intensidad del campo electrico clase 3
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El campo eléctricoClase 3
27/Enero/2015
El campo eléctrico
La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra carga es un ejemplo
de acción a distancia, semejante a la fuerza gravitatoria ejercida por una
masa sobre otra.
La idea de acción a distancia presenta un problema conceptual difícil.
Para evitar el problema de la acción a distancia se introduce el concepto
del campo eléctrico.
Una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo
ejerce una fuerza sobre la otra carga
El campo eléctrico
+
+
-
F1
F2
F3
F = F1 + F2 + F3
q0
q1q3
q2
Una pequeña carga testigo
o de prueba) 𝑞0 en las
proximidades de un sistema
de cargas 𝑞1, 𝑞2 𝑦 𝑞3 ……..
Experimenta una Fuerza F
proporcional a 𝑞0. La
relación 𝐹/𝑞0 es el campo
eléctrico E en esa posición
El campo eléctrico
Por lo tanto en la siguiente figura se muestra una serie de cargas
puntuales, 𝑞1, 𝑞2 𝑦 𝑞3 dispuestas arbitrariamente en el espacio. Estas cargas
producen un campo eléctrico E en cualquier punto del espacio. Si
situamos una pequeña carga testigo o de prueba 𝑞0 en algún punto
próximo, esta experimentara la acción de una fuerza debido a las otras
cargas. La fuerza resultante ejercida sobre 𝑞0 es la suma vectorial de lasfuerzas individuales ejercidas sobre 𝑞0 por cada una de las otras cargas delsistema.
El campo eléctrico
Como cada una de estas fuerzas es proporcional a 𝑞0. Por lo tanto el
campo eléctrico 𝐸 en un punto se define por esta fuerza dividida por 𝑞0:
0
0
Pequeña
Definición del Campo Electrico
FE q
q
El campo eléctrico
La unidad del SI del campo eléctrico es el newton por coulomb 𝑁/𝐶 . En
la siguiente tabla se presentan algunos campos eléctricos de la
naturaleza.
𝑬,𝑵/𝑪
En los cables domésticos 10−2
En las ondas de radio 10−1
En la atmosfera 102
En la luz solar 103
Bajo una nube tormentosa 104
En la descarga de un relámpago 104
En un tubo de rayos X 106
El campo eléctrico
𝑬,𝑵/𝑪
En el electrón de un átomo de
hidrogeno
6 × 1011
En la superficie de un núcleo de
uranio
6 × 1021
El campo eléctrico
Es decir el campo eléctrico es un vector que describe la condición en el
espacio creada por el sistema de cargas puntuales. Desplazando la carga
testigo o de prueba 𝑞0 de un punto a otro, podemos determinar E en todos
los puntos del espacio (excepto el ocupado por una carga 𝑞). El campo
eléctrico E es, por lo tanto, una función vectorial de la posición. La fuerza
ejercida sobre una carga testigo o de prueba 𝑞0 en cualquier punto está
relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por:
0F Eq
El campo eléctrico
El campo eléctrico debido a una sola carga puntual 𝑞𝑖 en la posición 𝑟puede calcularse a partir de la ley de Coulomb. Si situamos una pequeñacarga testigo o de prueba positiva 𝑞0 𝑒𝑛 á𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 P la distancia 𝑟𝑖,𝑝 de la
carga 𝑞𝑖 , la fuerza que actúa sobre ellas es:
0
0
,0 ,02
,
iii
i
kq qr
rF
El campo eléctrico
El campo eléctrico en el punto P debido a la carga 𝑞𝑖 es por lo tanto:
,02
,0
Ley de coulomb para el
campo E creado por una
carga puntual
iii
i
kqE r
r
+
Punto de la Fuente
Punto del campo
𝑟𝑖,𝑝 𝑟𝑖,𝑝
𝐸𝑖,𝑝
𝑞𝑖
El campo eléctrico E en un punto P debido
a la carga 𝑞𝑖 colocada en un punto i
El campo eléctrico
En donde 𝑟𝑖,𝑝 es un vector unitario que apunta desde el punto de la fuente
i al punto de observación del campo o punto del campo P. El campo
eléctrico resultante debido a una distribución de cargas puntuales se
determina sumando los campos originados por cada carga
separadamente:
,, 2
,
Campo electrico E debido a un sistema de cargas puntuales
ii pp i p
i i i p
kqE E r
r
Problemas
Problema 1
Una carga de 4𝜇𝐶 esta en el origen. ¿Cual es el valor y dirección del
campo eléctrico sobre el eje 𝑥 en (a) 𝑥 = 6𝑚 y (b) 𝑥 = −10𝑚? (c) Hacer un
esquema de la función 𝐸𝑥 respecto a 𝑥 tanto para valores positivos como
negativos de 𝑥. (Recuérdese que 𝐸𝑥 es negativo cuando E señala en el
sentido negativo de las 𝑥.
Problemas
Solución
Expresamos el campo eléctrico en un punto 𝑃 situado a una distancia 𝑥desde una carga 𝑞
Evaluamos esta expresión para 𝑥 = 6𝑚
Inciso a
,02
( ) P
kqE x r
x
9 2 2
2
8.99 10 / 46
6
6 999 /
N m C CE m i
m
E m N C i
Problemas
Solución Inciso b
Evaluamos esta expresión para 𝑥 = −10𝑚
9 2 2
2
8.99 10 / 410
10
10 360 /
N m C CE m i
m
E m N C i
Problemas
Solución Inciso c
En el siguiente gráfico se trazó el campo Eléctrico, utilizando Excel con
diferentes valores del E con Excel.
Problemas
Problema 2
Dos cargas puntuales, cada una de ellas de +4𝜇𝐶, están sobre el eje 𝑥,una en el origen y la otra en 𝑥 = 8𝑚. Hallar el campo eléctrico sobre el eje
𝑥 en (a) 𝑥 = −2𝑚, (b) 𝑥 = 2𝑚, (c)𝑥 = 6𝑚 y 𝑑 𝑥 = 10𝑚. (e) ¿En que punto del
eje 𝑥 es cero el campo eléctrico? (f) Hacer un esquema de 𝐸𝑥 en función
de 𝑥.
Problemas
Solución
Sea q la que representa las cargas de +4𝜇𝐶 y utilizamos la ley de Coulomb
para encontrar el 𝐸 debido a una carga puntual y el principio de
superposición de campos para encontrar el campo eléctrico en los lugares
especificados.
Problemas
Solución
Tomando en cuenta que 𝑞1 = 𝑞2, utilizamos la ley de Coulomb y el principio
de superposición para expresar el campo eléctrico debido a las cargas
dadas en un punto P a una distancia x del origen, tenemos que:
1 2 1 2
1 2
1 2, ,22
1 2
, ,1 22
( ) ( ) ( )8
considerando que
1 1( )
8
q q q p q p
q p q p
kq kqE x E x E x r r
x m x
q q
E x kq r rx m x
Problemas
Solución Inciso a
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = −2𝑚 .Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = −2𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − −2m = 10m
Considerando
2
2 2
1 1( 2 ) 36,000 /
2 8 2
( 2 ) 9360 /
E m N m C i im m m
E m N C i
𝑃
𝑞1𝑥 = 0𝑚
𝑞2𝑥 = 8𝑚
𝑥 = −2𝑚
+ +𝑎 = 8𝑚
Problemas
Solución Inciso b
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 2𝑚. Tenemos
que:
Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 2𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − 2m = 6m
2
2 2
1 1(2 ) 36,000 /
2 8 2
(2 ) 8000 /
E m N m C i im m m
E m N C i
𝑃
𝑞1𝑥 = 0𝑚
𝑞2𝑥 = 8𝑚
+ +𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 2𝑚
Problemas
Solución Inciso c
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 6𝑚. Tenemos
que:
Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 6𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − 6m = 2m
2
2 2
1 1(6 ) 36,000 /
6 8 6
(6 ) 8000 /
E m N m C i im m m
E m N C i
𝑃
𝑞1𝑥 = 0𝑚
𝑞2𝑥 = 8𝑚
+ +𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 6𝑚
Problemas
Solución Inciso d
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 10𝑚 .
Tenemos que:
Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 10𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑥 − 𝑎 = 10m − 8m = 2m
2
2 2
1 1(10 ) 36,000 /
10 10 8
(10 ) 9350 /
E m N m C i im m m
E m N C i
𝑃
𝑞1𝑥 = 0𝑚
𝑞2𝑥 = 8𝑚
+ +𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 10𝑚
Problemas
Solución Inciso e
Considerando por simetría que
(2 ) 8000 /
(6 ) 8000 / }
(4 ) 0
E m N C i
y
E m N C i
E m
𝐸2𝑚 = 8𝑘𝑁/𝐶
𝐸4𝑚 = 0 𝑁/𝐶
𝐸2𝑚 𝐸6𝑚
𝐸6𝑚 = −8kN/C
Problemas
Solución Inciso f
Usando Excel y
graficando los
valores de 𝐸𝑥 en
función de 𝑥tenemos:
Problemas
Problema 3
Cuando se coloca una carga testigo o de prueba 𝑞0 = 2𝑛𝐶 en el origen,
experimenta la acción de una fuerza de 8 × 10−4𝑁 en la dirección positiva
del eje de las 𝑦. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? (b) ¿Cuál
sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de −4𝑛𝐶 situada en el
origen? (c) Si esta fuerza debida a una carga situada sobre el eje 𝑦 en 𝑦 =3𝑚, ¿cual será el valor de dicha carga?
Problemas
Solución Inciso a
Podemos encontrar el campo eléctrico en el origen a partir de la
definición y la fuerza sobre una carga considerando que 𝐹 = 𝑞𝐸. Además
podremos aplicar la ley de Coulomb para encontrar el valor de la carga
colocada en 𝑦 = 3 𝑐𝑚.
Aplicamos la definición del campo eléctrico y obtenemos:
4
0
8 10400 /
2
N jFE kN C j
q nC
Problemas
Solución Inciso b
Expresamos y evaluamos la fuerza sobre un cuerpo cargado en un campo
eléctrico
4 400 / 1.60F qE nC kN C j mN j
Problemas
Solución Inciso c
Aplicamos la ley de Coulomb y obtenemos
2
2
9 2 2
41.60
0.03
1.60 0.0340
8.99 10 / 4
kq nCj mN j
m
mN mq nC
N m C nC
Problemas
Problema 4
Una carga puntual 𝑄1 = 25𝑛𝐶 esta en el punto 𝑃1 4,−2,7 y una carga 𝑄2 =60𝑛𝐶 está en 𝑃2 −3,4, −2 . a) Si 𝜖 = 𝜖𝑜, encontrar E en el punto 𝑃3 1,2,3 . b)
¿En qué punto sobre el eje 𝑦 𝐸𝑥 = 0?
Problemas
Solución
Una carga puntual 𝑄1 = 25𝑛𝐶 esta en el punto 𝑃1 4,−2,7 y una carga 𝑄2 =60𝑛𝐶 está en 𝑃2 −3,4, −2 .
a) Si 𝜖 = 𝜖𝑜, encontramos E en el punto 𝑃3 1,2,3 . Este campo debe ser
𝐸 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄1𝑉13𝑉13
+𝑄2𝑉23𝑉23
𝐸 𝑟 =𝑄1
4𝜋𝜖𝑜 𝑟 − 𝑟12𝑎1 +
𝑄24𝜋𝜖𝑜 𝑟 − 𝑟2
2𝑎2 +⋯…… . . +
𝑄𝑛4𝜋𝜖𝑜 𝑟 − 𝑟𝑛
2𝑎𝑛
Problemas
Solución
Donde 𝑉13 = −3𝑖 + 4𝑗 − 4𝑘 𝑦 𝑉23 = 4𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘. También tenemos que 𝑉13 =
41 𝑦 𝑉23 = 45
𝐸 =10−9
4𝜋𝜖𝑜
25𝑉13𝑉13
3+60𝑉23𝑉23
3
Problemas
Solución
En consecuencia tenemos que
𝐸 =10−9
4𝜋𝜖0
25 × −3𝑖 + 4𝑗 − 4𝑘
41 41 1/2+60 × 4𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘
45 45 1/2
𝐸 = 4.58𝑖 − 0.15𝑗 + 5.51𝑘
Problemas
Solución
Tenemos que el 𝑃3 𝑒𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 0, 𝑦, 0 , por lo tanto el 𝑉13 = −4𝑖 + 𝑦 + 2 𝑗 − 7𝑘 y
𝑉23 = 3𝑖 + 𝑦 − 4 𝑗 + 2𝑘. Tambien tenemos que
𝑉13 = 65 + (𝑦 + 2)2 𝑦 𝑉23 = 13 + 𝑦 − 4 2
Por lo tanto la componente de 𝑥 del 𝐸 en el nuevo 𝑃3 𝑒𝑠
𝐸𝑥 =10−9
4𝜋𝜖𝑜
25× −4
65+ 𝑦+2 2 3/2+
60×3
13+ 𝑦−4 2 3/2
Problemas
Solución
Considerando que 𝐸𝑥 = 0 y simplificando la expresión del lado izquierdo
llegamos a la siguiente expresión cuadrática:
0.48𝑦2 + 13.92𝑦 + 73.10 = 0
La cual toma los valores de 𝑦 = −6.89, −22.11
Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
Si ahora se visualiza una región del espacio con un enorme número de
cargas separadas por distancias diminutas.
Esto realmente no es una limitación ya que nuestros resultados finales,
como ingenieros en comunicaciones, casi siempre están en términos de la
corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico,
o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún
fenómeno macroscópico a gran escala. En raras ocasiones es necesario
conocer una corriente electrón por electrón.
La densidad de carga volumétrica se simboliza con 𝜌𝑣, cuyas unidades son
coulomb por metro cúbico 𝐶/𝑚3
Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
La pequeña cantidad de carga ∆𝑄 en un volumen pequeño ∆𝑣 es:
∆𝑄 = 𝜌𝑣∆𝑣
Y se puede definir matemáticamente mediante la utilización de un
proceso de limite
𝜌𝑣 = lim∆𝑣→0
∆𝑄
∆𝑣
La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por
integración sobre todo el volumen
𝑄 = 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣𝑑𝑣
Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
La diferencial 𝑑𝑣 significa una integración a través de todo el volumen e
implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con
un solo símbolo de integración.
Problema
Una densidad volumétrica de carga uniforme de 0.2𝜇𝐶/𝑚3 esta en una
concha esférica que se extiende de 𝑟 = 3𝑐𝑚 𝑎 𝑟 = 5𝑐𝑚.
Si 𝜌𝑣 = 0 en cualquier otra parte, encontrar: a) la carga total presente en la
concha, y b) el valor de 𝑟1 si la mitad de la carga total está en la región
3𝑐𝑚 < 𝑟 < 𝑟1
Problema
Solución
Inciso a
Sin embargo para encontrar la carga total presente en la concha tenemos
que:
El volumen será 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 02𝜋 0𝜋 0.030.050.2 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ = 4𝜋 0.2
𝑟3
3 0.03
0.05
⟹
𝑄 = 8.21 × 10−5𝜇𝐶 = 82.1𝑝𝐶
Problema
Solución
Inciso b
Para encontrar el valor de 𝑟1 si la mitad de la carga total está en la región
3𝑐𝑚 < 𝑟 < 𝑟1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
El volumen será 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 02𝜋 0𝜋 0.03𝑟1 0.2 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ = 4𝜋 0.2
𝑟3
3 0.03
𝑟1⟹
Si consideramos que la mitad de la carga es
𝑄 =8.21×10−5𝜇𝐶
2= 4.105 × 10−5𝐶
Problema
Solución
Inciso b
4.105 × 10−5𝐶 = 4𝜋 0.2𝑟3
3 0.03
𝑟1⟹
𝑟1 =3×4.105×10−5
0.2×4𝜋+ 0.03 3
1/3
= 4.24𝑐𝑚