CÁLCULO II

CAPÍTULO # 1

INTEGRALES IMPROPIAS

Introducción:

Al calcular una integral definida, el resultado representaba el área encerrada

entre el eje x y la curva (gráfico):

En la definición de la integral definida:

∫a

b

f ( x )dx=F (a )−F (b)

Fueron impuestas las siguientes restricciones:

1. El intervalo I = [a, b] es acotado y2. La función es acotada en el intervalo I

Para liberarnos de estas restricciones se deben efectuar ciertas consideraciones en el concepto de la integral definida. Estas extensiones son las siguientes:

1. b=+∞(óa=−∞)2. [a, b] es acotado y f ¿

En consecuencia se tienen integrales definidas denominadas impropias.

En este sentido podemos decir que se llaman integrales impropias aquellas en las cuales uno o ambos límites están abiertos (se encuentran en ±∞) o aquellas en las cuales uno o ambos límites hacen infinita la función a integrar, o para algún valor del dominio de la función surge alguna indeterminación.

Clasificación de Integrales Impropias:

De acuerdo a las definiciones expuestas líneas arriba tendremos:

Integrales Impropias del Tipo I (con límites infinitos) y del Tipo II (con límites finitos). Para resolver cualquiera de estas integrales se debe calcular el límite de la integral definida asociada.

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 1

Tipo I. Integrales Impropias con Límites Infinitos:

Son de tres especies:

∫a

+∞

f ( x )dx ;∫−∞

b

f ( x )dx ;∫−∞

+∞

f ( x )dx

Primera Especie:

Sea f : I →R, (donde I = ¿ una función integrable en el intervalo [a , t ]para todo t∈ I. Consideremos la función continua, entonces:

F ( t )=∫a

t

f (x )dx , t∈ I

Se dice que la integral impropia tipo I de primera especie: ∫a

+∞

f ( x )dx es

convergente cuando existe y es finito el límite al infinito de la función f (t) Cuando el límite no existe o es infinito se dice que la integral impropia es divergente.

Por lo expuesto una integral impropia tipo I de primera especie se define y denota de la siguiente manera: (Gráfico)

∫a

+∞

f ( x )dx= limt→+∞

∫a

t

f ( x )dx

Si f ( x )≥0 ,∫a

t

f (x )dx representa el área de la región plana limitada por las

gráficas de f, el eje X y las rectas: x=a y x=t. Luego, cuando la integral impropia es convergente, significa que ese número a la cual converge la integral es el área de la región plana infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y la recta x=a.

Ejem. 1 Calcular las siguientes integrales:

Segunda Especie:

Sea f : I →R, (donde I = ¿−∞ ,b ¿¿¿ una función integrable en el intervalo [ t , b ]para todo t∈ I. Consideremos la función continua, entonces:

F ( t )=∫t

b

f (x )dx , t∈ I

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 2

Se dice que la integral impropia tipo I de segunda especie ∫−∞

b

f ( x )dx es

convergente cuando existe y es finito el límite al infinito de la función, casa contrario es divergente.

Por lo expuesto anteriormente una integral impropia tipo I de segunda especie se define y denota de la siguiente manera: (gráfico)

∫−∞

b

f ( x )dx= limt →−∞

∫t

b

f ( x )dx

Si f ( x )≥0, la integral impropia ∫−∞

b

f ( x )dx representa, si es convergente, el área

de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y la recta: x=b.

Ejem. 2 Calcular las siguientes integrales:

Tercera Especie:

Si cϵ R, (c es arbitrario) y son convergentes las integrales impropias:

∫−∞

c

f ( x )dx y∫c

+∞

f ( x )dx

Se define y se denota: (Gráfico)

∫−∞

+∞

f ( x )dx=∫−∞

c

f (x )dx+∫c

∞

f ( x )dx=¿ limt→−∞

∫t

b

f (x )dx+ limt→+∞

∫a

t

f ( x )dx¿

Esta definición no depende del número c considerado.

Ejem. 3 Calcular las siguientes integrales:

Tipo II. Integrales Impropias con Límites Finitos:

Al igual que el tipo I son de tres especies.

Primera Especie:

Sea f : I →R, (donde I = ¿ una función integrable en el intervalo [a , t ]para todo t∈ I. Consideremos la función continua, entonces:

F ( t )=∫a

t

f (x )dx , t∈ I

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 3

Se dice que la integral impropia: ∫a

b

f ( x )dx es convergente cuando existe y es

finito el límite cuando t tiende a b por la izquierda, es decir:

∫a

b

f ( x )dx= limt→b−¿∫

a

t

f ( x )dx

¿¿

La definición anterior es equivalente a: (Gráfico)

∫a

b

f ( x )dx= limε→0+¿ ∫

a

b−ε

f ( x )dx

¿¿

Si f (x)≥0 en [a, b], la integral impropia ∫a

b

f ( x )dx representa, si es convergente,

el área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y las rectas x=a y x=b.

Ejem. 4 Calcular las siguientes integrales:

Segunda Especie:

Sea f : I →R, (donde I = ¿a ,b¿¿¿ una función integrable en el intervalo [ t , b ]para todo t∈ I. Consideremos la función continua, entonces:

F (t )=∫t

b

f (x )dx , t∈ I

Se dice que la integral impropia: ∫a

b

f ( x )dx es convergente cuando existe y es

finito el límite cuando t tiende a a por la derecha, es decir:

∫a

b

f ( x )dx= limt→a+¿∫

t

b

f (x )dx

¿¿

La definición anterior es equivalente a: (Gráfico)

∫a

b

f ( x )dx= limε→0´+¿∫

a +ε

b

f ( x )dx

¿¿

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 4

Si f (x)≥0 en [a, b], la integral impropia ∫a

b

f ( x )dx representa, si es convergente,

el área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y las rectas x=a y x=b.

Ejem. 5 Calcular las siguientes integrales:

Tercera Especie:

Si la función f es finita en los puntos a y b, y para cualquier cϵ ¿a ,b¿ son convergentes las integrales:

∫a

c

f ( x )dx y∫c

b

f ( x )dx

Se define y se denota: (Gráfico)

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x )dx=¿ limε→0+¿ ∫

a

b−ε

f (x )dx+ limt→ ε+¿ ∫

a+ ε

b

f (x )dx ¿

¿

¿¿¿

Ejem. 6 Calcular las siguientes integrales:

Integrales Impropias con Integrandos no Negativos:

En las siguientes proposiciones consideramos: b=+∞ ó b∈R y f ¿. También son validos las proposiciones análogas: a=−∞ ó a∈R y f ¿.

Propiedad 1: Sea f una función no negativa en [a, b[ (esto es f (x)≥0),

integrable en [a, t] para todo t∈ ¿. Si la función F ( t )=∫a

t

f (x )dx es acotada

en [a, b[, entonces ∫a

b

f ( x )dx converge.

Propiedad 2: (Criterio de Comparación) Sean f y g funciones tales que 0≤ f ( x )≤ g ( x ) , ∀ x∈ ¿ e integrables en el intervalo [a, t], para todo t∈ ¿. Se tiene:

a) Si ∫a

b

g (x)dx converge, entonces ∫a

b

f (x )dx converge.

b) Si ∫a

b

f (x )dx diverge, entonces ∫a

b

g (x)dx diverge.

Definición:

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 5

Se dice que una integral impropia Tipo II es Absolutamente Convergente cuando

∫a

b

|f (x )|dx

es convergente.

Propiedad 3: Si la integral ∫a

b

f (x )dx es absolutamente convergente,

entonces es convergente.

Propiedad 4: (Criterio del Límite) Sean f y g funciones positivas integrables en el intervalo [a, t], para todo t∈ ¿ y supongamos que:

limx→b−¿ f ( x)

g (x)=r¿

¿

se tiene:

a) Si 0≤r ≤+∞, entonces las integrales impropias:

F=∫a

b

f ( x )dx y G=∫a

b

g ( x )dx

Son ambas convergentes o ambas divergentes.

b) Si r=0 y G converge, entonces F converge.

c) Si r=±∞ y G diverge, entonces F diverge.

Propiedad 5: Sea f una función integrable en el intervalo [a, t], ∀ t∈ ¿ y supongamos que:

limx→+∞

x p f (x)=r<+∞

Se tiene:

a) Si p>1, entonces ∫a

+∞

f ( x )dx converge.

b) Si r ≠0 y0< p<1, entonces ∫a

+∞

f ( x )dx diverge.

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 6

Propiedad 6: Sea f una función integrable en el intervalo [a, t], ∀ t∈ ¿, b∈R y supongamos que:

limx→b−¿(b− x)p f ( x)=r<+∞¿

¿

Se tiene:

a) Si 0< p<1, entonces ∫a

b

f ( x )dx converge.

b) Si r ≠0 y p≥1, entonces ∫a

b

f ( x )dx diverge.

Ejem. 7 Calcular las siguientes integrales:

Ejercicios:

Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza Página 7