Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

EVIDENCIA DEL APRENDIZAJE – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL UNIDAD 1

LATACUNGA 10 DE SEPTIEMBRE DE 2013

Sea ordenado, mire bien cada número y signo de los ejercicios planteados, transcriba los enunciados y resuelva:

1. Trace la gráfica de la función dada y explique en sus propias palabras cuál es el límite cuando 3−→x , si existe o

no:

( )

−=−≠−

=3 si ; 2

3 si ; 4 2

x

xxxf

Solución: El límite sí existe porque la gráfica de la función cuando 3−→x desde la izquierda y desde la derecha (líneas rojas) converge hacia un solo lugar geométrico (líneas verdes). El límite de la función por partes ( )xf cuando 3−→x es

5−=L 2. Mediante factorización simplifique hasta levantar la indeterminación y calcule el valor exacto del siguiente límite:

( )

( ) Lxx

xxlímx

=+−

−−→ 103

202

2 1612

2

Iván Collantes Vásconez Docente UFA – ESPE

Solución:

( )( ) 0

0

1612

2103

202

2=

+−−−

→ xx

xxlímx

ideterminación ⇒( )

( )( )( )[ ]

( ) ( )[ ] 102

20

103

202

42

12

1612

2

+−

+−=+−

−−

xx

xx

xx

xx

( ) ( )( ) ( )1020

2020

42

12

+−+−=

xx

xx

( )( )10

20

4

1

++=

x

x y por el teorema de la sustitución:

( )( )10

20

42

12

++=L

10

20

6

3= 1010

20

23

3

⋅=

10

10

2

3= 10

2

3

=

3. Si ( ) 13 += xxf , calcule el límite ( ) ( )

Lh

xfhxflímh

=−+→ 0

Solución:

( ) ( ) ( )0

0131300

=+−++

=−+→→ h

xhxlím

h

xfhxflím

hh indeterminación

( )( ) ( )( )( )( )1313

13131313

++++

++++⋅

+−++

xhx

xhx

h

xhx ( )( )( )1313

1313

++++

−−++=xhxh

xhx

( )( )1313

13133

++++

−−++=xhxh

xhx

( )( )1313

3

++++=

xhxh

h

( ) 1313

3

++++=

xhx

Por el teorema de sustitución:

( ) 13103

3

++++=

xxL

1313

3

+++=

xx

132

3

+=

x

4. Utilizando la técnica de racionalización, calcule el límite exacto de: Lx

xlímx

=+−+−

→ 31 72

78

Solución:

0

0

72

7831

=+−+−

→ x

xlímx

indeterminación

( )( )

( )( )

( )( )( )( )3 23

3 23

37724

7724

78

78

72

78

++++

++++⋅

++

++⋅+−

+−=xx

xx

x

x

x

x

( ) ( )( )( ) ( )7878

772478 3 23

++−−

++++−−=

xx

xxx

Iván Collantes Vásconez Docente UFA – ESPE

( )78

7724 3 23

++++++

=x

xx

Por el teorema de sustitución: ( )718

717124 3 23

++++++

=L 82

444 ++= 24

12= 2

3=

5. Calcule el límite (si es que existe): ( ) ( ) ( )

Lx

xxxxxxlímx

=∆

+−−+∆+−∆+→∆

1212 22

0

Solución:

( ) ( ) ( )0

0

0

12121212 2222

0=−+−+−=

∆+−−+∆+−∆+

→∆

xxxx

x

xxxxxxlímx

indeterminación

( )[ ] ( )x

xxx

∆−−−∆+ 22 11 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

x

xxxxxx

∆−−−∆+−+−∆+= 1111 [ ] [ ]

x

xxx

∆∆∆+−= 22

xx ∆+−= 22

Por el teorema de sustitución: 22 −= xL

6. Aplicando la definición rigurosa de límite ( ) εδ <−⇒<− Lxfcx , obtenga la relación εδ − (δ en función

de ε ) y luego calcule δ para un valor dado de 1.0=ε :

Lx

xlím

x=

++

−→ 1

13

1

Solución:

31

13

1=

++

−→ x

xlím

x El límite es 3 por cualquier método, ya sea por entornos, gráficamente o por factorización.

( ) ε<− Lxf

ε<−++

31

13

x

x

( )( )( ) ε<−

++−+

31

11 2

x

xxx

ε<−+− 312 xx

ε<−− 22 xx ε<++− 22 xx

022 <−−− εxx 022 >+−− εxx

Iván Collantes Vásconez Docente UFA – ESPE

Números críticos: Números críticos:

( )2

2411 ε−−−±=x

( )2

2411 ε+−−±=x

2

4911

ε++=x Descartado porque x→ –1 2

4913

ε−+=x Descartado porque x→ –1

2

4912

ε+−=x 2

4914

ε−−=x

Por lógica 2

491

2

491 εε +−>−− , por lo tanto 4x está a la derecha de –1 y 2x a la izquierda.

2

491

2

491 εε −−<<+−x

Ahora podemos calcular la distancia δ sabiendo que el valor absoluto δ<− cx , donde 1−=c :

cx −=δ ⇒ ( )12

491 −−−−= εδ

12

491 +−−= εδ 12

491 ++−= εδ

2

2491 +−−= εδ 2

2491 ++−= εδ

2

493 εδ −−= 2

493 εδ +−=

Cualquiera de los dos valores δ es el mismo ya que se trata de un valor absoluto, así para 1.0=ε

033.02

1.0493 =⋅−−=δ ∧ 033.0033.02

1.0493 =−=⋅+−=δ (valor absoluto)

Preservemos el medioambiente. Antes de imprimir un documento piense bien si es necesario hacerlo.

Iván Collantes Vásconez Docente UFA – ESPE

δ δ 2

4912

ε+−=x 2

4914

ε−−=x