intervalo confidencial, test de hipótesis y bondad de ajuste – ejercicios resueltos.pdf
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7.- Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste
Ejercicios Resueltos
Estimacin por Intervalos
Pruebas de Hipotesis
Muestras Pareadas
Bondad de ajuste de distribuciones discretas y continuas
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 134 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
1. La Oficina de Planificacin Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporcin de
familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias 18
presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.
1.1) Estime con 98% de confianza la proporcin de familias con un ingreso familiar inferior a
$ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) Qu tamao muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error
en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso inferior a $200.000 no exceder
de 0,05?
1.1) Solucin: Sean:
= Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A
~ (; 2)
Debido a que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar
el intervalo confidencial:
()1 = ( 1 2
)
Con: 1 = 0,98 ; = 90 ; =18
90= 0,2 ; = 0,8
Nota: El valor de se calcula dividiendo la nmero de datos de la muestra que cumplen la caracterstica
que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a $200.000, dividido por
el tamao de la muestra.
Reemplazando, obtenemos:
()0,98 = (0,2 0,990,2 0,8
90) ; 0,99 = 2,33
()0,98 = 0,2 2,330,2 0,8
90
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,98 = [0,102; 0,298]
Respuesta: El intervalo [0,102; 0,298] tiene un 98% de contener a la proporcin de familias con un
ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.
1.2) Solucin: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:
1 = 0,95; 0,05; = 90; =18
90= 0,2; = 0,8
Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la frmula de error est dada por:
= 1 2
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 135
Reemplazando:
0,05 0,9750,2 0,8
1,96
0,05 0,2 0,8 245,86 246
Respuesta: Para asegurar que el error en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso inferior
a $200.000, no exceda a 0,05, el tamao de la muestra debe ser igual a 246, considerando una
confianza del 95%.
2.- Se realizan estudios sobre la contaminacin producida por descargas de aguas residuales,
en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por el
decreto 90/2000, que establece niveles de concentracin de Plomo de a lo ms 0.02 mg/l. En una
muestra aleatoria de tamao 20, de volmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en das
distintos, se encontr un nivel medio de concentracin de plomo de 0,28 mg/l, con una
desviacin estndar de 0,01 mg/l.
Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una poblacin normal, estime el nivel
medio de concentracin de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los
valores estimados en funcin de la norma.
2) Solucin: Sea: = Concentracin de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos, en mg/l;
~ ( ; 2)
Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
= 20 = 0,28 = 0,01 1 = 0,90
Debido a que desconocemos la varianza de la distribucin, utilizaremos la siguiente frmula para
obtener el intervalo de confianza:
()1 = ( ( 1;1 2
)
)
Reemplazando:
()0,90 = (0,28 (19; 0,95) 0,01
20) ; (19; 0,95) = 1,7291
()0,90 = (0,28 1,7291 0,01
20)
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,90 = [0,2761; 0,2839]
Respuesta: El intervalo [0,2761; 0,2839] tiene un 90% de contener el nivel medio de concentracin de
plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 136 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
3.- Se est estudiando la duracin de ciertos procesos productivos y se toma una muestra
aleatoria, de tamao 10. Se define como "Proceso Corto cuando su duracin es menor que 5
minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:
3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporcin de Procesos Cortos.
3.2) Cul debera ser el tamao de la muestra si la proporcin estimada disminuyen en un
10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la
modificacin?
3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.
3.4) Si se realiza un ajuste tecnolgico en el proceso de fabricacin, el que reduce los tiempos
en un 15% Cul sera la estimacin de la varianza con un 97% de confianza?
3.1) Solucin: Sea: = Tiempo de duracin de ciertos procesos productivos, en minutos
~ (; 2)
Debido a que el problema nos habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para
determinar el intervalo confidencial:
()1 = ( 1 2
)
Con: 1 = 0,98 ; = 10 ; =5
10= 0,5 ; = 0,5
Reemplazando, obtenemos:
()0,98 = (0,5 0,990,5 0,5
10) ; 0,99 = 2,33
()0,98 = 0,5 2,330,5 0,5
10
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,98 = [0,1316; 0,86848]
Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporcin de Procesos cortos
3.2) Solucin: Lo primero que debemos hacer en este tem es determinar una nueva variable, como se
ve a continuacin: = "Proporcin con Procesos Cortos disminuida en un 10%
= 0,9 = 0,9 0,5 = 0,45
En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente frmula:
= 1 2
= 0,99
0,5 0,5
10= 2,33
0,5 0,5
10= 0,3684
3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
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Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamao de la muestra, lo que se realiza
despejando la frmula que sigue:
= 1 2
0,3684 = 1,96
0,45 0,55
=
(1,96)2 (0,45)(0,55)
(0,3684)2= 7,005 8
: 1 = 0,95; = 0,3684 ; = 0,45; = 0,55; 0,975 = 1,96
Respuesta: El tamao de la muestra debe ser 8, si la proporcin disminuye en un 10% y se mantiene
el error probable antes de la modificacin, con un 95% de confianza.
3.3) Solucin: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente frmula:
=
2
( )2
1=
322,14 (52,2)2
10
9= 2,3489
Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial est dado de la
siguiente forma:
(2)1 = (( 1)
2
2
(1; 1
2)
,( 1)
2
2
(1;
2)
)
Con: = 10; = 2,3489; 1 = 0,99
Reemplazando:
(2)0,99 = (9 (2,3489)2
2(9; 0,995)
,9 (2,3489)2
2(9; 0,005)
) = (9 (2,3489)2
23,589 ,
9 (2,3489)2
1,735)
(2)0,99 = [2,1050; 28,6202]
Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo [2,1050; 28,6202] contenga a la varianza poblacional de
los procesos productivos.
3.4) Solucin: Sea: = Muestra reducida en un 15% = 0,85
Por propiedades determinamos el valor de la desviacin estndar de y, la que se encuentra dada por:
= 0,85 = 0,85 2,3489 = 1,9966
Despus procedemos a definir el intervalo confidencial como se ve a continuacin:
(2)1 = (( 1)
2
2
(1; 1
2)
,( 1)
2
2
(1;
2)
)
Con: = 10; = 1,9966; 1 = 0,97
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
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Ya que no poseemos los valores de la distribucin 2, tenemos que interpolar para poder determinarlos:
0,99 0,975
0,985 0,975=
21,666 19,023
19,023
0,015
0,01=
2,643
19,023
=2,643 0,01
0,015+ 19,023
= 20,785 2
(9; 0,985) = 20,785
0,025 0,01
0,015 0,01=
2,700 2,088
2,088
0,015
0,005=
0,612
2,088
=0,612 0,005
0,015+ 2,088
= 2,292 2
(9; 0,015) = 2,292
Finalmente, reemplazando obtenemos el intervalo confidencial:
(2)0,97 = (9 (1,9966)2
2(9; 0,985)
,9 (1,9966)2
2(9; 0,015)
) = (9 (1,9966)2
20,785 ,
9 (1,9966)2
2,292)
(2)0,97 = [1,7261; 15,6534]
Respuesta: Existe una probabilidad del 97% de que el intervalo [1,7261; 15,6534] contenga a la
varianza poblacional de los procesos productivos luego de reducir sus tiempos en un 15%.
4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen ms o
menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razn se vigila constantemente
la cantidad de producto enlatado. Considere una compaa que produce un cemento de hule de
secado rpido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.
Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18
onzas y una desviacin estndar de 0,645 onzas.
Considere que el peso de las latas se distribuye normal.
4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las latas
es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significacin de 5%.
4.2) Cul debe ser el mnimo tamao de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el
peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se est dispuesto a cometer un
error mximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores
que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 139
4.1) Solucin: Sea: = Cantidad de cemento en una lata, en onzas
~ (; 2)
Con: = 34; = 0,645; = 0,05; 1
Las hiptesis que nos interesan contrastar son:
0: 2 = 0,4
1: 2 > 0,4
Entonces, el estadstico de prueba es:
=( 1)2
02 =
(34 1)(0,645)2
0,4= 34,3221
El Punto Crtico, se determina de la siguiente forma:
2(1; 1 ) =
2(33; 0,95) = 47,400
La Regin Crtica:
= { | > 2(1; 1 )} = { | > 47,400}
Respuesta: Como , no se rechaza la hiptesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de
cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.
4.2) Solucin: El problema nos otorga la siguiente informacin:
= 0,2; 1 = 0,95; 2 = 0,4096 ; = 0,4096 = 0,64
Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que
conocemos la varianza (2), la frmula del error est dada por:
= = 1 2
Reemplazando:
0,2 1 0,25 0,64
1,96 0,64
0,2 39,33 40
Respuesta: El mnimo tamao de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real
promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.
5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la
desviacin estndar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25 trozos
de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviacin estndar de
2,8 psi.
5.1) Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use = 0,05.
5.2) Determine el tamao de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este
tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimacin de 0,5 psi.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 140 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
5.1) Solucin: Sea: = Resistencia a la ruptura de una fibra
~ (; 2 = 32)
Con: = 25; = 3; = 148; = 2,8; = 0,05; 0 = 150
Las hiptesis que nos interesan contrastar son:
0: = 150
1: < 150
Entonces, como conocemos la varianza, el estadstico de prueba es:
= 0
=148 150
3
25
= 3, 33
El Punto Crtico, se determina de la siguiente forma:
(1 ) = 0,95 = 1,645
La Regin Crtica:
= { | < (1 )} = { | < 1,645}
Respuesta: Debido a que , hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es decir,
es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significacin.
5.2) Solucin: El ejercicio proporciona los siguientes datos:
= 0,5; 1 = 0,95; = 3
Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que
conocemos la varianza (2), la frmula del error est dada por:
= = (1
2)
Reemplazando:
0,5 = (0,975) 3
=
1,96 3
0,5 = 138,3 139
Respuesta: El tamao de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra
con un nivel de confianza del 95% y un error de estimacin de 0,5 psi, es 139.
6.- La velocidad de transmisin de un modem se mide en baudios que se define como el nmero
de bits por segundo que puede transmitir. Debido a factores tcnicos, la rapidez de transmisin
real vara de un archivo a otro. Una empresa est en proceso de adquirir un modem, el cual fue
ofrecido por dos proveedores (A y B). Para decidir la compra se transmiten seis archivos, elegidos
al azar, utilizando ambos modem y registrando las velocidades de transmisin (en miles de
baudios)
Suponiendo que la velocidad de transmisin se distribuye Normal
Archivo 1 2 3 4 5 6
Proveedor A 10,75 10,86 11,18 10,47 11,36 10,47
Proveedor B 10,31 10,95 10,33 9,20 11,36 9,74
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
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6.1.- La revista PC Reports, afirma que en pruebas hechas por su equipo se ha encontrado que
el modem del proveedor A es significativamente ms rpido que el del proveedor B, Con = 0,01,
Los resultados obtenidos por la empresa confirman lo planteado por la revista?
6.2.- Pruebe si la varianza de la velocidad de transmisin del modem del proveedor A es de 0,52
(miles de baudios)2 con nivel de significacin 0,05.
6.1) Solucin: Sea: = ~ (; 2)
= 6 = 0,5333 = 0,5221
Las hiptesis que nos interesan contrastar son:
0: = 0
1: > 0
Entonces, como desconocemos la varianza, el estadstico de prueba es:
= 0
=0,5333 0
0,5221
6
= 2,502
La Regin Crtica ( = 0,01)
= { | > (1; 1 )} = { | > (5; 0,99)} = { | > 3,3649}
Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, los resultados obtenidos por empresa no confirman lo planteado por la revista, con = 0,01.
6.2) Solucin: Las hiptesis que nos interesa contrastar son:
H0: 2 = 0,52
1: 2 0,52
Con: = 6 = 0,3654
Entonces como conocemos la desviacin estndar, el estadstico de prueba es:
=( 1)
2
2 =
(6 1) 0,36542
0,52= 1,2838
Regin crtica ( = 0,05):
= { | < 2(1;
2) > 2
(1; 1
2)} = { | < 2(5; 0,025) >
2(5; 0,975)
}
= { | < 0,830 > 12,833}
Archivo 1 2 3 4 5 6
Proveedor A 10,75 10,86 11,18 10,47 11,36 10,47
Proveedor B 10,31 10,95 10,33 9,20 11,36 9,74
D 0,44 -0,09 0,85 1,27 0 0,73
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 142 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, la varianza de la velocidad de transmisin del modem del proveedor A es de 0,52 (miles de
baudios)2, con un 5% de significacin.
7.- En un estudio realizado en el Departamento de Silvicultura y Fauna de una universidad del
extremo sur del pas, se examin la influencia de un frmaco sobre los niveles de andrgenos
en la sangre de huemules salvajes. Se capturaron 15 ejemplares y se les inyect el frmaco,
extrayndoles una muestra de sangre cinco minutos despus de la captura, y luego se les
extrajo una segunda muestra despus de 30 minutos, posteriormente se liberaron los
ejemplares. Se midieron los niveles de andrgenos en la sangre de cada muestra y los datos
aparecen en la siguiente tabla (Suponga distribucin normal)
7.1) Se pide ensayar con 6% de significacin si el nivel de andrgenos se altera despus de 30
minutos de encierro.
7.2) Ensayar con un 5% de significacin si la proporcin de animales que presentaron nivel de
andrgenos superior a 15,00 despus del encierro, supera al 25%
7.1) Solucin: Lo primero ser definir la variable a utilizar, la cual se muestra a continuacin:
= Diferencia entre el Nivel Primero y Nivel Segundo ~ (; 2)
Ya que nos preguntan si el nivel de andrgenos se altera, nuestras hiptesis a contrastar son:
0: = 01: 0
En seguida calculamos , como se muestra a continuacin:
Nmero de ejemplares
Nivel Primero (5 minutos)
Nivel Segundo (30 minutos)
1 2,76 7,02
2 5,18 3,10
3 2,68 5,44
4 3,05 3,99
5 4,10 5,21
6 7,05 10,26
7 6,60 13,91
8 4,79 18,53
9 7,39 7,91
10 7,30 4,85
11 11,78 11,10
12 3,90 3,74
13 26,00 94,03
14 67,48 94,03
15 17,04 41,70
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 143
Luego, de la cuarta columna se calcula la media y desviacin estndar de :
= 9,848
= 18,4736
En seguida, como desconocemos la varianza, el estadstico de prueba es:
= 0
Reemplazando:
=9,848 0
18,4736
15
= 2,065
El punto crtico est dado por: (1;1
2)
= (14;0,97)
Ya que este valor no se encuentra explcitamente en la tabla, tenemos que interpolar:
0,975 0,95
0,97 0,95=
2,1448 1,7613
1,7613
0,025
0,02=
0,3835
1,7613
=0,3835 0,02
0,025+ 1,7613
= 2,068
(14;0,97) = 2,068
La Regin Crtica:
= { | < (14;0,97) > (14;0,97)} = { | < 2,068 > 2,068}
Nmero de ejemplares Nivel Primero (5 minutos) Nivel Segundo (30 minutos) (Diferencia)
1 2,76 7,02 - 4,26
2 5,18 3,10 2,08
3 2,68 5,44 - 2,76
4 3,05 3,99 - 0,94
5 4,10 5,21 - 1,11
6 7,05 10,26 - 3,21
7 6,60 13,91 - 7,31
8 4,79 18,53 - 13,74
9 7,39 7,91 - 0,52
10 7,30 4,85 2,45
11 11,78 11,10 0,68
12 3,90 3,74 0,16
13 26,00 94,03 - 68,03
14 67,48 94,03 - 26,55
15 17,04 41,70 - 24,66
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7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 144 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, el nivel de andrgenos no se altera despus de 30 minutos de encierro, con un 6% de
significacin.
7.2) Solucin: De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que
cuatro de los quince ejemplares presentan niveles de andrgenos superiores a 15,00 despus del
encierro.
Las hiptesis que interesan contraponer son:
0: = 0,251: > 0,25
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
= 0
0 0
=
4
15 0,25
0,250,75
15
= 0,1491
La Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, la proporcin de animales que presentaron nivel de andrgenos superior a 15,00 despus de
encierro, no supera al 25%, con un 5% de significacin.
8.- En la manufactura de semiconductores, es comn el uso de un proceso de grabado por
remojo qumico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la
metalizacin. La rapidez de grabado es una caracterstica importante en este proceso y se sabe
que es una variable aleatoria con distribucin normal. Se compararon dos soluciones de
grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solucin. La
rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente:
Solucin 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1
Solucin 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3
8.1) Apoyan los datos la afirmacin de que la rapidez media de grabados es la misma para
ambas soluciones, use = 0,05
8.2) Estime con un nivel de confianza del 90% la rapidez media de grabado para la solucin
1.
8.1) Solucin: Sea: = Rapidez de grabado de la Solucin 1, en milipulgadas/minuto; ~ (; 2)
= Rapidez de grabado de la Solucin 2, en milipulgadas/minuto; ~ (; 2)
Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de ambas
muestras:
= 10 = 9,97 = 0,4218
= 10 = 10,4 = 0,2309
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 145
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
0,42182
0,23092= 3,3371
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):
( 1; 1;
2)
= (9; 9; 0,05) =1
(9; 9; 0,975)=
1
4,026= 0,248
(1; 1; 1
2)
= (9; 9; 0,975) = 4,026
La Regin Crtica:
= { | < (9; 9; 0,05) > (9; 9; 0,95) } = { | < 0,248 > 4,026 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1:
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (10 1) 0,42182 + (10 1) 0,23092
10 + 10 2= 0,34
=10,4 9,97
0,34 1
10+
1
10
= 2,83
Finalmente, la Regin Crtica:
= { | < (; 1
2) >
(; 1
2)} = + 2
= { | < (18; 0,975) > (18; 0,975)} = { | < 2,1009 > 2,1009}
Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es
decir, la rapidez media de grabado es la misma, con = 0,05.
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 146 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
8.2) Solucin: Debido a que el problema nos pregunta por la media de grabado para la Solucin 1,
debemos utilizar la siguiente frmula para determinar el intervalo confidencial:
()1 = ( (1; 1 2
)
)
Con: 1 = 0,90; = 10 ; = 0,4218 ; = 9,97
Reemplazando, obtenemos:
()0,90 = (9,97 (9; 0,95) 0,4218
10) ; (9; 0,95) = 1,8331
()0,90 = (9,97 (9; 0,95) 0,4218
10)
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,90 = [9,7255; 10,2145]
Respuesta: El intervalo [9,7255; 10,2145] tiene un 90% de contener la rapidez media de grabado para
la solucin 1.
9.- La resistencia mnima especificada, transcurridos 28 das, de un hormign para pavimento
de 20 cm de espesor es de 250 kg/cm. En dosificaciones con materiales provenientes de la
cantera A y B, las resistencias se distribuyen aproximadamente normal.
Se realizan 16 ensayos con materiales de la cantera A y 32 ensayos de la cantera B, obteniendo
al trmino del tiempo especificado, en pruebas de roturas a la compresin, las siguientes
resistencias:
Resistencia Cantera A 200 - 218 218 - 236 236 - 254 254 - 272 272 - 290
2 4 5 4 1
Resistencias Cantera B 218 220 225 230 235 237 241 245 269 270 270 272 272 274 276 278
250 254 255 258 260 262 264 268 280 285 289 290 290 290 295 300
Ayuda: = ; =
9.1) El ingeniero sospecha que la resistencia media de las dosificaciones proveniente de la
cantera A est muy por debajo de la resistencia media de aquellas dosificaciones
provenientes de la cantera B. Qu concluira usted respecto a la sospecha del Ingeniero,
con = 0,01?
9.2) Con nivel de significacin del 2,5%, Puede usted afirmar que las dosificaciones cuyo
material proviene de la cantera B que est bajo la resistencia mnima especificada es de
un 20%?
9.1) Solucin: Sea: = Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera A, kg/cm; ~ ( ; 2)
= Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera B, kg/cm; ~ ( ; 2)
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 147
Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de ambas
muestras:
Para A: Para B:
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
22,63942
20,65432= 1,2015
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,01):
( 1; 1;
2)
= (31; 15; 0,005) =1
(15; 31; 0,995)
1
(15; 30; 0,995)=
1
3,0057= 0,3327
( 1; 1; 1
2)
= (31; 15; 0,995) (30; 15; 0,995) = 3,6867
La Regin Crtica:
= { | < (31; 15; 0,005) > (31; 15; 0,995) } = { | < 0,3327 > 3,6867 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1: <
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (16 1) 20,65432 + (32 1) 22,63942
16 + 32 2= 22,0118
[1 ]
[200 218] 209 2
[218 236] 227 4
[236 254] 245 5
[254 272] 263 4
[272 290] 281 1
= 16
= 242,75 ; = 20,6543
=
=
8422
32= 263,1875
=
2 2
1=
2
( )2
1
=2232454
84222
32
31= 22,6394
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 148 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
=242,75 263,1875
22,0118 1
16+
1
32
= 3,0324
Finalmente, la Regin Crtica ( = 0,01):
= { | < (; 1 )} = + 2 = 46
= { | < (46; 0,99)} = { | < 2,4102}
Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es
decir, se concluye que lo sospechado por el Ingeniero es real, o sea, la resistencia media de A est
muy debajo de la resistencia media de B.
9.2) Solucin: Sabemos que la resistencia mnima especificada es 250 kg/cm, por ende, podemos
calcular el estimador , o sea, la proporcin de la muestra de los materiales provenientes de la cantera
B, que cumplen la condicin de ser inferiores a la resistencia mnima especificada. Lo que llevndolo a
nmeros es igual a = 8/32
Las hiptesis a contrastar son:
0: = 0,201: 0,20
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
= 0
0 0
: =8
32= 0,25; = 32 =
0,25 0,20
0,200,80
32
= 0,7071
La Regin Crtica (Con = 0,025):
= { | < 1 2 > 1
2} = { | < 0,9875 > 0,9875}
= { | < 2,24 > 2,24}
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, las dosificaciones que estn bajo la resistencia mnima, en la cantera B, representan el 20%.
10.- La utilizacin de materiales sintticos tales como nylon, polister y ltex en la produccin
de telas, ha provocado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas
con las fibras naturales.
Un fabricante de una nueva fibra sinttica asegura que en promedio su producto (Y) posee una
mayor resistencia a la traccin que las fibras naturales (X). Para tal efecto se seleccionan al azar
10 fibras sintticas y 12 fibras naturales, a cada una de las cuales se les midi la resistencia a
la traccin. Los resultados muestrales obtenidos se dan a continuacin:
= ; = ; = ;
=
Confirman estos datos lo asegurado por el fabricante? Fundamente adecuadamente su
respuesta y use = ,
10) Solucin: Sean: = Resistencia a la traccin de las fibras naturales, en Kg; = 12
= Resistencia a la traccin de la nueva fibra sinttica, en Kg; = 10
~ ( ; 2) ~ ( ; 2)
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 149
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
1892
1636= 1,1565
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):
( 1; 1;
2)
= (9; 11; 0,025) =1
(11; 9; 0,975)=
1
3,9117= 0,255
( 1; 1; 1
2)
= (9; 11; 0,975) = 3,9639
La Regin Crtica:
= { | < (9; 11; 0,025) > (9; 11; 0,975) } = { | < 0,255 > 3,9639 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1: <
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:
=
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (12 1) 1636 + (10 1) 1892
12 + 10 2= 41,8473
=272 335
41,8473 1
12+
1
10
= 3,5460
Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | < (; 1 )} = + 2 = 20
= { | < (20; 0,95)} = { | < 1,7247}
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 150 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula
con un 10% de significacin, es decir, podramos concluir que el fabricante estara en lo cierto, ya que
la nueva fibra sinttica posee mayor resistencia a la traccin que las fibras naturales.
11.- En una planta industrial se quiere determinar cul de dos tipos de fuentes de energa, gas o
electricidad, produce ms energa til a menor costo. Una medida de la produccin econmica
de energa, llamada inversin de planta por quad suministrado, se calcula dividiendo la
cantidad de dinero (en dlares) invertida por la planta en la fuente de energa en cuestin y la
cantidad suministrada de energa (en quads, miles de billones de unidades trmicas britnicas
[BTU]). Cuanto menor sea este cuociente, menos pagar una planta industrial por la energa
suministrada. Se seleccionaron muestras aleatorias de 11 plantas que utilizan electricidad y 16
plantas que utilizan gas y se calcul la inversin de la planta por quad para cada una. Los datos
se presentan en la tabla:
Asumiendo normalidad en la inversin por quad suministrado
11.1) Se podra afirmar que existe diferencia significativa entre los promedios de inversin de
planta por quad suministrado para estos dos tipos de fuentes de energa, con un nivel de
significacin de 0,10?
11.2) Estime con una confianza del 99% la proporcin de plantas de gas que invierten ms de
10 [BTU].
11.1) Solucin: Sean:
= Inversin de una planta elctrica por quad suministrado, en dlares; ~ (; 2)
= Inversin de una planta a gas por quad suministrado en dlares; ~ (; 2)
Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de cada muestra:
= 11 = 9,289 = 3,616
= 16 = 11,602 = 3,112
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
3,6162
3,1122= 1,35
ELECTRICIDAD 14,15 9,57 7,76 9,72 5,35 8,46 7,78 4,38
9,28 8,60 17,13
GAS 16,66 10,14 9,18 10,11 8,45 7,91 11,03 10,70
15,05 18,22 12,50 9,40 9,67 9,21 15,3 12,1
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 151
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,10):
(1; 1;
2)
= (10; 15; 0,05) =1
(15; 10; 0,95)=
1
2,8450= 0,351
(1; 1; 1
2)
= (10; 15; 0,95) = 2,5437
La Regin Crtica:
= { | < (10; 15; 0,05) > (10; 15; 0,95) } = { | < 0,351 > 2,5437 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1:
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:
=
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (11 1) 3,6162 + (16 1) 3,1122
11 + 16 2= 3,323
=9,289 11,602
3,323 1
11+
1
16
= 1,777
Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,10):
= { | < (; 1
2)} = + 2 = 25
= { | < (25; 0,95)} = { | < 1,7081}
Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula
con un 10% de significacin, es decir, se puede afirmar que existe una diferencia significativa en el
promedio de inversin de planta por quad suministrado por estos dos tipos de energa.
11.2) Solucin: Lo primero, ser determinar el estimador , el que corresponde al nmero de plantas a
gas que invierten ms de 10 quad, en la muestra, dividido en el tamao de la muestra, que llevado a
los nmeros es igual a 10 16 .
Luego, el intervalo confidencial est dado por:
()1 = ( 1 2
)
Con: 1 = 0,99; = 16 ; =10
16= 0,625; = 0,375
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 152 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Reemplazando, obtenemos:
()0,99 = (0,625 0,995 0,625 0,375
16) ; 0,995 = 2,575
()0,99 = (0,625 2,575 0,625 0,375
16)
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,90 = [0,313; 0,937]
Respuesta: El intervalo [0,313; 0,937] tiene un 90% de probabilidad de contener a la proporcin de
plantas de gas que invierten ms de 10 [BTU].
12.- El PM10 (material particulado respirable), son partculas de dimetro menor o igual a 10
micrones. Por su tamao, el PM10 es capaz de ingresar al sistema respiratorio del ser humano;
mientras menor es el dimetro de estas partculas mayor es el potencial dao en la salud; es por
esta razn, que diariamente se monitorea la calidad del aire,
calculando un ndice de calidad de Aire (AQI por sus siglas en
Ingls). Un AQI de 100 para PM10, corresponde a un nivel de 150
PM10 en microgramos por metro cbico (promediado en 24
horas).
Se toman muestras aleatorias independientes del AQI, de tamao
40, correspondientes a dos comunas C y M, del Gran Santiago, en
meses de invierno, obteniendo la siguiente informacin:
Suponiendo vlidos los supuestos necesarios:
12.1) Estime el mnimo tamao de muestra que se debe considerar para estimar el AQI
promedio en la comuna M, considerando un error de estimacin de a lo ms 18 g/m3
y
una confianza de 95%, si de estudios previos se sabe que la desviacin estndar del AQI
es de 110 g/m3
.
12.2) Es posible asegurar que el porcentaje de episodios en que el AQI es de al menos 200
(episodio daino para la salud) es superior al 4% en la comuna C, con 5% nivel de
significacin?
12.3) Es posible, afirmar que no existen diferencias significativas en el ndice de calidad
medio del aire en ambas comunas en estudio, con un nivel de significacin del 1%?
12.1) Solucin: Sean: = Cantidad de material particulado en la comuna C; ~ (; 2)
= Cantidad de material particulado en la comuna M; ~ (; 2)
El enunciado del problema nos otorga la siguiente informacin:
18; 1 = 0,95; = 110
AQI (g/m3
) C M
0 50 2 5
50 100 9 5
100 150 11 11
150 200 15 13
200 300 3 4
300 550 0 2
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 153
Ya que el conocemos la varianza, y estamos estimando el AQI promedio en la comuna, la frmula del
error est dada por:
= 1 2
Reemplazando:
18 0,975 110
1,96
110
18 143,46 144
Respuesta: El tamao de la muestra debe ser como mnimo de 144.
12.2) Solucin: Con los datos entregados por la tabla, podemos determinar el estimador , que
corresponde a la cantidad de episodios de la muestra, en que el AQI es de al menos 200, dividido en
el tamao de la muestra, lo que llevado a los nmeros es igual a 3 40 .
Luego, las hiptesis a contrastar son:
0: = 0,04
1: > 0,04
El estimador de prueba a utilizar es:
= 0
0 0
: =3
40= 0,075; = 40 =
0,075 0,04
0,040,96
40
= 1,1296
La Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}
Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis
nula con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que el porcentaje o proporcin de episodios
en que el AQI es de al menos 200, es equivalente o menor al 4% en la Comuna C.
12.3) Solucin: Para este tem lo primero que debemos hacer es calcular el tamao de la muestra, la
media y desviacin estndar, de cada muestra:
= 40
= 136,875
= 55,7546
= 40
= 150
= 89,5144
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
AQI (g/m3) C M
0 50 25 2 5
50 100 75 9 5
100 150 125 11 11
150 200 175 15 13
200 300 250 3 4
300 550 425 0 2
= 40 = 40
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 154 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
89,51442
55,75462= 2,5777
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,01):
( 1; 1;
2)
= (39; 39; 0,005) =1
(39; 39; 0,995)
1
(40; 40; 0,995)=
1
2,2958= 0,435
( 1; 1; 1
2)
= (39; 39; 0,995) (40; 40; 0,995) = 2,2958
La Regin Crtica:
= { | < (39; 39; 0,005) > (39; 39; 0,995) } = { | < 0,435 > 2,2958 }
Resultado: Debido a que , hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas soluciones son diferentes.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1:
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:
=
2
+
2
=150 136,875
55,75462
40+
89,51442
40
= 0,7871
Despus para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente frmula:
=(
2
+
2
)
2
(
2
)
2
1+
(
2
)
2
1
=(
55,75462
40+
89,51442
40)
2
(55,75462
40)
2
401+
(89,51442
40)
2
401
= 65,3016 65
Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,01):
= { | < (; 1
2) >
(; 1
2)} = { | < (65; 0,995) > (65; 0,995)}
= { | < 2,6536 > 2,6536}
Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis
nula con un 1% de significacin, es decir, se puede afirmar que no existen diferencias significativas en
el ndice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio.
13.- Para comparar la capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de dos minas,
se obtuvo una muestra aleatoria de 35 especmenes de carbn de la mina 1 y otra muestra de 25
especmenes de carbn de la mina 2, obteniendo los siguientes resultados de la capacidad de
produccin de calor, en miles de millones de caloras por tonelada:
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 155
= ,
=
= ,
=
Mina 1 Mina 2
Capacidad calrica promedio 8,23
Desviacin estndar capacidad calrica 0,1255
Especmenes con capacidad mayor a 8,3 mM de cal/ton.
10 5
Suponiendo que las poblaciones muestreadas tienen distribucin normal:
13.1) Estime con 95% de confianza la proporcin de carbn con capacidad calrica de a lo ms
8,3 miles de millones de caloras en la mina 1.
13.2) Que tamao de muestra sera necesario para estimar la capacidad calrica promedio del
carbn de la mina 2 con 98% de confianza y un error en la estimacin que no supere los
0,1 miles de millones de caloras por tonelada, si en estudios anteriores se obtuvo una
varianza de la capacidad calrica igual a 0,09 (miles de millones de caloras por
tonelada)2?
13.3) Verifique, con 5% de significacin, si la capacidad calrica promedio del carbn de la
mina 1 es superior a la capacidad calrica promedio del carbn de la mina 2.
13.4) Se afirma que la capacidad calrica del carbn de la mina 1 es de a lo menos 8,3 miles de
millones de caloras por tonelada. Qu opina usted con 5% nivel de significacin?
13.1) Solucin: Sea:
= Capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de la mina 1; ~ (; 2)
= Capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de la mina 2; ~ (; 2)
Ya que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar el
intervalo confidencial:
()1 = ( 1 2
)
Con: 1 = 0,95 ; = 35 ; =25
35 ; =
10
35
Reemplazando, obtenemos:
()0,95 = (25
35 0,975
25
35
10
35
35) ; 0,975 = 1,96
()0,95 = (25
35 1,96
25
35
10
35
35)
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
()0,98 = [0,5846; 0,840]
Respuesta: El intervalo [0,5846; 0,840] tiene un 98% de probabilidad de contener a la proporcin de
carbn con capacidad calrica de a lo ms 8,3 miles de millones de caloras en la mina 1.
13.2) Solucin: El problema nos proporciona la siguiente informacin:
1 = 0,98; 0,1; 2 = 0,09; = 0,3
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 156 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la frmula de error est dada por:
= 1 2
Reemplazando, tenemos:
0,1 0,99 0,3
2,33
0,3
0,1 48,86 49
Respuesta: El tamao necesario para el problema es como mnimo 49.
13.3) Solucin: Procedemos a determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de
ambas muestras:
Para Mina I: = 35; = 8,23 ; = 0,12553
Para Mina II: = 25; =
=
204,85
25= 8,194
=
2 2
1=
2
( )2
1=
1680,76 204,852
25
24= 0,304
En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
0,3042
0,125532= 5,8648
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):
( 1; 1;
2)
= (24; 34; 0,025) =1
(34; 24; 0,975)
1
(30; 24; 0,975)=
1
2,2090= 0,452
( 1; 1; 1
2)
= (24; 34; 0,975) (24; 30; 0,975) = 2,1359
La Regin Crtica:
= { | < (24; 34; 0,025) > (24; 34; 0,975) } = { | < 0,452 > 2,1359 }
Resultado: Debido a que , hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas muestras son diferentes.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, contrastamos las siguientes hiptesis:
0: = 1: >
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 157
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
= ( )
2
+
2
=8,23 8,194 0
0,125532
35+
0,3042
25
= 0,5590
Despus para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente frmula:
=(
2
+
2
)
2
(
2
)
2
1+
(
2
)
2
1
=(
0,125532
35+
0,3042
25)
2
(0,125532
35)
2
351+
(0,3042
25)
2
251
= 29,89 29
Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | > (; 1 )} = { | > (29; 0,95)} = { | > 1,6991}
Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis
nula con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que la capacidad calrica del carbn de la
mina 1 no supera a la capacidad calrica del carbn de la mina 2.
13.4) Solucin: Las hiptesis a contrastar son:
0: 8,31: < 8,3
Luego, como desconocemos la varianza el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:
= 0
: = 35; = 8,23 ; = 0,12553 =8,23 8,3
0,1255
35
= 3,3
La Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | < (1; 1 )} = { | < (34; 0,95)} = { | < 1,6909}
Respuesta: Debido a que , existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, con un
5% de significacin, es decir, la capacidad calrica del carbn de la mina 1 es inferior a 8,3 mil millones
de caloras por tonelada.
14.- Una empresa de telecomunicaciones realiz un estudio a fin de comparar el trfico mensual
de los clientes que han tomado los planes A B y conocer la opinin de stos respecto de los
servicios prestados por la empresa.
Para este efecto, tom de cada plan, una muestra aleatoria de 121 clientes. La informacin
recolectada, se presenta a continuacin:
Plan A
Tiempo (min) 60 a 100 100 a 140 140 a 180 180 a 220 220 a 260
N de clientes 13 32 30 27 19
Plan B
Tiempo (min) 120 a 156 156 a 192 192 a 228 228 a 264 264 a 300
N de clientes 20 26 33 30 12
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 158 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Adems 98 clientes del plan A y 80 del plan B evaluaron satisfactoriamente los servicios
prestados por la empresa.
14.1) Estime, con un nivel de confianza del 95% el tiempo medio de trfico de los clientes del
plan B.
14.2) Con un nivel de significacin del 5%, Aceptara Ud. La hiptesis que la diferencia de los
tiempos medios de trfico, de los clientes del plan B con respecto a los clientes del plan
A, supere los 30 minutos?
14.3) Si el Gerente de la empresa se plante la hiptesis: el porcentaje de clientes que evala
satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos planes,
Qu concluye, si utiliz un nivel de significacin del 1%?
14.4) Docime la hiptesis de que el tiempo de trfico de los clientes del plan A, es una v.a. con
distribucin normal de varianza 2500 (min2).
14.1) Solucin:
Sea: = Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en minutos; ~ (; 2)
= Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan B, en minutos; ~ (; 2)
Lo primero ser calcular el tamao, media y desviacin estndar de cada muestra dada:
Para A Para B
= 162,3140 = 49,8792 = 206,4296 = 44,4336
Dado que el problema nos pide estimar el tiempo medio de trfico de los clientes del plan B, utilizaremos
la siguiente frmula para poder determinarlo
()1 = ( (1;1
2)
) : 1 = 0,95
Evaluando:
()0,95 = (206,4296 (120;0,975) 44,4336
121) : (120;0,975) = 1,9799
()0,95 = (206,4296 1,9799 44,4336
121)
()0,95 = [198,4319; 214,4272]
Respuesta: El intervalo [198,4319; 214,4272] tiene un 95% de probabilidad de contener el tiempo
medio de trfico de los clientes del plan B.
60 100 80 13 120 156 138 20 100 140 120 32 156 192 174 26
140 180 160 30 192 228 210 33
180 220 200 27 228 264 246 30 220 260 240 19 264 300 282 12
= 121 = 121
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 159
14.2) Solucin: En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas
muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
49,87922
44,43362= 1,2601
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):
(1; 1;
2)
= (120; 120; 0,025) =1
(120; 120; 0,975)=
1
1,4327= 0,697
(1; 1; 1
2)
= (120; 120; 0,975) = 1,4327
La Regin Crtica:
= { | < (120; 120; 0,025) > (120; 120; 0,975) } = { | < 0,697 > 1,4327 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, contrastamos las siguientes hiptesis:
0: 301: > 30
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:
= ( )
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (120) 44,43362 + (120) 49,87922
121 + 121 2= 47,235
=206,4296 162,3140 30
47,2351
121+
1
121
= 2,3244
Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | > (; 1 )} = + 2 = 240
= { | > (240; 0,95)}
Ya que este valor no se encuentra explcitamente en la tabla, tenemos que interpolar:
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 160 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
1,6499 1,6525
300 200=
1,6525
240 200
0,0026
100=
1,6525
40
=0,0026 40
100+ 1,6525
= 1,6515
(240; 0,95) = 1,6515
= { | > (240; 0,95)} = { | > 1,6515}
Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula
con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que la diferencia media de los tiempos de trfico
de los clientes del plan B con respecto a los clientes del plan A, supera los 30 minutos.
14.3) Solucin: Ya que el ejercicio nos entrega la cantidad de clientes, de cada plan, que evala
satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa, podemos determinar las proporciones
respectivas de las muestras:
=98
121 =
80
121 =
98 + 80
121 + 121=
178
242= 0,7355
Definimos las hiptesis a contrastar
0: = 1:
El estadstico de prueba est dado por:
=
(1
+
1
)
=
98
121
80
121
(0,7355)(0,2645) (1
121+
1
121)
= 2,6234
El Punto Crtico corresponde a: 1 2
= 0,995 = 2,575
La Regin Crtica (Con = 0,01):
= { | < 1 2 > 1
2 } = { | < 2,575 > 2,575}
Respuesta: Como , se llega a la conclusin que existe suficiente informacin para rechazar la
hiptesis nula con un 1% de significacin, o sea, el gerente de la empresa no se encontraba en lo
correcto cuando planteaba que el porcentaje de clientes que evala satisfactoriamente los servicios
prestados por la empresa es igual en ambos casos.
14.4) Solucin: Sea: = Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en min.
Con: = 162,31 ; 2 = 2500; = 50
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 161
Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ (; 2 = 2500)
1: ~ (; 2 = 2500)
Nota: Debido a que el ejercicio no nos entrega los grados de libertad se = 0,05
Luego, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los nmeros del conjutno de los reales,
es decir, desde el al +, donde tambin se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de
cada uno de ellos:
En seguida, como se debe cumplir que > 5, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo
sumando las dos primeras filas y las dos ltimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
() = () 13 0,3062 12,77 32 0,2208 26,72 30 0,3104 37,56 27 0,2381 28,81 19 0,1251 15,14
= 121 () = 1 = 121
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2
= ( )
2
=
(13 12,77)2
12,77+
(32 26,72)2
26,72+
(30 37,56)2
37,56+
(27 28,81)2
28,81+
(19 15,14)2
15,14
2
= 3,667
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2 > 1;
2 } Con: = 1 = =
Debido a que ocupamos el estimador de la media, el valor de es igual a uno y el nmero de filas
despus de la modificacin es cinco, por lo tanto, reemplazando tenemos:
= { |2 > 1 ; 3
2 }
1
1 () = ()
60 < 60162,31
50 < 2,05
f(2,05) = 0,0202
0,0202 2,44
60 100 13 60 162,31
50;
100 162,31
50 2,05; 1,25
f(1,25) f(2,05) = 0,1056 0,0202
0,0854 10,33
100 140 32 100 162,31
50;
140 162,31
50 1,25; 0,45
f(0,45) f(1,25) = 0,3264 0,1056
0,2208 26,72
140 180 30 140 162,31
50;
180 162,31
50 0,45; 0,35
f(0,35) f(0,45) = 0,6368 0,3264
0,3104 37,56
180 220 27 180 162,31
50;
220 162,31
50 0,35; 1,15
f(1,15) f(0,35) = 0,8749 0,6368
0,2381 28,81
220 260 19 220 162,31
50;
260 162,31
50 1,15; 1,95
f(1,95) f(1,15) = 0,9744 0,8749
0,0995 12,04
260 >260162,31
50 > 1,95
1 f(1,95) = 1 0,9744
0,0256 3,1
= 121 1 121
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 162 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Ya que el valor del nivel de confianza no es entregado por el ejercicio, tenemos que interpolar para
determinarlo:
0,75 0,25
0,25=
4,108 1,213
3,667 1,213
0,50
0,25=
2,895
2,454
=0,50 2,454
2,895+ 0,25
= 0,69
1 = 0,69
Resultados:
Caso 1: La hipotesis nula se rechaza si 2 1 < 0,69 > 0,31
Caso 2: La hipotesis nula no se rechaza si 2 1 > 0,69 < 0,31
Considerando que el nivel de significacin debe ser el menor posible para que la estimacin sea
adecuada, por lo que es correcto elegir el caso 2, ya que as se cumple lo antes expuesto.
Respuesta: Ya que 2 1 > 0,69, es decir, no existe informacin suficiente para
rechazar la hipotesis nula, por lo tanto, el tiempo de trfico de los clientes del plan A se distribuye
normalmente con varianza igual a 2500 min2.
15.- En el mercado existen dos tipos de plsticos (A y B), los que son utilizados en la fabricacin
de diversos artculos. Una variable importante que se maneja es su tensin de ruptura (en psi)
y por lo tanto se ha diseado un experimento para medir la variable en ambos tipos. Los
resultados en 41 ensayos de plstico A fueron los siguientes:
Tensin de Ruptura 144 a 150 150 a 156 156 a 162 162 a 168
5 12 16 8
Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensin a la ruptura en el plstico B, se
obtuvo un promedio de 154 psi con desviacin estndar de 5,2 psi.
15.1) Considerando un nivel de significacin del 5% y la informacin que entregan los datos.
Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quin seala
que el valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi?
15.2) El ingeniero de procesos tiene la sospecha que el plstico A tiene una tensin media a la
ruptura ms alta de lo que se observa para el plstico B. Admitiendo como vlidos los
supuestos de normalidad de las variables en estudio y considerando un niel de
significacin del 5% Qu puede concluir usted respecto de la sospecha del ingeniero de
procesos?
15.3) Con un nivel de significacin del 2,5% Muestran los datos la evidencia suficiente para
corroborar que efectivamente la distribucin de probabilidad de la tensin a la ruptura
del plstico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi)2.
15.4) Con un 5% de nivel de significacin, es posible corroborar que ms de un 30% de las
unidades del plstico A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi?
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 163
15.1) Solucin: Sea: = Tensin de ruptura del tipo de plsticos A, en psi; ~ (; 2)
= Tensin de ruptura del tipo de plsticos B, en psi; ~ (; 2)
Para :
= 156,95 = 5,63 = 41
Para :
= 154 = 5,2 = 25
Las hiptesis a contrastar son:
0: = 155,51: 155,5
Luego, como desconocemos la varianza el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:
= 0
: = 41; = 156,95 ; = 5,63 =156,95 155,5
5,63
41
= 1,65
La Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | < (1; 1
2)} = { | < (40; 0,975)} = { | < 2,0211}
Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es
decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que seal que
el valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi, con un 5% de significacin.
15.2) Solucin: Debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
0: 2 =
2
1: 2
2
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
2
2 =
5,632
5,22= 1,1722
Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):
(1; 1;
2)
= (40; 24; 0,025) =1
(24; 40; 0,975)=
1
2,0069= 0,4928
(1; 1; 1
2)
= (40; 24; 0,975) = 2,1460
La Regin Crtica:
= { | < (40; 24; 0,025) > (40; 24; 0,975) } = { | < 0,4928 > 2,1460 }
Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.
1 144 150 147 5 150 156 153 12 156 162 159 16 162 168 165 8
= 41
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 164 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:
0: = 1: >
Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:
=
1
+
1
= ( 1)
2 + ( 1)2
+ 2
Reemplazando, obtenemos:
= (41 1) 5,632 + (25 1) 5,22
41 + 25 2= 5,4727 ; =
156,95 154
5,4727 1
41+
1
25
= 2,1243
Finalmente, la Regin Crtica:
= { | > (; 1 )} = + 2 = 64
= { | > (64; 0,95)} = { | > 1,6690}
Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es
decir, las sospechas del ingeniero de proceso estn en lo correcto, ya que por los resultados obtenidos
el plstico A tiene una tensin media a la ruptura ms alta de lo que se observa para el plstico B.
15.3) Solucin: Las hiptesis a contrastar son (Con = 0,025):
0: ~ ( = 155,5; 2 = 25)
1: ~ ( = 155,5; 2 = 25)
Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos que
abarcan todos los nmeros del conjunto de los reales, es decir, desde el al +, donde tambin se
adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:
1
1 () = ()
144 < 144 155,5
5 < 2,3
f(2,3) = 0,0107
0,011 0,45
144 150 5 144 155,5
5;
150 155,5
5 2,3; 1,1
f(1,1) f(2,3) = 0,1357 0,0107
0,125 5,13
150 156 12 150 155,5
5;
156 155,5
5 1,1; 0,1
f(0,1) f(1,1) = 0,5398 0,1357
0,404 16,56
156 162 16 156 155,5
5;
162 155,5
5 0,1; 1,3
f(1,3) f(0,1) = 0,9032 0,5398
0,363 14,88
162 168 8 162 155,5
5;
168 155,5
5 1,3; 2,5
f(2,5) f(1,3) = 0,9938 0,9032
0,091 3,73
168 >168 155,5
5 > 2,5
1 f(2,5) = 1 0,9938
0,006 0,25
= 41 1 41
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 165
En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que > 5, por
lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las
tres ltimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
() = () 5 0,136 5,58
12 0,368 16,56 24 0,496 18,86
= 41 () = 1 = 41
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2
= ( )
2
=
(5 5,58)2
5,58+
(12 16,56)2
16,56+
(24 18,86)2
18,86= 2,717
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2
> 1;2 } Con: = 1
= =
Debido a que no se utiliza ningn estimador, el valor de es igual a cero y el nmero de filas despus
de la modificacin corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
= { |2
> 0,975;22 } = { |
2
> 7,378}
Respuesta: Como 2
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la
tensin a la ruptura del plstico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una
varianza de 25 psi2, con un nivel de significacin de 0,025.
15.4) Solucin: Sea: = Proporcin de las unidades del plstico A que presentan una tensin a la
ruptura superior a 160 psi
Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de frmula de percentil, como se ve a
continuacin:
= 1 + (
100 1
)
160 = 156 + 6 (
41
100 17
16) = 67,48%
=100 67,48
100= 0,3252
Luego, las hiptesis a contrastar son:
0: = 0,31: > 0,3
1 144 150 5 5 150 156 12 17 156 162 16 33 162 168 8 41
= 41
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 166 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
El estadstico de prueba est dado por:
= 0
0 0
=0,3252 0,3
0,30,7
41
= 0,7266
La Regin Crtica (Con = 0,05):
= { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}
Respuesta: Como , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula con un 5%
de significacin, es decir, no se puede corroborar que ms de un 30% de las unidades del plstico tipo
A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi.
16.- En un hospital, el nmero de nacimientos observados para cada mes de cierto ao, fueron
los siguientes:
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
95 105 95 105 90 95
Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
105 110 105 100 95 100
Si = , , Existe alguna razn para creer que el nmero de nacimietnos no se encuentra
distribuido en forma uniforme durante todo los meses del ao?
16) Solucin: Sea: = Mes en que ocurre el nacimiento en un hospital
Las hipotesis a contrastar son: 0: ~ [1; 12]1: ~ [1; 12]
La frecuencia esperada se calcula con la siguiente frmula:
= = 1200 ; =1
=
1
12 = 100
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2
= ( )
2
=
(95 100)2
100+
(105 100)2
100+
(95 100)2
100+
(105 100)2
100+
(90 100)2
100+
(95 100)2
100
+(105 100)2
100+
(110 100)2
100+
(105 100)2
100+
(100 100)2
100+
(95 100)2
100+
(100 100)2
100= 4
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2 > 1;
2 }
Con: 1 = 0,99; = 1 = =
Debido a que no ocupamos algn estimador, el valor de es igual a cero, por lo tanto, reemplazando
tenemos:
= { |2 > 0,99; 11
2 } = { |2 > 24,725}
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 167
Respuesta: Como 2 , por lo tanto no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis nula,
es decir, se concluye que no existe razn para rechazar que el nmero de nacimientos se encuentra
distribuido en forma uniforme durante todo los meses del ao.
17.- El encargado de control de calidad de una empresa exportadora revis al azar un conjunto
de 700 cajas, registrando el nmero de unidades defectuosas encontradas en cada caja,
obteniendo la siguiente informacin:
N de defectuosos 0 1 2 3
N de cajas 542 140 10 8
Si histricamente la cantidad de defectuosos por caja, se ha comportado de acuerdo a un
modelo binomial de parmetros = y = , . Evale usted si la evidencia muestral permite
corroborar que la variable en cuestin persiste en comportarse de acuerdo al modelo histrico,
con nivel de significacin igual a 0,05.
17) Solucin: Sea: = Nmero de unidades defectuosas por caja
Las hiptesis que nos interesan contrastar son:
0: ~ ( = 3; = 0,08)
1: ~ ( = 3; = 0,08) Con = 0,05
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye
de forma binomial, como se ve a continuacin:
() = {(
) ; = 0,1,2,3
0 () = {
(3
) (0,08) (0,92)3 ; = 0,1,2,3
0
() = ()
0 542 (30
) (0,08)0 (0,92)3 = 0,7787 545,09
1 140 (31
) (0,08)1 (0,92)2 = 0,2031 142,17
2 10 (32
) (0,08)2 (0,92)1 = 0,0177 12,39
3 8 (33
) (0,08)3 (0,92)0 = 0,0005 0,35
= 700 1 700
En seguida, como se debe cumplir que > 5, se procede a modificar la tabla, lo que se hace sumando
las dos ltimas filas, como se muestra ahora:
() = ()
542 0,7787 545,09 140 0,2031 142,17 18 0,0182 12,74
= 700 () = 1 = 700
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 168 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2 =
( )2
=
(542 545,09)2
545,09+
(140 142,17)2
142,17+
(18 12,74)2
12,74= 2,2223
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2 > 1;
2 }
Con: 1 = 0,95; = 1 = =
Debido a que no ocupamos ningn estimador, el valor de es igual a cero, y el nmero de filas despus
de la modificacin es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
= { |2 > 0,95;2
2 } = { |2 > 5,991}
Respuesta: Como 2 , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar que la
cantidad de defectuosos por caja sigue el modelo histrico, o sea, distribucin binomial con tamao de
la muestra 3, y probabilidad de xito igual a 0,08, con un nivel de significacin de 0,05.
18.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parsitos en la
produccin de doradas. Para ello, se tom una muestra de 5 individuos cada da, repitiendo el
experimento durante 550 das. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos
de ellos contenan parsitos. Se ajusta a un modelo de distribucin Binomial con 5% de
significacin?
= N de individuos con parsitos 0 1 2 3 4 5 Frecuencia Observada 17 81 152 180 104 16
18) Solucin: Sea: = Nmero de individuos con parsitos
Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de , procedemos estimar el valor:
=
=
0 27 + 1 81 + 2 152 + 3 180 + 4 104 + 5 16
550=
1421
550= 2,584
Adems, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribucin binomial est
dada por la siguiente frmula, teniendo cuidado con el es el nmero de veces que se repite el
experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:
= =
=
2,584
5= 0,517
Las hiptesis que nos interesan contrastar son:
0: ~ ( = 5; = 0,517)
1: ~ ( = 5; = 0,517)
Con = 0,05
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 169
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye
de forma binomial, como se ve a continuacin:
() = {(
) ; = 0,1,2, ,5
0 () = {
(5
) (0,517) (0,483)5 ; = 0,1,2, ,5
0
() = ()
0 17 (50
) (0,517)0 (0,483)5 = 0,026 14,3
1 81 (51
) (0,517)1 (0,483)4 = 0,141 77,55
2 152 (52
) (0,517)2 (0,483)3 = 0,301 165,55
3 180 (53
) (0,517)3 (0,483)2 = 0,322 177,1
4 104 (54
) (0,517)4 (0,483)1 = 0,173 95,15
5 16 (55
) (0,517)5 (0,483)0 = 0,037 20,35
= 550 () = 1 = 550
Ya que todos los sucesos cumplen con > 5, la tabla no se modifica.
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2
= ( )
2
=
(17 14,3)2
14,3+
(81 77,55)2
77,55+
(152 165,55)2
165,55+
(180 177,1)2
177,1+
(104 95,15)2
95,15+
(16 20,35)2
20,35
2
= 3,573
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2 > 1;
2 }
Con: 1 = 0,95; = 1 = =
Debido a que utilizamos el estimador de , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas es seis,
por lo tanto, reemplazando tenemos:
= { |2 > 0,95; 4
2 } = { |2 > 9,488}
Respuesta: Como 2 , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la
hipotesis nula, es decir, el nmero de individuos con parsitos se distribuye en forma binomial, con un
nivel de significacin de 0,05.
19.- Se propone que el nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una
distribucin Poisson. Se rene una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se
observa el nmero de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:
= Nmero de defectos Frecuencias observadas 0 32
1 15
2 9
3 o ms 4
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Pgina 170 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas
Evale si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una
distribucin Poisson, con un nivel de significacin igual a 0,05.
19) Solucin: Sea: = Nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso
Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ ()
1: ~ ()
Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos
tabulados:
= =
=
0 32 + 1 15 + 2 9 + 3 4
60=
3
4= 0,75
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una
distribucin Poisson, como se ve a continuacin:
() = {
! ; = 0,1,2,
0
() = {0,75 (0,75)
! ; = 0,1,2,
0
() = ()
0 32 0,75 (0,75)0
0!= 0,4724 28,344
1 15 0,75 (0,75)1
1!= 0,3543 21,258
2 9 0,75 (0,75)2
2!= 0,1329 7,974
3 4 1 ( < 3) = 0,0404 2,424
= 60 () = 1 = 60
Puesto que la frecuencia esperada en la ltima celda es menor que 5, se combinan las dos ltimas
filas.
= ()
0 32 28,344 1 15 21,258
2 13 10,398 = 60 = 60
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2 =
( )2
=
(32 28,344)2
28,344+
(15 21,258)2
21,258+
(13 10,398)2
10,398= 2,965
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:
= { |2 > 1;
2 }
-
7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos
ANLISIS ESTADSTICO
Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 171
Con: 1 = 0,95; = 1 = =
Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas despus de
la modificacin es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
= { |2 > 0,95;1
2 } = { |2 > 3,841}
Respuesta: Como 2 , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que el
nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribucin Poisson.
20.- El duracin (X) en meses, de cierto dispositivo se considera una variable aleatoria. En una
muestra elegida al azar de 80 dispositivos, se obtuvo la siguiente informacin:
Duracin (X) < 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 n de dispositivos 34 20 14 8 3 1
Los datos de la muestra dan evidencia suficiente para concluir que la duracin mensual de los
dispositivos se distribuye exponencial, con parmetro = 0,3 con un 5% de confianza
20) Sea: = Duracin de cierto dispositivo, en meses
Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ ( = 0,3)
1: ~ ( = 0,3)
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una
distribucin exponencial, como se ve a continuacin:
() = {1 0,3 ; > 0
0
() = () < 2 34 1 0,3 2 = 0,4512 36,096
2 4 20 1 0,3 4 [1 0,3 2] = 0,2476 19,808
4 6 14 1 0,3 6 [1 0,3 4] = 0,1359 10,872 6 8 8 1 0,3 8 [1 0,3 6] = 0,0746 5,968
8 10 3 4
1 0,3 10 [1 0,3 8] = 0,0409 3,272 7,256
10 1 1 [1 0,3 10] = 0,0498 3,984 = 80 () = 1 = 80
Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:
2 =
()2
=
(3436,096)2
36,096+
(2019,808)2
19,808+
(1410,872)2
10,872+
(85,968)2
5,968+
(47,256)2
7,256= 3,1765
Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma: ( = 1 ; = 0,05)
= { |
2> 1;
2} = { |
2> 0,95;501
2} = { |
2> 9,488}
Respuesta: Como 2
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis
nula, por esto se asume que la duracin mensual de los dispositivos se distribuye exponencial, con
parmetro = 0,3 y = 0,05.