Introduccion a la Fısica de Partıculas

Instituto de Fısica de la Universidad de Guanajuato, IFUG.

Diciembre, 2006

1. Constitucion de la materia

1.1. 1a Espectroscopıa

La pregunta basica es: ¿Cuales son las partes fundamentales de la materia?

Griegos → 4 elementos: agua, tierra, aire y fuego.

Democrito → Atomos eternos indivisibles.

Dalton → A cada elemento quımico le corresponde un atomo (punto finalde la division).

¿Era el atomo fundamental?

Siglos XVIII y XIX: Los experimentos de J. Priestley, A. L. Lavoisier, J. L.Proust, J. Dalton, A. Avogadro, Gay Lussac confirman la teorıa atomista.

Los resultados de los experimentos fueron genialmente resumidos por D. I.Mendeleiev en lo que serıa la primera espectroscopıa→ Tabla Periodica de los elementos.

1.2. 2a Espectroscopıa

La Tabla de Mendeleiev contiene a los atomos situados en orden creciente demasa, divididos en familias con caracterısticas electro-quımicas bien definidas.Los atomos contienen una masa A y un numero Z de electrones.

El modelo atomico tıpico de los anos 30’s era el del budın de pasas de J. J.Thompson. Figura 1.

Dadas las regularidades en la tabla periodica de elementos, la pregunta obli-gada es: ¿existe alguna subestructura en este esquema que produzca tal regu-laridad?.

1

Figura 1: Modelo atomico de J. J. Thompson

Figura 2: Experimento de Rutherford

1.3. Descubrimiento del electron

J. J. Thompson habıa descubierto el electron a inicios del siglo XX. Habıaun numero fijo de ellos que podıan ser separados del atomo particular del cualse tratara. La cantidad Q/m obtenida del experimento de rayos catodicos esindependiente del metal con que se hiciera el experimento. Por tanto, dado quela masa es constante, la carga Q es una constante definida como la carga de unelectron y denominada desde ahora como e. e/m = 1,7588x108C/gr y la cargae del electron es entonces e = 1,6022x10−19C.

1.4. Descubrimiento del nucleo

Para los anos 1909− 1911, E. Rutherdord et. al. utilizan radiacion alfa parabombardear atomos en un intento de descubrir sus partes internas. Figuras 2 y 3.

Al bombardear un blanco con partıculas alfa, algunas de ellas retrocedıanen angulos de 180 ◦, lo cual contradecıa el modelo de Thompson:

Existe un nucleo atomico positivo que deflecta a las partıculas alfa. ( 10−12cm)

Los e− deben rodear a ese nucleo positivo para equilibrar la carga delatomo. ( 10−8cm)

Rutherford y Chadwick continuaron con estos experimentos. Al bombardearnitrogeno con partıculas alfa, observaron que se desprendıan nucleos de hidrogeno→ el nucleo de hidrogeno debıa formar parte de todo el nucleo atomico.

2

Figura 3: Resultados predichos y observados

Figura 4: Modelo atomico de un atomo de nitrogeno. (14p + 7e−)

1.5. Proton

Proton es el nombre dado al nucleo de hidrogeno, con carga +e (igual yopuesta al e−). En unidades de masa del p, el e− tiene una masa de 1/1800.

El modelo atomico paso a dar la siguiente imagen para un atomo de ni-trogeno (A = 14). Ver Figura 4.

Sin embargo, algo fallaba en este esquema: espın. Se sabıa que el espın delnitrogeno era 1, y que el espın del p era 1/2, al igual que el del e−. Ası que nohabıa manera de combinar 14p y 7e− para producir S = 1.

1.6. Descubrimiento del neutron

Para 1932 Chadwick descubre el neutron. Al bombardear Berilio con partıcu-las α, observa que se deben producir partıculas neutras, tales que al incidir sobreparafina extraen protones de esta. Figura 5.

Dado que la radiacion neutra era capaz de desprender protones, deberıa ten-er una masa similar a la del proton.

El modelo atomico finalmente era el que se muestra en la Figura 6.

3

Figura 5: Experimento de Chadwick

Figura 6: Modelo atomico

1.7. Radiacion

Los nucleos instalados decaen espontaneamente emitiendo partıculas. A esteproceso se le llama radioactividad. Existen tres tipos de radiacion:

Radiacion Alpha. Ra → Rd + α

Radiacion Gamma. Radiacion electromagnetica. Un nucleo en un estadoexcitado regresa al estado base emitiendo rayos γ.

Radiacion Beta. C → N + e−. Este tipo de radiacion encluye la emisionde un e− que no forma parte de los electrones que rodean al nucleo

1.8. Leyes de conservacion

Tres principios de conservacion que debıan cumplirse en estos procesos sonlos principios de conservacion de:

Carga electrica. Carga inicial = Carga final

Momento. ~pinicial = ~pfinal

Energıa. Einicial = Efinal

Por ejemplo, analicemos el proceso de dacaimiento de A → B + C, de esteproceso se siguen las siguientes relaciones

0 = ~pB

+ ~pC⇒ ~p

B= −~p

C|~p

B| = p

B= p

C.

4

Figura 7: Decaimiento del neutron

En cuanto a la energıa, dadas las altas velocidades de las partıculas produci-das en los procesos de decaimiento,

mA

= mB

+ TB

+ mC

+ TC,

donde T representa la energıa cinetica.

Si la partıcula inicial se desintegra, la energıa total disponible es E = mAc2.

1.9. Descubrimiento del neutrino

La energıa del neutron no se conserva en su decaimiento β. De hecho como secomprobo en experimentos fuera de reactores nucleares (1956, 25 anos despuesde haber sido propuestos por Pauli), tampoco se conservaba el momento. Figura7.

n → p + e− + ν

Una primera tabla de partıculas elementales serıa entonces la que se muestraa continuacion;

Partıcula Masa Carga Spınp 1 +1 1/2n 1 0 1/2e− 1/800 −1 1/2ν 0 0 1/2

Por convencion se consideran propiedades de las partıculas tales como elcolor, olor, sabor, etc. Pero en realidad solo hay atomos y espacio. Es mas, el99.999999999999% de los atomos es espacio vacıo.

5

2. Conceptos Generales I

2.1. Interacciones fundamentales y sus portadores.

Hasta ahora se conocen 4 fuerzas fundamentales en la naturaleza y en Fısicade Partıculas es conveniente hablar de ellas como interacciones.

Gravitacional. Interaccion de tipo atractiva, de alcance infinito. Porta-dor: Graviton (espın 2) nunca ha sido observado. Intensidad = 10−39.

Debil. Es una interaccion de alcance muy corto. Portadores: W±, Z0

(espın 1). Intensidad = 10−5.

Electromagnetica. Interaccion que puede ser atractiva o repulsiva, dealcance infinito. Portador: γ (virtual) (espın 1). Intensidad = 10−2.

Fuerte. Interaccion atractiva de corto alcance. Mantiene los nucleos unidos.Portador: g (espın 1). Intensidad = 1.

2.2. Unidades

Las unidades fundamentales en Fısica son las de longitud, masa y tiempo.En el sistema MKS, las unidades son metros, Kilogramos y segundos. Pero estasunidades no son practicas cuando observamos longitudes de 10−15m y masas de10−27Kg.

Las dos constantes de la Mecanica Relativista son h y c

h =h

2π= 1,055x10−34J · s, c = 2,998x108m/s.

Es conveniente usar un sistema de unidades en que h es 1 unidad de accion(ML2/T ), y c es una unidad de velocidad (L/T ). El sistema (3 unidades) escompleto si definimos la unidad, ya que la energıa (ML2/T 2). Definimos 1Gev =109eV como la unidad, ya que la energıa en reposo del proton esta dada por:

mp = 1,6726x10−27Kg ⇒ Ep = mpc2 = 1,503x10−10J,

y como

1eV = 1,602x10−19J ⇒ Ep =1,503x10−10

1,602x10−19eV = 0,928x109eV

⇒ Ep ' 1 GeV.

Ası que si decimos que mp = 1⇒ E = 1 = m0c2 en unidades h = c = 1. Para

esta masa, la longitud de onda de Compton es λ = hm0c = 1, y el tiempo asociado

serıa t0 = λc = 1. Al poner las h′s y c′s es util recordar que hc = 197 MeV ·fm.

En donde definimos 1 fm = 10−15 m.

Ası, es costumbre dar masas (m), momentos(mc) y energıa (mc2) en GeV ylongitudes (h/mc) y tiempos (h/mc2) en GeV −1.

Las secciones transversales se miden en barns, (con 1b = 10−28 m2) ⇒10 mb = 1 fm2.

6

3. Cinematica Relativista

3.1. Trasformaciones de Lorentz

El cuadrimomento de una partıcula de masa m esta dado por su energıa ymomento lineal p = (E, ~p), con cuadrado p2 ≡ E2 − ~p2 = m2.

Denotemos con ~x al vector posicion de componentes espaciales en el sistemade coordenadas original, y con ~x′ al vector posicion transformado, es decir,el vector posicion en un sistema que se mueve respecto al primero con unavelocidad ~β. Los vectores posicion podemos definirlos como en las ecuaciones(1), en donde hemos descompuesto los vectores en sus componentes paralelas yperpendiculares a la direccion de ~β

~x = ~x‖ + ~x⊥

~x′ = ~x′‖

+ ~x′⊥

(1)

La componente perpendicular a la direccion de ~β no cambiara despues de latransformacion, es decir,

~x⊥ = ~x′⊥. (2)

La transformacion de Lorentz para la coordenada que va en la direccion de~β esta dada por la siguiente expresion

~x′‖

= γ(~x‖ − ~βx0) (3)

~β′ = ~β

Podemos ahora definir la componente paralela del vector posicion de la sigu-iente forma

~x‖ = (β · ~x)β =(~β · ~x)~β

β2(4)

~x′ = ~x′‖

+ ~x′⊥

= γ(~x‖ − ~βx0) + ~x⊥

~x′ = γ(~x‖ − ~βx0) + (~x− ~x‖)

~x′ = ~x + (γ − 1)~x‖ − γ~βx0

~x′ = ~x + (γ − 1) (~β·~x)~ββ2 − γ~βx0.

donde γ y β estan relacionadas de la siguiente manera

β2 = 1− 1γ2

~β =~v

c

~x′ = ~x + γ2

γ+1 (~β · ~x)~β − γ~βx0

x′0 = γ(x0 − ~β · ~x).

(5)

7

Ahora encontremos las transformaciones de Lorentz para las velocidades, laenergıa y los momentos. Denotmos ahora al vector posicion ~r′ y a la compo-nente temporal con t′ y cuyas transformaciones de Lorentz estan dadas por lasexpresiones siguientes

~r′ = ~r + γ−1v2 (~r · ~v)~v − γ~vt

t′ = γt− γc2 (~r · ~v).

Calculemos ahora las cantidades d~r′

dt y dt′

dt

d~r′

dt=

d~r

dt+

γ − 1v2

(d~r′

dt· ~v

)~v + γ~v (6)

dt′

dt= γ − γ

c2

(d~r

dt· ~v

). (7)

Definimos ahora con ~u′ a la nueva velocidad una vez que hemos realizadouna transformacion de Lorentz sobre la velocidad ~u del sistema en reposo, yesta definida de la siguiente manera

~u′ =d~r′

dt′=

d~r′

dt

dt

dt′=

(d~r′

dt

)(dt′

dt

)−1

(8)

~u′ =

d~rdt + γ−1

v2

(d~r′

dt · ~v)

~v + γ~v

γ − γc2

(d~rdt · ~v

)donde d~r

dt representa la velocidad no transformada ~u, entonces

~u′ =~u√

1− β2 +[1−

√1− β2

](~u · ~v)~v + ~v

1− (~u · ~v)/c2. (9)

Ahora a partir de los resultados anteriores, obtengamos las transformacionesde Lorentz para la energıa y los momentos. El calculo de la transformacion delos momentos se obtiene directamente de la relacion para ~u′ multiplicada porm′ = m, entonces obtenemos

~p′ = m~u′ =m~u

√1− β2 + m

[1−

√1− β2

](~u · ~v)~v + m~v

1− (~u · ~v)/c2. (10)

Para encontrar la transformacion de Lorentz de la energıa utilizaremos lasiguiente expresion

E′2 = m′2c4 + p′2c2 = m2c4 + p′2c2

donde p′2 esta dado por la expresion,

p′2 = ~p′ · ~p′

p′2 = m2(~u′ · ~u′) = m2u′2

E′2 = m2c4 + c2m2(~u′ · ~u′). (11)

8

3.2. Decaimiento a dos cuerpos

Consideremos al sistema de masa M que decae en los dos objetos siguientesπ y p, figura 2, durante este decaimiento se conservan tanto la energıa como elmomento totales,

EM

= Eπ + Ep

~pM

= ~pπ + ~pp

en el sistema donde M esta en reposo tenemos

~pM

= 0, (12)

podemos escribir toda la cinematica de este decaimiento en la forma invariantede Lorentz, entonces

pµpµ = M2 = E2M− |~p

M|2

M2 = E2M

(13)

entonces las condiciones de conservacion quedan como sigue

M = Eπ + Ep

~pπ = −~pp ⇒ |~pπ| = |~pp|.

El cuadrado de las energıas respectivas para π y p estan dadas en la formainvariante de Lorentz de la siguiente forma

E2π = m2

π + |~pπ|2

E2p = m2

p + |~pp|2

}(14)

y dado que |~pπ| = |~pp| y ademas Ep = M−Eπ entonces obtenemos las siguientesrelaciones,

E2π = m2

π + (E2p −m2

p)

E2p = M2 − 2MEπ + E2

π.

Trabajando con las dos expresiones anteriores, finalmente obtenemos

Eπ =m2

π −m2p + M2

2M(15)

obtener una expresion para el valor absoluto del momento de la partıcula π esmuy simple ahora que tenemos una expresion para la energıa Eπ, utilizando esteresultado en la expresion para el cuadrado de la energıa de π se obtiene

|~pπ| =1

2M

[(M2 − (mπ + mp)2

)(M2 − (mπ −mp)2

)] 12

. (16)

9

3.3. Analisis del sistema pp → ppΛ0Λ0 (Experimento deblanco fijo)

Existen dos tipos de experimentos en Fısica de Altas Energıas, estos son:Experimentos de colisionador y Experimentos de blanco fijo. En esta seccionestudiaremos una colision entre dos protones (experimento de blanco fijo) demasas mb y mt, figura 3, la energıa total en el centro de masa de la colisionpuede ser escrito en la forma invariante de Lorentz de la siguiente manera

E2cm = (Eb + Et)2 − (~pb + ~pt)2

E2cm = E2

b + E2t + 2EbEt − |~pb|2 − |~pt|2 + 2~pb · ~pt

E2cm = (E2

b − |~pb|2) + (E2t − |~pt|2) + 2EbEt + 2~pb · ~pt.

(17)

sin embargo, sabemos que podemos escribir el cuadrado del cuadri-momentopara cada uno de los dos protones en la forma invariante de Lorentz como semuestra a continuacion

(pi)µ(pi)µ = m2i = E2

i − |~pi|2.

Entonces la expresion para el cuadrado de la energıa en el centro de masade la colision toma la forma siguiente

E2cm = m2

b + m2t + 2EbEt + 2~pb · ~pt. (18)

Ahora bien, la velocidad de una partıcula a la cual se le asocia una energıaE y un momento ~p es

~β =~p

E(19)

y por tanto para los dos protones considerados en este sistema sus velocidadesestan dadas por

~βb =~pb

Eb

~βt =~pt

Et(20)

entonces se sigue que el producto entre los momentos de ambos protones es

~pb · ~pt = (EbEt)(~βb · ~βt). (21)

Finalmente la expresion para la energıa al cuadrado en el centro de masa dela colision es la siguiente

E2cm = m2

b + m2t + 2EbEt(1− βbβtcos θ) (22)

donde θ es el angulo formado por los vectores momento de ambos protones.

En el sistema donde una de las dos partıculas esta en reposo, por ejemplotomemos en este caso mt en reposo, se cumple que

E2cm = m2

b + m2t + 2Eb,labmt. (23)

10

Ahora analicemos el sistema pp → ppΛ0Λ0 de la siguiente forma. Consider-emos que las partculas ppΛ0 forman un sistema de masa M , por tanto despusde la colision tenemos dos objetos Λ0 el objeto de masa M . Y en el sistema decentro de masa donde se originan los dos objetos antes mencionados, se tienenlas siguientes relaciones

|P| = 0 ⇒ E2

Λ0−m2

Λ0= E2

M −M2 (24)

E =√

SN = EΛ0 + EM ⇒ E2

M = SN − 2EΛ0

√SN + E2

Λ0(25)

con las ecuaciones anteriores obtenemos una relacion para la energıa de Λ0 dadade la siguiente forma

E0 =1

2√

SN

[m2

Λ0−M2 + SN ] (26)

por otro lado, la energıa total relativista para la partıcula Λ0 puede escribirsecomo a continuacion

E20 = m2

Λ0+ |p

Λ0|2 (27)

con las ecuaciones (26) y (27) podemos resolver para el momento |pΛ0|, obte-

niendo la expresion siguiente la cual dada la configuracion del sistema, denotael momento maximo para la partıcula Λ0,

|pΛ0,max

| =√

SN

2

[(1−

(mΛ0 + M)2

SN

)(1−

(mΛ0 −M)2

SN

)] 12

. (28)

Cuando ocurren una gran cantidad de colisiones entre partıculas, la fısicaineherente al proceso se puede estudiar en las distribuciones de las variablescinematicas: la distribucion de masas puede mostrar la existencia de resonan-cias, las distribuciones angulares dan indicaciones de los espines y momentosangulares de la partıculas que colisonan, las distribuciones de rapidity y χ

F

dan indicaciones de el tipo de produccion y de variables relacionadas, como porejemplo la polarizacion. En las siguientes secciones estudiaremos algunas vari-ables que son muy importantes.

3.4. Rapidity.

En colisiones con blanco fijo, normalmente se escoge la direccion z como ladireccion del haz. La energıa y el momento de una partıcula en este sistema dereferencia se pueden escribir como:

E = mT cosh y, px, py, pz = mT sinh y,

en dondem2

T = m2 + p2x + p2

y, p2T = p2

x + p2y,

mT es la masa transversal (o energıa transversal). Y se define la rapidez o ra-pidity como

11

y = arc tanh(

pz

E

)= ln

(E + pz

mT

)=

12

ln(

E + pz

E − pz

).

¿Cual es la ventaja de utilizar rapidity?

Cuando hacemos un boost a un sistema de referencia que se mueve a veloci-dad β∗k, p∗z = γ∗(pz − β∗E), y E∗ = γ∗(E − γ∗pz) de manera que y cambia ay∗ dada por

y∗ = arc tanh(

p∗zE∗

)= arc tanh

(γ∗(pz − β∗E)γ∗(E − β∗pz)

)= arc tanh

( pz

E − β

1− β pz

E

)

tanh y∗ =tanh y − β

1− β tanh y.

Resolviendo para β, encontramos

β =tanh y − tanh y∗

1− tanh y tanh y∗

pero esto es simplemente la tanh (y − y∗)

→ β = tanh (y − y∗) → y − y∗ = arc tanh beta → y∗ = y − arc tanh β

de manera que la distribucion de rapidity no se modifica cuando hacemos unboost.

3.5. Variables de Mandelstau

Last variables de Mandelstau, invariantes de Lorentz, se definen para un pro-ceso en que dos partıculas de masas m1 y m2 y momentos ~p1 y ~p2 se dispersanen 2 partıculas de masas m3, m4 y momentos ~p3, ~p4, de manera que:

s = (~p1 + ~p2)2 = (~p3 + ~p4)2 = m21 + m2

2 + 2E1E2 − 2~p1 · ~p2

t = (~p1 − ~p3)2 = (~p2 − ~p4)2 = m21 + m2

3 − 2E1E3 + 2~p1 · ~p3

u = (~p1 − ~p4)2 = (~p2 − ~p3)2 = m21 + m2

4 − 2E1E4 + 2~p1 · ~p4

y satisfacens + t + u = m2

1 + m22 + m2

3 + m24.

3.6. Variable de Feynman, χF.

En la colision de partıculas, el momento maximo a lo largo del eje z (direcciondel haz) es pz,max. Se define χ

Fpara una partıcula como

χF

=pz

|pz,max|.

cuando pT� pz la variable de Feynman esta dada de la siguiente manera

χF≈ (E + pz)|(E + pz)max|

en el sistema de referencia dado.La Figura 8 muestra una distribucion para χF.

Esta variable es util para describir procesos como polarizacion y otros.

12

Figura 8: χF

para Λ.

Figura 9: Distribucion para P 2T.

3.7. Distribucion de P 2T

Las distribuciones que se observan, en las partıculas secundarias (despues

de la colision), en P 2T

son del tipo exponencial dσdP 2

T

∝ e−P2

T2σ2 . En la Figura 9 se

muestra una distribucion para P 2T

en escala logarıtmica. Esto se observo desderayos cosmicos. Esto significa que px y py tiene distribuciones gaussianas.

3.7.1. ¿Como generar una distribucion gaussiana

Sean u1 y u2 uniformes en (0, 1). Construya v1 = 2u1 − 1, v2 = 2u2 − 1,uniformes en (−1, 1). Calcule r2 = v2

1 + v22 . Si r2 > 1 empiece de nuevo. Si

r2 < 1, entonces es uniforme en (0, 1) y

z1 = v1

√(−2 ln r2)/r2 y z2 = v2

√(−2 ln r2)/r2

son numeros independientes tomados de una distribucion normal con media 0 yvaianza σ = 1. Los z′i = µ + σzi estaran distribuciones con media 0 y varianzaσ2.

13

3.7.2. Proceso AB → CXD

Generacion de P 2T

En este caso, antes de la colision (A=haz)

p2T ,beam = p2

T ,tgt = 0 , pz,beam = pz , pz,tgt = 0.

La energıa total en el laboratorio es Ebeam + mtgt.

Despues de la colision, p2T ,C y p2

T ,D se generan con distribuciones normales(z′1 y z′2 correspondientes a px, py) y para X:

px,X = −px,C − px,D , py,X = −py,C − py,D.

Pz(X)

La distribucion de Pz(X) se genera en base a los datos. Ya vimos que paraprocesos centrales (si dos partıculas colisionan, y χ

F≈ 0 para el producto

entonces → producto o proceso central) χF∼ 0. Entonces podemos generar

P ′z(X) = Pz de X en el CM, dado que P ′

z(X) = χF(X) · Pz,max,CM .

Falta entonces generar Pz,C y Pz,D que satisfagan conservacion de energıay momento. Para esto necesitaremos usar el metodo de Newton-Raphson, lasFiguras 10-12 muestran este metodo.

3.8. Reaccion exclusiva.

[1] Se le conoce ası a aquella reaccion en la que se conocen todas las partıcu-las del estado final de la misma.

Ejemplos:pp → pp

pp → ppπ0

pp → ppK+

3.9. Reaccion inclusiva.

[1] Es aquella reaccion en la que no se conocen todas las partıculas queaparecen en el estado final.

Ejemplos:

pp → π−X (inclusiva de 1 partıcula)

pp → π+π−X (inclusiva de 2 partıculas)

pp → (2 partıculas cargadas)X (inclusiva de 2 partıculas)

pp → X (seccion transversal total)

14

Figura 10: Metodo Newton-Raphson.

15

Figura 11: Metodo Newton-Raphson - Continuacion.

16

Figura 12: Metodo Newton-Raphson modificado.

3.10. Plano de produccion del objeto X.

Se le nombra ası al plano generado por el vector momento del objeto X yel eje z (direccion del haz), figura 1, y cuya normal esta definida de la siguienteforma

n =~p

Beam× ~p

X

|~pBeam

× ~pX|.

3.11. Mecanismos de produccion.

Produccion por doble disociacion. Las partıculas del estado inicial serompen y producen otras nuevas.

Produccion por disociacion simple. Solo una de las partıculas delestado inicial se rompe y se genera la produccion de nuevas.

3.12. Momentos longitudinal y transversal.

En un experimento de altas energıas de blanco fijo se toma generalmente aleje z del sistema de referencia en la direccion del haz de partıculas que incidesobre un blanco, es decir, el haz de partıculas, por ejemplo protones, viaja enla direccion normal al plano x-y. De esta manera, las partıculas en el estado fi-nal tienen un momeno determinado, el cual puede descomponerse en dos partesuna componente logitudinal, esto es, aquella componente del momento que vaen la direccion del haz o bien en la direccion z, a esta componente se le llamamomento longitudinal y en otra componente que es perpendicular a la direccion

17

del haz, a esta se le conoce como momento transversal.

3.13. Clasificacion de partıculas.

Podemos clasificar a las partıculas de acuerdo con el tipo de interaccion quellevan a cabo; si la interaccion es fuerte entonces se les llama hadrones, mientrasque si la interaccion es debil se les conoce como leptones.

Si se desea clasificar a las partıculas de acuerdo a la estadıstica que siguen, en-tonces se tienen dos grupos, aquellas que siguen la estadıstica de Bose-Einsteinse les conoce como bosones de espın entero, estas partıculas se caracterizanpor tener una funcion de onda simetrica ante el intercambio de dos partıculasidenticas, y a aquellas partıculas que siguen la estadıstica de Fermi-Dirac se lesconoce como fermiones de espın semi-entero, estas tiene una funcion de ondaantisimetrica ante el intercambio de partıculas identicas.

Los bosones no tienen restriccion alguna para ocupar los estados energeticos,sin embargo, los fermiones estan restringidos, de tal forma que dos fermiones nopueden ocupar un mismo estado de energıa.

En el Modelo Estandar de Partıculas se tiene la siguiente clasificacion,

Familia I II III Portadores de InteraccionQuarks u c t γ

d s b gLeptones νe νµ ντ Z

e µ τ W

3.14. Vida media.

La vida media de una partıcula se define como el tiempo promedio que tran-scurre desde que se origina una partıcula hasta que ocurre su decaimiento.

4. Antimateria

4.1. Mecanica Cuantica No-Relativista

De la relacion E = ~p2/2m con E → ih ∂∂t y ~p → −ih~∇ actuando sobre Ψ,

entonces obtenemos la Ecuacion de Schrodinger,

i∂Ψ∂t

+1

2m∇2Ψ = 0 (29)

con densidad de probabilidad ρ = |Ψ|2. Pero esta ecuacion viola Covarianza deLorentz.

18

4.2. Ecuacion de Klein-Gordon

Para recuperar covarianza, comencemos con E2 = ~p2 + m2 y tomando nue-vamente a E → ih ∂

∂t y ~p → −ih~∇, obtenemos la Ecuacion de Klein-Gordono Ecuacion Relativista de Schrodinger para una partıcula libre de energıa E ymomento ~p, y donde φ es φ = Nei~p·~x−iEt. La Ecuacion de Klein-Gordon vienedada de la siguiente forma

−∂2φ

∂t2+∇2φ = m2φ (30)

La densidad de probabilidad es

ρ = iφ∗∂φ

∂t− iφ

∂φ∗

∂t= i(−2iE)|N |2 = 2E|N |2,

podemos notar que ρ > 0 si E > 0 y ρ < 0 si E < 0.

Las soluciones a la ecuacion de Dirac son del tipo:

φ = useipµxµ φ = vse

−ipµxµ

en donde s = 1, 2; us y vs son espinores de 4-componentes.

u1,2 corresponden a partıculas de momento ~p y energıa E, y v1,2 corre-sponden a partıculas de momento −~p y energıa −E. Lo cual es permitido porE2 = ~p2 + m2.

En el sistema en reposo de estas partıculas, ~p = 0, obtenemos:

u1 =

1000

u2 =

0100

u3 =

0010

u4 =

0001

que son los espinores de la teorıa no relativista de Pauli:

u1, u2 : estados electronicos de energıa positiva (espın ↑↓)

v1, v2 : estados electronicos de energıa negativa (espın ↑↓)

¿Como puede ser E < 0?

Dirac propuso que existe un mar (el vacıo) de estados electronicos de en-ergıas negativas, que se encuentra completamente lleno. Ver Figura 13.

Cuando un electron de energıa negativa recive una energıa ∆E ≥ 2mc2, es“pateado”fuera del mar, convirtiendose en una partıcula de energıa positiva: laausencia (un “hoyo”en el mar) de una partıcula de carga −e y energıa −E (unelectron de E < 0), produce un positron de carga +e y energıa +E.

El modelo de Dirac tambien predice correctamente el momento magneticodel e− en µe = −eh

2mec .

19

Figura 13: Mar de estados electronicos.

Figura 14: Trazas en una Camara de Gas. (Gas presurizado) Trazas por con-densacion.

4.3. Antimateria

Dirac propuso la existencia de antimateria en 1928. Para 1933, Anderson,trabajando con camaras de gas (cloud chambers) , ver Figura 14, logra observarestas antipartıculas.

Los positrones tienen la misma masa y espın que el e−, pero carga electricaopuesta (+e). Es un antielectron.

Dado que los e−sno tienen nada en particular, debieran existir antipartıculaspara cada partıcula conocida:

e− → e+ p → p

pero que pasa con las siguientes partıculas,

n → n ν → ν ??

4.4. Aniquilacion partıcula-antipartıcula / Creacion de pares

Cuando un e− y un e+ se encuentran en una reaccion, pueden aniquilarseproduciendo energıa:

e+ + e− → γ′s.

Lo contrario tambien es posible, γ′s con E > 2me pueden producir un pare+e− (cuando son dispersados por nucleos, por ejemplo):

20

γE>2me

→ e+ + e−.

De hecho, esta permitida la reaccion

e+ + e− → p + p.

Pero nunca se ha observado

e+ + e− → e+ + p,

la pregunta es ¿Por que no se ha observado?.Nota. En la ecuacion de K-G, [∇2 − ∂2

t − m2c2

h ]Ψ = 0, la solucion estaticaU(r) cumple

∇2U(r) =1r

∂

∂r

(r2 ∂U

∂r

)=

m2c2

hU(r)

U =φ

r⇒ ∇2U(r) =

1r2

d

dr

(rφ′ − φ

)=

1rφ′′

Haciendo U(r) = Aφr , obtenemos U(r) = g

4πr e−r/R en donde g = cte que dala intensidad de la fuente puntual, R = h/mc. Como en electrostatica

∇2U(r) = 0 ⇒ U(r) =Q

4πr,

siendo Q la carga en el orignen, g es la carga fuente en el origen.

5. Piones y Muones

Trantando de describir las interacciones estaticas de corto alcance, Yukawase dio cuenta (en 1935) que el rango de estas interacciones deberıa depender dela masa del cuanto del campo:

Supongamos que se intercambia un cuanto de masa m, por el Principio deIncertidumbre, este solo puede existir un tiempo ∆ ≤ h/mc2, durante el cual, alo mas recorre una distancia R ' c∆t ≤ h/mc.

[El rango del campo esta dado por la longitud de onda de Compton asociadaa ese cuanto].

Tomando hc = 197MeV · fm, y R ' 1,4fm, obtenemos la masa del cuantode Yukawa:

mqc2 =

hc

R' 140MeV,

esto es, mq ' 17mp. Yukawa las lamo piones, y deberıan existir con 3 cargas +,

-, 0.

21

5.1. Muones

En la busqueda de piones, el estudio de rayos cosmicos (la 1a fuente departıculas con alta energıa) llevo al descubrimiento de una partıcula de masamµ ' 1

9mp, o mµ ' 200me− 6= 17mp.

Esta partıcula no podıa ser el pion predicho por Yukawa (anos 30’s), puesno experimenta interacciones fuertes.

5.2. Piones

Para 1947, Lattes, Muirhead, Ochialini y Powel, observan por 1a vez alpion cargado en rayos cosmicos. Los piones fueron producidos por 1a vez enaceleradores en 1948(π±) y en 1950(π0).

Teorıa → Experimento

Parecıa ser que el cuanto de la fuerza fuerte acababa de ser descubierto. Peroel pion, al igual que los nucleones, resulto tener estructura.

pion → partıculas de intercambio entre nucleones.

6. Leptones y Hadrones

El muon, al igual qe el electron, no experimentan la fuerza fuerte. A estaspartıculas se les llama leptones. Otros leptones que ya hemos conocido son losneutrinos. Un tercer lepton observado es el lepton τ (Tau).

- El e−, µ−, τ− tienen sus antipartıculas respectivas.

- Ademas, en las interacciones, a cada e− le corresponde un ν−e , y a cadaµ → νµ, τ → ντ . Por ejempo:

π+ → µ+ + νµ , π+ → e+ + νe

n → p + e− + νe , n → p + µ− + νµ

A las partıculas que sı experimentan la fuerza fuerte se les llama hadrones,y se conocen dos tipos:

- Bariones: Espın semientero (p, n, p, n).

- Mesones: Espın entero (π+, π−, π0).

7. Partıculas inestables

Los p′s, e−′s y ν′s parecen ser estables pero todas las demas partıculas de-

caen:

22

n → p + l + νl, lifetime = 930s.

π± → µ± + νµ, lifetime = 10−8s.

π0 → γ + γ, lifetime = 10−16s.

µ± → e± + νµ + νe, lifetime = 10−6s.

8. Partıculas extranas

Para inicios de los anos 50′s, las investigaciones en rayos cosmicos y en losprimeros aceleradores de partıculas evidenciaron la existencia de unas partıculascon caracterısticas extranas:

Se producıan siempre en pares.

Aunque se producıan en reacciones que contenıan p′s y n′s, algunas deellas cuando decaıan no tenıan un p o un n como resultado final.

Todas las partıculas eran inestables.

Todas estas partıculas extranas (strange particles) eran creadas en inter-acciones fuertes, pero a veces decaıan por medio de la fuerza debil (→)ν.

Algunas de estas partıculas extranas (observadas todas en esa epoca) son:kaones, lambdas, sigmas y cascadas.

8.1. Kaones - K

mK ' 12mp, spin = 0, lifetime = 10−8 o 10−10s.

Partıculas: K+,K0, Antipartıculas: K−,K0.

Decaimiento: K+ → µ+ + νµ.

8.2. Lambdas - Λ

mΛ ' 1,1mp, spin =12, lifetime = 10−10s.

Partıcula: Λ0, Antipartıcula: Λ0.

Decaimiento: Λ0 → p + π−.

23

8.3. Sigmas - Σ

mΣ ' 1,2mp, spin =12, lifetime = 10−10 o 10−20s.

Partıculas: Σ−,Σ+,Σ0, Antipartıculas: Σ−,Σ+,Σ0.

Decaimientos: Σ+ → p+π0−(51 %), n+π+−(48 %), otros−(< 1 %) Σ0 → Λ+γ Σ− → n+π−

8.4. Cascadas - Ξ

mΞ ' 1,3mp, spin =12, lifetime = 10−10s.

Partıculas: Ξ−,Ξ0, Antipartıculas: Ξ−,Ξ0.

Decaimientos: Ξ0 → Λ0 + π0 Ξ− → Λ0 + π−

En los decaimientos de antipartıculas, todas las partıculas generadas cam-bian por sus propias antipartıculas (pero que ¿existiran violaciones a este he-cho?).

Ası, para 1957 se conocıan 30 partıculas elementales, y el numero aumentarıacon la llegada de aceleradores. La tabla de partıculas elementales era la siguiente.Ver tabla de la Figura 15.

9. Reglas de Conservacion

Ahora veremos que algunas propiedades fısicas (Numero cuanticos) se mantienenen las reacciones. Introducimos primero las propiedades, y luego revisaremos lasreacciones.

9.1. Numero leptonico

El numero de leptones en una reaccion se conserva, pero siempre de acuerdoal tipo de lepton. Existen los siguientes leptones e−, µ−, τ−, junto con sus neu-trinos, y sus respectivas antipartıculas. En las reacciones se conserva entonces elno. leptonico electronico (le−), el no. leptonico µ-onico (lµ−), y el no. leptonicoτ -onico (lτ−).

24

Figura 15: Tabla de Partıculas elementales

25

Partıcula le− lµ− lτ−

e− +1 0 0e+ −1 0 0νe +1 0 0νe −1 0 0µ− 0 +1 0µ+ 0 −1 0νµ 0 +1 0νµ 0 −1 0τ− 0 0 +1τ+ 0 0 −1ντ 0 0 +1ντ 0 0 −1

El γ (foton) tiene numero leptonico 0.

9.2. Numero barionico

El numero barionico, o numero atomico, es cualidad de las partıculas de espınsemientero que sufren la fuerza fuerte. Los leptones tienen numero barionicocero, ası como el foton. Las partıculas con numero barionico diferente de ceroson:

p, n,Λ0,Σ,Ξ tienen no. barionico B=1

sus antipartıculas tienen no. barionico B=-1.

Las siguientes partıculas tienen no. barionico B=0:

π,K, leptones tienen B=0, y Bγ = 0.

9.3. Extraneza

La reaccion π− + p → K+ + Σ− se ha observado, pero la reaccion π− + p →π− + Σ+ nunca se ha observado. La pregunta es ¿por que?, si deberıa ser masfacil producir un π que un K.

Vemos que las partıculas extranas se producen en pares, ası que la cualidadde extraneza debiera conservarse tambien.

Se ha observado que las reacciones fuertes conservan extraneza, pero laspartıculas con extraneza tambien pueden decaer vıa interacciones debiles. Porejemplo los ν’s no sienten la fuerza fuerte, pero pueden aparecer en decaimientosde partıculas con extraneza, y la reaccion es debil.

Por ejemplo, las siguientes reacciones violan conservacion de extraneza:

K+ → µ+ + νµ, K+ → π+ + π0

26

Los valores para la extraneza de algunas partıculas son:

K+ = 1, K0 = 1, Λ = −1, Σ = −1, Ξ = −2.

La extraneza S de K+ fue asignada arbitrariamente, y las demas fueronencontradas por comparacion. Mas adelante veremos como saber la cantidad deextraneza que tienen las partıculas.

9.3.1. Cantidad de extraneza

Como ya lo mencionamos con aterioridad, para medir la cantidad de ex-traneza los fısico inicialmente asignaron el valor SK+ , y despues dieron los val-ores de extraneza para las otras partıculas extranas por comparacion.

La extraneza constituye un valor dado para cada partıcula, al igual que lacarga Q y la masa atomica A (o numero barionico B), y como otros numeroscuanticos que veremos posteriormente, tales como: espın (J), isoespın (I), pari-dad (P), hipercarga (Y), G-paridad; todas estas cantidades se conservan en lasreacciones fuertes. La cantidad S esta relacionada con las cantidades A, Q y Y ,de la siguiente manera.

- El numero atomico A designa el numero de masa atomica, AU235 = 235,entre p′s y n′s. Ası que Ap = 1, An = 1. Las partıculas con A = −1 son an-tibariones, y A = 0 para mesones, leptones y para el foton.

- Q es la carga electrica de una partıcula.

- El isoespın I denota la variedad (del multiplete) de partıculas con propiedadessimilares, y su uso similar al del espın J (de ahı su nombre, aunque no tieneninguna relacion con h o momento angular) se introdujo inicialmente para in-dicar el hecho de que el nucleon tiene dos estados de carga: uno de carga positiva(p) y otro de carga neutra (n). Ası, podemos decir que el nucleon tiene isoespınI = 1

2 (2I + 1 = 2 estados), y ambos estados se comportan de la misma maneraante interacciones fuertes.

Como la interaccion E-M no conserva isoespın, el p y el n tienen masas difer-entes.

- A un conjunto de partıculas relacionadas por isoespın las llamaremos unmultiplete de carga. El Σ es parte de un triplete (Σ+,Σ−, π0). El kaon es partede un doblete (K+,K0).

La multiplicidad M para I dado es: M = 2I + 1.

- La hipercarga Y esta relacionada con la carga media del multiplete Q ycon la extraneza S, de la siguiente manera: Q es la carga media del multiplete;ası Q = 1

2 para el nucleon, Q = 0 para el pion, Q = 12 para el kaon. La hipercarga

Y es el doble de la carga media: Y = 2Q, Y = 1 para el nucleon, Y = o parael pion, Y = 1 para el kaon. La extraneza es S = Y − A, la hipercarga menos

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Figura 16: Tablas con descripcion de los numeros cuanticos y valores de lahipercarga

el numero atomico. S = 1 − 1 = 0 para nucleones, S = 0 − 0 = 0 para piones,y S = 1 − 0 = 1 para kaones. En la Figura 16 se muestran dos tablas, unacon descripcion de numero cuanticos, y la otra con valores de hipercarga paraalgunas partıculas.

10. Fuerzas y tiempos de reaccion

Algunas partıculas experimentan todas las fuerzas (por ejemplo, el proton)y otras solo algunas. El neutrino es la partıcula menos sensible, acoplandose soloa interacciones debiles y gravitacionales.

La fısica de partıculas analiza fenomenos que ocurren cuando estas viajan avelocidades proximas a la velocidad de la luz, de 1010cm/s. Dado que el tamanopromedio de una partıcula es de 10−13cm, el tiempo en que una partıcula puederealizar alguna interaccion, tiempo de reaccion, para una interaccion fuerte (lade mayor intensidad) es de 10−23s. Las reacciones electromagneticas, 100 ve-ces mayor, o sea, de 10−21s aproximadamente. Por su parte los procesos debiles

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tienen tiempos de reaccion de ∼ 10−9s. Estos tiempos determinan la vida mediade una partıcula inestable. (π±, 10−8s; π0, 10−16s; µ, 10−6s; K, 10−8s; Λ, 10−10s).

11. Las dos primeras espectroscopıas

Podemos ahora ver la similitud entre la espectroscopıa atomica (emision decuantos -fotones- de energıa por atomos excitados)(Figura 17, parte superior)con la espectroscopıa barionica (Figura 17, parte inferior) ejemplificada aquı pormedio de los decaimientos de bariones ∆−,0,+,++ en nucleones (bariones que sonexplıcitamente el p y el n).

12. Canales y resonancias

Cuando una partıcula tiene energıa suficiente para desintegrarse en 2 o maspartıculas, se dice que es inestable. Algunas tienen uan sola posibilidad de desin-tegracion (Ξ(1530) → Ξπ), y otras mas de una (Λ → Σπ,NK,Λ02π). Si el de-caimiento es debil o E-M se les llama metaestables. Dado que tfuerte ∼ 10−23s,mientras que tdebil ∼ 10−10s, las camaras de burbujas no mostrarıan trazas dedecaimientos fuertes. El error en la masa al medir un decaimiento fuerte serıa∆E∆t ≥ h, ∆t ∼ 10−23s = 15,2GeV −1. Ası que ∆E ∼ 100MeV .

Si la interaccion es fuerte, es facil recurrir a la analogıa de desintegraciones,con vasos comunicantes. Un estado nuclear, con numeros cuanticos definidos(A, Y, I, J, P, G), puede representarse con una partıcula, o con la combinacion devarias, que en conjunto tienen el mismo juego de numeros cuanticos. Entonces,si la partıcula inestable tiene energıa suficiente, podra decaer en la combinaciondada de otras partıculas. A cada posible tipo de decaimiento se le llama unacanal.

Para que una partıcula decaiga en otras, debe tener al menos una masa enreposo igual a la suma de las masas en reposo de las otras (el excedente setransformara en energıa cinetica). Llamamos energıa de umbral (de ese canal)a esta suma.

A continuacion veremos que canales pueden abrirse para π(750).

π(750) : A = 0, Y = 0,I = 1,J = 1,P = −1

π(139) : A = 0, Y = 0,I = 1,J = 0,P = −1

K(496) : A = 0, Y = 1,I = 1/2,J = 0,P = −1

N(p o n) : A = 1, Y = 1,I = 1/2,J = 1/2,P = +1

Donde P tiene que ver con l si son 2 o mas partıculas. Ası que A, Y, I paraπ(750) se puede reproducir con:

uno o mas pares de piones,

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Figura 17: Espectroscopıas atomica y barionica

30

Figura 18: Canales y resonancias.

uno o mas pares de kaones,

par de kaones y un pion,

par KK y muchos piones,

par NN , etc.

De estos, solo los canales 2π, 4π estan abiertos al decaimiento, y los demasson canales cerrados. Ver Figura 18.

Otra analogıa util es la de cavidades resonantes (e-m). Los trabajos iniciadosen 1952 por Enrico Fermi et al mostraron que la dispersion (scattering) de pi-ones por protones producıa picos en la seccion eficaz del sistema πp. Para cadaenergıa del haz de piones, se mide la masa eficaz del sistema, (M2 = E2

T − ~pT2).

La seccion eficaz, graficada contra la masa eficaz del sistema, presenta un picoagudo alrededor de 1238 MeV, y otro en 1920, para la dispersion de π+ porprotones. En cambio, la dispersion de π− por protones apenas muestra el picoen 1920 MeV, pero aparecen otros en 1512 y 1688 MeV. Actualmente llamamosa estos picos las resonancias ∆(1238), ∆(1920), N(1512) y N(1688). Observeseque el pico de la ∆(1238) tiene un ancho de ∼ 100 MeV, decaimiento fuerte.La analogıa de un proton recibiendo energıa de piones, y produciendo estadosresonantes, con cavidades resonantes, corresponde a energıa de cierta frecuenciaentrando a la cavidad, que resuena emitiendo energıa en otras determinadas fre-cuencias. A la cavidad se le pueden conectar guıas de ondas E-M, si la longitudde onda de la resonancia es mayor que las dimensiones de la guıa de ondas, nose transmiten estas a traves de la misma (canal cerrado), pero si frecuencia delas ondas es alta, entonces el canal estarıa abierto. Si la frecuencia de la ondaqueda por debajo o por arriba de la frecuencia de la guıa, serıa difıcil meterenergıa en la cavidad resonante. Si la frecuencia de la resonancia alcanza la fre-cuencia caracterıstica de una guıa, le sera mas facil absorber y volver a radiaresa energıa (→ picos en la seccion eficaz).

Cuando la cavidad deja de recibir energıa, si esta esta en la proximidad deuna resonancia, la cavidad guarda esta energıa por un largo perıodo. De igual

31

Figura 19: Produccion de ∆++ en colisiones π+p.

manera, una partıcula inestable tarda en desintegrarse en los canales que le sonaccesibles (decaimientos fuertes, donde 10−23s es mayor que el tiempo de col-ision de dos partıculas a alta velocidad).

Si la energıa a la que resuena la cavidad no es suficiente para salir por uncanal, aun puede disiparse en calor y vibraciones por las paredes de la cavidad,pero no tiempos mas largos. Este caso serıa analogo a los decaimientos debilesy E-M de las resonancias.

Si una partıcula tiene la energıa mas baja para una configuracion de numeroscuanticos dados, y es entonces estable, decimos que verdaderamente representauna partıcula. Si, en cambio, puede decaer a una partıcula de energıa menor,o a varios canales, decimos que se trata de una resonancia. El diagrama de laFigura 19 muestra la formacion de ∆++ en colisiones π+p.

12.1. La forma Breit-Wigner de las resonancias

En experimentos de produccion, se estudia la produccion de resonanciasexaminando la distribucion de masa efectiva de un grupo de n partıculas:

m2ef =

( n∑i=1

Ei

)2

−( n∑

i=1

~pi

)2

.

Si no existen resonancias, esta distribucion esta dada puramente por la cin-ematica del proceso, y la distribucion adquiere la forma del factor de espaciofase: distribucion suave, sin picos, que es nula en el umbral.

En cambio, si exiten partıculas inestables que decaen exponencialmente, laforma de la distribucion tiene la forma llamada de pico de Breit-Wigner.

Para un estado que decae exponencialmente con el tiempo de vida media τ ,podemos escribir la funcion de onda de la siguiente manera

32

Figura 20: Primera resonancia.

Ψ(t) = Ae−t2τ e

−iERt

h

donde A es una constante en general compleja, ER es la energıa de la resonancia(→ mR). Como lo que necesitamos es la funcion de onda en terminos de laenergıa → distribucion de masas, hacemos una transformacion de Fourier:

φ(E) =∫ ∞

0

Ψ(t)eiEth dt = A

∫ ∞

0

e−t2τ −

i(ER−E)t

h

φ(E) =−ih

(ER − E)− i h2τ

A

Ahora bien, ya habıamos descrito que el ancho del pico estaba dado por larelacion de incertidumbre

∆E∆t ∼ h.

Escribimos ahora esta relacion haciendo los cambios ∆E → Γ (ancho de ladistribucion), ∆t → t, ası

Γt ∼ h.

con lo que obtenemos:

φ(E) =−ih

(ER − E)− iΓ2

A Formula de B-W no-relativista.

Al hacer entonces una grafica de la distribucion de masa efectiva del sistema(m → E), obtendremos un pico en la energıa de la resonancia (mR → E),

33

Figura 21: La analogıa de la cavidad resonante.

34

Figura 22: Nuevo nomenclator de partıculas con interaccion fuerte.

35

de ancho Γ(FWHM). El ancho es el correcto, pues al graficar la distribucion,graficamos:

|φ(E)|2 ∝ 1(mR −m)2 + 1

4Γ2.

Esta distribucion tiene maximo en mR, y en m = mR ± Γ2 obtenemos la

mitad del valor de ese maximo (2( 14Γ2), el doble en el denominador).

12.2. Diagrama de Argand

Podemos escribir la amplitud de B-W como:

φ(E) ∝ 1(ER − E)2 + 1

4Γ2

{(ER − E)2 +

i

2Γ}.

φ(E) =2Γ

(x + iy),

donde

x =12 (ER − E)Γ

(ER − E)2 + 14Γ2

, y =14Γ2

(ER − E)2 + 14Γ2

.

Entonces

x2 +(

y − 12

)2

=(

12

)2

x2 +(

y − 12

)2

=

((ER−E)2

2 + 12

Γ2

4

)2

((ER − E)2 + Γ2

4

)2 =14.

Entonces x y y describen un cırculo de radio 12 , centrado en (0, i/2), Ver

diagrama de la Figura 23.

Cuando E = ER − 12Γ; (x, y) estan en A. En B, E = ER, el maximo, o el

pico; y en C, E = ER + 12Γ. Ası que el cırculo se recorre en sentido contrario a

las agujas del reloj cuando E va de 0 a ∞.

El angulo δ en este diagrama representa el corrimiento de fase (phase shift),de manera que en el pico δ = π/2. (En mecanica cuantica se muestra que δ = π/2es el angulo para el maximo en la seccion transversal para una onda parcial conmomento angular orbital lh).

12.3. Diagrama de Dalitz

La forma B-W describe la distribucion de la masa invariante de n cuerposen el decaimiento

M → m1 + m2 + m3 + ... + mn.

36

Figura 23: Diagrama de Argand.

Ademas de este decaimiento, es probable que el proceso incluya resonanciasentre 2 o mas partıculas (menos que las n totales), y entonces el proceso dedecaimiento pueda ser descrito como:

M → (mA → m1 + m2) + (mB → m3 + m4) + m5 + m6 + ... + mn.

En el caso de decaimiento en 3 cuerpos, es muy probable que se cumpla estemodelo de isobara en el decaimiento:

M → (m1,2 → m1 + m2) + m3 M → m1 + (m2,3 → m2 + m3).

En este caso es util realizar diagramas de Dalitz, en los cuales se grafica lamasa invariante al cuadrado de un par contra la masa invariante al cuadrado deotro par, como en los dos posibles decaimientos descritos arriba.

Este diagrama tiene una forma triangular, con los vertices limados, debidoa las constricciones de conservacion de energıa-momento del decaimiento.

Las resonancias inmiscuidas en el proceso de decaimiento (isobaras) se vencomo bandas en el diagrama de Dalitz, o como manchas o hecos en el mismo.Por su parte, el espacio fase de 3 cuerpos, en un diagrama de Dalitz, a masafija, es uniforme.

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Referencias

[1] R. C. Johnson, Basic Regge theory rides again, Rutherford LaboratorySchool for Young High Energy Physicists, September 1978, Oxford, Eng-land.

[2] Donald H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, University Press,Cambridge, 4th edition, United Kingdom, 2000.

[3] Particle Data Group (PDG), Particle Physics Booklet.http://pdg.lbl.gov/pdgmail.

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