Introducción a Procesos Estocásticos

Dr. José Dionicio Zacarias Flores

La necesidad de utilizar procesos estocásticos y

otras áreas afines

De acuerdo con Tapiero (1998)

El tiempo, el cambio y la incertidumbre son formas

esenciales de complejidad que, cada vez más,

obstaculizan nuestra capacidad para funcionar.

Además, la inestabilidad y el carácter cada vez más

dinámico de nuestro entorno tecnológico, económico,

financiero y comercial han hecho del control de las

economías y su gestión, inevitablemente, una función

mucho más difícil.

Hoy más que nunca, la administración se ha convertido

al mismo tiempo más en un arte y más en una disciplina

que requiere las últimas herramientas matemáticas y

computacionales.

De acuerdo con Tapiero (1998)

El mañana es ahora, lo que significa que las

complejidades del pasado, el presente y el futuro y

cómo se relacionan entre sí deben ser descifrados.

Como resultado, los gerentes y economistas han

comenzado hace mucho tiempo a razonar

explícitamente en términos de procesos, escenarios

alternativos y planes en una perspectiva de tiempo e

incertidumbre.

De acuerdo con Tapiero (1998)

El tiempo, el cambio y la incertidumbre acosan

algunas de las decisiones empresariales, económicas

y financieras más importantes.

Aunque en muchas situaciones, la intuición y el juicio se

utilizan para alcanzar un curso de acción adecuado, en

ciertos casos, se requieren conjeturas razonadas y

justificables. Estos plantean algunos problemas

técnicos y de modelado importantes.

De acuerdo con Tapiero (1998)

En este sentido, campos como los procesos estocásticos,

la programación dinámica estocástica y el control

estocástico se convierten en herramientas que a

menudo se requieren para enfrentar estos problemas.

La planificación de una actividad económica o

financiera en una perspectiva de tiempo e

incertidumbre implica que "organizamos" los eventos

en el tiempo (control) y gestionamos la incertidumbre

que se desarrolla a lo largo del tiempo (gestión de

riesgos).

Para ello, el modelado estocástico y la programación

dinámica estocástica (SDP) son marcos que se

requieren para hacer frente a estos problemas de

planificación.

Definición de Proceso

Estocástico

Dado un espacio de probabilidad Ω,ℱ,℘ , un proceso

estocástico es una colección de variables aleatorias

X(t): t T donde t es el parámetro que pertenece al

conjunto índice T. En general, llamamos a t el parámetro

del tiempo (o simplemente el tiempo), y T ⊆ R. Cada

X(t) toma valores en el conjunto S ⊆ R llamado espacio

de estados; entonces X (t) es el estado del proceso en

el tiempo t.

Características generales de un

proceso estocástico

El conjunto indexado T: el parámetro que indexa al

proceso estocástico determina el tipo de proceso

estocástico en que se está trabajando.

Si T = 0, 1, 2, 3, … (o equivalente), se obtiene el

proceso estocástico en tiempo discreto. Se representa

como Xnn N. También T puede ser igual a ℤ o ℤ+.

Si T = [0,), se obtiene el proceso estocástico en

tiempo continuo Xtt ≥ 0. o puede ser cualquier

intervalo real.

Si T = ℤ × ℤ , se describe un campo aleatorio discreto.

Si T = [0,1][0,1], se describe la estructura de alguna

superficie.

Los procesos estocásticos se

caracterizan por tres propiedades principales:

(a) El espacio de estados;

(b) El conjunto de parámetros;

(c) Las relaciones de dependencia entre (es decir, la

distribución conjunta de) las diversas variables

aleatorias X (t).

Notas

Como X (t) es una variable aleatoria, el espacio de

estados puede ser discreto o continuo.

Tenga en cuenta que X (t) en sí puede ser un vector

aleatorio.

Por ejemplo, considere una partícula que realiza un

recorrido aleatorio simétrico simple en plano

coordenado XY. (Es decir, en cada paso cambia su

coordenada x en ± 1, o su coordenada y en ± 1, cada

una con probabilidad ¼ ). Entonces, el proceso es la

secuencia de vectores (X(n),Y(n)): n Z+

Notas

Las relaciones de dependencia entre las variables

aleatorias de un proceso estocástico en particular,

generalmente son sugeridas por algún problema

práctico; son una declaración formal sobre los

supuestos de modelado que hacemos para analizar el

proceso y hacer predicciones en el mundo real.

Normalmente, el proceso se especifica determinando

su comportamiento local, y nuestro análisis está

dirigido a descubrir su comportamiento global.

Ejemplos

X (t) puede ser el número de correos electrónicos en su

bandeja de entrada en el momento t,

Su saldo bancario en el día t,

El número de soles mostradas por t lanzamientos de

alguna moneda.

TAREA: Da algunos ejemplos más e investigar que son

los Procesos puntuales, los Procesos de Markov, y

Martingalas.

Caminata aleatoria

Consideremos una sucesión de v.a.i., Xn, n ≥ 1 tal que

P(Xn = 1) = p, P(Xn = -1) = q, p+q = 1, n ≥ 1

Entonces a

𝑆𝑛 = 𝑆0 + 𝑟=1𝑛 𝑆𝑟 se le llama una caminata aleatoria

simple sobre los enteros, iniciando en el entero S0. en el

caso especial de que p = q = ½, se conoce como una

caminata aleatoria simétrica.

Este ejemplo puede modelar a un jugador, donde las Sn

representan su fortuna en el momento n. El rango Sn – S0

representa la fortuna alcanzada después de n juegos.

TAREA

Desarrolla un juego aleatorio y en base a la

experimentación, contesta:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener c pesos antes

de que sus pérdidas alcancen b pesos?

(b) ¿Cuál es el número esperado de jugadas hasta que

ocurra uno de estos eventos?

Ejemplo: Colas

En colas reales, los clientes llegan a un punto de

servicio y esperan ser atendidos antes de que cierre. Si

vamos a modelar este sistema para predecir, por

ejemplo, las posibilidades de que el cliente tenga éxito

en esto, debemos hacer una serie de supuestos de

modelado. Por ejemplo, (i) ¿Cómo trata el servidor a los

clientes? (ii) ¿Qué tan rápido entran los clientes en la

cola?

Ejemplo: Colas

Cuando se trata de un crear un marco matemático, en el

que se pueden formular estas suposiciones. Un posible

modelo de interés podría especificarse así:

(a) El número de clientes en la cola en el momento t es

X(t), t ≥0; X(0) = 0.

(b) Los tiempos entre las llegadas de clientes sucesivos

son variables aleatorias exponenciales (λ)

independientes distribuidas de manera idéntica.

(c) Los clientes son atendidos en orden de llegada.

(d) Sus tiempos de servicio son variables aleatorias

independientes, que son exponenciales (μ) e

independientes del proceso de llegadas.

Ejemplo: Colas Por esta descripción local, uno espera descubrir, por

ejemplo, la probabilidad de ser atendido antes de que

cierre el negocio si llega al mediodía y ve una docena

de personas frente a usted, y así sucesivamente.

Hay dos formas de ver un proceso

aleatorio X(t): Si es el administrador

Por ejemplo, en la cola anterior, si usted es un

administrador, su interés tal vez estará en las

propiedades generales de X(t), según lo especificado

por sus distribuciones de probabilidad, tales como

(i) La probabilidad de que más de c clientes queden sin

servicio al final del día.

(ii) La probabilidad de que el servidor haya pasado

más de n horas inactivo por falta de clientes.

Hay dos formas de ver un proceso

aleatorio X(t): Si es el cliente

Si usted es un cliente, tiene poco o ningún interés en

los asuntos del administrador; su única preocupación es

su experiencia de la cola.

Formalmente, la distinción entre estos dos puntos de

vista se puede expresar así:

Hay dos formas de ver un proceso aleatorio X(t) de manera formal

(i) Podemos estudiar X(t) considerando sus

distribuciones conjuntas.

𝐹 𝑥1, 𝑡1; … ; 𝑥𝑛, 𝑡𝑛 = 𝑃 𝑋 𝑡1 ≤ 𝑥1; … ; 𝑋 𝑡𝑛 ≤ 𝑥𝑛

Para cualquier colección de tiempos 𝑡1, … , 𝑡𝑛

(ii) Alternativamente: Podemos considerar cada X (t)

como una función en el espacio muestral Ω; para

cualquier ω ∈ Ω dado obtenemos X (t,ω). Para este ω, a

medida que pasa el tiempo, obtenemos una secuencia

particular (X(t, ω); t ∈ T). Esta trayectoria se denomina

ruta de realización o muestra del proceso X (t).

El Proceso de Bernoulli

Consideremos el lanzamiento de una monera (no

necesariamente justa). Sean Y1, Y2, …, v.a. de Bernoulli

(i.i.d.), con parámetro p:

𝑌𝑖 = 1 (𝑠𝑜𝑙) 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝0 (á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎) 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 1 − 𝑝

Sea 𝑁𝑘 = 𝑖= 1𝑘 𝑌𝑖 el número de soles hasta el k-ésimo

lanzamiento, es decir, es un proceso tipo Binomial

B(k,p), un posible resultado puede ser

El Proceso de Bernoulli

Sea Sn el tiempo en el cual el n-ésimo sol ocurre, es

decir, 𝑆𝑛 = 𝑖𝑛𝑓 𝑘: 𝑁𝑘 = 𝑛 . Sea 𝑋𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1, es el

número de lanzamientos para obtener el n-ésimo sol a

partir del (n-1)-ésimo sol

Fracaso y tiempo de espera

El Proceso de Bernoulli:

TAREA

¿Qué tipo de variables aleatorias son las Xi? Probar que

son independientes.

El momento en que ocurre el n-ésimo sol (Sn), ¿qué tipo

de variable aleatoria es?

Dada Nk = n. Demostrar que la distribución de (S1, …, Sn)

es la misma que la de una muestra aleatoria de n

números elegidos sin reemplazo de 1, 2, …, k

,

EjerciciosA presentarse en una semana

Ejercicio 1: El problema de Ballot.

En una elección el candidato A recibe n votos y el

candidato B recibe m votos, donde n > m. Suponiendo

que todos los ordenamientos son igualmente probables,

demostrar que la probabilidad de que A siempre esté a

la cabeza en el conteo de votos es (n-m)/(n+m)

Ejercicio 2: Variante del problema de

Ballot. En el problema de Ballot, calcule la probabilidad de

que A nunca esté atrás en el conteo de los votos.

Ejercicio 3: Quiebra de un jugador

Consideremos un jugador que gana o pierde 1 unidad

en cada jugada con probabilidades p y 1-p

respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad, de que

iniciando con n unidades, el jugador jugará

exactamente n+2i juegos antes de perder todo?

Sugerencia: Usar el problema de Ballot.