Estadistica Aplicada

Intervalos de Confianza para la Media con varianza conocida y con Varianza desconocida Estimacin de la media con Es conocido de nosotros durante este curso, que en base a la distribucin muestral de medias que se gener en el tema anterior, la formula para el clculo de probabilidad es la siguiente: .Como en este caso no conocemos el parmetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, slo se despejar de la formula anterior, quedando lo siguiente:

De esta formula se puede observar que tanto el tamao de la muestra como el valor de z se conocern. Z se puede obtener de la tabla de la distribucin normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribucin llamada "t" de student si la poblacin de donde provienen los datos es normal.

Para el caso de tamaos de muestra grande se puede utilizar una estimacin puntual de la desviacin estndar, es decir igualar la desviacin estndar de la muestra a la de la poblacin (s=).

Ejemplos:

1. Se encuentra que la concentracin promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentracin media de zinc en el ro. Suponga que la desviacin estndar de la poblacin es 0.3.

Solucin:

La estimacin puntual de es= 2.6. El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto:

Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo ser ms amplio:

El intervalo de confianza proporciona una estimacin de la presicin de nuestra estimacin puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no ser exactamente igual a y la estimacin puntual es errnea. La magnitud de este error ser el valor absoluto de la diferencia entre y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no exceder .

Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimacin mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y ms pequeo cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%.

2. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente distribuida de forma normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin promedio de 780 horas, encuentre un intervalos de confianza de 96% para la media de la poblacin de todos los focos que produce esta empresa.

Solucin:

Con un nivel de confianza del 96% se sabe que la duracin media de los focos que produce la empresa est entre 765 y 795 horas.

3. La prueba de corte sesgado es el procedimiento ms aceptado para evaluar la calidad de una unin entre un material de reparacin y su sustrato de concreto. El artculo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" informa que, en cierta investigacin, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm2, con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviacin estndar muestral fue 3.28 N/mm2. Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte.

Solucin:

En este ejercicio se nos presentan dos situaciones diferentes a los ejercicios anteriores. La primera que desconoce la desviacin estndar de la poblacin y la segunda que nos piden un intervalo de confianza unilateral.

El primer caso ya se haba comentado y se solucionar utilizando la desviacin estndar de la muestra como estimacin puntual de sigma.

Para el intervalo de confianza unilateral, se cargar el rea bajo la curva hacia un solo lado como sigue:

Esto quiere decir que con un nivel de confianza de 95%, el valor de la media est en el intervalo (16.39, ).

Estimacin de la Diferencia entre dos Medias

Si se tienen dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianzas 12 y 22, respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre 1 y 2 est dado por la estadstica . Por tanto. Para obtener una estimacin puntual de 1- 2, se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, una de cada poblacin, de tamao n1 y n2, se calcula la diferencia , de las medias muestrales.

Recordando a la distribucin muestral de diferencia de medias:

Al despejar de esta ecuacin 1- 2 se tiene:

En el caso en que se desconozcan las varianzas de la poblacin y los tamaos de muestra sean mayores a 30 se podr utilizar la varianza de la muestra como una estimacin puntual.

Ejemplos:

1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galn de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las dems condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galn y el promedio para el motor B es 42 millas por galn. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estndar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.

Solucin:

Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar la media mayor menos la media menor. En este caso ser la media del motor B menos la media del motor A.

El valor de z para un nivel de confianza del 96% es de 2.05.

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