Física 2n de BatxilleratUnitat 1

La interacció gravitatòria

Consuelo Batalla GarcíaInstitut ValldemossaBarcelona

ÍndexEl moviment dels cossos celestes: d’Aristòtil a Kepler

La cinemàtica dels planetes: Les lleis de Kepler

La dinàmica dels planetes: de Kepler a Newton

La llei de la gravitació universal

Interacció d’un conjunt de masses puntuals. Principi de superposició

Els cicles de les marees

Bibliografia

Adreces web

El moviment dels cossos celestes: d’Aristòtil a Kepler

L'astronomia és la ciència que estudia i permet descriure els fenòmens que observem al cel.

Les primeres teories explicaven que la Terra era el centre de l’univers i que al seu voltant giraven els astres que s’observava que es movien (teories geocèntriques). Aquestes teories es van mantenir fins al segle XVI.

A partir del segle XVI comencen a obrir- se pas les teories heliocèntriques, Aquestes teories consideren que el Sol és el centre de l’univers i al seu voltant giren els altres astres.

L’astronomia antiga A l’antiguitat es coneixien set astres: el Sol, la Lluna, Mercuri, Venus,

Mart, Júpiter i Saturn. Els cinc últims presentaven un moviment irregular i la brillantor augmentava quan eren més a prop. Mart semblava que invertia el moviment i retrocedia en el cel (moviment retrògrad).

Moviment retrògrad de Mart

Aristòtil (384-322 aC) pren la idea d’Èudox de Cnidos (408-355 aC): “l’univers està constituït per 27 esferes concèntriques girant al voltant de la Terra”. A la més exterior, esfera celeste, es trobaven els estels en posicions fixes. L’esfera celeste feia una volta cada dia, girant d’est a oest, al voltant d’un eix que passava pels pols Nord i Sud de la Terra. Més enllà de l’esfera celeste va suposar que n’hi havia una altra, en la qual hi havia el mòbil primari (primum mobile), que la feia girar a un ritme regular.

Aristòtil hi va afegir 29 esferes per tractar d’explicar el moviment irregular dels planetes., però no va poder justificar que el Sol i els planetes unes vegades apareixien més pròxims a la Terra que d’altres (moviment retrògrad).

Aristarc de Samos (310-230 aC) va suposar un sistema heliocèntric, on la Terra, la Lluna i els altres cinc planetes giraven al voltant del Sol, amb diferent velocitat i radi de l’òrbita. La Terra també girava al seu propi voltant; tenia un moviment de rotació de periodicitat diària, i un altre de translació de periodicitat anual. El conjunt estava situat dins una esfera d’estels que no tenia cap mena de rotació.

Aristarc pren les idees d’Heràclides del Pont (388-310 aC), “el Sol és la font de l’escalfor i la vida, per tant, ha d’estar al centre de l’univers”. Aquesta teoria va ser rebutjada ja que si fos certa, un mateix estel es veuria en diferents posicions del fons celeste depenent de la posició de la Terra en el seu gir al voltant del Sol (paral·laxi estel·lar). Aristarc ho va justificar a partir de la gran distància entre els estels i la Terra.

El segle XIX, Friedrich Bessel (1784-1846) demostra l’existència del fenomen de la paral·laxi dels estels i va determinar la distància de 61 Cygni i d’altres estrelles «pròximes» al sistema solar.

El model ptolemaic Claudi Ptolemeu (90-168 aprox.): el seu model geocèntric explica les distàncies

canviants entre els planetes i la Terra, mantenint la immobilitat d’aquesta: “els planetes giren al voltant de la Terra descrivint petites òrbites circulars (epicicles) el centre de les quals es desplaça descrivint una òrbita circular al voltant de la Terra (deferent)”

Els dos girs, el de l’epicicle i el de la deferent, podien tenir velocitats, direccions i radis independents, cosa que explicava les irregularitats observades en el moviment dels planetes i el moviment retrògrad.

Ptolemeu va suposar que els planetes descrivien òrbites excèntriques (la Terra no estava situada al centre de l’òrbita, sinó a una certa distància). Va establir un punt, equant, que es troba en el diàmetre de l’òrbita, a la mateixa distància del centre que la Terra.

Va proposar que els planetes descrivien una òrbita circular, amb un moviment circular uniforme respecte de l’equant, cosa que explicava el fet que el Sol semblés que es movia més ràpidament a l’hivern que a l’estiu, tal com observem a l’hemisferi nord (el període tardor-hivern dura sis dies menys que el període primavera-estiu).

En realitat, això es deu al fet que l’òrbita no és exactament circular i la velocitat de la Terra augmenta quan està més a prop del Sol (hivern a l’hemisferi nord) que quan n’està més allunyada (estiu).

El model copernicà Nicolau Copèrnic (1473-1543) va plantejar un sistema heliocèntric, amb el Sol al centre de l’univers, els

planetes girant al seu voltant i la Lluna girant al voltant de la Terra.

Suposava l’existència d’una esfera immòbil on es localitzaven els estels, que estaven fixos.

Va explicar que el moviment aparent dels estels era conseqüència de la rotació de la Terra.

Les trajectòries irregulars que seguien els planetes quan s’observaven des de la Terra (moviment retrògrad) també eren conseqüència del moviment d’aquesta.

Model heliocèntric de Copèrnic

Copèrnic va establir dades bastant precises dels períodes orbitals dels planetes al voltant del Sol:I. E sfe ra im m òb il de ls es te ls . V . Terra : període 1 any, II. S atu rn : pe ríode 30 anys. am b l’ò rb ita d e la L lun a .

III. Júp ite r: pe río d e 12 a n ys. V I. V e n us : pe río d e 9 m esos .

IV . M art: pe río d e 2 a nys . V II. M erc uri: pe río de 8 0 dies.

De Copèrnic a Galileu

Tycho Brahe (1546-1601), emprant sextants i brúixoles, va obtenir mesures molt precises de les posicions angulars dels planetes i els estels.

Galileu Galilei (1562-1642) va perfeccionar el telescopi, inventat probablement pel holandès Hans Lippershey (1570-1619), que va permetre corroborar l’exactitud del sistema de Copèrnic. Va observar satèl·lits girant al voltant de Júpiter, taques al Sol, fases a Venus i zones clares i fosques a la Lluna.

Galileu es va oposar a les òrbites el·líptiques que havia apuntat Kepler, considerant que el cercle era la corba perfecta.

Model heliocèntric de Copèrnic

La cinemàtica dels planetes: les lleis de Kepler

Prim era llei 1. Tots e ls p lanetes es m ouen a l vo ltan t de l So l se gu in t ò rb ite s

e l·líp tiques . E l So l es tà en un de ls focu s de l’e l·lips e. (A l d ibu ix , a i b són e ls sem ie ixos de l’e l·lipse .)

Segona llei

2. Els p lane tes es m ouen am b ve locita t a re o la r constant. É s a d ir, e l vec to r de po sic ió de ca da p lane ta resp ec te d e l So l,r , escom bra àrees igua ls en te m ps igua ls.

dA = const. dt

Terce ra llei

3. Per a to ts e ls p la n e tes:

T 2 = k (con st.)

a 3

on a és e l sem ie ix m a jor de l’e l·lipse i T és e l perío de de trans lac ió de l planeta

(N ota : en la p ràc tica , a és la d is tà nc ia m itja na de l p lane ta a l So l.)

Lleis de Kepler (1571-1630):

Distàncies astronòmiques:

Unitat astronòmica (UA): distància mitjana (semieix major de l’el·lipse) entre la Terra i el Sol:

1 UA = 149.600.000.000 m

Any llum: distància que recorre la llum en un any: 1 any llum = 9,46 ⋅ 1015 m = 63.241 UA Parsec (pc): distància a la qual 1 UA subtendeix un angle d’1 segon d’arc

Un estel es troba a una distància d’1 pc si la seva paral·laxi és 1 segon d’arc.

La dinàmica dels planetes: de Kepler a NewtonKepler va descriure el moviment dels planetes en termes físics, però va ser Newton el que va explicar per què tenen aquest moviment. Partint de les lleis de Kepler, Newton va enunciar la llei de gravitació universal, amb la qual explica que la força d’atracció del Sol als planetes varia inversament amb el quadrat de la distància, és la responsable del seu moviment i és una acció a distància.

Com qualsevol cos que gira, el moviment d’un planeta està causat per una força centrípeta:

Fc = m · v2/ r = m · (2π /T)2 · r

Tenint en compte la tercera llei de Kepler: T2 = k · r3, fent la substitució a l’equació anterior, obtenim:

Fc = m · (2π /T)2 · r = m · (4π2 / k · r3) · r = m · (4π2 / k · r2)

És a dir, la força centrípeta que explica el moviment dels planetes varia inversament amb el quadrat de la distància i és proporcional a la massa del planeta, m.

Com que el Sol havia de ser el causant de la força que movia els planetes, Newton va establir que 4π2 / k havia de ser proporcional a la massa del Sol, M: 4π2 / k = G · M.

Fent la substitució corresponent, obtenim:

• M: massa del Sol. • r: distància del Sol al planeta.• m: massa del planeta. • G: constant de gravitació universal.

La llei de la gravitació universal

La força gravitatòria també es posa de manifest entre dos cossos qualssevol. Sobre aquesta base, Newton va enunciar la llei de la gravitació uni versal:

Dos cossos qualssevol s’atrauen l’un a l’altre amb una força de mòdul directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa; la seva direcció és la de la línia que uneix els dos cossos, i el sentit és de l’un a l’altre.

Expressió vectorial de la llei de gravitació universal:

on és un vector unitari en la direcció de la línia que uneix les masses M i m.

Determinació de la constant de gravitació universal

El valor de la constant universal, G, va ser determinat l’any 1785 per Henry Cavendish (1731-1810) en mesurar l’atracció entre dues masses conegudes, utilitzant la balança de torsió:

Esquema de balança de torsió moderna

El valor que s’admet actualment és: G = 6,6742 · 10-11 N m2 kg-2

La força pes

El pes és la força amb què la Terra atrau els cossos.

Quan es deixa anar lliurement un cos, cau cap a la Terra amb una acceleració de 9,81 m s-2 (anomenada acceleració de la gravetat).

Quan un cos se situa a les proximitats d’un altre planeta o de la Lluna, o lluny de la superfície terrestre, el seu pes canvia i quan es deixi anar lliurement cau amb una acceleració diferent de 9,81 m s-2 .

El pes és una força dirigida cap al centre de la Terra

De què depèn l’acceleració de la gravetat?

Quan un cos està sobre la superfície del planeta:

i

Comparant les dues fórmules anteriors, obtenim:

Per tant, l’acceleració de la gravetat g en un planeta depèn de la massa i del radi d’aquest.

Interacció d’un conjunt de masses puntuals.Principi de superposició

Principi de superposició: Si en una determinada regió de l’espai hi tenim una sèrie de masses puntuals m1, m2, m3, etc., l’atracció que totes exerceixen sobre una altra massa m que es trobi a la mateixa regió ve donada per la suma vectorial de l’atracció que cadascuna de les masses m1, m2, m3, etc., exercirien sobre aquesta massa si només fossin presents les dues en aquell espai:

Els cicles de les mareesMarees: moviment de pujada i baixada del nivell de l’aigua del mar que es produeix de manera cíclica dues vegades al dia.

Newton va determinar que les marees eren el resultat de l’atracció gravitatòria que la Lluna i el Sol exerceixen sobre la Terra (l’aigua pot rebre una atracció diferent segons la proximitat a la Lluna.

Tots els punts de la Terra estan sotmesos a una força d’inèrcia, igual en tots els punts, deguda al seu moviment de rotació. El resultat d’aquestes dues forces és la força de la marea. La Terra fa una volta completa al voltant d’ella mateixa cada 24 hores, cada dia tenim dues marees altes i dues marees baixes.

• Durant el seu moviment de translació, de vegades la Terra se situa de manera que el Sol està en línia amb ella i amb la Lluna; l’efecte d’atracció gravitatòria del Sol se suma al de la Lluna i tenim unes marees de flux i de reflux més pronunciades del que és normal (marees vives).• Quan el Sol es col·loca de manera que la línia Sol-Terra és perpendicular a la línia Terra-Lluna , l’efecte atractiu del Sol compensa el de la Lluna i gairebé no hi ha variació en el nivell de les aigües durant les marees de flux i de reflux; aleshores es diu que es produeixen marees mortes.

Bibliografia

Batalla García, C.; Vidal Fernández, M.C. (2008). Física 2. Barcelona: Grup Promotor Santillana

Adreces web1. PRODUCTE VECTORIAL 4. GRAVITACIÓhttp://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/ http://grupoorion.unex.es/web/producto_vectorial/producto_vectorial.htm2%BA%20bach%20f%EDsica%20tema2.htmSimulació interessant sobre el producte vectorial Accés a diverses pàgines interactives relacionades vectorial.

2. MODELS D’UNIVERS 5. MOVIMENT PLANETARIhttp://www.astro.utoronto.ca/~zhu/ast210/geocentric.html http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/En aquesta pàgina podem entendre més bé les more_stuff/flashlets/kepler6.htmcaracterístiques del model geocèntric. En aquesta simulació es mostra el moviment d’un astre

al voltant del Sol. Es tria la distància al Sol i la velocitat,3. LLEIS DE KEPLER i es dibuixa la trajectòria corresponenthttp://www.sociedadelainformacion.com/ http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/kepler/departfqtobarra/gravitacion/kepler/1kepler/Kepler1.html kepler.html

http://www.sociedadelainformacion.com/ Altra simulació interessant per comprendre com varia la departfqtobarra/gravitacion/kepler/2kepler/ velocitat d’un planeta al llarg del recorregut que fa al voltant KeplersLawssegunda.html del Sol en funció de l’excentricitat de l’òrbita.http://www.sociedadelainformacion.com/ http://physics.syr.edu/courses/java/mc_html/departfqtobarra/gravitacion/kepler/3kepler/ kepler_frame.htmlKeplers3Law.html Aquesta simulació mostra els vectors velocitat i acceleracióSón tres simulacions senzilles que il•lustren les lleis durant el recorregut del planeta.de Kepler.