Introduccin a la teora de nudos

Luping Wang Xiao

Trabajo Dirigido en Matemtica Fundamental

Dirigido por: Fernando Etayo Gordejuela

Universidad de CantabriaFacultad de Ciencias

Departamento de Matemticas, Estadstica y Computacin

1

ndice

ndice 2

ndice de figuras 3

1. Introduccin 5

2. Definiciones previas 72.1. Diagramas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Equivalencia de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Clasificacin de nudos 123.1. Tablas de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Nudos primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Notacin de Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Invariantes clsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1. Quiralidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2. Nudos invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3. Crossing number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.4. Unknotting number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5. Tricolorabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Nudos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. El grupo del nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.1. Presentacin de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. Otros invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Algunas aplicaciones 31

Bibliografa 35

2

ndice de figuras1. Ejemplos de nudos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Ejemplos de nudos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Posiciones no permitidas en una proyeccin regular . . . . . . . . . . 84. Movimientos de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Ejemplo de los movimientos de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . 106. Nudo salvaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117. Pareja de Perko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138. Composicin de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149. Tabla de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510. Ejemplos de enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611. Enredos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612. Enredo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713. Operaciones de enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714. Suma de dos enredos enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815. Multiplicacin de enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816. Nudos a partir de enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917. Ejemplos de nudos a partir de enredos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018. Anfiqueiralidad del nudo de ocho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119. Nudo de trbol invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2220. Nudo no invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221. Nudo de ocho desatado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422. Nudo 51 desatado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523. Tricolorabilidad - Movimiento de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624. Tricolorabilidad - Movimiento de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . 2625. Tricolorabilidad - Movimiento de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . 2726. Tricolorabilidad del nudo de trbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827. Flype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2828. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

Resumen

El concepto de nudo matemtico es una abstraccin del objeto fsico demismo nombre. La teora de nudos es una rama muy joven de la topologa:se comienza a estudiar en los siglos XVIII y XIX y se desarrolla en su mayorparte a lo largo del siglo XX. Este campo tiene un gran inters cientfico debidoa su carcter interdisciplinar. De hecho, una de las primeras motivaciones delestudio de los nudos fue la propuesta de una teora sobre los tomos en losque stos tenan forma de nudo. Finalmente esta teora fue desechada peroel inters por los nudos continu en activo y hoy en da se conocen muchasaplicaciones a otras ramas cientficas como la qumica y biologa molecular, lafsica cuntica, la criptologa, etc.

A lo largo del trabajo estudiaremos conceptos bsicos comenzando porla definicin formal de nudo y continuando por su representacin mediantediagramas planos, los movimientos de Reidemeister, equivalencia de nudos,etc. y analizaremos algunas de las tcnicas utilizadas para abordar uno delos grandes problemas, la clasificacin de nudos. Adems de eso se mencionanalgunos de los problemas que a da de hoy continan abiertos a la espera desu resolucin.

4

1. IntroduccinA pesar de la juventud de los nudos matemticos, los nudos como objeto fsi-

co son un elemento que forma parte de la historia de la humanidad desde tiemposprehistricos. Llama la atencin especialmente cmo aparecen en el arte en escultu-ras y pinturas, as como simbolizando una religin. Hoy en da sigue habiendo unuso extendido de los nudos: los famosos nudos marineros, nudos en costura y bisu-tera adems de su uso como objeto cotidiano. Adems estos nudos son distinguidosfcilmente los especialistas de cada materia y reciben distintos nombres.

Figura 1: Ejemplo de dos nudos marineros y de un nudo chino ornamental.

Sin embargo lo que aqu estudiamos son los nudos matemticos. Para imaginarnoslo que es un nudo matemtico basta con hacer un nudo cualquiera con un trozo decuerda y pegar los dos extremos. As nuestra cuerda queda anudada, no pudiendodesatarse y donde los movimientos de la cuerda realizados posteriormente no afectanal nudo de forma global y no cambian su topologa.

El nacimiento de la teora de nudos se dio a finales del siglo XVIII. El primertratado escrito que tuvo relacin con la teora de nudos fue un estudio de las rbitasde planetas escrito por Gauss, en el que se describe el primer invariante de los enlaces(nudos enredados entre s). Gauss estudia los nudos junto a su alumno Listing quien,posteriormente, influenciado por su maestro contina estudiando los nudos en susescritos de topologa.

Pero no fue hasta el ao 1860, ao en el que Lord Kelvin formula su teora de quelos tomos son nudos anudados en un espacio relleno de ter, cuando se producenms avances. La idea de Lord Kelvin origin un inters en Peter G. Tait, quienmotivado por esa teora realiz la primera tabulacin de nudos llegando a los nudosde hasta diez cruces, aunque sin detenerse a demostrar que no sobrara ninguno de lalista. Tambin formula las conjeturas de Tait, que son resultados aplicables a nudosalternados que no haban sido demostrados hasta muy recientemente, en los aos1987 y 1991 (de ah que an se sigan denominando conjeturas).

5

Cuando la teora de Lord Kelvin se rechaza, el estudio de los nudos no tieneinters ms que el puramente matemtico. A lo largo del siglo XX con figuras comoAlexander, Kauffman y Reidemeister se desarrolla la mayor parte de la teora denudos y se establecen nuevas conexiones con otras disciplinas cientficas, haciendo deesta rama un campo de investigacin con mltiples posibilidades.

6

2. Definiciones previasUn nudo matemtico no es ms que la idea abstracta de un nudo normal y

corriente en el que pegamos los extremos de la cuerda. Por esto ltimo no todos losnudos puedan deshacerse, algo que s ocurre en nuestros nudos reales. Bajo esta ideapodemos desarrollar una amplia teora que abarca tanto un estudio topolgico comoel estudio de las numerosas aplicaciones de estos objetos en biologa, qumica y fsica.

Para estudiar los nudos primero tenemos que introducir una definicin formal delos mismos:

Definicin 1 Un nudo es un subconjunto de R3 homeomorfo a S1, esto es, una curvaconexa, compacta y sin borde vista dentro de un espacio de tres dimensiones.

En la siguiente figura podemos ver tres ejemplos de nudos. El nudo trivial essimplemente una cuerda sin anudar. El nudo de trbol es el nudo ms sencillo notrivial y tiene tres cruces (no existen nudos no triviales con menos de tres cruces).

Figura 2: Nudo trivial, nudos de trbol y un nudo de 7 cruces

2.1. Diagramas planosLa mejor forma de representar los nudos es mediante una proyeccin en un plano,

dibujando los cruces de forma que se vea qu trozo del nudo pasa por debajo ycul pasa por encima. Siempre se puede proyectar de forma que los nicos puntosmltiples sean puntos dobles y haya un nmero finito de ellos. Es similar a lo queveramos si tuviramos un nudo hecho con cuerda y lo dejramos caer sobre unasuperficie plana con las correspondientes restricciones. Estas representaciones se co-nocen como proyecciones regulares o diagramas planos del nudo. Por supuesto lacuerda puede caer de varias formas distintas, as que es necesario saber cundo dos

7

proyecciones representan el mismo nudo1. En principio adoptamos la norma princi-pal de la topologa: nuestra cuerda es elstica, se puede estirar y deformar todo loque queramos. As cubrimos algunos de los casos sencillos, por ejemplo nos da lomismo una cuerda desanudada con forma de crculo que con forma de cuadrado, por-que topolgicamente son lo mismo. Sin embargo los movimientos que hacemos con lacuerda en el espacio que suponen nuevas intersecciones en su proyeccin son algo mscomplicado de trasladar a dos dimensiones, ya que para realizarlos debemos pasarpor una de las posiciones prohibidas de las proyecciones regulares. Para ello existenlo que se co