introducción al método de los elementos finitos · (t) tiene componentes que viven en escalas de...

Alberto Cardona, Víctor Fachinotti

CIMEC (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

Santa Fe, 3/11/2014

Introducción al Método

de los Elementos Finitos

Parte 7

MEF para problemas parabólicos

v2

v12

1

5

S

4

Introducción al Método de los Elementos Finitos 2

Problemas parabólicos

• El problema parabólico típico es el de conducción de calor que define el campo de temperaturas u en un cuerpo isótropo que ocupa la región Wd, con

conductividad k y calor específico rc, sujeto a una fuente de calor interna f:

1. Discretización espacial por MEF forma semi-discreta del PVBI (6.1)

2. Discretización temporal forma totalmente discreta del PVBI (6.1)

• Nota: por discretización espacial se obtiene un PVI para un sistema de ODEs.

Este sistema puede ser rígido, imponiendo requisitos adicionales de estabilidad

sobre los métodos que se usarán para la discretización temporal.

0

( ) , I=(0, ) Balance de energía

0 , I CB Diri

PV

chlet

0 , I CB Neumann

( , ) ( ) ,

B

0 C

I (

ondición inicial

6.1)u

q

cu k u f t T

u t

uk t

n

u t u t

r W

W

x

x

x

x x x


10-3

10-2

10-1

100

101

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

exp

(-j2t)

j=1

j=2

j=5

j=10

j=20

Problema parabólico modelo en 1D

• Por sep. de vbles. se obtiene la solución exacta:

donde son los coefs. de la serie de Fourier de u0(x).

u es una combinación lineal de ondas sinusoidales , de frecuencia j y

amplitud .

• Cada onda vive en una escala de tiempo

de orden O(j-2), puesto que es muy

pequeño cuando es moderadamente grande.

• Las componentes de alta frecuencia se

amortiguan rápidamente.

u se hace cada vez más suave cuando t aumenta.

0 2

1

( , ) exp( )sin( )j

i

u x t u j t jx

2

2

0

0 0 , 0

(0) ( ) 0 0

( ,0) ( ) 0

u ux t

t x

u u t

u x u x x

0 02

0( )sin( )ju u x jx dx

sin( )jx

0 2exp( )ju j t

2exp( )j t2j t

sin( )jx

Conducción de calor en una

barra con k=rc=1, Q=0.


Problema parabólico modelo en 1D (cont.)

• En gral., u no será suave para t pequeño, y puede que para t0.

• Más precisamente, el tamaño de las derivadas de u con respecto a t y a x para t

pequeño dependerá de cuan rápido decaiga con j creciente.

• Ejemplos:

• Si decae más rápidamente que j-2.5 cuando j, entonces será acotada

cuando t0. Cuando más suave sea u0, más rápido decaerá cuando j.

Nótese que u0 debe satisfacer las CB Dirichlet: u0(0)u0()=0.

• La fase inicial (t pequeño), donde ciertas derivadas de u son grandes, se denomina

transitorio inicial. Superado el transitorio inicial, la solución de un problema

parabólico se hará cada vez más suave a medida que t aumenta.

• Puede haber transitorios para t0 si Q o las CB varían bruscamente en el tiempo.

2L (0, )u u

0

ju

34

0 1

0 ( ) , 0 cuando 0

ju Cju x x x

u Ct t

14

0 2

0 ( ) min( , ), 0 cuando 0

ju Cju x x x x

u Ct t

0

ju u0

ju


Estabilidad en problemas parabólicos

• Si f=0, se verifica (desarrollar a partir de la solución por serie Fourier)

• De la última estimación se deduce:

0

0I

u u

tCu u

t

0 1

2si ( ) O( ) cuando 0u L u t t W


Semi-discretización espacial

• Dado el problema

su forma variacional resulta

• Sea VhV de dimensión finita, con base {1,2,…, M}.

• Supongamos W poligonal convexo y Vh compuesto de funciones lineales por

tramos sobre una triangulación casi uniforme Th de W. Remplazando V por

Vh obtenemos el análogo semi-discreto de (6.7)

0

, I=(0, )

0 , I

, 0

u

u u f t T

u t

u u t

W

W

x

x

x

1

0

0

Hallar ( ) V H ( ), I / ( ), a ( ), , , V, I.

(0), ,

u t t u t v u t v f v v t

u v u v

W

(6.2)

0

Hallar ( ) V , I / ( ), a ( ), , , V , I.

(0), ,

h h h h h

h

u t t u t v u t v f v v t

u v u v


Semi-discretización espacial (cont.)

• Como uhVh podemos escribir

• Además, tomando v=j , j=1,2,…,M., en la forma semi-discreta obtenemos

• Matricialmente:

• La matrices de masa B y rigidez A son simétricas

y definidas positivas.

• Números de condición de las matrices A y B:

M

1

( , ) ( ) ( )h i i

i

u x t t x

M M

1 1

M0

1

( ) , ( )a , , , 1,2, ,M, I.

(0) , ,

i i j i i j j

i i

i i j j

i

t t f j t

u

0

( ) ( ) ( ), I.

(0)

t t t t

Bξ Aξ F

Bξ U

0 0 0

,

a ,

,

,

ij i j i j

ij i j i j

i i i

i i i

B dv

A dv

F f f dv

U u u dv

W

W

W

W

2max autovalor de ( ) O( ), ( ) O(1)

min autovalor de h

AA B

A


Semi-discretización espacial (cont.)

• Dado el problema semi-discreto:

• Si introducimos la descomposición de Cholesky B=ETE, y la nueva vble. =E, y

multiplicamos (6.10) por ET, obtenemos:

cuya solución es

• La matriz A*=ETAE1 es simétrica y definida positiva, con (A*)=O(h2).

• El problema (6.11) es un ejemplo de PVI rígido, dado que (A*) es grande y en

consecuencia los autovalores de A* (que son positivos) varían considerablemente.

0

( ) ( ) ( ), I.

(0)

t t t t

Bξ Aξ F

Bξ U

1

1

*

( ) ( ) ( ) I

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) I

T

T

T T

t t t t

t t t

t t t

t t t t

E Eξ Aξ F

E η AE η F

η E AE η E F

η Α η g (6.11)

0

0

0 0

(0)

(0)

(0)

T

T

T

E Eξ U

E η U

η E U η

* 0 *

0

( ) exp( ) exp ( ) ( ) , I

t

t t t s s ds t η Α η Α g

(6.10)


Estabilidad en el problema semi-discreto

• Dado

• Si f=0 y v=uh,

( ), a ( ), , , V , Ih h hu t v u t v f v v t

2

2

0

t22 2 0

0

( ), ( ) a ( ), ( ) 0 I

1( ) a ( ), ( ) 0

2

( ) 2a ( ), ( ) 0

( ) 2 a ( ), ( ) (0)

h h h h

h h h

t

h h h

h h h h

u t u t u t u t t

u t u t u tt

u s u s u s dst

u t u s u s ds u u

0( ) (0)h hu t u u


Estimación de error en el problema semi-discreto

• Teorema: si u es la solución del problema modelo

y uh es la solución del análogo semi-discreto

luego, cte. C/

• Demo.: Sea h la solución del problema “dual”

donde y ûh satisface

0

( ), a ( ), , , V, I.

(0), ,

u t v u t v f v v t

u v u v

0

( ), a ( ), , , V , I.

(0), ,

h h h

h

u t v u t v f v v t

u v u v

2

2

2 H ( )I Imax ( ) ( ) C 1 log max ( )h

t t

Tu t u t h u t

h W

( ), a ( ), 0, V , (0, )

( ) ( )

h h h

h h

s v s v v s t

t e t

ˆ( ) ( ) ( )h h he s u s u s

ˆa ( ) ( ), 0, V , (0, )hu s u s v v s T


Estimación de error en el problema semi-discreto (cont.)

• Demo.: Sea h la solución del problema “dual”

donde y ûh (“proyección estática” de u) satisface

Tomamos veh en 6.15 e integramos entre 0 y t:

( ), a ( ), 0, V , (0, )

( ) ( )

h h h

h h

s v s v v s t

t e t

ˆ( ) ( ) ( )h h he s u s u s

ˆa ( ) ( ), 0, V , (0, )h hu s u s v v s T

(6.15)

2

2

0( )

0

0

0

0

( ) ( ), ( ) a ( ), ( ) ( ), ( )

( ), ( ) a ( ), ( ) (0), (0)

( ), ( ) a ( ), ( ) ( ), (0)

( ), ( ) (

h

t

h h h h h h h

e t

t

h h h h h h

t

h h h

t

h

e t s e s s e s ds t e t

e s s e s s ds e

s s s s ds s

s s ds t

), ( )h tIntegración p/partes

uûh

uuh vVh

Integración p/partes

(6.17)


Estimación de error en el problema semi-discreto (cont.)

El problema dual

es equivalente a la ODE

Lema: ctes. c, C, que dependen sólo de los parámetros b r/h, t.q.

• Usando este Lema, la solución explícita de 6.15b y 6.17, llegamos a

( ), a ( ), 0, V , (0, )

( ) ( )

h h h

h h

s v s v v s t

t e t

0

( ) ( ) , (0, )

( )

s s s t

t

Bψ A 0ψ

ψ ψ

2 2 22 2M

2 22

1

V( , ) i i h

i

ch v Ch

va v v v dx Ch v

W

(6.15b)

2

0

2 (0, )

( ) ( )

( ) 1 log ( )

( ) 1 log max ( )

h h

t

h h

hs t

s e s

ts dx C e s

h

te t C s

h

• Nota: C es independiente de T.


Discretización en tiempo y espacio

Consideremos el problema

cuya solución resulta

con:

• Los autovalores grandes corresponden a autovectores que oscilan rápidamente,

mientras que los autovalores pequeños corresponden a autovectores “lentos”.

• En 6.20, se observa que:

1. (t) tiene componentes que viven en escalas de tiempo en un amplio

rango, de O(h2) a O(1), lo que determina la rigidez del problema 6.11.

2. las componentes de alta frecuencia de (t) se amortiguan rápidamente.

3. (t) posee en general un transitorio inicial.

*

0

( ) ( ) ( ) I

(0)

t t t t

η Α η g 0

η η

0

1

2

1 2 M

( ) , exp( )

: autovectores normalizados de

: autovalores de , =O(1)< < =O( ).

Mj j

j

j

j

j

t t

h

*

*

η η χ χ

χ A

A

(6.11)

(6.20)


Métodos de discretización en el tiempo

• Los problemas rígidos plantean requisitos especiales sobre lo métodos de

discretización temporal.

• Por razones de estabilidad, si se quiere evitar el uso de pasos de tiempo

excesivamente pequeños, deben usarse métodos implícitos, lo que implica

resolver un sistema de ecuaciones por paso de tiempo.

• Conviene usar métodos que adapten el paso de tiempo automáticamente

según la suavidad de la solución.

• Se estudiarán primero dos métodos clásicos (Euler hacia atrás y Crank-

Nicolson), y luego el método de Galerkin discontinuo.

• Sea 0t0t1...tNT una subdivisión de I=(0,T) en subintervalos In=(tn1, tn)

de longitud (paso de tiempo) tn.


Método de Euler hacia atrás (backward-Euler, bE)

Usando este método, el problema semi-discreto

se aproxima por

• La ec. 6.21a se obtiene introduciendo en 6.8a la aproximación en diferencias

finitas hacia atrás

• Conocido , la solución al instante tn queda determinada por

0

Hallar V / ( ), a ( ), , , V , I.

(0), ,

h h h h h

h

u u t v u t v f v v t

u v u v

1

0 0

Hallar V / , a , ( ), , V , 1,2, , N

, ,

n nn nh hh h h n h

n

h

u uu v u v f t v v n

t

u v u v

(6.21)

1 1

O( )n n n n

h h h hh n

n n

u u u uu t

t t

1n

hu M

1

n n

h i iiu

1 ( )n n

n n nt t t B A ξ Bξ F


Estabilidad del método de Euler hacia atrás

Suponiendo f=0, resulta

Luego:

con lo cual:

2 2 2 2

1 1 11 1 1 1, a , 0, 1,2, , N

2 2 2 2

n n n n n n n n

h h h h h h n h hu u u u u u t u u n

2

1, a , 0n n n n n

h h h n h hu u u t u u

1 1 0 0n n

h h h hu u u u u

2 2

1

0

2 a ,n n n n

h n h h hu t u u u


Estabilidad del método de Euler hacia atrás (cont.)

• Dado el problema totalmente discreto obtenido usando bE:

• Si g0, el problema a resolver resulta:

• Ahora, introducimos la norma de la matriz M:

• Luego:

1M *Hallar / ( ), 1,2, , N.

n nn n

n

n

t nt

η ηη A η g

* 1n n

nt I A η η

M.max

ηη 0

MηM

η

1

*

1, ,M

1max 1

1n

jn j

tt

I A

1 , 1,2, , N.n n n n η η η


Método de Crank-Nicolson (CN)

Usando este método, el problema semi-discreto

se aproxima por

• La ec. 6.24a se obtiene introduciendo las aproximaciones

• Conocido , la solución al instante tn queda determinada por

• Nota: tomando en 6.24a con f=0, se obtiene de nuevo la

desigualdad de estabilidad 6.23:

0

Hallar V / ( ), a ( ), , , V , I.

(0), ,

h h h h h

h

u u t v u t v f v v t

u v u v

1 1

1

0 0

( ) ( )Hallar V / , a , , , V , 1,2, , N

2 2

, ,

n n n nn h h h h n nh h h

n

h

u u u u f t f tu v v v v n

t

u v u v

(6.24)

1 11 1 1 12 22 2O( ) O( )

2 2

n n n n n n n nn n

h h h h h h h hh n h n

n n

u u u u u u u uu t u t

t t

1n

hu M

1

n n

h i iiu

1

1( ) ( )2 2 2

n nn n nn n

t t tt t

B A ξ B A ξ F F

1( ) / 2n n

h hv u u 0 0 .n

h hu u u


Estabilidad del método de Crank-Nicolson

• Dado el problema totalmente discreto obtenido usando CN:


• Luego:

1

M * 1

1

1 1Hallar / ( ) ( ) , 1,2, , N.

2 2

n nn n n

n n

n

t t nt

η ηη A η η g g

* * 1

2 2

n nn nt t

I A η I A η

1

* *

1, ,M

12max 1

2 21

2

nj

n n

jn

j

t

t t

t

I A I A

1 , 1,2, , N.n n n n η η η


Método de Euler hacia delante (forward-Euler, fE)

• Dado el problema totalmente discreto obtenido usando fE:


• Luego, tendremos

sólo si tn2/m=O(h2), o sea que el método fE garantiza estabilidad (i.e.,

|n| |n1|) sí y sólo si

• Se dice que fE es condicionalmente estable, contrariamente a bE y CN, que

son incondicionalmente estables, i.e., estables independientemente del

tamaño del paso de tiempo.

• bE y CN se dicen implícitos por cuanto se debe resolver un sistema de

ecs./paso de tiempo. En cambio, fE se dice explícito puesto que la solución se

obtiene sin necesidad de resolver ningún sistema.

1M * 1

1Hallar / ( ), 1,2, , N.n n

n n

n

n

t nt

η ηη A η g

* 1n n

nt η I A η

*

M1, ,M

max 1 1 1n n j nj

t t t

I A

2

nt Ch

introducción al método de los elementos finitos · (t) tiene componentes que viven en escalas de...

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