introducciÓn a la elasticidad para suelos

7/23/2019 INTRODUCCIN A LA ELASTICIDAD PARA SUELOS

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ELASTICIDADELASTICIDAD

2.- Mdulo de elasticidad. Thomas Young (1773-1829) y los jeroglficosegipcios

Young, que entre otras cosas dedic parte de su

vida al estudio de los jeroglficos egipcios,,

proporcionalidad entre tensiones ydeformaciones, antes de que existieran losconceptos e tens n y e ormac n. or esoquizs no le entendieron muy bien en sumomento:

The modulus of elasticity of any substance

is a column of the same substance ca ableof producing a force on its base which is to

the weight causing a certain degree of =

Luis Ortuo

is to the diminution of i ts length.

Tomados de Gordon, J .E.


Algunos valores de E (internet)Material E[1] [2] [ MPa ]Goma 7

Cartlago(humano)

24 Material E[1] [2] [ MPa ]

Granito 50 000

(humano) 600

Polietileno,

vidrio 70 000Aleaciones de

70 000Nylon

Maderalaminada

7000Latn 105 000

Bronce 110 000

Madera (segnla fibra)

14 000Hierro colado < 175 000

Hierro forjado 190 000

Hormign /Concreto

27 000

Zafiro 420 000

Luis Ortuo

Aleaciones deMg

42 000


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3.- Tensin, deformacin y coeficiente de Poisson

se ap ca a una pro e a e un e ermna omaterial elstico un incremento de tensiones en

una direccin, por la ley de Hooke se tendr un

L

Lv

=

direccin, de valor:

E

vv =

Ahora bien, tambin se observa que, en general, los incrementos de tensin en unadireccin producen deformaciones en perpendicular a dicha direccin.

Donde se denomina

Luis Ortuo

coeficiente de Poissonvvh E

==


Tensin, deformacin y coefic iente de Poisson

materiales y estructuras).

En palabras simples, es el efecto por el cul , en general un cuerpo adelgaza cuando

es estirado o engorda al ser comprimido.

vv

=

Luis Ortuo

vhE


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Para un material istropo, suponiendo un incremento general de4.- Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.

v tensiones normales en tres planos perpendiculares (y aplicandoel concepto de la ley de Hooke y el efecto Poisson, se tiene:

)''(''

zyx

xEE

+=

v )''('' zxy

yEE

+=

)''(

''

xyz

z

EE

+=

Como tratamos de suelos, empleamos tensiones efectivas (tambin le podemosponer un apstrofe a E y a , para indicar que se trata de los parmetros de tensionesefectivas .

Luis Ortuo

En suelos y en rocas, las compresiones son positivas. Obsrvese que en un material elstico las deformaciones normales slo dependende la tensiones normales.


'' La deformacin volumtrica ser:

Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.

''''

''

y

zyxEE

+=

zyxvV

V ++==

''''''

z

zxy EE

+=

[ ]zyx

Ev '''

''21 ++=

''xyz

EE

Teniendo en cuenta ue el incremento de resin ''' ++efectiva media es

3p =

Resulta:

''

)'21(3 pv =

Luis Ortuo


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')'21(3V

==

OBSERVACIONES:

'0 EV

0'0 == pV

Un suelo elstico cualquiera tendr en general un mdulo E y un coeficiente dePoisson . Ahora bien, si durante un proceso de carga no hay cambio de volumen,

.

Lo anterior es consecuencia de asumir que el suelo es elstico.

'

Un definicin ms: El mdulo de compresibilidad volumtrica.

Luis Ortuo)'21(3;'

== KvKp


Recordatorio de tensiones tangenciales

dy

du

dx

dvxy +=

El convenio de signos es que tensiones positivas originen deformaciones positivas,de manera que para suelos y rocas, al elegir compresiones positivas resulta:

=

=

= epdx

du

l

l

l

llnormalesDef

f .).(:

0

0

Luis Ortuo

+=

dx

dv

dy

dugencialesDef :tan.


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Tensiones tangenciales

''''

)''('

'

'

'

3

321

1

+=EE

31 =mx

'1'1 ++

''213 =

EE

mxmxEE

''

3131 ===

Luis OrtuoGE

mxmxmx

=

+=

'


Tensiones tangenciales en materiales CHILE

GE

mxmxmx

=

+=

'

)'1(2mxmx G =

'E

)'1(2 +

OBSERVACIONES:

G es el mdulo de rigidez transversal o de corte.

Las deformaciones tangenciales dependen de los incrementos de tensionestangenciales.

Luis Ortuo

Un incremento de tensin tangencial no produce cambio de volumen.


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''''x '12 +

RESUMEN DE ELASTICIDAD ISTROPA

)''(''

''

''

zxy

y

zyxEE

+=

=xyxy

E

)'1(2

'

+=

=

)''('

'

'

'xy

zz

EE

+=

xzxz

yzyzE

'

)'1(2

'

+=

EEE

''

000'

'

'

'

'

1

=

z

y

x

z

y

x

EEE

EEE

000'

1

'

'

'

'

000'''

+

+

xz

yz

xy

xz

yz E

0'

'10000

00'

'1000

2

2

xy

xy

=

2

Luis Ortuo

+E

'

'100000


Condiciones edomtricas o de deformacin lateral nula en un sueloelstico e istropo.

Tomando la vertical como direccin de 1 y de 1 :

En condiciones edomtricas o unidimensionales resulta:

2=3=0, 2 =3

133

3 '0)''(

'

'

'

'

=+

=

EE13

13 '1'

'')'1(

''

=

= EE

Luis Ortuo


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Condiciones edomtricas o de deformacin lateral nula en un sueloelstico e istropo.

En definitiva, suponiendo que la presin vertical efectiva,normalmente consolidado o ligeramente sobreconsolidado),el hacer la hiptesis de que el suelo es elsticoobli atoriamente im lica ue el coeficiente de em ue alreposo es:

'1

''

'1

'' 0

=

= KVH

Luis Ortuo


Mdulo de compresibilidad volumtrica (mv) y mdulo edomtrico Em enun suelo elstico e istropo.

1'=E 1

=m

Recordando definiciones y resultados previos:

''

''

==1 1' '1

+

= )''('

'

'

'33

11

=

=

'21

1 21 m

= '

'1

'2

'

''1

11

EE

'1''1 Ev

=

'

'21'

' 211

=

= 21

1

'2'1

'1'

'

EEm

Luis Ortuo


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Mdulo de deformacin E y coefic iente de Poisson deducidos de untriaxial con drenaje (CD) para un suelo elstico

En un triaxial CD, durante la aplicacin del desviador se

mide la deformacin vertical (1) y la volumtrica (V/V0).Adems, en la fase de rotura se mantiene la presinefectiva de cmara constante:

0'' 32

1

==

>

1 ''''

+

=

1

1

1

''

''

=

=

EEE

Luis Ortuo

'E


Mdulo de deformacin E y coefic iente de Poisson deducidos de untriaxial con drenaje (CD) para un suelo elstico

'''

'' 11

321

0

++=V

[ ] '21''

'''

'

'

'

'

'''

0131

332

321

=

=+

==

==

VV

EEE

)'21('

'1

1

0

=

EV

V

)'21(10

=V

V

Luis Ortuo


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Mdulo de deformacin Eu y coeficiente de Poisson u deducidos de untriaxial sin drenaje para un suelo elstico

En un triaxial sin drenaje, durante la aplicacin del

desviador se mide (1) y (u). De la curva (1 , 1 ) sepue e e uc r un m uo e e ormac n s n rena e u.(Ojo, que est definido en tensiones totales y no es E)

1

1

=uE

Por otra parte, si la saturacin es completa, en un ensayo

sin drenaje no hay cambio de volumen, y por lo tanto elcoeficiente de Poisson en tensiones totales asociado aprocesos sin drenaje, u , ser (Ojo, que no es ):

Luis Ortuo

2=u== 0

0

pEV u

u


Relacin entre mdulos E y , con y sin drenaje en suelo elstico eistropo

Como el agua no soporta tensiones tangenciales, el mdulo de corte del terreno ha deser igual en condiciones con o sin drenaje:

21;

)1(2)'1(2'' =

+==

+= u

u

uu con

EGEG

12 +)'1(2 +

=u ')'1(2

EEu+

=

De nuevo, el resultado anterior es consecuencia directa de suponer el suelo elstico e

Luis Ortuo


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Parmetros de presin interst icial en suelo elstico e istropo

[ ])( 313 += ABu

B=1 si saturacin completa y fluido incompresible: )( 313 += Au

03

)()()(0

3

'''0'0 321321 ==

++=

++== up

uuupv

Triaxial (2= 3):

up =

3

1)(

3

1

3

)2(313

31 =+=+

= Au

Luis Ortuo

EL SOLIDO ELASTICOEL SOLIDO ELASTICO

ANISOTROPA (las propiedades y la respuesta dependen de la direccin)

os e os, os ves os ce os y. una ngenos s ma n ro ucc n e ro . or on an ro ucc n e ro . or on a aaanisotropaanisotropa: El corte al bies, inventado por Mme Madeleine Vionnet)

Trama y urdimbre en vertical y horizontal.

Hilos poco extensibles bajo el peso propiodel tejido E elevado.

Se necesitan lazos para ceir la ropa

Trama y urdimbre a 45.Extensin mayor bajo el peso propio deltejido E pequeo

Gran contraccin lateral grande

Luis Ortuo

Tomada de Gordon, J .E. , 1987


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G&C II: La anisotropa tiene mucho inters para el estudio del suelo. En especial la anisotropa

LA ANISOTROPA (las propiedades y la respuesta dependen de la direccin)

ransversa, a a a orma e epos c n e un sue o, con a recc n ver ca pre erenc a e o ala gravedad, la forma laminar de las partculas ms finas del suelo, etc).

Se necesitan 5 parmetros:

Ev h

vh(efecto de v sobre h) hh (efecto de h sobre h) G (mod. Ri idez transv. Planos verticales

Habra un hv para el efecto de h sobre v,pero por simetra:

'''hE=

Luis Ortuoh

v

v

v

EE ''=)'1(2 hh

hh+


LA ANISOTROPA (las propiedades y la respuesta dependen de la direccin)

)'1(2

'

hh

hhh

EG

+=

vh

v

h

Gm

E

En

''

''

=

=

v

21 ''

''

'

'

'

'h

hvh

hvvv

= hhhh

=

21

1 ''

''

'

'

'

'h

hhv

vhhh

hhv

EEE

=

vh

vhvh

G

=

12

2 ''''

''

''

h

h

hhv

v

vh

h

hh

EEE =

vh

vhhvG

=

Luis Ortuo


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Ejemplo a resolver por los alumnosEjemplo a resolver por los alumnos

Deducir qu se determina en un tr iaxial CD sobre un material anistropotransversal or ientado como muestra la figura:

Solucin: En un triaxial CD, durante la aplicacin del desviador semide la deformacin vertical (v) y la volumtrica (V/V0). Adems,en la fase de rotura se mantiene la presin efectiva de cmaracons an e:

0''

0'

21 ==

>

hh

v

Luis Ortuo

Ejemplo a resolver por los alumnosEjemplo a resolver por los alumnos

Deducir qu se mide en un triaxial CD sobre un material anistropo t ransversalorientado como muestra la figura:

Solucin: En el ensayo, durante la aplicacin del desviador (h1)se mide la deformacin (h1) y la volumtrica (V/V0). Adems, enla fase de rotura se mantiene la presin efectiva de cmaracons an e:

0''

0' 1

==> h

Luis Ortuo


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Es aplicableEs aplicable el modelo elstico al suelo?el modelo elstico al suelo?

En un material elstico, en un ciclo cerrado de carga-descarga se recupera la forma y no sedisipa energa. No se producen deformaciones irrecuperables (plsticas).

ELASTICO

No lineal

ELASTO-PLSTICO

Luis Ortuo

EL SOLIDO ELSTICOEL SOLIDO ELSTICO


a ec nca e ueo y e as ocas ace uso e a eor a e a as c a para e c cuo e osincrementos de tensin y la estimacin de deformaciones y asientos en una multitud de situaciones(cargas rgidas o flexibles con diferentes formas o reas, con terrenos estratificados de distintari idez, excavaciones, etc).

Desde el punto de vista de la estimacin de incrementos de tensin en el terreno (producidos porcimentaciones, por ejemplo), Burland, Broms & De Mello (1977) indican que, dado que la mayorade los suelos no se austan recisamente a un modelo elstico de com ortamiento, el em leo deformulaciones elsticas puede producir una cierta sensacin inicial de malestar, de que algo nose estaba haciendo bien.

No obstante, los autores citados resaltan que gracias al desarrollo de potentes herramientas declculo numrico se ha podido investigar con bastante precisin el grado de error que supone elempleo de modelos elsticos (asumiendo cualquier modelo o relacin tensin-deformacincomplicado como si fuera la realidad, y comparndolo con lo que se deducira de un modelo

.

Las conclusiones fundamentales alcanzadas en este tipo de estudio tienen consecuenciasprcticas de importancia y son las siguientes:

Luis Ortuo


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1.- El modelo ms simple de semiespacio elstico de Boussinesq (suelo lineal, elstico, istropo y

homogneo) proporciona en la mayora de las ocasiones rdenes de magnitud razonables para las.

2.- Desde un punto de vista prctico, una excepcin al prrafo anterior se produce cuando existeuna capa rgida sobre un estrato ms blando. En estas circunstancias las tensiones derivadas de lateora de Boussinesq resultan conservadoras.

3.- Al contrario de lo que ocurre con las tensiones verticales, las tensiones horizontales y lastensiones cortantes que resultan del empleo del modelo elstico de Boussinesq estn sujetas a

mayores errores.

Luis Ortuo



En lo que respecta a las deformaciones, como serecordar, al menos para pequeos ciclos de descarga-recarga, las curvas o ramas de descarga y recarga seaproximan bastante. Puede ser por tanto razonablesuponer que coinc iden y considerar elasticidad en

un suelo OC.

Ensayo de compresin

Idealizacin de material

elasto-plstico tipo strainhardening

(tomado de Burland, J.B.

(1987)

Luis Ortuo

Tomada de Gonzlez Vallejo, L. et al (2000)


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Por otra parte, Simons & Menzies (2005) indican que en bastantes ocasiones se puede asumircom ortamiento elstico si los niveles de deformacin son suficientemente e ueos lo uepuede ocurrir en condiciones de carga con coeficientes de seguridad elevados, muy alejados de larotura. (Estas consideraciones han dado lugar a un gran desarrollo de los mtodos geofsicos en

los ltimos aos. Comentar).Como ejemplo sealan que la hiptesis anterior puede ser razonable para cimentaciones concoeficientes de seguridad frente al hundimiento habituales ,del orden de 3, pero no lo sera paraterraplenes, en donde los coeficientes de seguridad empleados habitualmente rondan la cifra de1,5.

Tomadas de

FHWA-IF-02-034 (2002)

En cual uier caso cuando se va an a em lear los armetros elsticos deben

Luis Ortuo

determinarse bajo condiciones de ensayo que simulen tanto el rango detensiones como el nivel y tipo de deformaciones esperables en el problema real aanalizar.


Modelos elsticos para el suelo.El modelo bsico de semiespacio de Boussinesq se puede modificar para tener en cuenta varios

Existencia de una capa rgida (sustrato de roca indeformable)

Semiespacio deBoussinesq.Ez=E0

Capa elstica sobresuelo rgido

Ez=E0

Tomadas de G&C, IIAumento de la rigidez del suelo con la profundidad

Funcin crecienteEz=E(z)

Crecimiento lineal

Ez=E0+mz

Luis Ortuo


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Modelos elsticos para el suelo.G&C, II: Modelo de Winkler: Se define como un medio en el que los desplazamientos

,presin, con un coeficiente de proporcionalidad K, llamado coeficiente de balasto o

mdulo de reaccin vertical.

El coeficiente de balasto tiene dimensiones de peso especfico. En la figura se ve

Tomado de G&C, II

Winkler como si estuviese flotando en un lquido de densidad K. Ntese que en estemodelo slo asientan los puntos que reciben carga.

Equivale a un suelo con E creciente linealmente (E=z), E=0 en superficie ycoeficiente de Poisson = 0,5.too much! (demostracin en G&C, II).

Luis Ortuo

Es un modelo muy usado para clculo de estructuras (una concesin, casicapitulacin, de la Geotecnia a los calculistas de estructuras, para que se puedasustituir el suelo por un muelle).


El semiespacio elstico de Boussinesq.

Carga vertical puntual en superfic ie (Boussinesq, 1885).

Este fue el problema original estudiado por.

Observaciones:

La tensin vertical no depende de losparmetros elsticos del terreno E,

En planos horizontales, la resultante de lastensiones pasa por el punto de aplicacin de lacarga

= tanrz

Luis Ortuo

z

Tomadas de G&C, II


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Otras figuras y detalles tomados de G&C II.

Luis Ortuo

Tomadas de G&C, II




Asiento: += cos)1(22

E

s

En superficie (cos=0):Q )1( 2

=E

Para 0 el asiento tiende a , lo que no correspondea la realidad (G&C II recomienda no usar la expresinpara puntos cercanos al de aplicacin de la carga)

Asiento en la vertical (cos=1):

E

Qs2

)23)(1( +=

Luis OrtuoTomadas de G&C, II


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Una curiosidad. Reciprocidad

En un d la car a es: d

2 222

Es1

=

Eq

Edqs 2

0

2

=

=

Una carga lineal circular produce un asiento en el centro que depende de suintensidad q pero no del radio de la circunferencia cargada.

Si los asientos son iguales, la carga total es la misma:

22

Luis Ortuo

qQEE

2==



Carga vertical en el interior delsemiespacio de Boussinesq (Mindlin,

G&C, II: El roblema de Mindlin tiene su

1936)

aplicacin ms extendida en el estudio de pilotes,que transmiten carga al terreno a todo lo largodel fuste.

En el grfico (zona izquierda) se muestran lastensiones verticales cuando la carga se suponecon distribucin uniforme en la vertical, desde lasuperficie a la profundidad c.

ese no o s an e que, en a rea a , a

distribucin de carga en un pilote no es uniformecon la profundidad.

Luis OrtuoTomada de G&C, II


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Carga vertical lineal en superficie

ese que z no epen e elos parmetros elsticos (E, ).

,puede asimilarse a veces a unacimentacin corrida con una

.

,

Luis Ortuo



CARGAS RGIDAS Y FLEXIBLES

G&., II: la distribucin de cargas depende de la interaccin tenso-deformacional entrela estructura total transmisora de la carga con su cimentacin y el terreno. Por

ejemplo, la distribucin de presiones bajo la zapata de un pilar depende de la rigidez de

la zapata frente a la rigidez del terreno, y no tiene por qu ser uniforme.

Supngase que sobre una zapata infinitamente flexible,a o ada directamente sobre la su erficie de un terreno

Carga flexible

horizontal, se coloca una sobrecarga uniforme. Porefecto de esta sobrecarga, el terreno y la zapata sufrirnunasiento.

El asiento ser mayor en el centro que en los extremos yno se limitar al rea cargada, sino que se extender aambos lados hasta una cierta distancia. Si la zapata es

infinitamente flexible, no ser capaz de soportarmomentos flectores, y en consecuencia la distribucin

Luis Ortuo

de presiones con que el terreno reaccione, ser idnticaa la distribucin uniforme de presiones colocada sobre lazapata.Figuras y texto procedentes delos borradores del C.T.E.


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Ejemplo de asientos de cargas flexibles.

Como e em lo, su oniendo una car a circular uniforme flexible de intensidadradio R, situada en la superficie de un semiespacio elstico de parmetros E y ,se

tiene: 21 E

ps0 =s en o a o e cen ro:

2s en o a o e or e:

0ssR

=

2

085,03

sE

psm

=

Asiento medio:

( Ntese que el asiento elstico es proporcional R)

Luis Ortuo

Casos de carga flexible: depsitos (sobre todo los de base metlica), pilas dealmacenamiento de mineral y otros productos a granel, etc.



Carga rgidaSupngase ahora que la zapata es infinitamente rgida.Al situa sobre ella la misma sobrecar a uniforme, seproducir tambin un asiento, pero la rigidez de lazapata no permitir la forma del perfil de asientos quese obtena en el caso de la zapata flexible. En las

regiones entre los puntos A y B, y C y D, el asientoser mayor que el correspondiente a la zapata flexible;mientras que, entre B y C, el asiento de la zapatargida ser menor.

Consecuentemente, las presiones entre A y B y entre, ,

a las correspondientes a la zapata flexible y, por elcontrario, entre B y sern menores. Resulta as una

Luis Ortuo

,por unos valores mximos en los extremos y un valormnimo en el centro.

Figuras y texto procedentes de losborradores del C.T.E y de G&C, II


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Carga rgidaSi el terreno se considerara elstico y de resistencia

,la zapata rgida sera infinita. Dado que la resistencia

del terreno es limitada, dichas presionesodrn ser elevadas ero tendrn un valor finito. Enel caso de arcillas (vase figura de arriba), ladistribucin de presiones ser en general muyseme ante a la terica del eem lo anterior. Sinembargo, la resistencia limitada del terreno produciren los extremos unas zonas de plastificacin queatenuarn las presiones de borde y las redistribuirhacia el centro de la zapata.

En el caso de arenas, dado que la falta deconfinamiento en el borde de la zapata, supuesta staen superficie, no permitira el desarrollo de presioneselevadas, la distribucin tomar en general la forma

Luis Ortuo

para ca que se n ca en a gura e a a o.

Figuras y texto procedentes de losborradores del C.T.E.



Carga en faja distribuida uniformemente

Tomada de G&C, II

Ntese que z no depende de los parmetros elsticos (E, ).

Luis Ortuo

Las direcciones principales coinciden con la bisectriz del ngulo 2 y superpendicular.


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Carga en faja distribuida uniformemente

G&C: Las tensiones principales dependen slo delngulo 2, luego el lugar geomtrico de los puntos deigual tensin principal es el arco capaz de dicho ngulo

Tomada de G&C, II

respecto a os or es e a a a.

,todos los puntos del semiespacio, lo que se debe a la infinitud de la carga y del espesordel semiespacio. Es precisamente el hecho de que el estrato compresible tenga

finitos.

Luis Ortuo



Carga circular

.

Tomada de G&C, II

Ntese que z no depende de los parmetros elsticos (E, ).

Luis Ortuo

Carga lisa: Movimiento horizontal libre en superficie: Tensin tangencial nulaCarga rugosa: Movimiento horizontal nulo en superficie


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Carga circular Caso de carga lisa o extensible. Tensiones verticales




Carga circular

Caso de car a lisa o extensible.Isobaras de tensin vertical

incrementos de tensin vertical (z)originados por una presin de intensidad q,

sobre un circulo de radio R. Se representala mitad del semiespacio, con el eje deordenadas rofundidades relativas Z/Rcoincidiendo con el centro del crculo.

Este grfico permite visualizar de formasenc a e n u va e concep o ya apun a o

en el curso sobre la limitacin del efecto deuna carga no infinitamente extensa.

Luis Ortuo


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Carga circular

Caso de carga lisa o extensible.

Frecuentemente el lmite de inters se circunscribe a

Isobaras de tensin vertical

tensin vertical es del orden del 10% de la carga en

superficie, para magnitudes habituales de dicha

car a ver CTE or e em lo . Ms all de esta

zona, la sobretensin recibida por el terreno es, en la

mayora de los casos, lo suficientemente pequea

como para que sus efectos (asientos) sean

comparativamente despreciables (aspecto que se

debe comprobar en cualquier caso).

La zona definida por el 10% de la carga en

superficie forma un bulbo de tensiones que se

extiende en profundidad hasta aproximadamente 2

Luis Ortuo

dimetros (2 anchos para zapatas rectangulares) del

rea de carga.

De los apuntes sobre el edmetro (Recordatorio)De los apuntes sobre el edmetro (Recordatorio)

Cuando la carga es infinitamente extensa, el incremento de presin en superficie se transmitentegramente en profundidad. Lo mismo se puede suponer (para una gran zona central de la capacompresible al menos) cuando el rea cargada es muy extensa en comparacin con el espesor dedicha capa compresible.

Cuando la carga no es muy extensa en comparacin con el espesor de la capa compresible, el.

(concepto introducido ya de forma cualitativa al hablar de la consolidacin)

Evidentemente, el volumen de suelo que percibe la carga y asienta en consecuenciadepender, entre ot ras cosas, de la extensin del rea cargada. A igualdad del resto decircunstancias, el asiento ser mayor cuanto mayor sea el rea cargada.

Luis Ortuo


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De los apuntes sobre el edmetro (Recordatorio)De los apuntes sobre el edmetro (Recordatorio)

El bulbo de tensiones y su aplicacin a la profundidad de

Luis Ortuo



Para una car a circular uniforme flexible de intensidad radio R situada en la

Carga circular Caso de carga flexible y lisa o extensible. Asientos.

superficie de un semiespacio elstico de parmetros E y ,se tiene:

21

Eps0 =s en o a o e cen ro:

2s en o a o e or e:

0ssR

=

2

085,03

sE

psm

=

Asiento medio:

( Ntese que el asiento elstico es proporcional R)

Luis Ortuo


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Carga circular Comparacin de cargas lisa y rugosa (tensiones bajo el centro).

Tomada de G&C, II

Luis Ortuo

Para carga rugosa, z s depende de , pero su efecto no parece muy grande.



Carga rectangular vertical uniforme

El baco proporciona directamente ellincremento de tensin vertical (z) bajo la

tensin uniforme (p)

pIrz =

De nuevo, ntese que z no dependede los parmetros elsticos (E, ).

Luis OrtuoModificada de G&C, II

NOTA: Corregir eje ordenadas en libro


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En la mayora de los casos interesar

conocer las tensiones producidas por cargas,

tambin en otros puntos del terreno (bajo elcentro, un borde, o incluso bajo un punto

.

Para ello se puede hacer uso del principio de,

forma que basta combinar de forma apropiadalos incrementos de tensin producidos por una

serie de rectn ulos debidamenteseleccionados.

Luis OrtuoModificada de G&C, II




s en o a o a esquna e un rec nguo e a os a y un ormemen e carga ocon una carga vertical q (Scheicher, 1926)

E

qKsesquina

)1( =

Modificada de G&C, II

Asiento enel centro (lados a/2, b/2mismo K):

esquinacentro s

bq

Ks 2)1(24

2

==

Luis OrtuoNOTA: Corregir valor ordenada en libro


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Tomada de G&C, II

ara n , en e a n n o carga en a a .

En la realidad, como ya se indic, el espesor de la capa compresible no es infinito., .

cargas situadas a una distancia en horizontal de tres o cuatro veces la profundidadmxima de la capa compresible tienen ya una influencia despreciable en el asiento

Luis Ortuo

.



Mtodo general para el clculo de tensiones (Newmark)

n c rcuo carga o un ormemen e conuna carga q produce a una profundidad zuna tensin vertical bajo su centro:

)cos1( 3 = qz Su on amos ue ara la rofundidad zde la figura, todo el crculo R1, cargadouniformemente con una carga unitaria q,da lugar a una tensin z=0,4q, y que todoel crculo R2, cargado uniformemente conuna carga unitaria q, da lugar a una tensinz=0,5q .

Entonces, la corona circular limitada porlos dos crculos, cargada con la misma

zR

zq

z 637,0637,0tan4,0 11 ====

Rz 1

Luis Ortuo

carga un orme q, ar uga a una tens nz=0,1q

zq,,, 1 ====


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A artir de las observaciones anteriores, el mtodode Newmark consiste en dibujar una serie de coronas

con radios calculados de manera que la influencia decada corona a la profundidad z a la que se quierecalcular el asiento, sea la misma.

Para ello basta hallar los radios de crculos sucesivoscuya influencia vaya creciendo en progresin aritmtica.Por ejemplo: z/q R/z

0 0,0000,1 0,5400,2 0,801

0,3 1,036, ,0,5 1,5330,6 1,8350 7 2 219

Luis Ortuo

Tomada de G&C, II

0,8 2,7740,9 3,8171




on os ra os an erores, ca a corona en re os c rcuosproporciona una tensinde 0,1q.

medio de radios, cada trapecio curvilneo transmitir lamisma tensin. En el caso dibujado, con 10 sectores (10

, ,y a la profundidadprefijada.

,escala apropiada, basta por tanto con contar el nmero detrapecios curvilneos ocupados por el rea de carga paradeterminar fcilmente la tensin vertical buscada.

Tomada de G&C, II

Si la carga no es uniforme, habr que sumar las tensiones correspondientes de cadatra ecio.

Luis Ortuo

Cuando se necesita determinar z a varias profundidades, se puede emplear elmtodo de las influencias de J imnez Salas (verG&C, II).


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e ua e rea carga a a esca a en papetransparente de forma que la profundidada la que se

desea calcular la tensin coincida con el segmento.

Se coloca el dibujo a escala sobre el baco, de

punto enel que se desea calcular el asiento.

Se cuenta el nmero N de sectores com letosms fracciones estimadas) cubiertos por el reacargada.

Llamando q a la carga uniforme actuante, elincremento de presin vertical a la profundidad declculo ser: v=0,001Nq

Luis Ortuo

Tomada de Simons, N. & Menzies, B (2000)



Mtodo general para el clculo de asientos (Newmark)

e asa en a msma ea e c cuo e ens ones. as en o pro uc o en e cen rode un crculo de radio R cargado con una presin uniforme q es:

EqRs0 2 =

Por tanto, el asiento producido en el centro de una corona cargada limitada por doscircunferencias de radios R y R, ser

Rqs21

2

=

Si la corona se divide encierto nmero de partes iguales, N, el asiento debido a cadauna de esas artes ser N veces menor.

Luis Ortuo


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Mtodo general para el clculo de asientos (Nomograma 1 de Newmark)

mismo asiento.

Se dibuja en papel,escala adecuada para quequepa superpuesta en elnomo rama.Se hace coincidir el centro delnomograma con el punto endonde se quiere calcular elasiento.Se cuenta el n de trapecios

cubiertos por el rea cargada,estimando las fracciones. Elasiento ser:

2

Luis Ortuo

Tomada de G&C, II

, L es la equivalencia en la escala empleada del segmento que figuracomo mdulo en el nomograma


Capa elstica homognea sobre base rgida.

Es un caso muy interesante por su analoga con la realidad, ya que frecuentementeexiste a una cierta profundidad un estrato comparativamente mucho ms rgido (unsustrato de roca o una capa de suelo muy denso.

La influencia de una capa rgida en profundidad es doble. Por un lado se elimina parte

e as en o que se supone esprec a e en a capa r g a y po o ra, se mo can astensiones originadas con respecto a la solucindel semiespacio de Boussinesq.

arga en a a. n er az sa. gorov, :

En la fi ura se re resentan las tensiones verticalespara carga en faja de intensidad q y ancho 2a. Interfazlisa (sin tensiones tangenciales enel contacto).

Se observa que las presiones a una determinada

profundidad crecen al disminuir el espesor de la capacompresible.



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Carga en faja. Tensiones verticales (interfaz rugosa. Poulos, 1967b):

Ntese ue las tensiones verticales no de enden de E, a enas de .

Tomadas de G&C, II

Luis Ortuo



Carga en faja. Asientos:

Tomada de G&C, II

Ntese la dependencia de E y la gran influencia de , especialmente con capas

Luis Ortuo


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Carga circular (Milovic, 1970)

Tomadas de G&C, II

rmera gura: : ouss nesq; : erenca perec a:; : on ac o so

Luis Ortuo



Carga rectangular

Tomadas de G&C, II

Luis Ortuo


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Carga rectangular. Mtodo aproximado de Steinbrenner

Se su one rofundidad indefinida de la ca a com resible (semies acio deBoussinesq), con lo que, entre otras cosas, no se tiene en cuenta la modificacin de

tensiones originada por la base rgida (se supone que no haycapa rgida) Se calcula el asiento de un punto situado a profundidad z bajo la esquina de unrectngulo cargado.

esquina del rectngulo cargado, s0:

Se asume ue el asiento ba o la es uinadel rectngulo para el caso de capa rgida aprofundidadz es:

zsss = 0




Carga rectangular. Mtodo aproximado de Steinbrenner

[ ]

22

21 ),,(),,(2

= zbaBzbaAE

psz

==

Tomada de G&C, II

e ca cu a e as en o en super c e(z=0) y a la profundidad de la capargida (z) y se obtiene el acortamiento

=(Otros bacos y tablas enel libro)

z

Luis Ortuo

Para varias capas de diversa compresibilidad, se calcula el asiento para distintasprofundidades y capas con los parmetros elsticos correspondientes. Por diferencia sehalla el asiento de cada una de ellas.


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Ejemplo a resolver por los alumnos

Se carga un rectngulo de 10 x 40 m de lado con una carga uniforme q =100 kPa. Elterreno se puede modelizar en tres capas de E linealmente creciente con valores

, , .Suponiendo un coeficiente de Poisson =0,3 para las tres capas, calcular el asiento

bajo la esquina del rectngulo.

Luis Ortuo


Sistema de varias capas deformables

Es un caso interesante por su analoga con algunas situaciones reales, como cuandoexiste una capa superior de arcilla endurecida por desecacin, o una capa granular

.Se aplica adems mucho en ingeniera de carreteras, ya que es habitual estudiarlasmediante sistemas elsticos multicapa.

s ema capa

de un rea circular cargada uniformementesobre un sistema bicapa, siendo el espesor de

cargada. La figura proporciona las tensionesverticales bajo el centro del crculo.

Luis Ortuo

Tomada de G&C, II


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Sistema de varias capas deformables

Sistema bicapa

Cuanto ms rgida es la capa superior,

compresible subyacente (y enconsecuencia asienta menos).

Tomada de G&C, II

La distribucin de Boussinesq es lams desfavorable.

G&C, II: La capa superior, firme, tiene como efecto el repartir las cargas sobre la inferior msextensamente de lo que resultara en el caso de Boussinesq, a base de un momento flector en

dicha capa superior que origina tracciones en la superficie. No es muy seguro que esta capa puedaresistir esas tracciones; si es de acarreos por su falta de cohesin; si es arcilla desecada, porque

probablemente estar agrietada. Tan slo en el caso de una capa de verdadera roca sobre una

capa de (mdulo de) elasticidad menor (por ejemplo, margas), podra tenerse cierta seguridad de

Luis Ortuo

, ,

confiar en su continuidad. En resumen, no es usual tener en cuenta este efecto en el clculo de las

cimentaciones.


Cargas rgidas sobre semiespacio elstico homogneo.

Como ya se ha visto, una zapata infinitamente rgida obliga a que los asientos seaniguales en el centro que en los bordes. Boussinesq calcul la distribucin de tensiones

Para el caso terico de suelo puramente elstico, la

bajo una carga circular rgida, y obtuvo el resultado cualitativo de la figura adjunta.

.

Como el suelo tiene resistencia finita, el entorno de losbordes lastifica limitndose su tensin dando lu a a

Tomada de G&C, IIuna redistribucin de la misma bajo el rea cargada (verlnea de puntos en la figura).

El inters de conocer esta distribucin de tensiones es en principio doble. Por unaparte influir en los asientos y, por otra, ser necesaria para el clculo estructural de la

.

No obstante, la influencia en los asientos no es muy grande, y stos suelenestimarsede forma a roximada.

Luis Ortuo Con relacin a los esfuerzos, la distribucin tensional s resulta ciertamenterelevante, como sugiere la propia figura,


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Carga en faja. Carga vertical centrada

axa

P

z

=

2)/(1

a

P

=min

Tomada de G&C, II 12xM=arga en a a. omen o. 23 )/(1 axa

z

Placa ci rcular (carga centrada):22

1

1

2 ra

Pz

=

aE

Ps

2

1 2=

Luis Ortuo

a



Placa ci rcular (carga centrada):

:Rgida

5,05,02

coefaEaE

s =

==

637,0121

2:

:

22

coefP

qasCentro

qaex e

=

=

=

=

405,014

:2

2coef

PsBorde

a

=

=

405,0:arg flexibleacmedioCoef

a

Luis Ortuo

,e erroreac n


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Luis Ortuo

Tomada de la GCOC


Cimentaciones de rigidez no infini ta.

G&C, II: En el caso de una placa de forma faja infinita, que soporta en su cara superioruna carga uniforme (la distribucin de carga influye en la placa por no tener rigidez

,de la placa: Donde:

o Ep: mdulo de elasticidadde la placa

32 )1(12 hN p

p

=o p : coeficiente de Poisson de la placao h : espesor de la placa

G&C, II: Depende tambin de un coeficiente que mide la rigidez del terreno decimentacin:

Donde:

21 c

cM

= o Ec: mdulo de elasticidaddel terenoo c : coeficiente de Poisson del terreno

G&C, II: Con ambos coeficientes se puede estimaren la mdulo de rigidez del conjunto,

K, que gobierna la interaccinentre la placa y el terreno:32

Luis Ortuo

23 16

==

aEMaK

c

p

c

p

on e:o a: semiancho de la placa


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32112 hEN 23 16

==aEMa cc

Tomada de G&C,II.

Placa flexible en faja infinita sobre semiespacio de Bousinesq. Interfaz lisa.Carga repartida (izquierda) y carga concentrada (derecha). Borowicka, 1939.

Luis Ortuo

, .



Algunos comentarios y consideraciones adicionales obre la rigidez relativacimiento-estructura

Tomadas de G&C, III.

Luis Ortuo

Tomadas del CTE-DB-SE-C


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BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA

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FHWA-IF-02-034 (2002): Evaluation of Soil and Rock Properties

Gonzlez de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuo, L. & Oteo, C. (2002): Ingeniera. . .

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Luis Ortuo

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introducciÓn a la elasticidad para suelos

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