intervalos y bolas en ir . generalizaci on a irnfunci on inversa si f : a ! r es inyectiva, es...

Nociones Topologicas

Intervalos en IR

Entorno

Intervalos y Bolas en IR2. Generalizacion a IRn

Punto interior de un conjunto.

Conjunto Abierto

Puntos: adherentes, aislados y de acumulacion.

Conjunto Cerrado.Conjunto Compacto.

Intervalos en IR

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, [a, b], alconjunto [a, b] = {x ∈ IR |a ≤ x ≤ b}Se llama intervalo abierto de extremos a y b, (a, b), alconjunto (a, b) = {x ∈ IR |a < x < b}Se llama intervalo semiabierto, cerrado por la izquierda yabierto por la derecha, de extremos a y b [a, b), alconjunto [a, b) = {x ∈ IR |a ≤ x < b}Se llama intervalo semiabierto, abierto por la izquierda ycerrado por la derecha, de extremos a y b (a, b], alconjunto (a, b] = {x ∈ IR |a < x ≤ b}Al numero b − a, se le llama longitud del intervalo.

a b[ ]

a b( )

a b[ )

a b( ]

a b a b a b a b

Entorno en IR

Un entorno abierto de x0 es cualquier intervalo abierto decentro x0 y radio ε, ε ∈ IR+, se representa por: E (x0; ε), ypodemos expresarlo de las tres formas, equivalentes,siguientes:

E (x0; ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0 + ε}E (x0; ε) = {x ∈ R | | x − x0 | < ε}E (x0; ε) = (x0 − ε, x0 + ε)

A la luz del concepto de distancia, y tomada comodistancia, demostrarlo, entre dos numeros reales:

∀ x , y ∈ IR : d (x , y) = |x − y |

un entorno es: E (x0; ε) = {x ∈ IR |d (x , x0) < ε}A la distancia definida se le denomina: euclıdea o usual.Entorno cerrado de centro x0:

E (x0; ε) = {x ∈ R | | x − x0 | ≤ ε} ≡ {x ∈ IR |d (x , x0) ≤ ε}

Entorno Reducido en IR

Un entorno reducido de x0 es cualquier intervalo abierto decentro x0 y radio ε, ε ∈ IR+ al que le hemos “quitado” elcentro. Las siguientes expresiones denotan el mismoconjunto:

E∗ (x0; ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0 }⋃{x ∈ R | x0 < x < x0 + ε}

E∗ (x0; ε) = {x ∈ R |0 < | x − x0 | < ε}E∗ (x0; ε) = (x0 − ε, x0 + ε)− {x0}E∗ (x0; ε) = {x ∈ IR |0 < d (x , x0) < ε}

Intervalos en IR2 y IR3

Un Intervalo Abierto en IR2 es el siguiente subconjunto{(x , y) ∈ IR2 |a < x < b, c < y < d ; a, b, c, d ∈ IR

}⊂ IR2

Es el area encerrada por un rectangulo sin los lados.Un Intervalo Cerrado en IR2 es el siguiente subconjunto deIR2{

(x , y) ∈ IR2 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ; a, b, c, d ∈ IR}⊂ IR2

Es el area encerrada por un rectangulo incluidos los lados.Un Intervalo Abierto en IR3 es el siguiente subconjunto{

(x , y , z) ∈ IR3 |a < x < b, c < y < d , e < z < f ; a, b, c , d , e, f ∈ IR}

Es el volumen encerrado por un paralelepıpedo sin las caras.Un Intervalo Cerrado en IR3 es el siguiente subconjunto{

(x , y , z) ∈ IR3 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f ; a, b, c , d , e, f ∈ IR}

Es el volumen encerrado por un paralelepıpedo.

Intervalos en IRn

Un Intervalo Abierto en IRn es el siguiente subconjunto deIRn(x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 < x1 < b1

a2 < x2 < b2

· · · · · · · · · · · ·an < x1 < bn

ai , bi ∈ IR , 1 ≤ i ≤ n

Un Intervalo Cerrado en IRn es el siguiente subconjunto deIRn(x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 ≤ x1 ≤ b1

a2 ≤ x2 ≤ b2

· · · · · · · · · · · ·an ≤ x1 ≤ bn

ai , bi ∈ IR , 1 ≤ i ≤ n

Bolas en IR2

Bola abierta de centro x0 = (x01, x02) ≡ (x0, y0) y radior ∈ IR+ es: B (x0, r) =

{x = (x1, x2) ∈ IR2 |d (x, x0) < r

}.

Es el conjunto de puntos encerrado por la circunferencia de centro

x0 y radio r , sin considerar los puntos de la circunferencia.

Bola cerrada de centro x0 = (x01, x02) ≡ (x0, y0) y radior ∈ IR+ es: B (x0, r) =

{x = (x1, x2) ∈ IR2 |d (x, x0) ≤ r

}.

Es el conjunto de puntos encerrado por la circunferencia de centro

x0 y radio r , incluyendo los puntos de la circunferencia.

La metrica que usamos es la euclıdea: si a = (a1, a2) yb = (b1, b2), entonces

d (a, b) =

√(a1 − b1)

2 + (a2 − b2)2

Bolas en IRn

Bola abierta de centro x0 = (x01, x02, · · · , x0n) y radio r ∈ IR+

es: B (x0, r) = {x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn |d (x, x0) < r }.

Bola cerrada de centro x0 = (x01, x02, · · · , x0n) y radior ∈ IR+ es:B (x0, r) = {x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn |d (x, x0) ≤ r }.

La metrica que usamos es la usual, si a = (a1, a2, · · · , an) yb = (b1, b2, · · · , bn):

d (a, b) =

√(a1 − b1)

2 + (a2 − b2)2 + · · ·+ (an − bn)

2

Basandonos en el concepto de bola: A ⊂ IRn es acotado si∃k ∈ IR+ tal que:

A ⊂ B (0, k)

Punto Interior de un Conjunto

Un punto x0 ∈ A es interior de A si ∃r ∈ IR+ tal que:B (x0, r) ⊂ A

Si A = [1, 2], ni x0 = 1 ni x1 = 2, son interiores de ASon interiores de A los puntos del subconjunto{x ∈ IR |1 < x < 2}Si A = (1, 2) todos sus puntos son interiores.

Si A ={

x ∈ IR2 |1 < x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4}

. Son interiores de A:{x ∈ IR2 |1 < x < 2, 3 < y < 4

}Al conjunto de los puntos interiores de un conjunto se le

llama interior del conjunto y se representa por0A y se cumple

0A ⊂ A.

Un conjunto se dice que es abierto si coincide con suinterior.

Punto Adherente de un Conjunto

Un punto x0 es adherente de A si ∀r ∈ IR+ se cumple:B (x0, r)

⋂A 6= ∅

Si A = [1, 2], todos sus puntos son adherentes.Si A = (1, 2), son puntos adherentes a A los del conjunto[1, 2].

Si A ={

x ∈ IR2 |1 < x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4}

. Son adherentes a A:{x ∈ IR2 |1 ≤ x ≤ 2, 3 < y < 4

}Al conjunto de los puntos adherentes de un conjunto se lellama adherencia o y clausura y se representa por A y secumple A ⊂ A.

Un conjunto se dice que es cerrado si coincide con suadherencia.

Un punto x0 es de acumulacion de A si ∀r ∈ IR+ se cumple:(B (x0, r)− {x0})

⋂A 6= ∅

Un punto x0 es aislado de A si ∃r ∈ IR+ tal que:B (x0, r)

⋂A = {x0}

Si A = (1, 2]⋃{3} tenemos:

0A = (1, 2); A = [1, 2]

⋃{3}; Acumulacion de A = [1, 2];

Aislados de A = {3}.

Un conjunto se dice que es compacto si es cerrado yacotado.

Concepto de aplicacion

Seaf : A ⊂ IR → B ⊂ IR

→ f (x)es una aplicacion si

1 ∀x ∈ A∃y ∈ B |y = f (x)Todos los elementos de A tienen su correspondiente en B.

2 x1 ∈ A −→ @y1 6= y2 |y1 = f (x1) ; y2 = f (x1)La imagen es unica

Si a x ∈ A le corresponden varios valores de y , por ejemplof : A → R

x → y = ±√

xno existe funcion real de variable real,

aunque se le califica como funcion multiforme o multivaluada.

Funcion Real: repaso de conceptos elementales

Dominio e Imagen

1 Dominio: Al conjunto A ⊂ IR en el que se define la aplicacion

2 Imagen: Al conjunto B = {y ∈ IR |y = f (x)}Imagen≡Rango≡Recorrido

3 Grafica: Al conjunto D ={

(x , y) ∈ IR2 |x ∈ A, y = f (x)}


Igualdad

Dos funciones f y g,

f : A → Rx → y = f (x)

g : A → Rx → y = g (x)

se dice que son iguales si: ∀x ∈ A es:f (x) = g (x) → f = gHan de tener el mismo dominio de definicion y el mismo rango.Si las funciones f y g tienen el mismo dominio de definicion A,∀x ∈ A se define:

suma: (f ± g) (x) = f (x)± g (x)

producto: (fg) (x) = f (x) g (x)

cociente: si @x ∈ A |g (x) = 0 es fg (x) = f (x)

g(x)


Funcion compuesta

Sea f definida en A y cuya Imagen es B ⊂ YSea g definida en Y y cuyo Imagen es C ⊂ ZSe llama funcion compuesta de f y g a una funcion h definida en Aque asocia a cada elemento x ∈ A el elemento z ∈ Z , tal que

z = h (x) = g (f (x)) y se escribe: h = g ◦ f

Ejemplosf (x) = x2 + 1; g (x) = sen x →h (x) = (g ◦ f ) (x) = sen

(x2 + 1

)(f ◦ g) (x) = sen2x + 1


Funcion inversa

Si f : A → R es inyectiva, es decir, si ∀x1, x2 ∈ A tales quex1 6= x2 es f (x1) 6= f (x2), entonces existe una unica funcion hdefinida sobre la imagen de f, h : Img f → R que verificaque la funcion compuesta h ◦ f es la funcion identidad:

h ◦ f : A → Rx → y = h [f (x)] = x

esta funcion se denomina inversa de f y se denota por h = f−1.

Si los puntos de la grafica de la funcion f vienen definidos por elpar (x , f (x)), los de la funcion inversa vienen definidos por el par(f (x) , f−1 [f (x)] = x

), con lo que ambas graficas son simetricas

respecto a la recta y = x .


Crecimiento. Decrecimiento

Sea B ⊂ A ⊂ R, y sea f : A → R decimos que f es{crecientedecreciente

}en B ⊂ A, si ∀x1, x2 ∈ B, x1 < x2, es{

f (x1) ≤ f (x2)f (x1) ≥ f (x2)

}Si se cumple

{f (x1) < f (x2)f (x1) > f (x2)

}el

{crecimientodecrecimiento

}se dice

que es en sentido estricto.Ejemplos:

y = k puede ser tomada como funcion

{crecientedecreciente

}.

y = x2 es

{crecientedecreciente

}estrictamente en

{[0, +∞)(−∞, 0]

}Funcion Monotona: Cuando es creciente o decreciente.


Funcion acotada

Sea f : A → R , es

{acotada superiormenteacotada inferiormente

}si existe{

K ∈ Rk ∈ R

}tal que ∀x ∈ A es

{f (x) ≤ Kf (x) ≥ k

}.

Si una funcion esta acotada superior e inferiormente decimos queesta acotada.Ejemplos:y = sen x esta acotada superiormente ∀x ∈ R.

y =1

x, x ∈ (0, 13] esta acotada inferiormente, pero no lo esta

superiormente.


Maximo, Mınimo o extremo relativo

Si existe

{E (x1; r1)E (x2; r2)

}tal que es:

{f (x) ≤ f (x1)f (x) ≥ f (x2)

}∀x ∈

{E ∗ (x1; r1)E ∗ (x2; r2)

}decimos que la funcion tiene un{

maximo relativomınimo relativo

}en

{x1

x2

}en sentido amplio.

Si en vez de ser

{≤≥

}es

{<>

}decimos que la funcion tiene

un

{maximo relativomınimo relativo

}en sentido estricto.


Funcion par o impar

Sea f : A → R , f es{

par\impar}

si ∀x0, −x0 ∈ A es{f (x0) = f (−x0) \f (x0) = −f (−x0)

}Ejemplos:

{y = x2\y = x3

}son

{par\impar

}• La suma de dos funciones pares es otra funcion par.• La suma de dos funciones impares es otra funcion impar.• El producto de dos funciones pares es otra funcion par.• El producto de dos funciones impares es otra funcion par.• El cociente de dos funciones pares es otra funcion par.• El cociente de dos funciones impares es otra funcion par.• El producto o el cociente de dos funciones una par y otra impares otra funcion impar.• La grafica de una par es simetrica respecto x = 0.• La grafica de una impar es simetrica respecto al origen.


Funcion periodica

Sea f : A → R es periodica si∃h ∈ R+ |∀x , x + h ∈ A ⇒ f (x) = f (x + h)Si es periodica de perıodo h:f (x + 3h) = f ([x + 2h] + h) = f (x + 2h) = f ([x + h] + h) =f (x + h) = f (x) tambien lo es de preıodo k × h, k ∈ IN y sedefine Perıodo de una funcion periodica:al menor valor de h que verifica la propiedad anterior.Ejemplos:y = sen x : sen (x) = sen (x + 2kπ) si k ∈ N. El perıodo es 2π.y = tg x : tg (x) = tg (x + kπ) si k ∈ N. El perıodo es π.y = x − [x ]: x − [x ] = (x + n)− [x + n] si n ∈ N. El perıodo es 1.

Cero

Sea f : A → R . x0 ∈ A es un cero o raız de f si f (x0) = 0


Funcion Potencial Entera

f : R → Rx → y = xn, n ∈ N

⋃{0} .

Si n = 2k, k ∈ IN , par, son funciones paressi n = 2k + 1, k ∈ IN , impar, son funciones impares.La combinacion lineal de funciones potenciales enteras nos da lugara las funciones polinomicas:

f (x) ≡ anxn + an−1xn−1 + · · ·+ ajxj + · · ·+ a1x + a0, an 6= 0

denominandose: grado del polinomio al valor de n, siendo{an, an−1, · · · a1, a0} los coeficientes del polinomio.A veces nos encontramos expresiones de la forma: (x + b)n dondeb ∈ R y n ∈ N, (por ejemplo: b =

√2 y n = 13), y es

(x + b)n =

j=n∑j=0

(nj

)xn−jbj ;

(nj

)=

n · (n − 1) · · · (n − [j − 1])

j!

Es: j! ≡ j · (j − 1) · · · 3 · 2 · 1. Se conviene: 0! = 0.Funcion Real: repaso de conceptos elementales

Potencia y raız

- 1 - 0. 5 0.5 1 1.5 2

- 1

- 0. 5

0.5

1

1.5

2

2.5

- 1 - 0. 5 0.5 1 1.5 2

- 1

- 0. 5

0.5

1

1.5

2

Figure: potencia y raız

A la izquierda potencia y a la derecha, su inversa: raız


Funcion Racional

Son aquellas que son el cociente de dos polinomios:P (x)

Q (x). Se

denomina racional propiamente dicha o tambien fraccion propiacuando el grado del polinomio del numerador es menor que elgrado del polinomio del denominador.Obviamente las funciones racionales no estan definidas en aquellospuntos en los que la funcion del denominador se anula; es decir enaquellos puntos que sean raıces o ceros del denominador.Como

P(x)Q(x) = C (x) + R(x)

Q(x) si grado de P (x) ≥ que el de Q (x)

estudiaremos si grado de P (x) es < que el de Q (x).


Factorizacion de Q (x)

Estudio sus ceros o raıces

Todas son reales y simples. Sus factores son de la forma(x − b1)

Todas son reales, alguna con multiplicidad mayor que 1. Susfactores son de la forma (x − b1), (x − b2)β

Raıces reales, simples o multiples, y complejas simples. Sus

factores son de la forma (x − b1), (x − b2)β,[(x − r)2 + s2

]Raıces reales y complejas multiples. Sus factores son de la

forma (x − b1), (x − b2)β,[(x − r)2 + s2

],[(x − r1)2 + s2

1

]γ


Ejemplo todas la raıces reales simples

x − 1

5 (x + 1) (x − 2) (x − 3)=

1

5

[A

x + 1+

B

x − 2+

C

x − 3

]x − 1 = A (x − 2) (x − 3) + B (x + 1) (x − 3) + C (x + 1) (x − 2)

Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = −1, x = 2y x = 3, obtenemos, respectivamente, A, B, Cx = −1 → −1− 1 = A (−1− 2) (−1− 3)x = 2 → 2− 1 = B (2 + 1) (2− 3)x = 3 → 3− 1 = C (3 + 1) (3− 2)


Ejemplo todas la raıces reales

x − 1

5 (x + 1) (x − 2)2=

1

5

[A

x + 1+

B

x − 2+

C

(x − 2)2

]x − 1 = A (x − 2)2 + B (x + 1) (x − 2) + C (x + 1)

Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = −1, x = 2,obtenemos, respectivamente, A, Cx = −1 → −1− 1 = A (−1− 2)2

x = 2 → 2− 1 = C (2 + 1)Resta por determinar B, que, por ejemplo, si analizamos loscoeficientes de x2, tenemos

0 = A + B


Raıces imaginarias

Si x = a + i b es raız de una ecuacion con coeficientes reales,tambien lo ha de ser x = a − i b. Es decir si un ecucion concoeficientes reales tiene como raız un numero complejo tambien esraız el complejo conjugado.Trabajamos con ambas conjuntamente, con lo que en ladescomposicion en factores nos aparecera uno de la forma

[x − (a + i b)] [x − (a − i b)] ≡[(x − a)2 + b2

]La aportacion de las raıces imaginarias

[(x − a)2 + b2

]nes

A1x + B1[(x − a)2 + b2

]n +A2x + B2[

(x − a)2 + b2]n−1

+ · · · Anx + Bn[(x − a)2 + b2

]1


x4 + 5x3 + 7x2 + 9x + 2

(x − 1)2 (x2 + 4)3=

=24

125 (x − 1)2+

66

625 (x − 1)+

+13x + 118

25 (x2 + 4)3+− 114x + 109

125 (4 + x2)2− 11x + 31

625 (4 + x2)


A veces se comete, en las funciones racionales, el error de haceriguales las expresiones:

f1 (x) + f2 (x)

g1 (x) + g2 (x)=

f1 (x) + f2 (x)

g1 (x)+

f1 (x) + f2 (x)

g2 (x)

o

f1 (x)

g1 (x)+

f2 (x)

g2 (x)

o hacer uso de la “igualdad”

f1 (x) + f2 (x)

g1 (x) g2 (x)=

f1 (x)

g1 (x)+

f2 (x)

g2 (x)


Funciones Circulares: seno

-10 -5 5 10

-1

-0.5

0.5

1

Figure: seno

y = sen x

Dominio IRImagen [−1, 1]Impar y periodica 2π


Funcion Coseno

-10 -5 5 10

-1

-0.5

0.5

1

Figure: coseno

y = cos x

Dominio IRImagen [−1, 1]Par y periodica 2π


Funcion tangente

-4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Figure: tangente

y = tg x ≡ sen x

cos x

Dominio IR −

{(2k−1)π

2

}, k ∈ ZZ

Imagen [−∞, ∞]Impar y periodica π


Otras funciones circulares

• Cotangente: es la recıproca de la tangente:

cotg x =1

tg x=

cos x

sen x.

• Cosecante: es la recıproca del seno: cosec x =1

sen x.

• Secante: es la recıproca del coseno: sec x =1

cos x.

Relaciones fundamentales

sen2 x + cos2 x = 1

sen (a± b) = sen a cos b ± cos a sen b

cos (a± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b

De estas relaciones se deducen otras de interes, como pueden ser:

cos2 a =1 + cos 2a

2, sen2 a =

1− cos 2a

2, tg (a± b) =

tg a± tg b

1∓ tg a tg b


Funciones Circulares Inversas: Arco seno

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Como en la funcion seno un valor del seno lo podemos obtenermediante infinitos valores de la variable x en general no existirafuncion inversa, ahora bien si el seno lo estudiamos en el intervalo[−π

2,π

2

]si existira funcion inversa:

y = arc sen x

Dominio [−1, 1]

Imagen[−π

2,π

2

]Impar


Arco coseno

-1 1 2 3

-1

1

2

3

Como en la funcion coseno un valor del coseno lo podemos obtenermediante infinitos valores de la variable x en general no existirafuncion inversa, ahora bien si el coseno lo estudiamos en elintervalo [0, π] si existira funcion inversa:

y = arc cos x

{Dominio [−1, 1]Imagen [0, π]


Arco tangente

-2 -1 1 2

-6

-4

-2

2

4

6

Como en la funcion tangente un valor de la tangente lo podemosobtener mediante infinitos valores de la variable x en general noexistira funcion inversa, ahora bien si la tangente la estudiamos en

el intervalo(−π

2,π

2

)si existira funcion inversa:

y = arc tg x

Dominio (−∞, ∞)

Imagen(−π

2,π

2

)Impar


Exponencial

-2 2 4 6

2

4

6 exponencial

logarítmica

Exponencial: y = ax

{Dominio IRImagen IR+; {1} si a = 1

a ∈ IR+ Es

creciente estrictamente si a > 1 y decreciente estrictamente sia < 1. Sus propiedades fundamentales:

a0 = 1, ∀a ∈ IR+

axay = ax+y , ∀a ∈ IR+, x , y ∈ IR(ax)y = ax y , ∀a ∈ IR+, x , y ∈ IR

a−x =1

ax, ∀a ∈ IR+, x ∈ IR


Logarıtmica

y = loga x es la inversa de y = ax , a ∈ IR+ − {1} y es la potenciaa la que hay que elevar a para obtener x

x = ac ⇔ loga x = c : y = loga x

{Dominio IR+

Imagen IREs creciente

estrictamente si a > 1 y decreciente estrictamente si a < 1. Suspropiedades fundamentales:

loga 1 = 0, ∀a ∈ R+ − {1}loga x y = loga x + loga y , ∀a ∈ R+ − {1}, x , y ∈ R+; six , y ∈ R−: loga x y = loga |x |+ loga |y |loga xy = y loga x , ∀a ∈ R+ − {1}, x ∈ R+, y ∈ R

logax

y= loga x − loga y , ∀a ∈ R+ − {1}, x , y ∈ R+; si

x , y ∈ R−: logax

y= loga |x | − loga |y |

(logb x) (loga b) = loga x


Si escribimos log x estamos denotando el logaritmo neperiano onatural de x .

Tres errores muy frecuentes son los siguientes:

Decir que loga (x ± y) es igual a loga x ± loga y

Decir que loga (x y) es igual a (loga x) (loga y)

Decir que loga

(x

y

)es igual a

loga x

loga y


Hiperbolicas

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

coseno

seno

tangente

Seno hiperbolico: y = sh x = ex−e−x

2

Dominio IRImagen IRImpar

Coseno hiperbolico: y = ch x = ex +e−x

2

Dominio IRImagen [1, ∞)Par

Tangente hiperbolica: y = th x =sh x

ch x

Dominio IRImagen (−1, 1)Impar


Otras funciones hiperbolicas

Cotangente hiperbolica, recıproca de la tangente,

coth x =1

th x=

ch x

sh x.

Cosecante hiperbolica: recıproca del seno, cosech x =1

sh x.

Secante hiperbolica: recıproca del coseno, sech x =1

ch x.


Relaciones fundamentales

ch2 x − sh2 x = 1

sh (a± b) = sh a ch b ± ch a sh b

ch (a± b) = ch a ch b ± sh a sh b

De estas relaciones se deducen otras de interes:

ch2a =1 + ch 2a

2, sh2a =

ch 2a− 1

2, th (a± b) =

th a± th b

1± th a th b


Hiperbolicas Inversas: Argumento seno hiperbolico

A cada valor del seno le corresponde un unico valor de x , existirafuncion inversa:

y = arg sh x

Dominio (−∞, +∞)Imagen (−∞, +∞)Impar

Expresion logarıtmica del Argumento cuyo seno hiperbolico esf (x):

y = arg sh f (x)⇒ f (x) = sh y

∀y → ch y > 0→ ch y = +

√1 + sh2y = +

√1 + (f (x))2

entonces

ch y + sh y = ey = f (x) +

√1 + (f (x))2 →

→ y = log

(f (x) +

√1 + (f (x))2

)Funcion Real: repaso de conceptos elementales

Argumento coseno hiperbolico

Un valor del coseno lo podemos obtener mediante dos valores de lavariable x , luego en general no existira funcion inversa.Si el coseno lo estudiamos en el intervalo [0, +∞] si existirafuncion inversa:

y = arg ch x

{Dominio [1, +∞)Imagen [0, +∞)

Expresion logarıtmica del Argumento cuyo coseno hiperbolicoes f (x):

y = arg ch f (x)⇒ f (x) = ch y

∀y ≥ 0→ sh y > 0→ sh y = +

√ch2y − 1 = +

√(f (x))2 − 1

entonces:ch y + sh y = ey = f (x) +

√(f (x))2 − 1→

→ y = log

(f (x) +

√(f (x))2 − 1

)Funcion Real: repaso de conceptos elementales

Argumento tangente hiperbolica

A un valor de la tangente le corresponde un unico valor de x :

y = arg th x

Dominio (−1, +1)Imagen (−∞, +∞)Impar

Expresion logarıtmica del Argumento cuyo tangente hiperbolicaes f (x):

y = arg th f (x)⇒ f (x) = th y =e2y − 1

e2y + 1→

→ e2y f (x) + f (x) = e2y − 1⇒ e2y =1 + f (x)

1− f (x)→

→ y =1

2log

1 + f (x)

1− f (x)


intervalos y bolas en ir . generalizaci on a irnfunci on inversa si f : a ! r es inyectiva, es...

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