s.edicin INTRODUCCiNAL , ALGEBRA LINEAL r:8LIMUSA Contenido de esta obra: SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES YMATRICES DETERMINANTES VECTORESENLOSESPACIOSBIDI-MENSIONAL YTRIDIMENSIONAL ESPACIOSVECTORIALES TRANSFORMACION,ESLINEALES EIGENVALORES(VALORESPROPIOS), EIGENVECTORES(VECTORESPRO-PIOS) Introduccin allgebra HowardAnton DrexelUniversity !El LlMUSA NORIEGA EDITORES M8(ICOEspaaVenezuela. Colombia VERSiNA.UTORIZADAENESPAOL DELAOBRAPUBLICADAENINGLt:SPOR JOHN W,LEY& SONS,INC., CONELTITULO: ELEMENTARYLINEARALGEBRA, 3RD. EDITION. (X)!!II(x)/ ,(X) ! --;;=!JI(X)Y : (x)+'{ x )y: CX) 10.(a)Enlafiguraquesedaalfinal , elreadeltringuloABC sepuedeexpresar como reaA RC = rea ADHC + reaCh'FB- rea AJJFB DESARROLLO POR COFACTORES;REGLA DE CRAMER111 Apliqueestoyelhechode que el rea de un trapecio es igual a1/2 de la altura multiplicada por lasuma de los lados paralelos, para demostrar que 1 X I YI reaABe ="2X2 Yz -" 3Y3 [Nota.Enla deduccin de estafrmula, senombran los vrtices de manera queeltringuloserecorra en sentidocontrario almovimiento de las mane-cillasdelreloj,yendode(x 1 ,Y 1 )a (x 2,Y2)Y a (x 3,Y 3).Sielrecorridose haceenelsentidodelmovimientodelasmanecillas delreloj,eldetermi-nante que seobtiene conduce alnegativodel rea .] (b)Apliqueelresultadoobtenidoenelinciso(a)parahallarel rea del trin-gulocon vrtices (3, 3), (4, O), (- 2, -1). DEF 3 Vectoresenlosespacios bidimensionalytridimensional Los lectoresque conozcanelcontenido deestecaptulopuedenpasaralcaptulo4,sin prdida de contil/uidad. 3.1INTRODUCCIONA LOSVECTORES(GEOMETRICOS) Enestaseccinsepresentangeomtricamentelosvectoresenlosespacios bidimensioaal (espacio2)ytridimensional(espacio3).Sedefinenlasoperacionesaritmticas sobre los vectores yseestablecen algunaspropiedades bsicas deestas operaciones. Muchascantidadesfsicas,comorea,longitudymasa,sedefinencompletamente unavezquesedaunnmerorealquerepresentalamagnituddelamisma.Otrascanti dadesfsicas, denominadasvectores,noquedandeterminadasporcompletohasta quese especificanunamagnitudyunadireccin. *Fuerza,desplazamientoyvelocidadson ejemplos devectores. Losvectoressepuedenrepresentargeomtricamentecomosegmentosrectilneos dirigidos, oflechas, en los espacios bidimensional ytridimensional; la direccin dela tlecha especificaladireccindelvectorylalongituddelamisma describe sumagnitud. La cola delaflechasellama punto inicial del vector ysupunta es el puntoterminal.Losvectores sedenotarnpormediodeletrasminsculasnegritascomo a,k,v,wy x.Alanalizar los vectores,losnmerossemencionarncomo escalares.Todos losescalares que seusen en estelibrosernnmerosrealesysedenotarnpormediodeletrasminsculascursivas comoa, k,JI,Wy . X. *Enmuchoslibrosenespaolsobreeltema seseala queun vector queda determinado aldar sumag-nitud,direccinysentido;considerandolapalabradireccinslocon elsignificado de recta que con-tienealvector;talprctica,ennopocoscasos,conduceatextosconfusos.En este libro setraduce la palabradirectionsimplementepordireccin,dndoleelsignificado- como eneltextoeningls,lo cualtambinescorrectoenespaol- tantoderectaquecontieneelvectorcomo de sentidoquese toma sobrelamisma.(N. delT.) 113 114VECTORES ENLOSBIDIMENSIONAL yTRIDIMENSIONAL Figura3.1a) El vector A B. b) Vectores equivalen tes. Si,comoenlafigura3.10,elpuntoinicialdeun vector v es A,yelpunto terminal es B,seescribe v =AB Losvectoresconlamismalongitudylamismadireccin,comolosdelafigura3.lb, sediceque son equivalentes.puestoquesedeseaqueunvectorquededeterminadoni-camenteporsulongitudydireccin, los vectores equivalentes seconsideran como iguales auncuandopuedanestarlocalizadosenposicionesdiferentes .Sivywsonequivalen-tes seescribe-,' = w Definicin.Sivywsondosvectorescualesquiera,entonceslasumav+ weselvector quesedeterminacomosigue:Colqueseelvectorwdemodoquesupunto inicial coin-cidaconelpuntoterminaldev.Elvector v + wserepresentapor medio de laflecha que va delpunto inicial de v al terminal de w(figura3.20). Enlafigura3.2bsehanconstruidodossumas,v+ w(flechas azules) y w+ v (fle-chas blancas); es evidente que y quelasuma cOIncidecon la diagonal delparalelogramo determinado por v y w. alubicar estos vectores demodo que tengan elmismopunto inicial. (al Figura3.2 INTRODUCCION ALOS VECTORES (GEOMETRICOSI115 Figura3.3 Elvector delongitud cerosedenomina vector ceroy sedenota por O.Sedefine O+v=v+O=v paratodovectorv.Comonoexistedireccinnaturalparaelvectorcero,seconvendr enqueselepuedeasignarcualquierdireccinqueresulteconvenienteparaelproblema queseestconsiderando.Siv escualquier vector diferente decero, esobvio que el nico vectorw que satisfacev +w = O eselvector quetiene la misma magnitud que v perocuya direccineslaopuesta(figura3.3).Estevectorseconocecomonegativo(oinverso adi-tivo)dev yseescribe w=-v Adems, sedefine- 0=0. / ' o . - - " ~ Definicin. Siv y w son dos vectores cualesquiera, entonces la sustraccin sedefine por v-w= v+(-w) Figura 3.40). Paraobtener ladiferenciav- w,sinconstruir - w, colquense v y w de modo que coincidansuspuntosiniciales;elvectorquevadelpuntoterminaldewhaciaelpunto terminal dev es entonces elvector v - w (figura 3.4b) Definicin. Siv esunvectorykeselnmeroreal(escalar), entonceselproductokvse definecomoelvectorcuyalongitudesIklmultiplicado por la longitud de v ycuya direc-cineslamismaqueladev,sik> 0,yopuestaaladev,sik< o.Sedefinekv = O si k=0 o v=O.\ iJ_w -w ww (a)(b) Figura3.4 116 VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL Figura3.5 Enlafigura3.5seilustralarelacinentreunvectorvyelvectortv, (- l)v,2v y ( - 3)v. Ntesequeelvector( - l)vtienelamismalongitudquevperosudireccinesla opuesta. Por tanto, ( - l)v esprecisamente elnegativo dev; esdecir, \ (- l)V=-V) ---Losproblemasrelacionadosconvectoresamenudosesimplificanalintroducirun sistemadecoordenadasrectangulares.Porelmomento , elanlisisserestringeavectores enelespaciobidimensional(elplano).Seavcualquiervectorenelplanoysupngase, comoenlafigura3.6,quesehacolocadov demaneraquesupuntoinicialquedeen el origendeunsistemadecoordenadasrectangulares.Lascoordenadas (VI .v2)delpunto terminal de v sellaman componentes dev, yseescribe Sisecolocanvectoresequivalentes,vyw,demodo quesus puntos iniciales caigan enelorigen,entonces esobvioquesuspuntos terminalesdebencoincidir(supuesto que losvectorestienenlamismalongitudylamismadireccin) .Asentonces,losvectores tienenlasmismascomponentes. Es igualmente obvioque ve;tores con las mismas compo-nentesdebentener lamismalongitudylamisma direccin y, porconsiguiente, son eqti-valen tes. En resumen, dos vectores son equivalentes siy slo si y x Figura3.6 INTROOUCCION ALOS VECTORES (GEOMETRICOS)117 Figura3.7 Lasoperacionesdeadicinvectorialymultipliccinporescalares son muy fciles dellevar a cabo en trminos decomponentes. Como. seilustra en lafigura3.7, si erttonces Siv = (VI.V2)Y k esun escalar cualquiera, entonces. aplicandoun argumento geomtrico relacionado con tringulos semejantes, sepuede demostrar (ejercicio14) que (figura 3.8). As, por ejemplo, siv = (l . - 2) y w= (7, 6) entonces v + w =(1. .- 2) + (7, 6) = (l + 7), - 2 + 6) =(8,4) y 4v = 4( l. - 2) =(4( 1), 4(- 2=(4, - 8) Figura3.8 VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL z z y o (a) (b) Figura3.9 Precisamentecomolosvectoresenelplanosepuedendescribirpor parejasden-merosreales,esposibledescribirlosvectoresenelespaciotridimensionalporternasde nmerosreales,introduciendounsistemadecoordenadas reactangulares.Paraconstruir unsistemadecoordenadasdeestetipo,seseleccionaun punto O,conocidocomo origen, yseeligentresrectasmutuamenteperpendiculares,llamadasejesdecoordenadas,que pasenporelorigen.Sedenominanestosejescomo x,yy zy seselecciona una direccin positivaparacadaunodeellos,as como una unidad de longitud paramedir las distancias (figura3.9a).Cada par deejes decoordenadasdeterminanun plano conocido como plano coordenado.Estosplanossemencionancomoplanoxy,planoxzyplanoyz.A cada punto Penelespaciotridimensionalseleasignauna terna denmeros (x, y,z), llamados coordenadasdeP,comosigue:sepasantresplanospor P queseanparalelos a los planos coordenados,ysedenotanlospuntosdeinterseccindeestosplanosconlostresejes coorde'nados por X,YY Z(figura3.9b).Las coordenadas dePsedefinencomo las longi-tudes con signo x =OXy=OYz=OZ Enla figura 3.10 sehan situado lospuntos cuyas coordenadas son (4, 5,6) y (- 3,2,- 4). Lossistemasdecoordenadasrectangularesenelespaciotridimensional caen en dos categoras, izquierdos y !erechos.Un sistema derechotiene lapropiedad dequeun tornillo y (-3,2, -4) yx ~ - - ~ - - = - - - - - ~ ~ . x Figura3.10 INTRODUCCION AlOS VECTORES(GEOMETRICOS) 119 Figura3.11a) Derecho.b) Izquierdo. --z6 comnqueapunteen 1. ireccin positivadel ejez avanzara sielejexpositivo sehiciese girar90haciaelejevositivo (figura3.1 la). Elsistema esizquierdo siel tornillo sedes-plazase hacia atrs (figura 3.1Ib). En estelibro sloseutilizan sistemasderechosdecoordenadas. Si , como en lafigura3. 12, un vector ven elespaciotridimensional seubica demodo que supunto inicial quede en el origendeun sistemarectangulardecoordenadas, entonces las coordenadas delpuntoterminal seconocen como componentes dev yseescribe Siv= (VI .V2,V3 )Y w = (WI 'W2,W3)sondos vectores en elespacio tridimensional, entoncesesposibleaplicarargumentossemejantesalosusadosparalosvectoresenun. plano, afinde establecer los resultados que siguen: i)v y wsonequivalentes siy slosi VI= W ,V2= W2Y V3= W3 ii)v + w= (VI+ WI .V2+ W2 ,V3+ W3) iii)kv = (kv l .kV2 .kV3),endonde kes unescalar cualquiera Ejemplo1 Si v = (1 , - 3, 2)Y w = (4, 2,1), entonces v + w= (5. - 1, 3),2v = (2, - 6, 4),- w = (- 4, - 2, - 1), v - w = v + (- w) = (- 3, - 5, 1). z y Figura3. 12 120VECTORES ENLOSESPACIOSBIOIMENSIONAL yTRlDIMErJSIONAL r ,p(X,y,z ) P'2(X-2,y::! .Z-2 } _1-OP y x Figura3.13 Avecessurgenvectoresquenotienensuspuntos iniciales en elorigen. Siel vector pp2 tieneelpuntoinicialp(x , y ,z)yelpuntoterminalP ~ ( X 2 ,Y2,Z2),entonces .,/ esdecir,lascomponentesdepp2 seobtienenalestarlas coordenadas del punto inicial delascoordenadasdelpuntoterminal.Sepuerleverestoconsiderandolafigura3.13; elvector pp2 esladiferenciadelos vectores OP2 y OP,demodo que Ejemplo2 Lascomponentesdelvectorv = pp2 conpuntoinicialp (2,- 1,4) Y puntoterminal P2(7 , 5, - 8) son v=(7 - 2,5 - (- I),(- 8) --' 4)=(5,6, - 12) . Demodo anlogo, en el espaciobidimensional, el vector con punto inicial p (x, Y) ypuntoterminalP2(x2,h)esPP2 =(X2- X,Y2- y). Ejemplo 3 Sepuedensimplificarlassolucionespara muchos problemas, trasladando los ejes de coor-denadas a fmdeobtener nuevos ejesparalelos a los originales. Enlafigura3.140sehantrasladado los ejes decoordenadas xy para obtener un sis-temadecoordenadas x'Y'cuyoorigenO'estenelpunto(x,y) = (k,[).Unpunto P en elespaciobidimensionalahoratienetantolascoordenadas(x,y)comolascoordenadas (x',y').Paraverlaformaenlaquelasdosestnrelacionadas,considreseelvector O'P (figura3.14b).Enelsistemaxy,supuntoiniuz, U3) +(VI>vz, V3 )]+( WI>wz, W3) = (UI+VI ,Uz+vz, U3+v3) +,( wl,wz, W3) = ([ul +VI]+wl,[u z+vz ]+wz,[U3 +V3]+W3) = (UI+[ VI+wl] ,Uz +[vz+wz], U3 +[V3+W3]) =(UI>uz,U3)+(VI+wl>Vz+wz, V3 +W3) =u+ (v+ w)I Demostracindelincisob)(geomtrica).Supngasequeu,vyWserepresentanpor PO QRY RS.como semuestra en lafigura3.15.Entonces, v +w=QS . yu +(v+w)=PS Tambin, u+v =PRY(u+v)+w=PSD'Vv' Por tanto , u +(v+w)= (u+v)+wI ...: 124 VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL p Figura3.15 Alalongituddeunvectorvamenudoseledaelnombredenorma oevysele denota 'porIIvll.Delteorema dePitgoras sededuceque lanorma de un vector' v =(v) ,1' 2) enel espacio bidimensional es Seav =(VI,1' 2,1'3)unvectorenelespaciotridimensional .Utilizandola, figura3 .16b Y condos aplicaciones delteorema dePitgoras, se 'obtiene IlvW= (OR) 2 + (RP) 2 =(OQ) 2 + (OS) 2 + (RP) 2\ =vi++ . ,) Por tanto, 1111 v= -J Vi+ [' 2 + 1') (3. 1) SiPI (XI , YI,ZI) Y P2(X2 , h ,Z2)sondospuntos en elespacio tridimensional , entonces ladistancia 'dentre ellos es lanorma delvector PI P2 (figura3.17). Debido a que Figura3.16 NORMAS OEUN VECTOR; ARITMETICA VECTORIAL125 z /P' ,,,.,,, " l p(X.y . z) y Figura3.17 de(3.1) sededuceque Demodoanlogo,siPI(X,Y)yP2(X2,Y2)sonpuntos enelespaciobidimensional, entonces la distancia entre ellos est dada por Ejemplo 4 Lanorma delvector v =(- 3,2,1) es La Jistancia d entre los puntos p (2, - 1,- 5) Y P2 (4, - 3, 1) es EJERCICIOS3.2 1.Calculelanorma dev cuando a)v = (3,4) d)v =(1 , 1,1) b)v = ( - I , 7) e)v =( - H,7, 4) 2.Calcule ladistancia entre PIyP2. a)/JI(2,3),Pl (4, 6) e)/JI( H,- 4, 2),/J2(- 6,-- 1, O) c)\' =(O,- 3) n v=(9, O.(J) b)PI ( - 2, 7)_1' 2(0,- 3) d)P,( I , I.I), 1' 2(6,- 7.3) 3.Seau = (1,-- 3,2), v = (l, 1, O)Y w'" (2, 2, -- 4).Encuentre a)Il u+ viib)li ui+ Il vlle)11 - 2ull+ 211ull 126VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL d)113u- 5v+ wl l 4.Halletodos los escalares ktalesqueIIkvll= 3, endondev = (l ,2,4). 5.Verifiquelosincisos(b),(e),(f) y(g) delteorema1,parau = (1,- 3, 7), v = (6, 6,9), w= (- 8,1,2), k = - 3 Y 1 = 6. I 6.Demuestre~ u esiv esdiferentedecero, entonces I T ~ I Ivtiene normal. 7.Useelresultadodelejercicio6parahallarunvectordenorma1quetengala misma direccinque v =(1,1,1). 8.SeaPo= (xo.Yo.zo)yP= (x.y.z).Describaelconjuntodetodoslos puntos (x.y .z) para losqueIIp- Po11 =1.-9.Pruebegeomtricamentequesiuyysonvectores en los espacios bidimensional ytridimensional, en tonceslIu+ v 11 :s;;;lIu 11 + IIv 11 . 10.Pruebe analticamente los incisos (a),(e) y(e)delteoremal. 11.Pruebe analticamente los incisos (d), (g) y(h) delteoremal. 12.Pruebe geomtricamente el inciso(n delteoremal . 3.3PRODUCTOESCALAR(PUNTO); PROYECCIONES Enestaseccinsepresenta un tipo demultiplicacin devectores en los espacios bidimen-sionalytridimensional.Seestablecen laspropiedades aritmticas de esta multiplicacin y sedanalgunas aplicaciones. Seanuyvdos vectores diferentes decero en los espacios bidimensional otridimen-sionalysupngasequeseh-ansituadoestosvectoresdemodoquesuspuntosiniciales coincidan. Sedir que el nguloentre u yv eselngulo()determinado por uy v quesatis-faceO :s;;;():s;;;7T(figura3.18). Definicin.Siuyvsonvectoresenlosespaciosbidimensionalotridimensional y()esel nguloentreuyv,entonceselproductoescalar(punto)oproductoeuclidianointerior u."sedefinepor L v .. vvu Figura3.18 PRODUCTO ESCALAR(PUNTOI: PROYECCIONES127 Ejemplo 5 r(0, 2, 21 (0,0,1) y Figura 3.19 u. v={ l l u l ~ l l v l lcose, si u -=1- o yv -=1- o siu=Ov=O Comosemuestraenlafigura3.19, elnguloentrelosvectoresu=(O,O,1)Y v = (O,2, 2) esde45.Por tanto, Seanu= (UI,U2 ,U3)Y v = (VI.V2V3 )dos vectores diferentes de cero.Si,como en lafi gura 3.20, (Jes el ngulo entre u y v, entonces laleydeloscosenos da -" Puesto que PQ = v - u, sepuede volver a escribir (3. 2) como o bien, - z / Figura3.20 Q (VI.V2,V3 ) y ~ (3.2) 128VECTORES ENLOSESPACIOS BIDIMENSIONAL, TRIDIMENSIONAL Alhacer la sustitucin, y despus desimplificar, seobtiene: (3.3) Siu= (UI,U2) Y v = (VI,V2)sondosvectoresenelespaciobidimensional ,entoncesla frmulaquecorresponde a (3.3) es Ejemplo 6 Considrenselos vectores u = (2,- 1, 1)y v = (I , I, 2) Hlleseu.v y determnese elngulo eentreuy v. Solucin. TambinlIull= IIvll=V6, demodo que u . v3l cos ()=------. =--:-_ ._==--Il ullll"11"; 6 .,;' 62" Por tanto, e = 60. Ejemplo 7 Hll eseelnguloentreuna delas diagonalesdeun cubo yuna de sus aristas. Solucin.Seaklalongitud deunadelasaristas eintrodzcase un sistemade coordenadas como semuestra enlafi gura 3.2 1. Si sehaceu.= (k,0, O), U2= (0, k,O)Y U3 = (0, 0, k), entonces elvector d= (". k.Id= u I+ U 2+ u.\ PRODUCTO ESCALAR .(PUNTOl; PROYECCIONES129 y V"(k,O,O) Figura3.21 esuna diagonaldelcubo. Elnguloe entre d ylaarista UIsatisface 1 J3 Por tanto, ()= cos -' l ( _1_)::::54 ' 44' y3 Enelteoremaquesiguesemuestracmopuedeusarseelproductoescalarpara obtenerinformacinacercadelnguloentredosvectores;tambinseestableceunaim portante relacin entre la norma y elproducto escalar. Teorema2. Seanu yv vectores enel espaciobidimensional o enel tridimensional. a) b) v v =IIvIl2;esdecir,IIvll = (v V)I/2) Siu yv sonvectf!res diferentes decero yeesel nguloentre ellos.entonces~ \1\ e es agudo e es obtuso e =.2!.. 2 si yslo si si yslo si si yslo si U v>O u' v O,IIv 11 > O Y uv =lIu 11 IIv 11 cos e, u v tiene elmismo signo que cose.Supuestoquee satisfaceO .;;;;;().;;;;;n,!l nguloe esagudosiyslosicose > O, ()esobtuso siy slosicos ()< O Y ()= n/2 siy slo sicos e = o.I 130 VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL Ejemplo 8 Si u = (1, - 2,3), v = (- 3,4,2) Y W= (3,6, 3), entonces u' v =(1)( - 3)+ (-2)(4) + (3)(2)=-5 v W= (- 3)(3)+ (4)(6)+ (2)(3)=21 u' w = (1)(3)+ (-2)(6) + (3)(3)= O Portanto, uyvformanunnguloobtuso, vywformanun nguloagudoyuywson perpendiculares. En elteoremaquesedaacontinuacin selistan las propiedades aritmticas princi-pales del producto escalar. Teorema3. Siu, vywsonvectoresenel espaciobidimensional o enel tridimensional y k es un escalar,entonces a)u' v= v. u b)u (v+ w)=u v + u w c)k(u v)= (ku) v=u. (kv) d)v .v >O si v #- OYv v = O siv = O Demostracin. Se probar (c)para vectores en el espacio tridimensional yse dejarn las de- . mostraciones que restan como ejercicios. Sean u= (u 1,uz,U3)Y v =(VI>vz,V3); entonces k(u v)= k(Ul VI+ U2V2+ U3V3) = (kU}Vl+ (kU2)V2+ (kU3)V3 = (ku) v De modo anlogo,k(u v)=u.(kv)I Con baseen elincisob)delteorema2,sedefmen dos vectores uyv como ortogo-nales(escritou1v)siuv=O.Siseconviene en que eI'vector cero forma un ngulo de 1r/2contodovector,entoncesdos vectoressonortogonalessiyslosisongeomtrica-mente perpendiculares. El producto escalar es til en problemas en los que se tiene inters en "descomponer" unvectorenunasumadevectoresperpendiculares.Siuyvsonvectoresdiferentesde ceroenelespaciobidimensionaloen eltridimensional,entoncessiempreesposiblees-cribir ucomo u = W1 + W2 en donde Wles un mltiplo escalar de v y W2es perpendicular a v (figura 3.22). El vector Wlrecibeelnombrede proyeccin ortogonal deu sobrev yel Wzes la componente deu ortogonal a v. PRODUCTO ESCALAR(PUNTO); PROYECCIONES131 Figura 3.22 LosvectoresWlY W2sepuedenobtener comosigue.Debidoaque Wlesun ml-tiploescalar dev,sepuede escribir en la forma Wl= kv. Pori.anto, . u =W+ W2 =kv+ W2 (3.4) Altomar el producto escalar dedos miembros de (3.4) con v y aplicar los teoremas 2 y 3, seobtienef u . v = (kv+ w2)v =kllvW+ W2 V v . SupuestoqueW2esel perpendicularav,setiene W2v = 0, de modo que por esta ~ c u a -cin sellega a u'v k= TIVIr y como Wl= kv,seobtiene uv W= IIvl12V proyeccin ortogonal-de u sobre v "-Aldespejar W2de u = w,+ W2da componente deu ortogonal a v Ejemplo 9 Considrense los vectores u = (2, - 1, 3)Yv = (4, - 1, 2) ) Ya que u ' v = (2}(4)+ (-1)( -1) + (3)(2)= 15 y 01 132 VECTORES ENLOSEsPACIOS BIDIMENSI"JNAL yTRIDIMENSIONAL laproyeccinortogonal deusobrev es u . v15(20- 510) w=IIvl1 2V=21 (4,- 1,2) =7 ' 7 -' 7 Lacomponentedeuortogonal a v es (20- 510)(- 6- 211) w2=u-w=(2,-1,3)- \7 ' 7 ' 7.=-7-'7'7 Comocomprobacin,esposiblequeellectordeseeverificarqueW2perpendicularav, mostrando queW2v = O. EJERCICIOS3.3 f\ ". 1.Halleu v para a)u = (1,2), v = (6,-8)b)u = (-7,- 3), v = (O, 1) e)u =(1 ,- 3,7), v =(8,- 2,-2)d)u =(- 3,1, 2),v =(4, 2,- 5).' ,J.2.Encada partedel ejercicio1, halle elcosenodelngulo(}entre u yv. u.-3.Determinesiuyvformanunnguloagudo,formanunnguloobtusooson ortogonales. a)u=(7,3,5),v=( - 8,4,2) e)u= (1,1,1),v = ( - 1,O,O) b)u=(6, 1,3),v = (4, 0,-6) d)u =(4,1,6), v = (- 3,O,2) .. 4.Hallelaproyeccin ortogonal deusobrev si: a)u =(2,1),v =(- 3,2) e)u=( - 7,1,3),v=(5,0,1) b)u =(2,6), v =(- 9, 3) d)u =(O,O,1),v =(8, 3, 4) dS.Encada uno de los incisos del ejercicio 4, hallelacomponente de uortogonal a v. 6.Verifique el teorema 3 para u= (6, - 1,2), v = (2, 7, 4)y k= ~5. 7.Encuentredos vectoresdenorma1 queseanortogonales a(3 , - 2). lS8.Sean u = 0,2), v = (4, - 2) Y w= (6, O). Halle : a}u'(7v+w) b}II(u w)wlle) Ilull (v w)d)IIlullv). w 9.Dunaexplicacindeporqucadaunadelasexpresionessiguientes no tienen significado. a}u (v' w) ~.1, b)(u' v+ ~ 'Y'/') " d}k' (u + v) 10.Usevectoresparahallarloscosenosdelosngulosinterioresdeltringulocon ~vrtices en(- 1, O),(- 2,1) Y O , 4 ). PRODUCTO VECTORIAL(CRull 133 11 .Establezca laidentidad 12.Establezca laidentidad 13.Halleelngulo entre unadelasdiagonalesdeun cubo yuna desuscaras . 14.Loscosenosdedireccindeunvectorv en el espaciotridimensionalson los n-meroscos Q,cosycos'Y,endondeQ ,Y 'Ysonlosngulosentrev ylos x , yyzpositivos.Demuestre que si v = Ca, b, d, entonces cos Q=a/ya1 + b2 + c2 Hallecos ycos 'Y. IS.Demuestr,equesivesortogonalaw}yW2.entoncesvesortogonalak} w + k2W2paratodos los escalares kl yk2, 16.Seanuyvvectcresdiferentesdeceroenelespaciobidimensionaloeneltridi-mensional.Sik '"Ilully1 =IIvll , demuestrequeelvector biseca el ngulo entre u yv. 1 11=- - lb + lu) /.:I 3.4PRODUCTOVECTORIAL(CRUZ) I ,Enmuchasaplicacionesdelosvectoresaproblemasdelageometra,fsicaeingeniera, setieneintersenconstruirunvector enelespacio tridimensional que seaperpendicular ados vectoresdados.Enestaseccinsepresentauntipo de multiplicacin vectorialque facilita esta construccin. Definicin.Siu = (u 112.113)Y v = (VI.V2 ,V3)son vectores en elespacio tridimensional, entonces el producto vectorial (cruz)u X ves elvector definido por o . ,conlanotacin dedeterminantes. ux"=" 11.1 1 -1"' r .l1', 11.11. 111' l'l'.1, (3.5) OI3SFRVACION. Existeun patrn en lafrmula(3.5) que es til tener presente.Siseforma lamatriz de2 X 3 [", 1', Ir] 3 r .1 I \ 134VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL endondelos elementos del primer rengln son las componentes del primer factor u, y los delsegundo rengln son las componentes del segundo factor v, entonces el determinante de laprimeracomponentede uX v seobtiene aleliminar la primera columna dela matriz, el determinantedelasegundacomponentealeliminarlasegundacolumna delamatriz,y el determinante de la tercera componente. al eliminar la tercera columna de la matriz. Ejemplo10 Halle u X v, en donde u =(1,2, - 2) Y v =(3,0, 1). Solucin. e ~ - n uxv =( I ~- ~ I ,- I ~- ~ I ,I ~~ I ) = (2,- 7,-6) Entantoqueelproducto escalar (punto) dedos vectoresesun escalar, el producto vectorial(cruz)esotro vector.Elteoremaquesiguedaunarelacinimportante entre el producto escalar y el vectorial ytambin indica que u X v es ortogonal tanto a ucomo a v. Teorema 4. Si uy v sonvectores en el espaciotridimensional,entonces, a)u (uxv)=O b)v (uxv)=O e)Iluxvl12 = IIul1211vll2- (u. V)2 (uxves ortogonal a u) (uxves ortogonal a v) (Identidad deLagrange) a)u (uxv)=(u1,U2'U3)(U2V3- U3V2,U3Vl- U1V3,UIV2- U2Vl) = Ul(U2V3- U3V2)+ U2(U3Vl- UIV3)+ U3(UIV2- U2Vl) =0 b) Semejante a (a) c) Puesto que y IIul12IIvl12- (u. V)2 =(U12 + U/ +U32)(V/+ V/ + V32)- (UIVl+ U2V2+U3V3)2(3.7) SepuedeestablecerlaidentidaddeLagrangeal"efectuar las multiplicaciones" delos se-gundos miembros de (3.6) y (3.7) Y verificar su igualdad. PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)135 Ejemplo11 Considrense los vectores u = (1, 2,-2)andv = (3, O, 1) En el ejemplolOse demostr que uxv= (2,-7,-6) Debido aque u . (uxv)=(1)(2)+ (2)( - 7)+ ( - 2)( - 6)=O y } v . (uxv)= (3)(2)+ (0)( - 7)+ (1)( - 6)= O uXves ortogonal tanto aucomo a v, como lo garantiza el teorema 4. Las propiedades aritmticas principales delproducto vectorial selistan en el teorema siguiente: Teorema5.Siu, v y w sonvectores cualesquieraenel espaciotridimensional yk esun es-calar cualquiera, entonces: a)uxv =- (vxu) b) ux(v+ w)=(uxv)+ (uxw) c)(u+ v)xw =(uxw)+ (vxw) d)k(uxv)=(ku)xv =ux(kv) e)uxO =O xu=O j)u x u=O Las demostraciones sededucen inmediatamente de la frmula 3.5 y de las propiedades de los determinantes; por ejemplo, (a)sepuede probar como sigue: Demostracin.(a)Alintercambiaruy v en (3.5) seintercambian los renglones de los tres determinantesdelsegundomiembrode(3.5)y,enconsecuencia,secambiaelsignode cada componente del producto vectorial. Por tanto, uX v =- (vX u).I Las demostraciones de los incisos restarrtes sedejancomo ejercicios. Ejemplo 12 Considrense los vectores i= (1, O.O)j=(0, 1, O)k= (O, 0, 1) Cadaunodeestos vectorestienen longitud1 yestn a lo largode los ejes de coordenadas (figura 3.23); stos se conocen como vectores unitarios estndar del espacio tridimensional. \ 136 VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL rz (0,0, 1) k Figura3.23 Todovector v = (VI , V2,V3)en el espaciotridimension.alsepuede expresar en trminos de i , jy k,ya quesepuedeescribir Por ejemplo, (2,- 3, 4)=2i- 3j + 41( De(3.5) seobtiene ixj=( I ~~ I ,- I ~~ I ,I ~~ I )=(0, 0,1)=k Ellector no debetener problemas en obtener los siguientes resultados. i x i=j x j=k x k = O ixj=k,jxk=i,kxi =j jxi =- k,kxj=- i,ixk=- j Eldiagrama quesiguees ti!para recordar estos resultados. i o : Conreferenciaaestediagrama, el producto vectorialde dos vectores consecutivos aliren elsentidodelasmanecillasdelrelojeselvectorquesiguesobrelacircunferencia,yel productovectorialdedosvectoresconsecutivosalavanzarensentido contrario a las ma-necillas del reloj es el negativo del vector siguiente sobre lacircunferencia. Tambin conviene hacer notar quesepuede representar simblicamente un producto vectorial en laforma deun determinante de3 x 3, PRODUCTO VECTORIAL(CRUZI uXV=U V Por ejemplo,si u=(1,2,- 2)Yv =(3,O,1), entonces j u x v =12 3O k - 2= 2i- 7j- 6k 1 lo cual concuerda con el resultado queseobtuvo en elejemplo10. Observacin. En general, no es cierto que uX (vX w) :-=(u X v)X w.Por ejemplo, ix(jxj)=ixO = O y (ixj)xj=kxj=- (j xk)=- i demodo que ix(jxj) 4(ixJ)xj 137 ----Por el teorema 4sesabequeuX v esortogonal tanto a u como a v: Si u y v son vecto-resdiferentesdecero,sepuededemostrarque es posibledetermin'lr la direccin deti X v aplicando la "regla dela mano derecha" siguiente (figura 3.24). Sea 8 el ngulo entre u y v, ysupngasequesehacegirarudemodo quedescriba elngulo 8hasta quecoincida con uxv Figura3.24 *Recurdesequeienestetexto,seconvinoenconsiderarslosistemasderechosdecoordenadas.Si o;chubieranutilizadosistemasizquierdos. a4u seaplicarala"rc!lade lamilonizquierda". 138VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL v.Si securvan los dedos dela mano derecha de modo queapunten en la direccin derota-cin, entonces el pulgar apunta (aproximadamente) en ladireccin deu X v. Quizs el lector considere instructivopracticar esta regla con los productos. ix j=kjxk= ikxi= j Siuyvsonvectoresdiferentesdeceroenelespaciotridimensional,entoncesla normadeuX v tieneunainteroretacingeomtrica til. La identidad deLagrange,dada .enel teorema 4, afirma que (3.8) . ~ i(JdenQtaelnguloentreuy v,entoncesu v =lIullllvllcos (J,demodo quesepuede , . volver a escribir (3.8) como. Por tanto, IluXvl12 =IIul12IIvl12- IIul12IIvl12cos2 e =IluWIlvW(1- cos2 e) =IIul1211vl12 sen 2 e (3.9) Perol\vllsen(Jeslaalturadelparalelogramodeterminadoporuyv (figura3.2,S).Por consiguiente, por 10expresado en (3.9), el rea Adeeste paralelogramo est dada por A= (base)(,altura) =Ilullllvllsen e =IluxvII Enotraspalabras,lanonnadeuXvesigualalreadelparalelogramodetenninado por uy v. Ejemplo13 HlleseelreadeltringulodeterminadoporlospuntosP1 (2,2,O),P2 (- 1,0,2)Y P3(0, 4, 3). Figura3.25 PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)139 Figura3.26 SOlucin.Elrea Adeltringuloes1/2delreadelparalelogramodeterminadopor los vectoresPlP2y P1P3 (figura 3.26). Alaplicarelmtodoanalizadoen elejemplo 2 de la seccin 3.1 ,P1P2 = (- 3,-2, 2) YP1P3 = (- 2,2,3). Sededuce que P1P2 XP1P3 = (- 10,5,- 10) y, comoconsecuencia, A= tllpp2xP1P311= t(15) = 1f-Inicialmente,sedefmiun vectorcomounsegmentorectilneodirigido, oflecha, enelespaciobidimensionaloeneltridimensional;posteriormente,seintrodujeronlos sistemasdecoordenadasylascomponentesparasimplificarlosclculosconvectores. Por tanto, un vector tiene una "existencia matemtica"sin importar si sehaya introducido onounsistema decoordenadas. Adems, las componentes de un vector no quedan ,deter-minadasslopor elpropiovector;tambindependendel sistemadecoordenadas quese elija.Por ejemplo,enlafigura3.27setieneindicadounvectorfijoen.el plano, v, y dos sistemasdiferentesdecoordenadas. En el sistemadecoordenadas xy,las componentes de v son (1 , ), yen el sistemax'y' son (..Ji, O). Estollevaa unapregunta importanteacercadela defmicindada deproducto vec-torial.PuestoquesedefmielproductovectorialuX ven trminos delascomponentes -Figura3.27 140VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL Y TRIOIMENSIONAI,. deuyV, y como estas componentes dependen delsistemadecoordenadas elegido, parece factiblequedosvectores fijosu. yv podran tener productos vectoriales diferentes en sis-temasdiferentesdecoordenadas.Por fortuna, steno es .el caso. Para justificar esto, basta conrecordar que: i)u X ves perpendicular tanto a u como a v. ii)Laorientacin deu X v sedetermina por lareglade lamano derecha. iii)lIu X vll= lIullllvll sen 8. Estastrespropiedadesdeterminanpor completo alvector uX v; laspropiedades(i) y (ii) determinanladireccin,yla(iii)deterininalalongitud.Dadoqueestaspropied.des dependennicamentedelaslongitudesyposicionesrelativasdeuyv,ynodelsistema derechodecoordenadasqueseestutilizandoenparticular,elvectoruXv permanece inalteradosiseintroduceunsistemaderechodiferented.ecoordenadas.Estehechose describealafirmrqueladefinicindeuXv esindependientedelascoordenados.Este resultadotienegranimportanciaparalosfsicos.eingenierosquienes,COnfrecu.encia, trabajanconmuchos sistemas decoordendas en elmismo problema. Ejemplo14 Considrensedos vectores perpendiculares u yv,cadaunodelongitud1 (comosemues-tra enlafigura3.280).Siseintroduceunsistemadecoordenadas XYf.comoseve,en la figura3.28b, entonces u = (1 , O, O)=iyv=(O.1,O)=j demodo que uxv =ixj=k=(O, 0,1) Porotrolado,siseintroduceunsistemade x'y'i', como muestraenla figura3.28c, entonces (a) v .-u= (0, 0,1)=k J. O.1) \JXv (b) y .Y * Figura3.28 v=JI,O,O)=i r (lJ.1O) u)o;\' .r ' u PRODUCTO VECTORIAL(CRUZ)141 demodo que uxv = kxi= j= (O,1, O) Peroenlasfiguras3.28byesevecon claridad queel vector (O,0,1) delsistemaxyz es el mismoqueelvector(0,1,O)delsistema x'y' z'.Portanto, seobtieneelmismovector uX v,seaquesecalculeconcoordenadasdelsistema xyzoconlascoordenadas delsis-tema x'y'z'. I, EJERCICIOS3.4 1.Sanu = (2,- 113), v = (0,1,7) Y w = (1, 4, 5).Calcule: a)vxw d)(uxv)x(vxw) b)ux(v. xw) e)ux(v- 2w) c)(u x v) XW f)(uxv)- 2w 2.Encada inciso, halle unvector ortogonal tanto a ucomo a v. a)u=(-7,3, 1)v = (2,0,4) b)u=(-I, - 1,-1)v=(2, 0, 2) 3.Encada inciso, halle elreadeltringuloquetiene los vrtices p.Q yR. a)P(1,5,-2) b)P(2,0,-3) I Q(O,0, O) Q(I, 4,5). R(3,5,1) R(7, 2, 9) 4.Verifique el teorma 4 para los vectores u =(l, - 5,6) Y v =(2,1,2). SVerifique elteorema5 para u = (2, 0, - 1), v= (6, 7, 4), w = (1,1,l)y k=- 3. 6.Qu es errneo en la expresin uXv X w? 7 .. Seanu=(-1, 3,2) Y w==(1,1, - 1).Halletodoslos vectores xquesatisfagan uXx= w. 8.Sean ti =(UI .U2.U3),v= (VI.VLV3)Y w =(wI.W2.W3) .Demuestre queP LI)Uz :'1 u' (vxw)=r;2 ).1 w)W2 \\' .1 9.Useelresultadodelejercicio8paracalcularu'(vX w)cuando u = ( - 1, 4,7), v = (6, - 7,3) Y w= (4, 0,1). 10.Seanmynvectorescuyascomponentes en elsistemaxyzdelafigura3.28 son m=(O,O,l)yn=(O, 1,0). a)Hallelascomponentes demyn en elsistema x'y'/ de lafigura3.28. b)CalculemX nutilizando lascomponentes en elsistemaxyz. f')CalculemX nutilizando lascomponentes en elsistema x'y'z' . d)Demuestre que los vectoresqueseobtuvieron en(b) y(e) sonlos mismos. 142VECTORES ENLOSESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL ?11.Pruebe las siguientes identidades. 1 a)(u+ kv)xv =uxv b) (uxv) z =u . (vxz) 12.Seanu, vywvectoresdiferentesdeceroenel espacio tridimensional,tales que ningn par de ellos son colineales.Demuestre que:I +- a)uX(vXw) seencuentra en el planodeterminado por v yw(suponiendo que los vectores sesitan demodo que tengan los mismos puntos iniciales). b) (u X v)X w se encuentra en el plano determinado por uyv. 13.Pruebe que. xX (y X z) =(x z)y- (x y)z. Sugerencia.Pruebe primero el resul-tadoenelcasoenelquez= i= 0', 0, O),entonces cuando z =j= (0,1, O)y, a continuacin,cuandoz=k=(0,0,1).Porltimo, pruebeparaun vector arbi-trario z = (Zl ,Z2,Z3), escribiendo z = Zl i+ Z2j+ Z3k. 14.Pruebe los incisos (a) y(b) del teorema 5. 15.Pruebe los incisos (e) y(d) del teorema 5. 16.Pruebe los incisos (e) y(d) del teorema 5. 3.5RECTASY PLANOSENELESPACIOTRIDIMENSIONI'L En esta seccin se usan los vectores para deducir ecuaciones derectas y planos en el espacio tridimensional.Asuvez,seutilizanestas ecuacionespara resolver algunos problemas b-sicos de la geometra. En geometra analtica en el plano, sepuede especificaruna recta al dar su pendiente yunodesuspuntos.Anlogamente,esposibledeterminarun planoen elespaciotridi-mensionalaldarsuinclinacinyespecificarunodesuspuntos.Un mtodo conve\niente paradescribirla inclinacin es especificar un vector (llamado normal) que sea perpendicu-lar al plano. Supngasequesedeseala ecuacindelplanoque pasa por el punto Po (xo , Yo,zo) yque tienecomo normal al vectorn= (a,b,e).Es evidente, en la figura3.29, que el plano constaprecisamentedeaquellos puntos P (x,y,z)paraloscualeselvector PoPesorto-gonal a n; es decir,para los que (3.10) dado que PoP = (x- xo, Y - Yo,z- zo), (3.l0) sepuedevolver a escribir como (3.11 ) A esta expresin sele da el nombre deforma punto-normal de la ecuacin de un plano. l. RECTAS YPLANOS ENEL ESPACIOTRIOIMENSIONAL143 --Figura3.29 Ejemplo 15 Encuntresela ecuacindelplanoquepasapor el punto (3, - 1, 7) Y esperpendicular al vector n = (4, 2, - 5). Solucin-:Por la expresin (3.11), una forma punto-normal es 4(x- 3)+ 2(y + 1)- 5(z- 7)=O Alrealizarlasmultiplicaciones yagruparlostrnnos,(3.11)sepuedeescribir en la forma ax +by + cz+ d=O(3.12) en donde a,b cy dson constantes, y a,b yc no son todas cero. Como ilustracin, la ecua-cin del ejemplo15sepuede escribir como 4x+ 2y- 5z+ 25= O Segn loindicael teorema quesigue,toda ecuacin que tiene la forma de (3.12) re-presenta un plano en el espacio tridimensional. Teorema6. Si a,b,cyd sonconstantes, ya,b yc no son todas cero,entonces la grfica delaecuacin es un plano que tiene al vector n = (a,b, c) como normal. Demostracin. Por hiptesis, a,by c no son todas cero. Supngase, por el momento, que a"*O.Entonceslaecuacin ax+ by+ cz+ d = O sepuede volver a escribir como a(x + 144VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL (dla))+ by + ez =O.Pero esto esuna forma punto-normal delplano quepasa por elpun-to (- dla,O,O)Y que' tiene a n =(a,b,e) comouna normal. Sia = O,entonces b*- O,o bien, e*- O.Con una modificacin directa delargumento dadosemanejarn estos otros casos. Laecuacin(3.12)esuna ecuacin lineal en x, yy z; esta ecuacin seconoce como forma general delaecuacin deunplano. Delmismo modo como las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales ax+ by= k ex+ dy=k2 correspondenapuntosdeinterseccindelasf f ~ c t a sax+ by = kyex+ dy= k2 enel plano xy, las soluciones deun sistema ax+ by + ez= k I e/x+ ey+ f z= k2 gx + hy+ ;z=k3 (3.13) correspondenapuntosdeinterseccindelosplanos ax+ by+ ez= k,dx + ey + fz == k2 Ygx + hy + iz = k3' Enlafigura3.30sehanilustradoalgunasdelasposibilidadesgeomtricascuando (3.13) tiene cero, una ouna infinidad desoluciones. (a) (b)(e) (d)(e)(f) Figura3.30 (a) Ninguna solucin (tres planos paralelos).(b)Ninguna solucin (dos planos paralelos).(e)Ningunasolucin(tresplanossininterseccincomn).(d)Unainfinidad desoluciones(tresplanoscoinciden tes).(e)Unainfinidaddesoluciones (tres planos que seintersecanenunarecta).(f)Unalolucin(tresplanos que seintersecan enunpunto). RECTAS YPLANOS ENELESPACIOTRIDIMENSIONAL145 Ejemplo16 Encuntreselaecuacindelplanoquepasaporlospuntos PI (1,2,- 1) , P2(2,3,1)Y P3(3 , - 1,2). Solucin.Debidoaquelostrespuntosseencuentran enel plano, suscoordenadas deben satisfacer laecuacin general ax + by+ cz + d= O delpropio plano. Por tanto, Alresolver este sistema da a =- 96( a + 2b- e + d = O 2a+ 3b+e + d = O 3a- b + 2e+ ti=O b=- /6(e =-h( Alhacer t= - 16, por ejemplo, sellega a laecuacin deseada 9.\+ y- : 5 ~- 16= O d=( Seobservaquecualquier otra eleccin detdaunmltiplo deesta ecuacin, demodo que cualquier valor det * O sera igualmente apropiado. / Solucin alternativa.Supuesto que PI (1 ,2, - 1).P 2(2, 3, 1) YP3(3 , - 1, 2)se encuentran enelplano,losvectores PI P 2= (1 ,1,2)yP I P 3= (2,- 3, 3) sonparalelos al plano. Por tanto PIP2 X PIP3 =(9 , 1, - 5) es normal elplano, ya quees perpendicular tanto aPIP2 comoa Ip I P 3.Conbaseenestoyen elhecho deque PI"esten el plano, una fomlapun-to-normalpara la ecuacindelplano es 9(.\:- 1)+ (y - 2)- 5(z+ 1)= O obien, 9x + J'- 5z- 16=O Ahorasemuestra cmo obtener ecuaciones pararectas en elespacio tridimensional. Supngaseque1 eslarectaenelespacio tridimensional quepasa por elpunto Po(xo, Yo, zo)yesparalela alvector diferente decero v=(a, b, e).Es obvio (figura 3.31) que 1 consta precisamentedeaquellospuntos P (x,y,z)paralosqueelvector PoP es paralelo a v,es decir , para los cuales existeun escalar t talque PoP=tv Entmlinos decomponentes, (3.14) sepuede escribir (x- xo, y- Yo,z - zo)= lta, tb,te) (3.14) 146VECTORES ENLOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL x Figura3.31 delocualsededuceque x= ~ o+ tQ~ Y- Yo + lbendo.nde-oo < t =f ~p2 (x)dx = O siyslosi p= O. Estoestablece elaxioma 4. Convienehacer notar que los argumentos dados aqu slosepueden aplicar para de-mostrarqueelespaciovectoriale [ a,b 1analizado en elejemplo14 es un espaciodepro-ductos interiores bajoelproductointerior ESPACIOS VECTOfUAL61 fb ""Q),demMQ qu.e e'ritntemente , Fa igualdladisecumple'. Supngase' whoFal!.J.t1e u '* O. SUfII"::' . t:=- 41- 41< Ui,Ui > 0';. o. de equivaf.ente, 2 .I $ . ,. .. Ni",)'1' Vi= (V't.Ji,!,. .. V-,.}SDR f!.i(!)s,vutmcs, euak'sqllIie.ra, enRn,e'o-tli1I\S, fa! f' Caucl\j-$cl\wlHz ap;lkacfa a u Y!V' da JlWf tesulta dQ' *'AU/lUstittdij Q;I/..uehy' A.d d'cta,n'fisi's, modc'p-RQ> (lla1eh,y, a, J)Q-Retlail:lfuul\)sob.l'ctbasesma1ematl v.aJt0s 'IIlP-s \IDdi pGE!tUS na:4i3l- Matcm,ric@atlmaJl:. ESPACIOS DE PRODU01'QS INTERIORES EJERCICIOS4.7 1.Calcule < u, v > aplicando el producto interior delejemplo 43. (a)u'" (2.-1), v==(- 1, 3) (e)u=(3, 1), v==(- 2, 9) (b)u = (O,OJ. v= (7, 2), (d)u ==(4, 6). v =(4, 6) 2.Repita elejercicio1 aplicando elproducto euc\jdiano interior sobre R 2. 3.Calcule < u, v"aplicandoel productointerior del ejmplo 44. [, :2-IJ (a)u ==J7 [a4J- 1Z (b)t=[ 12] - 35 , [46J v = o8 4.Calcle < p, q ::>apHCndo elproducto intetior del ejemplo45. (a)p ==- 1 + 2.t+ xt (b)p =+ -+J;2 q==2- 4x2 q ==2 + 4x- 2xl 201 5.SeanU==(u 1,u2J Y V'==(VI ,Vi).Demuestre que las sigUientes expresiones son prqductQf< intnofci sobre R2 . (a)( u, v)=6u jv+ 2utvz (o)( u,. t )=LU,VI + UZV )+ Ujil2+ 2Ui{)t 6.Seanu==(Uf,Ut, U3) Y V'==(V'I 'V2,V ..) .Determine cules delas expresiones si-guientesSOnproductos, sobreR3Paralasquenolosean,listelos axiomas queno secumplen. (a)( u. v)==u( v + U3Uj (b)(ui v)==ufur++ uiJ (e)( u, v)=2u1v) -+UZV2+ 4uJv} (d)( u, t) =u )v- uiil ].+ UjVl y Determinesi < U"JI :>'" Ur VI+ UZv' J+ Ullf+ U4V4es un producto interior sobreMtt . g..Seanp=p(x) y q=q (x) polinomios en P2'Demuestre que < p; q "= p(O)q (0:)+ p(1 (2Jq(t/2) + p(l)q( 1) es, unproduct interior sobre 1'1. 9.Ve.rifiqtie lad:esigualdadde Cauchy-Schwarzpara (a)u ==( 2,1)Y v z(1" - 3), aplicando elproducto nterior delejemplo43. {fJ,)\U== ( 2,1 , 5}y Y=(l .-3,4), aplicando elproducto euclidiarto interor fl: )u = I' r-- 121 .(,). , y V=.. [101 J3 aplicando elprduGtoInteJ'ior dd ejemplo44 202 ESPACIOS VECTORIALES (d)p=1+ 2x+ X 2yq= 2 - 4x2,aplicando elproducto interior del ejemplo 45. 10.SupongaqueR2 tieneelproductoeuclidianointerior.Apliqueladesigualdad doCauchy-Schwarzalosvectoresu=(a.b),v= (cos (J ,sen (J)para demostrar quelacos (J+ b sen (Jj2 b2. 11.Pruebe que si es cualquier producto interior, entonces =< v, O > =0. 12.Pruebeque sies cualquier producto interior ykes un escalar cualquie-ra , entonces =k .. 13.Demuestrequesecumplelaigualdad en la desigualdadde Cauchy-Schwarzsiy slosiuyv sonlinealmente dependientes. 14.Seanel.e2Y e3nmeros reales positivos ysuponga queu= (u 1 ,U2.U 3) Y v= (VI .V2.V3 ) .Demuestreque=elul VI+ 'e2u2v2+ e 3u3v3es unpro-ducto interior sobre R3 . 15.Seanel.e2 . .. ennmerosrealespositivosysuponga que u =(UI .U2 .' un) yv =(VI .V2 ... vn) .Demuestre que = e lUIVI+ C2u2V2+ + enunvn es un producto interior sobre Rn . 16.(Paralos lectores que hayan estudiado Clculo).Aplique elproducto interior ,sepuede escribir como Il u += :'%( u,u>+ 21(1,1,v>1+ = 0, entonces,con baseen (4.23), sededuce que cos (J= y(J= n/2.Esto sugiere siguienteterminologia . LONGITUD YANGULO ENLOS ESPACIOS DEPRODUCTOS INTERIORES207 Definicin.Enun espaciodeproductos interiores, sedicequedos vectores u y v son orfo-gonalessi< u,v> =:O.Adems,siu esortogonal acada vector enunconjuntoW,sedice queu es ortogonal aW. Conviene hacer hincapi en que la ortogonalidad depende de laseleccin del producto interior.Dosvectorespueden ser ortogonales con respecto a unproducto interiorpero no conrespectoa otro. Ejemplo 52 (Para loslectores quehayan estudiado Clculo). Supngase que P2tieneelproducto interior "2 =(1)(0, 1, O)+ (-ti( -!, O,!) = (24S '1,-ls) Elcomponente deu ortogonal aWes u - proYw u= (1,1,1) -:- (24S'1,-ls) = m, 0,m Obsrvesequeu- proywuesortogonaltanto a VIcomo a V2,de manera que estevector esortogonala cada vector en elespacioW generadopor VIY V2, como debe ser. BASES ORTONORMALES; PROCESODEGRAM-SCIIMIDT 215 u2-proy /, Uz t-L- -------- i. U ~I V ~I I W VI Figura 4.12 Ahorasetienenloselementosnecesariosparaprobarelresultadoprincipal deesta seccin. Teorema21.Todoespaciodeproductosinterioresdiferente de cero yde dimensinfini-tatiene ulla base ortol1onnal. Demostracin.SeaVcualquierespaciodeproductosinterioresdiferentedeceroycon dimensin11 ,y supngasequeS ={u!u2,... . , u1}escualquier baseparaV.Lasuce-sin siguientedepasosproduceunabaseortonormal{VI, V2 ,. .. VII}paraV Pasol.SeaV==u /11U11.Elvector VItienenorma1. Paso2.Paraconst ruirun vector V2denonna1 queseaortogonal a VI, secalcula lacom-ponentedeU2ortogonal alespacioWgeneradopor Vy, a continuacin, senor-maliza; esdecir , '0, =U2- proYl, o U2=u2- ( u2- "I >' o - lI u2 - proYl,, u211 II u2 - (u2- "1 >"111 (figura4.12).Por supuesto.siU2- < U2,v> VI= O, nosepuedellevara cabo lanormalizacin. Peroesto nopuedesuceder yaque entonces setendra locualafirmaqueu2 esunmltiplo deUI , Y contradice laindependencia lineal delabaseS={UI , U2 ,. . . ,un }. Paso3.Paraconstruir unvector V3denorma1 queseaortogonal tanto a VIcomo a V2 ' se calculalacomponentedeU3rtogonalalespacioW2 generadoporVIyV2'Y senonnaliza(figura4.13); esdecir COIllOenelpaso2. laindependencialinealde{UI,U2,'.. , un}aseguraque U3- < U3,VI> VI- < U3, V2> V2"* O de modoquesiempre sepuede efectuar lanonnalizacin.Losdetalles sedejancomoejercicio. 216ESPACIOS VECTORIALES Figura4.13 Paso 4.ParadeterminarunvectorV4denOlma1queseaortogonalaVI' V2 Y V3,se calculalacomponentede14ortogonalalespacioW3 generadoporV,V2 Y V3Y senormaliza. Por tanto, Alcontinuar deestamanera,seobtieneunconjuntoorto normalde{v, V2 ,... ,vn}.SupuestoqueVes de dimensin n, y todo conjunto ortonormal es lineal-mente independiente, el conjunto{v, V2,... vn }es una base ortoriormaJparaV. Laconstruccinpasoapasoqueacabadedarse , paraconvertiruna base arbitraria enunabaseortonormal, seconoce como proceso de Gram-Schmidt.*Sepuede demostrar que , encadapasodeesteproceso, los vectoresV.V2 .. vkformanuna base ortonor-malpara el subespacio generadopor UI.U2 Uk. E.iemplo58 ConsidreseelespaciovectorialR3 con el producto euclidiano interior. Aplquese elpro-cesode Gram-Schmidt para transformar labaseU=(1,1,1), U2 ::::(0,1,1), U3::::(0,0,1) enuna baseorto normal. Solucin. Pasol. =(OI1)- 2 _1 "j 3j 3'j3' J 3

Jorgen Pederson Gram(1850-1916). Actuario dans. Erhardt Schmidt (1876-1959).Matemtico alemn. BASES ORTONORMALES; PROCESODE GRAM-SCHMlpT217 Por tanto, =(o- ~~ ) ,2' 2 Por tanto, Por consiguiente, fonnanunabaseortononnal para R3 OPCIONAL Lassiguientes consecuencias del proceso de Gram-Schmidttienen numerosas aplicaciones, algunasdelascualesseanalizanenlaseccin7.2.Ellector contar con lasbases necesa-riaspara leer estas aplicaciones,despusdecompletar esta seccin opcional . Teorema22.(Teoremadeproyeccin).SiW esunsubespaciodedimensin finitade un espaciodeproductosinterioresV,entoncestodovector u en V se puede expresar exacta-mente de una manera como u = WI + W en donde WestenW yW2es ortogonal aW. Demostracin.Lademostracinsereali zaendospartes.Primeroesnecesarioencontrar losvectores Wy W2conlaspropiedades enunciadas y,a continuacin, sedebedemostrar queestos son los nicos vectores con esaspropiedades. PorelprocesodeGram-Schmidt, existeuna baseortononnal{v, V2,. vr}para W,demodo queW = lin {v, V2, ,Vr }.Por tanto, por elteorena 20,los vectores "'1= proYwuy W2 = ti-proYw u 218 ESPACIOS VECTORIALES tienenlaspropiedades enunciadas enesteteorema.Para hacer verque estos son los nicos vectores con estas propiedades,supngasequetambin sepuede escribir u = W'+ W ~(4.27) endondew'est enW y W'2esortogonala W.Si(4.2 7)serestadela ecuacin seobtiene ,W - w'=w2 - W 2(4.28) Supuestoque W2Y W'2sonortogonales aW,sudiferenciatambin serortogonala W, ya quepara cualquier vector wenW sepuedeescribir W1 + ( u+ v,W2> W2 + ... + ( u+ v, wr > wr =( u, W1 > W1 + ( u, W2> W2 + ... + ( u, wr > wr + ( v,W1 > W1 + ( v, W2> W2 + ... + ( v, wr > wr = T( u) + T(v) Demanera anloga T(ku) =kT(u). Ejemplo 7 Como caso especial del ejemplo anterior,supngase que V = R3 tiene el producto euclidiano interior.LosvectoresW= (1,O,O)Y W2= (O,1, O)fonnan una base orto normal para el Figura5.3 w 252TRANSFORMACIONES LINALES plano xy.Portanto,siv =(x,y,z)escualquier vector en R3,la proyeccin ortogonal de R3 sobreelplano xy est dada por (Vasefigura5.4.) z Ejemplo8 T(v)=( v, w ) w+ ( v, W2) W2 = x(l, 0,O)+ y(O,1, O) = (x,y,O) (x, y, z) (x, y , O) y ~ . Figura5.4 SeaVunespacio vectorial conn dimensiones y S ={W1,W2,... ,W}tina base fija para V. n. Porelteorema24delaseccin4.10,dosvectrescualesqilierauyven V spueden es-cribir de manera nica en laforma Por tanto, Pero demodo que Por tanto, yv=dw+ d2wl + ... + dllwn (u)s= (el,el, ... , en) (v)s=(d,dl, ... , dn) u + v = (e+ d)wl + (el + dl)Wl + ... + (etl + dll)wtI ku= (ke}w+ (ke2)wl + .. . + (ketl)wlI (u+ v)s= (cl + di' Cl+ dl,.. .;ctI + e/h} (kl)s= (kc,ke2' . .. , kctI) y(5.3) INTRODUCCION ALAS TRANSFORMACIONES LlNEAL!OS 25;3 Anlogamente,para las matricesdecQordenadassetiene [u+ vJs=[uJs + [vJs y [kuJs = k[uJs SupngasequeT: V -* Rneslafuncinqueaplica un vector v enV hacia suvector decoordenadas con respectoa S;esdecir, T(v)=(v)s Entonces,entr:ninos deT,en (5.3) seafirma que T(u+v)=T(u) +T(v) y T(ku)=kT(u) Asenton:;es,Tesuna transformacin linealdeV h a c i ~Rn. Ejemplo 9 SeaVun espaciodeproductos interiores ysupngaseque Voescualquier vector fijoenV. SeaT: V-* Rlatransformacjnqueaplicaunvectorv hacia suproducto interior :;on vo ; esdecir, T(v)= Con baseenlas propiedadesdeun producto interior, T(u+ v)= = + =T(u)+ T(v) y T(ku)= =k =kT(u) demanera queT es una transformacin lineal. Ejemplo10 (para los lectores que hay!l{l estudiado Clculo.) SeaV =C[O,1 ] elespaciovectorialdetodas lasfuncionescon valor real continuas sobre el intervaloO ~x~1 Y supngase queW esel subespaciode C[O,1 ] queconsta detodas las funcionescon primeras derivadas continuas sobre el intervalo O ~ x~1. Sea D: W -* V latransformacin queaplica f hacia suderivada; esdecir, D(f) = f' Alaplicar laspropiedades dela derivacin,setiene 254 TRANSFORMACIONES LINEALES D(f + g)= D(f) + D(g) . y D(kf) = kD(f) Por tanto, Desuna transformacin lineal. Ejemplo11 (para los lectores que hayan estudiado Clculo.) SeaV = e [O,1]elmismodel ejemplo anterior ysupngase que J: V -+ Rsedefinepor me-diode J(f) =JOIf(x) dx Por ejemplo,si [(x) = X2 ,entonces Dado que JOI(f(x) + g(x))dx=JOIf(x)dx + JOIg(x)dx y JOIkf(x) dx=k JOIf(x) dx para cualquier constante k,sededuceque J(f + g)= J(f) + J(g) J(kf) =kJ(f) Por tanto, J es una transformacin lineal. EJERCICIOS5.1 En los ejercicios1 al8 sedauna ,frmulapara una funcin F:R 2 -+R2 .En cada ejer-cicio,determine siF es lineal. 1.F(x, y)=(2x, y) 3.F(x,y),=(y,x) 2.F(x, y)=(x2,y) 4.F(x, y)=(0,y) INTRODUCCION ALAS TRANSFORMACIONES LINEALES 5.F(x, y)=(x,y+ 1) 7.F(x, y)=(y, y) 6.F(x,y)=(2x+ y,x- y) 8.F(x,y)= W-X, ~ y ) 255 Enlos ejercicios 9al12, seda una frmula para una funcin F:R 3 -+ R2 ,En cada ejer-cicio, determine si Fes lineal. 9.F(x,y,z)=(x,x+ y+ z) 11.F(x,y,z) =(1 ,1) 10.F(x,y,z)=(O,O) 12.F(x, y,z)=(2x+ y,3y- 4z) Enlosejercicios13al16,sedauna frmulapara una funcin F:M22 -+ R.Encada ejercicio, determine si Feslineal. 15.F( [; :]) =2a+ 3b+ e - d 14.F([; :]) =det[ ;: ] 16.F([;:]) =a2 + bZ Enlosejercicios17al20,sedaunafrmulapara una funcin F :P2-+ P2 .Encada ejercicio,determine si Fes lineal. 17.F(ao + ax + a2x2)=ao+ (a+ a2)x+ (2ao - 3a)x2 18.F(ao+ ax + azx2)=ao + a(x + 1) + az(x+ 1)2 19.F(ao +ax + azxz) =O 20.F(ao + ax + azx2)=(ao + 1) + ax + a2x2 21.SeaF: R2 -+R2 lafuncinqueaplicacadapunto del plano hacia su reflexin respectoaleje y.HalleunafrmulaparaFydemuestreque Fes un operador lineal sobre R 2 22.SeaBunamatrizfijade2 X3. Demuestre que la funcinT:M22 -+ M23 defini-dapor T(A ) =AB esuna transformacin lineal. 23.Sea T:R3 -+ R2 una transformacin matricial y supngase que a)Halle la matriz. b)Hill' rm]) ,)Bnro,na. r([: ]) - 24.SeaT:R 3-+W laproyeccin ortogonal deR 3sobre el plano x z,W. 256TRANSFORMACIONES LINEALES a)Halle una frmula para T b)HalleT(2,7, -l). ~25.SeaT:R3 ~WlaproyeccinortogonaldeR3 sobreelplanoWquetienela ecuacin x+ y+ z =O. a )Halleuna frmula para T b)HalleT(3,8,4). ~26.Encadainciso,seaT:R2 ~R2 el operador lineal que hace girar cada vector del plano hasta describirel nguloe. Encuentre T( - 1,2) Y T(x,y), cuando re (a)0="4 (b)O =re re (c)0= -6 7r (d)0=- -3 27.PruebequesiT: V~W esunatransformacinlineal,entonces T(u-v) =T(u) - T( v) para todos los vectoresuyv enV. 28.Sea[VI,V2,.. .,Vn ]unabaseparaunespaciovectorialVysupngaseque T: V~Wesunatransformacinlineal.DemuestrequesiT(VI)= T(V2)= . . . . = T( vn)= O, entoncesTes la t ransformacin cero. 29.Sea[VI'V2,.. .' Vn ]unabaseparaunespaciovectorialV ysupngaseque T : V~Vesunoperadorlineal.DemuestrequesiT(Vl)= VI,T(V2)= V2 ' .. . ,T(vn) = Vn'entoncesT es la transformacin identidad sobreV. 30.SeaSunabasepara un espacio vectorialV,con ndimensiones.Demuestre que siVi,V2,.. . ,vr forman un conjunto linealmente independiente de vectores en V,eptonces los vectores decoordenadas (Vi)s' (V2 )s,... , (vr)Sforman un con-junto linealmente independiente enRn , e inversamente. 31.Aplicandolanotacindelejercicio30,demuestreque si VI' V2'. . .,V, genera aV, entonces los vectores de coordenadas (VI)s' (V2 )s' . .. , (v,)s generan a Rn, e inversamente. 32.HalleunabaseparaelsubespaciodeP2generadopor losvectoresque sedan. (a)-1+x- 2x2,3 +3x+6x1,9 (b)l+x,X2,-2 +2x2,-3x (e)1 + x- 3x2,2 +2x- 6x2,3 +3x- 9X2 (Sugerencia.SupongaqueSeslabaseestndar para P2 ytrabjese con los vectores de coordenadas en relacincon S;vea los ejercicios 30,31.) 5.2PROPIEDADESDELAS TRANSFORMACIONESLINEALES: NUCLEO(KERNEL)yRECORRIDO En esta seccinsedesarrollanalgunaspropiedades bsicasdelastransformaciones lineales. Enparticular,sedemuestraqueunavezque seconocen lasimgenes delos vectores base bajounatransformacinlineal,esposibleencontrar las imgenesdelos vectores restantes en el espacio. ''ROPIEADES DELAS TRANSFORMACIONESLINEALES Teorema 1.Sir V -+Wesunatransformacinlineal,entonces: (a)T(O)= O (b)T( - v)=- T(,;)paratodos losvenV (e)r(v - w)=T(v)- T(w)Paratodos losvywenV Demostracin.Sea vcualquier vector enV.Debidoa queOv= O,setiene: T(O)=T(Ov)= OT(v)= O lcicualprueba (a). Tambin,T(-v) = T((-l)v) = (-1) T(v) = -T(v), lo cual prueba (b). Por ltiino,v - w = v + (-1 )w;por tanto, T(v - w)=T(v+ (-1)w) = T(v)+ (-1)T(w) = T(v).- T(w)I 257 Defmicin.SiT:V-+W esuna transformacin lineal, entonces elconjunto devectoresen VqueTaplicahaciaO seconocecomoncleo(kernel o espacionulo) deT;este espacio sedenotaporker(J).El conjunto de todos los vectores enW que son imgenes bajo T de al menos un vector enVseconocecomo reco"ido deT;este conjunto se denota por R(J). Ejemplo12 SupngasequeTV -+Weslatransformacin cero. Supuestoque T aplica: todo vector ha-CiaO,ker(T)=V.YaqueO eslanicaimagenposiblebajoT,R(T)constadelvector cero. Ejehlplo13 Sea T:Rn-+ Rmlamultiplicacin por Elnclo deT consta detodos los queson vectores solucindel sistema homogneo 258TRANSFORMACIONES LINEALES El recorrido deT consta delosvectores tales que elsistema lXIJ lhlJ X2 h2 A.=. .. .. xn hm es consistente. Teorema 2.SiT: V W es una transformacinlineal entonces: a)El ncleo deT es un sub espacio deV. b)El recorrido deT es un subespacio deW. Demostracin. a)Parademostrarqueker(T)esunsubespacio,sedebedemostrar que escerrado bajolaadicinyla multiplicacinescalar.SeanVIyV2vectoresenker (T) y que kes cualquier escalar.Entonces, T(v1 + v2)=T(v}+ T(v2) = 0 + 0=0 demodo que VI+ V2est en ker(1).Tambin T(kv)=kT(v}=kO=O demanera que kVIest en ker(T). b)Sean WIY W2vectores enelrecorridodeT.Para probar esta parte,esnecesario demostrarqueWI+ W2Y kwl estn en elrecorrido de T, para cualquier escalar k ; esde-cir,sehan deencontrar los vectores aybenV talesque T( a) = W+ W2Y T(b) = kw 1 . SupuestqueWIY W2estnen elrecorrido deT, existen los vectores alY a2enV tales queT(a) = WIY T(a2) = W2.Sean a= al+ a2Y b= kal . Entonces PROPIEDADES DELAS TRANSFORMACIONES LINEALES259 y T(b)=T(ka)=kT(a) =kw locual completa lademostracin. Ejemplo14 SupngasequeT:Rn-+Rm eslamultiplicacinporunamatrizAdemX n.Por lovisto enel ejemplo13,elncleodeTconstadetodaslassolucionesdeAx =O; por tanto, el ncleoeselespado de soluciones deestesistema.Tambin, por lo vistoenel ejemplo13, elrecorridodeTconstadetodoslosvectoresb talesque Ax = besconsistente. Por con-siguiente,porelteorema14delaseccin4.6,elrecorridodeTeselespaciodecolum-nasdela matriz A. Supngaseque{ VI ,V2,. .. ,vn }es una basepara un espacio vectorialVy T: V-+ W esunatransformacin lineal.Sisucedequeseconocen lasimgenesdelos vectores ba-se,esto es, entoncessepuedeobtener laimagenT(v)decualquier vector v, expresando primero v en trminos dela base,por ejemplo,. y,a continuacin,utilizando la relacin {5.2) dela seccin 5.1, para escribir Enpocaspalabras,unatransformacinlinealestcompletamentedeterminadapor sus "valores" enuna base. Ejemplo15 ConsidreselabaseS= { VI,V2,V3} para R3,dondeVI=(1 ,1,1), V2= (1,1,O), V3= (1,0, O)Y seaT:R 3-+ R2 unatransformacin lineal tal que T(vl)=(1, O) EncuntreseT(2, -3, 5). Solucin.ExprseseprimeroV=(2,-3,5) como combinacin lineal deVI=(1,1,1), V2 = (1,1, O)Y V3= (1, 0,O). Por tanto, (2,- 3, 5)=k(I , 1,1)+k2(1,1,O)+ k3(1,O,O) o,aligualar lascomponentes correspondientes, 260 k + k2 + k3 = k+ k2 k 2 -3 5 TRANSFORMACIONESLINEALES 10cual conducea k 1= 5,k2 = -8, k3= 5,demodo que Dedonde; -(2,-3, 5)=5v- 8vi+ 5v3 T(2,-3,5) =5T(v)- 8T(vi}+ 5T(v3) = 5(1, O)- 8(2,-1) + 5(4,3) =(9,23) DefiDicin.SiT: V -+W es una transformcin lineal,entonces ladimensin del reorrido deT seconoce como rangodeT,y la dirriensin del ncleosedenomina nulidad deT. Ejemplo16 SeaTR2 -+R2 larotacindeR2 hasta describir el ngulo11/ 4.GeomtricamenteeSob-vioqueelrecorridodeT es la totalidad de R2 yque el ncleodeTes{ O }. Por tanto,T tiene el rango= 2 Y la nulidad =O. Ejempio17 SeaT:Rn-+ R.m lamuitiplicacin por una matriz Adem X n.En el ejemplo14 seobserv que elrecorridodeT esel espaciodecolumnas de A.Por tanto, elrangodeT esladimen-sindeleSpaciodecolumnasdeA,elcualesprecisamenteelrangodeA.Enpocaspa-labraS; rango (1) =rango (A) Tambinenelejemplo14 sevioqueelncleo de T eselespaciodesolucionesde Ax = O: Por consiguiente,la nulidad deT esladimensindeesteespaciodesoluciones. Elteoremaquesigueestablece una relacin entre elrango ylanulidad de una tnins-formacinlineldefinidasobreun espaciovectorial dedimensinfinita.La demostracin sedeja hasta el finaldela seccin. Teorema3.(Teorema dela diniens;n.) SiT V -+W esuna transformacinlineal desdeun espaciovectorial V con diniensinn hacia un espaciovectorial W,entonces En el caso especialen elqueV=Rn,W= RmyT:R"~Rm esla multiplicacin por una matriz Adem X n,i teorema de la dimensin conducealsiguienteresultado: 261 deT = n - (rangpde1) = (nmero decolumnas de A) -qe1) S}nenel17sepizo notarquelanl!lJad deT la dimensindelciodesoluciones de A x =:=0, y que el raI1godeT es el rango de la matrizA.Por consiguiente, (5.4) conduce al teorema sigue:...'.'. Teprema4.SiAesunamatriz demX n,entoncesladimensindel espaciodesoluciones deAx =: Qes n-rango (A) En 35dela secci{:m 4.5sedem9strQelhqn:ogneo + Xs = O - Xl- X2+2X3- 3X4+ Xs = O Xl+2- 2x 3- .): s =O X3+X4 + X5 =O tieneun espaciodealresolverelsistema y encontrar una base. Debido a que lamatriz decoeficientes

A= .1 O 2 -1 1 O -1 2 -2 1 O -3 O cincp colufl1I1as,por elteorema 4 sededuceelrango Adebe2=5- nU1g0(A) demodo querango(A)=3.Ellectorpuedeverificaresteresultado, reduciendo A hasta unaformaescalonadaenlosrenglones 'ydemostrandoquelamatriz resultante tiene tres renglqnesdiferentes decero. OPqONAL Demostracin del teorema 3. debedemostrar que diIt\(R(T)) + dim(ker(T))=n Sedarlademostracinparaelcaso en el que1 -s;;dim (ker (1) ) < n.Los dirn (ker (1) )= O Y dim (ker (1) ) = n sedejan cOmO ejercicios. que dim(ker (1) ) =r y 262 TRANSFORMACIONESLINEALES queVI,... ,Vy esunabasepara elncleo.Debido a que{VI,... ,Vy }eslinealmentein-dependiente,enelinciso(e)delteorema9quesedaenel captulo 4seafirmaqueexis-ten n- r vectores, vr +1",Vn'tales que{v l' ... ,v" Vy+l,.. .,Vn}es unabase para V.Para completar la demostracin, se probar que los n - rvectores del conjunto S ={T( vy+I), .. ., T(v)} fonnan una basepara el recorridodeTEntonces seconcluye que n dim(R(T)) + dim(ker(T)) = (n- r)+ r= n PrimerosedemostrarqueSgeneraelrecorridodeT.Sib es un vector cualquiera enel recorridodeT,entonces b= T( v)para algn vector venV.Ya que{VI,. . .,vy,vy +1' ... , vn }esuna base paraV;v sepuededescribir enlaforma Debido a que VI,... ,vy estn enelncleodeT,T( VI) =... ==T(vy)==0, de modo que Por tanto, S genera elrecorridodeT. Porltimo,sedemuestraqueSesunconjuntolinealmenteindependientey,como consecuencia,fonnaunabaseparaelrecorridodeTSupngase quealguna combinacin lineal delos vectores en S escero,esto es, (5.5) Sedebedemostrarqueky +I=... ==kn =O.SupuestoqueTeslineal,esposible volver a escribir (5.5) como conlocualseafirmaquekv+ ... + kvest en el ncleodeTPor tanto, se r+lY+l.nn puede escribir estevector como una combinacin lineal delosvectores base{VI,.. .,vy } por ejemplo, Por consiguiente, Supuestoque{ VI,... ,vn}es linealmente independiente, todas las kson cero ; en particu-lar,kr +I==... = kn = O,locual completa ladem ostracin., EJERCICIOS5.2 1.SeaT:R2 -+ R2 la multiplicacin por [ 2 -1J -84 PROPIEDADES DELAS TRANSFORMACIONESLINEALES263 Cules de las siguien tesmatrices estn en R( T)? (b)[ ~ ] (e)[~ ~ ] 2.SeaT:R2.-+R.2 latransformacinlinealdel ejercicio1.Cules de las siguientes matrices estn en ker( T)? (b)[ ~ ](c)[:] 3.SeaT:R4 -+ R3 lamultiplicacin por [ - 2 11 O- 9 -3j -- 4 9 Cules de las siguientesmatrices estnen R(T)? 4.SeaT:R4 -+R3 latransformacinlinealdel ejercicio3.Cules de las siguientes matrices estn en ker(T)? 5.SeaT: P2-+ P3 latransformacinlinealdefinidaporT(p(x)) =zxp (x).Cules de lospolinomios siguientes estnen ker(T)? (b)O(cl1 + x 6.SeaT:P2 -+P3 latransformacinlineal del ejercicio 5.Cules de los siguientes polinomios estnen R(T)? (bl1 + x 7.SeaVcualquierespaciovectorialysupngasequeT:V-+Vestdefinidapor T(v)= 3v. a) Cul es el ncleo deT? b)Cul es el recorrido deT? 8.Halleel rango yla nulidaddela transformacin lineal del ejercicio1. 264 9.Halleel rango y lanulidad de latransformacin lineal del ejerc\cio5. 10.SeaVunespaciovectorialdedUnensin n.Encuentre el rO Figura5.8 TRANSFORMACiONESLeifS k_ (1'1 directo 1'31 Multiplquese [xJIl por A [T(x)lll' .. (2) 5,11 "'0 IIiIATRies beL ~ STRANsFORMAC ONESLlNElES Haydstazones principales por lasqueesteprocedimientd iridiiectdes ri1podatit. Ehprimerlugar,suministraunamaneraeficiehtedelevaracabdlasttrisfomiidneS iineaiesenunacomputadoradigital.Lasegundaraznesterica,perocdnimportantes consecuenciasprcticas.Lamatriz Adepblledeasb'asesB yB'. Por lo general seelegi-ranfasbases B yJ'afindehacerqueelcicuiodelasmatrices de coordenadas sealo' msfcilposible.Sinembargo,enlugardeellosepodraintentar elegir las bases jj y/jI parahacerque lamatriz Asealo mssencillaposible,por ejemplo,con grupoS deelemn-tosigualesacero. Cuando sehate estoenla forma correcta, lamatriz A puedepropo'rcio-narinfonnacnimportante acerca dela transformain lineal T.Ensecciones posteriores seanipiaesta ide . . Seconsideraahoraelproblemadeencontrar una matriz Aque satisfaga (5.16).Su-pngasequeVesunespaciodendimensIones con base B =={", Ui ; . , . ,n'}YqueW' esun espaciode m edn bas E''={v ,"2,... ; Vm}. Se est buscand un matriZ de th X ri a11 a2 .. , a'''j aita 22 ... a2n A= amI am2 Qmll taque secumpla (5 :16),pata tddos los vectores xenV:Eriparticular, cuandoxes ei vece tor basU,sedesea que (5 .17J Pro o " de mea qU la11 ,A[U1] 8 =~ : i J amI 1 l""j ahj az" O ==a21 ... amnamI O Por tanto, (5.1 7) implica que 286TRANSFORMACIONES LINEALES Esdecir,laprimeracolumnadeAeslamatrizdecoordenadaspara elvector T(UI ), con respectoa labaseB' .Demanera anloga,si sehaceque x= U2en (5.16),seobtiene A[UZ]B =[T(UZ)]B' Pero, O 1 [U2]B=O O demodo que O [a" al2 ah] 1 [a" ] a21 a22 a2n O =a22 A[U2]B =: amiamz ". amn am2 O Por tanto, [a" ] a22 :=[T(u)]B' am2 Esdecir,lasegundacolumnadeAeslamatrizdecoordenadas para el vector T( u2), con respectoa labaseB'.Continuandodeestamanera,seencuentra que la j-sima columna deAeslamatrizdecoordenadas parael vector T(u),con respecto aB'.La matriz nica Aqueseobtienedeestamanera seconocecomo matrizde Tconrespecto a las bases B y B'.Simblicamente,sepuede denotar esta matriz por mediode matriz deT con A=respecto a ~ s=[[T(UI)]B'i [T(U2)]B'i ... i [T(Un)]B] bases B y B. Ejemplo30 SeaT: PI-+ P2 latransformacin litleal definida por T(p(x))=xp(x) Encuntrese la matrizparaT,con respectoa lasbases MATRICES DELAS TRANSFORMACIONES LINEALES yB'{','} =u1,U2,U3 en donde u1 = 1,u2 =x;U'1=1,u= x,U3=X2 Solucin.Con baseenlafrmula para T seobtiene T(ud =T(1)= (x)(l)= x T(u2)=T(x)= (x)(x)==x2 287 Porsimpleobservacin,sepuededeterminarlasmatricesdecoordenadasparaT(udy T(U2)con relacin a B' ; stas son [T(u,lJ, ;m, [T(u,lJ, = m Por tanto,la matrizparaT conrespectoa By E'es A= [[T(u,l].i [T(u,l].] = [!~ ] Ejemplo31 Sean T:P1-+ P2,By8' lasque sedan enel ejerr.plo30 ysupngaseque x= 1 - 2x Useselamatriz obtenida enel ejemplo 30para calcular T(x) por elprocedimiento indirec-to de la figura5.11. Solucin.Por observacin,la matriz decoordenadas dexconrespectoa B es Por tanto, As entonces, 288 T(x) =OU'I+l u ~- 2 u ~==0(1)+l(x) --'- 2(xZ) = x- 2X2 Como verificacin,ntesequeelclculodirectodeT(x) es T(x)=T(l- 2x)= x(l- 2x)==x- 2X2 locuaconcuerdaconelresultado queseobtiene por medio del procediffiiento indirecto. EjemplO:32 SiT:Rn-+Rmesunatransformacihlriealysij yB' 30nlas basrs esndar para Rny Rm,respectivarrlente,entonceslamatrizparaTcon respecto a By /3'es pre'cisanietela matrizestndarparaTqueseanaliznl seccinariterior.(Sedeja la verific' O. 300TRANSFORMACIONESLINEALES 11.(Paraloslectoresque hayan estudiadoClculo.) Sea D:Pn-+ Pnel operador de-rivacin D(p) =p'Demuestrequelamatriz Dcon respectoa labase B={1, X,x2,.. .,xn} es oOOO OO2OO OOO3O OOOO(n- 1) OOOOO / \ 6 Eigenvalores(valorespropios), eigenvectores(vectorespropios) 6.1EIGENVALORESyEIGENVECTORES Enmuchosproblemasdecienciasymatemticas,sedaun operador linealT : V-)- VY es importantedeterminaraquellos escalares A para loscuales la ecuacin Tx =A xtiene solu-cionesdiferentes decero.En esta seccin seanaliza esteproblema y, en secciones posterio-res,seinvestiganalgunas desus aplicaciones. Definicin.Si Aesunamatrizden X n, entonces sediceqUeun vector diferente decero xen Rnesun eigenvector de Asi A x esun mltiplo e-scalar dex; esdecir , Ax = )x paraalgnescalarA. ElescalarA sedenomina eigenvalor de Aysedicequexes un eigen-vector correspondiente a A. Unodelossignificadosdelapalabra"eigen" en alemn es el de"propio"; por ello, algunosautorestambinledanaloseigenvaloreslosnombres devalores propios,valores caractersticos,obien, races latentes. Ejemplo1 El vectorx=[ ~ Jes un eigenvector de correspondiente al eigenvalor A = 3, debido a que 301 302EIGENVALORES yEIGENVECTORES (a) Figura 6.1(a)Dilatacin,A > 1.(b)Contraccin,O < A < 1.(e)Inversindeladirec-cin, A < O. Loseigenvalores yloseigenvectores tienen una interpretacin geomtrica til en R 2 Y R3 SiA esuneigenvalordeAcorrespondientea x, entonces Ax =AX,demodo quela multiplicacinpor Adilataax,contraeaxo invierteladireccindex,dependiendo del valor deA (figura 6.1). Paraencontrarloseigenvaloresdeunamatriz AdenX n,sevuelveaescribirAx =AXcomo Ax= Mx o, lo que es equivalente, (M- A)x =O(6.1) ParaqueA seauneigenvalor,debe haber una solucin diferentedecerodeesta ecuacin. Sinembargo,porelteorema13delaseccin4.6,laecuacin6.1tendrunasolucin diferente decerosiyslosi det(,u - A) = O EstoseconocecomoecuacincaractersticadeA; losescalaresquesatisfacen esta ecua cinsonloseigenvaloresdeA.Cuandosedesarrolla,eldeterminantedet(M - A) esun polinomio en A conocidocomo polinomio caracteristicode A. Ejemplo2 Hllenselos eigenvalores delamatriz Solucin.Dado que .[1 M - A =I. 0] -[ 3 2]= [J.- 3 ~2] 1- 11l . E!GENVALORES yEIGENVECTORES el polinomiocaracterstico de Aes [A - 3 det(n - A) =det1 y la ecuacin caracterstica de Aes Lassoluciones deesta ecuacin son A = 1 Y A = 2; estos son los eigenvalores de A. Ejemplo3 Hllenselos eigenvalores dela matriz Solucin.Procediendo como en el ejemplo 2, [}, + 2 det(i./- A)=det_5 1J' 2 1= le+ 1 A-2 303 Portanto,loseigenvaloresdeAdebensatisfacerlaecuacincuadrticaA2 + 1 =O. Ya quelasnicassolucionesdeestaecuacinsonlosnmerosimaginariosA =iY A = - i, Y comoseestsuponiendoquetodoslosescalaresen estetextosonnmerosreales, Ano tiene eigenvalores. * Ejemplo 4 Hllense los eigenvaloresde o - 17 Solucin.Como en los ejemplos precedentes, det(n - A)=det[~ -4 -- 1 A 17 !] *Como seseal enlaseccin 4.2, hay algunas aplicaciones que requieren escalares complejos y espa-ciosvectorialescomplejos.Endichos casos, se permite que lasmatricestenganeigenvalores complejos. Sinembargo, en estetexto,sloseconsideran eigenvaloresreales. 304 EIGENVALORES VEIGENVECTORES Por consiguiente , los eigenvalores de Adeben satisfacer la ecuacin cbica (6.2) Para resolver esta ecuacin, seprincipia por buscar soluciones enteras.Se puede simplificar engranparteestatarea,aprovechandoel hecho dequetodas las soluciones enteras (si las hay)para una ecuacin polinmica con coeficientes enteros debenser divisores del trminoconstante, cn. Por consiguiente, lasnicas soluciones ente-rasposiblesde(6.2)sonlosdivisoresde- 4,esdecir,I , 2,4.Alsustituirsucesiva-menteestosvalores en (6.2)sellegaalaconclusindequeA=4 esuna solucin entera. Comoconsecuencia,A - 4debe ser un factor del primer miembrode (6.2) . Ladivi&inde A 3 - 8A 2 + In - 4 entre A - 4 indica que (6.2) sepuede escribir como ().- 4) (},2 - 4? + 1)= O Por consiguiente, las soluciones restantes de(6.2) satisfacen la ecuacin cuadrtica quesepuederesolverpor medio dela frmula correspondiente. Por tanto, los eigenvalores de Ason }.=2+ J3y),=2-/3 .OBSERVACION.Enmuchosproblemasprcticos,lamatrizAamenudoesdemasiado grandecomopara queconvenga determinar laecuacin caracterstica. Como resultado, se aplicandiversosmtodosdeaproximacinparaobtenerloseigenvalores; enelcaptulo 8 seanalizanalgunosdeestos mtodos. Elsiguienteteorema, resumetodos los resultados obtenidos hasta ahora. Teorema1.Si Aesuna matriz de nX n,entonces lassiguientes proposiciones sonequiva-lentes: a)A es un eigenvalor de A. byEl sistema deecuaciones (M - A) x =O tiene soluciones no triviales. c)Existe unvector diferente de cerox en Rn,tal que Ax = AX. d)A es una solucin real de laecuacin caractedstica det (M - A) = O. Ahoraquesehavistocmo seencuentran loseigenvalores, 'seconsiderar elproble-madeencontrarloseigenvectores.Los eigenvectores de Acorrespondientes a un eigenva-lorA sonlosvectoresdiferentesdeceroquesatisfacen Ax =A x.Tambin sepuededecir queloseigenvectores correspondientes a A sonlos v e ~ t o r e sdiferentesdeceroen el espacio desolucionesde(M - A)x = O. A esteespaciodesoluciones sele conocecomo eigenespa-ciode Acouespondientea A. EIGENVALORES yEIGENVECTORES Ejemplo S Hllense bases para los eigenespacios de -2 3 305 ~ ] Solucin.LaecuacincaractersticadeAes(X- 1)(X- 5)2=O (verifquese),de ,modo que los eigenvalores de Ason X = 1 Y X = 5. Por definicin, esuneigenvectordeAcorrespondienteaX siyslosixesunasolucinnotrivialde (Al - Ah: = 0, es decir, de Si X = 5, (6.3) queda 2 A.-3 ] [Xl][0] X2 = A. -5X3 O Al resolver este sistema sellega a (verifquese) Xl=-s (6.3) Portanto, loseigenvectoresdeAcorrespondientesaX =5son los vectores diferentes de cero dela forma Ya que y 306 sonlinealmenteindependientes,formanunabaseparaeleigenespacio a 11.=5. Si A = 1, entonces (6.3) queda [-2 .20J[Xl j[0] 2 )- 2_ 2- = 0,0 ,4'\3 Alresolver este sistema'seobtiene: (verifquese) ... '","_.. Xl=tX2=t Portanto, loseigenvectorescorrespondientesaA =1 sonlosvectoresdiferentesdecero delaforma, i'Ie demodo que \r.' " 1: es una basepara el eigenespacioa A = l. . I l' OPCIONAL q.el'JI".'qli' (T"e"'Z'1 y sea .., "1 1)1, P12 . . .P2n Pln] ti-, .'\" o!..''of.1 Pn2...Pnn , lamatrizcuyosvectores son. 'PI, P2,. . .,Pn', Por el ejemplo17dela seccin1.4, lascolumnas delproducto AP son Pero demodo que' .f't"ei'L...;,1)Ii.r

AP =AIPnl I nJ ; -1'P'l 2" .:, . i= .. l . o Il '. _ ,Pn,' .. "O P2nOA2 .. .. .. PnnOOfJ =PD (6.6) 'L; endondeDeslamatrizdiagonalquetienelos eigenvalores Al , A2'... , en ladiagonal l.'.."1I...."I,. principal.: Supuesto r ue los vectores deP' son linealmente P es inversible. as entonces, (6.6) 'sepuedereescribiJ como P -1 AP = D; es,decir, Aes 'diagonalizable . \.II 1\I ...- ,.- j\.: Conbaseenestademostracin,seobtiene el siguienteprocedimiento para diagona-li:?:aruI}.amatriz, diagonalizable,Ann: ",.! 1'"".....J;',..'.J(.t Ejemplo 7u Hlleseuna matriz P quediagonalicea j 312 -2 3 O EIGENVAlORES yEIGENVECTORES ~ ] Solucin.Porlovistoen elejemplo5, los eigenvalores de Ason A = 1 Y A = 5. Tambin, por los resultados de eseejemplo, los vectores y forman una base para el eigenespacio quecorresponde a A =5 Y esuna basepara el eigenespacio correspondiente a A =l . Es fcil verificar que{PI, P2, P3 } es linealmente independiente, de modo que diagonaliza a A.Como comprobacin, el lector debe verificar que [-11O][ 3 -2 p -1 AP =OO1- 23 11OOO ~ ][- ~~~ ]=[ ~~~ ] 5O1OOO1 Noexistepreferenciarespectoal orden delas columnas para P.Dado que el i-simo elementoenladiagonaldeP -1AP es un eigenvalor para el i-simo vector columna de P, alcambiarelordendelascolumnasde P slo secambia el orden de los eigenvalores en la diagonal de P - 1 AP.Por tanto, sisehubiese escrito enel ltimo ejemplo, sehabra obtenido DIAGONALIZACION313 Ejemplo8 La ecuacin caracterstica de [-3 A= -2 ~ J es [A + 3 det(M- A) =det2 -2 ] A _1::,().+ 1)2= O Portanto,A =-1 es el nico eigenvalor de A; los eigenvectores correspondientes a A =-1 son lassolciones de ( - - A)x = O;esto es, de 2x- 2X2= O 2x- 2X2= O Lassolucionesdeeste sistema son Xl= t,X2= t ( verifquese) ; deaqu que el eigenespacio consta detodos los vectores delaforma Comoesteespacioesunidimensional, Anotiene .doseigenvectores linealmenteindepen-dientes y, por tanto, no es diagonalizable. Ejemplo9 Sea T:R3 ~R3 el operador linealdadopor Hlleseuna basepara R 3con relacina lacual la matriz deT sea diagonal. Solucin.Si B ={el, e2, e3}denota labase estndar para R 3, entonces 314EIGENVAlORES:YEIGENVEOTORS demodo quela matriz estndar para Tes ?o:IQm ,ji Al'd

AhorasedeseacambiardelabaseestndarhaciaunanuevabaseB'={u; ,} para obtenerunamatrizdiagonal A' paraT.SisehacequePseala matriz detransicindda basedesconocida B'haciala baseestndar B entonces, por elteorema 7 dela seccin5.5, AY A' estarn relacionadas por medio de' )i-'\\' IJ':.'. .'j.'l' IJJ').-1 _'d..j(rj .;j(i j,!j1f Enotraspalabras,lamatrizdetransicin ,1; En $1 esta matriz. Por loqueselleva caboen eseejemplo,-"