UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICO

FALCUTAD DE INGENIERIA

Contenidos de la unidad I

Alumna:

Claudia Hernández C.I 24.159.670

Cátedra: Matemática II

Sección: SAIA A

Profesora: Domingo Méndez

NOTACIÓN SIGMA.

Una notación concisa para las sumas, que se denominan notación sigma debido a que utiliza la letra griega ∑, la sigma mayúscula.

La suma de n términos a₁, a₂, a₃,…, an se escribe:

Donde i es el índice de suma, a₁ es el i-ésimo término de la suma, y los limites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Ejemplos

Propiedades.

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación.

1.

2.

El próximo teorema, cuya demostración se expone en el apéndice, resumen varias formulas útiles de suma de potencias.

Formulas de suma.

1.

2.

3.

4.

Ejemplo

SUMAS DE SUPERIORES E INFERIORES.

Para formalizar la idea de que las sumas superiores e inferiores de una función definidas por particiones del intervalo tiendan a un mismo número, necesitamos entender primero cómo varía el valor de estas sumas al cambiar la partición del intervalo. Hay que observar en primer lugar que las particiones no están ordenadas de una forma tan sencilla como las sucesiones: podemos tener particiones con más o menos cantidad de puntos, seleccionados en distintos lugares del intervalo.

Por ejemplo, en el intervalo [0,1] podemos definir las particiones P= {0, 1 2 ,1}   y Q= {0, 1 4, 3 4 ,1}, y no podemos decir que una sea menor o mayor que la otra, aunque Q tenga más puntos que P.

La forma de establecer un orden entre las particiones es la siguiente: dadas dos particiones P y Q de un intervalo [a, b], diremos que P es mayor o igual que Q si Q está contenida en P, y escribiremos Q ≤ P. De esta forma, aunque dos particiones sean incomparables, siempre se puede construir una tercera que sea mayor que las dos, uniendo los puntos de ambas: en nuestro ejemplo, S= {0, 1 4, 1 2, 3 4 ,1}.

Llamamos partición trivial a la más pequeña que puede haber en un intervalo, formada sólo por sus extremos P 0 = {a, b}

Consideraremos f una función acotada definida en el intervalo [a, b]. Llamamos

m=inf {f(x), a ≤ x ≤ b}              M=sup {f(x), a ≤ x ≤ b}

Propiedades.

1. Para cualquier partición P, la suma inferior es menor que la superior: S inf (f, P) ≤ S sup (f, P)

Es evidente que si tenemos una partición

 P = {a = x 0, x 1, x 2..., x n − 1, x n = b}  en cada intervalo [xi-1, xi] el ínfimo de f es menor que el supremo y por lo tanto:

S inf (f, P) = ∑ i=1 n m i (x i − x i−1) ≤ ∑ i=1 n M i (x i − x i−1) = S sup (f, P)

2. Las sumas inferiores aumentan al aumentar el número de puntos de la partición, y las sumas superiores disminuyen:

Si P y Q son dos particiones, y P ≤ Q, entonces S inf (f, P) ≤ S inf (f, Q) y S sup (f, P) ≥ S sup (f, Q)

3. Una suma inferior es siempre menor que cualquier suma superior:

Si P y Q son dos particiones cualesquiera, S inf (f, P) ≤ S sup (f, Q)

Supongamos que P y Q son dos particiones del intervalo [a, b]. Definimos una nueva partición con todos los puntos de P y de Q, que podemos llamar PQ.

Esta partición PQ es mayor que P y que Q, así que aplicando las dos propiedades anteriores

4. Las sumas superiores e inferiores están acotadas superior e inferiormente:

Para cualquier partición P se tiene m (b−a) ≤ S inf (f, P) ≤ S sup (f, P) ≤ M (b−a).

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES.

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de f entre

a y b se denota por: y esta dada por:

siempre y cuando el límite exista.

Si existe la integral definida entre f entre a y b (o de a a b), entonces se dice que f es integrable en [a, b] y que la integral

existe. Determinar el número representado por el límite se llama evaluar la integral.

El símbolo ∫ es el símbolo integral. Se puede considerar proveniente de una letra S y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y las suma de Riemann.

Los números a y b se llaman extremos (o límites) de integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior.

La expresión f (x) que aparece a la derecha del símbolo de integración se llama integrado. El símbolo dx a continuación de f (x) está relacionado con el incremento de ∆xk de la suma de Riemann de f.

Propiedades de la integración definida.

i)

ii)

iii) Si a < b < c entonces

Ejemplo:

Encuentre:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.

Sea f continua en [a, b]. El valor medio (o promedio) fmed de f en [a, b] es

El promedio de un conjunto de números se llama media aritmética, o simplemente media. Entonces la media aritmética de dos números a y b es (a + b) / 2, la medida de tres números a, b y c es (a + b + c) /3, etcétera.

Ejemplo.

Se podrá demostrar que . Encontrar un número z que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para integral definida.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b].

Parte I si la función G está definida por

Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b], entonces

Estrategia para usar el teorema de fundamentos del cálculo.

1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de una forma de calcular integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.

2. Al aplicar el teorema fundamental del Cálculo, es conveniente la siguiente notación.

Por ejemplo, para calcular

3. No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva ya que

Ejemplo

El segundo teorema fundamental del cálculo.

Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene al punto a, entonces, para todo x de ese intervalo,

Demostración: Empezamos definiendo

Por definición de derivada tenemos

Ejemplos.

Calcular

Sol: nótese que f (t) =√ t2+1 es continua en toda la recta real. Aplicando, por lo tanto, el

segundo teorema fundamental del Cálculo se obtiene:

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.

El papel que juega la sustitución en las integrales es comparable al de la regla de la cadena en las derivadas.

Primitiva de una función compuesta

Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, ya sea f una función continua en I. si g es derivable en su dominio y F es una primitiva de f en I. entonces

∫ f (g (x ) ) g' (x )dx=F (g (x ) )+C

Si u=g(x), entonces du = g’(x) y

∫ f (u )du=F (u )+C

Reconocimiento de modelos.

En cada una de las siguientes integrales, el integrados ajusta al modelo f (g(x)) g’(x).

Hallar ∫ x (x2+1 )2dx

Sol

CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES DEFINIDAS.

i)

ii)

Ejemplo.

Encuentre:

Solución en la otra página.