interes_compuesto

MatemáticaFinancieraMatemáticaFinanciera

CienciasAdministrativas

CienciasAdministrativas

Interés Interés CompuestoCompuesto

Interés Interés CompuestoCompuesto

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra

Interés CompuestoInterés Compuesto

SUPUESTO LOGICO

Un capital P, invertido en un momento cualquiera puede crecer durante intervalos iguales a una

tasa constante.

Mate

máti

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cie

raM

ate

máti

ca F

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cie

ra


Los intereses se capitalizan, es

decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.

Capital

Intereses

Capital+

Intereses

DEFINICION

Mate

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ate

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inan

cie

ra


Periodo

C. Inicial(P)

Intereses(I) C. Final (F)

1 1.000 100 1.100

10%

2 1.100 110 1.210

3 1.210 121 1.331

4 1.331 133,10 1.464,10

5 1.464,10 146,41 1.610,51

Mate

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inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Periodo C. Inicial(P)

Intereses(I) C. Final (F)

1 P Pi P(1+i)

10%

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2

iP(1+i)3

. ...... ....... ........

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n

Mate

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cie

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Características

Los intereses devengan intereses

Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización

Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo

La equivalencia de capitales es perfecta

Mate

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cie

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ate

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cie

ra


P: Valor Presente o capital InicialF: Valor Futuro o Monto finalI: Interesesi: tasa del periodon: nº de periodosk: Frecuencia de la capitalización

Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los

intereses

Elementos

Mate

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ate

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Frecuencia de capitalización (k)

Número de veces que se capitalizan los intereses al año.

¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de

interés anual convertible cuatrimestralmente?

3re)cuatrimest un (en meses 4

año) 1 en meses( 12K

La frecuencia es 3

Mate

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cie

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ate

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ca F

inan

cie

ra


NOTACION Y FORMULAS

i = Tasa del periodo de capitalizaciónP = Valor presente o capital invertidoI = Intereses devengados.n = Nº de periodos de capitalizaciónF = Valor futuro o Monto final

F = P(1+i)n

I = P((1+i)n-1) P = F(1+i)-n

Mate

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inan

cie

ra


VALOR FUTURO COMO FUNCION DEL TIEMPO

F = P(1 + i)n

2

P

V.Futuro

Tiempo 1

I2

I1

Mate

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cie

ra


GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

F = P(1 + i)n

P

V.Futuro

Tiempo 1

F = P(1 + i*n)

Mate

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inan

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ra


¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? R: 1.425.760

¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

Ejercicio Ejercicio Nº1Nº1

Mate

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TASAS

Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera

Proporcional odel periodo:ip

ki

cap. frecuencianominal tasa

ip

Efectiva: ieTasa real deganancia anual 1)

ki

1(i ke

Mate

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ra


¿Cual es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal anual convertible

trimestralmente durante dos años?

R:26,25% anual


Mate

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ra


TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final

Tasa nominal: iFrecuencia anual: k

Tasa nominal:jFrecuencia anual: p

pk )pj

1()ki

1(

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inan

cie

ra


Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente.

R: 64,65%


Mate

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inan

cie

raM

ate

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ca F

inan

cie

ra


Hallar la tasa efectiva anual equivalente a 48% nominal anual capitalizable

mensualmente(nacm)

R: 60,10%


Mate

máti

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inan

cie

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cie

ra


Ejercicio 5 :: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:

Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización

Tasa Tasa del del

periodoperiodo

Tasa Tasa efectivefectiv

aa

Capital Capital FinalFinal

Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral

Anual

Semestral

Cuatrimestral

Trimestral

Bimestral

Mensual

Quincenal

Diaria

Mate

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inan

cie

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La equivalencia de capitales es perfecta1.000

0 1 2

1.2101.100

2)1,01( 10001210

)1,01(10001100

)1,01(11001210

1000 hoy es equivalente a 1210 dentro de dos periodos.

1000 hoy es equivalente a 1100 dentro de un periodo.

1100 dentro de un periodo es equivalente a 1210 dentro de

dos periodos.

Mate

máti

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inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


2t

2 )i1(PP P hoy es equivalente a P2 en t2

P

0 t1 t2

P2 P1

La equivalencia de capitales es perfecta

1t1 )i1(PP P hoy es equivalente a P1 en t1

P1 en t1 es equivalente a P2

en t2

12

21

tt12t

2t

1 )i1(PP)i1(

PP

)i1(

P

Mate

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inan

cie

ra


VALOR PRESENTE

¿Cuánto debo invertir hoy para obtener mañana una suma de F ? P = Valor presente de F

F = P(1 + i)n n)i1(

FP

F

Tiempo

ValorPresente

Mate

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


PERIODOS PERIODOS FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS

Convenio lineal

Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con

la tasa equivalente

Convenio exponencia

l

Los intereses de la fracción se

calculan a interés simple

Mate

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cie

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máti

ca F

inan

cie

ra


Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre?

R: 4.526 $


Mate

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cie

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Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación.

R: 2.000.000 ; 26,51%


Mate

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cie

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En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.

R: 12.552.332


Mate

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ca F

inan

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Se invierten 100.000 a una determinada tasa nominal anual capitalizada semestralmente para que al transcurrir 12 años se obtenga como capital final el monto de 1.517.862,89. Si al final de cada 3 años, a lo largo de toda la operación financiera, la tasa nominal anual se reduce en 2%, determine las cantidades adicionales iguales a ser colocadas en los años 5 y 9 para seguir disponiendo del mismo capital final.

R : 78.867


Mate

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Un inversionista coloca su capital a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9 es 177.808,86. Determine el capital acumulado al final de los 15 años.

R: 1.867.918


Mate

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inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº1 F = P(1+i)n

P: 1.000.0000,36

0,03 12

i mensual

n = 12 mesesF = 1.000.000(1+0,03)12 = 1.425.760,89

Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89

Mate

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inan

cie

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ate

máti

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inan

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La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso,

Solución Nº2

82

e

82

e

44

e e

0,24F = 1.000.000 1+ 1.000.000(1 i )

4

0,241+ (1 i )

4

0,241+ (1 i ) i (1 0,06) 1 0,2625

4

Tasa efectiva de 26,25%

anual

Mate

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ca F

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cie

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máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº3 3 12

i 0,601+ = 1+ i 0,6465

3 12

Tasa: 64,65% nominal anual capitalizableCuatrimestralmente.

En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente

Mate

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ca F

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ca F

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Solución Nº4

12

e e

0, 481+ = 1+i i 0,6010

12

Tasa efectiva anual de 60,10%

Mate

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ca F

inan

cie

ra


Solución 5:: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:

Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización

Tasa Tasa del del

periodoperiodo

Tasa Tasa efectivefectiv

aa

Capital Capital FinalFinal

Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral

Anual 36% 36% 1.360 31.96% n.a.

Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a.

Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a.

Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a.

Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a.

Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a.

Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a.

Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº6

10

5.000P 4.526, 43

0,121

12

Necesita depositar 4.526,43 $

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº7 9 4 2 5

0,20 0,30 0,27 0,246P 1+ 1+ 1+ 1+ = 4.049.457,14

2 12 3 4

P = 2.000.00032.000.000(1+i) = 4.049.457,14

i = 26,51%

El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%

Mate

máti

ca F

inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº8100.000

0200.000

5

500.000

10

14

X

20

7

18%

12*20 12*7 4*130, 30 0, 30 0,18

100.000 1 100.000 1 112 12 4

12*2 4*13 4*100, 30 0,18 0,18

200.000 1 1 500.000 112 4 4

4*60,18

x 1 x 12.552.332,124

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº9

24

i = tasa n.a.c.s.

i100.000 1+ =1.517.862,89

2

i = 24 %

Diagrama Temporal:

100.000

0 39

12

X

65

X

24% 22% 20% 18%

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº9

3*2 3*2 3*2 3*2

2 6 6 6

0,24 0,22 0,20 0,18100.000 1 1 1 1

2 2 2 2

0,22 0,20 0,18 0,18x 1 1 1 x 1 1.517.862,89

2 2 2 2

x 78.867,68

Debe colocar Bs. 78.867,68

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº10 Diagrama Temporal:

0 6

8 9 151

9 trimestres

510.322P86.808.1771420,0

1P 6

9

6

6,918.867.1420,0

1510.322P4*9

15

Al final de los 15años tendrá un capital de Bs. 1.867.918,60

interes_compuesto

Documents

hoy es equivalente

p2 en t2

1100 dentro

tasa nominal

inters compuesto

frecuencia

25 anual

intereses