integrales

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericanode formación permanentede profesores de matemática

Tema 18: Cálculo integral


- 2 -

Cálculo integral

Contenido de este documento:

Introducción

Primitiva de una función

Notación para la integral indefinida

Reglas de integración.

Notación sumatoria (o con sigma)

Área bajo una gráfica

Las sumas de Riemann y la integral definida

La integral definida

Propiedades de la integral definida

El teorema fundamental del cálculo

Cambio de variable en una integral indefinida

Cambio de variable en una integral definida

Métodos de integración: Repaso de integración por cambio de variable

Integración por partes

Método de fracciones simples

Introducción

El cambio es un hecho cotidiano. Los físicos utilizan la matemáticas para investigar fenómenos como el movimiento de los planetas, las corrientes

oceánicas, los patrones meteorológicos… Los economistas estudian las tendencias de los consumidores. Los psicólogos estudian la evolución del

aprendizaje. Aunque la ciencia moderna necesita usar muchas técnicas distintas, el Cálculo es la herramienta primaria para tratar el cambio. La

invención del Cálculo en el siglo XVII por Newton y por Leibniz fue resultado de las respuestas de los dos genios matemáticos a cuestiones

sobre el mundo y su funcionamiento.

Newton dijo una vez que para lograr sus resultados “cabalgó a hombros

de gigante”. Con esto quiso decir que el cálculo no apareció por

inspiración momentánea, sino que lo hizo gradualmente, cuando se unieron ideas y métodos existentes, aparentemente distintos, en un

cuerpo de doctrina coherente.

Sabemos que la fórmula del área de un círculo de radio r es . Los

egipcios fueron los primeros en utilizar esta fórmula hace 5000 años, pero el griego Arquímedes la demostró utilizando un proceso de límite.

Consideremos el área de los polígonos inscritos en la circunferencia, tal como muestra la figura 1:


- 3 -

Figura 1

Aunque Arquímedes no usó estas palabras, damos a continuación la

esencia de lo que él hizo, usando un método llamado de exhaución. Veámoslo:

Sea A3 el área del triángulo equilátero inscrito, A6 el área del hexágono regular inscrito, A12 el área del dodecágono regular inscrito y así

sucesivamente. ¿Cómo podemos calcular el área de este círculo? Las figuras anteriores nos muestran que, considerando el área A3, luego A4,…

debemos tener una sucesión de áreas tal que los términos se van aproximando cada vez más al área del círculo. Esto es,

Vamos a calcular ahora el área limitada por una curva, una figura

mixtilínea, por ejemplo el área de la figura 2.

Figura 2

Podemos aproximar esta área utilizando rectángulos. La figura 3 muestra

cómo la aproximación es mejor si se aumenta el número de rectángulos.

Figura 3

El problema del área de figuras mixtilíneas conduce a un proceso llamado integración y, el estudio de este proceso se llama calculo integral. Unos

A12 A6 A3


- 4 -

razonamientos similares nos permiten calcular otras cosas, como volúmenes, longitudes de curva, el valor medio de una función o la

cantidad de trabajo que se requiere para realizar una tarea concreta.

La finalidad de este tema es estudiar el proceso de integración que es el

recíproco de la derivación; un ejemplo de este proceso surge cuando un físico que conozca la aceleración de una partícula puede querer

determinar su velocidad o su posición en un cierto instante. Tiene de dato

la derivada f’ y su problema es hallar la función f. Estamos ante la integración. Así, dos de los conceptos fundamentales del Cálculo son las

ideas de derivada y de integral. La vía para el desarrollo de esos conceptos fue la formulación de una herramienta matemática que se

llama límite y que hemos estudiado en temas anteriores.

Así, el cálculo diferencial y el cálculo integral están íntimamente

relacionados, a pesar de ocuparse de problemas tan distintos. Este hecho tan excepcional fue descubierto de forma independiente por Newton

(1642-1727) y Leibniz (1646-1716), con la ayuda de otros grandes matemáticos del siglo XVII como Isaac Barrow (1630-1677), Bonaventura

Cavalieri (1598-1647), Gilles P. de Roberval (1602-1675) y John Wallis (1616-1703).

En el tema anterior se hizo referencia al problema básico siguiente: dada una función f encontrar su derivada f’. En este tema se verá que un

problema igualmente importante es: dada una función f, encontrar una

función cuya derivada sea la f dada.

Esto es, para una función dada f se desea encontrar otra función F para la

cual F’ (x)=f(x), para todo x en un cierto intervalo.

Primitiva de una función

Definición Una función F es primitiva de otra función f dada, si la

derivada de F es f:

F es primitiva de f F’= f

Ejemplo 1

Supongamos que . Queremos hallar una función tal que .

Utilizando la regla que deriva la función potencia no es difícil ver que , verifica esa condición.

Pero, no es la única posibilidad como se ve a continuación:

¿Hay otras funciones cuya derivada sea igual a f?

Visiblemente hay infinitas funciones y cada dos de ellas se diferencian en

una constante.


- 5 -

Si F es una primitiva de f también lo es F + C para cualquier constante C porque:

Las primitivas se diferencian en una constante. Esto es, si F es una

primitiva de una función f, entonces cualquier otra primitiva debe ser de la forma G (x)=F (x)+ C.

Debemos diferenciar entre una primitiva particular y la general. Si , una primitiva particular es y la general es

Ejemplo 2

1. Hallar las primitivas generales de la función f(x)= cos x

Si F(x)= sen x, F’(x)= cos x. Luego la primitiva general es G(x)= sen x + C

2. Halla la primitiva de f(x) = 2sen(2x) que valga 4 para x=

Las primitivas de f(x) son de la forma F(x)= cos (2x) + C. Hagamos que

F(

F( cos (2 ) + C= 4 1 +C =4 C=5

F( cos (2x ) + 5

Ejercicio 1

Encuentra dos primitivas de la función f(x) = . De todas las primitivas halla la que pasa por el punto (0,0).

Notación para la integral indefinida

La notación

Donde C es una constante arbitraria, significa que F es una primitiva de f. La función se llama integral indefinida de f y verifica que:

F’ en todo el dominio de f.

La gráfica de , para valores de C distintos, representa una familia

de funciones. Como cada miembro de la familia tiene la misma derivada en x, la pendiente en x de cada gráfica es la misma. Así las gráficas de las

funciones de la forma forman una familia de curvas, como se

muestra en la figura 4:

Figura 4


- 6 -

Hay que tener siempre presente que representa una familia de

funciones.

El proceso de hallar las integrales indefinidas se llama integración

indefinida. Nótese que este proceso significa hallar una primitiva de f y

sumarle una constante arbitraria, que se llama la constante de integración.

Ejemplo 3: cálculo de primitivas

Las primitivas de f(x) son de la forma F(x)=cos (2x) + C ya que:

El ejemplo anterior nos anima a dar fórmulas para el cálculo de primitivas.

Reglas básicas de integración

Reglas Fórmulas de derivación Fórmulas de integración

Múltiplo constante

Suma

+

Diferencia

Linealidad

Constante

Potencia

Trigonométricas

Se puede demostrar cada regla de integración invirtiendo la

correspondiente regla de derivación. Por ejemplo, para obtener la regla de la potencia nótese que, si n es cualquier número distinto de 1, entonces:

=

Luego

es una primitiva de y

Vamos a usar estas reglas para calcular algunas integrales indefinidas:


- 7 -

Ejemplo 4

1.

Primero se escribe en forma de potencia,

y con n=1/2, se obtiene:

2.

3.

Debe tenerse presente que los resultados de la integración siempre se

pueden comprobar mediante la derivación; por ejemplo:

es

Recordemos que la derivación nos permite calcular la pendiente de la gráfica de una función en cada punto, pues bien, la integración permite

invertir este procedimiento.

Cómo hallar la función, dada la pendiente

La gráfica de una cierta función F tiene pendiente en cada punto

(x, y) y contiene al punto (1,2). Halle la función F.

Como la pendiente de la tangente en cada punto (x, y) es F’(x) se tiene

que F’(x)= de donde se deduce que:


- 8 -

La familia de curvas es Para hallar la que pasa por el punto

(1,2) se sustituye: y así C=6. La curva pedida es, por

tanto: .

Una integral puede ser indefinida o definida. En páginas posteriores

veremos la integral definida como el límite de una suma.

Notación sumatoria (o con sigma)

En este apartado vamos a introducir una notación más breve para las

sumas: la notación sumatoria y escribimos:

A veces, se llama notación sigma porque se usa la letra griega mayúscula

sigma ( ) para designar el proceso de sumar. El índice k se llama el índice

sumatorio. Los nombres que se usan para designar los términos de la expresión son:

n es el límite superior de la suma

es el símbolo de la suma

1 es el límite inferior de la suma

k es el índice de la suma es el término general de la suma

No es necesario que el índice sumatorio empiece con k=1; por ejemplo

Al índice sumatorio se le llama a menudo variable ficticia, puesto que el símbolo en sí no es importante; los valores enteros sucesivos del índice y

la sumatoria correspondiente son lo importante. En general,

Y así sucesivamente.

La siguiente es una lista de algunas de las propiedades importantes de la

notación sumatoria.

Para cualesquiera números c y d y cualesquiera enteros positivos m y n

se verifica:

Regla del término constante:

Regla de la suma:

Regla del múltiplo escalar:

Regla de la linealidad:


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Regla del subtotal: 1<m<n

Regla de dominación: para todo k

Recordaremos algunas fórmulas algebraicas para sumas, que se prueban

por recurrencia y, que usaremos para construir ejemplos de la definición de área mediante el límite.

Área bajo una gráfica

Hemos mencionado que así como el concepto de

derivada proviene del problema geométrico de

trazar una tangente a una curva, el problema

histórico que conduce a la definición de integral

definida es el de calcular áreas. Concretamente

interesa evaluar el área A de una región limitada

por el eje x, la gráfica de una función no negativa1

definida en cierto intervalo y, las rectas

verticales x=a y x=b.

Es un problema interesante pero no es un problema fácil excepto en

algunos casos. En temas anteriores estudiamos el concepto de área

y calculamos las áreas de figuras planas con bordes rectos.

También vimos la fórmula del área de un círculo y el cálculo de

áreas de regiones más complicadas que se puedan descomponer en

figuras conocidas. En esta sección estudiaremos como calcular el

área bajo una curva. El proceso de hallar el área de regiones

planas limitadas por curvas se llama cuadratura. El matemático

Seki Kôwa (1642-1708) midió el área de un círculo usando

rectángulos. Los japoneses llaman yenri a este procedimiento de

hallar el área.

1 El requisito de que f no sea negativa en a, significa que ninguna porción de su gráfica en el

intervalo está por debajo del eje x.


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Cálculo aproximado del área utilizando rectángulos

Algunos recintos están limitados por segmentos rectilíneos, y sus correspondientes áreas se calculan fácilmente. El problema surge al

calcular áreas de recintos limitados por segmentos rectilíneos y curvilíneos.

Arquímedes (286 a. C.-212 a. C.) calculó el área del recinto limitado por un segmento parabólico, el eje de abscisas y la recta x=a (Figura 5). Para

ello utilizó el método exhaustivo que consiste en aproximar sucesivamente (exhaustivamente) la superficie cuya área se desea calcular mediante

rectángulos.

Figura 5

Obsérvese que, aunque no se puede calcular esta área usando una

fórmula simple, podemos estimarla sumando las áreas de rectángulos (Figura 6) que la aproximen, cuyas bases sean subintervalos de [0, a].

Figura 6

Dividimos el intervalo [0, a] en n partes iguales o subintervalos de amplitud o longitud a/n, como se aprecia en la Figura 7. Sobre cada uno

de estos subintervalos construimos dos rectángulos, uno de altura igual a la ordenada del extremo inferior del subintervalo y otro de altura igual a la

ordenada del extremo superior. Calculamos la suma de las áreas de estas dos familias de rectángulos, rectángulos superiores (S) y rectángulos

inferiores (s).


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Figura 7

El área A del recinto está comprendida entre s y S: s A S

A

Utilizando la fórmula que nos da la suma de los cuadrados de los n

primeros números:

Obtenemos:

A

Tomando límites cuando n, lo que equivale a tomar infinitos

subintervalos, obtenemos:

A

A

Por tanto el área buscada es A=

Ejercicio 2

Calcula mediante el método exhaustivo, el área del recinto limitado por la

gráfica y = , el eje X y las rectas x=0 y x=a.

Solución: A=


- 12 -

El área como límite de una suma

Definición Utilizando la notación sumatoria podemos escribir la fórmula del área bajo la curva y= f(x) en el intervalo como:

=

El área bajo la curva y= f(x), por encima del eje x, entre x=a y x=b , se escribe:

siendo “n” el número de rectángulos.

Cálculo del área por la definición

Ejemplo 5

1. Utilizando la definición sumatoria halle el área bajo la parábola y= en el intervalo [0,1]. Para ello dividamos el intervalo en n subintervalos, cada uno de

ellos de longitud

.

El extremo derecho del subintervalo k-ésimo es

y f (

) =

Muchas veces las fórmulas sumatorias no se pueden manejar de forma tan sencilla como en el ejemplo anterior. Usando un sistema de cálculo se

puede encontrar una regla de comportamiento que nos apunte al límite. Veamos un ejemplo:


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Ejemplo 6

Queremos estimar el área bajo la curva y=senx en el intervalo [0,

].

Para ello, se tiene que a=0 y b=

, luego

. Los extremos derechos de los

subintervalos son: 0+

, 0+2

, 0+3

, …

Así:

Por lo tanto , el área es:

Que podemos estimar calculando para valores grandes de n, como se indica en la

tabla siguiente:

n 10 20 50 100 500

1.0764 1.03876 1.01563 1.00783 1.00157

Nótese que la tabla sugiere que:

Así es de esperar que el área pedida sea de 1 unidad cuadrada.

Las sumas de Riemann y la integral definida

La noción de integral definida se remonta al mundo griego unida al

problema de la determinación de áreas y volúmenes. Fue Eudoxo de

Cnido (siglo IV a. C.), discípulo de Platón, el primero en demostrar

que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen del

cilindro que tiene la misma base y la misma altura, además de

calcular el área del círculo y el volumen de una esfera. Arquímedes

(siglo III a. C.) calculó el área del recinto limitado por un arco de

parábola y una cuerda, así como volúmenes de cuerpos limitados

por superficies curvas.

El método utilizado por los griegos para calcular las magnitudes

citadas recibe el nombre de método exhaustivo. Las ideas de Eudoxo

y Arquímedes, permanecieron estancadas hasta que se tradujeron

las obras de Arquímedes, en el siglo XVI. Estas ideas interesaron a

los científicos de la época, en especial a Galileo (1564-1642) y Kepler

(1571-1630). En el siglo XVII, el matemático inglés Isaac Barrow

(1630-1677) fue el precursor en el cálculo de integrales definidas,

enunciando la regla que lleva su nombre y que conecta la integral

definida con las indefinidas y, por tanto, con las derivadas.

Para aproximar el área bajo la curva continua y=f(x) en el intervalo [a, b]

donde f(x) 0, se hacía:


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1. Una partición del intervalo en n subintervalos de igual longitud

.

2. Luego se calculaba el valor de f en el extremo derecho del

subintervalo k-ésimo, para k= 1, 2, 3,…n.

3. La suma de las áreas de los n rectángulos que aproximan el

área.

Es de esperar que la aproximación mejora cuando disminuye y así

definíamos el área bajo la curva, por encima del eje x y limitada por las rectas x=a y x=b como el límite de la suma cuando el número de

rectángulos es muy grande:

Esto significa que se puede aproximar A hasta donde se desee calculando

las sumas con suficientemente pequeño (o equivalentemente, con

n suficientemente grande).

Esta forma de ver el área contiene los ingredientes básicos de la

integración, pero no hay ninguna razón de peso para considerar

intervalos de amplitud constante o para calcular f en los valores

extremos. Se hace así para facilitar el cálculo.

Para aplicar esta técnica a otros problemas distintos del área, es

necesario considerar un tipo más general de las sumas que

aproximan el área y definir claramente lo que se entiende por el

límite de esas sumas. Las sumas que aparecen en los problemas de

integración se llaman sumas de Riemann, en honor del famoso

matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Definición Supongamos que se da una función f y un intervalo [a, b] en

el que f está definida y realicemos los siguientes pasos:

Paso 1. Se hace una partición del intervalo [a,b] en n

subintervalos eligiendo unos puntos … tales que

…

y se designa por P a esta partición. Para k= 1, 2,…, n, la longitud del subintervalo k-ésimo es .

La mayor de esas longitudes se llama la norma de la partición P, y se designa por = …

Paso 2. Se elige arbitrariamente un número en cada

subintervalo. Para k= … el número elegido se

llama el representante del intervalo k-ésimo de la

partición P


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Paso 3. Se forma la suma

…

Ésta es la suma de Riemann asociada a f, a la partición P y a los representantes

, , … ,

de los subintervalos que

se han elegido.

Lo que esto quiere decir: Esto es una generalización de los cálculos de

áreas. Siempre que escribamos la suma

se la llamará una suma de Riemann. Se usan las sumas de Riemann para

hallar la integral correcta para una aplicación concreta. Nótese que las

sumas de Riemann no exigen que la función f sea no negativa sobre el

intervalo y permiten que sea cualquier punto del subintervalo k-ésimo.

En su vida personal Georg Friedrich Bernhard

Riemann (1826-1866) era frágil, temeroso y

tímido, pero en su vida profesional fue uno de

los gigantes de la historia de las matemáticas.

Es conocido por sus trabajos en geometría y

análisis (geometría de Riemann y superficies

de Riemann). En su libro Space through the

ages, Cornelius Lanczos dijo: “aunque los

artículos completos de Riemann constituyen un único volumen de

538 páginas, este volumen pesaría toneladas si se le midiera

intelectualmente. Cada uno de sus muchos descubrimientos estaba

destinado a cambiar el curso de las matemáticas”.

La integral definida

Comparando la suma de Riemann con la Sn que utilizamos en [2] para

calcular el área, vemos que la Sn es un tipo especial de aquélla con:

…

Como cada intervalo de la partición P asociada con Sn tiene longitud , la

norma de la partición es =

Este tipo de partición se llama

una partición regular. Cuando escribimos que el área bajo la curva

y=f(x) es , estamos diciendo que se puede aproximar A con

la precisión que se desee hallando una suma de Riemann de la forma Sn

con norma

lo suficientemente pequeña.


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Definición Si f está definida en el intervalo cerrado [a, b], decimos que f

es integrable en [a,b] si existe el límite:

Este límite se llama integral definida de f desde a hasta b.

La integral definida se designa por

Lo que quiere decir:

Si existe el límite de una suma de Riemann de f cuando y es finito,

decimos que f es integrable. En particular, se puede aproximar el número

I hasta el grado de precisión que se desee mediante cualquier suma de Riemann de f con norma suficientemente pequeña.

Notación

En la fórmula

a f(x) se llama integrando, el intervalo [a, b]

es el intervalo de integración y los extremos a y b se llaman

respectivamente, límite inferior y límite superior de integración. En el caso particular en que a=b, el intervalo de integración se reduce a un

punto y, por convenio, la integral de una función cualquiera f en “este intervalo” vale 0.

A veces el límite inferior es un número mayor que el superior. En este caso convenimos que la integral de a a b es la opuesta de la de b a a.

=

La definición de integral definida puede parecer imponente y nos

puede suscitar preguntas como: ¿Cómo vamos a averiguar si una

función es integrable en un intervalo [a, b]?

Si f es integrable, ¿cómo vamos a calcular la integral definida?

No es fácil responder a estas cuestiones. En Cálculo avanzado se

prueba que, si f es continua en el intervalo [a, b] salvo posiblemente

en un número finito de puntos, y es acotada en ese intervalo (esto es,

existe un número A > 0 tal que para todo x del intervalo),

entonces f es integrable en él.


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Ejemplo 7

Calcular

La integral existe porque 4x es continua en [ 2,1]. Como se puede calcular

mediante cualquier partición cuya norma tienda a 0, simplificamos el problema eligiendo particiones con puntos igualmente separados.

Concretamente, cada uno de longitud

. Para cada k, elegimos como

representante del subintervalo su extremo derecho, esto es:

Formamos la suma de Riemann

=

=

=

El área como integral

Hemos utilizado la noción área como modelo para la definición de integral

definida, pero las integrales pueden ser positivas, cero o negativas (como hemos visto en el ejemplo anterior) y no es admisible que el área bajo

una curva sea una cantidad negativa.

La relación entre áreas bajo curvas e integrales es:

Definición Sea f una función continua y f(x) 0 en el intervalo cerrado

[a, b].

Entonces el área bajo la curva y=f(x) en [a, b] es la integral

definida de f en [a, b], es decir

Podemos calcular las áreas usando integrales definidas, pero no toda

integral definida representa un área. Normalmente usamos las integrales para calcular áreas, pero a veces podemos usar las áreas para calcular

integrales. No es fácil calcular sumas de Riemann, por tanto, si se ve que una integral representa el área de una figura geométrica conocida, se

puede utilizar la fórmula del área para hallar la integral.


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Ejemplo 8: Cálculo de una integral usando una fórmula de un área

Calcular

La curva representa una semicircunferencia de centro el origen (0,0) y radio 3 (Figura 8)

Figura 8

Sabemos por geometría que el área del circulo es

El área del semicírculo es

Propiedades de la integral definida

Regla de linealidad

Si f y g son integrables en [a, b], también lo es r f + s g para todo par de constantes r, s:

Regla de dominación

Si f y g son integrables en [a, b] y f(x) g(x) en ese intervalo, entonces

Regla de subdivisión

Para todo número c tal que a<c<b es:

=

+


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Suponiendo que existan todas las integrales.

Como la definición de integral está formulada en función de sumas, cada

una de esas propiedades es consecuencia de las correspondientes para las

sumas.

Ejemplo 9

Si

, calcular

Por la regla de subdivisión tenemos que:

Por tanto,

Aunque como se ha visto, el valor de una integral definida se puede

aproximar numéricamente determinando el límite de una suma, se

puede calcular algebraicamente utilizando fórmulas sumatorias,

estos métodos son complicados y es dudoso que la integración fuese

una herramienta tan potente si esas fueran las únicas maneras de

calcular una integral.

El teorema fundamental del cálculo nos da un medio para calcular

muchas integrales. Fue intuido por el matemático inglés Isaac

Barrow (1630, 1677), que fue el tutor de Newton en Cambridge.

El teorema fundamental del cálculo

Si f es continua en el intervalo [a, b] y F es cualquier función primitiva de

f, o sea, que verifique que F’(x) = f(x) en ese intervalo, entonces

En otras palabras, se puede calcular la integral definida

hallando

una primitiva F en el intervalo [a, b] y calculando su valor en los límites de

integración a y b. Nótese que este teorema no dice cómo se calcula la primitiva, ni siquiera si existe.

De ahora en adelante, al calcular una integral por el teorema fundamental del cálculo, designaremos a la diferencia

F (b) F(a) por F(x)


- 20 -

Esto es,

Ejemplo 10

En un ejemplo anterior se recurrió a la definición bastante larga de la integral

definida para demostrar que

. Veamos como el teorema fundamental

del Cálculo facilita ese trabajo:

Como F(x)=4x2/2=2x2 es una función primitiva de f(x)=4x, se obtiene inmediatamente que:

Cálculo de una integral usando el teorema fundamental

Ejemplo 11

Calcular:

Solución

=

=

=

+

=

+

=

+

Ejemplo 12

Halle el área bajo la curva de y= cos x en [ π/2, π/2]

Si se ve la gráfica de f(x) = cos x en [ π/2, π/2], (figura 9), un área de 2 parece

razonable.

Como f(x)=cos x es continua en [ π/2, π/2], y como la derivada de senx es cosx,

se deduce que sen x es una primitiva de cos x. Como f(x) 0 en el intervalo

especificado [ π/2, π/2], el área pedida viene dada por la integral:

Integral definida Integral indefinida


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Figura 9

Así, la región tiene un área de dos unidades cuadradas

Es importante recordar que la integral definida

es un número,

mientras que la integral indefinida es una familia de funciones.

El teorema fundamental del Cálculo reduce el problema de la integración al cálculo de primitivas.2 Las fórmulas de integración no son suficientes

por sí solas para calcular muchas integrales. Hay un método de integración importante, que se llama integración por cambio de variable.

Veámoslo:

Ejercicio 3

Calcular:

Cambio de variable en una integral indefinida

El método de cambio de variable es la versión en integrales de la regla de

la cadena que estudiamos en el tema de derivadas. Recordemos la regla de la cadena:

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Teorema Sean f, g y u funciones de “x” derivables tales que

Entonces =

=

donde G es una primitiva de g.

2 En páginas anteriores enunciamos las fórmulas de integración.


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Demostración

Si G es una primitiva de g, entonces G’(u)=g(u) y, por la regla de

la cadena,

Integrando ambos lados de la ecuación se tiene:

Ejemplo 13

1) Calcular

Si se pone y así

+ C =

Hemos sustituido por , integrado en esta forma y deshecha la sustitución

después.

2) Sustituciones que dejan x en el integrando. Calcular:

Sea , luego , lo que implica que

. Sustituyendo se tiene:

=

La integral no está todavía preparada para su cálculo porque no están eliminados todos

los términos en x.

Como , se puede despejar en x, obteniéndose

, luego:

=

=

=

3) Calcular:

Sea , luego

Sustituyendo se tiene:

=

=

=

4) Cambio de variable trigonométrica. Calcular:

Sea , luego y

Sustituyendo se tiene:

5) Calcular:

Sea luego y por tanto

. Sustituyendo se tiene:

Si se quiere comprobar que se ha calculado bien la integral, no hay más que derivar la respuesta y ver que se obtiene el integrando.


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Observación:

El ejemplo siguiente ilustra un procedimiento común, pero totalmente

incorrecto, para evaluar una integral indefinida:

haciendo los cambios

y

la integral nos queda:

Como puede comprobarse la diferenciación de esta última función no

resulta . El error proviene de haber sacado la variable, 2x, fuera del símbolo de la integral. Por otra parte, si , entonces al

integrando le falta la función = .

Cambio de variable en una integral definida

Se puede ver en el siguiente ejemplo

Se obtiene una función primitiva de la función integrando, es decir se resuelve la integral indefinida

Hagamos el cambio 3x+1= u 3dx=du dx=du/3

Sustituyamos en la integral indefinida:

A continuación se resuelve la integral definida

Recordamos que la integral definida no requiere el cálculo de la constante C.

Teorema Cambio de variable en una integral definida

Supongamos que f es continua en el conjunto de valores que toma g. Si g’ es continua en [a, b], y si f tiene una primitiva F

en ese intervalo, entonces

Donde

siempre y cuando esas integrales existan.

Demostración

Sea u=g(x) y sea F una primitiva de f en el intervalo [a, b]; entonces F’=f. Por la regla de la cadena:

f [g(x)]g’(x)=f(u)du= F’(u)du


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El teorema fundamental del cálculo nos dice que:

=

porque u=g(x)

porque F es primitiva de f

Ejemplo 14

Calcular:

Sea . Si

Por tanto:

Nótese que el cambio de variable en la integral definida no requiere volver

a la variable de partida.

Ejercicio 4

Calcular:

Métodos de integración

Es posible derivar la mayoría de las funciones que aparecen en la práctica aplicando unas pocas reglas. La integración es más complicada. En este

apartado vamos a estudiar algunos métodos de integración que, en todos los casos, consisten en transformar una integral de tal forma que bajo el

signo quede una función de la que conocemos “inmediatamente” una

primitiva (tablas de integrales inmediatas). Empezaremos recordando la integración por cambio de variable (o sustitución) vista en el apartado

anterior y luego veremos otros procedimientos de integración como, la integración por partes y por descomposición en fracciones simples. No

estudiaremos las integrales impropias ni las funciones hiperbólicas.

Repaso de integración por cambio de variable

Recordemos que, al integrar por cambio de variable, hay que elegir u,

calcular du y luego sustituir, de tal manera que el integrando se parezca a una de las funciones que se saben integrar. Repasaremos la integración

por cambio de variable mediante ejemplos de funciones que aparecen con frecuencia.

Ejemplo 15


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ea u=x3 2 du=3x2dx, sustitu endo en la integral a resolver

Deshaciendo el cambio

Ejemplo 16: Reducción de la integral a una forma conocida

Ejemplo 17: Cambio de variable para deducir una fórmula de

integración

se comienza multiplicando dividiendo el integrando por

l numerador es la derivada del denominador

l cam io de varia le es

Evidentemente, en el ejemplo anterior a cualquiera no se le ocurre

multiplicar y dividir por , decir que se hace “porque funciona”

no es una respuesta satisfactoria. Estas ideas pasan de generación en generación y nunca se debe olvidar que multiplicar por 1 nos permite

cambiar la forma de una expresión a otra más conveniente.

Ejemplo 18: Cálculo algebraico y cambio de variable

l cam io de varia le u=1 ex no funciona porque du=exdx. e tendr a

Pero, aún no sa emos cómo resolver las integrales racionales.

ntonces, multipliquemos dividamos el integrando por e x


- 26 -

l cam io de varia le

u=e x 1 du= e xdx

ahora si es válido

Ejemplo 19: Completar el cuadrado y cambiar la variable

Quizás se pueda pensar en hacer el cambio u=2x2 x pero esto no funciona como se

puede comprobar.

El denominador es un polinomio de segundo grado x2 x C, con =2, = C= por lo

que podemos completar el cuadrado así:

i hacemos u=x 1 du=dx , la integral quedar a

La demostración la hacemos aplicando la regla de la derivada del arco tangente:


- 27 -

Ejercicio 5

Calcular

Cuando el integrando tiene potencias de x de exponentes fraccionarios es

una buena idea, en general, hacer x=un donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes. Por ejemplo, si el

integrando contiene x1/4, x2/3 y x1/6, el cambio de variable que se debe

hacer es x=u12, porque 12 es el mínimo común múltiplo de los denominadores (4, 3, 6). Esto hace que las potencias de exponente

fraccionario se conviertan en potencias de exponente entero.

x1/4=[(u)12]1/4= u3; x2/3=[(u)12]2/3= u8; x1/6=[(u)12]1/6= u2

Ejemplo 20: Cambio de variable en caso de exponentes fraccionarios

Respuesta:

Como 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3, se hace el cambio:

Estamos ante un cambio de variable que nos lleva a una forma no directamente integrable.

Cuando el integrando es un cociente de polinomios y el grado del numerador es mayor que

el grado del denominador, es una buena idea el dividir los polinomios.

a prue a de la división da lugar a la expresión

Deshaciendo el cambio


- 28 -

Integración por partes

Supóngase que u=f(x) y v=g(x) son funciones diferenciables. Por la regla de la derivada del producto tenemos:

Integrando ambos términos:

Fórmula que es sumamente útil para integrar ciertos productos. Este procedimiento se conoce como integración por partes. La idea básica

contenida es evaluar la integral por medio de la integral

, la cual se espera que sea más sencilla.

La fórmula usualmente se expresa en términos de las diferenciales

[3]

Para aplicar este resultado, se comienza con una integración seguida de una derivación:

el último paso es por supuesto la evaluación de

Ejemplo 21

Calcular:

Primeramente se escribe la integral como: [1]

Tenemos varias elecciones para la función . Se podría tener:

a)

b) c)

Paso 2: derivar

Paso 1: integrar


- 29 -

La elección de es determinada por lo que suceda en la segunda integral de [1].

Si se elige específicamente:

Entonces Sustituyendo estas funciones en [1] resulta:

Obsérvese que no es necesaria una constante en la integración de . La

constante agregada al final del problema es una constante colectiva. El

conocimiento de que se ha hecho la elección correcta se basa en el resultado: el procedimiento funcionó.

Ejercicio 6

Comprobar que las elecciones b) y c) de conducen a integrales más

complicadas o a callejones sin salida.

Ejercicio 7

Calcular:

Respuestas:

Integración por partes reiterada

En ocasiones hay que aplicar varias veces la fórmula de integración por partes para el cálculo de una integral.

Ejemplo 22

Calcular:

Respuesta:

Aplicamos la fórmula de integración por partes

Integrar Derivar


- 30 -

A la integral resultante se le vuelve a aplicar la fórmula de integración por partes:

En el ejemplo siguiente hay que aplicar integración por partes más de una

vez. Al hacerlo volvemos a la integral de partida que, en esta situación, se puede hallar su valor despejándola de una ecuación

Ejemplo 23

Calcular

Respuesta:

Vamos a asignar el símbolo I a la integral dada:

Se toma:

Derivando e integrando:

Sustituyendo en la fórmula se tiene:

Se integra de nuevo por partes:

Nótese que la última integral es I. Así que:


- 31 -

Ejercicio 8

Calcular

Respuestas:

Método de las fracciones simples

La descomposición en fracciones simples es el procedimiento de descomponer una fracción racional reducida en suma de otras. Por

ejemplo, consideremos una suma algebraica de fracciones:

La descomposición en fracciones simples es el procedimiento inverso:

partimos de la fracción

y la descomponemos en la suma

Teorema Se puede descomponer la expresión racional

en fracciones simples si D y d no tiene factores comunes y si el grado de D es menor que el de d. Si el grado de D es mayor o

igual que el de d, se divide primero para obtener un polinomio más una fracción que verifique la condición anterior (que se

llama fracción propia).

Por ejemplo:

La descomposición en fracciones simples es una herramienta utilísima

para integrar. Calculemos la integral:

Fracción propia Polinomio


- 32 -

Es una tarea difícil sin utilizar la descomposición en fracciones simples. El procedimiento consiste en dividir para hallar un polinomio (que es fácil de

integrar) más una fracción propia, cuya integración se simplifica por descomposición en fracciones simples.

Se puede escribir una fracción propia como suma F1 … Fn donde cada Fk es de una de las dos formas siguientes:

donde r, s, t son constantes y el polinomio x2+sx+t es irreducible (es

decir, no tiene raíces reales o, lo que es lo mismo, no se puede descomponer en producto de factores lineales).

Comenzamos con la primera fracción

Descomposición en fracciones simples: un sólo factor

Ejemplo 24

Descomponga en suma de fracciones simples

Si se multiplican ambos miembros por (x 2)3 , se obtiene:

Haciendo x=2

Sustituyendo A3= 5, y desarrollando el miembro de la derecha

Igualando los coeficientes de las potencias del mismo exponente se tiene:

Este es un sistema evidentemente compatible y determinado que da como solución A1 =1

A2= 2

Así pues, la descomposición es

También podríamos llegar a la solución del sistema dando valores a x en los dos miembros;


- 33 -

por ejemplo, para x=0, x=1, x=3,...

Sumando las dos ecuaciones

Sustituyendo en la segunda ecuación:

Por tanto: Los mismos valores encontrados por el método anterior.

Descomposición en fracciones simples con varios factores lineales

…

se descompone en

Ejemplo 25

Descomponer en fracciones simples:

Lo primero que hay que hacer es descomponer el denominador en factores y comprobar que

no hay factores iguales. Después se descompone la fracción en suma de fracciones simples,

cada una con un factor lineal en el denominador y numeradores indeterminados y se suman

estas fracciones. Tenemos, pues:

Ahora se multiplican ambos miembros por el mínimo común denominador, obteniéndose:

Ahora se da a x, sucesivamente, valores que anulen a cada uno de los sumandos del miembro de la derecha. Para x= 1 se tiene

Y para x=2


- 34 -

La fracción queda descompuesta de la siguiente manera:

Si hay factores lineales múltiples y distintos, se combinan los métodos vistos en los dos ejemplos anteriores. Por ejemplo:

En este caso, el grado del denominador es 3, luego hay que poner 3

constantes arbitrarias: A1, A2 y A3.

En cambio, hay que poner 4 constantes arbitrarias (A1, A2, A3 y A4) en el

caso siguiente:

Si alguno de los factores del denominador es un polinomio irreducible de segundo grado, entonces el numerador correspondiente deberá tener la

forma A x+ B, como se indica a continuación:

Descomposición en fracciones simples: un solo factor cuadrático

irreducible

Como el grado del denominador es 2m tenemos 2m constantes arbitrarias

… …

Ejemplo 26

Descomponga en fracciones simples:

La descomposición es:

Si se multiplican ambos miembros por (x2+1)2 y se desarrolla, se tiene:

Ahora se igualan los coeficientes de las mismas potencias en cada miembro, y se

resuelve el sistema correspondiente


- 35 -

obteniéndose

Esto significa que:

En muchos casos habrá factores lineales y cuadráticos; por ejemplo, en la

siguiente descomposición:

El grado del denominador es 4 y hay 4 constantes desconocidas.

El álgebra nos dice que cualquier polinomio con coeficientes reales se

puede descomponer en producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles, algunos de los cuales pueden estar repetidos. Se puede usar

este resultado para justificar el siguiente procedimiento general de obtener una descomposición en fracciones de una función racional:

Descomposición en fracciones simples de una función racional

Sea f(x)=P(x)/D(x) una función racional, con D(x) 0 y los polinomios P(x)

y D(x) sin factores comunes:

Paso 1. Si el grado de P es mayor que el de D, por división de polinomios se puede escribir P(x)=Q(x).D(x)+R(x), donde R(x) es el

resto, que es 0 o de grado menor que el de D(x). Así se expresa P(x)/D(x) como suma de un polinomio Q(x) más una fracción

R(x)/D(x) con grado del numerador menor que el grado del denominador.

Paso 2. Se factoriza el denominador en producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles

Paso 3. Se expresa P(x)/D(x) como suma de fracciones simples de las formas

Siempre debemos comprobar que el número de constantes arbitrarias que

se utilizan es igual al grado del denominador.


- 36 -

Ejemplo 27

Calcular:

Tomando los resultados obtenidos en el ejemplo 24:

Ejemplo 28

Calcular:

Como el grado de P es mayor que el de D, dividimos los dos polinomios:

La parte polinómica es fácil de integrar, descomponemos la parte racional utilizando los

resultados del ejemplo 25:

Ejemplo 29

Calcular:

Tomando los resultados del ejemplo 26:

Este es un caso sencillo en el que se puede integrar cada una por sustitución:


- 37 -

Ejemplo 30

Calcular:

La descomposición de factores simples del integrando es

Multiplicando ambos miembros por (x+1)2(x-3) tenemos:

(I)

Sustituimos x= 1 y x=3 en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose:

Para encontrar A2 se desarrolla el polinomio de la derecha y se igualan coeficientes. También se obtiene sustituyendo x=0 en (I). Se obtiene .

Ejemplo 31

Calcular:

La descomposición de factores simples del integrando es:

Multiplicamos ambos miembros por (x2+4) (x+3) y se desarrolla el polinomio de la derecha:

Igualando los coeficientes

Resolviendo el sistema, hallamos

La integración es:

Resolvamos cada integral:


- 38 -

sustituyendo los resultados obtenidos se tiene

Ejercicio 9

Calcular:

Respuestas:

Podemos comprobar que están bien resueltas derivando los resultados.


- 39 -

Anexo

Soluciones a los ejercicios

Ejercicio 1

Encuentra dos primitivas de la función f(x) = . De todas las primitivas halla la que

pasa por el punto (0,0).

Solución

Dos primitivas de f(x)=5x4 2 pueden ser:

F1(x)=x5 2x+5

F2(x)=x5 2x 3

La primitiva general es G(x)= x5 2x+C

Si queremos que pase por (0,0)

G(0)=0 → 02 2*0+C=0 → C=0

La primitiva que pasa por (0,0) es

G(x)= x5 2x

Ejercicio 2

Calcula mediante el método exhaustivo, el área del recinto limitado por la gráfica y = ,

el eje X y las rectas x=0 y x=a.

Solución

Obsérvese que, aunque no se puede calcular esta área usando una fórmula simple,

podemos estimarla sumando las áreas de rectángulos (Figura 1) que la aproximen, cuyas

bases sean subintervalos de [0, a].

Dividimos el intervalo [0, a] en n partes iguales o subintervalos de amplitud o longitud

a/n, como se aprecia en la Figura 1. Sobre cada uno de estos subintervalos construimos

dos rectángulos, uno de altura igual a la ordenada del extremo inferior del subintervalo y

otro de altura igual a la ordenada del extremo superior. Calculamos la suma de las áreas

a 0

y=


- 40 -

de estas dos familias de rectángulos, rectángulos superiores (S) y rectángulos inferiores

(s).

El área A del recinto está comprendida entre s y S: s A S

A

Utilizando la fórmula que nos da la suma de los cubos de los n primeros números:

Obtenemos:

A

Tomando límites cuando n, lo cual equivale a tomar infinitos subintervalos,

obtenemos:

A

A

Por tanto el área buscada es A=

Ejercicio 3

Calcular:

Solución

Ejercicio 4

Calcular:

Solución

u= 1


- 41 -

Ejercicio 5

Calcular

Solución

Si hacemos

u= x du= dx

La integral quedaría:

Ejercicio 6

Comprobar que en el cálculo de la integral

las elecciones b) y c) de

conducen a integrales más complicadas o a callejones sin salida.

Solución

Comprobemos con la función


Sustituyendo estas funciones en [1] resulta:

La integral resultante es mucho más complicada

Comprobemos con:


Sin duda la segunda integral se complica aún mucho más


- 42 -

Ejercicio 7

Calcular:

Solución

a)

u= du=

dv= v=

b)

u= du=

dv= v=

c)

u=x du=

dv= v=

d)

u= du=

dv= v=

=

Ejercicio 8

Calcular

Solución:

Sustituyendo en la fórmula se tiene:


- 43 -

Se integra de nuevo por partes:

=

Tenemos que volver a integrar por partes una tercera vez. Así que:

=

=

De nuevo por partes:

Ejercicio 9

Calcular:

Solución

Se trata de una integral racional y, como el numerador es de mayor grado que el

denominador, hacemos la división

Aplicamos la regla de la división:


- 44 -

descomposición en factores del denominador utilizando la regla de Ruffini:

El denominador tiene raíces reales: x=0; x=1 (doble); x= 2 y la descomposición en

fracciones es:

Multiplicamos ambos miembros por y se desarrolla el polinomio de la

derecha:

Igualando los coeficientes

Resolviendo el sistema, hallamos

La integración es:

sustituyendo los resultados obtenidos se tiene

1 0 -3 2

1 1 1 -2

1 1 -2 0

1 1 2

1 2 0

-2 -2

1 0


- 45 -

El denominador está descompuesto en factores y se observa que tiene raíces complejas:

Multiplicamos ambos miembros por el mcm de los denominadores:

Se igualan coeficientes:

Sustituyendo los valores obtenidos:

Podemos comprobar que están bien resueltas derivando el resultado de las integrales.

integrales

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