Tema 4

Integral de Riemann

1. Calcule las siguientes integrales indenidas:

Inmediatas o con cambio elemental de variable:

1)

Zsenx cos x dx 2)

Z1

x(log x)3 dx 3)

Zxex

2

dx

4)

Zx

cos2 x2dx 5)

Zex 3e2x1 + ex

dx 6)

Zsech x dx

7)

Zcotg x dx 8)

Zdx

a2ex + b2ex9)

Zxp

1 + x4dx

10)

Zdx

senx cosx 11)Z

x

a4 + x4dx

Relaciones trigonometricas y cambios de variable trigonometricos:

12)

Zdx

sen x13)

Zdx

cos x14)

Zdx

sen2x cos2x

15)

Zcos3x dx 16)

Zcos4x dx 17)

Zsen4x dx

18)

Zdx

(4 x2) 32

Fracciones simples y Hermite:

19)

Z3x+ 5

x3 x2 x+ 1 dx 20)Z

dx

x(1 + x2)221)

Zx2 + 1

(x2 1)x dx

22)

Zdx

1 + x4

Por partes:

23)

Z2x 4

(x 1)(x2 4x+ 8)2 dx 24)Zarc senx dx 25)

Zx3ex

2

dx

26)

Zx

cos2xdx 27)

Zsenx log (cosx) dx

28)

Zarc tgx x

(1 + x2)2dx

Irracionales:

29)

Z ra+ x

a x dx 30)Z

dx3px2 px

Irracionales cuadraticos:

31)

Zdx

(x+ 1)p2x2 + 3x 1 32)

Zdxp

2x x2 33)Z

dxpx2 + 2x+ 1

34)

Zdx

x+px2 1 35)

Zxp

x2 + 2x+ 1 dx 36)Zxpx2 + x+ 1

37)

Zdx

(1 + x2)p1 x2

Trigonometricas:

38)

Zdx

sen3x cos3x 39)Z

dx

a2sen2x+ b2cos2x40)

Zdx

senx (a+ b cosx)

2. Compruebe que

Z 2

0

sennx dx =n 1n

Z 2

0

senn2x dx (n 2) y deduzca el valor deZ

2

0

sennxdx,

cualquiera que sea n 2 N . (Esto es lo que se llama una Formula de reduccion.)3. Halle una formula de reduccion para las integrales:

a) Im =

Zxmp1 x2 dx b) Im =

Zdx

xmp1 x2

4. Calcule las integrales denidas:

a)

Z 41

1 +px

x2dx b)

Z 10

x

x2 + 3x+ 2dx c)

Z 10

x3

1 + x8dx d)

Z e2e

dx

x log x

e)

Z 4

4

tgx dx f)

Z 4

0

cos2x dx g)

Z ba

eaxcos(mx) dx

5. Derive las funciones f(x) =

Z x20

1

1 + sen2 tdt, g(x) =

Z 2cos x

1

1 + sen4 tdt.

6. Calcule los lmites siguientes:

a) limx!0

R x20sen

pt dt

x3b) lim

x!+1

R x0et

2

dt2

R x0e2t

2

dtc) lim

x!+1

R x0(arc tg t)2dtpx2 + 1

7. Establezca la desigualdad 1 Z

2

0

senx

xdx

2

8. Use las reglas del trapecio y de Simpson para estimar las siguientes integrales.

(a)

Z 21

x2 dx, n = 4

(b)

Z 10

4x3 dx, n = 2

(c)

Z 30

1

1 + x3dx, n = 6

(d)

Z 31

1

xdx, n = 4

9. Discuta el caracter de las siguientes integrales impropias:Z 10

dxp1 x4 ,

Z 10

dx

x4 x3 ,Z

2

0

dxpsenx cosx ,

Z +10

dxp1 + x3

,

Z +10

ex2

dx,

Z +11

dx

1 + x3

10. Calcule las siguientes integrales impropias:

Z 10

5

x2dx,

Z 10

1pxdx,

Z 32

10

(3 x) 52dx,

Z 31

dx

(x 1) 23,Z 2

0

log x dx,

Z +11

dx

x2,

Z +10

dx

1 + x2,

Z +12

dx

x2

3

,

Z 21

xex dx

11. Calcule la longitud de la curva y = chx comprendida entre x = 1 y x = 1.12. Calcule la longitud de un trozo de la espiral logartmica = aem, (1 2)13. Calcule la longitud de la cardioide = a(1 cos), (a > 0)14. Calcule el area encerrada por la recta x+ 2y = 4 y la parabola y2 = 4+ x.

15. Calcule el area encerrada por la elipsex2

a2+y2

b2= 1

16. Calcule el area de la region comun a los crculos 3p2 r cos y 3 r sen (r > 0)17. Calcule el area limitada por los tres lazos de la curva = a cos 3, a > 0.

18. Calcule el area interior a la cardioide = 1 + cos (0 2) y exterior a la circunferencia = 1.

19. Halle el volumen del toro engendrado al girar el crculo (yR)2+x2 r2 (0 < r < R) alrededordel eje OX.

20. Calcule el volumen del cuenco obtenido al girar alrededor del eje OY la region comprendida entrelas curvas y = x2 y y = x3

21. Calcule el volumen del elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2 1

22. Un solido tiene una base en forma de elipse cuyos ejes mayor y menor miden 10cm y 8cm, respecti-vamente. Calcule su volumen sabiendo que toda seccion del mismo, perpendicular al eje mayor esun triangulo isosceles de altura igual a 6cm.

23. En un valle con forma de medio elipsoide se construye una presa que se supone plana. El valle tienelas siguientes dimensiones: longitud 8 km., anchura maxima 4 km., profundidad maxima 100 m..La presa esta situada a 7 km. del fondo del valle. Calcule:

La capacidad maxima del pantano El volumen de agua almacenada cuando la maxima cota es 20 m.

24. Integrales Eulerianas

Consideremos la integral impropia:Z +10

xp1exdx p 2 R

(a) Compruebe que la integral converge para todo p > 0.

(b) Llamaremos funcion Gamma, , a la funcion:

: (0;+1) ! R (p) =Z +10

xp1exdx

Compruebe que:

i. (1) = 1

ii. Si p > 1, (p) = (p1)(p1). Notese, como consecuencia, que si n 2 N , (n+1) = n! Consideremos la integral impropia:

Z 10

xp1(1 x)q1dx p; q 2 R

(a) Compruebe que la integral es convergente 8p; q > 0(b) Llamaremos funcion Beta a la funcion:

: (0;+1) (0;+1) ! R (p; q) !Z 10

xp1(1 x)q1dx

Compruebe las siguientes propiedades:

i. (p; q) = (q; p) (Indicacion: utilice el cambio t = 1 x)ii. (p; 1) = (1; p) = 1

p

iii. q > 1 =) (p; q) = q1p(p+ 1; q 1) (Indicacion: integre por partes)

iv. (m;n) = (m1)!(n1)!(m+n1)!

para m;n 2 N (Indicacion: aplique reiteradamente lapropiedad anterior)

v. (p; q) = 2

Z 2

0

sen2p1 cos2q1d (Indicacion: haga el cambio x = sen2)