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1

Introducción a la modelización con Bond Graphs 1

Introducción a lamodelización con

Bond GraphsDepto. de Ingeniería de Sistemas y Automática


• Los Bond Graphs (BG) son un lenguaje– gráfico

– acausal

– con simbología• cuantificadora del flujo instantáneo de potencia

• unificada

• independiente de alinealidades

para la modelización de Sistemas Físicos

Características Generales

2


•Los BG proveen una metodología– sistemática

– estructurada, orientada a objetos

– unificada

de modelado, análisis y simulación deSistemas Físicos Dinámicos (ΣΦ∆)

| DB / EE-ES / PO / SD

ΣΦR → ΣΦI → DE → DECO →| ANALISIS: Estabilidad | Propiedades Estructurales

Características Generales


• ΣΦR (Sistema Físico Real) → ΣΦI (Idealizado):– Análisis de {Sistema + Problema}

– Identificación de fenómenos dominantes

– Hipótesis simplificatorias

etapas

• ΣΦI → DE → DECO → ••••: completamente

algoritmizables

Modelado con BG

3


• Sistema: disposición delimitada de entidades interactuantes

• Sistema: {estructura + componentes}

• Sistema Físico: interacción consiste entransformación y/o transporte de materia y/oenergía.

• Sistema Físico Dinámico: almacenamiento demateria y/o energía.

Modelado con BG


DOS EJEMPLOS SIMPLES

Modelado con BG

4


Circuito Electrico Serie

Estructura:Serie Conserva Potencia

→ Vínculo Estructural 1Componentes:

Fuente: Genera Energía S (Source) Fuente

Resistor: Disipa Energía R (Resistor) Disipador

Bobina: Conserva Energía (magnética) I (Inertia) Almacenador

Capacitor: Conserva Energía (eléctrica) C (Capacitor) Almacenador

Modelado con BG


Modelado con BG

Una extraña pero ilustrativa topología

Enlace de Potencia

+−

+−

5


Elementos estructurales y componentesModelado con BG


Conexión SerieVínculo Estructural Tipo 1

Bond Graph del Circuito Serie

Modelado con BG

6


Conexión ParaleloVínculo Estructural Tipo 0

Circuito Electrico Paralelo

Modelado con BG


Bond Graph del Circuito Paralelo

Modelado con BG

7


EXTENSIÓN A SISTEMAS MECÁNICOS

ANALOGÍA


• Energía Cinética ∼ Energía Campo Magnético ↔ I

• Energía Potencial ∼ Energía Campo Eléctrico ↔ C

• ⇒ Energía Cinética → I

• ⇒ Energía Potencial → C

Analogía

Analogía Electricidad - Mecánica

8


ANALOGIA ANALOGIA EN

ENERGETICA SEÑAL

Tensión∼ Fuerza (Esfuerzo generalizado)

Corriente ∼ Velocidad (Flujo generalizado)

Flujo Magn. ∼ Impulso (Impulso generalizado)

Carga ∼ Desplaz./Def. (Desplaz. Generalizado)

⇒

Implicancias de la Analogía elegida

Analogía

Introducción a la modelización con Bond Graph 16

Analogía - Generalización de VariablesVariables de Potencia Variables de EnergíaDominio físico

Esfuerzoe

S.I. Flujof

S.I. Momentop

S.I. Desplaz.q

S.I.

Traslación fuerza F N velocidad vsm impulso p sN ⋅ desplaz. x m

Rotación torque τ mN ⋅ velocidadangular

ω

s

radmomentoangular

L sNm ⋅ ángulo ϕ rad

Fluidodinámica presión P

2m

Ncaudal Q

s

m3impulso

del fluidoΓ

2m

sN ⋅volumen V

3m

Electromagnetismo tensión U V corriente I A flujomagnético

φ sV ⋅ cargaeléctrica

C

Química potencialquímico

µ

mol

Jflujomolar

υ

s

molnúmerode moles

n mol

Termodinámica tempera-turaabsoluta

TK

oflujo deentropía

S�

Ko

Wentropía S

Ko

J

9


ElementosFenómenoenergético

Clase

Símbolo Nombre Potencia

Energía

RelaciónConstitutiva

Ejemplostécnicos

Fuente deesfuerzo

ftePentregada

⋅= )( e(t)independiente

Gravedad ,Fuente def.e.m.

Generaciónde Energía

Fuentes

Fuente deflujo

)(tefPentregada ⋅= f(t)independiente

Fuente decorrienteBombahidráulica

Disipaciónde energía

Disipa-dores

Resistor )(tefPdisipada ⋅= φ (e,f) = 0

Rozamien-to, Electro-resistor

Capacitor

∫+=q

q

almac dqqe0

)(0. εε0),(

0

=

=−

qedt

dqf

φ

ElasticidaddematerialesTanque deagua

Conserva-ción deEnergía

Almace-nadores

Mon

opu

erta

s

Inercia

∫+=p

p

almacdppe

0

)(0. εε

0),(

0

=

=−

pfdt

dpe

φ

Inductan-ciaInerciamecánica

Analogía - Generalización de Componentes


ElementosFenómenoenergético

Clase

Símbolo Nombre PotenciaEnergía

RelaciónConstitutiva

Ejemplostécnicos

Acopladores Enlace feP atransferid ⋅=Cardan(ideal)Líneaeléctrica

Transfor-mador

021

=−= PPPabsorbida

0

0

21

12

=⋅−=⋅−

fmf

emePiñón-cremalleraPistón-cilindro

Acopla-dores

Conver-sores

Girador 021

=−= PPPabsorbida

0

0

21

12

=⋅−=⋅−

emf

emfGiróscopoConvers.electro-mecánica

Vínculo

uno0

1

=±= ∑=

jPP

n

jabsorbida

0

...

1

1

=±

===

∑=

n

jj

n

e

fffVelocidadcomúnCircuitoserie

Seriemecánico

Conserva-ción dePotencia

Víncu-los

Mul

tipu

erta

s

Vínculo

cero0

1

=±= ∑=

jPP

n

jabsorbida

0

...

1

1

=±

===

∑=

n

jj

n

f

eee

Circuitoparalelo

Analogía - Generalización de Componentes

10


Causalización yGeneración de Modelos

Matemáticos yComputacionales a partir

de Bond Graphs.


Causalidad

0),,( =cbaf Relación NO Causal

),( cbga = →

→

Relación Causal

11


Causalidad

Ejemplo:

Resistencia Lineal:

•Opción 1 fRe ⋅=

•Opción 2R

ef =

0=⋅− fRe


Causalidad

En General:

•Opción 1

•Opción 2

12


Causalidad

Codificación:

•Opción 1

•Opción 2


Causalidad

Fuentes: (causalidad necesaria)

Fuente de Esfuerzo:

Fuente de Flujo:

e(t) independiente

f(t) independiente

13


Causalidad

Componentes estructurales: (causalidad restringida)

Transformador:

Girador:

21

12

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

emf

emf

⋅=⋅=

12

21

fme

fme

⋅=⋅=


Causalidad

Componentes estructurales: (causalidad restringida)

Vínculo 1:

Vínculo 0:

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ee

ffff ,...1

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ff

eeee ,...1

14


CausalidadAlmacenadores: (causalidad preferencial)

Capacitor:

Inercia:

∫+=

=t

t

dfqtq

qee

0

)()(

)(

0 ττ )(

)(

eqq

tqdt

df

=

=

∫+=

=t

t

deptp

pff

0

)()(

)(

0 ττ )(

)(

fpp

tpdt

de

=

=


CausalidadCausalidad

Disipadores: (causalidad arbitraria)

)( fee = )(eff =

15


Causalidad

Procedimientode Asignaciónde Causalidad

(1)


Causalidad


(2)

16


Causalidad


(3)


Causalidad

Ejemplo 1:

17


Causalidad

Ejemplo 2:


Causalidad

Ejemplo 3:

18


Notación

Gráfica

Tipo

Causal

Diagrama deEnlaces

Diagrama de Bloques

Matemática

e(t)independiente

Necesario

f(t)independiente

21

12

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

fρf

eρe

⋅=⋅=

12

21

emf

emf

⋅=⋅=

Restringido

12

21

fρe

fρe

⋅=⋅=

ρ = 1/m

ρ = 1/m

Causalidad- Resumen


Causalidad- ResumenN otac ión

G rá f icaT ip oC ausa l

D iag ram a d eE n laces

D iag ram a d e B lo qu esM atem á tica

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ee

ffff ,...1R estr ing id o

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ff

eeee ,...1

∫+=

=t

t

dfqtq

qee

0

)()(

)(

0 ττ

Integ ra l

∫+=

=t

tdeptp

pff

0

)()(

)(

0 ττ

)(

)(

eqq

tqdt

df

=

=

Pre

fere

nci

al

D e riv ativ a

)(

)(

fpp

tpdt

de

=

=

19


Notación

Gráfica

Tipo

Causal

Diagrama deEnlaces

Diagrama de Bloques

Matemática

)( fee =Arbitrario

)(eff =

Causalidad- Resumen


Causalidad- Resumen

Procedimiento de Asignación de Causalidad

20


Ecuaciones de Estado•Paso 1: Causalizar el BG.

•Paso 3: Identificar las Variables de Estado.

Tomamos como Variables de Estado las variables deenergía de los Almacenadores que tengan causalidadIntegral.

•Paso 4: Leer las ecuaciones siguiendo la causalidaddel BG y utilizando las leyes de los componentes.

•Paso 2: Enumerar los Enlaces.


Ecuaciones de EstadoEjemplo 1:

Paso 1:

Paso 2:

21



Paso 3: Variables de Estado: p2 , p8

Utilizamos los números de los enlaces como subíndicesde las correspondientes variables de potencia y energía.



Paso 4:

82822

5343122

)()(

)(

pJ

kp

L

RtUfkfRtUp

fkfRtUeeeep

m

a

aamaa

maa

−−=−−=

−−=−−==

�

�

82828

7476588

)()(

)(

pJ

btTp

L

kfbtTfkp

fbtTfkeeeep

ca

mcm

cm

⋅−−=⋅−−=

=⋅−−=−−==

�

�

22


Ecuaciones de Estado

Ejemplo 2:

Variables de Estado: p2 , p10

p6 no es variable de estado porque la inerciacorrespondiente tiene causalidad derivativa.



Ejemplo 2:

Debido a la causalidad derivativa, encontramos unprimer inconveniente al intentar leer e6.

107651181191010 )( fbeeekfbekeeep ctct −−−=−=−==�

23



Método:

Causalidadderivativa

1 - Continuar leyendo, utilizando como variables auxiliares lasderivadas de las variables de energía de los almacenadores concausalidad derivativa.

1010

2

6210 ... pJ

bp

J

bkpkp

L

kkp

c

c

c

tt

a

mt −−−== ��


2 - Leer del BG las variables de energía de los almacenadorescon causalidad derivativa en función de las restantes variablesde energía y entradas.

10109866 pJ

kJfkJfkJfJfJp

c

ttt

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=


Causalidadderivativa

24



Causalidad derivativa

3 - Derivar miembro a miembro las expresiones obtenidas en elpunto anterior

106 pJ

kJp

c

t��

⋅=

4 - Reemplazar las derivadas de las variables de energía en lasecuaciones obtenidas en el primer punto

1010

2

10210 pJ

bp

J

bkp

J

kJkp

L

kkp

c

c

c

t

c

tt

a

mt −−⋅

−= ��



Causalidad derivativa

5 - Despejar la expresión de las derivadas de las variables deestado.

+−

⋅+= 10

2

2210 pJ

bbkp

L

kk

kJJ

Jp

c

ct

a

mt

tc

c�

Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado

25



Debido a la presencia de disipadores acoplados, paracalcular f4 necesitamos f4 .

631

41

2

16321

13

641

61

565433

11)()(

11)(

1

111

pL

qCR

fR

RtU

Rp

Leee

Rq

pL

eR

pLR

effffq

+−−=+−−=

+=+=+===

�

�



Disipadores Acoplados

Método:

1 -Detectar los disipadores acoplados y utilizar las salidas de losmismos como variables auxiliares al leer las ecuaciones.

65654331

pL

fffffq +=+===�

26



Disipadores Acoplados

2 -Leer del BG las variables auxiliares en función de lasvariables de estado, entradas y de ellas mismas.

31

211

3211

411

55

11)(

1)(

11q

CRe

RtU

Reee

Re

RR

ef −−=−−===

62

5265242222 )( pL

RfRffRfRfRe +=+=⋅=⋅=


Ecuaciones de EstadoDisipadores Acoplados

3 -Despejar del sistema anterior las variables auxiliares enfunción de las variables de estado y de entrada.

−−

+= 3

16

1

2

121

15

1)(

1q

CRp

LR

RtU

RRR

Rf

4 -Reemplazar las variables auxiliares en las ecuacionesobtenidas en el primer punto.

631

61

2

121

13

11)(

1p

Lq

CRp

LR

RtU

RRR

Rq +

−−

+=�

Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado

27


Comentarios•Separación de los problemas de modelado y de obtención delmodelo computacional.

•El pasaje del modelo BG al modelo “matemático” escompletamente algoritmizable.

•Ventajas al trabajar con un paradigma acausal.

•Algunas herramientas de Software para dicho pasaje: Dymola,20Sim, Power Dynamo.

•Problemas de “Singularidades Estructurales”.


Bibliografía Recomendada

• Cellier, F.E. 1991. Continuous System Modeling. Springer-Verlag, New York.

• Karnopp, D.C., D.L. Margolis, and R.C. Rosenberg. 1990. System Dynamics: AUnified Approach, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York.

• Karnopp, D. and R. Rosenberg. 1983. Introduction to Physical System Dynamics.N.Y: McGraw-Hill.

• Cellier, F., H. Elmqvist, and M. Otter. 1995. “Modeling from Physical Principles”,The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp.99-108.

• Borutzky, W. 1999. “Relations between bond graph based and object-orientedphysical systems modeling”. Proceedings ICBGM’99 /Simul. Series 31:1

• Junco, S. 1986 “Los Diagramas de Enlaces y un Eficaz Método Estructurado deModelado Analítico de Sistemas Dinámicos”. Anales del 2do. CongresoLatinoamericano de Control Automático.

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