integrales con polos en el eje x
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solo a los polos kz tales que 1kz < . Cabe recordar que el resultado de esta
integral debe ser un nmero real.
Ejemplo 1:
Calcular:2
20
1d
1 sen
+
Aplicando la frmula anterior:
2
2 20 2
1
1 1
111
2z
dzd
jzsenz
jz
=
=+
+
simplificando:
2
2 4 201
1 4
1 ( 6z
d dsen j z z
= 1)
z
=+ +
Ahora resolvemos la integral compleja aplicando el teorema de los residuos: Las
singularidades son:
1
2
3
4
1 2 1
1 2 1 ,polo simple
1 2 1 ,polo simple
1 2 1
z z
z z
z z
z z
= + +
3.-
+
2
02
2
21
)3(cos
aasen
d, (a, a1)
4.-2
20 1
dx
sen x
+
5.-0 3 2cos
dx
x
+
Pruebe que:
6.- ( )( )
2
220
2 !cos , 1,2,
2 !
n
n
nd n
n
= = (Frmula de Wallis)
7.-2
21 cos
d
=
+
8.-2
2 20
cos2, ( 1 1)
1 2 os 1
d aa
ac a a
=
= + =
Figura 2
Se observa que:1
( ) ( )r
rC
f z dz f x dx
=
6
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por lo que:
2Im( ) 0
( ) 2 Re ( ( ), ) ( )k
rk
rz C
f x dx j s f z z f z dz
>
=
haciendo que , nos queda:r
2Im( ) 0
( ) 2 Re ( ( ), ) lim ( )k
kr
z C
f x dx j s f z z f z dz
>
=
Ahora bien, si:
(4)2
lim ( ) 0r
C
f z dz
=
entonces:
Im( ) 0
( ) 2 Re ( ( ), )k
k
z
f x dx j s f z z
>
= (5)
La condicin 4ocurre cuando se cumple que:
lim . ( ( e ) ,0 ) 0jr
r Max f r
=
Debido a que de acuerdo con la desigualdad M.L., se tiene:
( )( )2
lim ( ) lim e . 0jr r
C
f z dz Max f r r
=
y en consecuencia:
2
lim ( ) 0r
C
f z dz
=
7
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Si consideramos la funcin racional ( ) ( ) ( )f z p z q z= , entonces podemos escribir:
11 0
1
1 0
( )( )
( )
n nn n
m m
m m
p z a z a z af z
q z b z b z b
+ + += =+ + +
donde suponemos que el grado del denominador es mayor al grado del
numerador. Si
m n
z tiende hacia infinito, los trminos de mayor grado predominan
sobre los dems, por lo que podemos intuir que:
( )
( )
n
n
m
m
l
p z a z k
q z b z z = , l m n=
As, sobre z r= , ( rgrande) podemos escribir:
( )
( ) lp z k
Mq z r
=
si , tenemos al menos:2l
2
2( )C
k kf z dz rr r =
con estas condiciones, nos queda:
2
lim ( ) 0r
C
f z dz
=
Como alternativa, podemos considerar como camino auxiliar para cerrar el
contorno y aplicar el teorema de los residuos a la trayectoria
2 : e , 2jBC z r=
, (figura 3), de tal manera que si se cumple que:
2
lim ( ) 0
B
rC
f z dz
=
8
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entonces:
Im( ) 0
( ) 2 Re ( ( ), )k
k
z
f x dx j s f z z
+ + +
=
Si consideramos a ( )f z tal que:
lim ( ) 0
A
rC
f z dz
=
entonces:
2C
C
rw
0Im( ) 00 0
lim ( ) lim ( ) 2 Re ( ( ), ) lim ( )r
rk
w r
kr wr r
z C
f z dz f z dz j s f z z f z dz
+ >
+ =
Figura 4
10
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parametrizando C:
: ,jrC z w e= +
0
El desarrollo en serie de Laurent en un entorno de (polo simple), tiene la
siguiente forma:r
w
( ) 10
( ) , 0( )
k
k r r
k r
bf z a z w z w
z w
=
= + <
<
Sustituyendo ( )f z por su desarrollo de Laurent dentro de la integral, y
sustituyendo a por (z jrw e+
), nos queda:
111
0 00 0
( ) k j j k ji ijk kC
b
0f z dz a e j e d j a e d jb d
e
+
= =
= + =
y tomando el lmite cuando 0 ,
1
10 00 0
0
lim ( ) lim k j
i
kC
f z dz j a e d jb d
+
=
=
1
10 00 0 0
0
lim ( ) lim limk jikC
f z dz j a e d jb d
+
=
=
( )10
lim ( ) Re ( , )RC
f z dz jb j s f z w
= =
finalmente se obtiene:
( ) ( )Im( ) 0
2 Re ( ( ), ) Re ( ,k
k R
z
)f x dx j s f z z j s f z w
>
= +
En general, si tenemos varios polos simples sobre el eje real tendremos:
( ) ( )Im( ) 0 Im( ) 0
2 Re ( ( ), ) Re ( ,k m
k m
z w
)f x dx j s f z z j s f z w
> =
= + (6)
11
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Si consideramos como camino auxiliar para cerrar el contorno a la
semicircunferencia2 : e , 2
j
BC z r= , en el semiplano inferior, y
: ,jB rC z w e= +
2 , como se muestra en la figura 5, se obtiene el
siguiente resultado:
( ) ( )Im( ) 0 Im( ) 0
2 Re ( ( ), ) Re ( ,k m
k m
z w
)f x dx j s f z z j s f z w
< =
= (7)
Figura 5
Ejemplo 3:
Calcular:( ) ( )
22
1
1 1
xdx
x x
+ +
En primer lugar, se verifican las condiciones establecidas para aplicar la frmula 6 y
como el grado del denominador es mayor al menos en 2 al grado del numerador,
entonces la integral de ( )f z sobre el contorno C es cuando r :2 0
Polos con Im( :) 0z >
(polo doble)1z j=
Polos simples en el eje real:
2 1z =
12
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Calculo de los residuos:
Residuo en z j= .
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 22
11 1Re , lim lim
1! 11 1z j z j
z z j zs f z j
z j zz z
= = = + ++ +
calculando previamente los trminos de la derivada del cociente:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
1 1 , ( 1) 1 , 1 4
1 2 1 8 4
z j z jz j
z jz j
z j z z j z
z j z z j z z j j
= = =
==
= = + + =
+ + = + + + + = +
4j
queda:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( )2
1 4 4 1 8 4 8 8 1 1Re ,
32 4 44 4
j j j js f z j j
jj
+ += = = = +
Residuo en 1z= .
[ ]
( ) ( )2
2
1
1 1Re , 1
21 1
z
zs f z
z z=
= = =
+ +
finalmente:
( ) ( )[ ] [ ]2
2
12 Re , Re , 1
1 1
1 1 12 ( )4 4 2
xdx j s f j j s f
x x
j j j
= +
+ +
= +
y simplificando resulta:( ) ( )
22
1
21 1
xdx
x x
=
+ +
13
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Ejemplo 4:
Calculemos( )60
11
dxx
+
Esta integral no tiene lmites de integracin de - a , sin embargo, como el
integrando es una funcin par podemos calcular la integral original como:
( ) ( )126 60
1 1
1 1dx dx
x x
=
+ +
Las singularidades de la funcin integrando son las seis races sextas de -1.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
61 1
6 3
2 2
2
6 3
3 3
6
4 4
4
6 3
5 5
5
6 3
6 6
3 1, Im 0
2 2
, Im 0
3 1, Im 0
2 2
3 1 , Im 02 2
, Im 0
3 1, Im 0
2 2
j
j
j
j
j
j
z e j z
z e j z
z e j z
z e j z
z e j z
z e j z
+
+
+
+
+
= = + >
= = >
= = +
= = (8)
Demostracin:
Utilizando el valor principal de Cauchy para la integral impropia, y
transformndola a una integral compleja, se tiene:
( ) ( )limr
jax jaz
rr
f x e dx f z e dz
=
y segn el teorema de los residuos:
( ) ( ) ( )2
lim lim 2 Re ( , )
r
jaz jaz jaz
kr r
kr C
f z e dz f z e dz j s f z e z
+ =
donde es el contorno mostrado en la figura 2.2C
17
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Para demostrar el teorema basta con probar que:
( )2
lim 0jazr
C
f z e dz =
En efecto, aplicando la desigualdad ML al contorno :2C
( ) ( )2 2 2
jaz jaz jaz
C C C
f z e dz f z e dz M e dz
donde M es el ( )( )Max f z sobre , entonces:2C
( ) ( )2
(
0 0ejaz jt ja rcoost jrsent ar sent
C
f z e dz f r e r dt Me r dt+ = =
como:
, 02
tsen t t
y 0a>
entonces:
2 2
0 0 02 2
tar
ar sent ar sent Me r dt M e r dt M e r dt M
=
=
en conclusin:
( )A
jaz
C
f z e dz M
Si hacemos que yr
( )( )lim 0r
M Max f z
= =
18
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se obtiene:
( )2
lim 0jazr
C
f z e dz =
y entonces:
( ) ( )2 Re ( ,jax jaz kk
)f x e dx j s f z e z
= con ( )Im 0kz > (9)
Si ( )f z tiene polos simples en el eje real, tendremos que:
(10)( ) ( )
( )
( )( )
Im 0
Im 0
2 Re ( , )
Re ( , ) , 0
k
m
jax jaz
k
z
jaz
m
w
f x e dx j s f z e z
j s f z e w a
>
=
=
+ >
En el caso de , utilizamos como camino auxiliar a la semicircunferencia en el
semiplano inferior lo que nos conducir al siguiente resultado:
0a =
en virtud de las frmulas 10 y 11, y adems:
10dt
t
=
por ser1
tuna funcin impar, entonces:
( )
0 ,
,
0 ,
a
F a a
a
<
= >
Esta transformada de Fourier corresponde a un filtro pasa-bajo ideal confrecuencia de corte a= .
20
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Ejemplo 6:
Calcular la transformada de Fourier inversa de2 2
2a +
.
La transformada inversa viene dada por la integral:
2 2
1 2
2
jxe d
a
+
Para , y aplicando la frmula 9, se tiene:0x>
2 2 2 2
2 22 Re ,jx jxe d j s e aj
a a
= = + +
donde:
2 2
2Re ,
jxw axjx
w aj
e es e aj
w aa
=
= = =
+ j
por lo tanto:
2 2
1 2, 0
2
axjx e
e d xaa
= >
+
Para , y aplicando la frmula 11, se tiene:0xGrado P) , Q x) puede tener polos reales simples, y a >0
Como , entonces:cosj axe ax jsen= + ax
( )
( )
( )
( )Im( )
jaxP x P x
sen axdx e dxQ x Q x
=
( )
( )
( )
( )
cos Re( )jax
P x P xaxdx e dx
Q x Q x
=
Si el grado del polinomio P es menor que el grado del polinomio Q se cumple
que:
( )lim 0
( )r
P zMax
Q z
=
y entonces aplicando la frmula 10 se tiene:
( )( ) ( )( )
( )
( )
Im 0
Im 0
Im[2 Re ( , )( )
Re ( , )] , 0( )
k
m
jazk
z
jaz
m
w
P x P zsen axdx j s e z
Q x Q z
P zj s e w a
Q z
>
=
=
+ >
(12)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Im 0
Im 0
cos Re[2 Re ( , )( )
Re ( , )] , 0( )
k
m
jaz
k
z
jaz
m
w
P x P zaxdx j s e z
Q x Q z
P zj s e w a
Q z
>
=
=
+ >
(13)
En el caso en que a
-
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Otra alternativa es tomar la parte real e imaginaria en la frmula 11, que
corresponde a valores de a = + z
j
j
Los polos del integrando son:
, (polo simple) Im(z1 1 3z = + 1) >0
, (polo simple) Im(z2 1 3z = 2)
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11.-( )( )2 20 1 4
x sen xdx
x x
+
12.-( )( )
3
2 20 1 4
x sen xdx
x x
+ +
13.-( )
( )20 2 2
cos, 0,
axdx a b
x b
< +
15.- ( )2 20
, 0,2
masen mxsen nxdx e senh na a m n
a0
x a
= >+
16.- ( )2 20
cos, 0,
2
naxsen mx nxdx e senh ma a n m 0
x a
= > > +