Matemáticas

Karla Viviana Aguilar

Interés Compuesto

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“El interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].

En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.

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El interés compuesto se usa principalmentepara operar los depósitos en los bancosy en las asociaciones de préstamos yahorros.

Cuando se deposita el dinero en un banco,el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin deganar intereses, es decir, está invirtiendosu dinero.

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Es importante observar en esta acumulación(capital más los intereses del período), quelos intereses de cada período no son pagadossino al finalizar el plazo establecido para lainversión.

El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión.

IC = Monto Compuesto - Capital

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El período convenido para convertir elinterés en capital se llama período decapitalización o período de conversión.

La expresión: “período de capitalizaciónsemestral”, significa que el interés gene-rado se capitaliza; es decir, se suma alcapital, al término de cada 6 meses.

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Al igual que en el interés simple, la tasade interés dada en un problema de interéscompuesto será una tasa anual, exceptoque se diga lo contrario.

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Matemáticamente:

Primer semestre(C + Ci)

Segundo semestre(C+Ci) + (C+Ci) i factorizando

(C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i)2

Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto:

MC = C(1+i)n

interés delperíodo

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Tasa de interés nominal y efectiva

La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera.

La tasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.

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Problemas

• Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 año.

• Determine el interés compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 años con interés capitalizable en forma trimestral.

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Solución al primer problema

Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual

Tasa efectiva: 9%/12 = 0.0075 % Períodos: 12

MC = C(1+i)n MC=1,000(1+0.0075)12

MC = 1,000(1.093806) = $1,093.81

Interés Compuesto = MC – Capital

Interés Compuesto = 1,093.81 – 1,000 = $93.81

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Solución al segundo problema

Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral

Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48

MC = C(1+i)n MC =3,000(1+0.02)48

MC = 3,000(2.587070) = $7,761.21

Interés Compuesto = MC – Capital

Interés Compuesto = 7,761.21 – 3,000 = $4,761.21

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Problema con cambio de tasa durante elperíodo de inversión

Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Después de dos años y medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en forma mensual. Determínese el interés y el monto compuesto al finalizar los 6 años.

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Solución utilizando una escala de tiempo1

1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977]

C

10

MC1

42

MC2

1 ……..Trimestres Meses

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C

10

MC1

42

MC2

1 ……..Trimestres Meses

MC1 = C (1+ 0.02)10

MC1 = 5000 (1.218994)

MC1 = $6,094.97

MC2 = 6,094.97 (1 + 0.006666)42

MC2 = 6,094.97 (1.3219)

MC2 = $8,056.94

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El monto compuesto al final delsexto año es:

$8,056.94

El interés compuesto generadopor la inversión es de:

IC = MC2 – C

IC = 8,056.94 – 5,000 = $3,056.94

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Tasa de interés efectiva(ie)

También conocida como tasa efectiva, sedefine como la tasa de interés simple queproduciría el mismo interés en un año quela tasa nominal capitalizada “m” períodos alaño.

Matemáticamente:

ie = (1 + i/m)m -1

donde, ie= tasa efectiva i = tasa nominal m = número de períodos de capitalización en un año

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• Suponga que un inversionista deposita $1,000 en un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva al final de un año?

Tasa nominal: 10% períodos: 12Tasa efectiva por período: 0.10/12 =0.008333

Valor nominal compuestoal final del año: (1+0.0083333)12 = 1.104712Valor tasa nominal compuesta: 10.47%

Tasa efectiva ie = (1 + i/m)m -1 ie = (1 + 0.10/12)12-1

ie =1.104712 – 1 = 0.104712 ie = 10.47%