SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209

INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Por: M. C. Arturo Vázquez Córdova

RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS Ecuaciones cuadráticas Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c, cuando c no es un término cuadrático Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + c Regla para hallar el último término de x2 + bx + c El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son:

𝑥2 + bx + (𝑏2

)2 – (𝑏2)2 +c ec. (1)

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Para su estudio se presentan los siguientes casos:

Caso 1: Cuando a=1: Ejemplo: Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:

X2 + 2x - 3=0

Sean los coeficientes: a =1 b = 2 c = 3 Análisis: X2 +2x -3=0 Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se obtiene:

X2 +2x + (22)2 - (2

2)2 – 3 = 0

X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta:

Suma de términos independientes

(X2 +2x + 1) – 1 - 3 = 0

Trinomio cuadrado perfecto

(x +1)2 - 4 = 0 u2 + a2 = 0

a=1 ⇒ √1 = 1: es un factor cuadrático

c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadrático

Comprobación (x +1)2 - 4 = 0

X2 +2x +1- 4 = 0 X2 +2x – 3 = 0

Caso 2: Cuando a≠1 Ejemplo: Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática.

4x2 + 4x + 5 = 0

Análisis:

4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor cuadrático Factorizando la ecuación cuadrática. Resulta:

4(x2 + x + 54) = 0

Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se obtiene:

4[x2 + x + �12�2 - �1

2�2 + 5

4] = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta:

4[x2 + x + 14 - 1

4 + 5

4] = 0

4[(x2 + x + 𝟏

𝟒 ) - 1

4 + 5

4] = 0

4[�𝑥 + 12�2 - 1

4 + 5

4] = 0

4[(2x + 1)2 + 44 ]= 0

4(2x + 1)2 + 4�44� = 0

4(2x + 1)2 + 4 = 0

u2 + a2

a= 4 ⇒ √4 = 2; es un factor cuadrático

Actividad de aprendizaje Instrucción: resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0

INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Integral inmediata de la forma ∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐 +𝒂𝟐.

Fórmula

∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐+𝒂𝟐

= 𝟏𝒂

arctan ua +C = 1

𝑎𝑇𝑎𝑛−1 𝑢

𝑎+ 𝐶

Ejemplo: Integrar la expresión ∫ 2𝑑𝑥

4𝑥2+ 4x +5.

Solución Factorizando la ecuación cuadrática del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto, se obtiene: ∫ 2𝑑𝑥

4𝑥2+ 4x +5 = ∫ 2𝑑𝑥

𝟒(𝒙𝟐 + 𝒙+54) =∫ 2𝑑𝑥

𝟒(𝒙𝟐 + 𝒙+(𝟏𝟐)𝟐−(122

)+54) = ∫ 2𝑑𝑥

𝟒[(𝒙𝟐 + 𝒙+𝟏𝟒)−14+54]

= ∫ 2𝑑𝑥

𝟒[�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�−14+54]

∫ 2𝑑𝑥

𝟒[�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�+44] = ∫ 2𝑑𝑥

𝟒�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�+4

u2 + a2

Análisis u2 = 4(x + 1

2)2 a2 = 4

u = 2(x + 12) a = 2

du = d[2(x + 12)] = d(2x) + d(1

2)= 2dx +0 = 2dx

Fórmula ∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐+ 𝒂𝟐 = 𝟏

𝒂arctan u

a + C = 1

𝑎𝑇𝑎𝑛−1 𝑢

𝑎+ 𝐶

Resolución

∫ 2𝑑𝑥4𝑥2+ 4x +5

= 12𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

2�𝑥+12�

2 = 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 �𝑥 + 1

2� = 1

2𝑇𝑎𝑛−1 �𝑥 + 1

2� +C