SESIÓN 3

INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO .- DEFINICIÓN Y FACTORES.

CÁLCULO DEL MONTO, PRINCIPAL,INTERÉS, PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN. CUANDO LA TASA EFECTIVA ES FIJA Y VARIABLE.

INTERÉS COMPUESTO EN FUNCIÓN AL PRINCIPAL Y AL MONTO.

TASA EFECTIVAS. EQUIVALENCIA DE TASAS EFECTIVAS.

ECUACIONES DE VALOR.

COMPETENCIA

CONCEPTUAL: Identificar los factores que intervienen en el cálculo del Interés Compuesto. Calcula en base a los factores que presenta el problema. Interpreta resultados llegando a conclusiones razonables.PROCEDIMENTAL: Maneja convenientemente las diferentes fórmulas que transforman el dinero mediante el régimen a interés compuesto. Utiliza convenientemente la herramienta de cálculo. Resuelve los problemas planteados.ACTITUDINAL Asume el compromiso de seguir practicando dentro y fuera de clase. Valora los conocimientos adquiridos y su aplicación en el mundo real.

OBJETIV0S: INTERÉS COMPUESTO Diferenciar los factores que intervienen en el cálculo del Interés

Compuesto: S, P, n, i ( Tasa Efectiva), j (Tasa Nominal).

Uniformizar correctamente las unidades de tiempo en las que deben estar la Tasa efectiva – períodos de capitalización.

Deducir correctamente las fórmulas que se deriven del Interés Compuesto.

Manejo conveniente de los diagramas Tiempo- Valor , Flujos de caja.

Plantear y resolver las Ecuaciones Equivalentes.

Adquirir la destreza y habilidad para los cálculos de los factores: Monto o Valor Futuro, Capital o Valor Actual, Tasa efectiva - Tasa Nominal (referencial) y Períodos de capitalización.

INTERÉS COMPUESTO

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo , y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta cada final de período , por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.

Definición: El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple , en la que después del primer período de capitalización su monto constituye el capital inicial en el siguiente período y así sucesivamente:

TRANSFORMACIÓN DEL DINERO EN EL TIEMPO

TASA DE INTERÉS : NOMINAL TASA DE INTERÉS: EFECTIVA

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

S=P*(1+j*n) S=P*(1+i)n

Años Interés Simple Interés Compuesto

0 1000 10001 1250 12502 1500 1562.53 1750 1953.134 2000 2441.415 2250 3051.766 2500 3814.707 2750 4768.378 3000 5960.469 3250 7450.58

10 3500 9313.23

5j= Tasa Nominal ; i = Tasa Efectiva

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Transformación del dinero a través del tiempo

Interés Simple Interés Compuesto

6

años

S/.

0 1 2 3 n-1 n

S1=P*(1+i)1 S2=P*(1+i)2 S3=P*(1+i)3 S4=P*(1+i)4 Sn=P*(1+i)n

4

P

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO: (S)

nnnnnn iPiiPiSiSSS

iPiiPiSiSSS

iPiiPiSiSSS

iPiPPS

1*11*1**

1*1*1*1**

1*1*1*1**

1**

1111

322223

21112

1

niPS 1*n

m

jPS

1*

f

H

mj

PS 1*

8

Mediante un Régimen a Interés Compuesto.- La tasa de interés es una Tasa Efectiva TEM=2.25%

0 1 2 3

P=S/. 8000

I1=180

I 1 =VA*i

I2=184.05 I3=188.19 I4=192.42

I 2 =VF1*i I 3 =VF2*i I 4 =VF3*i

S=P+IS= 8000*(1+2.25%)4

S=s/. 8744.67

VF1 =8180 VF2 =8364.05 VF3 =8552.24 VF4 =8744.67

4 meses

1 mes: I1= =8000*2.25%*1 180

I1= 180 S1= =8000+180 8180

2 mes: I2= =8180*2.25%*1 184.05

I2= 184.05 S2= =8180+184.05 8364.05

3 mes: I3= =8364.05*2.25%*1 188.19

I3= 188.19 S3= =8364.05+188.19 8552.24

4 mes: I4= =8552.24*2.25%*1 192.4254

I4= 192.43 S4= =8552.24+192.43 8744.67

CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO:UTILIZAMOS TASAS EFECTIVAS.

El capital inicial para cada período variable. Interés variable para cada período (Creciente). Hay tantas capitalizaciones como períodos tenga la operación. La tasa efectiva se transforma en otra unidad de tiempo mediante

cambios exponenciales

Transformación del dinero en el tiempo mediante un Régimen a Interés CompuestoP= S/. 8,000i=TEM= 2.25%n= 4 perìodos mensuales

S= 8000*(1+2.25%)4

S= S/. 8,744.67

S=P*(1+i)n

Donde:P = Principal, Capital Inicial, Valor Presente, Valor Actual.i = TE = Tasa efectiva fijado por períodos de capitalización.

Tasa Efectiva Anual (TEA). Mensual (TEM), Semestral (TES), etc.n = Períodos de capitalización en el Horizonte de Tiempo.

H = Horizonte de tiempo . Es el # de días de duración de la operación Financiera. Si una operación financiera se amortiza en partes . H = H1 + H2 + H3 + ..................+ Hk.

f = # de días del período de capitalización.j = TN = Tasa nominal Anual (TNA), Mensual (TNM), Semestral (TNS),etc.m = # de períodos de capitalización en la Tasa Nominal. TNA, TNM, etc

S= Monto, Valor Futuro de un capital a interés compuesto . Es el valor del Capital final , o acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses (capitalizaciones en el horizonte de tiempo).

m

ji

cióncapitalizaladedíasde

bancarioañom

#

cióncapitalizaladedíasde

bancariomesm

#

f

Hn

niSP 1* 1

1

n

PS

i)1(

)(

iLogPs

Logn

niPS 1*FÓRMULAS:

niPS 1*n

m

jPS

1*

f

H

mj

PS 1*

mj

i fH

n

TASA DE INTERÉS:TASA NOMINAL (J).-• Las transformaciones de unidades de tiempo a otra se realiza sólo a través de operaciones

proporcionales (multiplicación o división de la misma).TASA EFECTIVA (I).-• Las transformaciones de unidades de tiempo a otra se realiza a través de cambios exponenciales.

Recordamos que la tasa nominal se transforma mediante una regla de tres simple: La TNQ=0.875%. Convertirla a TN Cada 45 días

La Tasa Efectiva para cambiar de una unidad de tiempo a otra es necesario el uso de cambios exponenciales utilizando las equivalencias de tasas efectivas Para las tasas efectivas : TEA, TES, TEC, TET, TEB, TEM, TEQ, TED. EQUIVALENCIA DE TASAS:Podemos cambiar la tasa efectiva de unidad de tiempo a otra.

TNQ ……………….. 15 díasTNCada 45 días ………………… 45 días

TNCada 45 días = =(0.875%*45)/15

TNCada 45 días = 0.875%*3

TNCada 45 días = 2.6250%

11

DatoTasafeEquivalentTasaH

DatoeEquivalent TETE

Ejm 1:Si la TEA= 25%. ¿Cuál es la TEM?

Ejm 2:Si la TEQ=0.085%. ¿Cuál es la TEM?

Ejm 3:Sí la TEB=2.75%. ¿Cuál es la TES?. RPTA: TES= 8.4790%

%8769.1

01876927.0

1%)251( 360

30

TEM

TEM

TEM

%17007.0

0017007.0

1%)085.01( 15

30

TEM

TEM

TEM

%4790.8

084790.0

1%75.21 60

180

TES

TES

TES

Ejm 4:TEA=20%. ¿Calcular la TEM?

TEM= (1+TEA)(30/360) - 1 TEM= (1+20%)(1/12) – 1 TEM= 1.5309%.Ejm5: TEB= 5%. ¿Calcular la TET? TET=(1+TEB)(90/60) - 1

TET=(1+5%)(90/60) - 1

TET= 7.5930%.Ejm6:

TECada 45 días=1.15%. ¿Calcular la TEA?. Rpta: TEA= 9.5789%.Ejm7:

TEA=30%. ¿Determinar la TEM?. Rpta: TEM= 2.2104%.Ejm8:

TEM=3.25%. ¿Calcular la TECada 10 días?.Rpta:TECada 10 días=1.0718%.EJERCICIOS:1.- TEM= 0.975%. ¿Calcular la tasa efectiva equivalente TEA?.2.- TEB= 2.525%.¿Calcula r su tasa equivalente TEQ?3.- TES=10%. ¿Calcular la TECada 20 días?.s4.- TECada 45 días= 1.625%. ¿Calcular la TEM?.5.- TET= 6.25%. ¿Calcular la TEB?.

Factor Simple de Capitalización .-(FSCi,n) : (1+i)n

FSCi ; n= El Factor Simple de Capitalización a una tasa efectiva “i” por período, durante “n períodos de capitalización” transforma una Capital Presente “P” a un Valor Futuro “S”:

0 1 2 3 n-1 n

S=P*(1+i)n

4

P

CAPITALIZAR

ni

n

FSCPS

iPS

,*

1*

Factor Simple de Actualización.- (FSAi,n): (1+i)-n

FSCi ; n= El Factor Simple de Actualización a una tasa efectiva “i” por período , durante “n períodos de capitalización” y su función es traer al Presente “P” cualquier Capital Futuro “S”.

0 1 2 3 n-1 n

S

4

P

ACTUALIZAR

P=S*(1+i)-n

ni

n

FSASP

iSP

,*

1*

1.- ¿Calcular el Valor Futuro de un Capital inicial de S/. 5 000 colocado durante 2 3/4 de año a una tasa efectiva anual (TEA) del 24 %?Datos: Fórmula:S = ?P = S/. 5 000 n = 2 3/4 año =2.75 años Solución:

i = TEA =24% = 0.24

2.- ¿Halle el MONTO de un capital inicial de S/. 3 000 , colocado durante 10 meses a una tasa efectiva mensual (TEM) de 2.75 %?Datos: Fórmula:S =???P = S/. 3 000n = 10 meses Solución:i = TEM = 2.75% = 0.0275

EJERCICIOS:

9034./%)241(*5000 75.2 SS

953934./%)75.21(*3000 10 SS

niPS 1*

niPS 1*

3.- ¿Cuál es el CAPITAL FINAL de un depósito de S/. 10 000, impuesta a una tasa efectiva quincenal (TEQ) de 0.75% durante 3 1/2 meses?. RPTA: S=S/. 10 536.96

Datos: Fórmula: P = S/. 10 000 TEQ = 0.75% H = 3 ½ meses Solución: n = 7 quincenas

4.- Una persona solicita un préstamo S/. 6 000, mediante un pagaré bancario el día 15 de Marzo de este año y solicita pagarlo el día 23 de Julio. Se aplica una TEM = 2.25%. ¿Cuál es el importe a pagar para redimir la deuda?. RPTA: S = S/. 6607.32.Datos: Fórmula:

P= S/. 6000 H= 15/03 al 23/07 H= 130 días. TEM= 2.25%

96.53610./%)75.01(*10000 7 SS

niPS 1*

f

H

iPS )1(*

5.- ¿Qué importe se tendrá que pagar, por un sobre giro de S/. 10 000, vigente desde el día 05/09 al 30/09 del mismo año, si la entidad financiera cobra una TEA del 30 %?. RPTA: S = S/. 10 183. 87

Datos: Fórmula: P= TEA= H= 05/09 al 30/09 H=

Solución:

Respuesta:

f

H

iPS )1(*

6.- ¿Calcular el Monto o Valor futuro de un depósito inicial de $ 4000, colocado durante 3 1/3 meses a una TEA del 36% ?

Datos: Fórmula: P= TEA= H = H =

Solución:

Respuesta:

f

H

iPS )1(*

7.- ¿Qué capital inicial debe colocarse en una Entidad Financiera que paga una tasa efectiva anual (TEA) del 25% , para que en 1 1/2 años pueda obtenerse un importe capitalizado de S/. 8 500?Datos: Fórmula:P =???S = 8 500 Solución:n = 1.5 añosi = TEA = 25%

8.- ¿A qué tasa efectiva anual (TEA) ha sido colocado un capital de S/. 6800 , si al cabo de 1 ½ año se obtuvo una Capitalización de S/. 10 300? Fórmula:Datos:i = TEA =????? Solución:P = 6 800S = 10 300 n = 1.5 años

11.6082./%)251(

8500

11.6082./%251*8500

5.1

5.1

SP

SP

%8921277.31

318921277.016800

10300

16800

10300

5.1

5.1

1

TEAi

TEAi

TEAi

niSP 1*

1

1

n

PS

i

9.- ¿Determine el tiempo en meses de un capital de S/. 5000, colocado al 30% de tasa efectiva anual (TEA) , el cual permitió un capital final de S/. 7913.54?Datos: Fórmula:P = 5000S = 7913.54i = TEA = 30%

Solución:

Si se hubiese pedido en meses sería : 1.75 x 12 = 21 meses.

añosLog

Logn 75.1

%)301(

)5000

54.7913(

)1(

)(

iLogPs

Logn

10.- Capital más intereses suman S/. 11 345. Sí el capital impuesto estuvo sujeto a una TEQ= 0.975%, en el lapso del 15/06 al 02/12 del mismo año. ¿Cuál es el capital o principal y el total de intereses en la operación financiera?

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

RPTA: P=S/. 10163.60; I= 1181.40

11.- Se adquirió una máquina cuyo precio de contado es de S/. 6 000, se pagó una cuota inicial (CI) de S/. 2000 y el saldo fue financiado a una letra de 60 días por un Monto total de S/. 4 200. ¿Cuál es la TEM cargada en el crédito?

DATOS: FÓRMULA:

S=S/. 4 200

SOLUCIÓN:

RPTA: TEM= 2.4695%

PC=s/. 6000

CI=S/. 2000

P=S/. 4000

.- ¿En qué tiempo un capital, colocado a una TNA del 24% convertible trimestralmente nos da un capital final de S/. 35 000 y de intereses S/.2 500 ?. RPTA: H = 3 meses y 24 días.

12.- Un capital es colocado el día 15/04/12, en la BVL a la TNA=35% convertible c/mes al término de la operación el monto final es de S/.30 000 y los intereses alcanzaron a S/. 4 800. ¿Cuál es el tiempo que se colocó este dinero y cuando finaliza la operación?

H= 182 días15-abr 14-oct

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

RPTA:

13.- Cierto capital fue depositado el 05/04, en una entidad financiera, capitalizándose su depósito a un capital final de $ 15 480. Se sabe que el capital depositado sufrió un incremento de 5.75% por concepto de intereses, además sujeto a una tasa:a.- TNM = 1.025%, capitalizable cada 10 días.b.- TEM=1.035%. ¿Cuál es la fecha de vencimiento para cada alternativa?

a.- H= 164 díasFV: 16 de Setiembre.

b.- H= 163 díasFV: 15 de Setiembre.

7.- ¿Calcular el capital final de una inversión de S/. 18 000, aplicando a una tasa de Rentabilidad:a.- TNA=30%; m= C/ 15 días.b.- TNM=2%;m=C/ 20 días.c.- TEA=32%En el período del 05/04/12 al 17/10/12.

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

RPTA:

14.- ¿Calcular el capital final de una inversión de S/. 18 000, aplicando a una tasa de rentabilidad:

a.- TNA= 30%; m= C/ 15 días.b.- TNM=2%;m=C/ 20 días.c.- TEA=32%.En el período del 05/04/12 al 17/10/12.

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

a.- S=S/. 21154.75b.- S=S/.20481.31c.- S=S/. 20921.05

RPTA:

15.- Un capital de S/. 24 360 es depositado el día 05/04/12, ganado un interés de S/. 1015.50. Aplicando una tasa:a.- TEA=20%.b.- TNM=1.25%; capitalizable C/ 15 días.¿Cuántos días permaneció en la entidad bancaria y cuál es la fecha de término de la Operación financiera?

a.- H=81 días b.- H=98 díasFV:25/06. FV: 12/07.

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

16.- La empresa FENLOT, realiza una inversión de $ 28 350 en la BVL; colocado en el período del 10/05 al 21/12 del presente año para poder hacer frente a las gratificaciones de sus trabajadores, la cuál le produce una rentabilidad del 30% de la inversión realizada. a.- ¿Qué tasa efectiva mensual TEM, le permite que su inversión crezca en la BVL?. b.- Sí el Banco Falabella, le ofrecía una rentabilidad de S/. 8 500. ¿Qué tasa efectiva le aplica la entidad bancaria?. ¿Indique cual es la mejor tasa efectiva para esta operación?.

DATOS: FÓRMULA:

SOLUCIÓN:

a.- TEM= 3.5601%b.- TEM= 3.5582%

RPTA:

f

H

mj

PS 1*

Tasa Nominal (J=TN).- Es susceptible a proporcionalizarse ( dividirse o multiplicarse) J/m veces en un año , para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones de la tasa nominal que puede ser anual, semestral, mensual, etc..

Tasa Efectiva (i) .- Es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera. Refleja el número de capitalizaciones que ha experimentado durante un plazo determinado. Aquella que realmente se reemplaza al símbolo “i” en el factor (1+i)n.

fH

nmj

i ;

FÓRMULA: MONTO O VALOR FUTURO

Capitalización Operación m

Anual 360/360 1Semestral 360/180 2

Cuatrimestral 360/120 3Trimestral 360/90 4Bimestral 360/60 6

Cada 45 días 360/45 8Mensual 360/30 12

Quincenal 360/15 24Diarío 360/1 360

Capitalización Operación m

Anual 30/360 0.08333333Semestral 30/180 0.16666667

Cuatrimestral 30/120 0.25Trimestral 30/90 0.33333333Bimestral 30/60 0.5

Cada 45 días 30/45 0.66666667Mensual 30/30 1

Quincenal 30/15 2Diarío 30/1 30

“m” aplicable a una J = TNA m” aplicable a una J=TNM

fm

360 fm

30

Sí f = 30; TEM. Entonces : m = 12Sí f = 60; TEB. Entonces: m = 6Si f = 90; TET. Entonces: m = 4

J = TNA J = TNM

Sí f = 360; TEA. Entonces: m =0.08333Sí f =180; TES. Entonces: m =0.16666Sí f = 90; TET. Entonces: m = 0.3333Sí f = 20; TECada 20 días. m = 1.5

f

TNAmTNA

TE360

f

TNMmTNM

TE30

Tasa Nominal TNA TNS TNT TNB TNM TNQ

mf

360

f

180

f

60

f

30

f

15f

90

Entonces:o Si la TNA=20%, la TEQ es:

o Si la TNM=1.75%, la TE Cada 10días es:

o Sí la TNS=10%, la TECada 20 días es:

%8333.0

0083333.0

15360

%20

TEQ

TEQ

TEQ

%5833.0

0058333.0

1030

%75.1

dìasCada10

dìasCada10

dìasCada10

TE

TE

TE

%0646.1

01646.0

20180

%10

20

20

20

díasCada

díasCada

díasCada

TE

TE

TE

EJERCICIO:1.- ¿Calcular el Valor Futuro a pagar por un capital de S/. 40 000, impuesto a una tasa

nominal anual (TNA) de 10% con capitalización mensual, en el lapso de un año?. RPTA: S = S/. 44 188.52

Datos: P= S/. 40000 j=TNA= 10% m= Capitalizable c/mes; entonces

H= 1 año. S= ?????? La frecuencia de capitalización indica la unidad de tiempo de la Tasa Efectiva.

12360m

12%10

30360

TEM

TNATEM

52.44188./

12%10

1*4000030

360

SS

S

2.- ¿Calcular el Monto a pagar dentro de un Cuatrimestre por un préstamo bancario de S/. 10 000 , que devenga a una TNA = 21% con capitalización mensual?. RPTA: S = S/. 10 718.59.

Datos: Fórmula:P= S/. 10000j=TNA= 21%m= Capitaliza C/ mesH= 1 Cuatrimestre Solución:S= ¿????????

59.10718./

30360

%211*10000

30

120

SS

S

f

H

mj

PS 1*

RESPUESTA:Monto o valor futuro que se devolverá es de S/. 10 718.59.

3.- ¿Hallar el valor futuro de un capital de S/. 50 000 luego de un año en un Banco que paga una TNA = 20 %?. Si se capitaliza:a.- Anual. RPTA: S=S/. 60 000

Datos: P= S/. 50 000 j=TNA= 20% m= Capitaliza c/año S= ????? b.- Semestral. RPTA: S=S/. 60 500 Datos: P= S/. 50 000 j=TNA= 20% m= Capitaliza c/180 días S= ?????

TRABAJAR EL MISMO EJERCICIO CON UN LAPSO DE 2 AÑOS:

a.- Anual. RPTA:S= S/. 72 000b.- Trimestral. RPTA: S=S/. 73 872.77c.- Cada 45 días. RPTA:S= S/. 74 225 .28d.- Cada 25 días. RPTA: S=S/. 74 386.22

00060./

360360

%201*50000

1

SS

S

50060./

180360

%201*50000

2

SS

S

d.- Diario. RPTA: S/. S=61 066.74 Datos: P= S/. 50 000 j=TNA= 20% m= Capitaliza c/día S= ?????

55.96960./

30360

%201*50000

12

SS

S

c.- Mensual. RPTA: S/. S=60 969.55 Datos: P= S/. 50 000 j=TNA= 20% m= Capitaliza c/30 días S= ?????

74.61066./

1360

%201*50000

12

SS

S

4.- TRABAJAR EL MISMO EJERCICIO CON UN LAPSO DE 2 AÑOS: Datos: P= S/. 50 000 j=TNA= 20% m=

H= 720 días S= ?????

a.- Anual. RPTA:S= S/. 72 000b.- Trimestral. RPTA: S=S/. 73 872.77c.- Cada 45 días. RPTA:S= S/. 74 225 .28d.- Cada 25 días. RPTA: S=S/. 74 386.22 S=50000*(1+20%/1)^2

S=50000*(1+20%/(360/90))^(720/90)

S=50000*(1+20%/(360/45))^(720/45)

S=50000*(1+20%/(360/25))^(720/25)

CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto en función al Principal.-

11*

)1(*

n

n

iPI

PiPI

PSI

1)1( ni

IP 11

1

n

PI

i)1(

1

iLOGPI

LOGn

El interés compuesto en función al Monto o Valor Futuro.-

nn

iSI

iSSI

PSI

)1(1*

)1(*

EJERCICIOS:1.- ¿Calcule el interés compuesto generado por un depósito de S/.8 000,

impuesto a una TNA =18% convertible bimestralmente , en el lapso de un Semestre?. RPTA: I = S/.741.82Datos: Solución: Fórmula:P= S/. 8000j=TNA=18%

m= C/ 60 díasH= 1 semestre

11* niPI

82.741./

1

60360

%181*8000

60

180

SI

I

2.- Si el 06/07 se realizó una compra de un paquete accionario en la BVL, se mantiene capitalizando esta inversión hasta el 13/12 , fecha en la que se vende estas acciones siendo su precio de S/. 49 720. Si el precio de las acciones capitalizo a la tasa efectiva TNA = 20% convertible cada 25 días. ¿Cuál es el Interés ganado en está Inversión?. RPTA: I = S/. 4 200.99

Datos: Fórmula:

Solución:

Respuesta:

3.- Cierto importe depositado, capitalizo a la suma de S/. 12 650 , en el período comprendido del 10 de Abril a 24 de Julio del mismo año, a una tasa:

a.- TEM= 1.275%, paga la BBVA. b.- TNA= 20% ; capitalizable cada quincena, paga Interbank.¿Qué entidad bancaria me ofrece mejores intereses?

a.- S/. 548.68b.- S/. 713.92

RPTA

Datos: Fórmula:

Solución:

Respuesta:

4.- Un cargo por intereses de un sobre giro bancario de S/. 40 000 , ha sido S/. 2 500 Sí la entidad bancaria cobra: Una TEA= 60% Una TNA=50%, convertible c/mes.¿Cuántos días estuvo sobregirada la cuenta?.

a.- H=46 díasb.- H=45 días

RPTA

5.- ¿En que tiempo en (meses, días) , podrá incrementarse un capital que se coloco el día 15/04/2012, impuesto a una tasa nominal del 28%; capitalizable cada mes:

Genera intereses en un 12%?. Genera intereses en un 15%?. ¿Cuál es la fecha de término de la operación?

a.- H=147 díasFV:09-sep

b.- H= 147 díasFV: 14-oct

RPTA

Datos: Fórmula:

Solución:

Respuesta:

TASA EFECTIVA VARIABLE

Fórmulas:MONTO O VALOR FUTURO:

PRINCIPAL O VALOR ACTUAL

INTERÉS EN FUNCIÓN A P:

INTERÉS EN FUNCIÓN A S:

f

H

mf

H

f

H m

iiiPS )1(*.......*)1(*)1(*21

21

1)1(*.......*)1(*)1(*21

21f

H

mf

H

f

H m

iiiPI

mnmnn iiiSI 1*.....*1*11* 21

21

mnmnn iiiSP 1*.....*1*1* 21

21

1)1(*.......*)1(*)1(21

21f

H

mf

H

f

H

ACUM

m

iiiTE

TASA EFECTIVA ACUMULADA:

ELABORACIÓN DE LA TABLA:

Fecha # de días Tasa Efectiva Tasa Efectiva *Períodos de

capitalización

TOTAL TASA EFECTIVA ACUMULADA

1

11 ni

2

21 ni

mnmi1

11*1*1 321

321 nnn iii

EJERCICIOS:1.- ¿Qué interés habrá producido una inversión de S/. 20 000 colocado

el 3 de Marzo al 28 de Junio del mismo año a una TEM del 3%, la cual varió el 16 de Abril a una TEM de 2.8% y posteriormente a una TEM de 2.6% el 16 de Junio. RPTA: I=S/. 2 320.45

¿Cuál es la Tasa efectiva Acumulada? ¿Cuál es la Tasa efectiva TEA?

FECHA # DE DÍAS Tasa Efectiva

03-Mar 44 TEM=3%16-Abr 61 TEM=2.8%16-Jun 12 TEM=2.6%

28-Jun 117

1)1(*.......*)1(*)1(21

21f

H

mf

H

f

H

ACUM

m

iiiTE

f

H

mf

H

f

H m

iiiPS )1(*.......*)1(*)1(*21

21

100*P

ITEAcumulada

Fecha # de días Tasa Efectiva Tasa Acumulada

03-Mar 44 TEM=3% 1.044306376

16-Abr 61 TEM=2.8% 1.057757223

16-Jun 12 TEM=2.6% 1.010319986

28-Jun 117 0.116022303

Tasa Acumulada 11.6022%

45.32021%)6.21(*%)8.21(*%)31(*20000 30

12

30

61

30

44

I

%6022.11

1%)6.21(*%)8.21(*%)31( 30

12

30

61

30

44

ACUMULADA

ACUMULADA

TE

TE

%1798.40

1%6022.111

11

117

360

117

360

TEA

TEA

TETEA ACUMULADA

EQUIVALENCIAS DE TASAS EFECTIVAS:

%6022.11

100*20000

45.2320

100*

Acumulada

Acumulada

Acumulada

TE

TE

PI

TE

2.- Si realizamos un depósito en una entidad financiera, aplicando tasas de interés variable preferenciales en la operación. Se sabe que al final del plazo estipulado mi dinero creció por adición sucesivas de intereses a un Capital final de S/. 30 000.a.- ¿Cuál es el importe del Interés?

Fecha # de días Tasa Efectiva

05-Jul 50 TNA=20%; m= C/ 30 días

24-Ago 120 TEM= 1.75%

22-Dic

mnmnn iiiSI 1*....*1*11* 21

23

22.27228./

78.277130000

78.2771./

%75.11*

30

360%20

11*3000030

120

30

50

SP

P

SI

I

Fecha # de días Tasa Efectiva Tasa Acumulada05-Jul 50 TNA=20%;m=C/30 días 1.0279318 =(1+20%/(360/30))^(50/30)

24-Ago 120 TEM=1.75% 1.071859 =(1+1.75%)^(120/30)

22-Dic 170 TEAcumulada 0.101798 =(1.0279318)*(1.071859)-1

Cálculos

b.- ¿Calcular la tasa Acumulada?

c.- ¿Calcular la Tasa Efectiva Quincenal?

%8590.0

1%1798.101

11

170

15

170

15

TEQ

TEQ

TETEQ Acumulada

100*P

ITEAcumulada

%1798.10

100*22.27228

78.2271

Acumulada

Acumulada

TE

TE

78.285134

%481*

4

%361*10000

90

180

90

60

S

Fecha # de días TET

15-Abr 60 36%/(360/90)14-Jun 180 48%/(360/90)

11-Dic 240

3.- ¿Cuál será el Valor Futuro de un Certificado de Depósito a Plazo cuyo depósito es de S/. 10 000 , el día 15 de Abril del presente año, colocado a 8 meses en el Sistema financiero , con una TNA del 36 % con capitalización trimestral los primeros 2 meses y el resto a una TNA del 48% con la misma capitalización.?.RPTA: S = S/. 13 285.78

4.- ¿Calcular el Valor Futuro de un capital de S/. 15 000, el cual fue colocado el 2 de Mayo del pte. , en los primeros 45 días a una TNA del 15% con capitalización bimestral; los siguientes 60 días a una TNA del 20% con capitalización trimestral y los últimos 30 días con una TNA del 22 % con capitalización quincenal.?

.

5.- Un préstamo de S/. 6000 fue pactado para devolverlo a 3 meses y con intereses efectivos a un punto más de la tasa de inflación mensual registrados: f = 1.25 %, 1.5 %, 1 % .¿Cuál será el Valor Futuro a devolver?.RPTA: S= S/. 6 414.14

30.0761624

%221*

4%20

1*6%15

1*15000

15

30

90

60

60

45

S

# de días f = Inflación Tasa Efectiva = f+1%

30 1.25% 2.25%30 1.50% 2.5%30 1% 2%

Fecha # de días Tasa Efectiva Cálculo de la Tasa Efectiva

02-May TNA=15%; m= C/ 60 días TEB=15%/(360/60)16-Jun TNA=20%; m= C/90 días TET=20%/(360/90)15-Ago TNA=22%; m=C/ 15 días TEQ=22%/(360/15)

14-Sep

6.- Un Capital de S/. 24 800 ha sido colocado el día 3/3/05 en una cuenta de ahorros, a un plazo fijo de 300 días y presento el siguiente comportamiento con respecto a su tasa de interés:

a.-¿Cuál es el Interés que genera está operación financiera?. RPTA: S/. 1250.34

b.- ¿Qué TEM ganó el capital en esta operación?. RPTA: i = TEM = 4.9295%.7.- El importe a pagar en la fecha de vencimiento en una operación financiera

asciende a S/. 18 725. El cual presento las siguientes variaciones de tasa de interés:

¿Cuál es el importe de la deuda y el Interés?

Fecha Tiempo Tasa Efectiva

03-Mar 3 1/3 meses TEA =4,5% 1 ½ Bimestres TEM =0,5% TED =0,02%

Total

Fecha # de días Tasa Efectiva

04-Mar TNM=1.5%; m= C/ 10 días15-Abr TNA=21%; m= C/100 días30-Jun TNS=11%; m=C/ 45 días

28-Ago

8.- Hace 3 1 /3 meses, se colocó en una entidad financiera un capital, lo quepermitió acumular un importe por concepto de renta de capital de

S/. 15 200, al régimen del interés compuesto. Aplicando Tasas efectivas variables:

a.- ¿Cuál es el capital que se depositó en la entidad financiera?b.- ¿Cuál es la TEA promedio aplicado en la operación financiera?c.- ¿Cuál es la tasa efectiva acumulada en el horizonte temporal?

Fecha # de días Tasa Efectiva21-Sep TNA=15%;m=C/ 30 días14-Nov TNM=1.75%;m=C/ 10 días30-Dic

P= 301934.24TEA= 19.3413%TECada 100 días5.034209%

9.- La rentabilidad de un paquete accionario es de S/. 8 350 , sí la compra se realiza el día 03/03/12, en una entidad financiera. Se sabe que fue adquirido considerando variaciones en las tasas efectivas:

Fecha # de días Tasa Efectiva 03-Mar TNA=21%; m=C/ 30 días11-Jun TNM=1.25%;m=C/ 45 días09-Sep TEQ=0.975%28-Dic

a.- ¿Cuál es el precio de venta el día 28/12/12?b.- ¿Cuál es la TEM promedio aplicado en la operación financiera?c.- ¿Cuál es la tasa efectiva acumulada en el horizonte temporal?

S= 54550.80TECada 300 días 18.0733%TEM= 1.6752%

EQUIVALENCIA DE TASAS:Podemos cambiar la tasa efectiva de unidad de tiempo a otra.

11

DatoTasaf

eEquivalentTasaH

DatoeEquivalent TETE

• Si la TEA= 25%. ¿Cuál es la TEM?

• Si la TEQ=0.085%. ¿Cuál es la TEM?

• Sí la TEB=2.75%. ¿Cuál es la TES?. RPTA: TES= 8.4790%

%8769.1

01876927.0

1%)251( 360

30

TEM

TEM

TEM

%17007.0

0017007.0

1%)085.01( 15

30

TEM

TEM

TEM

ECUACIÓN DEL VALOR

La Ecuación de Valor consiste en igualar o comparar en una fecha , de evaluación , la suma de un conjunto de obligaciones iniciales con otro conjunto de obligaciones pactadas posteriormente . A interés compuesto , dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha , también lo son en cualquier otra fecha. Los importes pueden ser descontados, capitalizados , uno capitalizado y otro descontado; aplicando la misma tasa efectiva.

CAPITALIZAR: FSC i,n = ( 1 + i )n

ACTUALIZAR: FSAi,n = ( 1 + i )-n

EJERCICIOS:

1.-En la negociación sostenida la Empresa AGRO S.A. Con un sector financiero, se aprobó un contrato para sustituir $ 8 000 y $ 9 000 con vencimiento en el 2do

y 4to mes , por un pago único en el tercer mes a una TNA = 48 % con capitalización mensual.

3

9000

0

8000

2 41X

85.97316$

1248.0

1

90001248.0

18000 1

1

X

X

2.- El Gerente de Logística de una empresa tiene que afrontar dos deudas , una de $ 4 500 a pagar dentro de 4to meses, y otra de $ 8 500 a pagar en el 10mo. . Se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de $ 6 000 ahora mismo y otro pago X al final del 6to mes. ¿A cuánto ascenderá el pago X , si se considera una tasa de rendimiento TNA = 20% capitalizable mensualmente? RPTA: $5981.87

DEUDAS

PAGO ÚNICO

CAPITALIZAR ACTUALIZAR

SOLUCIÓN:

P

60 8 10

46000

X

4 500 8 500

DEUDAS

PAGOS

meses

Nota: Tomando el momento de la Evaluación en el 6 to. mes

CAPITALIZARACTUALIZAR

CAPITALIZAR

87.9815$

56255.66254298.12607

30360

%201*6000

30360

%201

8500

30360

%201*4500

6

4

2

X

X

X

OTRA MOMENTO DE EVALUACIÓN: MOMENTO “0”

3.- Una inversión efectuada en el Mercado de Capitales produjo un interés de S/. 1 500 luego a los 90 días. En este lapso de tiempo la tasa acumulada (rentabilidad) fue del 6 % .¿Cuál fue el importe original de la inversión?.Nota: TET = 6%

00025./

1%61

15001)1(

90

90SP

iI

P n

87.9815$

0801.1141790558348.06000

30360

%201*8500

30360

%201*4500

30360

%201*6000

1046

X

X

X

S

0

P

0H=90 días

P=????

S=P+IS=P+1500

Actualizar

4.- Una Empresa Exportadora contrae dos deudas con una entidad Financiera , una de $ 10 000 a pagar dentro de un mes y otra de $ 20 000 a pagar dentro de cuatro meses, se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de $ 8 000 ahora mismo y un pago X al final del primer mes . ¿De cuánto será el pago X si se considera una tasa de rendimiento TEM = 1.75%.?. RPTA: X=$ 20 845.71

5.- El 15 de Agosto , la empresa Regial tiene con el BCP una deuda de $ 7 500 que vence el 07 /09 y otra deuda de $ 9 000 que vence el 20/11 , la empresa renegoció sus deudas con el Banco y se fijo un pago único el día 15/12 del mismo año, las mismas que devengan a una TEM = 2.25 % .Se requiere saber el monto que cancelará la empresa el 15 /12 . RPTA: S= $ 17 239.86.

6.- Un estudiante debe pagar por endeudamiento a la Universidad la suma de S/. 3000 el día de Hoy. Acuerda realizar dos pagos iguales al final del 1er mes y 5to mes .¿De cuánto deben ser los pagos correspondientes si la tasa de rendimiento TED = 0.065%?. RPTA: X=S/. 1 589.13

7.- Las deudas de S/. 20 000 y S/. 30 000 que vencen dentro de 4 y 9 meses respectivamente, serán sustituidos por un único pago que vencerá dentro de 6 meses . Se necesita .¿ Calcular el importe que sustituirá ambas deudas con una TNA del 18% capitalizable mensualmente. RPTA: X = S/. 49 294.

8.- Actualmente la Empresa ITAL GRESS , que mantiene varias líneas de financiamiento con diversos Bancos del sistema financiero , tiene créditos vencidos y por vencer que se sustentan en la tabla:

Cierta entidad financiera le proporcionará un crédito que le facilitará dentro de 30 días, cancelando sus deudas vencidas y por vencer a una única TEM del 2 %. ¿Qué importe deberá solicitar a la Entidad Financiera?.RPTA:$ 35 743.13

Plazo Acreedores Dólares TEM Línea

Vencido hace 60 días A $ 8 000 2.75% ImportacionesVencido hace 45 días B $ 10 000 2.50% PagaréVencido hace 15 días C $ 5 000 2.25% Letra de CambioVencido hace 5 días D $ 2 000 2% SobregiroPor vencer dentro de

100 días E $ 10 000 2% Pagaré

9.- El Banco FINANCOR le concedió a la empresa SOLVER S.A. Un préstamo de $ 5 000 por el cual cobra una TEM = 2%. El reembolso debe efectuarse en el plazo de 5 meses con cuotas que vencen cada 30 días . Sí las cuatro primeras cuotas son de $ 1000 cada una .¿Cuál será el importe de la quinta cuota?. RPTA: X = $ 1316.36.

10.- Una compañía de Electrodomésticos S.A. Esta vendiendo refrigeradoras al contado en $ 900 . A crédito las ofrece en un plazo de 5 meses con una Cuota Inicial de $ 207.28 y cuotas mensuales de $ 160 . Cierto cliente desea adquirir el artefacto al crédito y acepta las condiciones generales del financiamiento, pero propone pagar la cuarta cuota $ 100 y la diferencia al vencimiento del plazo .¿cuál será el importe de dicho pago si se considera que el saldo del crédito genera una TEM del 5 %. RPTA: X = $ 223

11.- ¿Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de S/. 10 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas, las cuales se incrementan en un 5 % cada mes con respecto al mes anterior?. El banco cobra una TEM = 3 % .

12.-Las deudas contraídas por la Empresa REGIAL S.A., son: Deuda 1: $ 9 000, con vencimiento el 2do Mes. Deuda 2: $ 12 000, con vencimiento en el 6to Mes. Deuda 3: $15 000, con vencimiento en el 12avo mes. El Gerente conseguirá saldar sus deudas a una tasa de rendimiento TEA = 8.25%. Con un pago de $ 8 000, el 4to mes y el saldo mediante dos pagos: “2X” en el 8vo mes y “X” en el 10mo mes. ¿A cuánto asciende el importe que le permita liquidar la deuda?.

13.- En la fecha la empresa XEROX S.A. tiene 3 deudas con la entidad bancaria BBVA las cuales son: S/. 15 000, que tiene una duración de ½ año con una tasa efectiva de

TNM=3.15%; m= C/ 20 días y vence en el 3 er. Mes. S/. 20 000, que tiene un lapso de tiempo de ¾ de año, la tasa efectiva es una TNA=

25%, m = C/ 45 días y vence en el 8 vo mes. S/. 30 000, con una duración de 1 año, la TEA= 30% y vence al 1 ¼ años. Sí la empresa negocia para realizar 3 pagos crecientes:- El primer pago, dentro de 5 meses.- El segundo pago crece en un 12% con respecto al anterior y es dentro de 10 meses.- El último crece en un 18% con respecto al anterior y vence dentro de los 18 meses.Considerándose una tasa TEA = 30%. ¿Cuánto es el importe que tiene que pagar en estas fechas para liquidar totalmente la deuda.