SUBSECRETARIacuteA DE EDUCACIOacuteN MEDIA SUPERIOR DIRECCIOacuteN GENERAL DE EDUCACIOacuteN TECNOLOacuteGICA INDUSTRIAL CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No 209

INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA Integrales Indefinidas que producen funciones trigonomeacutetricas inversas

RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

Ecuaciones cuadraacuteticas Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma x2 + bx + c cuando c no es un teacutermino cuadraacutetico

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer teacutermino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos Esto es trinomios de la forma

x2 + bx + c Regla para hallar el uacuteltimo teacutermino de x2 + bx + c El uacuteltimo teacutermino de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del teacutermino lineal Esto es el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros teacuterminos son es

1199092 + bx + (1198872

)2 ndash (1198872)2 +c ec (1)

Al completar el cuadrado queremos una ecuacioacuten equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado Para obtener la ecuacioacuten equivalente el nuacutemero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacioacuten Para su estudio se presentan los siguientes casos Caso 1 Cuando a=1 Ejemplo Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuacioacuten cuadraacutetica

X2 +2x - 3=0

Sean los coeficientes a =1 b = 2 c = 3 Anaacutelisis X2 + 2x ndash 3 = 0 Completando el trinomio cuadrado perfecto aplicando el modelo matemaacutetico o ec (1) se obtiene

X2 +2x + (22)2 - (2

2)2 ndash 3 = 0

X2 +2x + 1 ndash 1 - 3 = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando teacuterminos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos teacuterminos independientes resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica resulta

Suma de teacuterminos independientes

(X2 +2x + 1) ndash 1 - 3 = 0

Trinomio cuadrado perfecto

(x +1)2 - 4 = 0 u2 - a2 = 0 Comprobacioacuten

(x +1)2 - 4 = 0 X2 +2x +1- 4 = 0

X2 +2x ndash 3 = 0

a=1 rArr radic1 = 1 es un factor cuadraacutetico

c=3 rArr radic3 no es un teacutermino cuadraacutetico

Caso 2 Cuando ane1 Ejemplo Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuacioacuten cuadraacutetica

4x2 + 4x + 5 = 0

Anaacutelisis

4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 rArr radic5 no es un factor cuadraacutetico Completando el trinomio cuadrado perfecto aplicando el modelo matemaacutetico o ec (1) se obtiene

4x2 + 4x + 1 ndash 1 + 5 = 0 Aplicando la propiedad asociativa y agrupando teacuterminos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos teacuterminos independientes resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica resulta

(4x2 + 4x + 1) ndash 1 + 5 = 0 (2x + 1)2 + 4 = 0

u2 + a2 Ejemplos para discusioacuten en clase Resuelve las siguientes ecuaciones por el meacutetodo de completar el cuadrado 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 ndash 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA

Integral inmediata de la forma int 119941119958119958120784+119938120784

a= 4 rArr radic4 = 2 es un factor cuadraacutetico

Foacutermula

du

u2 + a2 = 1a

arctanua

+ C = 1a

tanminus1 ua

+ C Ejemplo

Integrar la expresioacuten int 211988911990941199092+4119909+5

Solucioacuten Factorizando la ecuacioacuten cuadraacutetica del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto se obtiene

2119889119909

41199092 + 4119909 + 5=

2119889119909

4(1199092 + 119909 + 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 12

2minus 1

22

+ 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 14 minus

14 + 5

4)=

2119889119909

4[(1199092 + 119909 + 14) minus 1

4 + 54]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2minus 1

4 + 54)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 4

4)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 1]

= 2119889119909

4 119909 + 12

2+ 4

u2 + a2 Anaacutelisis u2 = 4(x + 1

2)2 a2 = 4

u = 2(x + 12) a = 2

du = d[2(x +12)] = d(2x) + d(2

2)= 2dx + 0 = 2dx

Foacutermula int 119941119958119958120784+119938120784 = 120783

119938119938119955119940119957119938119951 119958

119938+ 119914 = 120783

119938119957119938119951minus120783 119958

119938+ 119914

Resolucioacuten

int 211988911990941199092+4119909+5

= int 2119889119909

4119909+122+4

= 12119886119903119888119905119886119899

2119909+12

2+ 119862 = 1

2119886119903119888119905119886119899 119909 +

12 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Resultado

int 2dx4x2+4x+5

= 12119886119903119888119905119886119899 119909 + 1

2 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

• INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA
• Ecuaciones cuadraacuteticas

X2 +2x - 3=0

Sean los coeficientes a =1 b = 2 c = 3 Anaacutelisis X2 + 2x ndash 3 = 0 Completando el trinomio cuadrado perfecto aplicando el modelo matemaacutetico o ec (1) se obtiene

X2 +2x + (22)2 - (2

2)2 ndash 3 = 0

X2 +2x + 1 ndash 1 - 3 = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando teacuterminos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos teacuterminos independientes resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica resulta

Suma de teacuterminos independientes

(X2 +2x + 1) ndash 1 - 3 = 0

Trinomio cuadrado perfecto

(x +1)2 - 4 = 0 u2 - a2 = 0 Comprobacioacuten

(x +1)2 - 4 = 0 X2 +2x +1- 4 = 0

X2 +2x ndash 3 = 0

a=1 rArr radic1 = 1 es un factor cuadraacutetico

c=3 rArr radic3 no es un teacutermino cuadraacutetico

Caso 2 Cuando ane1 Ejemplo Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuacioacuten cuadraacutetica

4x2 + 4x + 5 = 0

Anaacutelisis

4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 rArr radic5 no es un factor cuadraacutetico Completando el trinomio cuadrado perfecto aplicando el modelo matemaacutetico o ec (1) se obtiene

4x2 + 4x + 1 ndash 1 + 5 = 0 Aplicando la propiedad asociativa y agrupando teacuterminos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos teacuterminos independientes resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica resulta

(4x2 + 4x + 1) ndash 1 + 5 = 0 (2x + 1)2 + 4 = 0

u2 + a2 Ejemplos para discusioacuten en clase Resuelve las siguientes ecuaciones por el meacutetodo de completar el cuadrado 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 ndash 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA

Integral inmediata de la forma int 119941119958119958120784+119938120784

a= 4 rArr radic4 = 2 es un factor cuadraacutetico

Foacutermula

du

u2 + a2 = 1a

arctanua

+ C = 1a

tanminus1 ua

+ C Ejemplo

Integrar la expresioacuten int 211988911990941199092+4119909+5

Solucioacuten Factorizando la ecuacioacuten cuadraacutetica del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto se obtiene

2119889119909

41199092 + 4119909 + 5=

2119889119909

4(1199092 + 119909 + 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 12

2minus 1

22

+ 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 14 minus

14 + 5

4)=

2119889119909

4[(1199092 + 119909 + 14) minus 1

4 + 54]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2minus 1

4 + 54)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 4

4)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 1]

= 2119889119909

4 119909 + 12

2+ 4

u2 + a2 Anaacutelisis u2 = 4(x + 1

2)2 a2 = 4

u = 2(x + 12) a = 2

du = d[2(x +12)] = d(2x) + d(2

2)= 2dx + 0 = 2dx

Foacutermula int 119941119958119958120784+119938120784 = 120783

119938119938119955119940119957119938119951 119958

119938+ 119914 = 120783

119938119957119938119951minus120783 119958

119938+ 119914

Resolucioacuten

int 211988911990941199092+4119909+5

= int 2119889119909

4119909+122+4

= 12119886119903119888119905119886119899

2119909+12

2+ 119862 = 1

2119886119903119888119905119886119899 119909 +

12 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Resultado

int 2dx4x2+4x+5

= 12119886119903119888119905119886119899 119909 + 1

2 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

• INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA
• Ecuaciones cuadraacuteticas

Caso 2 Cuando ane1 Ejemplo Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuacioacuten cuadraacutetica

4x2 + 4x + 5 = 0

Anaacutelisis

4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 rArr radic5 no es un factor cuadraacutetico Completando el trinomio cuadrado perfecto aplicando el modelo matemaacutetico o ec (1) se obtiene

4x2 + 4x + 1 ndash 1 + 5 = 0 Aplicando la propiedad asociativa y agrupando teacuterminos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos teacuterminos independientes resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica resulta

(4x2 + 4x + 1) ndash 1 + 5 = 0 (2x + 1)2 + 4 = 0

u2 + a2 Ejemplos para discusioacuten en clase Resuelve las siguientes ecuaciones por el meacutetodo de completar el cuadrado 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 ndash 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA

Integral inmediata de la forma int 119941119958119958120784+119938120784

a= 4 rArr radic4 = 2 es un factor cuadraacutetico

Foacutermula

du

u2 + a2 = 1a

arctanua

+ C = 1a

tanminus1 ua

+ C Ejemplo

Integrar la expresioacuten int 211988911990941199092+4119909+5

Solucioacuten Factorizando la ecuacioacuten cuadraacutetica del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto se obtiene

2119889119909

41199092 + 4119909 + 5=

2119889119909

4(1199092 + 119909 + 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 12

2minus 1

22

+ 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 14 minus

14 + 5

4)=

2119889119909

4[(1199092 + 119909 + 14) minus 1

4 + 54]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2minus 1

4 + 54)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 4

4)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 1]

= 2119889119909

4 119909 + 12

2+ 4

u2 + a2 Anaacutelisis u2 = 4(x + 1

2)2 a2 = 4

u = 2(x + 12) a = 2

du = d[2(x +12)] = d(2x) + d(2

2)= 2dx + 0 = 2dx

Foacutermula int 119941119958119958120784+119938120784 = 120783

119938119938119955119940119957119938119951 119958

119938+ 119914 = 120783

119938119957119938119951minus120783 119958

119938+ 119914

Resolucioacuten

int 211988911990941199092+4119909+5

= int 2119889119909

4119909+122+4

= 12119886119903119888119905119886119899

2119909+12

2+ 119862 = 1

2119886119903119888119905119886119899 119909 +

12 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Resultado

int 2dx4x2+4x+5

= 12119886119903119888119905119886119899 119909 + 1

2 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

• INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA
• Ecuaciones cuadraacuteticas

Foacutermula

du

u2 + a2 = 1a

arctanua

+ C = 1a

tanminus1 ua

+ C Ejemplo

Integrar la expresioacuten int 211988911990941199092+4119909+5

Solucioacuten Factorizando la ecuacioacuten cuadraacutetica del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto se obtiene

2119889119909

41199092 + 4119909 + 5=

2119889119909

4(1199092 + 119909 + 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 12

2minus 1

22

+ 54)

= 2119889119909

4(1199092 + 119909 + 14 minus

14 + 5

4)=

2119889119909

4[(1199092 + 119909 + 14) minus 1

4 + 54]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2minus 1

4 + 54)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 4

4)]

= 2119889119909

4[119909 + 12

2+ 1]

= 2119889119909

4 119909 + 12

2+ 4

u2 + a2 Anaacutelisis u2 = 4(x + 1

2)2 a2 = 4

u = 2(x + 12) a = 2

du = d[2(x +12)] = d(2x) + d(2

2)= 2dx + 0 = 2dx

Foacutermula int 119941119958119958120784+119938120784 = 120783

119938119938119955119940119957119938119951 119958

119938+ 119914 = 120783

119938119957119938119951minus120783 119958

119938+ 119914

Resolucioacuten

int 211988911990941199092+4119909+5

= int 2119889119909

4119909+122+4

= 12119886119903119888119905119886119899

2119909+12

2+ 119862 = 1

2119886119903119888119905119886119899 119909 +

12 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Resultado

int 2dx4x2+4x+5

= 12119886119903119888119905119886119899 119909 + 1

2 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

• INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA
• Ecuaciones cuadraacuteticas

Resolucioacuten

int 211988911990941199092+4119909+5

= int 2119889119909

4119909+122+4

= 12119886119903119888119905119886119899

2119909+12

2+ 119862 = 1

2119886119903119888119905119886119899 119909 +

12 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Resultado

int 2dx4x2+4x+5

= 12119886119903119888119905119886119899 119909 + 1

2 + 119862 =

12119905119886119899minus1 119909 + 1

2 + 119862

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

• INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MEacuteTODO DE SUSTITUCIOacuteN ALGEBRAICA
• Ecuaciones cuadraacuteticas

Foacutermula int119941119958119958120784+ 119938120784= 120783119938arctanua + C = 1119886119879119886119899minus1 119906119886+119862 Resolucioacuten int211988911990941199092+ 4x +5= 121198861199031198881199051198861198992996352119909+129963522 = 12119886119903119888119905119886119899996352119909+12996352= 12119879119886119899minus1 996352119909+12996352 +C

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• Ecuaciones cuadraacuteticas