INTEGRALES IMPROPIAS

...debe haber propias

Integrales Propias

• El intervalo o dominio de integración [a, b] sea finito.

• El rango de integración sea finito en ese intervalo de integración.

Integrales Impropias

x

yxexy −= 4

∫∞

−

0

4 dxex x

Intervalo de integración infinito

Integrales Impropias

xy /1=

x

y

∫1

0

1dx

x

f tiene una discontinuidad infinita en [a,b]

Límites de integración infinitos

1.Determinar la primitiva de

2. Determinar la integral definida

3.Después determinamos el límite cuando b→ ∞

∫∞

−

0

4 dxex x

xexy −= 4=∫

− dxex x4

∫−

bx dxex

0

4

[ ]xx eex −− −−4

=∫−

bx dxex

0

4 4]1[4 ++− − be b

{ } 44]1[4lim =++− −

∞→be b

b

Integrales Impropias del tipo I1.Si f(x) es continua en [a,∞) entonces:

2. Si f(x) es continua en (-∞, b] entonces:

∫∫ ∞→

∞

=b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)(

∫∫ −∞→∞−

=b

aa

b

dxxfdxxf )(lim)(

Integrales Impropias del tipo I3.Si f(x) es continua en (-∞, ∞) entonces:

∫∫∫ ∞→−∞→

∞

∞−

+=b

cb

c

aa

dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(

en donde c es cualquier número real.

Convergencia y divergencia

En cada caso:

Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia.

Si el límite no existe, la integral impropia diverge.

EjemplosDeterminar la convergencia de las siguientes integrales impropias.

∫∞

∞− +dx

x 21

1

∫∞

1

1dx

x pa.

b.

Límites de integración infinitos

Integrando con asíntotas verticales

Otro tipo de integrales impropias se presenta cuando el integrando tiene una asíntota vertical-una discontinuidad infinita-en un límite de integración o en algún punto entre los límites de integración.

Integrales Impropias del tipo II1.Si f(x) es continua en (a,b] entonces:

2. Si f(x) es continua en [a,b) entonces:

∫∫ +→=

b

cac

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

∫∫ −→=

c

abc

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Integrales Impropias del tipo II3.Si f(x) es discontinua en c, donde a<c<b, y

continua en [a,c)Ụ(c, b] entonces:

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Convergencia y divergencia

En cada caso:

Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia.

Si el límite no existe, la integral impropia diverge.

Convergencia y divergencia

En el caso 3 de la definición, la integral del lado izquierdo de la ecuación converge si ambas integrales del lado derecho convergen, de otra forma, diverge.

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

EjemplosDeterminar la convergencia de las siguientes integrales impropias.

∫ −

1

0 1

1dx

x

( )∫−

1

0 32

1

1dx

x

a.

b.