOOOOes facil despejar x y y en terminos de u y v.

−→−→−→−→T (u, v) = (x(u, v), y(u, v))

T−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

u = xyv = x2 + y2

Sin embargo podemos calcular sin problema el Jacobiano J(u, v) para lograr una buena sustitucion,

J(u, v) =∂(u, v)

∂(x, y)= J(x, y) =

∂(x, y)

∂(u, v)= .

Observe que, (x2 + y2)2 = (x4 + 2x2y2 + y4) = 4x2y2 + (x2 − y2)2 = 4u2 + v2. Ahora estamos listos para aplicar elteorema del cambio de variables, con las regiones S y R

¨

R

(x2 + y2)dxdy =

ˆ 4

1

ˆ 3

1

∆

Ejemplo 135. Halle

¨

R

3xydA donde R es la region plana limitada por las x− 2y = 0, x− 2y = −4, x+ y = 4,

x+ y = 1.

Solucion. Las rectas que limitan a R son curvas u y v si u = x + y y v = x − 2y ,Observe que aquı si es facil despejar x, y

x =1

3(2u+ v) y y =

1

3(u− v)

Por tanto, el Jacobiano J(u, u) esta dado por, J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

¨

R

3xydA =

∆

79





Ejemplo 136. Halle

ˆ 4

0

ˆ y/2+1

y/2

2x− y

2dxdy.

Solucion. Trazamos la region de integracion R en el plano xy para ello observe que los limitesde x son x = y

2 y x = y2 + 1 y los lımites de y son y = 0 y y = 4. Luego las rectas que

limitan a R son curvas u = x − y2 y v = y (aquı podemos tomar tambien v = y

2 ), Observeque aquı es facil despejar x, y

x = u+ v y y = 2v

Por tanto, el Jacobiano J(u, u) esta dado por,

J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

Ahora estamos listos para aplicar el teorema del cambio de variables,

ˆ 4

0

ˆ y/2+1

y/2

2x− y

2dxdy =

∆

Ejemplo 137. Halle

ˆ 1

0

ˆ 1−x

0

√x+ y(y − 2x)2dydx.

Solucion. Trazamos la region de integracion R en el plano xy para ello observe que los limitesde x son x = 0 y x = 1 y los lımites de y son y = 0 y y = 1− x esto implica que la fronteraesta limitada por las rectas x = 0, y = 0 y x+y = 0. El integrando sugiere la transformacionu = x+ y y v = y − 2x. Observe que aquı es facil despejar x, y

x =u

3− v

3y y =

2u

3+

v

3(3.2)


J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

Ahora hallemos la NUEVA region donde vamos a integrar, para ello usaremos la fronteraoriginal x = 0, y = 0 y x + y = 0 y las ecuaciones (3.2), si x = 0 entonces v = u, si y = 0entonces v = −2u y si x+ y = 1 entonces u = 1. Una vez dibujada nos damos cuenta que laNueva region es tipo I.Ahora estamos listos para aplicar el teorema del cambio de variables,

ˆ 1

0

ˆ 1−x

0

√x+ y(y − 2x)2dydx =

∆

Ejemplo 138. Halle

ˆ 1

0

ˆ

√1−x2

0

(x2 + y2)dydx.

80





Solucion. Si intragamos directamente obtenemos

ˆ 1

0

(

x2√

1− x2 +(1− x2)3/2

3

)

dx

y ahora a . Esto nos motiva a buscar una buena sustitucion para mejorar elintegrando, nos es difıcil que es una excelente opcion,

x = y =


J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

La NUEVA region esta descrita mediante desigualdades sencillas 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ π2 .

Ahora estamos listos para aplicar el teorema del cambio de variables,

ˆ 1

0

ˆ

√1−x2

0

(x2 + y2)dydx =

∆

NOTA: La transformacion a coordenadas polares es muy eficaz en este caso pues x2 + y2 se se simplifica como r2 yotra razon es que los lımites de integracion se vuelven cosntantes.

Ejemplo 139. Halle

¨

R

ex2+y2

dydx donde R es la region semicircular acotada por el eje x y la curva y =√1− x2.

Solucion. Dado que la integrando tiene el factor x2 + y2, entonces usaremos las coor-denadas polares

x = r cos θ y = r sin θ


J(u, v) =∂(x, y)

∂(u, v)=

La NUEVA region esta descrita mediante desigualdades sencillas 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤π. Ahora estamos listos para aplicar el teorema del cambio de variables,

¨

R

ex2+y2

dydx =

∆

Ejemplo 140. Halle el volumen de la region solida limitada superiormente por el hemisferio z =√

16− x2 − y2 einferiormente por la region circular R dada por x2 + y2 ≤ 4.

Solucion: No es difıcil ver que el volumen del solido esta dado por

¨

R

zdA donde R esta

dado por x2 + y2 ≤ 4. Dado que la base contiene el factor x2 + y2, entonces usaremos lascoordenadas polares

x = r cos θ y = r sin θ

Por tanto, el Jacobiano J(u, u) esta dado por, J(r, θ) =∂(x, y)

∂(u, v)=

81





La NUEVA region esta descrita mediante desigualdades sencillas 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ θ ≤ 2π. Ahora estamos listospara aplicar el teorema del cambio de variables,

¨

R

zdA =

EJER:

1. Calcule

¨

D

ey−xy+x dxdy, donde D es el triangulo limitado por la recta x+ y = 2 y los ejes coordenados.

2. Halle el area de la region limitada por las curvas xy = 1, xy = 3, x− xy = 1, x− xy = 3.

Aplicaciones de Integrales dobles

Masa: Si la lamina que corresponde a la region R, que se muestra en la figura, tiene unadensidad constante ρ entonces la masa de la lamina esta dada por

Masa = ρA = ρ

¨

R

dA =

¨

R

ρdA Densidad Constante

Si no se especifica otra cosa, se supone que una lamina tiene densidad constante. Las inte-grales dobles pueden usarse para calcular la masa de una lamina de densidad variable, dondela densidad en (x, y) esta dada por la funcion de densidad ρ

Definicion 62. (Masa)Si ρ es una funcion de densidad continua sobre la lamina que corresponde a una region planaR, entonces la masa m de la lamina esta dada por

m =

¨

R

ρ(x, y)dA Densidad Variable

NOTA: La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen. Sin embargo, en una lamina planala densidad es masa por unidad de area de superficie.

Ejemplo 141. Hallar la masa de la lamina correspondiente a la porcion en el primercuadrante del cırculo x2 + y2 = 4 donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional ala distancia entre el punto y el origen.

Solucion. En todo punto (x, y), la densidad de la lamina es ρ = k√

(x− 0)2 + (y − 0)2.Ademas, la region es de tipo . Luego la masa de la lamina es

m =

¨

R

ρdA =

∆

NOTA: Notese que la lamina plana esta sombreada; el sombreado mas oscuro corresponde a la parte mas densa.

Ejemplo 142. Hallar la masa de la lamina triangular con vertices (0, 0), (0, 3) y (2, 3), dado que la densidad en(x, y) es ρ(x, y) = 2x+ y

82





Solucion. No es difıcil ver que la region es de tipo . Luego la masa de la lamina es

m =

¨

R

ρdA =

∆

Integrales triples

Los pasos que conducen a la definicion de la integral triple , son bastante similares a los de la integral doble.

1. Sea w = f(x, y, z) definida sobre una region cerrada y acotada D del espacio tridimensional.

2. Por medio de una retıcula tridimensional de planos verticales y horizontales paralelos a los planos de coorde-nadas, forme una particion interior de D en n subregiones (cajas) Dk de volumenes ∆Vk que se encuentrepor completo dentro de D.

3. Considere que ‖P‖ es la norma de la particion o longitud de la diagonalmas larga de la caja Dk.

4. Elija un punto muestra (x∗k, y

∗k, z

∗k) en cada subregion Dk.

5. Forme la suma

n∑

k=1

f(x∗k, y

∗k, z

∗k)∆Vk

6. La suma

n∑

k=1

f(x∗k, y

∗k, z

∗k)∆Vk donde (x∗

k, y∗k, z

∗k) es un punto arbitrario

dentro de cada Dk y ∆Vk denota el volumen de cada Dk recibe el nombrede suma de Riemann .

Definicion 63. (Integral Triple)Sea f una funcion de tres variables definida sobre una region cerrada D del espacio tridi-mensional. Entonces la integral triple de f sobre D, se define como

˚

D

f(x, y, z)dV = lım‖P‖→0

n∑

k=1

f(x∗k, y

∗k, z

∗k)∆Vk

Limites de integrales triples Si la region D esta acotada por arriba por lagrafica de z = g2(x, y) y acotada por abajo por la grafica de z = g1(x, y) entonces

˚

D

f(x, y, z)dV =

¨

R

[ˆ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z)]

dA

donde R es la proyeccion ortogonal de D sobre el plano xy.

TIPO I: Si R es una region de tipo I entonces R : a ≤ x ≤ b, h1(x) ≤ y ≤ h2(x)y la integral triple se expresa como

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ b

a

ˆ h2(x)

h1(x)

[ˆ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z)]

dzdydx

TIPO II: Si R es una region de tipo II entonces R : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)y la integral triple se expresa como

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ d

c

ˆ h2(y)

h1(y)

[ˆ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z)]

dzdxdy

83





En una integral doble hay solo dos posibles ordenes de integracion: dydx y dxdy. Las integrales triples tiene seisposible formas ordenes de integracion:

Las dos ultimas diferenciales nos indican el plano de coordenadas en el cual se localiza la region R.

dzdydx Rxy tipo I

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ b

a

ˆ h2(x)

h1(x)

[

ˆ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z)]

dzdydx

dzdxdy Rxy tipo II

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ d

c

ˆ h2(y)

h1(y)

[

ˆ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z)]

dzdxdy

dydzdx Rxz tipo I

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ b

a

ˆ h2(x)

h1(x)

[

ˆ g2(x,z)

g1(x,z)

f(x, y, z)]

dydzdx

dydxdz Rxz tipo II

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ k

e

ˆ h2(z)

h1(z)

[

ˆ g2(x,z)

g1(x,z)

f(x, y, z)]

dydxdz

dxdzdy Ryz tipo I

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ d

c

ˆ h2(y)

h1(y)

[

ˆ g2(y,z)

g1(y,z)

f(x, y, z)]

dxdzdy

dxdydz Ryz tipo II

˚

D

f(x, y, z)dV =

ˆ k

e

ˆ h2(z)

h1(z)

[

ˆ g2(y,z)

g1(y,z)

f(x, y, z)]

dxdydz

Volumen: Si f(x, y, z) = 1 entonces el volumen del solido D es V =

˚

D

dV

Masa: Si ρ(x, y, z) es la densidad, entonces la masa del solido D esta dada por m =

˚

D

ρ(x, y, z)dV

Ejemplo 143. Encuentre el volumen del solido en el primer octante acotadopor las graficas de z = 1− y2, y = 2x y x = 3.

Solucion. No es difıcil ver que la proyeccion del solido sobre el plano xy es unaregion tipo II. Luego, usaremos el orden dzdxdy para calcular el volumen de D

V =

˚

D

1dV =

∆

Ejemplo 144. Evaluar

ˆ

√π/2

0

ˆ

√π/2

x

ˆ 3

1

sin(y2)dzdydx

Solucion. Una integracion directa nos lleva a 2

¨

sin(y2)dydx la cual no es

elemental. Ası que debemos cambiar el orden de integracion. La region estaacotada por las rectas x = 0, x =

√

π/2, y = x, y =√

π/2, z = 1 y z = 3

ˆ

√π/2

0

ˆ

√π/2

x

ˆ 3

1

sin(y2)dzdydx =

∆

84





Ejemplo 145. Un solido tiene la forma determinada por las graficas del cilindro |x|+|y| = 1y los planos z = 2 y z = 4.

1. Encuentre la masa si la densidad esta dada por ρ(x, y, z) = kz, con k una constante.

2. Determine Mxy =

˚

D

zρ(x, y, z)dzdydx.

SOL(a) No es difıcil ver que el dominio del solido esta contenido en el plano xy.Observe que la proyeccion del solido sobre el plano xy es la region dada por |x| + |y| = 1.Esta region es equivalente a 4 rectas,

x+ y = 1, x > 0, y > 0, −x+ y = 1, x < 0, y > 0

x− y = 1, x > 0, y < 0, −x− y = 1, x < 0, y < 0,

Observe que la funcion de densidad ρ(x, y, z) = kz es simetrica sobre R. Tomando R comoregion es tipo I encontramos

m =

˚

D

ρ(x, y, z)dzdydx = 4

ˆ ˆ ˆ

kzdzdydz

Mxy =

˚

D

zρ(x, y, z)dzdydx = 4

ˆ 1

0

ˆ 1−x

0

ˆ 4

2

kz2dzdydz

Integrales triples en otros sistemas de coordenadas

A partir de la geometrıa de una region en el espacio tridimensional, la evaluacion de una integral triple sobre laregion puede a menudo facilitarse al utilizar un nuevo sistema de coordenadas.

Coordenadas Cilındricas

Las coordenadas rectangularesde un punto se obtienen de lascoordenadas cilındricas median-te las ecuaciones.

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

Observe que la matriz Jacobiana de este cambio de coordenadas es,

J(r, θ, z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

xr xθ xz

yr yθ yz

zr zθ zz

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

cos θ −r sin θ 0

sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= r

85





Entonces, si f(x, y, z) es una funcion continua sobre la region Dxyz, la integral triple de f sobre Drθz esta dada por˚

D

f(x, y, z)dV =

˚

D

f(r, θ, z)|J(r, θ, z)|dzdrdθ =

˚

D

f(r, θ, z)rdzdrdθ

Ejemplo 146. Use coordenadas cilındricas para hallar el volumen de la region solidaQ que corta en la esfera x2 + y2 + z2 = 4 el cilindro r = 2 sen θ.

Solucion. Como x2 + y2 + z2 = r2 + z2 = 4 los lımites z son z = ±√4− r2 Sea R la

proyeccion circular del solido sobre el plano rθ. Los lımites de R son 0 ≤ r ≤ 2 sin θy 0 ≤ θ ≤ π. Por lo tanto,

V =

˚

Q

dV =

ˆ ˆ ˆ

rdzdrdθ

∆

Ejemplo 147. Calcule la integral triple que produce el volumen del solidoque tiene la forma determinada por el cono de un manto x =

√

y2 + z2 y elparaboloide x = 6− y2 − z2.

Solucion. Primero debemos hallar la interseccion de las dos superficies paraluego proyectarla a un plano coordenado Observe que al sustituir y2 + z2 = x2

en y2 + z2 = 6 − x encontramos que x2 = 6 − x o (x + 3)(x − 2) = 0. Ası, lasdos superficies se interceptan en el plano x = 2. La proyeccion del solido sobreel plano yz de la curva de interseccion es y2+ z2 = 4. Luego esta region es tipoI o II

V =

˚

D

dxdzdy = 4

ˆ 2

0

ˆ

√4−y2

0

ˆ 6−y2−z2

√y2+z2

dxdzdy

Usando coordenadas polares en el plano yz mediante y = r cos θ, z = r sen θ,encontramos que la NUEVA REGION es tipo θ o r, y las coordenadas cilındri-cas aquı son (r, θ, x)

V =

˚

D

dxdzdy = 4

ˆ ˆ ˆ

rdxdrdθ

∆

Coordenadas Esfericas

Las coordenadas rectangularesde un punto se obtienen de lascoordenadas esfericas mediantelas ecuaciones.

x = ρ sinφ cos θ

y = ρ sinφ sin θ

z = ρ cosφ

Las cuales verifican

ρ2 = x2 + y2 + z2, tan θ =y

x, φ = arc cos

( z√

x2 + y2 + z2

)

Observe que la matriz Jacobiana de este cambio de coordenadas es,

86





J(ρ, φ, θ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

xρ xφ xθ

yρ yφ yθ

zρ zφ zθ

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

sinφ cos θ ρ cosφ cos θ −ρ sinφ sen θ

sinφ sin θ ρ cosφ sin θ ρ sinφ cos θ

cosφ −ρ sinφ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

= ρ2 sinφ

Entonces, si f(x, y, z) es una funcion continua sobre la region Dxyz, la integral triple de f sobre Dρφθ esta dada por

˚

D

f(x, y, z)dV =

˚

D

f(ρ, φ, θ)|J(ρ, φ, θ)|dρdφdθ =

˚

D

f(ρ, φ, θ)ρ2 sinφ dρdφdθ

Ejemplo 148. Un solido en el primer octante tiene la forma determinada por la grafica del cono de un solo mantoz =

√

x2 + y2 y los planos z = 1, x = 0. Determine en coordenadas esfericas para determinar el volumen del solido.

Solucion. Usando las ecuaciones. x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ. Encontramos que

z = 1 implica que ρ cosφ = 1 ⇔ ρ = secφ

z =√

x2 + y2 implica que ρ cosφ = ρ sinφ ⇔ φ =π

4

Ahora hallemos el Volumen

V =

˚

D

dV =

∆

Ejemplo 149. Hallar el volumen del elipsoide dado por 4x2 + 4y2 + z2 = 16

Solucion. Como en la ecuacion x, y y z juegan papeles similares, el orden de integracionpuede ser cualquiera. Usaremos el orden dzdydx. Por tanto la altura de D esta dada porz = ±

√

16− 4x2 − 4y2 y la base de D esta dada por la region R tipo . Por tanto elVolumen

V =

˚

D

dV ∆

Ejemplo 150. Hallar el volumen en coordenadas esfericas de la region solida D limitadainferiormente por la hoja superior del cono z2 = x2 + y2 y superiormente por la esferax2 + y2 + z2 = 9.

Solucion. En coordenadas esfericas, la ecuacion de la esfera es ρ = 9. La esfera y el cono secortan cuando x2 + y2 + z2 = z2 + z2 = 9 entonces z = 3√

2y como z = ρ cosφ entonces

φ = π/4. Por consiguiente,

V =

˚

D

dV =

∆

87

Modulo III

Calculo Vectorial

Hasta este punto en nuestro estudio del calculo, hemos encontrado tres tipos de integrales: la integral definida, laintegral doble y la integral triple. En este capıtulo se presentan dos nuevos tipos de integrales: las integrales de lıneay las integrales de superficie.

Suponga que C es una curva parametrizada por r(t) =(x(t), y(t)

), a ≤ t ≤ b, y que A = (x(a), y(a)) y B(x(a), y(a))

son los puntos inicial y terminal,respectivamente. Afirmamos que:

1. C es una curva suave si x′(t) y y′(t) son continuas sobre el intervalo cerrado [a, b] y no son simultaneamentecero sobre el intervalo abierto (a, b)

2. C es una curva suave por partes si consiste en un numero finito de curvas suaves c1, C2, . . . , Cn unidasextremo por extremo; esto es, C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn.

3. C es una curva cerrada si A = B.

4. C es una curva simple si no se cruza a sı misma entre A y B.

5. C es una curva cerrada simple si A = B y la curva no se cruza a sı misma.

6. Si C no es una curva cerrada, entonces la orientacion impuesta sobre C es la direccion que corresponde alos valores crecientes de t.

7. Esta misma terminologıa lleva de manera natural a las curvas en espacio tridimensional C : r(t) = (x(y), y(t), z(t))

Definicion 64. (Integral de linea)Sea f(x, y) una funcion definida en una region del plano que contiene una curva suave C.La integral de lınea de f a lo largo C de A a B es

ˆ

C

f(x, y)ds

Interpretacion Geometrica: La integral

ˆ

C

f(x, y)ds representa entonces el area

de un lado de una “cortina” que se extiende a partir de la curva C en el plano xyhacia arriba de la grafica de f(x, y) y que corresponde a los puntos (x, y) sobre C.

Una integral de lınea a lo largo de una curva C suave por partes se define como lasuma de las integrales sobre las distintas curvas suaves cuya union compone a C.

ˆ

C

f(x, y)ds =

ˆ

C1

f(x, y)ds+

ˆ

C2

f(x, y)ds

Como Evaluar integrales de linea? La idea basica es convertir la integral de lıneaen una integral definida de una sola variable. Para ello nos enfocaremos en como estadefinida la curva C (parametricamente o ecuacion explıcita).

88





Si C es una curva suave parametrizada por r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b entonces ds =√

dx2 + dy2, y porello tenemos,

ˆ

C

f(x, y)ds =

ˆ b

a

f(x(t), y(t))√

x′(t)2 + y′(t)2dt =

ˆ b

a

f(r(t))‖r′(t)‖dt,

Si C es una curva suave en espacio tridimensional parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a ≤ t ≤ b

entonces ds =√

dx2 + dy2 + dz2, y por ello tenemos,

ˆ

C

f(x, y, z)ds =

ˆ b

a

f(x(t), y(t), z(t))√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt =

ˆ b

a

f(r(t))‖r′(t)‖dt,

Integrales de lınea en el espacio

En el espacio tridimensional a menudo estamos interesados en integrales de lınea de la forma de una suma:ˆ

C

P (x, y, z)dx+

ˆ

C

Q(x, y, z)dy +

ˆ

C

R(x, y, z)dz

1. Es importante advertir que una integral de lınea es independiente de la parametrizacionde la curva C siempre que a C se le de la misma orientacion por medio de todos losconjuntos de ecuaciones parametricas que definen la curva.

2. Recuerde que la direccion positiva de una curva parametrizada C corresponde a valorescrecientes del parametro t.

3. El sımbolo −C denota la curva que tiene los mismos puntos pero la orientacion opuestade C.

ˆ

−C

Pdx+Qdy = −ˆ

C

Pdx+Qdy

Ejemplo 151. Sea C una curva que da vuelta alrededor de la circunferencia x2 + y2 = 1 en sentido contrario a las

manecillas del reloj. Calcule

ˆ

C

1 + xds

Solucion. La parametrizacion del cırculo unitario C: x2+y2 = 1 esta dada por r( ) =(

,).

Entonces, r′( ) =(

,).

ˆ

C

(1 + x)ds =

∆

Ejemplo 152. Calcule

ˆ

C

xy2zds donde C es la curva interseccion de las superficies x2+y2+z2 = 16 y x2+y2 = 4

en el primer octante.

Solucion. La interseccion de las superficies en el primer octante, es la curva

C : y z = 2√3

Entonces, una parametrizacion esta dada por r(t) = yr′(t) = y ‖r′(t)‖ = . Por tanto,

ˆ

C

xy2zds =

∆

89





4.1. Integrales de lınea y campos vectoriales

Un campo vectorial sobre una region T en el espacio es una funcion de variable vectorial F que asocia con cadapunto (x, y, z) de T un vector

F(x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k := (P,Q,R)

Observe que las componentes P , Q y R de una funcion vectorial son funciones escalares (de variable real). Uncampo vectorial en el plano es similar, excepto que no se involucran componentes z ni coordenadas z. Ası, uncampo vectorial en la region plana R es una funcion F de variable vectorial que asocia un vector a cada punto (x, y)de R

F(x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j := (P,Q).

Es util visualizar un campo vectorial F dado. Una forma comun de hacerlo es dibujando un conjunto de vectorescomunes F(x, y), cada uno de los cuales esta representado por una flecha de longitud ‖F(x, y)‖ y se localiza con(x, y) como su punto inicial.

Ejemplo 153. Describa el campo vectorial F(x, y) = xi+ yj.

Solucion. Para cada punto (x, y) en el plano coordenado, F(x, y) = (x, y) es decir, essimplemente su vector de posicion r. Apunta directamente hacia afuera del origen ytiene una longitud de

‖F(x, y)‖ = ‖xi+ yj‖ =√

x2 + y2 = r,

igual a la distancia desde el origen (x, y). ∆

El campo vectorial gradiente

El vector gradiente de la funcion derivable de variable real f(x, y, z). El vector ∇f sedefine como sigue:

∇f =(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

=∂f

∂xi+

∂f

∂yj+

∂f

∂zk := grad f.

Recordemos que el vector ∇f(x, y, z) apunta en la direccion en la que se obtiene lamaxima derivada direccional de f en (x, y, z).En el caso de una funcion de dos variables, f(x, y), se suprime la tercera componentede la ecuacion, por lo que ∇f = (fx, fy) = fxi+ fyj define un campo vectorial plano.

Ejemplo 154. Con f(x, y) = x2 − y2, el campo vectorial gradiente esta dado por∇f = 2xi− 2yj.

Trabajo W realizado por el campo de fuerzas F: Suponga que F = P i+Qj+ Rk es un campo defuerza definido sobre una region que contiene a la curva C del punto A al B. Tambien suponga que C tiene unaparametrizacion

C : r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k, dr(t) = r′(t) = x′(t)i+ y′(t)j+ z′(t)k

Teorema 65 (Trabajo a lo largo de una curva C).Suponga que el campo vectorial F = P i + Qj + Rk es continuo y que T es elvector unitario tangente a la curva suave C. El trabajo a lo largo de una curvaC esta dado por

W =

ˆ

C

(F ·T) ds =

ˆ

C

Pdx+Qdy +Rdz =

ˆ

C

F · dr (4.1)

90





Ejemplo 155. Halle el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F = yi+zj+xk al mover una partıcula de (0, 0, 0)a (1, 1, 1) a lo largo de la curva x = t, y = t2, z = t3,

Solucion. La curva C esta parametrizada por r(t) = (t, t2, t3) de donde dx = dt, dy = 2tdt, y dz = 3t2dt, lasustitucion en terminos de t produce

W =

ˆ

C

F · dr =

ˆ (1,1,1)

(0,0,0)

ydx+ zdy + xdz =

ˆ 1

0

∆

Ejemplo 156. Evalue

ˆ

C

xydx+ x2dy, donde C esta dada por y = x3. −1 ≤ x ≤ 2.

Solucion. La paramentrizacion de C esta dada por r(t) = (t, t3). De manera que x = t y y = t3. Luegoˆ

C

xydx+ x2dy =

∆

Ejemplo 157. Evalue

ˆ

C

ydx+ xdy + zdz, donde C es la helice x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = t 0 ≤ t ≤ 2π.

Solucion. La paramentrizacion de C esta dada por r(t) = (2 cos t, 2 sen t, t). Luego

ˆ

C

ydx+ xdy + zdz =

∆

Ejemplo 158. Evalue

ˆ

C

y2dx− x2dy, sobre la curva cerrada C que se muestra en la fig 1.

Solucion. Como la curva C es suave por partes, simbolicamente, escribimos´

C=´

C1+´

C2+´

C3donde C1, C2 y

C3 son las curvas, y = 0, x = 2 y y = x2 respectivamente.

Parametrizacion para C1(t) = (t, 0) con 0 ≤ t ≤ 1, luegoˆ

C

y2dx− x2dy =

Parametrizacion para C2(t) = (2, t) con 0 ≤ t ≤ 1, luegoˆ

C

y2dx− x2dy =

Parametrizacion para C1(t) = (1− t, (1− t)2) con 0 ≤ t ≤ 1, luegoˆ

C

y2dx− x2dy =

∆

Ejemplo 159. Evalue

ˆ

C

F · dr donde F(x, y) = xyi + y2j, y la curva C esta definida por la funcion vectorial

r(t) = e−ti+ etj, −1 ≤ t ≤ 1.

Solucion. Recordemos que tambien

ˆ

C

F · dr =

ˆ

C

F(r(t)) · r′(t)dt, Ahora observemos que

F(r(t) = r′(t)dt =

91





Luego,

ˆ

C

F · dr =

ˆ

C

F(r(t)) · r′(t)dt =

∆

Teorema fundamental de las integrales de lınea

El estudio realizado anteriormente indica que el trabajo W realizado por un campo F sobre un objeto que se mueveentre dos puntos generalmente depende de la trayectoria seguida por el objeto. Ahora vamos a estudiar el trabajoW realizado por ciertos campos F , pero con resultados sorprendentes, mas precisamente estudiaremos el teoremafundamental de las integrales de lınea .

Para empezar, definamos lo que es un campo vectorial conservativo F

Definicion 66. (Campo conservativo)Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe una funcion diferenciable φ talque

F = ∇φ.

La funcion φ recibe el nombre de funcion potencial de F.

Ejemplo 160. Demuestre que el campo vectorial bidimensional F(x, y) = xi+ yj es conservativo

Solucion. No es difıcil ver que que la funcion potencial de F esta dada por φ(x, y) = xy, ya que verifica que ∇φ = F.Asi que F es un campo conservativo. ∆

Ejemplo 161. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y) = 12xyi +

14x

2j sobre una partıcula quese mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias

1. C1 : y = x 2. C2 : x = y2 3. C3 : y = x3

Solucion. a) No es dificil parametrizar C1 por el vector posicion r(t) = para 0 ≤ t ≤ 1 Por lotanto dr = y F(x, y) = . De manera que el trabajo realizado es:

W =

ˆ

C1

F · dr =

b) Una parametrizacion para el vector posicion de C2 es r(t) = ti+√tj para 0 ≤ t ≤ 1. Por lo tanto dr =

y F(x, y) = . De manera que el trabajo realizado es:

W =

ˆ

C1

F · dr =

c) Una parametrizacion para el vector posicion de C3 es r(t) = para 0 ≤ t ≤ 2. Por lo tantodr = y F(x, y) = . De manera que el trabajo realizado es:

92





W =

ˆ

C1

F · dr =

Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todas las trayectorias, 14 ∆

No todo campo vectorial F es un campo conservativo aunque muchos campos vectoriales F encontrados enfısica son conservativos.

El valor de una integral de lınea

ˆ

C

F · dr suele depender de la trayectoria de integracion. En otras palabras,

si C1 y C2 son dos trayectorias diferentes entre los mismos puntos A y B, entonces en general esperamos queˆ

C1

F · dr 6=ˆ

C2

F · dr

Sin embargo, hay excepciones muy importantes, como lo son los campos conservativos.

Teorema 67. (Teorema campo conservativo)Suponga que C es la trayectoria en una region abierta R del plano xy dada por r(t) =x(t)i+ y(t)j, a ≤ t ≤ b. Si F(x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j es un campo vectorial conservativoen R y φ es una funcion potencial para F, entonces

ˆ

C

F · dr =

ˆ

C

∇φ · dr = φ(B)− φ(A)

donde A = (x(a), y(a)) y B = (x(b), y(b)).

1. Si el valor de una integral de lınea es el mismo para cada trayectoria en una region que conecta el puntoinicial A y el punto terminal B, entonces se dice que la integral sera independiente de la trayectoria .

2. Una integral de lınea

ˆ

C

F · dr es independiente de la trayectoria si

ˆ

C1

F · dr =

ˆ

C2

F · dr para cualesquiera

dos trayectorias C1 y C2 entre A y B.

3. Si F es un campo vectorial conservativo en una region abierta en el espacio, entonces

ˆ

C

F ·dr depende solo

de los puntos inicial y terminal A y B, y no de la trayectoria C.

Ejemplo 162. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y) = 12xyi +

14x

2j sobre una partıcula quese mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias

1. C1 : y = x 2. C2 : x = y2 3. C3 : y = x3

Solucion. No es difıcil ver que F = 12xyi +

14x

2j es un campo vectorial conservativo y que φ(x, y) = 14x

2y es unafuncion potencial para F. Por tanto tenemos

ˆ

C

F · dr =

ˆ (1,1)

(0,0)

F · dr =

ˆ (1,1)

(0,0)

∇φ · dr = φ(1, 1)− φ(0, 0) = ∆

Ejemplo 163. Evalue

ˆ

C

F · dr donde C es una curva suave a trozos desde (−1, 4) hasta

(1, 2) y F(x, y) = 2xyi+ (x2 − y)j.

Solucion. No es difıcil ver que F = 2xyi + (x2 − y)j es un campo vectorial conservativodefinido en el plano xy y que φ(x, y) = es una funcion potencialpara F. Por tanto tenemosˆ

C

F · dr =

ˆ (−1,4)

(1,2)

F · dr =

ˆ (−1,4)

(1,2)

∇φ · dr = φ(−1, 4)− φ(1, 2) = ∆

93





Ejemplo 164. Evalue

ˆ

C

F · dr donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta

(0, 2, 3) y F(x, y, z) = 2xyi+ (x2 + z2)j+ 2yzk.

Solucion. Observe que F = 2xyi + (x2 + z2)j + 2yzk es un campo vectorial conservativodefinido en el plano R

3 y que φ(x, y, z) = x2y + yz2 +K es una funcion potencial para F.Por tanto tenemosˆ

C

F · dr =

ˆ (1,1,0)

(0,2,3)

F · dr =

ˆ (1,1,0)

(0,2,3)

∇φ · dr = φ(1, 1, 0)− φ(0, 2, 3) = ∆

RESUMEN: Suponga que F es un campo vectorial conservativo definido sobre una regionconexa abierta y C es una trayectoria cerrada que yace por completo en la region.

F conservativo ⇔ independencia de la trayectoria ⇔ˆ

C

F · dr = 0

Estas equivalencias nos lleva a concluir que: “Si

ˆ

C

F·dr NO es independiente de la trayectoria, entonces el campo F

NO es conservativo”. Ahora vamos a determinar de una manera SENCILLA si un campo vectorial F es conservativo.

Teorema 68 ((Prueba para un campo conservativo)).Suponga que F(x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j es un campo vectorial conservativo en una regionabierta R y que P y Q son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en R.Entonces

∂P

∂y=

∂Q

∂x(4.2)

para todo (x, y) en R. Inversamente, si se cumple la igualdad (4.2) para todo (x, y) en unaregion R simplemente conexa, entonces F = P i+Qj es conservativo en R.

Ejemplo 165. Demuestre que los siguientes campos son conservativos

1. F(x, y) = yi+ xj

2. F(x, y) = (x2 − 2y3)i+ (x+ 5y)j

3. F(x, y) = −ye−xyi− xe−xyj

Campos vectoriales conservativos tridimensionales

Para un campo vectorial conservativo tridimensional F(x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k con P ,Q y R continuas y primeras derivadas parciales continuas en alguna region abierta del espacio tridimensional,entonces

∂P

∂y=

∂Q

∂x,

∂P

∂z=

∂R

∂x,

∂Q

∂z=

∂R

∂y(4.3)

Inversamente, si (4.3) se cumple en toda una region apropiada del espacio tridimensional, entonces F esconservativo.

94





Ejemplo 166.

a) Demuestre que la integral de lınea

ˆ

C

(y + yz)dx+ (x+ 3z3 + xz)dy + (9yz2 + xy − 1)dz es independiente de

la trayectoria entre (1, 1, 1) y (2, 1, 4).

b) Evalue

ˆ (2,1,4)

(1,1,1)

F · dr

Solucion. a) No es difıcil ver que F(x, y, z) = y que P = Q =y R . Ahora dado que

concluimos que F es conservativo y, por tanto, la integral es independiente de la trayectoria.

b) Para evaluar la integral debemos hallar una funcion potencial para F. En primer lugar sabemos que

= P, = Q, = R

Por tanto,φ =

Por tanto si C es cualquier trayectoria con puntos inicial (1, 1, 1) y terminal (2, 1, 4)encontramos que

ˆ

C

F · dr =

ˆ (2,1,4)

(1,1,1)

(y + yz)dx+ (x+ 3z3 + xz)dy + (9yz2 + xy − 1)dz

=

∆

Ejemplo 167. Calcule

ˆ

C

(x+z,−y−z, x−y)·dr , siendo C la curva de interseccion entre la esfera x2+y2+z2 = 16

y el cilindro x2 + y2 = 4x

Solucion. No es difıcil ver que F(x, y, z) = y que P = Q =y R . Ahora dado que

concluimos que F es conservativo y como C es , entonces, la integral es cero. ∆

95





Conclusiones:

En un campo de fuerza conservativo F, el trabajo W realizado por la fuerza sobre una partıcula que semueve de la posicion A a la posicion B es el mismo para todas las trayectorias Ci entre estos puntos, esto es,ˆ

C1

F · dr =

ˆ

C2

F · dr.

El trabajo W realizado por la fuerza F a lo largo de una trayectoria C cerrada es cero,

ˆ

C

F · dr = 0

Teorema de Green

Vamos a examinar uno de los teoremas mas importantes del calculo vectorial el Teorema de Green. Este teorema

relaciona

˛

C

=

¨

R

, (la frontera de R es la curva cerrada C).

Conexa No conexa Mult. conexa Orientacion Positiva (+) (−)

1. Una region (en el plano o en el espacio) es conexa si cada par de puntos A y B en la region puede unirsemediante una curva suave por partes que yace por completo en la region.

2. Una region R en el plano es simplemente conexa si es conexa y toda curva cerrada simple C que yace deltodo dentro de la region puede reducirse, o contraerse, hasta un punto sin abandonar R.

3. Poniendolo en terminos practicos, una region simplemente conexa NOOOOO tiene hoyos en ella.

4. Si la curva representativa C rodea a uno de los hoyos, entonces NO puede contraerse hasta un punto sin dejarla region. Esta ultima region se dice que es multiplemente conexa .

5. Las orientaciones positiva y negativa de una curva corresponden recorridos sobre C en sentido contrario alde las manecillas del reloj y en el sentido de las manecillas del reloj, respectivamente.

Teorema 69 (Teorema de Green).Suponga que C es una curva cerrada simple suave con una orientacion positiva que encierra

una region simplemente conexa R. Si P , Q,∂P

∂yy∂Q

∂xson continuas sobre R, entonces

‰

C

F · dr =

‰

C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

¨

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dA (4.4)

Ejemplo 168. Evalue

˛

C

(x2 − y2)dx + (2y − x)dy donde C consiste en la frontera de la region en el primer

cuadrante que esta acotada por las graficas de y = x2 y y = x3.

Solucion: No es difıcil ver que P (x, y) = y Q(x, y) = y que∂P

∂y=

y∂Q

∂x= son continuas. Por tanto del TG concluimos que

˛

C

(x2 − y2)dx+ (2y − x)dy =

¨

R

96





Pregunta:¿Calcule

˛

C

(x2 − y2)dx+ (2y − x)dy sin usar T.Green

Ejemplo 169. Evalue

˛

C

(x5+3y)dx+(2x− ey3

)dy donde C es el cırculo (x− 1)2+

(y − 5)2 = 4

Solucion. No es difıcil ver que P (x, y) = y Q(x, y) = y que∂P

∂y= y

∂Q

∂x= son continuas. Por tanto del TG concluimos

que˛

C

(x5 + 3y)dx+ (2x− ey3

)dy =

¨

R

∆

Ejemplo 170. Determine el trabajo realizado por el campo de fuerza F = (−16y +senx2)i + (4ey + 3x2)j que actua a lo largo de una curva cerrada simple C que semuestra en la Figura

Solucion. Recordemos que el trabajo realizado por F esta dado por

W =

˛

C

F · dr =

˛

C

(−16y + senx2)dx+ (4ey + 3x2)dy

No es difıcil ver que P (x, y) = y Q(x, y) = y que∂P

∂y=

y∂Q

∂x= son continuas. Por tanto del TG concluimos que

W =

˛

C

(−16y + senx2)dx+ (4ey + 3x2)dy =

¨

R

En vista de la region R, la ultima integral se maneja mejor en:

W =

∆

OBSERVACION: Sea C la curva poligonal cerrada consistente en los cuatro segmentosde recta C1, C2, C3 y C4 que se muestran en la figura. El teorema de Green NOes aplicable a la integral de lınea

˛

C

−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

ya que P , Q,∂P

∂yy∂Q

∂xy no son continuas en el origen.

97





Superficies parametricas y areas

Una curva C descrita por una funcion continua y = f(x) puede parametrizarsemuy facilmente tomando como parametro a x = t de manera que r(t) = (t, f(t))parametriza todos los puntos de la curva C.

Para parametrizar una superficie S descrita por una funcion z = f(x, y) ne-cesitaremos obviamente dos variables parametricas, llamemos x = u, y = v.Luego, z = f(u, v) y por ende r(u, v) = (u, v, f(u, v)) parametriza todos lospuntos de la superficie S.

En general, un conjunto de tres funciones de dos variables

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

se llaman ecuaciones parametricas de una Superficie y r(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)parametriza todos

los punto de la superficie S.

Plano tangente a una superficie parametrica Recordemos que una superficie parametrica esta dada por

r(u, v) =(

x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Las derivadas parciales de r, ∂r∂u ,

∂r∂v son dos vectores directores que nos facilita generar cualquier plano en la

superficie S.

∂r

∂u=(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

)

Vector velocidad de la Curva u

∂r

∂v=(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)

Vector velocidad de la Curva v

Observe que el plano tangente a S existe en (x0, y0, z0), si

∂r

∂u(x0, y0, z0) 6= 0

∂r

∂v(x0, y0, z0) 6= 0.

En muchas ocasiones es mejor encontrar el vector normal n a la superficieS y describir el plano tangente por medio de la ecuacion normal. Para ellocalculamos el producto cruz ∂r

∂u × ∂r∂v .

∂r

∂u× ∂r

∂v=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

La condicion de que el vector∂r

∂u× ∂r

∂v6= 0 en (x0, y0, z0) asegura la existencia

de un plano tangente en el punto (x0, y0, z0). Una vez conocido el vector normalpodemos describir la ecuacion del plano

n · (x− p) = 0

Ejemplo 171. Encuentre una ecuacion del plano tangente a la superficie parametrica definida por x = u2 + vy = v, z = u+ v2 en el punto correspondiente a u = 3 y v = 0.

Solucion. La superficie esta parametrizada por r(u, v) =(u2 + v, v, u + v2

)y que en u = 3 y v = 0 el punto sobre

la superficie es p = r(3, 0) = . Entonces los vectores tangentes estan dados por

98





∆

Definicion 70. (Area de una superficie parametrica)

Sea S una superficie parametrizada por r(u, v) =(

x(u, v), y(u, v), z(u, v))

entonces el area

de S es

A(S) =

¨

R

dS =

¨

R

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥dA.

OBSERVACION: Si una superficie esta descrita por una funcion explıcita z = g(x, y) puede parametrizarse mediantelas ecuaciones r

(u, v, g(u, v)

). Luego ru =

(1, 0, gu(u, v)

)y ru =

(0, 1, gv(u, v)

)y

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0 gu(u, v)

0 1 gv(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥∥∥∥

=∥∥∥(−gu(u, v),−gv(u, v), 1

∥∥∥ =

√

1 + (gu(u, v))2 + (gv(u, v))2

Ejemplo 172. Encuentre el area del cono r = (u cos v)i+ (u sen v)j+ uk, donde 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ u ≤ 2π.

Solucion. Lo primero es hallar a

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥

∆

Definicion 71. (Integral de Superficie)Sea f una funcion de tres variables x, y y z definida en una region del espacio que contienea una superficie S. Entonces la integral de superficie de f sobre S es

¨

S

f(x, y, z)dS

Sea S una superficie parametrizada por r(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)y sea f(x, y, z) es continua sobre S.

Entonces¨

S

f(x, y, z)dS =

¨

R

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥dA

Si z = g(x, y) es la ecuacion de una superficie S, entonces r(u, v) =(u, v, g(u, v)

)parametriza a S y

¨

S

f(x, y, z)dS =

¨

S

f(u, v, g(u, v)

)√

1 + [gu(u, v)]2 + [gv(u, v)]2dA

Cuando f(x, y, z) = 1 la integral de superfice nos lleva a¨

S

f(x, y, z)dS =

¨

S

dS = Area(S)

Suponga que ρ(x, y, z) representa la densidad de una superficie S en el punto (x, y, z), o la masa por unidadde area de superficie. Entonces la masa m de la superficie es

m =

¨

S

ρ(x, y, z)dS

99





Ejemplo 173. Determine la masa de la superficie del paraboloide z = 1 + x2 + y2 en elprimer octante para 1 ≤ z ≤ 5 si la densidad en el punto P sobre la superficie es directamenteproporcional a la distancia desde el plano xy.

Solucion. No es dificil ver que ρ(x, y, z) = y que la superficie en cuestion tiene unaecuacion de la forma z = g(x, y) = 1 + x2 + y2 Por tanto debemos calcular zx = yzy = . Por tanto,

m =

¨

S

ρ(x, y, z)dS =

∆

Ejemplo 174. Evalue

¨

S

xz2dS donde S es la porcion del cilindro y = 2x2+1 en el primer

octante acotado por x = 0, x = 2, z = 4 y z = 8.

Solucion. Observe que aquı la superficie S esta dada por y = g(x, z) = 2x2 + 1. Por tantonecesitamos yx = y yz = . Por tanto,¨

S

xz2dS =

∆

Orientacion de una Superfice:

Una superficie suave S es una superficie orientada si existe una funcion normalunitaria continua n definida en cada punto sobre la superficie.

El campo vectorial n(x, y, z) recibe el nombre de orientacion de S.

El campo vectorial n a la superficie S en (x, y, z) puede tomar dos direccionesn(x, y, z) y −n(x, y, z)

Una superficie orientada tiene dos orientaciones.

La cinta de Mobius NOOOO es una superficie orientada

Una superficie S definida por z = g(x, y) tiene una orientacion hacia arribacuando las normales unitarias estan dirigidas hacia arriba y tiene una orienta-cion hacia abajo cuando las normales unitarias estan dirigidas hacia abajo.

100





Si una superficie suave S esta definida implıcitamente por h(x, y, z) = 0 (es decir S es la superficie de nivel 0de h) entonces un campo normal de S es

n =∇h

‖∇h‖ =1

‖∇h‖ (hx, hy, hz)

Integrales de flujo Una de las aplicaciones prin-cipales donde empleamos integrales de superficiees cuando estudiamos el flujo F a traves de unasuperficie S. (pensemos en un campo F que atra-viesa a S)

(compnF)∆S = (F · n)∆S,

Definicion 72. (Integral de Flujo)Si F(x, y, z) =

(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

)donde P , Q y R tienen primeras derivadas

parciales continuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal n.La integral de flujo de F a traves de S esta dada por

Flujo =

¨

S

(F · n)dS (4.5)

En el caso de una superficie cerrada S, si n es la normal exterior (interior), entonces (4.5) produce el volumendel fluido que fluye hacia fuera (hacia dentro) a traves de S por unidad de tiempo.

Para una superficie parametrizada S dada por la funcion vectorial

r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j+ z(u, v)k

definida sobre una region R del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a traves de S como

Flujo =

¨

S

F · n dS =

¨

R

F · ru × rv‖ru × rv‖

‖ru × rv‖ dA =

¨

R

F · (ru × rv)dA (4.6)

Ejemplo 175. Considere que F(x, y, z) = zj+zk representa el flujo de un lıquido. Determine el flujo de F a travesde la superficie S dada por la parte del plano z = 6− 3x− 2y en el primer octante orientado hacia arriba.

Solucion. Aquı la superficie (el plano) la podemos parametrizar facilmente porr(x, y) = (x, y, 6− 3x− 2y). Luego

rx × ry =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0 −3

0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (3, 2, 1), F(x, y, z) = (1, z, z)

Flujo =

¨

S

(F.n)dS =

¨

R

F · (rx × ry)dA =

¨

R

(3 + 3z)dA

∆

101





Ejemplo 176. Sea S la porcion del paraboloide z = 4− x2 − y2 que se encuentra sobre el plano xy, orientado pormedio de un vector unitario normal dirigido hacia arriba. Un fluido de densidad constante ρ fluye a traves de lasuperficie S de acuerdo con el campo vectorial F(x, y, z) = xi+ yj+ zk. Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa atraves de S.

Solucion. Aquı el paraboloide lo podemos parametrizar facilmente por r(x, y) =(x, y, 4− x2 − y2). Luego

rx × ry =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0 −2x

0 1 −2y

∣∣∣∣∣∣∣∣

= F(x, y, z) = (x, y, z)

Luego la tasa o el ritmo de flujo de masa a traves de la superficie S es

Flujo =

¨

S

ρ(F.n)dS = ρ

¨

R

F · (rx × ry)dA =

∆

4.2. Rotacional y Divergencia

Hemos visto que si un campo vectorial de fuerza F es conservativo, entonces puede escribirse como el gradiente deuna funcion potencial φ:

F = ∇φ =(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂x

)

.

El operador diferencial ∇ y el campo vectorial F

∇ =( ∂

∂x,∂

∂x,∂

∂x

)

F(x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k

pueden combinarse de dos modos diferentes: en un caso produciendo otro campo vectorial llamado Rotacional deF y en el otro caso produciendo una funcion escalar llamada la Divergencia de F.

Definicion 73. (Rotacional de un campo vectorial)El rotacional de un campo vectorial F = P i+Qj+Rk es el campo vectorial

rot (F) =(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)

i+(∂P

∂z− ∂R

∂x

)

j+(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

k

NO es necesario memorizar los complicados componentes del campo rotacional de F, basta con interpretar elrotacional F como el producto cruz de ∇ y el vector F: Es decir,

rot F = ∇× F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

(

∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

El campo vectorial F es conservativo si y solo si rot F = 0.

Ejemplo 177. Si F = (x2y3 − z4)i+ 4x5y2zj− y4z6k encuentre el rotacional F,

102





Solucion. ∆

Definicion 74. (Divergencia)La divergencia de un campo vectorial F = P i+Qj+Rk es la funcion escalar

divF =∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

La funcion escalar divF tambien puede escribirse en terminos del operador ∇como un producto punto:

divF = ∇ · F =∂

∂xP (x, y, z) +

∂

∂yQ(x, y, z) +

∂

∂zR(x, y, z)

la divergencia de un campo de velocidades F cerca de un punto P (x, y, z) es elflujo por unidad de volumen.

Si divF > 0 se dice que P es una fuente para F, ya que hay un flujo neto haciafuera del fluido cerca de P .

Si divF > 0, se afirma entonces que P es un sumidero para F, puesto que hayun flujo neto hacia dentro del fluido cerca de P .

Si divF = 0 no hay fuentes o sumideros cerca de P .

El producto punto de ∇ consigo mismo obtenemos un importante operadordiferencial escalar de segundo orden llamado Laplaciano:

∇2 = ∇ · ∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Cuando este operador actua sobre una funcion escalar f(x, y, z) el resultado se denomina laplaciano tridi-mensional,

∇2f =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2

y aparece en matematicas aplicadas en muchas ecuaciones diferenciales parciales. Una de las ecuaciones dife-renciales parciales mas famosas,

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 0

recibe el nombre de ecuacion de Laplace en tres dimensiones.

Ejemplo 178. Si F = xz2i+ 2xy2zj− 5yzk encuentre div F.

Solucion: div F = ∇ · F =

4.3. Teorema de Stokes y Teorema de Divergencia

Recuerde que el Teorema de Green en R2 relaciono

˛

C

=

¨

R

donde C = frontera(R), ahora vamos a ver que el

Teorema de Green en R3 relaciona

˛

C

=

¨

S

donde C = frontera(S).

103





Teorema 75. (Teorema de Stokes)Sea S una superficie con orientacion n acotada por una curva C cerrada simple. Sea


un campo vectorial diferenciable en una region abierta del espacio tridimensional quecontiene a S. Si C se recorre en la direccion positiva, entonces

˛

C

F · dr =

¨

S

(rot F) · n dS. (4.7)

Si S1 y S2 dos superficies diferentes con la misma orientacion ycon la misma frontera C, entonces

˛

C

F · dr =

¨

S1

(rot F) · ndS =

¨

S2

(rot F) · ndS

Ejemplo 179. Evalue

˛

C

zdx+xdy+ydz donde C es la traza del cilindro x2+y2 = 1

en el plano y+ z = 2. Oriente C en el sentido contrario al de las manecillas del relojcuando se observe desde arriba.

Solucion. Aquı F(x, y, z) = (z, x, y) y la superficie (el plano) la podemos parametrizarfacilmente por r(x, y) = (x, y, 2− y). Luego,

rx × ry =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0 0

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (0, 1, 1) rot F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

z x y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (1, 1, 1)

Por tanto,

˛

C

F · dr =

¨

S

(rot F · n)dS =

¨

R

rot F · (rx × ry)dA = 2

¨

R

dA = 2π

∆

Teorema de la Divergencia

Este importante teorema da la relacion entre

¨

S

=

˚

D

donde S = frontera(D).

Se supone que D es una region solida sobre la cual se evaluauna integral triple, y que la superficie cerrada S esta orien-tada mediante vectores normales unitarios dirigidos haciael exterior, como se muestra en la figura. Con estas restric-ciones sobre S y D, el teorema de la divergencia es comosigue.

104





Teorema 76. (Teorema de la Divergencia)Suponga que D un solido acotado en el espacio tridimensional con una frontera suaveS que esta orientada hacia arriba. Sea


un campo vectorial diferenciable en una region abierta del espacio tridimensional quecontiene a D. Entonces

‹

S

(F · n)dS =

˚

D

(div F)dV. (4.8)

donde n es una normal unitaria hacia fuera para S.

El teorema de la divergencia tambien se cumple para una region D acotada entredos superficies cerradas tal como las esferas concentricas Sa y Sb; la superficiefrontera S de D es la union de Sa y Sb En este caso,

ˆ

S

(F · n)dS =

˚

D

div FdV

se convierte en¨

Sb

(F · n)dS +

¨

Sa

(F · n)dS =

˚

D

div FdV

donde n apunta hacia fuera de D. En otras palabras, n apunta alejandose delorigen sobre Sb, pero n apunta hacia el origen sobre Sa.

Ejemplo 180. Evalue

¨

S

(F · n)dS, donde S es el cubo unitario definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 y

F = xyi+ y2zj+ z3k.

Solucion. En lugar de evaluar seis integrales de superficie, aplicamos el teorema de la divergencia. Puesto quedivF = ∇ · F = y + 2yz + 3z2 luego,

¨

S

(F · n)dS =

˚

D

(y + 2yz + 3z2)dV =

ˆ 1

0

ˆ 1

0

ˆ 1

0

(y + 2yz + 3z2)dxdydz = 2

∆

Ejemplo 181. Sea D una region cerrada acotada por el hemisferio x2 + y2 + (z − 1)2 = 9, 1 ≤ z ≤ 4, y el planoz = 1 Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = xi+ yj+ (z − 1)k.

Solucion.

La integral triple: Puesto que F = xi + yj + (z − 1)k vemos quedivF = 3. En consecuencia,

˚

D

div FdV =

˚

D

3dV = 3

˚

D

dV = 54π (4.9)

En el ultimo calculo, aprovechamos el hecho de que

˚

D

dV produce el

volumen del hemisferio.

La integral de superficie: Escribimos

¨

S

=

¨

S1

+

¨

S2

donde S1 es el hemisferio y S2 es el plano z = 1. Si S1

es una superficie de nivel de h(x, y, z) = x2 + y2 +(z− 1)2 entonces una normal unitaria que apunta hacia arriba es

n =∇h

‖∇h‖ =xi+ yj+ (z − 1)k√

x2 + y2 + (z − 1)2=

x

3i+

y

3j+

z − 1

3k

105





Ahora,F · n = 3

y por ello con la ayuda de coordenadas polares obtenemos

ˆ

S1

(F · n)dS =

¨

R

3( 3√

9− x2 − y2dA)

= 9

ˆ 2π

0

ˆ 3

0

(9− r2)−1/2rdrdθ = 54π

Sobre S2, tomamos n = −k de modo que F · n = −z + 1. Pero, como z = 1,

¨

S2

(−z + 1)dS = 0. Por consiguiente,

vemos queˆ

S

(F · n)dS = 54π + 0 = 54π

∆

106

Modulo III

Introduccion a las ecuacionesdiferenciales

Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problemade resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas,

x2 + 3x+ 2 = 0

x+ 2y + 3 = 0

3x+ 5y − 2 = 0

y tambien tenemos una idea clara de lo que es una solucion aun cuando en muchos casos no podemos encontrarla,como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.

En las ecuaciones anteriores pueden representarse

F (x) = 0

F1(x, y, z) = 0

F2(x, y, z) = 0

Si la ecuacion tiene mas de una variable, digamos x1, x2, . . . , xn entonces quedarıa definida como una expresion deltipo F (x1, x2, . . . , xn) = 0. Utilizando el lenguaje del calculo diferencial podemos escribir ecuaciones donde aparezcauna funcion f : R → R, su variable x, y derivadas de diferentes ordenes de f como por ejemplo:

1. f ′(x)− 3 = 0

2. 8f ′′(x) + 6f ′(x) + 3f(x) + 2 = 0

3. f (4)x) + f(x) = 0

4.(f ′′(x)

)3+ 2xf(x) + senx = 0

todas estos ejemplos son ecuaciones del tipo F(

x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x))

= 0 y son llamadas ecuaciones diferencia-

les ordinarias. Podemos tambien escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde aparezcan dos o mas funcionesde una misma variable como por ejemplo:

f ′(x)− f(x) + q(x) = 0

q′(x)− f(x)q(x) = 0Sistema de primer orden (una sola variable)

Ahora consideremos una funcion f : Rn → R, sus variables y derivadas parciales de diferentes ordenes

1. para f(x, y, z), considere∂f

∂x+ 2x

∂2f

∂y2+

∂f

∂z= 0

2. para f(x, y), considere∂2f

∂x+

∂2f

∂y2+ f = 0

3. para f(x, y, z, w), considere∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= k

∂2f

∂w2

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales y tambien en este caso el orden de la ecuacionse define como el orden de la mayor derivada que aparezca.

107





5.1. Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Para hablar acerca de ellas clasificaremos a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden, y linealidad:

Clasificacion por Tipo: Si una ecuacion diferencial involucra solo derivadas de variables que dependan de unavariable independiente, se dice que es una ecuacion diferencial ordinaria (EDO).

my′′ + ky = 0

xd3y

dx3+ (cosx)

(dy

dx

)4

+ y =√x+ 1.

dx

dt+

dy

dt= 2x+ y.

d2y

dx− dy

dx+ 6y = 0

Una ecuacion que involucra derivadas parciales de variables que dependen de mas de una variable independiente sellama ecuacion en derivadas parciales (EDP).

α2 ∂2u

∂x2=

∂u

∂t

∂u

∂u= −∂v

∂x∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

Orden de la ecuacion: El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la mayor derivada de las variablesdependientes. El orden es diferente a grado, este ultimo es algebraico. En consecuencia, tendremos ecuacionesdiferenciales de primer orden (aparece hasta la primera derivada), de segundo orden (aparece hasta la segundaderivada), ..., etc.

1. mx′′ + kx = 0 segundo orden

2. α2 ∂2u(x, t)

∂x2=

∂u(x, t)

∂tsegundo orden

3. xd3y

dx3+ (cosx)

(dy

dx

)4

+ y =√x+ 1 tercer orden.

Linealidad: Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n es lineal en la variable y = y(t), si tiene la forma

an(t)y(n) + an−1(t)y

(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t) (5.1)

para lo cual debe cumplir: 1) la variable y y todas sus derivadas son de grado uno, y 2) los coeficientes ak parak = 0, 1, 2, ..., n de la variable y y todas sus derivadas son funciones de la variable independiente, que en este casoes t. Ejemplos:

1. ax′′ + bx′ + cx = g(t) es una ecuacion lineal de orden dos, con coeficientes constantes.

2. yy′ + x = 0, no es una ecuacion lineal.

3. y′′ + 2ty3 = et no es lineal.

Cantidad de variables dependientes. Cuando el problema tiene solo una variable dependiente, este se puededescribir con una ecuacion diferencial y cuando hay mas de una variable dependiente, tendremos un sistema deecuaciones diferenciales. Es de anotar, que aunque la ecuacion lineal (5.1) de orden n involucra aparentemente unavariable dependiente, esta ecuacion se puede escribir como un sistema mediante las sustituciones x1 = y, x2 = y′,..., xn = y(n−1). En efecto,

x′1 = x2

x′2 = x3

......

...

x′n =

1

an(t)(−a0(t)x1 − a1(t)x2 − ...− an−1(t)xn + f(t))

108





5.2. Solucion de una ecuacion diferencial

Definicion 77. (Solucion de una ecuacion diferencial)Una solucion de la ecuacion diferencial

F(

t, y(t), y′(t), . . . , y(n)(t))

= 0 (5.2)

en un intervalo abierto I es una funcion real y = f(t) definida explıcitamente oimplıcitamente en I, tal que f ′(t), ..., f (n)(t) existen y F (t, f(t), f ′(t), ..., f (n)(t)) = 0para todo t en I.

Ejemplo 182. La ecuacion diferencialdy

dt+

t

y= 0 tiene dos soluciones implıcitas determinadas en la relacion

t2 + y2 = 1 y definidas en el intervalo I = (−1, 1). Estas son y = f(t) = ±√1− t2.

Al problema

Resolver: F (t, y, y′, ..., y(n)) = 0,

Sujeta a: y(t0) = y00 , y′(t0) = y10 , · · · y(n−1)(t0) = yn−10

(5.3)

se le llama problema de valor inicial. Consiste en conocer una funcion que satisface (5.2) y ademas esta funcionhasta su (n− 1) derivada en el punto t0 tienen unos valores predeterminados.

Al problema

Resolver: F (t, y, y′, . . . , y(n)) = 0,

Sujeta a: y(t0) = y0, y(t1) = y2, . . . , y(tn−1) = yn−1.(5.4)

se le llama problema de valor en la frontera. Consiste en conocer una funcion que satisface (5.2) y esta funcionen n puntos distintos tiene unos valores predeterminados.

La solucion general de una ecuacion diferencial de orden n es una funcion f que involucra n constantes o parametros(familia n parametrica de funciones). La solucion de un problema de valor inicial (5.3) o de un problema de valoren la frontera (5.4) es una solucion particular (una situacion donde los n parametros quedan establecidos).

Teorema 78. (Existencia y Unicidad)El problema de valor inicial

Resolver: y′ = f(t, y),

Sujeta a: y(t0) = y0

para una ecuacion de primer orden tiene solucion local, si f es continua en una

vecindad abierta A del punto (t0, y0), y la solucion es unica si ademas∂f

∂yes continua

en A.

Si este teorema se cumple en todo punto de una region R del plano ty , entonces las soluciones o curvas integralesno se cortan en ningun punto de R.

Ejemplo 183. Enfriamiento o calentamiento de objetos. Newton observo, que al colocar un objeto frıo ocaliente en un medio donde la temperatura permanece constante, este ganaba o perdıa temperatura respectivamentehasta obtener la temperatura del medio equilibradose termicamente (ley cero de la termodinamica). Ademas, larapidez de cambio de la temperatura del objeto dependıa de la diferencia de temperaturas del objeto y del medio.

Hipotesis: la variacion de la temperatura del objeto en un tiempo t es directamente proporcional a ladiferencia de temperatura del objeto y la del medio en ese mismo instante.

Variables:

T : temperatura del objeto (variable dependiente).

109





t: tiempo (variable independiente).

Tm: temperatura del medio (parametro).

k: constante de proporcionalidad (parametro).

Ecuacion:dT

dt= k(T − Tm).

Ejemplo 184. Crecimiento exponencial de la poblacion. En medios generosos, abundantes, con poblacionespequenas, etc., el crecimiento de la poblacion varia de acuerdo al tamano de la poblacion: a mayor poblacion, surapidez de crecimiento tambien es mayor.

Hipotesis: la variacion de la poblacion en un tiempo t es directamente proporcional al tamano de la poblacionen ese mismo instante.

Variables:

P : tamano de la poblacion (variable dependiente).


k: constante de proporcionalidad (parametro).

Ecuacion: P ′(t) = kP (t). Como la funcion cuya derivada es multiplo escalar de ella misma es la funcionexponencial, entonces la solucion general de esta ecuacion diferencial es P (t) = Cekt.

Ejemplo 185. El modelo logıstico de poblacion. En medios generosos, abundantes, con poblaciones pequenas,etc., el crecimiento de la poblacion varia de acuerdo al tamano de la poblacion: a mayor poblacion, su rapidez decrecimiento tambien es mayor. Pero para poblaciones grandes, esta disminuye por saturacion.

Hipotesis: 1) Para poblaciones pequenas, la variacion del tamano de la poblacion en un tiempo t es directa-mente proporcional al tamano de la poblacion en ese mismo instante. 2) Para poblaciones grandes, el tamanode la poblacion disminuye proporcionalmente a la cantidad de pobladores, permanece constante o aumentamuy lentamente.

Variables:

P : tamano de la poblacion (variable dependiente).


k: constante de proporcionalidad (parametro positivo).

M : capacidad de soporte del medio (numero de pobladores que puede albergar el medio).

Ecuacion: P ′ = kP (1 − P/M). Noten que el factor 1 − P/M determina el signo dedP

dt, el cual es negativo

si P > M (luego P decrece), es cero si P = M (luego P no cambia) y es positivo si P < M (luego P crece).

5.3. Tecnica analıtica: Variables separables y ecuaciones lineales

Una ecuacion diferencial de primer orden es una ecuacion

dy

dx= f(x, y) (5.5)

en la que f(x, y) es una funcion de dos variables definida en una region del plano xy. La ecuacion es de primerorden, ya que solo incluye la primera derivada dy

dx (y no a derivadas de orden superior).

Una solucion de la ecuacion (5.5) es una funcion diferenciable y(x) definida en un intervalo I (tal vez infinito)de valores de x, tal que y′(x) = f(x, y).

La solucion general siempre incluye una constante arbitraria, pero el que tenga esta propiedad no significaque dicha solucion sea la solucion general.

110





La solucion particular es la solucion y = y(x) que satisface la condicion inicial y(x0) = y0.

La grafica de la solucion particular pasa por el punto (x0, y0) en el plano xy.

Ejemplo 186. Demostrar que la funcion y = (x + 1) − 13e

x es una solucion delproblema de primer orden con valor inicial

dy

dx= y − x y(0) =

2

3

SOL: Observemos que dydx = 1− 1

3ex. Por otro lado, tenemos

y − x = ((x+ 1)− 1

3ex)− x = 1− 1

3ex

La funcion satisface la condicion inicial, ya que y(0) = 1− 13 = 2

3

Campos de pendientes: visualizacion de las curvas solucion

Cada vez que especificamos una condicion inicial y(x0) = y0 para la solucion de una ecuacion diferencial necesitamosque la curva solucion (grafica de la solucion) pase por el punto (x0, y0) y tenga pendiente en ese punto. Podemosrepresentar estas pendientes dibujando pequenos segmentos de recta de pendiente de f(x, y). Cada segmento tienela misma pendiente que la curva solucion que pasa por (x, y) y, por lo tanto, es tangente a la curva en ese punto. Eldibujo resultante se denomina campo de pendientes (o campo de direcciones), y proporciona una visualizacionde la forma general de las curvas solucion.

La siguiente figura muestra tres campos de pendientes, lo que nos permite ver como se comportan las curvas solucionsiguiendo los segmentos de recta tangentes en estos campos.

111





NOTA: La construccion de un campo de pendientes con lapiz y papel puede ser una tarea muy tediosa. Todosnuestros ejemplos fueron generados por medio de computadora. Aunque las ecuaciones diferenciales generales sondifıciles de resolver, muchas ecuaciones importantes pueden resolverse mediante tecnicas especiales. Una de estastecnicas es la de variables separables (ecuaciones separables).

Ecuaciones diferenciables separables

La ecuacion y′ = f(x, y) es separable si f puede expresarse por medio de factorizaciones o sustituciones de lasiguiente forma

dy

dx=

g(x)

h(y)

su forma diferencial nos permite agrupar todos los terminos y con dy, y todos los terminos x con dx:

h(y)dy = g(x)dx integramos ambos lados

ˆ

h(y)dy =

ˆ

g(x)dx

La justificacion de que podemos simplemente integrar ambos miembros (lados) es porque

ˆ

h(y)dy =

ˆ

h(y(x))dy

dxdx =

ˆ

h(y(x))g(x)

h(y(x))dx =

ˆ

g(x)dx

La tecnica de separacion de variables presenta algunas dificultades como: Calculo de antiderivadas. Por lo tanto,

solo se obtiene una solucion explıcita de y′ = g(xh(y) si las funciones h y g se puedan integrar con facilidad.

Ejemplo 187. Resolver la ecuacion diferencialdy

dx= (1 + y2)ex.

SOL: Como 1 + y2 nunca es cero, podemos resolver la ecuacion separando las variables.

dy

dx= (1 + y2)ex ⇒ dy = (1 + y2)exdx ⇒ dy

(1 + y2= exdx

Integrando tenemosˆ

dy

(1 + y2=

ˆ

exdx ⇒ tan−1 y = ex + C

Esta ultima ecuacion da y como una funcion implıcita de x. Cuando −π/2 < ex + C < π/2 podemos despejar ycomo una funcion explıcita de x:

tan(tan−1 y) = tan(ex + C) ⇒ y = tan(ex + C)

Ejemplo 188. Encontrar la ecuacion de la curva que pasa a traves del punto(1, 3) y tiene pendiente de y/x2 en cualquier punto (x, y).

112





Ecuaciones lineales

Definicion 79. (Ecuacion Lineal)Una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = g(x) (5.6)

se dice que es una ecuacion lineal en la variable dependiente y

Al dividir ambos lados de la ecuacion (5.6) entre el primer coeficiente, a1(x), se obtiene una forma mas util, laforma estandar de una ecuacion lineal:

dy

dx+ P (x)y = f(x) (5.7)

Buscamos una solucion de la ecuacion (5.7) en un intervalo I, en el cual las dos funciones P y f sean continuas.Considerando el factor integrante podremos resolverla facilmente. Este factor viene dado por

µ(t) = e´

p(t)dt

Multiplicando (5.7) por el factor µ(t) se obtiene

(dy

dt+ P (t)y

)

e´

p(t)dt = f(t)e´

p(t)dt de donde

d

dt

[

ye´

p(t)dt]

= f(t)e´

p(t)dt.

Integrando esta ultima expresion se llega a la solucion general de la ecuacion lineal

ye´

P (t)dt =

ˆ (

f(t)e´

p(t)dt)

dt+ c

la cual tiene tambien inconvenientes de procesos de integracion (calculo de antiderivadas).

Ejemplo 189. Resuelvady

dx− 3y = 6.

Solucion: La ecuacion esta ya en la forma estandar y′+p(x)y = f(x) y el factor integrante es e´

(−3)dx = e3x. Ahoraal multiplicar la ecuacion dada por este factor se obtiene

e−3x dy

dx− 3e−3xy = 6e−3x, equivalente

d

dx[e−3xy = 6e−3x]

Integrando ambos lados de la ultima ecuacion se obtiene e−3xy = −2e−3x + C o y = −2 + ce3x, −∞ < x < ∞

Ejemplo 190. Resuelva xdy

dx− 4y = x6ex.

Solucion: Dividiendo entre x, obtenemos la forma estandar xdy

dx− 4

xy = x5ex. En esta forma identificamos a

P (x) = −4/x y f(x) = x5ex y ademas vemos que P y f son continuas en (0,∞). Por tanto el factor integrante es

113





Ejemplo 191. Determine la solucion general de (x2 − 9)dy

dx+ xy = 0.

Ecuaciones autonomas

Definicion 80. (Ecuacion Autonomas)Una ecuacion diferencial de primer orden en la que la variable independiente no apa-rece explıcitamente se llama autonoma Una ecuacion de este tipo tiene la forma

dy

dx= f(y). (5.8)

Ejemplo 192. Ecuaciones diferenciales autonomas.

1.dA

dt= kA

2.dx

dt= kx(n+ 1− x)A

3.dA

dt= 7− 1

3A

4.dT

dt= k(T − Tm)

Ejemplo 193. En la ecuacion autonomady

dt= y2(1− y)(y + 2), la funcion f(y) = y2(1− y)(y + 2) tiene grafica

Vemos que la funcion f se anula en −2, 0, 1; es negativa en los intervalos(−∞,−2), (1,+∞) y es positiva en (−2, 0),(0, 1). En consecuencia, esta ecuacion tiene equilibrios en y = −2 (fuente), en y = 0 (nodo) y en y = 1 (sumidero).

Aplicaciones

Veamos algunas aplicaciones simples.

1. Modelo logıstico de poblaciones

114





El modelo logıstico de poblacion viene dado pordP

dt= kP (1−P/M), donde M es la capacidad de soporte del medio

y k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuacion es no lineal, pero es autonoma y por lo tanto separable.Separando variables e integrando se obtiene:

ˆ

MdP

P (M − P )= k

ˆ

dt+ c1 ln

(P

M − P

)

= kt+ c1 P (t) =cM

e−kt + c

La condicion incial P (0) = 0 implica c = 0 y por lo tanto obtenemos la solucion de equilibrio P (t) = 0. Si P (0) = M ,entonces no hay solucion del proceso de integracion (separacion de variables), pues llegamos a la contradiccion 1 = 0.

Si P (0) = M/2, entonces c = 1 y por lo tanto obtenemos la solucion creciente P (t) =M

e−kt + 1que tiende a M

cuando t → ∞.

Desde el punto de vista cualitativo, si tomamosdP

dt= f(P ) = kP (1 − P/M), vemos que f es una parabola que

abre hacia abajo y se anula en P = 0,M ; luego las soluciones de la ecuacion logıstica son crecientes en el intervalo(0,M), son decrecientes en los intervalos (−∞, 0), (M,+∞) y tiene dos soluciones de equilibrios en P (t) = 0 (unafuente) y en P (t) = M (un sumidero). Ver Figura 5.1.

Figura 5.1: Lınea de fase y esbozo de las soluciones de la ecuacion logısticadP

dt= kP (1− P/M).

5.4. Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Definicion 81. (Ecuaciones diferenciales de segundo orden)Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden es una ecuacion de la forma

a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y = g(t) (5.9)

donde a, b, c y g son funciones de valor real y a(t) no es identicamente nula.

Recordemos que las funciones a, b y c son llamados los coeficientes.

Si el coeficiente a(t) = 1 para todo t, entonces la ecuacion (5.9) se dice que esta normalizada.

Cuando a(t) 6= 0 para todo t en un intervalo abierto I, la ecuacion (5.10) puede siempre ser normalizadadividiendo ambos lados por a(t) y obtenemos

y′′ + p(t)y′ + q(t)y = R(t) (5.10)

El miembro del lado derecho R(t) se le conoce como el termino no homogeneo.

115





Entre las propiedades mas importantes de la ecuacion (5.10) esta la interesante relacion que existe entre sus solu-ciones y las soluciones de la correspondiente ecuacion homogenea, es decir la ecuacion

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (5.11)

La relacion es la siguiente: Si Y0 es la solucion general de (5.11) en I y yp es una solucion cualquiera de (5.10)en I entonces

Y (x) = yp(x) + Y0(x)

es la solucion general de (5.10) en el intervalo I.

Habiendo hecho esta abstraccion, el problema de resolver la ecuacion (5.10) se convierte en el de resolver (5.11) yencontrar una solucion cualquiera de (5.10). Antes de proceder al estudio de las soluciones de las ecuaciones lineales,conviene que veamos bajo que condiciones podemos garantizar que estas existen.

Teorema 82. (Existencia y unicidad)Sean t0 ∈ [a, b], y0, y

′0 ∈ R. Si las funciones p, q y R son continuas en [a, b], entonces existe

una unica solucion y = f(t) en [a, b] al problema

Resolver: y′′ + p(t)y′ + q(t)y = R(t),

Sujeta a: y(t0) = y0, y′(x0) = y′0

La grafica de dicha solucion y = f(t) en el plano R2 es una curva suave en (t0, y0) con

pendiente y′0.

Ası, bajo las hipotesis de este teorema, dado cualquier punto en la franja del plano entre los puntos a y bexiste una solucion que pasa por el. (posiblemente infinitas)

Si a la solucion le pedidos que pase por el punto y que tenga una determinada pendiente en ese mismo punto,entonces la solucion sera unica.

La ecuacion Homogenea

Es muy facil verificar que si y1 y y2 son soluciones de la ecuacion homogenea entonces, para cualquier pareja deconstantes reales c1 y c2, la funcion y = c1y1 + c2y2 tambien es solucion. En algebra lineal la expresion c1y1 + c2y2se conoce como una combinacion lineal de y1 y y2. Dos funciones y1, y2 definidas sobre un intervalo abierto I, sonllamadas linealmente dependientes sobre I, si existen constantes c1 y c2, no ambas nulas tales que

c1y1(t) + c2y2(t) = 0 para todo t ∈ I,

y son linealmente independientes sobre I si ellas no son linealmente dependientes; esto es, la relacion

c1y1(t) + c2y2(t) = 0 para todo t ∈ I

implica que c1 = c2 = 0.

Proposition 83. Si y1(t) e y2(t) son soluciones cualesquiera de la ecuacion homogenea

y′′ + p(t)y + q(t)y = 0,

entonces c1y1(t) + c2y2(t) tambien es solucion para todo par de constantes c1 y c2.

Demostracion. Es inmediato de la linealidad de la derivada. (c1y1 + c2y2)′′ + P (c1y1 + c2y2)

′ + Q(c1y1 + c2y2) =c1(y

′′1 + Py′1 +Qy1) + c2(y

′′2 + Py′2 +Qy2) = 0.

116





Pregunta ¿Es c1y1 + c2y2 la solucion general de la ecuacion? esto es, ¿sera que dada y una solucion cualquiera sepueden encontrar constantes c1 y c2 tales que y = c1y1 + c2y2?.

Resp. Apelemos al teorema de existencia y unicidad para dar respuesta a por esta pregunta. Por este sabemos quetoda solucion y esta determinada por el valor y(t0) = y0 (esto es, c1y1(t0) + c2y2(t0) = y0) y por y′(t0) = y′0 (estoes, c1y

′1(t0) + c2y

′2(t0) = y′0).

Cumpliendose esto, la solucion c1y1 + c2y2 coincide con la funcion y en el punto t0 y entonces, por la unicidad debecoincidir con ella en todo punto del intervalo [a, b]. Veamos entonces que esto sucede si el siguiente sistema tienesolucion:

c1y1(t0) + c2y2(t0) = y0

c1y′1(t0) + c2y

′2(t0) = y′0

tiene solucion si

∣∣∣∣∣∣

y1(t0) y2(t0)

y′1(t0) y′2(t0)

∣∣∣∣∣∣

= [y1y′2 − y2y

′1](t0) 6= 0

La funcion W (t) = [y1y′2 − y2y

′1](t) es conocida como el Wronskiano de la funciones y1 y y2. Ası pues, tenemos que

c1y1 + c2y2 sera la solucion general de la ecuacion homogenea (5.11) si W (t) 6= 0 para t ∈ [a, b]. A continuacionveremos que esto sera posible si y solo si y1 y y2 son funciones linealmente independientes.

Definicion 84. (El Wronskiano)Sean y1, y2 soluciones de la ecuacion homogenea (5.11). El Wronskiano con respecto a y1 ey2, se define como

W (t) =

∣∣∣∣∣∣

y1(t) y2(t)

y′1(t) y′2(t)

∣∣∣∣∣∣

= y1(t)y′2(t)− y2(t)y

′1(t)

Observe que W es una funcion definida sobre el intervalo I.

Observemos que si y1 y y2 son soluciones de la ecuacion homogenea entonces para todo t ∈ [a, b]

y′′1 + p(t)y′ + q(t) = 0

y′′1 + p(t)y′ + q(t) = 0

(−) y2y′′1 + p(t)y2y

′1 + q(t)y2 = 0

y1y′′2 + p(t)y1y

′2 + q(t)y1 = 0

y1y′′2 − y2y

′′1 + p(t)(y1y

′2 − y2y

′1) = 0

W ′(t) + p(t)W (t) = 0

Por tanto,

W (t) = ce´

t p(s)ds

y esta funcion se anula solo cuando c = 0.

El siguiente teorema da un criterio simple para determinar cuando dos soluciones son linealmente independientessobre un intervalo.

Teorema 85. Dos soluciones y1(t) e y2(t) de la ecuacion (5.11) son linealmente indepen-dientes en I si y solo si W (t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].

Demostracion. (⇒) (contradiccion) supongamos y1 y y2 son l.i y que que W (t) = 0, como y1, y2 son l.i entoncesy1, y2 6= 0 luego

0 =W (t)

y21=

y1y′2 − y2y

′1

y21=

d

dt

(y2y1

)

es decir, que y2 = ky1 lo cual no es posible porque y1, y2 son l.i.

⇐ (contradiccion) supongamos que W (t) 6= 0 y que y1, y2 son l.d. es decir que y2 = ky1 para todo t ∈ [a, b]. LuegoW (t) = y1y

′2 − y2y

′1 = ky1y

′1 − ky1y

′1 = 0 esto no es posible pues por hipotesis W (t) 6= 0.

117





Solucion general

Teorema 86. (Solucion general Homogeneo)Sean y1 e y2 soluciones linealmente independientes de la ecuacion homogenea y′′+p(t)y′+q(t)y = 0en un intervalo [a, b]. Entonces la solucion general a este ecuacion homogenea esta dado por

Gen{y1, y1}

Es decir, si Yc es cualquier solucion de y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 entonces existen constante c1 y c2tal que

Yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (5.12)

Hemos visto que a partir de dos soluciones linealmente independientes se pueden obtener todas las solucionesde la ecuacion (5.11). En algunos casos este par de soluciones puede encontrase por pura inspeccion, sinembargo esto no es siempre posible.

Vamos a ver un metodo general para resolver la ecuacion (5.11), pero aplicable solamente cuando los coefi-cientes p(t) y q(t) son funciones constantes. Cuando estos coeficientes NO son constantes el problema es masdifıcil y no se ha podido obtener una formula general para las soluciones de la ecuacion diferencial.

Teorema 87. (Solucion General)Si yc(t) es la solucion general de la ecuacion homogenea y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 en [a, b] y si yp(t)es una solucion particular de la ecuacion y′′ + p(t)y′ + q(t)y = R(t) en [a, b], entonces

Y (t) = yc(t) + yp(t)

es la solucion general de y′′ + p(t)y′ + q(t)y = R(t) en el intervalo [a, b].

Demostracion. Si y(t) es una solucion cualquiera de la ecuacion no-homogenea, entonces

(y − yp)′′ + P (y − yp)

′ +Q(y − yp) = R−R = 0.

Luego, y − yp es solucion de la ecuacion homogenea y por lo tanto yc = y − yp para unos valores de c1 y c2 en yc,con lo cual se demuestra el teorema.

Teorema 88. (Reduccion del orden)Sea y1 una solucion no trivial (no nula) de la ecuacion homogenea (5.11) en un intervalo [a, b].Entonces la transformacion

y2(t) = y1(t)u(t)

reduce la ecuacion homogenea (5.11) de orden dos a una ecuacion diferencial lineal de primer orden

en la variable w =du

dt. Ademas,

u(t) =

ˆ

e−´

P (t)dt

y21(t)dt

e y2(t) es otra solucion de (5.11) en el intervalo I linealmente independiente con y1(t) en [a, b].

Demostracion. Si se define y2 = uy1, se tiene que y′2 = uy′1 + y1u′ , y′′2 = uy′′1 + 2y′1u

′ + y1u′′ entonces

y′′2 + Py′′2 +Qy′2 = u[y′′1 + Py′1 +Qy1] + y1u′′ + (2y1 + Py1)u

′ = 0

Esto implica que se debe tener y1w′ + (2y1 + Py1)w = 0 donde w = u′. Observe que la ultima ecuacion en es tanto

lineal como separable.

dw

w+ 2

y′

ydx+ Pdx = 0 ln |wy2| = −

ˆ

Pdx+ c wy2 = c1e−´

Pdt

118





Despejamos a w de la ultima ecuacion, usamos w = u′ e integrando nuevamente

w = u′ =c1e

−´

Pdt

y2u = c1

ˆ

e−´

Pdt

y2dt+ c2

Eligiendo c1 = 1 y c2 = 0, se encuentra de y2 = u(t)y1(t) que una segunda solucion de la ecuacion (5.11).

5.5. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

La ecuacion (5.10) es una ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes si las funciones a(t) = a, b(t) = b yc(t) = c son constantes y a 6= 0. En este caso tenemos la ecuacion no homogenea

ay′′ + by′ + cy = g(t) y la ecuacion homogenea ay′′ + by′ + cy = 0

La forma de la ecuacion homogenea sugiere buscar soluciones que satisfagan las ecuaciones y′ = ky y y′′ = k1y. Enese caso tendrıamos que y(x)(ak1 + bk + c) = 0 y, si las constantes k y k1 se escogen tal que ak1 + bk + c = 0. Elhecho de que y′ = ky implica que y(x) = cekx. Sustituyendo esta expresion en la ecuacion y′′ = k1y encontramosque k1 = k2.

Ası concluimos que la funcion y(x) = cekx es solucion si la constante k cumple la ecuacion Ecuacion Caracterısticade la ecuacion diferencial dada por

ak2 + bk + c = 0. (5.13)

Por lo tanto, hay tantas soluciones particulares como raıces tiene la ecuacion cuadratica (5.13), k1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a.

1. Caso: Si k1 y k2 son dos raıces reales distintas de (5.13), obtenemos dos soluciones de la ecuacion homogenea,y1(t) = ek1t e y2(t) = ek2t, y como y1/y2 = e(k1−k2)x no es constante entonces estas dos soluciones sonlinealmente independientes. Por lo tanto la solucion general de la ecuacion homogenea es

yc(t) = c1ek1t + c2e

k2t para todo t real.

2. Caso: Si k1 = k2, obtenemos solo una solucion y1(t) = ek1t. La segunda solucion linealmente independientese obtiene por reduccion del orden, y2(t) = tek1t. Por lo tanto, la solucion general esta dada por

yc(t) = c1ek1t + c2te

k1t para todo t real.

3. Caso: Sea k1 = α+ iβ y k2 = α− iβ. Las soluciones que surgen a partir de estas dos raıces son:

y1(t) = e(α+iβ)t = eαt(cosβt+ i senβt) y2(t) = e(α−iβ)t = eαt(cosβt− i senβt)

Aquı hemos usado la formula de Euler (eiθ = cosθ + i sen θ). Ahora, para encontrar dos soluciones reales,linealmente independientes entre sı, basta notar que

φ1 =y1 + y2

2= eαt cosβt φ2 =

y1 − y22i

= eαt sinβt.

son soluciones pues son combinacion lineal de soluciones y ademas son reales. Por lo tanto

Y (t) = eαt(c1 senβt+ c2 cosβt)

es la solucion general de la ecuacion homogenea.

119





Ecuacion no homogenea: Variacion de parametros

En el Teorema 87 vimos que la solucion general de la ecuacion no homogenea

y′′ + p(t)y′ + q(t)y = R(t)

esta dada por la expresion Y (t) = yc(t) + yp(x) cuando se conoce la solucion general de la ecuacion homogenea,para encontrar la solucion general de la no homogenea solo resta encontrar una solucion cualquiera de esta ultima.

Existen varios metodos para encontrar la solucion particular de la ecuacion no homogeea (5.10). Uno de estosmetodos es variacion de parametros que se explica a continuacion.

Sean y1 e y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion homogenea (5.11) en un intervalo abierto I. Elmetodo de variacion de parametros sugiere proponer una solucion particular de la ecuacion (5.10) de la forma

yp = u1y1 + u2y2 (5.14)

como queremos que yp sea solucion de (5.10) tiene que ocurrir que

y′′p + p(t)y′p + q(t)y = R(t) (5.15)

al sustituir (5.14) en (5.15) resultara una ecuacion de segundo orden para u1 y v2. Y asumiendo la restriccionu′1y1 + u′

2y2 = 0 obtenemos el sistema

u′1y1 + u′

2y2 = 0

u′1y

′1 + u′

2y′2 = R(t)

Resolviendolo para u′1 y u′

2 se obtiene que u′1 =

R(t)y2(t)

−W (t)y u′

2 =R(t)y1(t)

W (t)Estas ecuaciones estan bien definidas

pues W (t) 6= 0. Integrandolas, obtenemos la solucion particular que buscamos:

yp(t) = y1(t)

ˆ t

−R(s)y2(s)

W (s)ds+ y1(t)

ˆ t

−R(s)y1(s)

W (s)ds

Ecuaciones lineales como sistemas

La ecuacion diferencial lineal normalizada de segundo orden

y′′ + P (t)y′ +Q(t)y = R(t)

se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la asignacion de variablesy = z, y′ = w. En efecto,

x′ = w

v′ = −Q(t)x− P (t)v +R(t)

x′

v′

=

0 1

−Q(t) −P (t)

x

v

+

0

R(t)

Cuando P (t) yQ(t) son funciones constantes, obtenemos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes

constantes que estudiaremos en una proxima oportunidad. La solucion es la funcion vectorial

(x(t)

v(t)

)

que puede

interpretarse como posicion y la velocidad de una partıcula que se mueve sobre una dimension.

Aplicacion: Un modelo generico

El modelo a resolver para las ecuaciones de segundo orden es la ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantesno homogenea

120





ay′′ + by′ + cy = g(t)

(que tiene asociada la ecuacion homogenea ay′′ + by′ + cy = 0) la cual puede representar entre otros sistemasanalogos:

1. Un circuito LRC en serie, cuando y = q(t) es la carga en el capacitor, a = L es la inductancia en la bobina,

b = R es la resistencia, c =1

Ces el recıproco de la capacitancia y g(t) = E(t) es la FEM.

2. Un sistema masa - resorte amortiguado forzado, cuando y = x(t) es la posicion de la masa, a = m es la masasujeta al resorte, b = β es el factor de amortiguacion del sistema, c = k es la constante elastica del resorte yg(t) = F (t) es una fuerza externa (forzamiento).

Cuando el sistema es subamortiguado, el factor b es pequeno y la expresion externa g(t) es una funcion periodicacon frecuencia similar a la frecuencia natural del sistema se presenta un fenomeno conocido como resonancia.

Cuando b > 0, la solucion general de la ecuacion homogenea asociada yc(t) se le conoce como solucion transitoriadel sistema, puesto que esta desaparece por su factor exponencial e−bt/2. La solucion particular yp(t) se le llama lasolucion estacionaria, debido a que esta es la que perdura despues de un tiempo grande.

121

Modulo III

Ejercicios y Soluciones

1. Ejercicios

1. Determine si la sucesion an converge o diverge. Hallase el lımite de cada sucesion convergente.

a) an =nn

(n+ 1)n

b) an =n+ (−1)n

n

c) an = n(1− cos(1/n))

d) an =1 + lnn

n

e) an =

(n+ 5

n

)n

f ) an = (n+ 4)1/(n+4)

g) an =lnn

n1/n

h) an = n√4nn

i) an =

ˆ n

1

dx

xp, p > 1

j ) an =3n + (−2)n

3n+1 + (−2)n+1

k) an =

(

1− 1

n2

)n

l) an = arctan

(2n

2n+ 1

)

m) an =√n+ 4−√

n

2. Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle lasuma

a)∞∑

n=0

(5

2n+

1

3n

)

b)∞∑

n=1

(

− 3

π

)n

c)∞∑

n=1

5n + 7n

35n

d)∞∑

n=3

(1√n− 1√

n

)

e)∞∑

n=3

1

(4n− 3)(4n+ 1)

f )∞∑

n=1

n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

3. Determine si la serie dada converge o diverge. En cada caso, justifique la respuesta.

a)∞∑

n=0n sin

(1

n

)

b)∞∑

n=0

(

1 +4

n

)n

c)∞∑

n=1(−1)n+1 2

3n

d)∞∑

n=0cos(nπ)

e)∞∑

n=1

sin2(n)

2n

f )∞∑

n=1

1

1 + ln(n)

g)∞∑

n=1

1

n√n

h)∞∑

n=1

(n+ 1)(n+ 2)

n!

i)∞∑

n=1n2e−n

j )∞∑

n=1

arctan(n)

1 + n2

k)∞∑

n=1

1

n!

l)∞∑

n=1

nn

10n

m)∞∑

n=1

(1

n− 1

n2

)n

n)∞∑

n=1

n2n(n+ 1)!

3nn!

n)∞∑

n=141/n

o)∞∑

n=2

(n!)2

(2n)!

p)∞∑

n=1

n!

nn

q)∞∑

n=1

n! lnn

n(n+ 2)!

4. Determine si la serie dada converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

a)∞∑

n=1(−0.5)n

b)∞∑

n=1(−1)n

lnn

n

c)∞∑

n=1(−1)n

42/n

n!

d)∞∑

n=1(−1)n

n

6n− 5

e)∞∑

n=1(−1)n

n(n+ 1)

(n+ 2)3

f )∞∑

n=1(−1)n

√n

n+ 1

g)∞∑

n=1(−1)n

nn

n!

h)∞∑

n=1(−2)n

1

n!

i)∞∑

n=1(−1)n

n3

n4 + 1

122





j )∞∑

n=1(−1)n

2√2n+ 1

k)∞∑

n=1(−1)n

(2n+ 1√3n+ 1

)n

l)∞∑

n=1(−1)n

1

n2 lnn

m)∞∑

n=1

sin(nπ

2

)

n

n)∞∑

n=1

sin(nπ

2

)

n2

n)∞∑

n=1(−1)n

2n

n2 + 3n+ 1

o)∞∑

n=1(−1)n

32n+1

n2n

2. Ejercicios

1. Encuentre el lımite (si existe). Si no existe, explique porque no existe.

a) lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x+ yb) lım

(x,y)→(0,0)

x2 − y2

y2 − x2

c) lım(x,y)→(1,1)

xy − 1

1 + xyd) lım

(x,y)→(2,2)

x2 − y2

x− y

e) lım(x,y)→(0,0)

sin(x2 + y2)

x2 + y2f ) lım

(x,y)→(0,0)

(x− y)2

x2 + y2

g) lım(x,y)→(0,0)

3x3 − 2x2y + 3y2x− 2y3

x2 + y2h) lım

(x,y)→(1,1)

(x3 − 1)(y4 − 1)

(x− 1)(y2 − 1)

2. Describir algunos conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:

a) f(x, y) =x

yb) f(x, y) = x− 4y, c) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2,

3. Determinar el plano tangente en cada una de las situaciones:

a) f(x, y) = xy + exp(xy), x = 1, y = 0

b) f(x, y) = ln√

1 + x2y4 , x = 1, y = 1

c) f(x, y) =√

1− x2 − y2, x =1√2, y =

1√2

d) f(x, y) =x

2x+ 3y, x = 1, y = 2.

4. Determinar el gradiente de cada campo escalar:

a) f(x, y) =xy

x2 + y2b) f(x, y) =

xy

sin(

1x2+y2

) c) f(x, y, z) =xyz

x2 + y2 + z2.

5. Verificar la regla de la cadena en las siguientes situaciones:

a) f(x, y) = cos(x+ 4y), x = 5t4, y = 1t

b) f(x, y) = x2 + y2 + xy, x = sin t, y = et

c) f(x, y) = xy + exy, r(t) = (3t2, t3).

d) f(u, v) =(u− v)2

u2 + v2, u = ex−y, v = exy.

6. Determinar las derivadas direccionales en el punto y en la direccion dadas:

a) f(x, y) = xy en (e, e) u = (3, 4).

b) f(x, y, z) = xyz en (1, 0, 1) u = (1, 0, 1).

c) f(x, y, z) =xyz

x2 + y2 + z2en (1, 1, 0) u = (0, 1, 0).

7. Determinar el plano tangente y la recta normal a las superficies de nivel en el punto dado:

a) z = x2 + y2, P = (1, 1, 2) b) x3 − 3y3 + z3 = −1, (1, 1, 1).

123





c) z cosx cos y = 0,(π2 , 0, 1

). d) cos(xy)− ez = −2, (1, π, 0).

e) z2 + y2 = x2, P = (5, 4, 3) f ) −z2 + 5x2 + 4y2 = 0, P = (2, 2, 6)

8. Un insecto se encuentra en un medio toxico. El nivel de toxicidad viene dado por T (x, y) = 2x2 − 3y2.Determinar y graficar las curvas de nivel de T y encontrar la direccion en la que el insecto que se encuentraen (−1, 2) debera moverse.

9. Suponga que una montana tiene la forma de paraboloide elıptico z = 300 − 2x2 − 3y2 donde z se mide enmetros. Determinar en que direccion crece la altitud mas rapidamente en el punto (1, 1). ¿Si un balon sesoltara en ese punto en que direccion rodarıa?

3. Ejercicios

1. Determinar el desarrollo de Taylor de orden 2 de las funciones:

a) f(x, y) = e(x−2)2 cos y en (2,0) b) f(x, y) = 3√x+ y en (1,7);

c) f(x, y, z) = xz2 + y2z, en (1, 2, 3).

2. Determinar los maximos y mınimos de :

a) f(x, y) = −2x2 + 8x− 3y2 + 24y + 7

b) f(x, y) = 2x2 + y2 − 2xy + 5x− 3y + 1

c) f(x, y) = x2 − 4x+ 2y2 + 4y + 7

d) f(x, y) = x3 + y3 − xy

e) f(x, y) = sin(2x) + cos y en 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 2π.

f ) f(x, y, z) = x+ y − z en la bola de radio 1 y centro en el origen.

g) f(x, y) = x3 − 6xy + 8y3.

distancia del origen al plano Ax+By + Cz = D

3. Determinar el mınimo de la funcion:

a) z = x2 + y2, sujeta a la restriccion x2 + 2xy + 2y2 = 100.

b) f(x, y, z, w) = 2x2 + y2 + z2 + 2w2, sujeta a las restricciones x + y + z + 2w = 1, 2x + y − z + 4w =2, x− y + z − w = 4.

4. Determinar el maximo de la funcion f(x1, x2, x3, x4) = x21x

22x

23x

24 sujeta a la condicion x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = 1.

Utilizar este resultado anterior para mostrar que (a1a2a3a4)1/4 ≤ a1 + a2 + a3 + a4

4, para numeros positivos

ai. ¿Puede generalizarse este resultado?

5. Mediante multiplicadores de Lagrange, encuentre los valores maximo y mınimo de la funcion sujeta a larestriccion o las restricciones dadas.

a) f(x, y) = x2 − y2 sujeta a xy = 1.

b) f(x, y) = 4x+ 6y sujeta a x2 + y2 = 13.

c) f(x, y) = x2y sujeta a x2 + 2y2 = 6.

d) f(x, y) = exy sujeta a x3 + y3 = 16.

e) f(x, y, z) = 2x+ 6y + 10z sujeta a x2 + y2 + z2 = 35.

f ) f(x, y, z) = 8x− 4z sujeta a x2 + 10y2 + z2 = 5.

g) f(x, y, z) = xyz sujeta a x2 + 2y2 + 3z2 = 6.

h) f(x, y, z) = x2y2z2 sujeta a x2 + y2 + z2 = 1.

i) f(x, y, z, t) = x+ y + z + t sujeta a x2 + y2 + z2 + t2 = 1.

124





j ) f(x, y, z) = x+ 2y sujeta a x+ y + z = 1 y y2 + z2 = 4.

k) f(x, y, z) = 3x− y − 3z sujeta a x+ y − z = 0 y x2 + 2z2 = 1.

l) f(x, y, z) = yz + xy sujeta a xy = 1 y y2 + z2 = 1.

6. El material para el fondo de una caja en forma de paralelepıpedo rectangular cuesta el doble por centımetrocuadrado que el que se usa para los lados y la tapa. ¿Cuales son las dimensiones relativas con las que esmınimo el costo para un volumen fijo?

7. Utilice el metodo de multiplicadores de Lagrange para mostrar que, de todos los triangulos inscritos en elcırculo unitario, el de mayor area es equilatero.

8. Muestre que la grafica de la funcion f(x, y) = xye18 (x

2+4y2) tiene un punto de silla, y dos mınimos locales queson globales.

9. Suponga que la concentracion de sangre en el oceano en el punto (x, y) esta dada por f(x, y) = Ae−k(x2+2y2),donde A y k son constantes positivas. Un tiburon siempre nada en la direccion de ∇f . Muestre que sutrayectoria es una parabola.

10. Contexto: Un portafolio es un vector w = (w1, w2, ..., wn), donde wi es la fraccion de capital inicial invertia

en el activo i. Luegon∑

i=1

wi = 1.

El rendimiento esperado de dicho portafolio es

µw =

n∑

i=1

µiwi.

Donde µi es el rendimiento esperado del activo i, y la variarianza del rendimiento esta dada por:

σ2 =

n∑

i=1

n∑

j=1

σijwiwj .

Donde σij es la covarianza entre el rendimiento del activo i y el rendimiento del activo j.

Ejercicio: Se dice que un portafolio es eficiente si su rendimiento es mayor que cualquier otro portafolio conla misma varianza o tiene menor varianza que cualquier otro portafolio con e mismo rendimiento.

Suponga que tiene tres activos: 1, 2 y 3, con retornos esperados: µ1 = 2.07%, µ2 = 0.21% y µ3 = 1.1%. Si lamatriz de covarianzas es:

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

=

48.20% 7.82% −2.65%

7.82% 16.34% 0.99%

−2.65% 0.99% 34.25%

Encuentre el portafolio eficiente que minimiza la varianza con un rendimiento del 1.5%. (Tomado de ”ModernPortfolio Theory”de Jack Clark Francis y Dongcheol Kim , pag. 138).

4. Ejercicios

1. Encontrar el valor de las integrales

a)´ 3

0

´ 2

0(4− y2)dydx b)

´ 1

0

´ 1

0(xy2 − x2y)dxdy

125





c)´ 1

0

´ x

0

´ y

0(y + xz)dz dy dx d)

´ 2

0

´ x

0

´ x+y

0dz dy dx.

2. Calcular el volumen del solido limitado por z = f(x, y) = sin y, los planos x = 1, x = 0, y = 0 y y = π/2 y elplano z − y = 0.

3. Sea D la region limitada por los semiejes positivos de x y y y la recta 3x+4y = 10. Calcular´ ´

D(x2+y2)dA.

4. Determinar la region de integracion e intercambiar el orden de integracion:

a)´ 1

0

´ 1

xxydydx

´ 1

0

´ 1

1−y(y + x)2dx dy.

b)´ 1

0

´ 2−y

0(x+ y)2dxdy c)

´ π2

0

´ cos(θ)

0cos(θ)drdθ

5. Calcule la integral doble sobre la region dada

a)˜

R

(6x2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.

b)˜

R

cos(x+ 2y)dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π2 }.

c)˜

R

xy2

x2+1dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, − 3 ≤ y ≤ 3}.

d)˜

R

1+x2

1+y2 dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

e)˜

R

x sin(x+ y)dA, R =[0, π

6

]×[0, π

3

].

f )˜

R

x1+xydA, R = [0, 1]× [0, 1].

g)˜

R

xyex2ydA, R = [0, 1]× [0, 2].

h)˜

R

xx2+y2 dA, R = [1, 2]× [0, 1].

i)˜

D

(y2)dA, D = {(x, y)| − 2 ≤ x ≤ y, − 1 ≤ y ≤ 1}.

j )˜

D

yx5+1dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.

k)˜

D

xdA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sinx}.

l)˜

D

x3dA, D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}.

m)˜

D

y2exydA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 4}.

n)˜

D

x√

y2 − x2dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1}.

n)˜

D

x cos ydA, D es la region acotada por y = 0, y = x2, x = 1.

o)˜

D

(x+ y)dA, D es la region acotada por y =√x y y = x2.

p)˜

D

y3dA, D es la region triangular con vertices (0, 2), (1, 1) y (3, 2).

q)˜

D

xy2dA, D es la region acotada por x =√

1− y2 y x = 0.

r)˜

D

(2x− y)dA, D es la region acotada por la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.

6. Determinar el volumen del solido

a) Limitado por las superficies z = 0, z = xy, y = x, y + x = 2 y y = x3 .

b) Debajo del paraboloide z = 3x2 + y2 y arriba de la region limitada por y = x y x = y2 − y.

126





c) Debajo del cono z =√

x2 + y2 y arriba del disco x2 + y2 ≤ 4.

d) Abajo del paraboloide z = 18− 2x2 − 2y2 y arriba del plano xy.

e) Encerrada por el hiperboloide −x2 − y2 + z2 = 1 y el plano z = 2.

f ) Dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 16 y fuera del cilindro x2 + y2 = 4.

g) Acotado del cono z =√

x2 + y2 y debajo de la esfera x2 + y2 + z2 = 1

h) Acotado por los paraboloides z = 3x2 + 3y2 y z = 4− x2 − y2.

i) Dentro del cilindro x2 + y2 = 4 y el elipsoide 4x2 + 4y2 + z2 = 64

7. Emplear un cambio de coordenadas apropiado para evaluar la integrales:

a)

ˆ ˆ

D

exp

(y − x

y + x

)

dA, donde D es el triangulo de vertices (0,0), (0,1), (1,0).

b)

ˆ ˆ

D

2y + x

cos(x− y)dA, donde D es el paralelogramo limitado por las rectas: y = x, y = x− 1, x+ 2y = 0

y x+ 2y = 2.

8. Determinar el valor de la integral y expresarla en coordenadas cartesianas,´ 1

0

´ π/4

0

´ 2π

0ρ3 sin 2ϕdθdϕdρ.

9. Determinar la masa de las regiones indicadas donde δ es la densidad en cada region:

a) x2 + y2 = ax con el cono z2 = x2 + y2, z ≥ 0 y δ =√

x2 + y2.

b) El tetraedro limitado por los planos x+ y + z = 2, x = 0, y = 0 y z = 0, δ = xyz.

c) z2 = x2 + y2 y la esfera z2 + x2 + y2 = 2az por encima del cono. Suponer δ constante.

d) z = 0, x2 + z = 1, y2 + z = 1, δ constante.

10. Evalue la integral triple.

a)˝

E6xydV , donde E yace bajo el plano z = 1 + x+ y y arriba de la region en el plano xy acotado por

las curvas y =√x, y = 0 y x = 1.

b)˝

EydV , donde E esta acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y 2x+ 2y + z = 4.

11. Contexto: Sean X1, X2,..., Xn variables aleatorias reales con funcion de densidad de probabilidad conjuntaf(x1, x2, ..., xn). La probabilidad de que (x1, x2, ..., xn) ∈ C ⊂ R

n se evalua como

Pr((X1, X2, ..., Xn) ∈ C) =

¨

· · ·ˆ

C

f(x1, x2, ..., xn)dVn.

Ejercicio: Considere T1 la variable aleatoria tiempo hasta el deceso de Ana y T2 la variable tiempo hasta eldeceso de Andres. Si la funcion de densidad. Si la funcion de densidad de probabilidad conjunta de T1 y T2

es:

f(x, y) =

0.006(x− y)2 si 0 < x < 10, 0 < y < 10

0 textenotrocaso.

Encuentre

a) La probabilidad de que Ana y Pedro fallezcan antes de 5 anos.

b) La probabilidad de que Ana fallezca antes que Pedro.

5. Ejercicios

1. Sea C la curva de interseccion de las superficies x2 + y2 + z2 = 3 y y = 1. Encontrar una representacionparametrica de la curva. Escribir una integral de linea que represente la longitud de esta curva.

127





2. Evaluar la integrales de linea respecto a la longitud de arco de:

a) f(x, y, z) = exp (√z), α(t) = (1, 2, t2); t ∈ [0, 1]

b) f(x, y, z) = x+ y + z, α(t) = (sin t, cos t, t); t ∈ [0, 2π]

c) f(x, y, z) =x+ y

y + z, α(t) = (t, 2/3t3/2, t); t ∈ [1, 2]

3. Considerar la trayectoria α(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π]. Si la densidad de un alambre que tiene esta forma esδ(x, y) = 2, determinar la masa del alambre.

4. Determinar el valor de las integrales de linea de:

a) F (x, y, z) = (x, y, z), α(t) = (sin t, cos t, t2); t ∈ [0, π]

b) F (x, y, z) = (z3 + 2xy, x2, 3xz2), α(t) = (− sin t, cos t, 2); t ∈ [0, 2π]

5. Mostrar si los campos vectoriales dados son conservativos, encontrar una funcion potencial en caso afirmativo:

a) F (x, y) = (x2 cosxy, x sinxy)

b) F (x, y) = (x2 + y2, 2xy)

6. Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (2xyz + sinx, x2z, x2y). Determinar´

cF · Tds, donde c es la curva

parametrizada α(t) = (sin6 t, cos6 t, t3); t ∈[0, π

4

]

7. Encontrar la divergencia y el rotacional de los campos vectoriales dados.

a) F (x, y) = (y,−x)

b) F (x, y) = (x2, x cos(xy))

6. Ejercicios

1. Considere el modelo de poblaciondP

dt= 0.3P (1− P

200)(

P

50− 1).

donde P (t) es la problacion en el tiempo t. i) ¿Para que valores de P esta en equilibrio la poblacion? ii) ¿Paraque valores de P esta creciendo la poblacion? iii) ¿Para que valores de P esta decreciendo la poblacion?

2. Encuentre la solucion de la ecuacion diferencial lineal

a) y′ + 2xy = 10x

b) y′ − y = 3te2t, y(0) = 1

c) dydx + 1

xy = 6x+ 2

d) dydx + 1

yy = cos(t)t2 , y(π) = 0, t > 0

e) (y + 1) cos(x)dx− dy = 0.

3. Encuentre la solucion de la ecuacion diferencial separable

a) y′ = y2, y(0) = 0

b) y(x+ 1) + y′ = 0, y(−2) = 0

c) drds = 0.75s

d) dydx = x2−3

6y2

e) dP − kPdt = 0, P (0) = P0.

7. Ejercicios

1. Determine la solucion de cada ecuacion diferencial homogenea:

128





a) 4y′′ + y′ = 0

b) y′′ − 3y′ + 2y = 0

c) y′′ − 10y′ + 25y = 0, y(0) = 1, y(1) = 0

d) 2y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0

2. Determine la solucion general de las ecuaciones diferenciales

a) y′′ + 3y′ + 2y = 3x+ 1

b) y′′ − 8y′ + 16y = e4t

c) y′′ + y = sin(x)

d) y′′ + 3y′ + 2y = 11+ex

3. Escriba las siguientes ecuaciones de segundo orden como un sistema:

a) y′′ + y′ − 5y = cos(x)

b) 2y′′ + 4y′ + 6y = x1+x

4. Una masa de 40 gr estira un resorte 10 cm. Un mecanismo de amortiguacion comunica una resistencia almovimiento numericamente igual a 560 veces la velocidad instantanea. Encuentre la ecuacion del movimiento,si la masa se suelta desde la pocicion de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 2 cm/seg.

6.1. Respuestas ejercicios pares

Ejercicios 1

2. a) La serie converge a 23/2

b) La serie converge a 3π + π

π+3

c) La serie es convergente por C. de la razon.

d) La serie converge a 0

e) La serie converge a 1/36

f) La serie es convergente por C. de Comparacion.

4. a) Converge absolutamente

b) Converge condicionalmente

c) Converge absolutamente

d) Diverge

e) Converge condicionalmente

f) Converge condicionalmente

g) Diverge

h) Converge absolutamente

i) Converge condicionalmente

j) Converge condicionalmente

k) Diverge

l) Converge absolutamente

m) Converge condicionalmente

n) Converge absolutamente

n) Converge condicionalmente

o) Converge absolutamente

Ejercicios 2

2. a) f(x, y) = xy los conjuntos de nivel son {(x, y) ∈ R

2|x = ky y y 6= 0, k ∈ R}b) f(x, y) = x− 4y los conjuntos de nivel son {(x, y) ∈ R

2|x−k4 = y, k ∈ R}

c) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2 los conjuntos de nivel son {(x, y, z) ∈ R3|√

x2 − y2 − k = z, x2 − y2 > k, k ∈ R}

4. a) ∇f(x, y) =

(y(y2 − x2)

(x2 + y2)2,x(x2 − y2)

(x2 + y2)2

)

b) ∇f(x, y) =

(y(

sin(

1x2+y2

)

(x2+y2)2+2x2 cos

(

1x2+y2

))

sin2(

1x2+y2

)

(x2+y2)2,x(

sin(

1x2+y2

)

(x2+y2)2+2y2 cos

(

1x2+y2

))

sin2(

1x2+y2

)

(x2+y2)2

)

c) ∇f(x, y, z) =

(yz(−x2+y2+z2)(x2+y2+z2)2

,xz(−y2+x2+z2)(x2+y2+z2)2

,xy(x2+y2−z2)(x2+y2+z2)2

)

6.

129





a) Dv→(f)(e, e) = 75e

e b) Dv→(f)(1, 0, 1) = 0 c) Dv→(f)(1, 1, 0) = 0

8. El gradiente de T , ∇T (x, y) = (4x,−6y) indica la direccion hacia la cual la toxicidad esta aumentando conmayor rapidez en el medio, luego el insecto debera moverse en la direccion del vector −∇T (−1, 2) = (4, 12)para escapar de un nivel de toxicidad superior.

Ejercicios 3

2. a) La funcion tiene un maximo local en (2, 4).

b) La funcion tiene un mınimo local en (−1, 12 ).

c) La funcion tiene un mınimo local en (2,−1).

d) La funcion tiene un mınimo local en ( 13 ,13 ) y un punto de silla en (0, 0).

e) La funcion tiene un mınimo local en ( 3π4 , π) y dos maximos locales en (π4 , 0) y (π4 , 2π)

f) La funcion tiene un maximo local en (0, 0,−1) y un mınimo local en (0, 0, 1).

g) La funcion tiene un mınimo local en (1, 12 ) y un punto de silla en (0, 0).

4. Usando el teorema de Lagrange con la restriccion g(x1, x2, x3, x4) = x21+x2

2+x23+x2

4 = 1 se tienen 16 puntoscrıticos que resultan de las combinaciones de (± 1

2 ,± 12 ,± 1

2 ,± 12 ) y en todos la funcion tiene el mismo valor.

Por lo tanto se puede decir que son maximos locales.

8. Como ∇f(x, y) =

(

ye18 (x

2+4y2)[1 +x2

4], xe

18 (x

2+4y2)[1 + y2]

)

, vemos que el unico punto crıtico es (0, 0). La

matriz hessiana en (0, 0) es Hf(0, 0) =

0 1

1 0

y como su determinante es negativo, el punto (0, 0) es un

punto silla.

Ejercicios 4

2.´ 1

0

´ π/2

0

´ y

0sin ydzdydz = 1

4. a)´ 1

0

´ y

0xydxdy

b)´ 1

0

´ 1

0(x+ y)2dydx+

´ 2

1

´ 2−x

0(x+ y)2dydx

c)´ 1

0

´ cos−1(r)

0cosθdθdr

d)´ 1

0

´ 1

1−x(y + x)2dydx

6. a)11

48

b)144

35

c)16π

3

d) 81π

e)3π

2

f) 32√3π

g)π

2(2−

√2)

h) 2π

i)

2π

[256

3− 32

√3

]

8.´

√2

2

0

´ 1

−1

´ −√1−x2

√1−x2

2z(x2 + y2)

x2 + y2 + z2dydxdz =

π

4

Ejercicios 5

2. a) 2 b) 2√2π2

c)16

3− 2

√3

4. a)´

αF · ds =

´ π

0(sin t, cos t, t2) · (cos t,− sin t, 2t)dt =

´ π

02t3dt =

π4

2

b)´

αF ·ds =

´ 2π

0(8−2 sin t cos t, sin2 t,−12 sin t)·(− cos t,− sin t, 0)dt =

´ 2π

0(2 sin t cos2 t−8 cos t−sin3 t)dt =

0

5. a) No es conservativo.

b) Es conservativo. Una funcion potencial es f(x, y) = x3

3 + xy2 + C.

130





Ejercicios 6

2. a) y = e−x2+c1 + 5 b) y = 3(tet−et)+4e−t c) y = 2x3+x2+c1

xe) y = esin(x)+c1 − 1

Ejercicios 7

2. a) y = c1e−x + c2e

−2x + 3x2 − 7

4

b) y = c1e4t + c2te

4t + 12 t

2e4tc) y = c1 cosx+ c2 sinx− 1

2x cosx

4. El problema lo manejaremos en unidades de gramos, centımetros y segundos. En este caso, la fuerza de la

gravedad es g = 98gr/cm.s2; la constante de elasticidad del resorte k =mg

L=

(40)(98)

10= 392, luego la

ecuacion diferencial que describe el movimiento de la masa es

40y′′ + 560y′ + 392y = 0

cuya solucion es y(x) = C1e(−7+ 14

5

√5)x + C2e

(−7− 145

√5)x. Con las condiciones iniciales y(0) = 0 y y′(0) = 2

obtenemos la solucion particular y(x) =

√5

14(e(−7+ 14

5

√5)x − e(−7− 14

5

√5)x)

131

notasfabian.files.wordpress.com · introduccio´n estas guia de clase se han desarrollado para el...

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