1

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

1. Identifica los elementos que se piden: a) Los términos de 5r +s b) Los términos de 5xy2 +2y –7w c) Dos factores de 5z ______________________ d) La base en 3xy2 e) El coeficiente numérico en 2xy f) El coeficiente numérico en x/3 g) Las variables en 6xy h) Las variables en 6x 5 y 2 i) El grado de la variable m en 7m5n j) El grado de la variable n en 7m5n k) La constante de 7x2 –1 2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables

explique por qué las siguientes expresiones no son monomios

a) 5x +y b) 7xy3 c) x 2y

3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6

c) 7x5y f) x+4 I) Identifique los polinomios:____________________

II) Identifique los monomios:____________________

III) Identifique los binomios:____________________

IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los

términos____________________________________________________

V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E

4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 x=-2 b) x2 –3x +5 x=3/2 c) –x2 +7 x =5

2

d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B= b) A - C= c) B - A= 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:

Sea el polinomio: 3

15

4

3 32 xxx

Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

3

3

1

4

35 23 xxx

Términos 35x 2

4

3x

x

3

1

Variable x x x

Coeficientes de la variable 5

4

3

1

Exponentes de la variable 3 2 1

* Grado del polinomio 3

Término Independiente

3

1

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificación de los Polinomios

Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:

- Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplos: 2

7

3x 5

2

2bxa

- Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:

Ejemplos: 13 x ax4

54 ba

- Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:

Ejemplos: 7

1

5

6 3 xx 52

9 2

yy

- Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:

Ejemplo: 15

2

4

3 234 xxx

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición,

sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.

Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos,

en una sola que se le llama suma.

En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo

que puede significar aumento o disminución.

En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un

polinomio puede tener inmerso términos semejantes.

Hay semejanza entre términos cuando:

Tienen la misma variable o variables.

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).

4

Tienen igual exponente en la variable o variables.

Ejemplo:

Son términos semejantes:

Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una

suma.

Ejemplo Nº 1:

Eliminando los paréntesis queda:

222 35 xxx

Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su

respectivo exponente, así:

2135 x

Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:

2135 x 245 x

2135 x 21 x

2135 x 21 x

2135 x 2x

Son términos no semejantes los siguientes: 36x ,

26x , 26y ,

Los términos 36x y

26x , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo

coeficiente no son términos semejantes. El término 26y no es semejante a ninguno de los otros dos términos,

pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios:

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo Nº 2:

Sumar: 25x y x7

Solución: xxxx 7575 22

Cuando es una suma de binomios

La variable “x” es la misma para los tres términos

El exponente “2” de la variable es igual para los tres términos

25x23x 2x

Aunque los coeficientes de las variables sean diferentes

- Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1

- Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la

diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)

- Se elimina el paréntesis

- Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo

se multiplican los signos (+ . - = -)

Observa que, como los términos

no son semejantes la suma se deja

indicada

5

Ejemplo; Sumar: 3

1

4

3 2 x y xx 38

7 2

Solución:

xxx 3

8

7

3

1

4

3 22

xxx 38

7

3

1

4

3 22

xxx 3

3

1

8

7

4

3 22

3

13

8

7

4

3 2 xx

8

13

8

76

8

7

4

3

78

56

8

7.8

64

24

4

3.8

88

7

4

3

8)8,4(..

mcm

Luego el polinomio resultante es:

3

13

8

13 2 xx

En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar

pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios

es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:

Ejemplo Nº 3:

Sea 4

76

5

3 xxA y

6

5

2

1

5

1 23 xxxB

y nos piden determinar: A – B =

Es decir, al polinomio 4

76

5

3 2 xx le restamos el polinomio 6

5

2

1

5

1 23 xxx

estructuremos la operación:

Indicamos la operación de los dos

binomios agrupando cada uno entre

paréntesis

Eliminamos los paréntesis, como el signo

que los precede es positivo, no se afecta

ningún término

Agrupamos los términos semejantes

Extraemos la variable con su respectivo

exponente como factor dejando los

coeficientes dentro del paréntesis.

Observe que estos nos indican una suma

de fracciones con diferente denominador

1. Se calcula el mcm entre los denominadores

2. Esta cantidad es el denominador del

resultado

3. Se multiplica cada fracción por el mcm y

estas cantidades forman el numerador del

resultado

4. Se efectúa la operación indicada y

obtenemos la fracción resultado

Recordar: Para sumar fracciones de diferente denominador

1-

2-

3-

4-

6

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3 232 xxxxxBA

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.

Si 6

5

2

1

5

1 23 xxxB

Entonces

6

5

2

1

5

1 23 xxxB

- B es el opuesto de B

Luego, la operación quedaría así:

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3)( 232 xxxxxBA

Si eliminamos el paréntesis:

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3)( 232 xxxxxBA

Agrupamos los términos semejantes:

6

5

4

7

2

16

5

1

5

3)( 322 xxxxxBA

Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor

6

5

4

7

2

16

5

1

5

3)( 32 xxxBA

Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.

Vamos a realizar cada adición por separado:

5

4

5

1

5

3:º1

Adición

Adiciónº2

360

Cuando un paréntesis está precedido del signo

menos, todos los términos que están dentro de él

cambian de signo

Recordar:

Para eliminar signos de agrupación

Observa que es una suma de fracciones con igual

denominador. La fracción resultante tendrá el mismo

denominador común y el numerador será la suma de

los numeradores parciales

Recordar:

Para sumar fracciones con igual denominador

Tenemos una suma de fracciones con diferente

denominador, calculamos el m.c.m de los

denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este

m.c.m= 2 representa el denominador común a todas

las fracciones; ahora, los numeradores también

cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las

fracciones parciales

Recordar:

Para sumar fracciones con diferente denominador

Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 ,

6) = 12, este es el denominador del resultado y esa

misma cantidad se multiplica por cada fracción para

Recordar:

2

11

2

112

2

1

2

12

2

1

1

6

7

Adiciónº3

12

)6/5.12(

12

)4/7.12(

6

5

4

7

12

31

12

10

12

21

6

5

4

7

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:

12

31

2

11

5

4)( 23 xxxBA

Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios:

- Sean los polinomios

3

16

2

1 2 xxA , 2

792

7

6 23 xxB , 2

4

1

5

3xxC

, 3

2

3

8

9

2

8

3x

xxD

Calcula:

1) A + B + C = 3) (D + A) – C = 5) D + B =

2) D + C + A = 4) B – (D + A) = 6) C – A =

Multiplicación de Polinomios:

La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados

factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la

regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes.

Veamos algunos casos de la multiplicación: Multiplicación de Monomios

Multiplicar:

5.2.3 2 xx

En esta multiplicación tenemos varios factores con

sus respectivos signos, hay factores numéricos y

factores literales o variables.

Para sumar fracciones con diferente

denominador

+ * + = + - * - = + + * - = - - * + = -

Recordar:

Regla de los signos

* mnmn aaa . *

mn

m

n

aa

a

* mnmn aa .)( * 10 a

* aa 1 * pmpnpmn baba .. ..

Recordar:

Leyes de la potenciación

8

xx ..5.2.3 2

xx ..5.2.3 2+

)).(.(30..5.2.3 22 xxxx

32 .30..5.2.3 xxx

Este es el resultado de multiplicar los monomios

32 305.2.3 xxx

Multiplicación de Monomios por polinomios

Multiplicar:

2

52.

5

3 22 xxx

5

32.

5

3.

5

3

2

52.

5

3 22222 xxxxxxx .

2

5

Observa que los coeficientes numéricos de cada

monomio, son también factores y se pueden

manipular independientemente de la variable,

siempre y cuando estén como factores dentro de la

misma multiplicación. En la organización es

conveniente que los factores numéricos sean los

primeros en expresarse.

Si multiplicamos los signos de cada uno

de los factores: + . - . - . + . + = +

obtenemos el signo del producto. En este

caso es positivo

Ahora calculamos el producto de los factores

numéricos: 3 . 2 . 5 = 30

Para multiplicar las variables (la parte literal),

que son potencias, tienes que estar claro con la

ley de la potenciación que dice que “en la

multiplicación de potencias de igual base se

obtiene otra potencia con la misma base, cuyo

exponente resulta de sumar los exponentes

parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se

aplica una propiedad distributiva del producto con

respecto a la adición, de esta manera obtenemos

una suma algebraica con los productos parciales.

Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el

procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación

de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la

multiplicación de las variables o potencias literales.

9

Vamos a calcular los productos por separado:

1° producto:

42222

5

3..1.

5

3.

5

3xxxxx

5

3

1

1.

5

31.

5

3

4222.2 xxxx

2° producto:

322

5

6.

1

2.

5

32.

5

3xxxxx

3° producto:

2222

2

3

10

15.

2

5.

5

3

2

5.

5

3xxxx

Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al

descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por

ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales

resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:

23422

2

3

5

6

5

3

2

52.

5

3xxxxxx

Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Coeficientes

Potencias Literales

Producto

Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los

coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir,

fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,

numerador por numerador y denominador por denominador.

La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la

ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual

base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y

el exponente es la suma de los exponentes parciales”.

Se procede igual al caso anterior:

5

6

1

2.

5

32.

5

3

Coeficientes

3122 . xxxx Potencias Literales

Se procede igual al caso anterior:

2

3

5.2

5.3

10

15

2

5.

5

3

El polinomio resultante no tiene términos

semejantes por lo tanto es un polinomio

irreducible.

10

Multiplicar:

1

4

3

3

4

2

3 2 xxyx

Solución:

1

4

3.

3

4

2

3 2 xxx

1.2

3.

2

3

4

3.

2

3 2

xxxxx 1.

3

4.

3

4

4

3.

3

4 2

xx

1° producto:

322

8

9..

4

3.

2

3

4

3.

2

3xxxxx

2° producto:

2

2

3..1.

2

3.

2

3xxxxx

3° producto:

xxx2

3.1.

2

31.

2

3

4° producto:

2222

12

12

4

3

3

4

4

3

3

4xxxx

5° producto:

xxx3

41

3

4

3

4

6° producto:

3

4

1

1

3

41

3

4

Luego:

Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

3

4

3

4

2

3

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 2232

xxxxxxxx

Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la

propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los

términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos

del segundo factor, es decir, del trinomio.

Después de aplicar la propiedad

distributiva hemos obtenido muchos

productos parciales, para ser más

exactos, seis productos. Vamos a

resolverlos uno a uno:

Si observas cada par

de líneas notarás como

se efectuaron los

productos

11

Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con

ellos:

3

4

3

4

2

3

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 2232

xxxxxxxx

Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su

respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.

3

4

3

4

2

31

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 232

xxxxxx

Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:

1º Adición: 2

5

2

23

2

2

2

3

1

1

2

3

2° Adición: 6

17

6

8

6

9

3

4

2

3

Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

3

4

6

17

2

5

8

91

4

3

3

4

2

3 232

xxxxxx

De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios.

Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes

ejercicios:

Dadas las expresiones algebraicas:

xP2

7

2

5

4xQ

7

6

7

8 3 xxR

9

59

4

3

2

2

xx

T 3

11V

Calcula:

1) QPV .. 2) RQ. 3) QT . 4) TV .

5) RP.

División de polinomios

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo

de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de

un ejemplo:

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar

otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”.

Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

12

xxxxxx 2164103 2532

Se ordenan los dos polinomios tomando en

cuenta los exponentes de la variable (x) en

orden decreciente y completando con

coeficiente cero (0) la potencia faltante.

12631004 22345 xxxxxxx

Se divide el primer término del polinomio

dividendo entre el primer término del

divisor

12631004 22345 xxxxxxx

Para efectuar esto se divide el coeficiente

del dividendo entre el del divisor y con la

variable se aplica la regla de potencia de un

cociente de igual base.

325

2

5

2

5

441

44xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

34x

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente

por todos los términos del divisor, a estos

productos se les cambia el signo y se

ordenan debajo del dividendo según el

exponente de la variable.

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

63148 234 xxxx

Se repite todo el procedimiento

considerando que ahora el primer término

del nuevo dividendo es 8x4

224

2

4

2

4

881

88xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 23 84 xx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx

Continuamos ahora dividiendo los demás términos

12631004 22345 xxxxxxx 345 484 xxx 1284 23 xxx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx

xxx 242 23

632 xx

122 xx

75 x

El cociente de la división es : 1284 23 xxx

Y el residuo: 75 x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar

dividiendo por lo que la división es inexacta)

13

Ejercicios propuestos:

1- 22723 23 xxxx

2- 183249 22354 xxxxxx

3- 222010 2268 yyyy

4-

3

1

2

1

2

1

3

1

2

1 2243 xxxxx

5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?

Objetivo: 1. Identificar tipos de factorizaciones.

2. Factorizar expresiones algebraicas.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1) 3a2b2 + 15ab2 – 45ab3 =

2) x2 - xy + xz - xz2 =

3) y2 – y – 30 =

4) x2 + 5x – 24 =

5) 4x2 –12xy + 9y2 =

6) 25x4 – 25y4 =

7) 0,09 – 4x2 =

8) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

9) b4 - b3 =

10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 )

11) 3m2 - 7m - 20 =

12) 8y2 - 18 =

13) x3 - 125=

14) ac - a - bc + b + c2 - c =

15) 22

36

49

25

9ba

14

16) x3 –3x2y + 3xy2 – y3 =

17) 35a2b2 + 15ab2 – 45ab =

18) x2 - xy + xz - yz =

19) y2 +11 y + 30 =

20) 27x3 – 125=

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN

Multiplicación de términos algebraicos:

Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte

literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos

semejantes, si los hay.

Ejemplos:

1. 5xy2 · -7x3y2 =

2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =

3. (3x – 2y)(4x + 5y)=

4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya

aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Cuadrado del Binomio: Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.

Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse

como (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.

Luego podemos enunciar que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del

primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

15

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Ejemplos:

a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49

b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.

Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir,

“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos

el cuadrado del segundo”

Ejemplos:

a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2

b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6

Multiplicación de Binomios con un Término Común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común

“a”.

Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.

(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15

Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15

(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14

Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

Concluimos entonces que

“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de

los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

16

Ejemplos:

a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72

b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a – 21

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión

propuesta.

Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común.

Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz.

Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea

mx - my + mz = m( x - y + z ).

Ejemplos: Factorizar

a) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b)

b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ).

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2.

Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.

Ejemplos: Factorizar

a) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados.

Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2.

Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Ejemplos: Factorizar

a) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).

b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1)

Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n.

Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.

Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizar

a) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3)

b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x – 2)

GUIA DE EJERCICIOS 1

17

Objetivos: Deberás

a) Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por

valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas.

I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos:

1) k2 ; si k= 5 ............................................ 2) n3 ; si n=10 ............................................

3) a1 ; si a= 150 ............................................ 4) 2w2 ; si w=6 ............................................

5) (a + 3)2 si a=5 ............................................ 6) (5 + a)3 ; si a= -1 ............................................

II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ½ ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:

7) a+ b = ....................................... 8) 2a - b + c =.......................................

9) (a + b) * c = ....................................... 10) (c+d)*e +ab =.......................................

11) (a-b)2 + (c-d)2 =....................................... 12) d2 - ea - b =.......................................

13) a + d =....................................... 14) a + a - c=.......................................

b c b

15) a + d =....................................... 16) ( a + b-c)2 =.......................................

d c

III) Evalúa cada una de las siguientes expresiones:

17) Area de un cuadrado: Ac

Ac =a2 , si a vale 15 cms.

18) Volumen de un cubo: Vc

Vc = a3 , si a vale 15 cms.

19) Volumen de una esfera: 4 r3 si = 3,14 y

r=24cms. 3

20) Energía Cinética = mv2 Si m=5grs. y v=

10cms/seg 2

21) Volumen de un cilindro r2h ; SI = 3,14 ;

r= 1,2 cms. y h=26cms.

22) Calcule el perímetro de unrectángulo de lados

a= 4,2 m y b= 2,3 m

18

23) Completa el siguiente cuadro:

A b c a + b - c a2 - bc 2a -3b2

1

-2 3

5

0 -1

½

-4 -2

2/3 1 1/8

-2 3 1

0 1 -2

½

1 1/4

0 -1 -1

GUIA DE EJERCICIOS 2

1. Resuelve:

1. (x + 5)²= 11. (6x - 8y)² =

2. (x - 7)² = 12. (0,2x – 3)² =

3. (a + 1)² = 13. (5a - 0,3)² =

4. (m + 21)²=

14. ( 43 x – 5)²

5. (x - 2)² = 15. =

6.(x – 18)² =

_ _

16. ( 0,7 a + 0,2 b)2 =

7. (p + 5q)² =

17. ( 81 x – y) 2 =

19

8. (x – 3y)² =

18. ( 0,3M -0, 5 N )2 =

9. (2x + 6)² =

19. ( 8m – ½ n )2 =

10. (3x - 5)² =

20. ( 2 mn + 6m2n2 )2 =

II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia:

a) (a + 3)(a - 3)=

b) (x + 7)(x - 7)=

c) (m - 12)(m + 12)=

d) (y + 27)(y - 27)=

e) (2a - 6)(2a + 6)=

f) (3x - 4y)(3x + 4y)=

g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)=

h) (a2 + b2)(a2 - b2)=

i) (5x2 - 8y2)(5x2 + 8y2)=

j) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=

k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)=

l) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=

III.- Desarrolla los siguientes productos:

a) (a + 3)(a + 7)=

b) (x + 8)(x - 5)=

c) (m - 9)(m - 3) =

20

d) (2x + 5)(2x + 4) =

e) (7m - 6)(7m + 1) =

f) (m2 + 8)(m2 – 2) =

g) (8 + a)(5 + a) =

h) (-6 + x)(3 + x) =

GUIA DE TRABAJO 3

Identifica de que producto notable proviene cada expresión:

1) 6x – 12 =……(……-……)

2)……(……-……) =24a + 12ab

3) 4x – 8y = ……(……-……) 4) ……(……-……)= 10x - 15x2

5) ……(……-……)= 14m2n + 7mn 6) 6x4 - 30x3 + 2x2 )= ……(……-……+……..)

7) 4m2 + 20 am = ……(……+……)

8) 4a3bx + 4bx = ……(……+……)

9)(………+………..) 2 = m2 - 2m + 1

10) x2 + 26x + 25 =(……….+……….)(……….+……….)

11) (………+………..) 2 =y2 - 10y + 25

12) 4c2 – 20cd + 25d2= (………- ………..) 2

13) (………+………..) 2 = y2 + 6y + 9

14) (……… + ……..) 2 = h2 + 4h + 4

15) (………- ………..) 2 = 9a2 - 12 ab + 4b2

16) (……… - ………..) 2 =4x2 – 20xy + 25y2

17) (………- ………..) 2 = 49x2 - 14x + 1

18) 16m2 - 40mn + 25n2= (………-………..) 2

19) (………- ………)(………+ ……)= y2 - 4

20) (………..+…………)(…………- …………)=4x2 - 9

21) (………- ………)(………+ ……)= a2 - 1

22) (………..- ………)(………+ ..……)= m2 - 25

23) 49x2 - 36y2= (………+ ………)(………- ……)

24) (………+ ………)(………- ……)=121p2 - 400q2

25) (………- ………)(………+ ……)=16a2b2 - 49

26) (………- ………)(………+ ……)= m2n4 - x8

27) (………+ ………)(………- ……)=¼ - x4

28 (………- ………)(………+ ……) =) n2 - 4a2

y2 9x2

21

29)……………………………….= 2ab + 4a2b - 6ab2

30)…………………………………….= b2 - 3b – 28

31)……………………20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2

32)…………………………………….= z2 + 6z + 8

33)…………………………..=5a + 25ab =

34)…………………………..= bx + bx2 –bx3

35) …………………………….=4 - 12y + 9y2

36) …………………………=a2x2 - b4y4

37) ………………………………=x2 - x + ¼

38) ……………………………………..=x2 + 4x + 4

39)……………………………………=36m2 - 12mn + n2 40)……………………………………= 4a2 - 12ab + 9b2

II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1) 6x - 6y =

18) a

x +

a

5 =

2) 9a + 9b =

19) x2 + 9x + 18 =

3) 5x – 5 =

20) m2 - 3m – 10=

4)18m – 12 =

21) x2 - 5x + 6=

5) 48x + 60 =

22) x2 - x – 30=

6) 8x + 16y - 32z=

23) x2 – 25=

7) 18a + 27b - 45c=

24) m2 – 144=

8) ax – ay =

25) 9 - x2 =

9) xy – x =

26) x2 - 14x + 49=

10) m2 – m =

27) p2 + 12pq + 36q2=

11) x - x2 =

28) x2 - 2xy + y2 =

12) 8a2 + ab=

29) 25x2 - 49y2 =

13) 4x2 + xy - 2x =

30) 9/16 x2 - 81/4y2 =

14) 6ab - 12a + 8ac =

31) x2 -3x + 2=

15) 12xy2 - 42x2y + 54xy =

32) 12x2 - x – 6=

22

16) xy2 - x2y + x2y2 =

33) 4x2 + 12x + 9=

17) 0,16ª + 0,8b = 34) 0,7p - 0,7 =

GUIA DE TRABAJO 4 FACTOR COMUN MONOMIO

1) …(………….) = 4x + 20 2) …(………….) =4x - 16y

3) ……(………….) = 48a - 24ab 4) …(………….) =20x - 25x2

5) ……(………….) = 49x2y + 7xy 6) ……(………….) =8x4 - 24x3 + 32x2

7) ……(………….) =4m2 - 20 am 8) ……(………….) =18a3by - 6by

9) ……(………….) = 12n3 – 6m2 10) ……(………….) =7m – 21n + 42

11) ……(………….) = ax + bx 12) ……(………….) ==y2 – y

13) ……(………….) =3ab + 30ac - 27ad 14) ……(………….) =40a – 24ay + 8az

15) ……(………….) =5a2y – 15ay2 + 25ay 16) ……(………….) =6x2n + 12x3n2 – 30x4n3

TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomio

Ejercicios: Los siguientes polinomios ¿son trinomios ordenados perfectos?

1)(….………)2 = 4m2 - 8m + 4 2) (….………)2 =x2 + 10x + 25

3) (….………)2 =y2 - 10y + 25 4) (….………)2 = 4c2 - 20cd + 25d2

5) (….………)2 =y2 + 6y + 9 6) (….………)2 = h2 + 4h + 8

7) (….………)2 =9a2 - 12 ab + 4b2 8) (….………)2 = 4x2 - 20xy + 25y2

9) (….………)2 =49x2 - 14x + 1 10) (….………)2 =16m2 - 30mn + 25n2

v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferencia

EJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia:

1)(……..)(……….)= 4y2 - 1 2) (……..)(……….)= 16x2 - 9

3) (……..)(……….)= 25a2 - 1 4) (……..)(……….)= 49m2 - 25

5) (……..)(……….)= x2 - 36y2 6) (……..)(……….)= 144p2 - 900q2

7) (……..)(……….)= 81a2b2 - 100 8) (……..)(……….)= m2n4 – x12

9) (……..)(……….)= 25n2 - 4a2 10) (……..)(……….)= ¼ - 25x8

16y2 9x2

23

EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza:

1) 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

3) b2 - 3b - 28 =

4)z2 + 6z + 8 =

5) 5a + 25ab =

6) bx - ab + x2 - ax=

7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =

8) ax + ay + x + y =

9) 8x2 - 128 =

10) 4 - 12y + 9y2 =

11) x4 - y2 =

12) a2x2 - b4y4 =

13) x2 + 2x + 1 - y2 =

14) x2 - y2 - 4x + 4 =

15) a2 - x2 + 2xy - y2 =

16) ( a + b)2 - ( c+d)2 =

17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 =

18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 =

19) x3 + x2 + x + 1 =

20) 3a4 + a3 + 15a + 5 =

21) x2 + 4x + 4 =

22) a2 + 12ab + 36b2 =

23) 9x2 + 24xy + 16y2 =

24) 36m2 - 12mn + n2 =

25) 4a2 - 12ab + 9b2 =

26) x2 - x + ¼ =

27) a( x+1) + b(x+1) =

28) x(2a+b) + p(2a + b)=

29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) =

30) 1 - x + 5 ( 1 - x) =

31) a ( 2 + x ) - 2 - x =

32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) =

33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) =

34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)=

35) a( a + b) - b ( a + b) =

36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)=

37) a + ab + ax + bx =

38) ab + 3a + 2b + 6 =

39) ab - 2a - 5b + 10=

40) 2ab + 2a - b - 1 =

41) 3x2 - 3bx + xy - by =

42) 6ab + 4a - 15b - 10=

43) sm - bm + sn - bn =

44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax =

46) a3 + a2 + a + 1=

Cuestiones de Geometría

39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más

de largo que de ancho.

24

40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.

41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3

metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.

42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura

en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie

aumenta en 4 metros cuadrados.

43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los

catetos?

44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo

del triángulo?

45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5

cm. Averigua las bases del trapecio.

46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta

en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm.

Calcula la altura del trapecio.

DESARROLLE LOS PROBLEMAS Y ENTREGUELOS EN HOJA DE EXAMEN EN UNA FECHA POR DETERMINAR IMPORTANTE LEER LAS INDICACIONES QUER EXPLICAN EN FORMA CORRECTA ALGUNOS PROCEDIMIENTOS VISTOS EN CLASE , SI NO TOMARON APUNTES ES LA OPORTUNIDAD DE UN APRENDIZAJE, EL ALGEBRA DE OCTAVO ES LA BASE PARA LA FISICA Y EL CALCULO APRENDA Y CONOZCA SEA UN LIDER DE LA COMUNIDAD DE ESTUDIANTES CORDIALMENTE LUIS CARLOS

IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES , SI QUIERE APRENDER SE PUEDE OBLIGAR A COMER LA SOPA PERO NO A SENTIR HAMBRE