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Universidad Autónoma de Madrid

Escuela Politécnica Superior

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

TEMA 2

ESTUDIO DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL

Jesús Bescós Cano Fabrizio Tiburzi Paramio

Madrid, 2007

2.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS.............................................................................................................................. 2 2.2.1 TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................... 2 2.2.2 NÚMEROS COMPLEJOS........................................................................................................................... 2 2.3 SEÑALES SINUSOIDALES ......................................................................................................................... 3 2.3.1 DEFINICIONES........................................................................................................................................ 3

Señal periódica ............................................................................................................................................ 3 Señal sinusoidal........................................................................................................................................... 3 Desfase entre señales sinusoidales .............................................................................................................. 4 Valor medio y valor eficaz .......................................................................................................................... 5

2.3.2 RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS. CONCEPTO DE FASOR....................................................... 6 2.3.3 OPERACIONES. DIAGRAMAS FASORIALES. ............................................................................................ 8

Suma............................................................................................................................................................ 8 Derivación e integración ............................................................................................................................. 9 Conclusiones ............................................................................................................................................. 11

2.4 CIRCUITOS RLC EXCITADOS POR SEÑALES SINUSOIDALES............................................................... 13 2.4.1 OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE .................................................................. 13 2.4.2 IMPEDANCIA EN RPS........................................................................................................................... 14

Asociación de impedancias ....................................................................................................................... 16 2.5 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN RPS ................................................................................................ 17 2.6 POTENCIA EN RPS ................................................................................................................................ 18 2.6.1 POTENCIA INSTANTÁNEA .................................................................................................................... 18

Potencia activa y potencia reactiva. Factor de potencia. ........................................................................... 18 2.6.2 POTENCIA MEDIA PUESTA EN JUEGO POR LOS DISPOSITIVOS CIRCUITALES ........................................ 19

Potencia en una impedancia genérica........................................................................................................ 20 Potencia en resistencias, bobinas y condensadores ................................................................................... 20 Potencia instantánea en dispositivos pasivos ............................................................................................ 20

APÉNDICE A: NÚMEROS COMPLEJOS ........................................................................................................... 23 A.1 HISTORIA Y DEFINICIONES..................................................................................................................... 23 A.2 OPERACIONES........................................................................................................................................ 25

Suma.......................................................................................................................................................... 25 Producto .................................................................................................................................................... 26 División: .................................................................................................................................................... 26 Sistemas de ecuaciones ............................................................................................................................. 27

A.3 EJERCICIOS ............................................................................................................................................ 28 Ejercicio 1 ................................................................................................................................................. 28 Ejercicio 2 ................................................................................................................................................. 29 Ejercicio 3 ................................................................................................................................................. 29 Ejercicio 4 ................................................................................................................................................. 29 Ejercicio 5 ................................................................................................................................................. 30

APÉNDICE B: POTENCIA COMPLEJA Y POTENCIA APARENTE ..................................................................... 31

Estudio de circuitos en RPS

1

2.1 Introducción

Por Régimen Permanente Sinusoidal (en adelante RPS) se entiende el estado en que se encuentra un circuito excitado por señales sinusoidales una vez que el régimen libre es despreciable. Si además se verifica que todas las excitaciones son de igual frecuencia, la resolución del circuito se puede abordar sin grandes complicaciones operativas. En esta situación, gracias a las especiales propiedades de las señales sinusoidales y a la linealidad de los modelos presentados para resolver un circuito, todas las corrientes y tensiones presentes en el circuito van a ser también señales sinusoidales, y de igual frecuencia que la de los generadores o excitaciones.

Las especiales propiedades a que nos referimos son esencialmente que la suma de dos sinusoides de igual frecuencia es otra sinusoide de la misma frecuencia y que las sucesivas integrales o derivadas de señales sinusoidales son también señales sinusoidales de la misma frecuencia. Si tenemos en cuenta que tanto las características i-v de los dispositivos presentados como las Leyes de Kirchhoff sólo involucran este tipo de operaciones, se entenderá que las respuestas de circuitos excitados por sinusoides sean también sinusoides de igual frecuencia.

Aparte de estas propiedades, relevantes a efectos teóricos, las señales sinusoidales son fáciles de generar (de ahí su uso en la generación de energía eléctrica ―alternador, turbina― y en su transporte), y desempeñan un papel fundamental en el campo del proceso de señal y comunicaciones (análisis de Fourier, modulaciones, etc.,).


2

2.2 Conceptos básicos

2.2.1 Trigonometría

Es la rama de la ciencia que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo. De cara al análisis de circuitos, los conceptos que conviene dominar son:

• Unidades. Aunque en ocasiones se trabaja con ángulos expresados en grados, lo habitual es operar con ángulos expresados en radianes. En cualquier caso ha de prestarse especial atención para no mezclar ambas unidades (error habitual al sumar ángulos que provienen de velocidades angulares, típicamente dadas en radianes por segundo, con fases iniciales, frecuentemente dadas en grados).

• Funciones trigonométricas. Expresiones del seno, coseno y tangente de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo en función de sus catetos e hipotenusa.

• Circunferencia goniométrica o de radio unidad. Localización inmediata de ángulos expresados en radianes e identificación ágil de sus senos y cosenos.

2.2.2 Números complejos

Tanto en la Ingeniería Eléctrica como en temas más directamente relacionados con la Teoría de la Señal, existen multitud de fenómenos cuyo estudio es posible formalizar y abordar con relativa sencillez a partir de la teoría de variables complejas. Por ello resulta fundamental saber manejar con soltura las operaciones con números complejos, sus diversas representaciones y sus relaciones con la geometría. El Apéndice A de este capítulo ofrece un resumen de lo que, a efectos de esta asignatura, se considera necesario dominar.


3

2.3 Señales sinusoidales

2.3.1 Definiciones

SEÑAL PERIÓDICA

Es aquella que se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo, T, al que se denomina periodo de la señal (ver Fig. 2.1).

t

T

Fig. 2.1: Señal periódica de periodo T .

Analíticamente, una señal ( )f t es periódica si se verifica:

/ ( ) ( ),T f t f t nT n+∃ ∈ = + ∀ ∈ Ζ (2. 1)

Al mínimo valor de T que verifica esta relación (obsérvese que si la verifica un valor T, también lo hará 2T, 3T, etc.) se le denomina periodo fundamental de la señal. Habitualmente, al periodo fundamental se le denomina directamente periodo de la señal.

SEÑAL SINUSOIDAL

Es una señal periódica cuya expresión habitual viene dada por:

0 0 0( ) ( )y t A sen tω ϕ= + (2. 2)

,donde:

• 0A es la amplitud máxima que alcanza la señal. Viene dada en las mismas unidades que la señal. También se denomina amplitud de pico, y al doble de su valor amplitud pico-pico (ver Fig. 2.2).

• 0ω es la velocidad de variación de fase, o pulsación. Viene dada en radianes/s. La pulsación está directamente relacionada con el periodo de la señal que normalmente vendrá dado en segundos:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( ( ) )22 ( )

y t y t T A sen t A sen t T

t k t T T k

ω ϕ ω ϕπω ϕ π ω ϕ

ω

= + ⇒ + = + + ⇒

⇒ + + = + + ⇒ = (2. 3)

, que toma valor mínimo para k = 1, de donde:

0

2T πω

= (2. 4)

A partir del periodo se define la frecuencia de la señal, que se corresponde con el número de ciclos o periodos por segundo, y se mide en hertzios (Hz):


4

012

fT

ωπ

= = (2. 5)

• 0tω ϕ+ es la fase de la señal en cada instante, t. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque es conveniente expresarla en radianes para evitar mezclar unidades, ya que la pulsación suele darse en rad/s. Varía linealmente entre 0 y 2π (ver Fig. 2.2). Al valor 0ϕ se le denomina fase inicial de la señal, ya que es el valor que toma la fase en el instante 0t = . Puede venir dada en radianes o en grados, aunque nuevamente es conveniente expresarla en radianes para evitar complicaciones.

A0

2π

y(t)

Amplitud máxima = A0

Fase

y(t) = A0sen(ω0t+ϕ0)

t

t

t

A0

ϕ0

Amplitud

Fase

Señal

Fig. 2.2: Evolución de la amplitud y fase de una señal sinusoidal.

DESFASE ENTRE SEÑALES SINUSOIDALES

El desfase (o, dicho de otro modo, la diferencia instantánea entre fases) entre dos señales sinusoidales de la misma frecuencia puede interpretarse como un retardo en el tiempo de una señal respecto de la otra. Dadas dos señales sinusoidales )(1 ty e )(2 ty , podemos interpretar su fase inicial como un tiempo inicial:

11 1 0 1 1 1 0

0

( ) ( ) ( ) ( ( ))y t A sen t y t A sen tϕ

ω ϕ ωω

= + ⇒ = + (2. 6)

22 2 0 2 2 2 0

0

( ) ( ) ( ) ( ( ))y t A sen t y t A sen tϕ

ω ϕ ωω

= + ⇒ = + (2. 7)

, lo que indica que la fase de la primera señal es nula para 1 1 0t ϕ ω= − y la de la segunda para

2 2 0t ϕ ω= − . Si 1 2t t> (es decir, si 2 1ϕ ϕ> ), la señal ( )1y t presenta fase nula después que ( )2y t . Dicho de otro modo, ( )1y t decimos que está retrasada con respecto a ( )2y t un tiempo 0 1 2t t t= − , o bien que ( )2y t está adelantada respecto de ( )1y t esa misma magnitud. También suele decirse que

( )1y t presenta un retardo de 0t con respecto a ( )2y t . La Fig. 2.3 ilustra gráficamente este concepto suponiendo 1 0ϕ = y 2 1ϕ ϕ> .


5

y(t)

tt0

y1(t) y2(t)

Fig. 2.3: Desfase o retardo temporal entre dos señales sinusoidales.

A partir del concepto de desfase es inmediato relacionar las funciones ‘seno’ y ‘coseno’. Efectivamente, si representamos gráficamente la función seno tomando una fase inicial de / 2π radianes (ver Fig. 2.4), podemos comprobar que el resultado es precisamente la función coseno. De aquí la identidad habitualmente estudiada en los cursos de trigonometría:

0 0cos( )2

sen t tπω ω⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 8)

y(t)

t

sen(ω0t) cos(ω0t)

π/(2ω0)

Fig. 2.4: Representación gráfica de las funciones seno y coseno.

Como veremos a lo largo de este tema, en la resolución de ciertos problemas no se asigna a las señales un determinado origen de tiempos ya que no interesa conocer la fase absoluta de las señales involucradas sino sus fases relativas (es decir, los desfases entre ellas). En estas situaciones se habla sin embargo de la fase de una señal, indicando en realidad su desfase con respecto a una señal que se considera o acuerda origen de fases o de fase nula.

VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ

El valor medio de una señal genérica )(ty en un intervalo 21 ttt << se define como la media de los valores instantáneos que )(ty toma en dicho intervalo:

( )2

1 2

1

,

2 1

1 ( )t

t tm

t

A y t dtt t

=− ∫ (2. 9)

En el caso de señales periódicas se habla simplemente de valor medio y se asume que el intervalo de cálculo es Ttt =− 12 , su periodo. Dado que todos los periodos son iguales, la integral se podrá calcular sobre cualquier periodo de la señal. Así, para una señal )(ty periódica de periodo T:

∫=T

m dttyT

A )(1 (2. 10)


6

Si )(ty es además una función sinusoidal de pulsación 0ω (y por tanto 02T π ω= ) el valor medio será siempre nulo:

0 0

2 2

0 0 00 0 0

00 0

( ) cos( ) 02 2m

AA A sen t dt t

π πω ωω ω

ω ϕ ω ϕπ π ω

⎡ ⎤= + = − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (2. 11)

Nota: En el terreno de la electricidad el valor medio de una señal de corriente o tensión puede interpretarse como el valor de señal continua que transportara la misma cantidad neta de carga.

El valor eficaz al cuadrado de una señal genérica )(ty en un intervalo 21 ttt << se define como la media de los valores instantáneos al cuadrado1 que la señal toma en dicho intervalo:

( )2

1 2

1

, 2

2 1

1 ( )t

t tef

t

A y t dtt t

=− ∫ (2. 12)

Análogamente a lo visto para el valor medio, si )(ty es una señal periódica se asumirá directamente que Ttt =− 12 :

∫=T

ef dttyT

A )(1 2 (2. 13)

Si )(ty es además una función sinusoidal de pulsación 0ω el valor eficaz será:

0 00

2 2 22 2

2 2 20 0 0 0 0 00 0 0

00 0

1 cos(2 ) 1( ) sin( )2 2 2 2 2ef

A t AA A sen t dt dt t t

π π πω ω ωω ω ω ϕ ωω ϕ ω ϕ

π π π− + ⎡ ⎤= + = = − + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

2 20 0 0 0

02 2 2efA A A

Aω π

π ω= = ⇒ = (2. 14)

Nota: En el terreno de la electricidad el valor eficaz de una señal de corriente (o tensión) alterna se corresponde con aquél que tendría una corriente (o tensión) continua que produjera la misma potencia media al aplicarse sobre una misma resistencia .

Nota: Cuando medimos con un multímetro básico valores de tensiones o corrientes alternas, las medidas obtenidas se refieren exclusivamente a sus valores eficaces.

2.3.2 Relación con los números complejos. Concepto de fasor.

Es posible establecer una relación directa entre los números complejos y las funciones sinusoidales que nos va a permitir representar cualquier función sinusoidal con un número complejo que gira entorno al origen a una velocidad constante.

Sea un número complejo 00

ϕjeAz = . Si lo representamos en el plano complejo (ver Fig. 2.5) sus partes real e imaginaria se corresponderán con las proyecciones sobre los ejes coordenados:

1 En lengua inglesa el valor eficaz recibe el nombre de Root Mean Square, cuyas siglas (RMS) han

pasado a ser un anglicismo de uso habitual.


7

00cos][Re ϕAz = (2. 15)

00sen][Im ϕAz = (2. 16)

Re[z]

Im[z]

Oϕ0

A0cos(ϕ0)

A0sen(ϕ0) A0e jϕ0

Fig. 2.5: Representación geométrica de un número complejo.

Si multiplicamos este número complejo z por otro φje lo estaremos rotando φ radianes respecto al origen. Si además φ varía con el tiempo de la forma 0( )t tφ ω= , el producto

00

0( ) j tjz t A e eϕ ω= representa un número complejo de módulo 0A que gira a razón de 0ω radianes por

unidad de tiempo en torno al origen del plano complejo (ver Fig. 2.6) . A este número complejo que gira se le denomina fasor, y sus partes real e imaginaria son respectivamente:

00

0 0 0 0Re[ ] cos( )j tjA e e A tϕ ω ω ϕ= + (2. 17)

00

0 0 0 0Im[ ] sen( )j tjA e e A tϕ ω ω ϕ= + (2. 18)

Re[z]

Im[z]

ω0

O

A0e e

ϕ0

jϕ0 jω0 t

A

ϕ0

A

ϕ0

A0cos(ω0 t+ϕ0)

A0 sen(ω0 t+ϕ0)

Im[]

Re[]

tω

Fig. 2.6: Equivalencia entre funciones sinusoidales y números complejos


8

En conclusión, podemos expresar cualquier señal sinusoidal como la parte real o imaginaria de un fasor de módulo igual a la amplitud máxima de la señal, de argumento igual a su fase inicial, y que gira a una velocidad angular igual a la pulsación de la señal.

2.3.3 Operaciones. Diagramas fasoriales.

Según se ha visto en el capítulo anterior, la resolución de circuitos se obtiene de la aplicación conjunta de las Leyes de Kirchhoff y de las características i-v de los dispositivos involucrados. En nuestro caso, ello supone sumas, escalados, derivaciones e integraciones de señales de tensión o corriente.

En esta sección se pretende demostrar que si las señales involucradas son sinusoides de igual pulsación o frecuencia, es posible efectuar todas las operaciones con fasores en vez de con sinusoides, lo que simplifica enormemente la operativa.

SUMA

San dos sinusoides )(1 ty e )(2 ty de la forma:

1 1 1 1( ) cos( )y t A tω ϕ= + (2. 19)

2 2 2 2( ) cos( )y t A tω ϕ= + (2. 20)

Si definimos )(tyS como la función suma de )(1 ty e )(2 ty y expresamos ambas señales en función de sus fasores, podemos escribir:.

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) Re[ ] Re[ ] Re[ ]j j t j j t j j t j j t

Sy t y t y t A e e A e e A e e A e eϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω= + = + = + (2. 21)

Si imponemos que las pulsaciones de las dos señales sinusoidales sean iguales ( 1 2 0ω ω ω= = ) y definimos el número complejo suma 1 2

1 2Sj j j

SA e A e A eϕ ϕ ϕ= + , la última expresión puede simplificarse:

01 21 2 0( ) Re[( ) ] Re[ ] cos( ))S Sj t j j tj j

S S S Sy t A e A e e A e e A tω ϕ ωϕ ϕ ω ϕ= + = = + (2. 22)

De este desarrollo puede concluirse, en primer lugar, que la suma de dos sinusoides de la misma frecuencia es igual a otra sinusoide de la misma frecuencia. En segundo lugar, que la amplitud máxima y la fase inicial de la señal suma ( ,S SA ϕ ) pueden obtenerse respectivamente como el módulo y argumento del número complejo ( Sj

SA e ϕ ) resultante de sumar las partes fijas ( 1 2

1 2,j jA e A eϕ ϕ ) de los fasores que representan a las señales que se suman.

Obsérvese que este desarrollo es igualmente válido si las señales que se suman son ambas sinusoides en forma ‘seno’. Tomando la parte imaginaria de sus fasores en vez de la parte real llegaríamos exactamente a las mismas conclusiones. Por lo tanto, una tercera conclusión es que la obtención de amplitud máxima y fase inicial por este procedimiento asume que las señales que se suman tienen igual forma (ambas ‘seno’ o ambas ‘coseno’) y que ésta misma es la forma que tiene el resultado. Si las señales a sumar tuvieran distinta forma habría que cambiar la de una de ellas (sumando o restando 2π a su fase inicial, según la relación (2.8)).

Por lo tanto, para sumar señales sinusoidales de igual pulsación basta con expresar ambas en la misma forma y a continuación sumar los números complejos que representan sus respectivas amplitudes máximas y fases iniciales. Dado que la parte giratoria de los fasores (es decir, el término 0j te ω ) no se utiliza para llevar a cabo la suma (ya que se asumen señales de igual pulsación), el término fasor suele aplicarse sólo a la parte fija de éste. De este modo, asumiremos de ahora en adelante que los fasores de las señales involucradas (representados siempre en letras mayúsculas) son:


9

11 1 0 1 1 1( ) cos( ) jy t A t Y A e ϕω ϕ= + → = (2. 23)

22 2 0 2 2 2( ) cos( ) jy t A t Y A e ϕω ϕ= + → = (2. 24)

0 2 2( ) cos( ) SjS S S S Sy t A t Y A e Y Yϕω ϕ= + → = = + (2. 25)

En conclusión, la suma de señales sinusoidales de igual pulsación se puede llevar a cabo sumando sus fasores. Dicho de otro modo, la operación puede realizarse en el dominio fasorial con mayor facilidad que en el dominio temporal.

La Fig. 2.7 muestra gráficamente el proceso de obtención de la señal suma. En ella es inmediato comprobar que para sumar dos señales sinusoidales es imprescindible tener en cuenta tanto sus amplitudes como sus fases. Esto explica por qué cuando se miden corrientes o tensiones sinusoidales con un multímetro (que lo que mide es sólo sus valores eficaces, es decir, un valor proporcional a sus amplitudes) no es posible aplicar directamente las Leyes de Kirchhoff sobre estos valores: también es necesario conocer las fases relativas de dichas tensiones o corrientes.

Re[z]

Im[z]

1

1ϕjeA

2

2ϕjeA

Fig. 2.7: Diagrama fasorial: representación gráfica de la suma de dos fasores.

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

Sea una señal sinusoidal 0 0( ) cos( )y t A tω ϕ= + 2. La derivada de esta señal con respecto al tiempo puede expresarse como:

0 0 0 0 0 0( ) sen( ) sen( ) cos( )

2dy t A t A t A t

dtπω ω ϕ ω ω ϕ π ω ω ϕ= − ⋅ + = ⋅ + + = ⋅ + + (2. 26)

, es decir otra señal sinusoidal con la misma frecuencia que )(ty , escalada por ω y adelantada 2/π radianes.

Aunque las operaciones involucradas para llegar a este resultado no son demasiado complicadas, esta misma operación, efectuada en el dominio fasorial, resulta bastante más sencilla. En efecto, representando )(ty en función de su fasor giratorio:

00 00

0 0 0 0( ) Re[ ] Re Re[ ] cos( )

2

j jwtj jjwt jwtdA e edy t d A e e A e jwe A t

dt dt dt

ϕϕ ϕ πω ω ϕ

⎡ ⎤= = = = ⋅ + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2. 27)

Si observamos el último paso de este desarrollo (para el que se ha utilizado la relación 2jj e π= ) se puede concluir que el fasor de la señal derivada se puede obtener directamente escalando o multiplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión:

2 Dado que a partir de ahora trabajaremos con señales de igual pulsación, por razones de claridad se

omitirán los subíndices y se hará referencia a ella como ω .


10

00 0 0( ) cos( ) jy t A t A e ϕω ϕ= + → (2. 28)

00 0 1 0

( ) cos( )2

jdy t A t j A edt

ϕπω ω ϕ ω= ⋅ + + → (2. 29)

Respecto a la integración, la integral de la misma señal sinusoidal )(ty puede expresarse como sigue:

0 00 0 0 0( ) cos( ) sen( ) cos

2A A

y t dt A t dt t t πω ϕ ω ϕ ω ϕω ω

⎛ ⎞= + = + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (2. 30)

, que se corresponde con otra señal sinusoidal de la misma frecuencia que )(ty , escalada por 1/ω y retrasada 2/π radianes. Si efectuamos esta operación utilizando el fasor giratorio de la señal:

0 0 0 00 0 0 0

1( ) Re[ ] Re[ ] Re[ ] cos2

j j jj t j t j t Ay t dt A e e A e e A e e t

jϕ ϕ ϕω ω ω πω ϕ

ω ω⎛ ⎞= = = = + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2. 31)

, desarrollo en el que se ha utilizado la relación 21 jj e π−= . Análogamente al caso de la derivación, se puede concluir que el fasor de la señal integral se puede obtener directamente escalando o multiplicando por 1 jω el fasor de la señal original. En conclusión:

00 0 0( ) cos( ) jy t A t A e ϕω ϕ= + → (2. 32)

( ) 00 01cos( )

2jA A

y t dt t ej

ϕπω ϕω ω

= ⋅ + − →∫ (2. 33)

A modo de ejemplo y con el fin de contrastar las representaciones temporal y fasorial aplicadas a magnitudes circuitales, supongamos la rama de la Fig. 2.8, recorrida por una corriente sinusoidal ( )i t . Según las características i-v de los dispositivos involucrados, las tensiones en la resistencia, la

bobina y el condensador en régimen permanente sinusoidal son respectivamente:

( ) ( )Rv t R i t= (2. 34)

( )( )Ldi tv t Ldt

= (2. 35)

1( ) ( )Cv t i t dtC

= ∫ (2. 36)

i(t)

vR(t) vL(t) vC(t)

Fig. 2.8: Caídas de tensión en una rama RLC serie.

En la Fig. 2.9 se representa esta corriente y estas tensiones en el dominio del tiempo y la Fig. 2.10 ofrece una representación de sus respectivos fasores (lo que se denomina un diagrama fasorial).


11

I0

I0/(ωC)

I0ωLI0R

i(t)

vC(t)vR(t)

vL(t)

t

v,i

Fig. 2.9: Representación en el dominio del tiempo de la corriente y de las caídas de tensión en una resistencia, un condensador y una bobina, en régimen permanente sinusoidal.

Re[z]

Im[z]

O

ϕ0

vL(t)

vC(t)

i(t)

vR(t)

0 20

jI Le

πϕω

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

00

jI Re ϕ

0 20jI

eC

πϕ

ω

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

00

jI e ϕ

Fig. 2.10: Representación en el dominio fasorial de la corriente y de las caídas de tensión en una resistencia, un condensador y una bobina.

Obsérvese que la tensión que cae en bornes de una bobina está siempre adelantada 2/π respecto de la corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor tiene un argumento 2/π mayor), la tensión que cae en bornes de un condensador esta retrasada

2/π respecto de la corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor tiene un argumento 2/π menor), y la tensión en una resistencia se encuentra en fase con la corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor tiene igual argumento).

CONCLUSIONES

Dado que las señales sinusoidales resultantes de las operaciones anteriores conservan la pulsación de las señales originales, se suele aplicar el concepto de fasor de una señal al número complejo invariante o fijo en el tiempo que sólo aporta información del módulo y la fase de la señal que representa. No debe olvidarse, sin embargo, que aunque no aparezca explícitamente en su expresión, un fasor siempre llevará asociada una frecuencia angular, que en última instancia deberá de tenerse en cuenta para expresar la señal en el dominio del tiempo.

En la siguiente tabla se resumen las operaciones que se han explicado en los apartados anteriores y se muestra su resultado tanto en el dominio del tiempo como en el dominio fasorial. Debe de quedar claro que el único objetivo de cambiar de dominio es, como veremos en secciones


12

posteriores, simplificar la operativa de resolución de un circuito en régimen permanente sinusoidal. Por ello, aunque para realizar las operaciones intermedias trabajemos en el dominio complejo, los resultados finales deberán expresarse siempre en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo Dominio fasorial Operación

OPERANDOS RESULTADO OPERANDOS RESULTADO

Suma 1 1 1( ) cos( )y t A tω ϕ= + 2 2 2( ) cos( )y t A tω ϕ= +

( ) cos( )s s sy t A tω ϕ= +1

1jA e ϕ

22

jA e ϕ 1 2

1 2Sj j j

SA e A e A eϕ ϕ ϕ= +

Derivación 0 0( ) cos( )y t A tω ϕ= + 0 0cos( )

2A t πω ω ϕ+ + 0

0jA e ϕ 0

0jj A e ϕω

Integración 0 0( ) cos( )y t A tω ϕ= + 0

0cos2

At πω ϕ

ω⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

00

jA e ϕ 00

1 jA ej

ϕ

ω


13

2.4 Circuitos RLC excitados por señales sinusoidales

2.4.1 Obtención de la solución en régimen permanente

Sea el circuito de la Fig. 2.11 excitado por una fuente sinusoidal de valor ( )e t :

+

e(t)

vR(t)i(t)R

L

C

vL(t)

vC(t)

Fig. 2.11: Circuito RLC de una malla con una excitación sinusoidal.

Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la única malla del circuito obtenemos:

0

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )tdi te t Ri t L t i d

dt Cτ τ= + + ∫ (2. 37)

Como se vio en el Tema 1, se trata de una ecuación diferencial lineal con coeficientes reales constantes y positivos cuya solución, una vez que el régimen libre resulta despreciable, es una corriente en régimen permanente o forzado. Dado que este régimen corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial sabemos (por la teoría de ecuaciones diferenciales) que la corriente presenta la misma forma que la excitación. Por lo tanto si ( )e t es una sinusoide de una frecuencia dada, ( )i t lo será también.

Sea, por tanto, 0( ) cos( )e t E tω ϕ= + la tensión conocida del generador. La corriente )(ti deberá de ser de la forma 0( ) cos( )i t I tω β= + , expresión en la que 0I y β son incógnitas. Reemplazando estos valores e incógnitas en la ecuación 2.37:

0 0 0 00

1cos( ) cos( ) cos( ) cos( )tdE t L I t RI t I d

dt Cω ϕ ω β ω β ωτ β τ+ = + + + + + ⋅∫ (2. 38)

Si derivamos los términos correspondientes e igualamos por un lado las partes dependientes del tiempo y por el otro las independientes podemos llegar a una solución para 0I y β . Sin embargo, el procedimiento de resolución puede simplificarse sustancialmente si observamos que la ecuación únicamente involucra sumas de señales sinusoidales con la misma pulsación, derivaciones e integraciones, operaciones todas que se ha visto cómo llevar a cabo en el dominio fasorial o complejo. Por lo tanto, si sustituimos en la ecuación 2.37 cada término por su fasor podemos escribir una nueva ecuación en este nuevo dominio:

0 0 0 01 1j j j jE e RI e Lj I e I eC j

ϕ β β βωω

= + + (2. 39)

Denotando los fasores corriente y tensión respectivamente como E (= ϕjeE0 ) e I (= βjeI0 ) la ecuación puede rescribirse como:


14

1E RI j LI Ij C

ωω

= + + (2. 40)

, ecuación que relaciona fasores de tensión, de acuerdo con la 2ª Ley de Kirchhoff y en la que podemos despejar el fasor de corriente buscado:

1EI

R j Lj C

ωω

=+ +

(2. 41)

Una vez obtenido el fasor resultante (como resultado de una operación con números complejos), y teniendo en cuenta que las señales estaban expresadas en forma ‘coseno’, la expresión temporal de la corriente buscada queda:

0( ) Re[ ] cos( )j ti t Ie I tω ω β= = + (2. 42)

Si esta corriente está adelantada respecto a la tensión ( β α> ) se dice que el circuito presenta carácter capacitivo (dado que en un condensador la corriente que lo atraviesa está adelantada respecto a a tensión que en él cae), mientras que si está restrasada se dice que presenta carácter inductivo (por similar motivo). En la Fig. 2.12 se muestran los diagramas de los fasores de corriente y tensión para ambas situaciones. Este tipo de diagramas, además de ofrecer una visión clara y concisa de las relaciones entre todas las tensiones y corrientes, permiten en ocasiones resolver problemas geométricamente.

Re[z]

Im[z]

Oϕ

I

VL

VC

VR

VL-VC β

E

Re[z]

Im[z]

O

ϕ

IVL

VC

VR

VC-VL

β

E

(a) (b)

Fig. 2.12: Representación fasorial de un circuito RLC inductivo (a) y capacitivo (b)

2.4.2 Impedancia en RPS

En la ecuación 2. 40 puede observarse que el fasor de tensión asociado a cada uno de los dispositivos de la malla es siempre proporcional al fasor de corriente:

2

21 1

R R R

j

L L L

j

C C C

V R I Z I Z R

V j LI Z I Z Le

V I Z I Z ej C C

π

π

ω ω

ω ω−

= = ⇒ =

= = ⇒ =

= = ⇒ =

(2. 43)


15

Al factor de proporcionalidad RZ , LZ o CZ que en cada caso relaciona el fasor de corriente con el fasor de tensión se le denomina impedancia y se denota con la letra Z . Su inverso se denomina admitancia y se denota con la letra Y . La impedancia relaciona, por tanto, los fasores de corriente y tensión de acuerdo a una ley similar a la Ley de Ohm en el dominio del tiempo, generalizando así la característica I-V de cualquier dispositivo en el dominio fasorial. Dado que la impedancia es un número complejo afecta tanto al módulo como a la fase de la magnitud sobre la que opere.

Obsérvese que la impedancia asociada a una resistencia es siempre real (ya que es precisamente el valor de la resistencia), mientras que la asociada a bobinas y condensadores es siempre imaginaria. Como veremos a continuación, es posible definir impedancias con parte real e imaginaria. A la parte real la denominamos resistencia, mientras que a la parte imaginara se le denomina reactancia (análogamente, a la parte real de la admitancia se le denomina conductancia y a su parte imaginaria susceptancia). La reactancia se denota con la letra χ y es positiva para las bobinas y negativa en los condensadores. En el caso de los dispositivos anteriores:

0Rχ = (2. 44)

L Lχ ω= (2. 45)

1C C

χω

= (2. 46)

Un aspecto fundamental a tener en cuenta es que la impedancia de un dispositivo reactivo depende de la pulsación ω a la que trabaje el circuito, según se desprende de las relaciones vistas. Por ejemplo, si se duplica la pulsación de trabajo la impedancia de todas las bobinas se duplica y la de los condensadores se reduce a la mitad.

Si una impedancia tiene sólo parte real positiva se dice que es puramente resistiva (en el contexto de esta asignatura no tiene sentido hablar de impedancias con parte real negativa); cuando tiene parte imaginaria positiva, se dice que tiene carácter inductivo; y cuando tiene parte imaginaria negativa, que tiene carácter capacitivo. Esta apreciación guarda relación directa con el hecho de que la impedancia de un dispositivo indica la relación de amplitud y fase entre la corriente que lo atraviesa y la tensión que cae en sus bornes. Efectivamente, dado un dispositivo con impedancia Z :

,Zj

Z V I

VZVZ Z e V Z I Z I

Iϕ

ϕ ϕ ϕ

⎧=⎪= = ⋅ ⇒ = ⇒ ⎨

⎪ = −⎩

(2. 47)

Así, para los dispositivos vistos (ver eq. (2. 43)):

• La tensión y corriente en bornes de una resistencia están en fase (es decir, su diferencia de fases es nula).

• La tensión en una bobina tiene una fase 2/π mayor que la corriente que la atraviesa, es decir, la tensión está adelantada respecto de la corriente.

• La tensión en un condensador tiene una fase 2/π menor que la corriente que lo atraviesa, es decir, la tensión está retrasada respecto de la corriente.

En el caso de una impedancia genérica, con parte real e imaginaria, el argumento de la impedancia indicaría el desfase entre tensión y corriente. Observe que al no considerar la posibilidad de partes reales negativas, este desfase ha de mantenerse siempre en el intervalo [ ]/ 2, / 2π π− .


16

ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS

Aplicando los mismos procedimientos vistos en el Tema 1 sobre Equivalencia y Asociación, a las Leyes de Kirchhoff expresadas con fasores y al concepto de impedancia como expresión generalizada de la característica I-V de un dispositivo en este dominio, es posible definir el concepto de impedancia equivalente. Así, para el caso de N impedancias (es decir, dispositivos analizados en RPS) conectadas en serie:

1

N

eq s ii

Z Z Z=

= = ∑ (2. 48)

Y para el de N impedancias conectadas en paralelo:

1

1 1 1N

ieq p iZ Z Z=

= = ∑ (2. 49)

o bien, en función de las admitancias 1i

i

YZ

= :

1

N

eq p ii

Y Y Y=

= = ∑ (2. 50)

Obsérvese, en primer lugar, que el concepto de impedancia permite asociar dispositivos de distinta naturaleza (resistencias, bobinas o condensadores); de ahí la posibilidad de obtener impedancias que no son reales (resistencias) ni imaginarias (bobinas o condensadores). En segundo lugar, el cálculo de impedancias equivalentes involucra operaciones con números complejos, operaciones que en muchos casos resulta ventajoso representar e incluso llevar a cabo gráficamente en un plano complejo (diagrama de impedancias), según muestra la Fig. 2.13.

Re[z]

Im[z]

O

ZL

ZC

ZR

ZL-ZC

βZEQ

Fig. 2.13: Impedancia equivalente de un circuito serie RLC con carácter inductivo.


17

2.5 Análisis de circuitos RLC en RPS

Según lo expuesto hasta ahora, la representación de señales sinusoidales a través de fasores permite trasladar el problema del análisis de un circuito al dominio fasorial: se plantea el problema en este dominio aplicando las Leyes de Kirchhoff sobre fasores, utilizando el concepto de impedancia como característica I-V; se resuelve el sistema de ecuaciones de números complejos; y se interpretan los fasores resultantes como las sinusoides a que representan.

El análisis fasorial es una herramienta que permite abordar de un modo sencillo el problema de análisis de circuitos en RPS, trasladándolo del dominio temporal al de los fasores. Es fundamental, por lo tanto, no mezclar en ningún caso elementos de ambos dominios. En este sentido, se ha hecho especial hincapié en adoptar una notación (ampliamente extendida) que en RPS ayude a distinguirlos: representaremos con letras minúsculas todos los datos dependientes del tiempo y con letras mayúsculas los fasores.

A modo de resumen y compendio de los procedimientos explicados, así como de su relación con las técnicas generales de análisis de circuitos vistas en el Tema 1, los siguientes puntos indican el procedimiento a seguir para analizar un circuito en RPS:

a) Expresar todos los generadores sinusoidales con la misma forma (‘seno’ o ‘coseno’), para lo cual deberá hacerse uso de la equivalencia (2. 8). Esto garantiza que las operaciones con sinusoides puedan efectuarse operando sólo con sus fasores.

b) Representar todas las señales sinusoidales de tensión y corriente (tanto los datos como las incógnitas) mediante sus respectivos fasores, y representar todos los dispositivos pasivos (resistencias, bobinas y condensadores) mediante sus correspondientes impedancias. Con ello tendremos el circuito expresado en el dominio fasorial o complejo.

c) Aplicar las Leyes de Kirchhoff sobre los fasores de tensión y corriente y las características I-V de los dispositivos para plantear las ecuaciones que permitan obtener las incógnitas buscadas (fasores de corriente, fasores de tensión o impedancias). Resolver las ecuaciones complejas.

d) Una vez obtenidos los resultados, si son fasores de tensión o de corriente obtener la señal de corriente o tensión que representan, es decir, una sinusoide de igual forma (‘seno’ o ‘coseno’) que la adoptada en el apartado primero y cuya amplitud máxima y fase inicial se corresponde con el módulo y argumento del fasor que la representa. Si los resultados son impedancias, obtener los valores de los dispositivos a que corresponden (la parte real corresponderá directamente a resistencias y la imaginaria a bobinas o condensadores cuyos parámetros L y C dependerán de la pulsación de trabajo).


18

2.6 Potencia en RPS

2.6.1 Potencia instantánea

Como se presentó en el Tema 1, la potencia puesta en juego por un dispositivo de un circuito en cualquier instante se obtiene como el producto de la tensión por la corriente en dicho instante; si alguna de estas dos magnitudes es variable con el tiempo la potencia también lo será.

En RPS la tensión y la corriente vienen dadas en general por expresiones del tipo:

0

0

( ) cos( )( ) cos( )

v

i

v t V ti t I t

ω ϕω ϕ

= +

= + (2. 51)

Si establecemos como origen de tiempos un instante en el que la corriente sea máxima, las expresiones anteriores pueden rescribirse, sin perder generalidad, como:

0

0

( ) cos( )( ) cos( )

v iv t V ti t I t

ω ϕ ϕω

= + −

= (2. 52)

La potencia en cada instante o potencia instantánea vendrá dada por la expresión:

0 0( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )v ip t v t i t V I t tω ϕ ϕ ω= ⋅ = + − (2. 53)

POTENCIA ACTIVA Y POTENCIA REACTIVA. FACTOR DE POTENCIA.

Habitualmente el conocimiento de la potencia instantánea no resulta de especial interés para el análisis de un circuito o instalación. En la práctica se utilizan otros parámetros directamente relacionados con ella, que permiten evaluar directamente aspectos como la eficiencia de conversión energética o la potencia media.

En este sentido, desarrollando el producto de cosenos de la expresión anterior obtenemos:

0 0 0 01 1( ) cos( ) cos(2 )2 2v i v ip t V I V I tϕ ϕ ω ϕ ϕ= − + + −

(2. 54)

, expresión cuyo primer término es constante y cuyo segundo término varía con el tiempo con una pulsación doble que la de las señales de tensión y corriente. Si ahora descomponemos el segundo término desarrollando el coseno de la suma de dos ángulos, obtenemos la expresión:

0 0 0 0 0 01 1 1( ) cos( ) cos( )cos(2 ) sen( )sen(2 )2 2 2v i v i v ip t V I V I t V I tϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω= − + − − −

(2. 55)

En esta expresión es posible identificar dos parámetros que, aparte de la pulsación, caracterizan

íntegramente la potencia:

0 0

0 0

1 cos( )2 ( ) cos(2 ) sen(2 )1 sen( )2

v i

v i

P V Ip t P P t Q t

Q V I

ϕ ϕω ω

ϕ ϕ

⎫= − ⎪⎪ ⇒ = + +⎬⎪= − −⎪⎭

(2. 56)

La interpretación de estas magnitudes es la siguiente:

• Al parámetro P se le denomina potencia media, potencia activa o potencia real. Teniendo en cuenta que las sinusoides tienen valor medio nulo, es evidente que P es el valor medio de la potencia instantánea. Sus otros apelativos se refieren al hecho de que representa el valor máximo o de pico de la parte de la potencia eléctrica transformada en energía no eléctrica (calor, trabajo, etc.), habitualmente asociada a energía aprovechable.


19

• Al parámetro Q se le denomina potencia reactiva3. Su valor absoluto4 representa el valor máximo o de pico de la parte de la potencia eléctrica que no se transforma en energía no eléctrica, sino que únicamente se intercambia entre los dispositivos capaces de almacenar energía (bobinas y condensadores) y las fuentes. Representa energía no aprovechable que sin embargo provoca pérdidas por efecto Joule en los conductores (no ideales) de un circuito o instalación.

• Al término )cos( iv ϕϕ − se le denomina factor de potencia y ofrece una medida del grado de aprovechamiento de energía eléctrica obtenido de una tensión y una corriente dadas, es decir, la proporción de P y Q que caracteriza la potencia que ponen en juego (motivo por el que en una instalación eléctrica se buscan factores de potencia cercanos a la unidad, es decir, desfases mínimos entre tensión y corriente).

De cara a los objetivos de análisis de circuitos eléctricos con aplicaciones en proceso de señal la potencia media es la única componente de la potencia en RPS que resulta de utilidad, por lo que de ahora en adelante nos centraremos en ella. El Apéndice B amplía y generaliza el análisis de potencias presentando conceptos como el de potencia compleja y potencia aparente, de especial relevancia en el diseño de grandes instalaciones eléctricas.

2.6.2 Potencia media puesta en juego por los dispositivos circuitales

Sea un dispositivo circuital sometido a una diferencia de potencial representada por el fasor | | VjV V e a jbϕ= = + y atravesado por una corriente | | IjI I e c jdϕ= = + , ambos tomados en el

sentido positivo del criterio de signos del dispositivo (ver Fig. 2.14) . Según se ha visto, la potencia media puesta en juego por el dispositivo vendrá dada por la expresión:

( )1 | || | cos2 V IP V I ϕ ϕ= −

(2. 57)

0)( >tv

0)( >ti

0)( >tv

0)( >ti

(a) (b)

Fig. 2.14: Criterio de signos para los dispositivos pasivos (a) y activos (b)

Teniendo en cuenta que los fasores de tensión y corriente pueden interpretarse como vectores en el plano complejo, la expresión de potencia es proporcional al producto escalar de dichos vectores. Por lo tanto, también es posible obtenerla directamente a partir de la expresión de los fasores en forma canónica:

3 Aunque la potencia reactiva tiene las mismas dimensiones que la potencia media (vatios), para evitar

que se confundan y dejar claro que no son directamente aditivas (sólo se deben sumar por medio de la fórmula de potencia instantánea) se define una nueva unidad para la potencia reactiva: el voltio-amperio reactivo (VAR).

4 Al tomar la corriente como referencia en los cálculos de potencia el signo de la potencia reactiva será positivo para las bobinas y negativo para los condensadores. Este signo se interpreta habitualmente diciendo que las bobinas absorben VARS magnetizantes y que los condensadores liberan VARS magnetizantes.


20

( )1 12 2

P V I ac bd= = +o (2. 58)

Ambas expresiones de potencia son aplicables a cualquier dispositivo circuital. En el caso de los generadores, este es el modo más directo de obtener la potencia que ponen en juego. Sin embargo, en el caso de las impedancias es posible obtener, a partir de su característica I-V expresiones más prácticas.

POTENCIA EN UNA IMPEDANCIA GENÉRICA

Sea una impedancia | | zjZ a jb Z e ϕ= + = . Según se ha visto en el apartado 2.4.2, el módulo y argumento de la impedancia relaciona los módulos y argumentos de la tensión y corriente. Ello permite obtener diversas expresiones adicionales para el cálculo de la potencia:

( )[ ]

[ ]

2 2

2 2

2

1 1| | | | cos | | Re| | | || | 2 21 | || | cos

1 | | 1 | |2 cos Re2 | | 2 | |

Z

V IZ V I

Z

I Z I ZV Z I

P V IV V ZZ Z

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪= ⎫ ⎪⇒ = − =⎬ ⎨= − ⎭ ⎪ =⎪⎩

(2. 59)

POTENCIA EN RESISTENCIAS, BOBINAS Y CONDENSADORES

Particularizando las expresiones genéricas de potencia en una impedancia al caso de resistencias, bobinas y condensadores es posible profundizar en el comportamiento de este tipo de dispositivos en RPS.

En el caso de una resistencia, RZ R= :

( )2

2

1 | || | | | 1 2| || | cos0 2 1 | |

2

V IZ

I RV R IP V I

VR

ϕ ϕϕ

⎧⎪= ⎫ ⎪⇒ = − =⎬ ⎨= ⎭ ⎪⎪⎩

(2. 60)

En el caso de una bobina, 2j

LZ Leπ

ω= :

( )| | | | 1 | || | cos 0

2 2 V IZ

V L IP V I

ωϕ ϕ

ϕ π= ⎫

⇒ = − =⎬= ⎭ (2. 61)

En el caso de un condensador, 21 j

CZ eC

π

ω−

= :

( )| | | | 1 | || | cos 0

2 2 V IZ

V I CP V I

ωϕ ϕ

ϕ π= ⎫

⇒ = − =⎬= − ⎭ (2. 62)

Como conclusión, en RPS la potencia media que ponen en juego los dispositivos inductivos y capacitivos es nula. Por lo tanto, la potencia media se absorbe o disipa exclusivamente en las partes resistivas de las impedancias.

POTENCIA INSTANTÁNEA EN DISPOSITIVOS PASIVOS

Resulta especialmente interesante observar la potencia instantánea en resistencias, bobinas y condensadores, para así profundizar en el comportamiento de estos dispositivos e interpretar adecuadamente las conclusiones obtenidas en el apartado anterior.

La Fig. 2.15 muestra la relación existente entre la tensión, la corriente y la potencia instantánea que tienen lugar en una resistencia. Nótese que la potencia es siempre positiva, lo cual indica que en todo momento se está desarrollando una transformación de energía eléctrica en energía no eléctrica, que en este caso se disipa por efecto Joule en forma de calor. Adicionalmente, es inmediato observar que la potencia varía sinusoidalmente, con pulsación doble y con valor medio P .


21

t

p

vi

p(t)v(t)i(t)

Fig. 2.15: Tensión, corriente y potencia en una resistencia en RPS.

En la Fig. 2.16 se muestra la relación existente entre la tensión, la corriente y la potencia instantánea en un condensador que trabaja en RPS. Es inmediato observar, como ya se ha demostrado, que la potencia media es nula. Adicionalmente, este dispositivo absorbe potencia del circuito (en los semiciclos en que ésta es positiva) y la almacena en forma de energía eléctrica; pero, también entrega potencia al circuito (en los semiciclos en que esta es negativa), la que ha almacenado en el semiciclo anterior. Esta potencia que pone en juego el condensador es potencia reactiva, según puede verificarse aplicando la expresiones vistas al principio de este apartado.

t

p(t)v(t)i(t)

p

vi

Fig. 2.16: Tensión, corriente y potencia desarrollados en un condensador en RPS.

La situación en una bobina (ver Fig. 2.17) es similar a la que se da en el condensador. La principal diferencia es que en este caso la potencia que absorbe el dispositivo se almacena en forma de energía magnética. En ambos casos la potencia que ponen en juego no se transforma en una energía aprovechable.


22

t

p(t)v(t)i(t)

p

v

i

Fig. 2.17: Tensión, corriente y potencia desarrollados en una bobina en RPS


23

Apéndice A: Números complejos

A.1 Historia y definiciones

Los matemáticos han venido utilizando números complejos mucho antes de que se definieran con propiedad. Por lo tanto, no es fácil determinar su origen con exactitud.

Una de las primeras referencias a los números complejos data de 1545, cuando Cardan realizaba investigaciones sobre las raíces de los polinomios. En efecto, se vio cómo ecuaciones del tipo

7162 =+x no tenían solución en la realidad, pero sí numéricamente si se aceptaba la existencia de un número ficticio que por entonces se expresó como 1− . Esta expresión se utilizaba para estudiar el comportamiento de las raíces de un polinomio (número, orden, simetría, etc.), y así caracterizarlos, a pesar de que dichas raíces a veces no existieran en el dominio real. 1− era más bien un elemento notacional que una entidad matemática como tal y este hecho daba lugar a una serie de problemas (falacias matemáticas).

Más tarde, en 1777, Leonhard Euler resolvió parte de estos problemas con la introducción de la notación i y –i para la raíz cuadrada positiva y negativa de –1 respectivamente. Con él se originó la notación o forma canónica según la cual un número complejo, z, se puede expresar como una pareja de números reales:

biaz +=

,donde a se denomina parte real del número complejo z, y b se denomina parte imaginaria del número complejo z. Analíticamente:

a = Re[z] , b = Im[Z]

Además, Euler comenzó a estudiar la extensión de funciones como las exponenciales cuando su exponente es un número complejo. En cualquier caso, los números complejos i y –i se denominaron imaginarios debido a que su existencia aún no se comprendía con claridad.

Wessel en 1797 y Gauss en 1799 introdujeron la interpretación geométrica de los números complejos como puntos de un plano con dos ejes reales × , algo que los hacía más comprensibles. Esta forma de representar un número complejo, denominada forma cartesiana o binómica, asume que cada número complejo, z=a+bi ,puede representarse en el plano × por un punto o afijo Az de coordenadas (a,b), de modo que el eje horizontal representa la parte real, y el vertical la parte imaginaria (ver Fig. 2.A.1).

Az

aRe[z]

Im[z]

b(a,b)

O

|z|ϕz

Fig. 2.A.1: Interpretación geométrica de los números complejos

A partir de esta representación gráfica es posible introducir dos nuevas formas de identificar un número complejo. Sea un vector zOA que une el origen de coordenadas O con el afijo de un


24

número complejo Az , de coordenadas (a,b). El punto Az , y por lo tanto el número complejo z, puede identificarse a través del módulo y argumento de dicho vector, de modo que:

22 baz +=

abarctgz z == ϕ)arg( (ojo con esta operación al usar calculadoras)

A partir de estas magnitudes, un número complejo se puede expresar en forma módulo-argumento mediante la notación:

zZz ϕ=

De un modo similar, a partir de las funciones trigonométricas que relacionan el módulo del vector zOA y el ángulo que forma con el eje real, es posible expresar un número complejo en forma trigonométrica:

zza ϕcos=

zzb ϕsin=

Por lo tanto: zz ZiZz ϕϕ sincos ⋅+=

Por último, aplicando la relación de Euler, según la cual ϕϕϕ seniei ⋅+= cos , sobre la notación trigonométrica de un número complejo, se puede expresar éste en forma exponencial:

zieZz ϕ=

De cara al análisis de circuitos, las formas más utilizadas son la canónica y la exponencial. Por ello, resulta especialmente importante saber alternar de una a otra forma con soltura. En este sentido, hay conversiones básicas que el alumno debe reconocer y aplicar de forma inmediata (ver Fig. 2.A.2):

10 =ie , iei =2π , 1−=πie , ie i −=− 2π

( )iei += 12 4π , ( )iei +−= 12 43π , ( )iei −−= 12 45π , ( )ie i −=− 12 4π 2 , etc.

i

Re[z]

Im[z]

1

(1+i)

Oei0

e-iπ/2

eiπ/2

eiπ

(1-i)

(-1+i)

(-1-i)-i

-1

2 eiπ/42 ei3π/4

2 ei5π/4 2 e-iπ/4

Fig. 2.A.2: Ejemplos de números complejos básicos en forma binómica y exponencial


25

A.2 Operaciones

Hasta este punto se han expuesto diversas formas de representar los números complejos, pero no lo que se puede hacer con ellos. Hamilton, en 1833, definió una serie de operaciones que dotaban a los números complejos de la entidad matemática de cuerpo conmutativo:

La adición, con propiedades asociativa, conmutativa, y elemento neutro, el 0+0i.

El producto, con propiedades asociativa, conmutativa, y elemento neutro, el 1+0i.

La propiedad distributiva de la suma con respecto al producto.

En este nuevo ámbito, la unidad imaginaria identificada por Euler no es más que uno de los elementos de este nuevo cuerpo: el elemento 0+1i. A partir de este momento se puede considerar que comenzó la formulación moderna de los números complejos. Sin embargo, el empleo de los números complejos en la ingeniería eléctrica lo introdujo en 1894 Charles Steinmetz. Dado que en este área del conocimiento la letra i está reservada para la intensidad de corriente, a la unidad imaginaria en este ámbito se la designa j.

En el análisis de circuitos vamos a trabajar habitualmente con números complejos expresados en forma exponencial; por ello, se hará especial hincapié en realizar todas las operaciones a partir de elementos expresados de dicha forma.

SUMA

Para sumar o restar números complejos es conveniente que estén expresados en forma canónica. Dados dos números complejos, expresados en forma canónica, la suma de ambos se calcula sumando respectivamente y por separado partes reales e imaginarias:

111 jbaz +=

222 jbaz +=

)()( 212121 bbjaazzz +++=+=

Esta operación da una idea del significado geométrico de la suma de números complejos: sumar un número complejo a otro significa trasladar este último en el plano complejo (ver Fig. 2.A.3).

a1

Re[z]

Im[z]

a2

b1

b2

a +1 a2

b +1 b2

z1 z2

z +1 z2a2b2

Fig. 2.A.3: Interpretación geométrica de la suma de números complejos

Si los números complejos hubieran venido expresados en forma exponencial, antes de realizar la suma es conveniente expresarlos en forma canónica a través de la forma trigonométrica.


26

PRODUCTO

Dados dos números complejos expresados en forma canónica, el producto de ambos es el resultado de multiplicar los dos binomios:

)()())(( 21212121221121 abbajbbaajbajbazzz ++−=++=⋅=

Esta operación no ofrece una idea clara del significado geométrico del producto. Si los números complejos vienen dados en forma exponencial, su producto será un número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores y su argumento la suma de argumentos de los factores:

111

zjezz ϕ=

222

zjezz ϕ=

)(2121

21 zzjezzzzz ϕϕ +=⋅=

El significado geométrico queda en este caso mucho más claro: multiplicar un número complejo por otro supone un escalado y un giro (ver Fig. 2.A.4 izda.), en sentido antihorario si el segundo tiene fase positiva. Un caso particular del producto de dos números complejos es el giro. Efectivamente, el resultado de multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad y un determinado argumento, supone girar el primero un ángulo igual al argumento del segundo (ver Fig. 2.A.4 dcha.).

DIVISIÓN:

La división de dos números complejos es el resultado de multiplicar uno por el inverso del otro. Si un número complejo viene expresado en forma exponencial, el cálculo de su inverso es inmediato:

2 22 2

2 2

1 1z zj jz z e e

z zϕ ϕ−= ⇒ =

La división de dos números complejos se calcularía entonces:

111

zjezz ϕ=

)(

2

1

2

1 21 zzjezz

zz

z ϕϕ −==

Sin embargo, si un número complejo está expresado en forma canónica, para obtener su inverso hay que racionalizarlo (es decir, evitar que el denominador sea complejo), multiplicándolo y dividiéndolo por su conjugado*:

22

22

21212121

22

22

22

11

22

11

2

1 )()()()(

)()(

)()(

babaabjbbaa

jbajba

jbajba

jbajba

zz

z+

−++=

−−

++

=++

==

Análogamente al caso del producto, esta operación no ofrece una idea clara del significado geométrico de la operación. Si los números complejos vienen dados en forma exponencial, su división será un número complejo cuyo módulo es la división de los módulos de los factores y su argumento la resta de argumentos de los factores:

* El conjugado de un número complejo es otro número complejo con igual parte real pero con la parte

imaginaria cambiada de signo.


27

1

1 2

2

11 1 ( )1

2 2 2 2

z

z z

z

jj

j

zz z e zz e

z z e z z

ϕϕ ϕ

ϕ−⎫= ⎪ ⇒ = =⎬= ⎪⎭

El significado geométrico resulta hora mucho más claro: la división de un número complejo por otro supone un escalado y un giro, en sentido horario si éste último tiene fase positiva.

Re[z]

Im[z]

z1

z2

ϕz1+ϕz2 ϕz2

1

.z1 z2

|z |2|z |1

Re[z]

Im[z]

z1

z21

.z1 z2

|z |1

Fig. 2.A.4: Interpretación geométrica del producto de números complejos (izda). Caso particular en que se multiplica por un número complejo de módulo unidad (dcha). En ambos casos se representa la circunferencia de radio unidad.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Los números complejos se utilizan en la resolución de circuitos como herramienta para analizar el régimen permanente sinusoidal (RPS). En este ámbito, aparte de operaciones básicas como las expuestas hasta el momento, en las que uno debe seleccionar la forma en que resulta más conveniente operar, suele ser necesario resolver sistemas de ecuaciones de variables y coeficientes complejos. Ello suele involucrar sucesivas operaciones de sumas, multiplicaciones y divisiones, con independencia del método de resolución que se aplique. Por lo general, en estos casos es conveniente operar siempre en forma binómica.


28

A.3 Ejercicios

Se proponen a continuación una serie de ejercicios básicos especialmente orientados al entrenamiento en operaciones relacionadas con el análisis de circuitos en RPS.

EJERCICIO 1

La tabla muestra una serie de números complejos expresados unos en forma canónica y otros en forma exponencial. Rellenar los huecos de la primera tabla y representar en el plano complejo todos los elementos. Repetir el ejercicio con la segunda tabla, pero esta vez sin utilizar una calculadora.

Forma canónica Forma exponencial

z1 2+3j

z2 3-j

z3 -1+2j

z4 -3-2j

z5 67.02.3 je

z6 55.232.3 je

z7 16.232.3 je−

z8 π216.3 je

Im[z]

Re[z]


z1 1+j

z2 1-j

z3 -1+j

z4 -1-j

z5 πje

z6 2πj

e z7

2πj

e−

z8 π2je

Im[z]

Re[z]


29

EJERCICIO 2

Sea el número z=tj

e 3π

, de módulo unidad y argumento variable con el tiempo. Calcular el valor que toma z para los instantes t={1,2,3,4,5}, tanto en forma exponencial como en forma canónica, y representarlos en el plano complejo. Indicar el tipo de movimiento que experimenta el afijo de z conforme avanza t.

EJERCICIO 3

Operando siempre en forma canónica, efectuar las operaciones que se indica en la tabla. Una vez obtenido el resultado, expresarlo también en forma exponencial.

DATOS: z1=2+3j, z2=4-3j, z3= 7+5j, z4=4-7j


)( 321 zzz ⋅+

)/( 432 zzz +

21

21

zzzz

⋅+

4321

1111zzzz

+++

EJERCICIO 4

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Expresar el resultado en forma canónica y en forma exponencial.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−+

−=+

0)1()1(

)23(6

25

21

21

zjzj

jzz

Sol.:

373,11 3)51(

1225 jejz −=−=

197,02 3)5(

1225 jejz −=+=


30

EJERCICIO 5

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Expresar el resultado en forma canónica y en forma exponencial.

⎩⎨⎧

+=+−−=−−

jzjzjzjz

66)26()22(8)22(2

21

21

Sol.:

197,01 7,1)5(

31 jejz −=−=

21,22 3

5)43(31 jejz −=+

−=


31

Apéndice B: Potencia compleja y potencia aparente

Las magnitudes P y Q pueden utilizarse para definir una tercera magnitud S P jQ= + a la que se denomina potencia compleja. A partir de ésta pueden obtenerse algunas relaciones de interés. En primer lugar, la potencia compleja es posible calcularla directamente a partir de los fasores de tensión y corriente (con lo que de un plumazo obtenemos tanto la potencia media o activa como la reactiva):

*12

S VI=

Adicionalmente, la potencia compleja ofrece una interpretación geométrica muy intuitiva. Para ello, en base a la interpretación geométrica de un número complejo, obsérvese que P y Q son los lados de un triángulo rectángulo de hipotenusa S (ver Fig. 2.B.1). Además, es posible demostrar que el ángulo θ es precisamente el desfase entre tensión y corriente. Este triángulo, al que se conoce habitualmente como “triángulo de potencias”, es particularmente interesante ya que en él aparecen relacionadas cuatro magnitudes de potencia básicas, con lo que sólo conociendo dos de ellas es posible llegar a las otras dos simplemente aplicando relaciones geométricas.

Pθ

QS

Fig. 2.B.1: Triángulo de potencias: potencia compleja (S), potencia activa (P) y potencia reactiva (Q).

Al módulo de la potencia compleja se le denomina potencia aparente y de cara al diseño de redes a nivel industrial juega un papel crucial, muchísimo más importante que el de la potencia media. Esto es así porque la potencia media tan sólo refleja la potencia que se transforma en energía, no realmente toda la que se está desarrollando en los conductores (para lo que es necesario considerar también la potencia reactiva), que es la que realmente se necesita conocer para dimensionar correctamente dichas redes.

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